DANIELATARNITA DI]MITRU BOLCU

ELEMENTE DE MECANICA$r

REZISTENTA MATERIALELORt

qffiEDITURA UNIVERSI'TA.RIA

Craiova, 2012

CUPRJNS

1. ELEMENTE DE ALGEBRj, VECTORIALAl. 1. Mirimi scalare gi mdrimi vectoriale.1.2. Sistem de referinld. Componentele unui vector1.3. Opera{ii cu vectori.I .4. Reprezenlarea unui vector intr-o baz6 oarecare1.5. Baza reciprocd a unei baze date1.6. Modificarea componentelor unui vector la schimbarea

sistemului de referinlS1.7. Sisteme de coordonate curbilinii1.8. Aplicalii..

2.REDUCEREA SISTEMELOR DE VECTORI2. l. Momentul unui vector in raport cu un punct... . .. ...2.2. Momentul unui vector fald de o axi......... .......2.3. Momentul reciproc a doi vectori................................2.4. Torsorul unui sistem de vectori.. . . .. . .

2.5. Axa centralh a sistemului de vectori. .. ... . .

2.6. Cazurile de reducere ale unui sistem de vectori........................2.7. Sisteme de vectori concurenJi... . .. .

2.8. Sisteme de vectori coplanari... . . . .. .

2.9. Sisteme de vectori paraleli. .. ... ... ..2.10. Aplicatii...

3.CINEMATICA PUNCTULUI3.1. Traiectoria.3.2. Parametrii cinematici ai miqcdrii punctului..3.3. Parametrii cinematici ai migcdrii punctului in coordonate

intrinseci..3.4. Parametrii cinematici in coordonate curbilinii.

3.4.l. Sistemul de coordonate carteziene..3.4.2. Sistemul de coordonate cilindrice..3.4.3. Sistemul de coordonate sferice..

3.5. Viteza gi accelera{ia areolari.3.6. Migcarea relativd a punctului

9l011

11

18

202226

3"1

394041

43

4445454649

61

62

63676768686972'783.7. Aplica{ii.

4. CINIiNIATIICA S[rrl,]iDLrn UI R.nG[D4.1, Delinirea s,.rlidu,lui iigid, . . . , " . .. . . . . . 894.2. Grade cle libertatc ia solidul rigid...... il94.3. Ma'cricea cle schimbare de bazd... . ".... .. ql4.4, UnghiLrrile lui Euier,... ", ".. 934.5. I,/iti:za gi aeceleraiia unghiulard- a solidului rigiC... ... ... .., .. g4

4.6. Distrib{ia de r'itezr gr accrleralii pentru solidul rigid......,._. 954.7" nrroprietlli a1c cAmpriiui de vitczc. "..,. " 984.8. Fioprietdli ale cimpul.ri de acceier:a{ii la solidul rigid.......... 104,1.9. hligci1ri par:Iiculare ale soliduiui Ligicl...... ... 106

'.1.9.1, h,{igearca cle transla{ie... 1054.9r.2. $rligcarea de rotagrc...... 107.1.9.3. Mige are a elicoidali... .. , .. 110.i"9.4. h{i;;carca plan-paialelir... I X2

4.9.5. rt{igcarca rigidulLii cLl uli punct lix... ... ... ... ... . i 19,1.i0,Aplrcatii... i22

5. G ll0lMETn{j1.4 })ilASISL'o,tij. L Uerrcr:rlit.lri. ..'r iiri1.: .

5, i.l. Axiomele dc nasa...5. 1.2. Varictili gcomciric.r materiale......

5.2.'ientnrl cic rnas[,...."...,...5..1. .-'pric.5!il. cr.,t,rurLjr J. rn isi...' -i. '. r-ri:iu r.tr rrtf ri lt Lorlui; omogL'nr

5.j I et,rerrrejc iL;].' r'.-:lrl-tptrs..

.i.{r. AIii. rrlii

6. DllN' r{}l'{liL-A i" rLI t\C]l il L. U i h[A. ll E RnA. [-5.1. l'{olirini lunciamentale .... 151

5.1. l. For{a....... l5l5.1.2. Cuplul,.... I516.i.-:. [-ucru meeanic. Fotenlial. Puteic... .... . . . 158

6.2. Axiornele mecanicii punctului material. 1616.3. Tipuri de probleme in dirnairica puncti;.'-: -.. . : ., 1(j36.4. I'coreme fi-indamentale in dinamica Dil:..... .. , ..i... s,

113

tJ3't34

116

lJ!l

140

I /i5

148

siste mclor de puncte materiale,.... . .

5.5. Dinamica punclului niaxerial liber .

6.5.1. Ecuaiiile difelen{iale ale mig,:i:::liber'.......

6.5.2. Mipirncr unur pu;rct nrei,.--

165

111r r , r'.-.arerirll

112.: . .-.,.! unei forle

constante.6.5.3. Cazuri particulare de migcdri ale punctului material

liber..................6.6. Dinamica punctului material supus la legdturi fErd frecare...

6.6.1. Punct material pe suprafald IErE frecare........6.6.2. Punct material pe curbA fbrd frecare........

6.7. Dinamica punctului material supus la legdturi cu frecare.....6.7. l. Punct material pe suprafatd cu frecare......,...6.7 .2. Punct material pe curbi cu fiecare..........

6.8. Dinamica miqchrii relative a punctului material.6.9. Aplicagii..

7. STATICA PUNCTULUI MATERIAL7. l. GeneralitSli7.2. Statica punctului material liber...................7.3. Statica punctului material supus la legdturi fhrd frecare.......

7.3. 1. Echilibrul punctului material pe suprafald lucie............7.3.2. Echilibrul punctului material pe curbd fbrf, frecare.......

7.4. Statica punctului material supus la legdturi cu flrecare..........7.4.1. Statica punctului material pe suprafald cu lrecare.........7.4.2. Statica punctului material pe curba cu frecare...............

7.5. Echilibrul punctului material latd de repere mobile7.6. Aplicatii.

8. STATICA SOLIDULUI RIGID8.1. Statica solidului rigid liber..........8.2. Statica solidului rigid supus la legdturi lbrd frecare...........

8.2. 1. Ecua1iile de echilibru. . . . . .

8.2.2. Legdturile rigidului............8.3. Statica solidului rigid supus la legdturi cu frecare. .. . .. ... ,..8.4. Echilibrul sistemelor de rigide.....................8.5. Grinzi cu zdbrele..........

8.5.1. Defrni{ii. Ipoteze...... ... ,.8.5.2. Metoda izoldrii nodurilor........................8.5.3. Metoda sectiunilor (Ritter)8.5.4. Determinarea deplasdrilor nodurilor la grinzile cu

zdbrele plane

173

lui rigid.r solidul rigid.

solidul rigid.

material.rlui material gi

ctului material

898991

93949698

104

106

106

107

il0|2l19t22

I JJ.IJJt34136138

140145r48

1s7157

157

158

161

163

233233234235

178

182t82184

188

191

195

186

187

20t202202203204206207209212214

222

225229232

165

17t 235237

cliunea unei fo4e172

8.6. AplicaJii..

-.<

9. INTRODUCERE IN REZISTENTA MATERIALELOR9.1 .GeneralitAli9.2.No!iuni de Rezistenla malerialelor.......

9.2. l.Clasifi carea materialelor....9.2.2.Clasifi carea corpurilor.......9.2.3. Clasificarea forlelor.........

9.3.Forfe interioare sau eforturi sec{iona1e..........9.4.Tensiuni qi deforma1ii.....

9.4. l.Tensiuni...9.4.2.Deplasiri gi deforma1ii......

9.5.Legdtura intre tensiuni qi deforma1ii......9.5. LCurba caracteristicd a materialelor....9.5.2.Curbe caracteristice ale materialelor care respectd legea

lui Hooke..........9.6.Contrac{ia transversald.......

9.6. l.Legdtura dintre e gi r1.................,,.,...9.6.2.VariaJia secliunii transversale.......

9.7.Rezistenle admisibile gi coeficienli de siguranfi......9.8.lpoteze de bazi in rezisten{ar materialelor.......

2532532532542562572s92s9260261

26]1

263266267267268269

lO.REPRNZENTAREA DIAGRAMELOR DB EF'ORTURI

l0.l.Algoritmul de reprezentare a diagramelor de eforturi labare.. 2jll0.2.Regulile de calcul ale eforturilor secfionale......... 272l0.3.Rela1ii dif-eren{iale intre efbrturile sec{ionale gi intensitatea

sarcinii distribuite la bare drepte................ ...... 273lO.4.Reguli de reducere a incdrcdrilor..... .. .......... 275l0.5.Diagrame de eforturi in bare curbe..... ............ z.'g

10.5. l.Relalii dilerenliale intre eforturile seclionale giintensitatea sarcinii distribuite la bare curbel0.5.2.Reguli pentru trasarea diagramelor de eforturi in bare curbe. . . ...

II.CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECTIL\ILORPLANE

l1.1.Definilii qi formule generale de calcul....I l.2.Varialia momentului de iner{ie cu translsl:: -.i:. _-:

278280281

301

303

.ERIALELOR

r care respectd legea

suranfd.r-................................

:EFORTURI

lr de eforturi la bare..ale............................nale gi intensitatea

! SECTIUNILOR

2s3253253254256257259259260261

261

263266267267268269

327328329

330330332333334

I l.3.VariaJia momentelor de ine4ie in raport cu rotatia axelor decoordonate........ 304

I l.4.Caracteristici geometrice ale sectiunilor plane simple ........... 306I 1.5.Caracteristicile geometrice ale secjiunilor plane compuse 3 13

11.6. Aplica1ii... ...,....................... 315

12. SOLICITARI AXIALE SIMPLEl2.l.Tensiuni la solicitdrile axiale simple.....l2.2.Deformalii gi deplas[ri la barele drepte solicitate axial.........l2.3.Energia de delormatie la intinderel2.4.Tensiuni 9i deformatii la bare solicitate axial lindnd cont degreutatea proprie .. . ... ... .

12.4.1. Bare de secfiune constantAl2.4.2.Bard de egald rezistenid...........12.4.3. Baft cu variaJie in trepte a secJiunii transversale.........

l2.5.Aplicatii. . . .

13. SISTEME STATIC NEDETERMINATE SOLICITATEAXIAL

13.1.Cazuri de sisteme static nedeterminate solicitate axial .......13.2.Echilibrul static nedeterminat al solidului rigid legat prin

bare drepte articulate la capete............13.3. Aplicatii

14. CALCULUL CONVENTTONAL AL BARELOR LAFORFECARE

l4.l.Tensiuni Ei deformalii 373l4.2.Probleme de calcul al imbindrilor.... 375

14.2. l. Dimensionarea buloanelor solicitate la intindere....... 37 5

14.2.2.Dimensionarea buloanelor solicitate la forfecare........ . 37 6l4.2.3.Bulonarea tablelor........... 37714.2.4. imbindri cu pene.............. 37814.2.5. Imbinhri cu nituri............ 380

14.3. Aplica{ii... 385

15. SOLICITAREA DE NASUCNN A BARELOR DREPTE15.1. Calculul momentului de risucire15.2. Tensiuni in bare de sectiune axial-simetricd..

271272

34r

3s0356

27327s278

27828028t

30t

391

391393

fia axelor de

303

I 5.3.Deforma1ii la rdsucire.

l5.ri.Energia d,- i.Lercrrnarc ia ril;r-rcire......,."" 3g4i5.5.Calcuiul arcr.r'jLcr eiiincliicr: elicoicj;lle .......... Jg415.6. Risucirea batreloi cLi sc.liLLne dir:ptunghiulari )L)(:l5.7.F."isue ilea profileloi subqiri incliise... 3,),ilj.8.lP'iste irea pi'ofiie lor subliri clesr:hise , 3g.".!,

15.9. ,_4.piica;ii... .t ttg

llri;'.S0h-llClllAlidl0,r\. Dtr 1i.'!"{_t\OV{}iERit a, E,,liitiE ,r0li,. llrrL.tI:art.t.i!i6. i Incovoierca puii a

.bar:eloi',Jiepic..,,.........,.,... 4tJt)

16,2 inccvoierea simni;l a bareior irlpte.... Ill1r.:.3.'rrrci3ia ilc detllt'rnaiie la iqcc i'oiri"r..... 4',.115.4,i-lelirirnaL;ilr: bareli;;-,.irr;ptl lolilil:iie !a ?iirovcicre......"".,..... t,i-i

16.i1. i.Me'lccic rcrlilr clltriliil de l',:i.naiiilcr bar.elor soliritilteia incoycieri-',.... 4l li

16.5..,iplrr:e';ii.... ,t,':,{)

ilT.llTAilliil,ll'l'r\TriiA .E::tIlniLiBF"it_ri,UI fl1,l:Ij't't{--- ;\j_ BAl-ttulL,{r-,r_-r,DR.EN''IIE

l7.l.liotiuni i i.ro.iulrlivrj",".... 4r5111.?. iurn-rula iiri IjLrlcl pcriir.,i e alcuiLii lbr1ci cntrcc dc f iambaj

ia rrirr:le dli:lric coriru irnilie .............. ,li6I l.11.iior:nrr-ile-.le'l etnia-,'r-i-izisinsli pentru lianbajr.ii pla:;iic........... 4.,.,a

17.;1..i.'alr:Lrli-ri la llairrba.i a1 balr:lor r:ompr"!mate...,.", ,:i.:5 g

1'/.,1.1"h.4eiorjtr cr*ilcir:ntulrri ,.ii: flarnba-i......... ri6017.5. rtpiicaii:... rjir I

,tr57

Fiulara....

\RELOR DREPTE

incovoiere...............ilor barelor solicitate

rNC ALBARELOR

critice de flambaj

6ajul plastic..

394394396397398398

Cap.l. Elemente de algebri vectoriali

1.1. Mirimi scalare gi mirimi vectoriale

in mecanicd exisld tndrimi care pot fi caracterizate printr-un singi''nundr, ele fiind cunoscute sub numele generic de mdrimi scalare.Lunginea unui segment de dreaptd, aria unei suprafete, volumul unuidomeniu, masa unui corp se exprimi printr-un numir, acelagi in orice sistemde coordonate.

Pe l6ngi aceastA categorie de mirimi, existl gi alte tipuri de mirirni,care necesitl, pentru caracterizare, mai multe nwnere. Marimilecaracterizale complet prin trei numere se numesc mdrimi vectoriale. Inaceasta categorie putem aminti:caracteristicile unei forJe, ale unei viteze, ale

unei acceleralii, etc. Marimile caracterizate complet printr-un numdr maimare de numere se numesc mdrimi tensoriale.

Un vector este o entitate matematicd care este rcptezenlat geometricprintr-un segment de dreaptiAB, pe care s-a definit sensal de parcurs de laA cdtre B (fig. 1.1).

409413

417417

418430

455

456457458460461

467 simbolizat grafic prin sdgeatieste caracteriza! de urmltoarele

Fig. l.lJ --)

Ca urmare, un vector a = AB,deasupra literei ce desemneazl mdrimea,elemente:. Punctul de aplicalie sau originea A .

. Suportul s :u, care este dreapta definitd de punctele A gi B.c Sensul de parcurs, de la A la B.c Mdrimea sa.u modulul, care este egal6 cu lungimea segmentului AB .--) - l-+l

Mirimea vectorului a se noteazd lalsau

a.

Vectorii pot fi :

\,'ectot i .luite.,i,i)t.i sa1-t \,)ectot. gl i.ra n ti-crv;t: p{_rt i1vci1 lttrnelul cle

aplicalie oriuniz tr Lrt:ii.ata- /! iJ

-t.eciori. liberi , car:c au acclagl cl'ect jnt!iii:rent cle poziiiii in spa,ltr.r a

punctului r1e aoiical:c, dilcii sr pdstrce?.i supofiu! ptirt:!t,l ,:| tt

dreapti data, ,rr:.,rsirl ;i norinca vectonrli;i rirnininil ctt:elt,tt;.i.

l,:r'ontl este vec.a-'-ii care dcfiltesic r-iirec{ur ;i :e'sLrl ,.rner rlt.i:plr si

care are rnarirnca egali cu Lltiitalca.

,i .2" Sistcam riic ri"e I'e rilltfs. Cortii;oLile..-.tie:ie unljl ,i,ect{.itr

Iu inec:ri:iea ciasici,. s;ialiui este iiicii'rcrl:;ii,ral, absotLit. i.cicircnrler-,tdc nraiierie 5i dc tirnp. in care s-a ci_cfiuii liclrica cr:cliiiianil

Se consideri trci drcpie i:l spa{rLr, cone,.trL:r)iu in our,:tul {),per.pendicuiale rioui clirc dor-ri {fig. 1.2). i.,c fieca'r: dinii.,: ecle ii;i ih,ci:rilr scrrLege un scns dc paicurs astf!l i'ei1 sir se '.rbiina r:' lricrir-ir lic sc.,,r dir'i.cicare se i,:1 numi .rl-qle*; de rc./ertnii !;trtt.rtpa!. sttt trit,r!i.tt t!t rcltt.inri.i.

ir.i pLrnciui o, ne ticcare,lli-;;,j" sisrcmrilLri rir ir1enu1i. sc al,jgccilc uit vrci()r:, rle mirimc egali'. cit r,rititalea, avdntl lcelagr sens de parcurscu axii re:pectiva. Vectorli astiel tlelinill sutt v"-rsorij ccior trer rxc ;i se

:roteazir i , j , l. Oricc veclor rapcrtat 1a reper.ul D>i.rz se 1tu,rLr.: ril,Liur"r

'i:'r lirnclie de v*rsorii i , .i , k . Frs vectorui a cu t_.rigi.ea iir pii'erultl, si tle ;i , ;r. 5i al -, ;rllrponcnicie salc pc ccle lrci arc als sjstcrrr.iluii I' i ,

0q'z

a se poaic scfie -!rib fbrnra:{n acest caz yeclorul

I{]

at ti-cue pot avea punctul de

diferent de pozilia in spaliu a

t€azi suporrul paralel cu o

rinfurd aceleasi.

direclia gi sensul unei drepte si

[etrtele unui vector

:rsicnal, absolut, independenta qrclidiand.

concuente in punctul O,ffie dintre cele trei drepte seFni un U-iedru de sens directvt triedru de referinsd.

Geometric, modulul vectorului ? este

paralelipipedului ce are laturile egale cu a. a,relaJia:

(1.1)

reprezentat prin diagonalagi a, ti se calculeazd cu

-+ -+ -) -+a =al i+a2 j+a3k

(1.2)

-+Daca vectorul t este liber, atunci este suficient sa se cunoasci cele

-)trei componente ale sale pe axe. Daci t este vector /eg4l, atunci trebuiecunoscut gi punctul de aplica1ie (deci, cele trei coordonate scalare), iar dac6este vector alunecdtor, trebuie cunosculi inci doi parametri ce definescdreapta suport.

1.3. Operafii cu vectori

Pentru aplicalii, este necesard definirea operaliilor pentru vectoriiliberi, iar, legarea vectorilor de punctele de care se alaq'eaza va fi utilizatiprin chiar semnificafia lor. _) ,_) _) -)

l. Vectorul nul, esle vectorul 0 =0 i+0 j+0k. In cazul

vectorului nul, exfiemitAlile vectorului coincid. Din relatia (1.2) rezultd c5

modulul vectorului nul este zero.

2. Egalitatea a doi vectori liberi. *)Doi vectori liberi a

-) -+ -+ -+b =bl i +b2 j +b3 k suntegalidaci ar=b'ar=br.a, =br.

3. Adunarea vectorilor liberi.-+ -+Suma vectorilor liberi a gi b este datd de relaJia:

tl ^l*^l*ul

I

emului de referinli se aleserind acelagi sens de parcu-rsversorii celor trei axe gi se

erul Oxyz se poate exprima-+a cu originea in punctul

cele trei axe ale sistemului

b forma:

-) -+ -+=ari+arj+ark9i

l1

I L I L l,.i+ ij -',ri , ' a.,2 .:, r a.. ii +ri-) -).-(r.. +b-; ; +11, tl'r- I r

.

Adunarea ..'e ciorilor iibi:!:i

+ia1+ir.') k

islc asociairVa ;i corrruia'r ivi.

(1 3)

Liraf ,

:r-{illirare a uecroiii,:;: :r t'ar:i: cu reg'!-rla 'p:ralel.gran-ruiiri (ijt. i.:,)

;,:i9.. 1i.i/.Llunalt, vrrtoiil{lr iiJ:e Llr'mirioiirilr prop riei:i1r :

i ... , , ..'t, :'I

floinutlriiv itri..:a. :l -i ir .. 1.r + a ;

)i1++)'a+ 0 = 0-- a'- a , rtllCc il i:sic vcciot,ll tiiti"

-f';. t; . .'., .r jii,/\/,\ I'::\, ) \ ,

r'!ce:te piopiri,'il.;i di.:i-non:;';lr:aza cii utullitrii:lt i e,-illilor Libi:i i.

?;lll.cuilii r:t1 spt:t:tit, dc iitiunlli; i'tr'mc:rzit rrn gi-uit abcLilrr.

,:t. .f:i tn:: Llircr-; u;il.! \)e(;i.ti r.:i; ii;t:;r:u!t;!.i

-Da';ii sc esnsi{lcrar sc:Lllrui m " aiur,ci vt.ttir-ii ,ibei: :-rr r,l se

caic,;1ec-;.:;it c u- rei:rtii;:

-,t' -j11' ;l - 111i1 i +,'l:

.

(l 1)

Irmaloarelc ir-(.opr'ic iati i:

r + I']ti! . i.

liirir.iul{rrea LlnLri v€ctor cu Lrr Jral:ir 3rr-l' '; / ;lti,t lF I l- ] I il I - 1l-l ll' :.\ttl

t2

-) -)'2 j+b3 k

-+k

iativd gi comutativl.ramului (fig. 1.3).

(t.3)

Grafic,

-) --+. ma+nn =(nr+n) a

--) -) 1-+ -+\. m a+m b =ml a+b Itl

-+ (t -\ -) --) -) -+a.[u+c

)=a.b+a.c/ -)\ / --)\ -+ -)lma llnb l=m.n.a.b:\. i\ )

t tl-+ -) l-+lA.a = l1llt

unde m gi n fiind scalari oarecare.

Aceste proprietdti demonstreazl cd mullimea vectorilor liberiformeazd un spafiu vectorial peste corpul numerelor reale.

-+ -). m.a = a.m-t -+

r l.a = a

5. Produsul scalar al vectorilor

Produsul scalar al vectorilor liberi ? 9idefinit prin:

r t=ltl ltl "".[r,t)

(l s)

-+b esle un numdr care este

(1.6)

prieti;i:

I

t'

nullimea vectorilor iiberi,rp abelian.

I nul;-ta , asfel incdt:

i vectorul liber

(l 4)

niloarele proprieteti :

-)lna se m;neR (17)

/-) -+\unde cos[ a ; b

J este cosinusul unghiului lormat de dreptele suport ale

-) -+celor doi vectori, a gi b.

Pentru produsul scalar al vectorilor surfi valabile proprietilile:-) -) -) --)a.b = b.a

? ? = o, ".t ll = 0 '* l?l

= 0 sau dacd cei doi vectori sunt

perpendiculari;

l3

-?+Frcdusul ilcala: a. b poate Ii un numir pozittv sau negativ, du1licum unghtul ijntre cci doi veclori esre nrai r:iic sar: tnai rnare Cecit

f ,)J" h I ccle ll-\.;i( 1 r ,,r lr-gJ.:J ,j a--,

L

a\ )

l crru u.Ui \ ,rc Llrc..r,rJ; er,. llrril. ,1 , er':u..,i .r ;

dacilvectorii a gi b sunt parale1i. atunci procusul loi scalaL sccomporii ca un prodLrs obigni,ril intre scaiari.

Ilcoarece, coqii:rni .lcfiniiiei (1.6), tt l- ,t ? -;) )-\ rr

-)i - I j - k.h = l. s* obline er.presia pr'otlu-sLrlui scnlar.:

L.2,

- + /-t, a.h -rpr ]6 j.i1,i3.r' -l I,\ )

),' .i)l a l,I]' I ); t-.

l,' lu

L -{l si

--) -\a -b =a.!;,+irbr+arb,,tiu ajutomi deiiniliei (i.6) sc poarc calcLrla,

b:(''

crrsl .l I

i 1 "q)

u;igliiul dinrt e tlor veciot.i

I j 'r)

orrgnc. Itr od rrsul

arb care cste

, cu sclisul clat de

rniilirrr:a iur li inri

6. Protlu.tul t,ecltsriul u. tloi veclori.

Se consideli vectorii ii pr ii ai'inc1 acecapi)>

vcctorial ai vectoriior a 9i b esie un l,e.tor. notal) -,t

perpendicislt:Lr pe plunwl dcteiminat cle vectoiii a ;r bJ. j.

re;;ulu Suruhului drept lt rat-irca de la a la b (frg. 1 .4)datir de rela;ia:

F. nl=Fi l?1

,,"[?,?)

t4.

(1r0)

rrmir pozitiv sau negativ, duD6te mai mic sau mai rnare de;t

+\I, I este proieclia onogonala a

)-

torul a';

ahuci produsul lor scalar sealan--) -) -+ -) _+ _-)

'' j=i k= j.k=0 riprodusului scalar:

(1.8)

cula unghiul dintre doi vectori

/-+ -+\unde sinl a ;b I este sinusul unghiului fomrat de dreptele suport alett\./vectorilor a $i

Fig. 1.4

Produsul vectorial a doi vectori are proprietigile:-+ -+ -+ --t. ax b =- bx a (anticomutativitatea produsului vectorial)r +\ r +\ /-+ -)\o lma lxlnb I=m.n.l axb l; rnlne R\ ,/ \ / ( I-+ r+ -+\ --) -) -) -+. axl b+c;=axb+axc (l.ll)\i-+ -+ -)

o ax a = 0--) -+ -) l+l l_+l. ax b = 0 dacd lal=0 sau lbl=O ruudacivectorii suntparoleli.

||Modulul produsului vectorial ?t ? este egal cu aria

paralelogramului ce are ca laturi cei doi vectori.

Deoarece, conform definigiei produsului vectorial,--) -+ -+ -) -) -+ -) -+ -) -) -+ -+ -+ixi= jx j =kxk=0, ix j =k, ixk=- j-+ --) --) --) -) -+ -) -+ -+ --) -) -)jx i =-k, jxk=i,kxi= j,,kx j =-1se poate arAta ca pentru calculul produsului vectorial, se poate folosi relatia:

-)b.

(l e)

d aceeagi origine. produsul-+ _+

:tor notat axb care este--t -t; a gi b , cu sensul dat de

(fig. 1.a), mdrimea lui ilind

(r.10)

t5

l-+ --) -+lli j kl

= I., u2 .rl

lot bz orl

/-) -+ -+\la;b;c l=o\/

-) --t -+ -t -+c dacda+0;b*0; c*

-+ -)ax b ( r. l2)

-+c cu punctele de

-) -+ -+a, b gi c notat

7. Produsul mixt. Fie vectorii liberi?,? qi

aplicalie in punctul O. Produsul mixt al vectorilor-) -) -)( a ; b ; c ) este prin delnilie, un numdr dat de:

/-) -) -)\ --; ( -+ -+)

la;b;cl=alu.cl\/\,J/-+ -) -)\ 1", uz ull

la;u;cJ=lu, bz orl

l"r '2 trlProdusul mixt are urmitoarele proprietati:

o produsul mixt este permutabil:f -+ -+ --)\ /-) -+ -)\ /-) --) -)\Ia;

b; cJ=[., "; uj=lur c, aJ

r dacicelpufin doidintreu."ton ?, ?,?

Relalia ( I . 13) poate fi dezvoltati cu ajutorul determinanlilor:

(1.r3)

( 1.14)

(l.rs)

sunt paraleli, atunci:

-+0 gi nu sunt paraleli, atunci:

r-+ --) -+\ *) _+ _)din I a;b;c l=0 rezult[ cI vectorii a, b, c strnt coplanari;\.//-+ -+\ - /+ -+\.la*bl;=-l b'"1.:lll. lf+ -+\ - - /-+ --+\. lu"b l.=;lu*c l;\/t/

T6