ElementarneElementarne funkcijefunkcije

Izradila Borka Jadrijević

Ponovimo:Ponovimo:

• Svaka monotona funkcija je injekcija.

• Za svaku funkciju f : X , suženje f : X f(X) je surjekcija.

• Ako je f : X monotona na nekom intervalu I X, onda je suženje

f : I f(I) bijekcija.

Ako je f : X Y bijekcija onda vrijedi:

• Postoji funkcija g : Y X tako da vrijedi g f = iX i f g = iY .

Funkcija g : Y X je jedinstvena, označavamo je g = f -1 i nazivamo inverzna funkcija funkcije f.

• Graf inverzne funkcije f -1 je simetričan grafu funkcije f s obzirom na pravac y = x.

Osnovne elementarne Osnovne elementarne funkcije:funkcije:

i) Konstantna funkcijaii) Opća potencijaiii) Eksponencijalna funkcijaiv) Logaritamska funkcijav) Trigonometrijske funkcijevi) Ciklometrijske funkcije

Konstantna funkcijaKonstantna funkcija

f: f () = {c}

c

x

y

f(x) = c, c

Opća potencijaOpća potencija

f(x) = xr, r \ {0}

Razlikujemo slučajeve:

1. r = n

2. r = -n \

3. r = m/n \

4. r \

Potencije s prirodnim eksponentom

x

y

y = x y = x2

y = x3

f : , f() = za n neparan, f() = [0, ) za n paran

f(x) = xn, n

Potencije s cijelobrojnim eksponentom

oblika f(x) = x-n, n

Budući je x-n = 1/xn onda je

f: \ {0} i vrijedi f() = \ {0}.

x

y

y= 1/xy= 1/x2

y= 1/x3

Potencije s racionalnim eksponentom

oblika f(x) = x1/n, n \ {1}.

Budući je x1/n = nx onda je:

f : i f() = za n neparan,

f: [0, ) i f([0, )) = [0, ) za n paran.

Nadalje, vrijedi:

za svaki x D(f) je (x1/n)n = x,

te za svaki y f(D(f) ) je (yn )1/n = y,

Dakle, funkcija f(x) = x1/n je inverzna funkcija funkcije g(x) = xn za n neparan, odnosno suženja funkcije g za n paran.

Primjeri:

1. n = 2

f(x) = x1/2

f: [0, )

f( [0, ) ) = [0, )

Neka je funkcija g1 : [0, ) [0, ) suženje

funkcije g(x) = x2..

Funkcja g1 je bijekcija i

za svaki x [0, ) vrijedi

f (g1(x)) = (x2 )1/2 = |x| = x,

te za svaki y [0, ) vrijedi

g1(f (y)) = (y1/2)2 = y.

x

yy=x

y=x1/2

y=x2

Uočimo:

Suženje g2 : (-,0] [0, )

funkcije g(x) = x2 je bijekcija

i za svaki x (-,0] vrijedi

f (g2(x)) = - (x2 )1/2 = -|x| = x,

te za svaki y [0, ) vrijedi

g2(f (y)) = (-y1/2)2 = y.

f(x) = -x1/2

f: [0, )

f( [0, ) ) = (-,0]

x

y y=x

y=-x1/2

y=x2

2. n=3

Promatrajmo funkciju g(x) = x3 .

Funkcija g: je bijekcija i za svaki x vrijedi

f (g(x)) = (x3 )1/3 = x,

te za svaki y vrijedi

g(f (y)) = (y1/3)3 = y.f(x) = x1/3

f:

f() =

y=x1/3

y=x3

y=x

x

y

Potencije s racionalnim eksponentom

• n neparan i m > 0, onda je D(f) = ,

• n neparan i m < 0, onda je D(f) = \ {0},

• n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ),

• n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ).

oblika f(x) = xm/n, m/n \ .

Uz pretpostavku m , n , te M(m,n)=1 razlikujemo slučajeve:

Primjeri:

f(x) = x2/3, D(f) =

f(x) = x-2/3, D(f) = \ {0}.

f(x) = x3/2, D(f) = [0,)

f(x) = x-3/2, D(f) = (0, )

• za r > 0 je D(f) = [0,)• za r < 0 je D(f)= (0,)

Potencije s realnim eksponentom

oblika f(x) = xr, r \ .

Vrijedi:

Vrijedi općenito: Inverzna funkcija opće potencije je opet opća

potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je f –1 (y) = y1/r , kad god ti izrazi imaju smisla.

Eksponencijalna funkcija

f(x)= ax , f: R R je injekcija i f(R) = (0, )

loga (ax) = x, za svaki x є R

a loga (y) = y, za svaki y є (0,

)

a > 1 0 < a < 1

Trigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije

Namatanje pravca na kružnicuNamatanje pravca na kružnicu

x0

x

Namatanje pravca na kružnicuNamatanje pravca na kružnicu

0 T S

T’ = S’

x x+2π

1

1

O’

O O’

T T’

S S’

Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica

x

cosx

sinxT(cosx,sin

x)

1

1

Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica

Os cotangesa

Os tangesa

ctgx

tgx

x

1

1

Trigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije

f(x) = sinx,

f:

f() = [-1,1]

f(x) = cosx,

f:

f() = [-1,1]

Sinus Kosinus

-1

1

2-

Ciklometrijske ili arkus funkcijeCiklometrijske ili arkus funkcije

Ciklometrijske funkcije su :Ciklometrijske funkcije su :• Arkus-sinus• Arkus-kosinus• Arkus-tanges• Arkus-kotanges

Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija.

Definirajmo: arcsin: [-1,1] [- π /2, π /2]

tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], arcsin(sin x)=x, y є [-1,1], sin(arcsin y)=y

x

y

Definirajmo: Sin: [-π/2, π /2] [-1,1]

tako da je za svaki x є [-π /2, π /2], sin(x) = Sin (x).

-/2 /2

DefinicijaDefinicija::

Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

Osnovna podjela Osnovna podjela elementarnih funkcija:elementarnih funkcija:

1.1. PolinomiPolinomi

2.2. Racionalne funkcijeRacionalne funkcije

3.3. Algebarske funkcijeAlgebarske funkcije

4.4. Transcendentne funkcijeTranscendentne funkcije