Upload
gabi
View
158
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Elementarne funkcije. Napisala B o r k a J a d r i j e v i ć. Ponovimo:. Svaka strogo monotona funkcija je injekcija . Za svaku funkciju f : A , suženje f : A f( A ) je surjekcija . - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
ElementarneElementarne funkcijefunkcije
Napisala Borka Jadrijević
Ponovimo:Ponovimo:
• Svaka strogo monotona funkcija je injekcija.
• Za svaku funkciju f : A , suženje f : A f(A) je surjekcija.
• Ako je f : A strogo monotona na nekom intervalu I A, onda je suženje f : I f(I) bijekcija.
Ako je f : A B bijekcija onda vrijedi:
• Postoji funkcija g : B A tako da vrijedi g f = iA i f g = iB .
Funkcija g : B A je jedinstvena, označavamo je g = f -1 i nazivamo inverzna funkcija funkcije f.
• Graf inverzne funkcije f -1 je simetričan grafu funkcije f s obzirom na pravac y = x.
Osnovne elementarne Osnovne elementarne funkcije:funkcije:
i) Konstantna funkcijaii) Opća potencijaiii) Eksponencijalna funkcijaiv) Logaritamska funkcijav) Trigonometrijske funkcijevi) Ciklometrijske funkcije
Konstantna funkcijaKonstantna funkcija
f: f() = {c}
c
x
y
f(x) = c, c
y = c
Opća potencijaOpća potencija
f(x) = xr, r \ {0}
Napomena: ako je r = 0, onda je x0 = 1, za x 0, pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1.
Napomena: ako je r = 0, onda je x0 = 1, za x 0, pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1.
Razlikujemo slučajeve:
1. r = n
2. r = -n \
3. r = m/n \
4. r \
Potencije s prirodnim eksponentom
x
y
y = x y = x2
y = x3
f : , f() = za n neparan, f() = [0, ) za n paran
f(x) = xn, n
Potencije s cijelobrojnim eksponentom
oblika f(x) = x-n, n
x
y
y= 1/xy= 1/x2
y= 1/x3
Budući je x-n = , onda je f: \ {0} i vrijedi:
f( \ {0}) = \ {0}, za n neparan,
f( \ {0}) = (0,), za n paran.
nx1
Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) = x1/n, n \ {1}.
Budući je x1/n = onda je:
f : i f() = za n neparan,
f: [0, ) i f([0, )) = [0, ) za n paran.
n x
Nadalje, vrijedi:
za svaki x D(f) je (x 1/n )n = ( )n = x,
te za svaki y f(D(f) ) je (yn )1/n = = y.
n x
n ny
Primjeri:
1. n = 2
f(x) = x1/2
f: [0, )
f( [0, ) ) = [0, )
Neka je funkcija g1 : [0, ) [0, ) suženje
funkcije g(x) = x2.
Funkcja g1 je bijekcija.Definirajmo funkciju
f1: [0, ) [0, ) tako da je
f1(x) = x1/2.
Za svaki x [0, ) vrijedi
f1(g1(x)) = (x2 )1/2 = |x| = x,
te za svaki y [0, ) vrijedi
g1(f1 (y)) = (y1/2)2 = y.
x
yy=x
y=x1/2
y=x2
Dakle, f1 = g1-1
Uočimo:Suženje g2 : (-,0] [0, )
funkcije g(x) = x2 je bijekcija.
Definirajmo funkciju
f2: [0, ) (-,0] tako da je
f2(x) =-x1/2 .
Za svaki x (-,0] vrijedi
f2 (g2(x)) = - (x2 )1/2 = -|x| = x,
te za svaki y [0, ) vrijedi
g2(f2 (y)) = (-y1/2)2 = y.
f(x) = -x1/2
f: [0, )
f( [0, ) ) = (-,0]
x
y y=x
y=-x1/2
y=x2
Dakle, f2 = g2-1
2. n=3
Ako je f: tako da je
f(x) = x1/3
onda za svaki x vrijedi
f (g(x)) = (x3 )1/3 = x,
te za svaki y vrijedi
g(f (y)) = (y1/3)3 = y.
f(x) = x1/3
f:
f() =
y=x1/3
y=x3
y=x
x
y
Promatrajmo funkciju
g(x) = x3 .
Funkcija g: je bijekcija.
Dakle, f = g-1
Potencije s racionalnim eksponentom
• n neparan i m > 0, onda je D(f) = ,
• n neparan i m < 0, onda je D(f) = \ {0},
• n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ),• n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ).
oblika f(x) = xm/n, m/n \ .
Uz pretpostavku m , n , te M(m,n) = 1 razlikujemo slučajeve:
Napomena: xm/n := Napomena: xm/n := n mx
Primjeri:
f1(x) = x2/3, D(f1) = ,
f1() = [0,).
f2(x) = x-2/3, D(f2) = \ {0},
f2( \ {0} ) = (0,).
f3(x) = x3/2, D(f3) = [0,),
f3([0,)) = [0,).
f4(x) = x-3/2, D(f4)= (0,),
f4((0,)) = (0,).
y = x 2/3
y = x-2/3
x
y
x
y
y= x-3/2 y = x3/2
Graf od f1(x) = x2/3 se naziva “galeb”.
Graf od f1(x) = x2/3 se naziva “galeb”.
• za r > 0 je D(f) = [0,),• za r < 0 je D(f) = (0,).
Potencije s realnim eksponentom
oblika f(x) = xr, r \ .
Vrijedi:
x
y
r = 3
r = 2r = - 2
Vrijedi općenito: Inverzna funkcija (suženja) opće potencije je opet
opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je
f–1 (y) = y1/r , “kad god ti izrazi imaju smisla”.
x
yy = x
y = xr
y = x1/r
Eksponencijalna funkcija
f(x) = ax, a > 0 i a 1,
f: ,
f() = (0, ).
1 < a 0 < a < 1
x
y
x
y
y = ax
y = ax
Funkcija f(x) = ax , f: je strogo monotona i f() = (0, ). Dakle, suženje f1 : (0, ) je bijekcija.
Definirajmo funkciju: g loga : (0, ) , tako da vrijedi:
g(f1(x)) = loga (ax) = x, za svaki x ,
f1(g(y)) = a loga (y) = y, za svaki y (0, ).
a > 1 0 < a < 1
x
yy = ax
y = logax
y = x y = x
y = logax
y = ax
x
y
Dakle, f1-1 = g.
Logaritamska funkcija
f(x) = logax, a > 0 i a 1,
f: (0, ) .
f ((0, )) = .
1 < a 0 < a < 1
x
y
x
y
y = logax
y = logax
U primjeni su važne eksponencialne funkcije s bazom 10 - dekadskadekadska i s bazom e – prirodnaprirodna, gdje je e 2.71828... transcendentan broj, te logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski ilidekadski ili BriggsovBriggsov logaritamlogaritam i po bazi e, tzv. prirodni logaritamprirodni logaritam. Definiramo:
log10x := log x i logex := ln x .
Uočimo: 10, e > 1 (graf!!)Uočimo: 10, e > 1 (graf!!)
Trigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije
• sinus• kosinus • tangens• kotangens
Trigonometrijske funkcije su:
Namatanje pravca na kružnicuNamatanje pravca na kružnicu
0
x
O O’
T T’
T
T’
O’ x1
1
Namatanje pravca na kružnicuNamatanje pravca na kružnicu
0 T S
T’ = S’
x x+2π
1
1
O’
O O’
T T’
S S’
Uočimo: sve točke oblika x+2k , k , se namatanjem preslikaju u istu točku.
Uočimo: sve točke oblika x+2k , k , se namatanjem preslikaju u istu točku.
Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica
x
cosx
sinx (cosx,sinx)
1
1
pT
T
Trigonometrijske funkcijeTrigonometrijske funkcije
f(x) = sinx,
f:
f() = [-1,1]
f(x) = cosx,
f:
f() = [-1,1]
sinus kosinus
-1
1
2-
1
-1
/22
-/2x
y
x
y
tangenstangens
- /2
2-/2 x
y
3π/2-3π/2
y = tgx
Definiramo:
tg x := xcosxsin
f(x) = tg x, f: A , f(A) = , gdje je
A = D(f) = \ { x | cos (x) = 0},
tj. A = \ { x | x = + kπ, k }.2π
f(x) = ctg x, f: A , f(A) = , gdje je
A = D(f) = \ { x | sin (x) = 0},
tj. A = \ { x | x = kπ, k }.
kotangekotangensns
- /2
2-/2 x
y
3π/2-3π/2
y = ctgx
Definiramo:
ctg x := xsinxcos
Trigonometrijska kružnicaTrigonometrijska kružnica
Os kotangensa
Os tangensa
ctgx
tgx
x
1
1
Uočimo: Za x = /2 os tangensa i pravac pT nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran!
Slično za kotanges u x = 0.
Uočimo: Za x = /2 os tangensa i pravac pT nemaju presjek, što znači da tanges nije definiran!
Slično za kotanges u x = 0.
pT
Svojstva trigonometrijskih funkcijaSvojstva trigonometrijskih funkcija
sinsin coscos tgtg ctgctgPodručjedefinicije Df
\ {π /2 + kπ, k }
\ { kπ, k }
Slika f(Df) [-1,1] [-1,1]
Nul-točke x = kπ, k
x = π /2 + kπ,
k
x = kπ, k
x = π /2 + kπ,
k
Parnost neparna parna neparna neparna
Osnovni period 2π 2π π π
Predznak po
kvadrantima I, II, III, IV
+,+,-,- +,-,-,+ +,-,+,- +,-,+,-
Neke važnije veze između Neke važnije veze između trigonometrijskih funkcijatrigonometrijskih funkcija
sin2x + cos2 x = 1,
sin2x = 2 sinx cosx, cos2x = sin2x - cos2 x ,
sin2x = 1/2·(1 - cos2x), cos2x = 1/2·(1 + cos2x),
ctgx = 1/tgx
tg2x = 2tgx/(1-tg2x), ctg2x = (ctg2x-1)/2ctgx
sin2x = tg2x/(tg2x+1), cos2x = ctg2x/(ctg2x+1).
Ciklometrijske ili arkus funkcijeCiklometrijske ili arkus funkcije
Ciklometrijske funkcije su :Ciklometrijske funkcije su :• arkus-sinus• arkus-kosinus• arkus-tangens• arkus-kotangens
Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija.
Definirajmo: Arcsin: [-1,1] [- π /2, π /2] ,
tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], Arcsin(Sin x) = x, y є [-1,1], Sin(Arcsin y) = y.
x
y
Neka je Sin: [-π/2, π /2] [-1,1] suženje funkcije sin. Dakle, za svaki x є [-π /2, π /2], vrijedi sin x = Sin x. Funkcija Sin je bijekcija.
-/2 /2
y = x
Dakle, Sin-1 = Arcsin.
y = sinx
Neka je Cos: [0, π ] [-1,1] suženje funkcije cos. Dakle, za svaki x є [0, π], vrijedi cos x = Cos x. Funkcija Cos je bijekcija.
Definirajmo: Arccos: [-1,1] [0, π] ,tako da vrijedi: x є [0, π], Arccos(Cos x) =
x, y є [-1,1], Cos(Arccos y) = y.
Dakle, Cos-1 = Arccos.
x
y
y = x
y = cosx
arcsin: [-1,1] ,
arcsin x = Arcsin x,
arcsin([-1,1]) = [-π /2, π /2].
arcsinarcsin arccoarccoss
arccos: [-1,1] ,
arccos x = Arccos x,
arcos([-1,1]) = [0, π].
x
yπ /2
-π /2
x
yπ
π /2
Vrijedi:
f1(x) = sin(arcsin x),
f1:[-1,1] ,
f1([-1,1]) = [-1,1],
sin(arcsin x) = x.
f2(x) = arcsin(sin x),
f2: ,
f2() = [-π /2, π /2].
Za x є [-π /2, π /2] je
arcsin(sin x) = x.
y = sin(arcsin x)
y = arcsin(sin x)
x
y
π /2-π /2
-π /2
π /2
x
y
Vrijedi:
f1(x) = cos(arccos x),
f1:[-1,1] ,
f1([-1,1]) = [-1,1],
cos(arccos x) = x.
f2(x) = arccos(cos x),
f2: ,
f2() = [0, π].
Za x є [0, π] je
arccos(cos x) = x.
y = cos(arccos x)
y = arccos(cos x)
x
y
π
π
x
y
Neka je Tg : (-π/2, π /2) suženje funkcije tg. Dakle, za svaki x є (-π /2, π /2), vrijedi tg x = Tg x. Funkcija Tg je bijekcija.
Definirajmo: Arctg: (-π/2, π /2) ,
tako da vrijedi: x є (-π /2, π /2), Arctg(Tg x) = x, y є , Tg(Arctg y) = y
Dakle, Tg-1 = Arctg.
x
y
π /2-π /2
y = xπ /2
-π /2
y = tg x
Neka je Ctg : (0, π) suženje funkcije ctg. Dakle, za svaki x є (0, π), vrijedi ctg x = Ctg x. Funkcija Ctg je bijekcija.
Definirajmo: Arcctg: (0, π) ,
tako da vrijedi: x є (0, π ), Arcctg(Ctg x) = x, y є , Ctg(Arcctg y) = y.
Dakle, Ctg-1 = Arcctg.
x
y
π
π y = x
y = ctg x
arctg: ,
arctg x = Arctg x,
arctg () = (-π /2, π /2).
arctgarctg arcctarcctgg
arcctg: ,
arcctg x = Arcctg x,
arcctg () = (0, π).
x
yπ /2
-π /2x
yπ
Uočimo: Svako suženjeSink: [-/2 + k, /2 + k] [-1,1] , k є , funkcije sin je bijekcija, pa ima inveznu funkciju.
y = x
y = sinx
x
y
1
-1
-1 1
Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija!Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija!
Slično, budući su funkcije cos, tg, ctg po djelovima strogo monotone, postoje suženja tih funkcija koja su bijekcije, pa postoje inverzne funkcije tih suženja.
Primjer:
y = ctgx
x
yy = x
DefinicijaDefinicija::
Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.
Osnovna podjela Osnovna podjela elementarnih funkcija:elementarnih funkcija:
1.1. PolinomiPolinomi
2.2. Racionalne funkcijeRacionalne funkcije
3.3. Algebarske funkcijeAlgebarske funkcije
4.4. Transcendentne funkcijeTranscendentne funkcije
1. Polinomi1. Polinomi
Polinom n-tog stupnja, n {0}, je funkcija
Pn : , Pn (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0,
pri čemu su an, an-1, . . . , a1, a0 i an 0 za n .
Napomena: Ako je n = 0, onda je P0 (x) = a0 konstantna
funkcija.
Napomena: Ako je n = 0, onda je P0 (x) = a0 konstantna
funkcija.
2. Racionalne funkcije2. Racionalne funkcije
Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Qm(x) = 1 ), a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije.
Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Qm(x) = 1 ), a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije.
Racionalna funkcija je funkcija oblika
R(x) =
gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi n-tog, odnosno m-tog stupnja, redom.
( )
( )xQxP
m
n
Dakle, R : X , gdje je
X = D(R) = \ { x | Qm(x) = 0}.
• Ako oba polinoma Pn(x) i Qm(x) imaju koeficijente iz skupa racionalnih brojeva onda kažemo da je R = Pn/Qm racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima.
• Ako je Pn polinom n-tog stupnja, a Qm polinom m-tog stupnja i ako je n < m, onda kažemo da je R = Pn/Qm prava racionalna funkcijaprava racionalna funkcija, a ako je
m n onda kažemo da je neprava racionalna neprava racionalna funkcijafunkcija. U ovom slučaju se R(x) može prikazati kao
R(x) = St(x) + Tk(x)/Qm(x),
gdje su St i Tk polinomi t-tog, odnosno k-tog stupnja, redom, tako da je k < m.
Primjeri:Primjeri:
je racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima, dok racionalna funkcija
f(x) = 47
5
x2x41x3x2
πx1x3x2
4
23
g(x) = to nije.
1.1.
2.2. f1(x) = xx4
1x3x24
3
je prava racionalna
funkcija.f2(x) =
2x1xx2
2
24
je neprava racionalna
funkcija.Dijeljenjem dobivamo:
f2(x) =22x
532x2
3. Algebarske funkcije3. Algebarske funkcije
Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje se mogu dobiti komponiranjem općih potencija s racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s racionalnim koeficijentima.
Primjeri:
f(x) = je algebarska funkcija.
g(x) = nije algebarska funkcija.
5 37x2xx )(
2
35 )1x2x(
4. Transcendentne funkcije4. Transcendentne funkcije
Elementarne funkcije koje nisu algebarske nazivamo transcendentne.
Dakle, među ove funkcije ubrajamo eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i ciklometrijske, kao i većinu racionalnih (sve one koje imaju neki koeficijent iracionalan).
Važne transcendentne funkcije su i tzv. hiperbolne funkcije i area-funkcije.
Hiperbolne funkcijeHiperbolne funkcije
f(x) = sh x,
f: , f() = .
f(x) = ch x,
f: , f() = [1,].
sinus hiperbolni
kosinus hiperbolni
x
y
y = shx
x
y
y = chx
Definiramo: sh x := 2ee xx Definiramo: ch x := 2
ee xx
Napomena: Graf f(x) = chx nazivamo “lančanica”.
Napomena: Graf f(x) = chx nazivamo “lančanica”.
f(x) = th x,
f: , f() = (-1,1).
f(x) = cth x,
f: \ {0} ,
f() = (-,-1) (1,).
tangens hiperbolni
kotangens hiperbolni
x
y
y = thx
x
y
y = cthx
Definiramo: th x :=chxshx Definiramo: cth x :=
shxchx
th x =1e1e
x2
x2
cth x =
1e1e
x2
x2
Neke važnije veze između hiperbolnih Neke važnije veze između hiperbolnih funkcijafunkcija
ch2 x - sh2x = 1,
sh2x = 2 shx chx, ch2x = sh2x + ch2 x ,
sh2x =1/2·(ch2x-1), ch2x =1/2·(1 + ch2x),
cthx =1/thx
th2x = 2thx/(1+th2x), ch2x =(cth2x+1)/2cthx
sh2x = th2x/(1-th2x), ch2x = cth2x/(cth2x-1),
Ove relacije ukazuju na sličnost s trigonometrijskim funkcijama!
Ove relacije ukazuju na sličnost s trigonometrijskim funkcijama!
Area-funkcijeArea-funkcije
f(x) = arsh x,
f: , f() =
area-sinus hiperbolni
Funkcija sh: je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije sh nazivamo area-sinus hiperbolni i označavamo arsh.
y = arshx
x
y
y = shx
y = x
Može se pokazati da vrijedi
arsh x =
Može se pokazati da vrijedi
arsh x = 1xxln 2
arch: [1,) ,
arch x = Arch x,
arch ([1,)) = [0,).
area-kosinus hiperbolni
Neka je Ch: [0,)[1,) suženje funkcije ch. Funkcija Ch je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Ch označimo s Arch.Dakle, Arch : [1,) [0,).
y = archx
x
y
y = chx
y = x
Može se pokazati da je
arch x =
Može se pokazati da je
arch x = 1xxln 2
f(x) = arth x,
f: (-1,1) , f ((-1,1)) = .
area-tangens hiperbolni
Neka je Th: (-1,1) suženje funkcije th. Funkcija Th je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Th nazivamo area-tangens hiperbolni i označavamo arth.
y = arthx
x
y
y = thx
y = x
Može se pokazati da vrijedi
arth x =
Može se pokazati da vrijedi
arth x = x11xln
21
arcth: (-,-1) (1,) ,
arcth x = Arcth x,
arcth ( (-,-1) (1,) ) = \ {0}.
area-kotangens hiperbolni
Neka je Cth: \ {0} (-,-1) (1,), suženje funkcije cth. Funkcija Cth je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Cth označimo s Arcth. Dakle, Arcth: (-,-1) (1,) \ {0}.
y = arcthxx
y
y = cthx
y = x
Može se pokazati da vrijedi
arcth x =
Može se pokazati da vrijedi
arcth x = 1x1xln
21
Još neke važnije elementarne Još neke važnije elementarne funkcijefunkcije
Apsolutna vrijednostApsolutna vrijednost
f(x) = |x|,
f : , f() = [0,).
PredznakPredznak
|x| =
.0X,X
,0X,X
.0X,1
,0X,1sgn(x) =
y = |x|
y = sgn(x) x
y
x
y
f(x) = sgn(x),
f : \ {0} , f() = {1,-1}.
Vrijedi: sgn(x) =Vrijedi: sgn(x) =xx
Svaka sugestija ili primjedba je dobrodošla.
Borka Jadrijević
e-mail: [email protected]
URL: http://www.fesb.hr/~borka