Elementarne funkcije_2010

  • View
    1.926

  • Download
    8

Embed Size (px)

Text of Elementarne funkcije_2010

1

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1. Osnovni pojmoviJedan od najvanijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. z

Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y jepridruivanje (pravilo) koje svakom elementu x skupa X dodeljuje tano jedan element y skupa z c Y . U tom sluaju, simboliki piemo f : X Y ili X Y , odnosno y = f (x). c c s Skup X naziva se domen i oznaava se sa D(f ) ili Dom(f ), a skup Y kodomen funkcije f . c Element x X naziva se nezavisno promenljiva, a y Y se naziva zavisno promenljiva. ( ) Skup G taaka u Dekartovom koordinatnom sisitemu sa koordinatama x, f (x) , x D(f ) c naziva se grak funkcije y = f (x), x D(f ), tj. ( ) G = { x, f (x) | x D(f )} . (i) Grak funkcije y = f (x) + a moe se dobiti translacijom graka funkcije y = f (x) u z pravcu y-ose za vrednost a > 0. (ii) Grak funkcije y = f (x b) moe se dobiti translacijom graka funkcije y = f (x) u z pravcu x-ose za vrednost b > 0. (iii) Grak funkcije y = f (x) je simetrian u odnosu na y-osu sa grakom funkcije y = f (x). c (iv) Grak funkcije y = f (x) je simetrian u odnosu na x-osu sa grakom funkcije y = f (x). c Podsetimo se najvanijih svojstava funkcije. zf

Definicija 1.2. Funkcija f : X Y naziva se:(1) injekcija (1-1 funkcija) ako za svako x1 , x2 X vai z f (x1 ) = f (x2 ) x1 = x2

(2) sirjekcija (funkcija NA) ako i samo ako za svako y Y postoji bar jedno x X takvo da je y = f (x), tj. ako i samo ako je f (X) = { f (x) | x X } = Y ; (3) bijekcija ako je ona injekcija i sirjekcija.

Primer 1.1. Ispitati da li su sledee funkcije 1-1 i NA: c(a) f1 : R R, f1 (x) = 3 2+ x2 x7 x2 (b) f2 : R R, f2 (x) = 3 2 + |x|

(c) f3 : R \ {2} R, f3 (x 4) =

(d) f4 : R R+ , f4 (x) = e2x

(e) f5 : R R, f5 (2x 1) = 4x2 2x + 1

Reenje. Funkcije f1 (x), f2 (x) i f5 (x) = x2 + x + 1 nisu ni 1-1 ni NA, funkcija sf3 (x) = x3 x+2 , x = 2 je 1-1 ali nije NA, a funkcija f4 (x) je bijekcija.

2

Jednakost funkcija Definicija 1.3. Funkcije f : X1 Y1 i g : X2 Y2 su jednake ako i samo ako:(1) imaju isti domen, tj. X1 = X2 ; (2) imaju isti kodomen, tj. Y1 = Y2 ; (3) f (x) = g(x) za svako x X1 = X2 .

Primer 1.2. Ispitati da li su sledee funkcije jednake: c(a) f1 (x) = x i f2 (x) = x2 x (b) f1 (x) = x i f3 (x) = x2 ( )2 (c) f1 (x) = x i f4 (x) = x ( )2 (d) f5 (x) = 3log3 x i f4 (x) = x Reenja: (A) NE funkcija f1 (x) je denisana za svako x R, a funkcija f2 (x) je denisana s za x R \ {0}. (B) NE f1 (x) = x = |x| = f3 (x) za svako x < 0 (C) NE funkcija f1 (x) je denisana za svako x R, a funkcija f4 (x) je denisana za svako x 0. (D) NE funkcija f5 (x) = 3log3 x = x je denisana za svako x > 0, a funkcija f4 (x) = ( )2 x = x je denisana za svako x 0.

Sloena funkcija zf (x) f (X) Y funkcija ( preslikava u element g f (x) Z. Tada se funkcija koja za g ) svako x X ima vrednost g f (x) = (g f )(x) naziva sloena funkcija ili kompozicija z funkcija f i g i oznaava se sa g f . c

Definicija 1.4. Neka je f : X Y i g : Y Z. Kako je f (X) Y , svaki element ( )

Inverzna funkcijag : B A takva da vai z ( ) (1) g f (x) = x za svako x A , ( ) (2) f g(y) = y za svako y B ,

Definicija 1.5. Neka A, B R i neka je f : A B data funkcija. Ako postoji funkcija

kaemo da je funkcija g inverzna funkcija funkcije f i oznaavamo je sa f 1 . z c Grak funkcije y = f 1 (x) simetrian je graku funkcije y = f (x) u odnosu na pravu y = x. c Inverzna funkcija funkcije f ne mora da postoji, a blie uslove pod kojima funkcija f ima z inverznu funkciju daje naredna teorema. funkcija g : B A takva da je ( ) (1) g f (x) = x za svako x A , ( ) (2) f g(y) = y za svako y B .

Teorema 1.1. Neka je f : A B. Funkcija f je bijekcija ako i samo ako postoji jedinstvena

3

Dokaz: () : Dokaimo najpre da ako je f bijekcija, funkcija g sa svojstvima (1) i (2) postoji z i jedinstvena je.Egzistencija: Kako je f : A B funkcija NA, za svako y B postoji x A takvo da je y = f (x). Kako je f 1-1, takvo x je jedinstveno. Na taj nain svakom elementu y B c pridren je jedinstven element x A takav da je y = f (x). Oznaimo li sa g : B A z c ( ) funkciju koja y x, tada za svako x A imamo (g f )(x) = g f (x) = x i za svako y = f (x) B ( ( ( ) )) ( ) (f g)(y) = f g(y) = f g f (x) = f (g f )(x) = f (x) = y . Jedinstvenost: (a) Kako je f : A B sirjekcija, postoji najvie jedna funkcija g : B A s sa svojstvom (1) tj. takva da je (g f )(x) = x za svako x A. Zaista, ako bi postojale dve funkcije g1 , g2 sa tim svojstvom, onda pretpostavka g1 = g2 vodi ka egzistenciji bar jednog elementa z B takvog da( je g1 (z) = ( 2 (z).) Kako je f sirjekcija, g ) postoji x A takvo da je z = f (x). Ali tada je g1 f (x) = g2 f (x) , to je u suprotnosti s sa g1 f = g2 f = 1A (1A je identino preslikavanje skupa A, tj. funkcija denisana sa c 1A (x) = x za svako x A). Prema tome, mora biti g1 = g2 . (b) Kako je f : A B injekcija, postoji najvie jedna funkcija g : B A sa svojstvom (2) s tj. takva da je (f g)(y) = y za svako y B. Zaista, ako bi postojale dve takve funkcije g1 , g2 , onda zbog pretpostavke g1 = g2 ( postoji)bar jedan element z B takav da je g1 (z) = g2 (z). Kako je f injekcija, onda je f g1 (z) = ( ) f g2 (z) , a to je kontradikcija sa f g1 = f g2 = 1B . (c) Ako za funkciju f : A B postoje funkcije g1 , g2 : B A takve da je (g1 f )(x) = x za svako x A , (f g2 )(y) = y za svako y B , onda je g1 = g2 . Zaista, za proizvoljno y B je g2 (y) A, pa je ( ( ( ) )) g2 (y) = (g1 f ) g2 (y) = g1 f g2 (y) = g1 (y) , to povlai da je g2 = g1 . s c () : Pretpostavimo suprotno, da je funkcija g sa svojstvima (1) i (2) jedinstveno odred ena, a da funkcija f nije bijekcija. Ako f nije 1-1, postoji x1 , x2 A tako da je x1 = x2 i y1 = f (x1 ) = f (x2 ) = y2 . Kako je onda g(y1 ) = g(y2 ) tj. g(f (x1 )) = g(f (x2 )), zbog svojstva (2) bilo bi x1 = x2 , to je s suprotno pretpostavci da je x1 = x2 . Ako f nije NA, tada postoji y0 B takav da se u njega funkcijom f ne preslikava nijedno x A, odnosno da za svako x A je f (x) = y0 . Neka je x0 = g(y0 ) A. Tada za y0 B zbog svojstva (2) je f (g(y0 )) = y0 , to je suprotno pretpostavci da je f (g(y0 )) = f (x0 ) = y0 . s

Primer 1.3. Nai inverznu funkciju sledeih funkcija: c c(a) f (x) = x2 x + 1 denisane za x > 1 2 ; 3 4 (b) f (x) = x2 6x + 1 denisane za x < 3. (b) f 1 (x) = 3 x + 8, x 8

Reenje. (a) f 1 (x) = s

1 2

+ x

3 4

,x

4

Parnost funkcije Definicija 1.6. Neka f : A R, gde skup A R ima osobinu da ako x A ondax A. Funkcija f je parna na A ako za svako x A vai f (x) = f (x), a neparna na z A ako za svako x A vai f (x) = f (x) . z

Istiemo sledea svojstva parnih i neparnih funkcija: c c Grak parne funkcije simetrian je u odnosu na y-osu, a grak neparne funkcije simetrian c c je u odnosu na koordinatni poetak. c Ako su f i g parne funkcije, onda su i funkcije f g, f g i f /g parne funkcije. Ako su f i g neparne funkcije, onda su funkcije f g neparne funkcije, a f g i f /g su parne funkcije. Ako je f parna funkcija i g neparna funkcija, onda je f g neparna funkcija.

Monotonost funkcije Definicija 1.7. Za funkciju f : R R kaemo da je : z(a) rastua, ako je tana implikacija c c ( ( x, y R) x < y f (x) < f (y) . (b) neopadajua, ako je tana implikacija c c ( ) ( x, y R) x < y f (x) f (y) . (c) opadajua, ako je tana implikacija c c ( ) ( x, y R) x < y f (x) > f (y) . (d) nerastua, ako je tana implikacija c c ( ) ( x, y R) x < y f (x) f (y) . Ako je funkcija neopadajua ili nerastua kaemo da je monotona funkcija, a ako je funkcija c c z opadajua ili rastua kaemo da je strogo monotona funkcija. c c z

Teorema 1.2. Neka je funkcija f strogo monotona funkcija koja preslikava segment [a, b]

na segment [, ]. Tada postoji inverzna funkcija f 1 koja preslikava [, ] na [a, b] i koja je takod strogo monotona. e

teoremi postoji inverzna funkcija f 1 funkcije f . Zaista, prema pretpostavci f je surjekcija. S druge strane, ako je x = y, recimo x < y, tada je f (x) < f (y), tj. f (x) = f (y), pa je f i injekcija. Dokaimo da je f 1 rastua funkcija. Kako je f rastua funkcija, za svako x1 , x2 [a, b] vai z c c z x1 < x 2 ili ekvivalentno f (x2 ) f (x1 ) x2 x1 . f (x1 ) < f (x2 )

Dokaz: Neka je f rastua funkcija na [a, b]. Ako pokaemo da je f bijekcija prema prethodnoj c z

Neka je y1 = f (x1 ) i y2 = f (x2 ), tj. x1 = f 1 (y1 ) i x2 = f 1 (y2 ). Tada prethodna nejednakost postaje y2 y1 f 1 (y2 ) f 1 (y1 ) .

5 to znai da je f 1 rastua funkcija. s c c

Neprekidnost funkcije Definicija 1.8. Neka je f : A R i a A. Za funkciju f kaemo da je neprekidna u ztaki a ako je cxa

lim f (x) = f (a) .

Ako su funkcije f, g neprekidne u taka a, onda su u taki a neprekidne i funkcije c c c f, f + g, f g, f g, (c R) . Funkcija f g je takod neprekidna u taki a, ako je g(a) = 0. e c

Kompozicija neprekidnih funkcija je neprekidna funkcija.

2. Kvadratna funkcijaFunkcija y = f (x) = a x2 + b x + c, a, b, c R, a = 0 naziva se kvadratna funkcija. Kvadratna funkcija je denisana za svako x R. Kriva u xOy ravni koja predstavlja grak kvadratne funkcije naziva se parabola. Ako je a > 0 parabola je sa otvorom nagore (sl. 1), a ako je a < 0 parabola je sa otvorom na dole (sl. 2).ya>0D 4a

yT(a,b)

a 0, kvadratna funkcija ima minimum = (slika A)

D 4a

koji se dostie za x = = z D 4a

b 2a

(ii) Ako je a < 0, kvadratna funkcija ima maksimum = b 2a ; (slika B)

koji se dostie za x = = z

6

Primer 2.1. Odrediti vrednost realnog parametra m za koju je zbir kvadrata korena jednaine cx2 m x + m 3 = 0 najmanji. Reenje: Prema Vijetovim pravilima za korene x1 , x2 date KJ je s x1 + x2 = m , t

Search related