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Elementi di Teoria dei campi
Complementi di Fisica per Scienze della Terra
FGarufi 2008-09
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
2
Definizione di campo
bull Se una quantitagrave fisica ha un valore definito in ogni punto dello spazio o porzione di esso si definisce un campo di questa quantitagrave
bull Se la quantitagrave egrave scalare (temperatura pressione potenziale elettricohellip) il campo egrave scalare se vettoriale (velocitagrave forzahellip) il campo si dice vettoriale
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3
Campo Scalare
)()(lim MM
MUMUU
MM
bull Un campo scalare egrave definito come una funzione U(xyz) del punto di coordinate spaziali x y z
bull Per es Un corpo riscaldato dagrave un campo di temperature Il valore della temperatura ha un valore definito in ogni punto del corpo e puograve variare da punto a punto
bull Se tracciamo una linea in una direzione l attraverso il punto M e consideriamo il punto adiacente Mrsquo definiamo la derivata del campo rispetto alla direzione l come
[U(Mrsquo)-U(M)]MMrsquo e possiamo scrivere
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4
Campo Scalarebull In ogni punto crsquoegrave unrsquoinfinitagrave di derivate in ogni
direzionema possono essere tutte espresse in funzione delle derivate rispetto alle direzioni di x y e z
)cos()cos()cos( zz
Uy
y
Ux
x
UU
bull Avremmo potuto esprimere la derivata lungo una qualsiasi curva s che attraversa M invece che una retta e dunque
ds
dz
z
U
ds
dy
y
U
ds
dx
x
U
s
U
bull Le derivate delle coordinate rispetto a s sono i coseni direttori della tangente alla curva s nel punto M
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5
Superfici di livellobull Consideriamo le superfici caratterizzate dalla
proprietagrave che in ciascun loro punto il campo scalare U(M) ha lo stesso valore costante C Queste sono la famiglia di superfici di livello U(M)=C definite dalla costante C Per esnel caso del corpo riscaldato le superfici di uguale temperatura
bull Sia S la superficie di livello che passa attraverso il punto M Prendiamo 3 direzioni perpendicolari attraverso M la normale alla superficie n e le direzioni t1 e t2 sul piano tangente Siccome U(M) egrave costante lungo tutti i punti di S
021
t
U
t
U
Dunque prendendo una qualsiasi direzione l saragrave d
dn
n
UU
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6
Gradiente
Se tracciamo un vettore in direzone di n di modulo partU partn la cui proiezione in una qualsiasi direzione l dagrave la derivata di U rispetto a l questo definisce il gradiente del campo scalare U
)()(
MUgradMU
Dove con gradl U si egrave indicata la proiezione di grad U su l
La direzione di grad U(M) egrave sempre quella normale alla superficie di livello nel verso in cui U(M) egrave crescente
Dunque il gradiente di uno scalare egrave un vettore normale alle superfici di livello
UU
MUgradU )(Avendo introdotto lrsquooperatore differenziale nabla kji
zyx
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7
Gradiente esempio grafico
I=10
I=8 I=5 I=1
l
n
AB
AB
AIBII )()(
C
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
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11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
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12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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2
Definizione di campo
bull Se una quantitagrave fisica ha un valore definito in ogni punto dello spazio o porzione di esso si definisce un campo di questa quantitagrave
bull Se la quantitagrave egrave scalare (temperatura pressione potenziale elettricohellip) il campo egrave scalare se vettoriale (velocitagrave forzahellip) il campo si dice vettoriale
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3
Campo Scalare
)()(lim MM
MUMUU
MM
bull Un campo scalare egrave definito come una funzione U(xyz) del punto di coordinate spaziali x y z
bull Per es Un corpo riscaldato dagrave un campo di temperature Il valore della temperatura ha un valore definito in ogni punto del corpo e puograve variare da punto a punto
bull Se tracciamo una linea in una direzione l attraverso il punto M e consideriamo il punto adiacente Mrsquo definiamo la derivata del campo rispetto alla direzione l come
[U(Mrsquo)-U(M)]MMrsquo e possiamo scrivere
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4
Campo Scalarebull In ogni punto crsquoegrave unrsquoinfinitagrave di derivate in ogni
direzionema possono essere tutte espresse in funzione delle derivate rispetto alle direzioni di x y e z
)cos()cos()cos( zz
Uy
y
Ux
x
UU
bull Avremmo potuto esprimere la derivata lungo una qualsiasi curva s che attraversa M invece che una retta e dunque
ds
dz
z
U
ds
dy
y
U
ds
dx
x
U
s
U
bull Le derivate delle coordinate rispetto a s sono i coseni direttori della tangente alla curva s nel punto M
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5
Superfici di livellobull Consideriamo le superfici caratterizzate dalla
proprietagrave che in ciascun loro punto il campo scalare U(M) ha lo stesso valore costante C Queste sono la famiglia di superfici di livello U(M)=C definite dalla costante C Per esnel caso del corpo riscaldato le superfici di uguale temperatura
bull Sia S la superficie di livello che passa attraverso il punto M Prendiamo 3 direzioni perpendicolari attraverso M la normale alla superficie n e le direzioni t1 e t2 sul piano tangente Siccome U(M) egrave costante lungo tutti i punti di S
021
t
U
t
U
Dunque prendendo una qualsiasi direzione l saragrave d
dn
n
UU
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6
Gradiente
Se tracciamo un vettore in direzone di n di modulo partU partn la cui proiezione in una qualsiasi direzione l dagrave la derivata di U rispetto a l questo definisce il gradiente del campo scalare U
)()(
MUgradMU
Dove con gradl U si egrave indicata la proiezione di grad U su l
La direzione di grad U(M) egrave sempre quella normale alla superficie di livello nel verso in cui U(M) egrave crescente
Dunque il gradiente di uno scalare egrave un vettore normale alle superfici di livello
UU
MUgradU )(Avendo introdotto lrsquooperatore differenziale nabla kji
zyx
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7
Gradiente esempio grafico
I=10
I=8 I=5 I=1
l
n
AB
AB
AIBII )()(
C
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
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11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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3
Campo Scalare
)()(lim MM
MUMUU
MM
bull Un campo scalare egrave definito come una funzione U(xyz) del punto di coordinate spaziali x y z
bull Per es Un corpo riscaldato dagrave un campo di temperature Il valore della temperatura ha un valore definito in ogni punto del corpo e puograve variare da punto a punto
bull Se tracciamo una linea in una direzione l attraverso il punto M e consideriamo il punto adiacente Mrsquo definiamo la derivata del campo rispetto alla direzione l come
[U(Mrsquo)-U(M)]MMrsquo e possiamo scrivere
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4
Campo Scalarebull In ogni punto crsquoegrave unrsquoinfinitagrave di derivate in ogni
direzionema possono essere tutte espresse in funzione delle derivate rispetto alle direzioni di x y e z
)cos()cos()cos( zz
Uy
y
Ux
x
UU
bull Avremmo potuto esprimere la derivata lungo una qualsiasi curva s che attraversa M invece che una retta e dunque
ds
dz
z
U
ds
dy
y
U
ds
dx
x
U
s
U
bull Le derivate delle coordinate rispetto a s sono i coseni direttori della tangente alla curva s nel punto M
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5
Superfici di livellobull Consideriamo le superfici caratterizzate dalla
proprietagrave che in ciascun loro punto il campo scalare U(M) ha lo stesso valore costante C Queste sono la famiglia di superfici di livello U(M)=C definite dalla costante C Per esnel caso del corpo riscaldato le superfici di uguale temperatura
bull Sia S la superficie di livello che passa attraverso il punto M Prendiamo 3 direzioni perpendicolari attraverso M la normale alla superficie n e le direzioni t1 e t2 sul piano tangente Siccome U(M) egrave costante lungo tutti i punti di S
021
t
U
t
U
Dunque prendendo una qualsiasi direzione l saragrave d
dn
n
UU
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
6
Gradiente
Se tracciamo un vettore in direzone di n di modulo partU partn la cui proiezione in una qualsiasi direzione l dagrave la derivata di U rispetto a l questo definisce il gradiente del campo scalare U
)()(
MUgradMU
Dove con gradl U si egrave indicata la proiezione di grad U su l
La direzione di grad U(M) egrave sempre quella normale alla superficie di livello nel verso in cui U(M) egrave crescente
Dunque il gradiente di uno scalare egrave un vettore normale alle superfici di livello
UU
MUgradU )(Avendo introdotto lrsquooperatore differenziale nabla kji
zyx
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
7
Gradiente esempio grafico
I=10
I=8 I=5 I=1
l
n
AB
AB
AIBII )()(
C
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
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11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
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12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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4
Campo Scalarebull In ogni punto crsquoegrave unrsquoinfinitagrave di derivate in ogni
direzionema possono essere tutte espresse in funzione delle derivate rispetto alle direzioni di x y e z
)cos()cos()cos( zz
Uy
y
Ux
x
UU
bull Avremmo potuto esprimere la derivata lungo una qualsiasi curva s che attraversa M invece che una retta e dunque
ds
dz
z
U
ds
dy
y
U
ds
dx
x
U
s
U
bull Le derivate delle coordinate rispetto a s sono i coseni direttori della tangente alla curva s nel punto M
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5
Superfici di livellobull Consideriamo le superfici caratterizzate dalla
proprietagrave che in ciascun loro punto il campo scalare U(M) ha lo stesso valore costante C Queste sono la famiglia di superfici di livello U(M)=C definite dalla costante C Per esnel caso del corpo riscaldato le superfici di uguale temperatura
bull Sia S la superficie di livello che passa attraverso il punto M Prendiamo 3 direzioni perpendicolari attraverso M la normale alla superficie n e le direzioni t1 e t2 sul piano tangente Siccome U(M) egrave costante lungo tutti i punti di S
021
t
U
t
U
Dunque prendendo una qualsiasi direzione l saragrave d
dn
n
UU
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6
Gradiente
Se tracciamo un vettore in direzone di n di modulo partU partn la cui proiezione in una qualsiasi direzione l dagrave la derivata di U rispetto a l questo definisce il gradiente del campo scalare U
)()(
MUgradMU
Dove con gradl U si egrave indicata la proiezione di grad U su l
La direzione di grad U(M) egrave sempre quella normale alla superficie di livello nel verso in cui U(M) egrave crescente
Dunque il gradiente di uno scalare egrave un vettore normale alle superfici di livello
UU
MUgradU )(Avendo introdotto lrsquooperatore differenziale nabla kji
zyx
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7
Gradiente esempio grafico
I=10
I=8 I=5 I=1
l
n
AB
AB
AIBII )()(
C
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
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11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
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12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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5
Superfici di livellobull Consideriamo le superfici caratterizzate dalla
proprietagrave che in ciascun loro punto il campo scalare U(M) ha lo stesso valore costante C Queste sono la famiglia di superfici di livello U(M)=C definite dalla costante C Per esnel caso del corpo riscaldato le superfici di uguale temperatura
bull Sia S la superficie di livello che passa attraverso il punto M Prendiamo 3 direzioni perpendicolari attraverso M la normale alla superficie n e le direzioni t1 e t2 sul piano tangente Siccome U(M) egrave costante lungo tutti i punti di S
021
t
U
t
U
Dunque prendendo una qualsiasi direzione l saragrave d
dn
n
UU
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6
Gradiente
Se tracciamo un vettore in direzone di n di modulo partU partn la cui proiezione in una qualsiasi direzione l dagrave la derivata di U rispetto a l questo definisce il gradiente del campo scalare U
)()(
MUgradMU
Dove con gradl U si egrave indicata la proiezione di grad U su l
La direzione di grad U(M) egrave sempre quella normale alla superficie di livello nel verso in cui U(M) egrave crescente
Dunque il gradiente di uno scalare egrave un vettore normale alle superfici di livello
UU
MUgradU )(Avendo introdotto lrsquooperatore differenziale nabla kji
zyx
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7
Gradiente esempio grafico
I=10
I=8 I=5 I=1
l
n
AB
AB
AIBII )()(
C
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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6
Gradiente
Se tracciamo un vettore in direzone di n di modulo partU partn la cui proiezione in una qualsiasi direzione l dagrave la derivata di U rispetto a l questo definisce il gradiente del campo scalare U
)()(
MUgradMU
Dove con gradl U si egrave indicata la proiezione di grad U su l
La direzione di grad U(M) egrave sempre quella normale alla superficie di livello nel verso in cui U(M) egrave crescente
Dunque il gradiente di uno scalare egrave un vettore normale alle superfici di livello
UU
MUgradU )(Avendo introdotto lrsquooperatore differenziale nabla kji
zyx
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7
Gradiente esempio grafico
I=10
I=8 I=5 I=1
l
n
AB
AB
AIBII )()(
C
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
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12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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7
Gradiente esempio grafico
I=10
I=8 I=5 I=1
l
n
AB
AB
AIBII )()(
C
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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8
Gradiente esempiobull Se i punti di un corpo hanno differenti temperature il calore
passeragrave da quelli a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore La quantitagrave di calore che attraversa lrsquoelemento di superficie dS nel tempo dt saragrave proporzionale a dt a dS e alla derivata della temperatura nella direzione n normale a dS
n
MTdtdSkQ
)(
bull k egrave il coefficiente di proporzionalitagrave chiamato conducibilitagrave termicabull Se consideriamo il flusso di calore ndashk grad T(M) questo avragrave il
segno ndash perchegrave il flusso va nel senso delle temperature decrescenti mentre il gradiente va nel verso delle temperature crescenti
n )(MTdtdSkQ
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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9
Campi vettorialibull Consideriamo ora un
campo vettoriale ovvero un vettore A(M) il cui modulo e direzione sono definiti in ciascun punto M dello spazio occupato dal campo
bull Definiamo una linea del campo vettoriale la curva tale che la tangente in ogni punto abbia la direzione del campo A(M) in quel punto Si puograve mostrare che la linea di campo ha equazione
zyx A
dz
A
dy
A
dx
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10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
10
Campi vettoriali
Se tracciamo le linee di vettore attraverso tutti i punti di un elemento di superficie S il loro insieme forma un tubo vettoriale (per es un tubo di flusso egrave lrsquoinsieme dei vettori velocitagrave di un fluido attraverso una superficie)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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11
Formule integrali utili bull Formula di Ostrogradskij date tre generiche funzioni P
Q ed R definite in un volume V racchiuso da una superficie S detta n la normale alla superficie egrave
dsZnRYnQXnPdVz
R
y
Q
x
P
SV
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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12
Formule integrali utili
bull Formula di Green
lega un integrale di superficie allrsquointegrale di linea sul contorno della superficie
S
QdyPdxdSy
Q
x
P
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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13
Formule integrali utili
bull Formula di StokesConsideriamo una
superficie non chiusa S con contorno l e la normale n alla superficie Definendo il senso antiorario di percorrenza di l come quello positivo vale
S
dSZny
P
x
Qyn
x
R
z
PXn
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
)cos()cos()cos(
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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14
Divergenza di un campobull Sia V un volume racchiuso dalla superficie S ed n la
normale alla superficie Applicando la formula di Ostrogradskij ad Ax Ay ed Az
S
S
zyx
V
zyx
dSnA
dSZnAYnAXnA
dVz
A
y
A
x
A
)cos()cos()cos(
Lrsquoargomento dellrsquointegrale di volume egrave la divergenza del campo vettoriale A Lrsquointegrale di superficie egrave il flusso del campo attraverso la superficie S
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15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
15
Divergenza di un campo
bull Utilizzando il vettore nabla possiamo scrivere la formula della divergenza come (Teorema di Gauss)
SVV
dSdVdVdiv )()()( nAAA
bull Possiamo definire la divergenza del campo in ogni punto M dello spazio come il limite del rapporto tra il flusso del campo attraverso un piccolo volume che circonda M ed il volume stesso quando questo tende a zero
bull Di conseguenza si puograve definire il campo scalare div A
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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16
Esempio Equazione di continuitagravebull Egrave lrsquoequazione che esprime la conservazione della
materia in fluidodinamica Consideriamo un volume V la massa di fluido di densitagrave ρ contenuta nel volume egrave
dVm bull La massa di fluido che scorre attraverso la superficie dS
che circonda il volume considerando la velocitagrave v del fluido egrave (flusso di massa)
S
dSnv
bull Questa quantitagrave va eguagliata alla diminuzione di massa allrsquointerno del volume nellrsquounitagrave di tempo
VS
dVt
dS nv
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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17
Esempio Equazione di continuitagravebull Applicando il teorema della divergenza al primo
membro
0
)(
v
v
t
dVt
dVVV
bull Sviluppando il secondo addendo
0
vvt
bull Il vettore ρv=j egrave il flusso densitagrave di massa (corrente) la sua direzione egrave quella del moto del fluido e lrsquointensitagrave egrave la massa di fluido che scorre nellrsquounitagrave di tempo in una superficie unitaria ortogonale alla velocitagrave
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18
Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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Flusso e poli
bull Genericamente se v egrave un campo vettoriale il suo flusso attraverso una superficie S egrave
S
dSnvv
)(
bull Se allrsquointerno della superficie non crsquoegrave una sorgente del campo (un polo) il flusso entrante nella superficie egrave uguale a quello uscente da essa dunque 0)( v
bull Di conseguenza se la divergenza del campo egrave non nulla in un punto vuol dire che in quel punto crsquoegrave un polo del campo
bull Il segno della divergenza daragrave la polaritagrave (positiva o negativa) il valore lrsquointensitagrave del polo
bull I poli hanno natura scalare (hanno un intensitagrave ed un segno ma non una direzione)
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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19
Campo Solenoidale
bull Un campo la cui divergenza sia ovunque identicamente nulla si chiama campo solenoidale
bull In un campo solenoidale le linee di flusso non hanno inizio neacute fine
bull In particolare possono essere delle linee chiuse orientate bull La solenoidalitagrave di un campo egrave assicurata solo
dallrsquoannullarsi della divergenza e non semplicemente del flusso Infatti il flusso attraverso una superficie potrebbe anullarsi per effetto di piugrave poli che si compensino
bull Se un campo ha divergenza non nulla esso non ha sorgenti scalari ma puograve averne di vettoriali (per es di dipolo) o tensoriali (per es di quadrupolo)
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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20
Rotore di un campo vettorialebull Usando la formula di Stokes con P=Ax Q=Ay R=Az otteniamo
S
xyzxyz
zyx
dSZny
A
x
Ayn
x
A
z
AXn
z
A
y
A
dzAdyAdxA
)cos()cos()cos(
Se consideriamo dl un arco orientato della curva l lrsquointegrando dellrsquointegrale di linea corrisponde al prodotto scalare A dl
Possiamo introdurre un altro vettore rot A le cui componenti siano quelle fra parentesi tonde nellrsquointegrale di superficie
kjiArot
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A xyzxyz
In tal modo la formula di Stokes puograve essere scritta come
S
dSrotd nAA
Che si leggela circuitazione di A sul contorno l della superficie S egrave uguale al flusso del rotore di A attraverso la superficie
Complementi di Fisica per Scienze della Terra - F Garufi
21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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21
Esempio di Rotore la vorticitagrave
dt
dAE
dt
dAB
Deformazioni di un elemento di un fluido
Calcoliamo la velocitagrave angolare media dei due lati ortogonali allrsquoinizio
La velocitagrave angolare media saragrave frac12(-dαdt+dβdt) e la vorticitagrave attorno allrsquoasse 3 due volte questo valore
Tensore completamente antismmetrico
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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22
Notazione vettorialebull Le formule e le relazioni precedenti possono essere
scritte in modo semplificato mediante lrsquouso del vettore nabla percedentemente definito e delle regole del calcolo vettoriale
AAAA
rotdivgrad
AAA
AAACBACBACBA
divgradrotrotovvero
)(
)()()(2
ky
A
x
Aj
z
A
x
Ai
z
A
y
A
AAAzyx
kji
rot xyxzyz
zyx
A
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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23
Gradiente in Coordinate polari e sfericheIn possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale mentre φ rappresenta la coordinata angolare Per calcolare il gradiente di una funzione
basteragrave eseguire la trasformazione
Ricordando che
In coordinate Sferiche
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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24
Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali
Coordinate sferiche
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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25
Operatore di Laplace in coordinate curvilinee ortogonali
A=grad U =gt div A=div grad U = ΔU
Sostituendo nellrsquoespressione della divergenza
Equazione di Laplace in coordinate sferiche
Se U non dipende dagli angoli(per es U=GMr)
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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26
Esempio il potenziale gravitazionale
bull Egrave un potenziale centrale per cui U=U(r)=-GMr
bull Sappiamo che la forza per unitagrave di massa (lrsquoaccelerazione) egrave g (981 ms-2 per r=RT)
2
1
r
GM
rrGM
r
Ug
In realtagrave perograve la rotazione terrestre rende U=U(r θ) Infatti lrsquoaccelerazione centripeta dipende dalla latitudine λ del punto un cui si misura e va sottratta allrsquoaccelerazione gravitazionale
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
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27
Il geoidebull Anche senza considerare
la rotazione il potenziale gravitazionale non egrave esattamente centrale ma dipende dalla latitudine percheacute la forma della terra non egrave esattamente sferica ma egrave un geoide
q2=s2+r2-2sr cosθ
2
12
cos21
rs
rs
r
GdMdU
Sviluppando in serie
E dunque
![Complementi di automatica - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/rocco/caut/Complementi di automatica.pdf · Controlli automatici –Complementi di automatica - P. Rocco [7] È abbastanza](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5b91b72109d3f2f8508c351a/complementi-di-automatica-intranet-di-automaticapdf-controlli-automatici.jpg)
