Complementi di automatica - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/rocco/caut/Complementi di automatica.pdf · Controlli automatici –Complementi di automatica - P. Rocco [7] È abbastanza

Controlli automatici

Complementi di automatica

Prof. Paolo Rocco ([email protected])

Politecnico di Milano

Dipartimento di Elettronica, Informazione e Bioingegneria

Introduzione

In queste lezioni verranno ripresi e approfonditi alcuni elementi di Automatica, con

particolare riferimento alla descrizione dei sistemi dinamici nel dominio del tempo e

della trasformata di Laplace

I concetti e metodi qui esposti consentono di modellare i sistemi fisici, studiarne le

proprietà, ed eventualmente progettare i relativi sistemi di controllo, prescindendo

dalla natura (meccanica, elettrica, idraulica, ecc..) del sistema in esame

Questa astrazione dal contesto fisico è consentita dalla introduzione del concetto

cardine di sistema dinamico

Prima di procedere a questa definizione è tuttavia utile richiamare gli elementi di un

problema di controllo e gli schemi di principio dei sistemi di controllo automatico

Controlli automatici – Complementi di automatica - P. Rocco [2]

Elementi di un problema di controllo

Un problema di controllo nasce nel momento in cui si vuole imporre ad un “oggetto”

un comportamento desiderato, per mezzo di opportune azioni esercitate sull’oggetto

stesso

Nel controllo automatico tali azioni vengono esercitate senza l’intervento dell’uomo

Gli elementi del problema di controllo sono quindi due:


Sy° u y

d

Andamento desiderato

delle variabili controllate

Sistema sotto controllo

u: variabili di controllo

d: eventuali disturbi

y: variabili controllate

Posizione di un problema di controllo

Problema di controllo: determinare, ad ogni istante, il valore delle variabili di

controllo u in modo tale che le variabili controllate y

assumano un andamento quanto più possibile simile

all’andamento desiderato y°, qualunque siano, tra quelli

ritenuti ragionevoli, gli andamenti dei riferimenti y° e dei

disturbi d

Controllore: oggetto che determina ed esercita l’azione di controllo

Legge di controllo: criterio secondo cui agisce il controllore


Sy° u y

d

Controllo in anello aperto e chiuso

Controllo in anello aperto: non viene eseguita alcuna misura sulle variabili del

sistema, oppure le eventuali variabili misurate, e

utilizzate nella legge di controllo, non dipendono dai

valori assunti dalla variabile di controllo u


Sy° u y

d

C

Controllo in anello chiuso: l’azione di controllo viene esercitata sulla base di

misure di grandezze il cui valore dipende anche dal

valore assunto dalla variabile u

Sy° u y

d

C

feedforward

feedback

Sy° u y

d

C

Modellistica del sistema sotto controllo

Che tipo di modelli occorre usare per descrivere il comportamento del sistema

sotto controllo?


Modelli statici?

Mu

y

K

D

u

y

KyKu

Modelli dinamici? yMyDyKu

Ruolo della dinamica

Consideriamo il caso di un nastro trasportatore.

Si vuole mantenere la portata in uscita costante a un dato valore, nonostante le

perdite, agendo sulla portata in ingresso.


È abbastanza evidente che a fronte di una variazione, per esempio di yo o delle

perdite p, se l’azione di controllo è troppo energica, il sistema diventa instabile.

Questo comportamento è catturato da un modello dinamico del sistema, che

tenga conto del ritardo esistente tra il comando di portata all’ingresso e la misura

di portata in uscita.

u y

p

v

C

yo

Il sistema dinamico

Un sistema dinamico si interfaccia con il “resto del

mondo” per mezzo di una serie di variabili, che

definiremo di ingresso, ed altre che definiremo di

uscita.

Definiamo di ingresso le variabili con cui dall’esterno si influenza il comportamento del

sistema, di uscita quelle che caratterizzano il comportamento del sistema e sulle quali

soffermiamo il nostro interesse (tipicamente perché costituiscono l’obiettivo del

controllo).

La relazione che sussiste tra variabili di ingresso e di uscita è di causa-effetto e non

ha nulla a che vedere con relazioni di afflusso ed efflusso di materia o energia (la

portata di uscita in un serbatoio può essere variabile di ingresso per il sistema, se per

esempio è comandata da una pompa).


Su y

variabilidi ingresso

variabilidi uscita

L’ordine del sistema

E’ sufficiente descrivere il comportamento

dinamico di un sistema mediante relazioni

algebriche tra i suoi ingressi e le sue uscite?

Quasi sempre no per due motivi: occorre

conoscere i valori assunti dalle variabili di

ingresso a partire dall’istante iniziale ed occorre

conoscere una o più condizioni iniziali.

ingresso: u = i

uscita: y = v

C

i v

t

t

duC

tytytutyC

0

10

Occorre quindi conoscere il valore iniziale della tensione e

l’andamento della corrente dall’istante iniziale.

Il numero minimo di condizioni iniziali che occorre assegnare per

determinare tutte le uscite del sistema, noti gli andamenti degli

ingressi a partire dall’istante iniziale, prende il nome di ordine del

sistema: lo si indica con n .


Su y

variabilidi ingresso

variabilidi uscita

Lo stato

Lo stato del sistema ad un dato istante riassume tutta la storia passata del

sistema fino a quell’istante ed è quindi quanto occorre conoscere per calcolare le

uscite da quell’istante in poi, noti gli ingressi.

Per quanto affermato sopra, lo stato si può esprimere per mezzo di n variabili,

indicate con i simboli x1, x2, ... , xn, che prendono il nome di variabili di stato.

Sia m il numero delle variabili di ingresso e p il numero di variabili di uscita.

Si introducono i tre vettori:

pmn y

y

y

u

u

u

x

x

x

2

1

2

1

2

1

,, yux


Definizione di sistema dinamico

Introdotte le due funzioni vettoriali:

la formulazione vettoriale del sistema dinamico è la seguente :

tuuuxxxg

tuuuxxxg

tuuuxxxg

t

tuuuxxxf

tuuuxxxf

tuuuxxxf

t

mnp

mn

mn

mnn

mn

mn

,,...,,,,...,,

,,...,,,,...,,

,,...,,,,...,,

,,

,

,,...,,,,...,,

,,...,,,,...,,

,,...,,,,...,,

,,

2121

21212

21211

2121

21212

21211

uxg

uxf

tttt

tttt

,,

,,

uxgy

uxfx

p

mn

y

ux


Il sistema dinamico: esempi

Induttore:

ingresso: u = v

uscita: y = i

var. di stato: x1 = i

Condensatore:

ingresso: u = i

uscita: y = v

var. di stato: x1 = v

L

i v

txty

tuL

tx

1

1

1

C

i v

txty

tuC

tx

1

1

1

dt

tdiLtv

dt

tdvCti



Serbatoio:

ingresso: u = qi

uscita: y = h

var. di stato: x1 = h

Serbatoio con efflusso:

txty

tuA

txS

1

1

1

h

qi

AS

dt

tdhAtq Si

thkAdt

tdhAtq vSi

h

q

q

i

u

AS

Av

ingresso: u = qi

uscita: y = h

var. di stato: x1 = h

txty

tuA

txA

Aktx

SS

v

1

11

1



Oscillatore meccanico:

ingresso: u = F

uscita: y = p

var. di stato: x1 = p, x2 = v

MF

p

K

D

txty

tutDxtKxM

tx

txtx

1

212

21

1

Pendolo:

mg

l

ingresso: u =

uscita: y =

var. di stato: x1 = , x2 = w

txty

tuml

txl

gtx

txtx

1

212

21

1sin

tKptDvtvMtF

tmgltmlt w sin2


Il sistema dinamico: classificazioni

SISO (Single Input Single Output): sistemi per cui m=p=1

MIMO (Multiple Input Multiple Output): gli altri

Strettamente propri : sistemi in cui la funzione g non dipende dall’ingresso u

Propri: gli altri

Lineari : sistemi in cui tutte le equazioni di stato e tutte le trasformazioni di uscita

sono funzioni lineari delle variabili di stato e delle variabili di ingresso

Non lineari : gli altri

Tempo invarianti: sistemi in cui nessuna equazione dipende esplicitamente dal

tempo

Tempo varianti: gli altri


Movimento

Assegnata una condizione iniziale all’istante t0:

e una funzione di ingresso a partire da t0:

definiamo:

movimento dello stato :

movimento dell’uscita:

00 xx t

0, tttt uu

nt x 00

,,

xx

uxfx

t

tttt

tttt ,,uxgy

tttt

tttt

,,

,,

uxgy

uxfx

p

mn

y

ux

Consideriamo un generico sistema dinamico;

pt y


Equilibrio

I particolari movimenti costanti nel tempo, associati a ingressi costanti, prendono il

nome di equilibri.

Consideriamo un sistema tempo-invariante:

0, uxf

ttt

ttt

uxgy

uxfx

,

,

p

mn

y

ux

Assegniamo un ingresso costante:

uu t

Stato di equilibrio: tt ,: xxx

Uscita di equilibrio: tt ,: yyy

Ricerca degli stati di equilibrio:


Equilibrio: esempi

Pendolo:

mg

l

01

sin

0

21

2

uml

xl

g

x

Se si hanno i punti

di equilibrio:0u

0

0

2

1

x

x

02

1

x

x


ingresso: u = F

uscita: y = p

var. di stato: x1 = p, x2 = v

MF

p

K

D

0

0

21

2

uxDxK

x

Si ha il punto di equilibrio:

02

1

x

K

ux

ingresso: u =

uscita: y =

var. di stato: x1 = , x2 = w


Stabilità

La stabilità è la proprietà di un sistema di reagire a perturbazioni ritornando

alla condizione preesistente alla perturbazione, o quantomeno non

allontanandosene indefinitamente.

In questo corso adotteremo la definizione di stabilità alla Lyapunov.

In questa definizione:

la stabilità è una proprietà del singolo movimento

la perturbazione è assegnata sullo stato iniziale

Faremo riferimento esclusivamente a sistemi tempo invarianti.


Movimento nominale e perturbato

Consideriamo un sistema dinamico tempo invariante.

Sia:

x0n : stato iniziale nominale

x0p : stato iniziale perturbato

xn(t): movimento che origina da x0n con ingresso : movimento nominale

xp(t): movimento che origina da x0p con ingresso : movimento perturbato

tt uu

tu


tu

Movimento stabile

Il movimento xn(t ) si dice stabile se:

e > 0, esiste un valore de > 0, tale che x0p che soddisfi la condizione:

ed np 00 xx

risulti:

.0, e ttt np xx

x

t

movimento

perturbato

movimento

nominale

x0n

e

de

Perturbando lo stato iniziale del

sistema il movimento

perturbato non si allontana

indefinitamente dal movimento

nominale


Movimento instabile

Il movimento xn(t ) si dice instabile se non è stabile.



perturbato può allontanarsi


nominale

x

t

movimento

perturbato

movimento

nominale

x0n

e

de


Movimento asintoticamente stabile

Il movimento xn(t ) si dice asintoticamente stabile se è stabile e risulta:

e

d nppnpt

tt 000 :,0lim xxxxx

x

t

movimento

perturbato

movimento

nominale

x0n

e

de



perturbato non si allontana


nominale e tende

asintoticamente ad esso


Stabilità degli equilibri

La nozione di stabilità si applica anche agli stati di equilibrio (che sono movimenti

particolari).


Pendolo fermo rivolto verso il basso:

Stato di equilibrio stabile (asintoticamente in presenza di attrito)

Pendolo fermo rivolto verso l’alto:

Stato di equilibrio instabile

Sistemi lineari tempo invarianti

Nei sistemi LTI (Lineari Tempo Invarianti) tutte le equazioni del sistema

sono lineari nelle variabili di stato e di ingresso.

tubtubtubtxatxatxatx



mnmnnnnnnnn

mmnn

mmnn

......

......

......

22112211

222212122221212

121211112121111

......

......

......

22112211

222212122221212

121211112121111

tudtudtudtxctxctxcty



mpmppnpnppp

mmnn

mmnn


Sistemi lineari tempo invarianti

Definite quattro matrici:

pmpp

m

m

pnpp

n

n

nmnn

m

m

nnnn

n

n

ddd

ddd

ddd

ccc

ccc

ccc

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

,

,

DC

BA

Rappresentiamo il sistema LTI in forma vettoriale:

ttt

ttt

DuCxy

BuAxx

p

mn

y

ux


Esempio di sistema LTI


MF

p

K

D

txty

tutDxtKxM

tx

txtx

1

212

21

1

0,01

1

0

,

10

DC

BA

MM

D

M

K


Cambiamento di variabili di stato

In un sistema LTI, il passaggio da una rappresentazione in variabili di stato ad una

rappresentazione alternativa si ottiene sempre moltiplicando il vettore di stato

originario per una matrice (nn) non singolare:

ttt

ttt

DuCxy

BuAxx

Potremo quindi esprimere anche il vecchio vettore di stato in termini del nuovo

attraverso l’inversa della matrice T:

0det,ˆ TTxx tt

tt xTx ˆ1

Sostituendo questa espressione nelle equazioni che definiscono il sistema

dinamico in x, e premoltiplicando entrambi i membri dell’equazione vettoriale di

stato per la matrice T, si ottiene:

ttt

ttt

uDxCy

uBxAx

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

DDCTCTBBTATA ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 11


Una proprietà del sistema che non dipenda dalla

scelta delle variabili di stato si dice strutturale.

Equilibrio nei sistemi LTI

Consideriamo un sistema LTI:

ttt

ttt

DuCxy

BuAxx

con ingresso costante:

uu t

Gli stati di equilibrio sono soluzioni dell’equazione:

0 uBxA

Se la matrice A è non singolare si ha uno e uno solo stato di equilibrio:

uBAx 1

Pertanto:

uy s DBCA 1s guadagno statico


Movimento nei sistemi LTI

Consideriamo un sistema LTI:

ttt

ttt

DuCxy

BuAxx

con ingresso:

0, ttuu

e stato iniziale:

00 xx

Vogliamo scrivere l’espressione del movimento dello stato e dell’uscita.

p

mn

y

ux

Ci occorre per questo una definizione matematica…


Esponenziale di matrice

Siano date una matrice A e uno scalare .

Definiamo esponenziale di matrice :

!3!2!

3322

0

AAAI

AA

k

k

ke

AA AAA

AIAAA

A0 eed

d

!3!2!33

!22

3322232

nidiag i ,,1,ˆ 1 TATA

TTTT

TAAITTATTATTATI

A

ATA

iediage

ee T

1ˆ1

221

2111ˆ

!2ˆˆ

!2ˆˆˆ

1

La regola di derivazione è la stessa dell’esponenziale di scalare:

Se la matrice è diagonalizzabile:

l’esponenziale si calcola facilmente:


Movimento nei sistemi LTI

Siamo ora in grado di scrivere le espressioni del movimento dello stato e dell’uscita:

tdeet

deet

t

tt

t

tt

DuBuCxCy

Buxx

AA

AA

0

0

0

0 Formula di Lagrange

Le espressioni si giustificano facilmente per sostituzione diretta nelle equazioni del

sistema, tenendo conto della formula di derivazione sotto segno di integrale:

ttdtdt

ddt

dt

dt

t

t

t

,,,

00

dove come funzione va presa la seguente:

BuA tet


Moto libero e forzato

Le espressioni del movimento (moto) dello stato e dell’uscita si possono suddividere

in due componenti:

Moto libero

Dipende dallo stato iniziale

Non dipende dall’ingresso

tdeet

deet

t

tt

t

tt

DuBuCxCy

Buxx

AA

AA

0

0

0

0

Moto forzato

Non dipende dallo stato iniziale

Dipende dall’ingresso


Stabilità nei sistemi LTI

La stabilità alla Lyapunov è una proprietà dei singoli movimenti.

In generale non è estendibile all’intero sistema.

Consideriamo ora un sistema LTI:

.0, 0xxxAx dddd tt

.:,: 000 npnp ttt xxxxxx dd

con:

ttt BuAxx

.0,

,0,

0

0

pppp

nnnn

ttt

ttt

xxuBAxx

xxuBAxx

e un movimento nominale e il corrispondente movimento perturbato:

Sottraendo membro a membro le equazioni si ha:



.0, 0xxxAx dddd tt

L’analisi di stabilità di qualunque movimento nominale del sistema LTI

conduce quindi sempre allo studio delle soluzioni dell’equazione:

al variare della condizione iniziale.

Il risultato di questa analisi è ovviamente lo stesso qualunque sia il

movimento xn di cui si studia la stabilità.

Quindi:

in un sistema dinamico LTI i movimenti sono tutti stabili, o tutti instabili o tutti

asintoticamente stabili.

Si può allora parlare di stabilità del sistema.



.0, 0xxxAx dddd tt

Le soluzioni dell’equazione:

sono i moti liberi del sistema:

La stabilità dipende quindi solo dalla matrice A.

Inoltre:

se tutti i moti liberi sono limitati il sistema è stabile

se tutti i moti liberi sono limitati e tendono asintoticamente a zero il

sistema è asintoticamente stabile

se almeno un moto libero non è limitato il sistema è instabile

0xx A dd tet


Stabilità e autovalori

Studiamo i moti liberi del sistema:

0xx A dd tet

nell’ipotesi semplificativa in cui la matrice A sia diagonalizzabile:

nidiag i ,,1,ˆ:0det, 1 TATATT

dove i sono gli autovalori della matrice A.

In questo caso risulta:

01

0

ˆ10

ˆ

0

2

1

1

TxTTxTxxx AATA

t

t

t

tTttl

ne

e

e

eeet



I moti liberi sono quindi combinazioni lineari delle funzioni:

tie

modi del sistema

in presenza di un autovalore non reale, si ha:

iiii

iittjtt

tjteeee iiii

Im,Re

,sincos

In questo caso ovviamente il termine immaginario si eliderà con quello

associato al complesso coniugato.

Avremo quindi i termini:

te

e

it

t

i

i

cos

con i, i numeri reali.



te

e

it

t

i

i

cos

Possiamo fare le seguenti considerazioni:

se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa (i < 0), tutti gli

esponenziali sono limitati nel tempo e tendono a zero, mono-

tonicamente se i = 0, oscillando se i ≠ 0

se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla (i ≤ 0), e

vi è almeno un autovalore a parte reale nulla, tutti gli esponenziali sono

limitati nel tempo ma quelli associati agli autovalori a parte reale nulla

non convergono a zero, rimanendo costanti per i = 0, e oscillando

permanentemente se i ≠ 0

se esiste almeno un autovalore di A a parte reale positiva (j > 0), c’è

almeno un termine esponenziale che diverge (non è limitato nel tempo)

modi:


Criterio degli autovalori

Sulla base della precedente discussione si possono trarre le seguenti

conclusioni (valide per matrice A diagonalizzabile).

Un sistema dinamico LTI è:

asintoticamente stabile: se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte

reale negativa

stabile:se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa o

nulla e ne esistono a parte reale nulla

instabile: se e solo se esistono autovalori di A a parte reale positiva

L’analisi di stabilità di un sistema LTI si conduce quindi studiando la

posizione nel piano complesso degli autovalori della matrice A.


Stabilità e cambio di variabili di stato

A seguito di un cambiamento di variabili di stato descritto da una matrice

di trasformazione T , la matrice A del sistema si trasforma secondo una

relazione di similitudine:

Poiché matrici simili hanno gli stessi autovalori, la stabilità è del tutto

indipendente dalla scelta delle variabili di stato, ossia è una proprietà

strutturale del sistema dinamico.

1ˆ TATA


Matrice A non diagonalizzabile

Se la matrice A non è diagonalizzabile, può essere messa in relazione di

similitudine con una forma canonica (forma di Jordan).

Definiamo:

Con la forma di Jordan si dimostra che se vi sono autovalori multipli a

parte reale nulla (e non vi sono autovalori a parte reale positiva), il

sistema è instabile se per almeno uno degli autovalori a parte reale nulla

la molteplicità geometrica è inferiore alla molteplicità algebrica

molteplicità algebrica di un autovalore : molteplicità con cui l’autovalore è

radice del polinomio caratteristico

molteplicità geometrica di un autovalore : numero di autovettori linearmente

indipendenti associati all’autovalore


Matrice A non diagonalizzabile

Esempio:

00

10A

Autovalore = 0

Molteplicità algebrica = 2

Molteplicità geometrica = 1

2A

0

*v

un solo autovettore

lin. indipendente

Il sistema è quindi instabile. Infatti:

10

1

00

00

00

0

10

01

!3!2

3322 ttttte t

AAAIA

02

0201

0x

txxet t

l xx AÈ sufficiente scegliere lo stato iniziale con

componente x02 diversa da zero per

generare un moto libero non limitato


Stabilità: analisi della matrice A

Esistono alcuni semplici criteri per studiare la stabilità di un sistema, nota

la matrice A, senza calcolarne gli autovalori.

1) Se A è triangolare, gli autovalori sono sulla diagonale della matrice (e

quindi l’analisi di stabilità è immediata)

2) Se la traccia di A è positiva o nulla il sistema non è asintoticamente

stabile ed è senz’altro instabile se la traccia è positiva.

Infatti:

n

i

i

n

i

i

11

Retr A

3) Se il determinante di A è nullo il sistema non è asintoticamente stabile.

Infatti:

n

i

i

1

det A


Analisi del polinomio caratteristico di A

Conclusioni circa la stabilità del sistema si possono trarre anche

dall’analisi del polinomio caratteristico della matrice A.

nnnn 2

21

10AI

Condizione necessaria affinché il sistema sia asintoticamente stabile è

che tutti i coefficienti del polinomio siano non nulli e dello stesso segno.

123

123

123

non asintoticamente stabile

non asintoticamente stabile

non si possono trarre conclusioni

Esiste anche una condizione necessaria e sufficiente…


Criterio di Routh

Si consideri di nuovo il polinomio caratteristico della matrice A.

nnnn 2

21

10AI

Costruiamo la tabella di Routh:

321

321

321

531

420

righe1

lll

kkk

hhhn

coefficienti di presi uno sì e uno no

altri coefficienti di

1

111

11

11

1

det1

k

khh

kk

hh

kl i

i

i

i

i

regola per formare la generica riga sulla

base delle due precedenti:

Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia asinto-

ticamente stabile è che tutti gli elementi della prima colonna siano non

nulli e dello stesso segno.


Criterio di Routh: esempio 1

Tabella di Routh:

elementi della prima colonna tutti positivi

254 23

1

21

024

051

h

kk

224

det1

004

01det

4

1,5.4

24

51det

4

1

2111

21

kkkh

kk

calcolo dei coefficienti:

Quindi:

2

05.4

024

051

sistema asintoticamente stabile


Criterio di Routh: esempio 2

Tabella di Routh:

elementi della prima colonna tutti positivi

calcolo dei coefficienti:

Quindi:

sistema asintoticamente stabile

a 234 2

1

21

21

012

11

l

hh

kk

a

ahh

kk

hl

kkha

a

kkkh

aa

kk

21

21

11

112

2111

21

det1

00

02det

1,41

5.0

25.012det

1

02

1det

2

1,5.0

12

11det

2

1

a

a

a

a

041

5.0

012

11

4

10 a



Si consideri un sistema non lineare tempo invariante di equazioni di stato :

In corrispondenza dell’ingresso costante esista lo stato di equilibrio .

ttt uxfx ,

u x

Come si studia la stabilità dello stato di equilibrio?

Un modo prevede di passare dal sistema linearizzato…


Sistema linearizzato

Dato il sistema non lineare:

ttt

ttt

uxgy

uxfx

,

,

p

mn

y

ux

consideriamo l’equilibrio caratterizzato da:

tttt yyxxuu ,,

Il comportamento del sistema nell’intorno dello stato di equilibrio è

approssimabile con il sistema linearizzato:

ttt

ttt

uDxCy

uBxAx

ddd

ddd.

xxx d tt uuu d tt

yyy d tt

dove:

uxuxuxux u

gD

x

gC

u

fB

x

fA

,,,,

,,,



Si consideri dunque la matrice A del sistema linearizzato nell’intorno dello

stato di equilibrio:

uxx

fA

,

Si dimostrano i seguenti risultati:

Se la matrice A ha tutti autovalori a parte reale negativa (ossia se il

sistema linearizzato è asintoticamente stabile) lo stato di equilibrio è

asintoticamente stabile

Se la matrice A ha almeno un autovalore a parte reale positiva lo stato

di equilibrio è instabile

Se la matrice A ha autovalori a parte reale nulla e non ne ha a parte

reale positiva, occorrono approssimazioni del sistema dinamico di ordine

superiore rispetto al sistema linearizzato.


Funzione di trasferimento

Si consideri un sistema LTI :

È noto che una rappresentazione alternativa del sistema si ottiene

introducendo i vettori U(s) e Y(s), rispettivamente vettori delle trasformate

di Laplace degli ingressi e delle uscite del sistema dinamico.

ttt

ttt

DuCxy

BuAxx

u(t)

y(t)

U(s)

Y(s)

eq. differenziali eq. algebriche

trasformata

antitrasformata

Assunto lo stato iniziale del sistema nullo, il legame tra i due vettori è

espresso dalla funzione di trasferimento (matrice pm):

DBAICG 1

nss


Invarianza della funzione di trasferimento

Si supponga di effettuare un cambiamento di variabili di stato :

Il sistema nelle nuove variabili di stato ha come matrici:

Calcolando la funzione di trasferimento per il nuovo sistema:

0det,ˆ TTxx tt

DDCTCTBBTATA ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 11

ss

ss

sss

n

nn

n

GDBAIC

DTBTAITCTDTBTAITCT

DTBTATTTCTDBAICG

1

111111

11111 ˆˆˆˆˆ

si conclude che l’espressione della funzione di trasferimento non muta al

variare della rappresentazione di stato, ed è quindi proprietà strutturale

del sistema dinamico.


Calcolo della funzione di trasferimento

Dal sistema (SISO) in t ...

tdutxctxctxcty

tubtxatxatxatx

tubtxatxatxatx

tubtxatxatxatx

nn

nnnnnnn

nn

nn

...

...

...

...

2211

2211

222221212

112121111

… al sistema in s

sdUsXcsXcsXcsY

sUbsXasXasXassX

sUbsXasXasXassX

sUbsXasXasXassX

nn

nnnnnnn

nn

nn

...

...

...

...

2211

2211

222221212

112121111

Si risolve il sistema in s: sU

sYsG funzione di trasferimento


Struttura della funzione di trasferimento

sD

sNsG

La funzione di trasferimento è razionale (rapporto di polinomi):

Numeratore:

Grado n se sistema non strettamente proprio

Grado < n se sistema strettamente proprio

Denominatore: Grado n (coincide con polinomio caratteristico di A)

Tutto a meno di cancellazioni nel formare la funzione di trasferimento

Poli: radici del denominatore (in numero = n) ≡ autovalori della matrice A

Zeri: radici del numeratore (in numero ≤ n)L’analisi di stabilità può essere

condotta anche sui poli della f.d.t.


Rappresentazioni della f.d.t.

nnn

nnn

ss

ss

sD

sNsG

1

1

110 Coefficienti di numeratore e

denominatore

ii

ii

ps

zssG

: costante di trasferimento

zi: zeri (eventualmente c.c.)

pi: poli (eventualmente c.c.)

ww

ww

i inpinpipii

inzinzizi

ii

ssps

sszssG

22

22

2

2 wnzi: pulsazioni naturali zeri c.c.

zi: smorzamenti zeri c.c.

wnpi: pulsazioni naturali poli c.c.

pi: smorzamenti poli c.c.Im

Re

w

w

cos()

n

n pulsazione naturale e smorzamento


Rappresentazioni della f.d.t.

ii

ii

g sT

s

ssG

1

1

w

w

w

w

i inpinpi

pii

i inzinzi

zii

gs

ssT

sss

ssG

2

2

2

2

211

211

: guadagno

g: tipo

Ti, i: costanti di tempo (event. c.c.)

Il tipo g (numero intero) conta il numero di poli

(se positivo) o di zeri (se negativo) in s = 0.

ss

DGsG

BCA 1

00lim

Se g = 0 risulta:

Il guadagno della f.d.t. coincide con

il guadagno statico del sistema.

Rappresentazione con solo

parametri reali


Esempi di sistemi del 1° ordine

sT

sG

1

Im

Re

1/T

T > 0

y

tT

T > 0Risposte allo scalino

sT

ssG

1

Im

Re

1/T

t

y

T

/T


Esempi di sistemi del 2° ordine

22

2

2 nn

n

sssG

ww

w

Im

Re

w

w

cos()

n

n

y

2

t

T = 2wn

1e w t

n

*

1e w t

n

yM

Risposte allo scalino

21 11 sTsT

sG

Im

Re

1/T1 1/T2

t

y


Dinamiche nascoste

Nel formare l’espressione della funzione di trasferimento a partire dalle

matrici del sistema dinamico espresso nel dominio del tempo, possono

intervenire cancellazioni tra termini a numeratore e denominatore.

Esempio 1

21

212

11

32

2

xxy

uxxx

xx

1

3

12

23

sss

ss G

Esempio 2

2

22

211

xy

uxx

uxxx

1

1

1

12

ss

ss G

In questi sistemi ci sono

dinamiche nascoste, che

non compaiono nel legame

ingresso-uscita.


Raggiungibilità e osservabilità

La presenza di dinamiche nascoste in un sistema, che non si

manifestano nel legame ingresso-uscita, può essere formalizzata

ricorrendo alla teoria della raggiungibilità e dell’osservabilità.

Raggiungibilità

Un sistema dinamico lineare tempo invariante è (completamente)

raggiungibile se è possibile trasferire lo stato del sistema dall’origine a

qualsiasi punto in n, con un’opportuna scelta dell’ingresso, in un tempo

finito arbitrario.

Osservabilità

Un sistema dinamico lineare tempo invariante è (completamente)

osservabile se qualunque sia il vettore in n che costituisce lo stato

iniziale, l’uscita libera che origina da tale punto differisce, su qualunque

intervallo di tempo finito arbitrario, dall’uscita identicamente nulla.


Scomposizione canonica

Un qualsiasi sistema LTI può essere messo, con un opportuno

cambiamento di variabili di stato, in una forma canonica, in cui sono

poste in evidenza quattro parti, raggiungibili e no, osservabili e no,

eventualmente vuote.

Scomposizione canonica di Kalman:

u

RO

yRO

RO

RO

Nel percorso tra ingresso e uscita del sistema interviene solo la parte

raggiungibile ed osservabile del sistema, ovvero la funzione di

trasferimento del sistema coinvolge solo la parte raggiungibile ed

osservabile.


Test di raggiungibilità

Si costruisca la matrice di raggiungibilità (a n righe e nm colonne):

BABAABBK 12 nr

Il sistema è completamente raggiungibile se e solo se la matrice di

raggiungibilità Kr ha rango n.

Se il sistema è a singolo ingresso (m=1), il test si riduce a verificare che

la matrice Kr sia non singolare.

Esempio 1

Esempio 2

0det11

00

rr KABBK

0det11

01

rr KABBK

non raggiungibile

raggiungibile


Test di osservabilità

Si costruisca la matrice di osservabilità (a n righe e np colonne ):

Il sistema è completamente osservabile se e solo se la matrice di

osservabilità Ko ha rango n.

Se il sistema è a singola uscita (p=1), il test si riduce a verificare che la

matrice Ko sia non singolare.

Esempio 1

Esempio 2

osservabile

non osservabile

TnTTTTTT

o CACACACK12

0det33

12

o

TTTo KCACK

0det11

00

o

TTTo KCACK


Raggiungibilità e cambio di variabili

Si supponga di effettuare un cambiamento di variabili di stato:

0det,ˆ TTxx tt

La matrice di raggiungibilità per il sistema nelle nuove variabili di stato

sarà quindi:

rn

nr

TKBABAABBT

TBTATTATTATTBTATTATTBTATTB

BABABABK

12

111111

12 ˆˆˆˆˆˆˆˆ

Poiché T è non singolare, il rango di coincide con il rango di Kr.

Pertanto il sistema nelle nuove variabili di stato è completamente

raggiungibile se e solo se lo è quello nelle variabili di stato originarie,

ovvero la raggiungibilità è proprietà strutturale.

rK̂


Osservabilità e cambio di variabili

Si supponga di effettuare un cambiamento di variabili di stato :

0det,ˆ TTxx tt

La matrice di osservabilità per il sistema nelle nuove variabili di stato sarà

quindi:

Poiché T è non singolare, il rango di coincide con il rango di Ko.

Pertanto il sistema nelle nuove variabili di stato è completamente

osservabile se e solo se lo è quello nelle variabili di stato originarie,

ovvero l’osservabilità è proprietà strutturale.

oTTnTTTTTTT

TTTTTTTTTTT

TTTTTTTTTTTTTTT

TnTTTTTTo

KTCACACACT

CTTATTATTAT

CTTATTATCTTATCT

CACACACK

12

12 ˆˆˆˆˆˆˆˆ

oK̂


Realizzazione

Si definisce realizzazione la scrittura di un sistema dinamico nel dominio

del tempo (equazioni di stato e trasformazioni di uscita) che ammetta

come funzione di trasferimento quella data.

È evidente che il problema di realizzazione ammette infinite soluzioni.

Tra tutte le soluzioni, quelle nelle quali la matrice A ha dimensioni uguali

al denominatore della funzione di trasferimento prendono il nome di

realizzazioni minime.

Le realizzazioni minime sono costituite da sistemi dinamici LTI

completamente raggiungibili e osservabili.

ttt

ttt

DuCxy

BuAxx

sG


Forma canonica di controllo

Data la f.d.t. di un sistema SISO strettamente proprio:

La forma canonica di raggiungibilità (anche nota come forma canonica di

controllo) è la seguente realizzazione minima:

12

21

1

122

11

asasasas

bsbsbsbsG

nn

nn

n

nn

nn

n

n

bbbb

aaaa

321

321

,

1

0

0

0

,

1000

0100

0010

C

BA

Questa forma canonica è

sempre raggiungibile per

costruzione.


Forma canonica di osservazione

Data la f.d.t. di un sistema SISO strettamente proprio:

La forma canonica di osservabilità (anche nota come forma canonica di

osservazione) è la seguente realizzazione minima:

12

21

1

122

11

asasasas

bsbsbsbsG

nn

nn

n

nn

nn

Questa forma canonica è

sempre osservabile per

costruzione. .1000~

,~

1000

010

001

000

~3

2

1

3

2

1

C

BA

nn b

b

b

b

a

a

a

a


Dualità

Dato un sistema SISO strettamente proprio di matrici (A, B, C), la sua

funzione di trasferimento, scalare, coinciderà ovviamente con la sua

trasposta:

TTn

T

TTn

TT

nT

n

s

sssGssG

CAIB

CAIBBAICBAIC

1

11

TTT BCCBAA ~

,~

,~

BAIC~~~ 1

nssG

Posto allora:

risulta:

(sistema duale)

Il sistema duale è quindi una realizzazione alternativa della f.d.t.

La forma canonica di osservazione è il sistema duale della forma

canonica di controllo.


Passaggio in forma canonica

Dato un sistema raggiungibile, come effettuare il cambiamento di variabili

di stato per portarlo in forma canonica di controllo?

Algoritmo

Data (A,B) coppia raggiungibile:

Calcolare

Ricavare la coppia ( ) dai coefficienti ai

Calcolare le matrici di raggiungibilità

Calcolare

122

11det asasasass n

nn

nn

AI

BA ˆ,ˆ

rr KK ˆe

1ˆ rr KKT


Passaggio in forma canonica - esempio

Calcolo polinomio caratteristico:

1

0

0

,

201

101

011

BA

1331221

201

11

011232

sssssss

s

s

s

s AI

Calcolo forma canonica di controllo:

1

0

0

ˆ,

331

100

010

ˆ BA

Calcolo matrici di raggiungibilità:

631

310

100

ˆˆˆˆˆˆ,

421

210

10022 BABABKBAABBK rr

Calcolo matrice T:

110

011

001

001

012

120

631

310

100

ˆ 1rr KKT


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