Elementi sollecitati assialmente Questi elementi si risolvono molto semplicemente, tuttavia vengono esposti concetti basilari che

poi saranno esportati ai casi di elementi monodimensionali sollecitati in modo più complesso

VARIAZIONE DI LUNGHEZZA

L’elemento più semplice da immaginare è la molla, che può essere

messa in trazione o compressione

Si noti che la sua reazione non corrisponde alla tensione nelle spire

(la quale è piuttosto derivante da torsione)

Per carichi applicati non elevati la molla reagisce elasticamente:

P k f P 1f k

k = rigidezza [ N/m ] f = flessibilità [ m/N ]

Una barra prismatica agisce come una molla; allungamento (+):

PL

L LE EA

;EA L

k fL EA

accorciamento (-):

Le variazioni di lunghezza sono in genere molto piccole - il che giustifica il riferimento alla

lunghezza indeformata L

CAVI o FUNI

Sono elementi particolari in quanto reagiscono a trazione, ma non supportano la compressione

Le funi sono composte di trefoli intrecciati,

che possono essere a loro volta intrecciati

fra loro

1 25.4 inch mm

1 / 14.6 N / mlb ft

1 4.45 Nlb

Esempio di proprietà funi

Dato il fatto che esistono spazi vuoti nell’avvolgimento, il

modulo elastico effettivo è minore di quello della barra di

pari diametro nominale

60 80 % effettivo acciaioE E

Le funi possono essere avvolte in tamburi senza

produrre resistenza a flessione e sollecitazioni

significative se i diametri di avvolgimento sono

adeguati

Le normative indicano, per ogni tipologia, i

diametri minimi di avvolgimento

Esempio

La struttura a contrappeso ABC (rigida) è

appoggiata su due elementi verticali BD e CE.

Le barre sono in acciaio con E= 205 GPa

ABD= 1020 mm2 / ACE= 520 mm2

Calcolare il massimo carico che comporta

spostamento in A di 1 mm.

.6

2 2

3 4803 6.887 10

20500 1020

BDBD

BD

P mmP LP mm

EA N mm mm

.6

2 2

2 6002 11.26 10

20500 520

CECE

CE

P mmP LP mm

EA N mm mm

Entrambi gli spostamenti sono espressi in funzione del carico applicato P

Soluzione:

L’equilibrio dei momenti ci fornisce i due carichi di

compressione e trazione, rispettivamente in BD e CE:

4502

225CEF P P

6753

225BDF P P

Essendo rigido l’elemento ABC, esso si

inclina di un unico angolo per cui:

.8 .6 .6tan 8.065 10 675 11.26 10 43.18 10 A CEAA AC P P mm

.66.887 11.26 10tan

225

BD CEP

BC

.8tan 8.065 10 P

.6 .6

123158

43.18 10 43.18 10

AP N

Con questo valore di P, l’angolo di rotazione risulta molto piccolo: 0.0019 rad = 0.11 °

N.B. Si è implicitamente assunto che la flessione dell’elemento BD sia trascurabile ai

fini dello spostamento verticale (piccoli spostamenti)

DEFORMAZIONE DI ASTE SOLLECITATE IN MODO COMPLESSO

Alla trave di figura sono applicati 3 carichi concentrati PD, PC, PB

Sezionando le travi al centro di ogni tratto sollecitato in

modo costante si possono determinare le forze interne:

1 ;B C DN P P P 2 ;C DN P P 3 DN P

1 11 ;

N L

EA 2 2

2 ;N L

EA 3 3

3

N L

EA

1 2 3tot 1

ni i

tot

i i

N L

EA

generalizzando

Sezioni variabili a tratti

Se invece la sezione e le sollecitazioni variano con continuità lungo l’asse

longitudinale x, la sommatoria diviene un integrale:

N x dxd

EA x

0

L

tot

N x dx

EA x

2

2

0 012 12

xN x g M H x d d H d

L

Esempio – asta conica

Una asta conica supporta alla fine in una massa M ed è soggetta

al peso proprio. Determinare la legge con cui varia la

sollecitazione lungo l’asse.

L’angolo di semiconicità si ricava da

tan2

d

L

Chiamando H la distanza tra la base in d0

e il vertice cono (non disegnato): 0 01

2 tan

d d LH

d

2

04

xA x d d

L

2

12conoV d h

0Ld d d

2 22 00 2

2

0

3 312

;

4

xd d x dg M x d

L LN xx

EA x xE d d

L

x E x

α

x

L x

N x

3

0; 10 ; 0.1 ; 0.3 ; 7800 / ; 10 ;Lacciaio L m d m d m kg m M t

0

L

L x x dx

Con le dimensioni assegnate, la

massima sollecitazione si ha nella

sezione più bassa (x=0)

0

N xx

A x

Hp

?A x

Si impone l’equilibrio all’elementino dx:

0 0 0A dA A Adx

ASTE DI UNIFORME RESISTENZA

Sono elementi che presentano (approssimativamente) in ogni punto il medesimo stato di tensione

dx

x

P Anche se la sezione è variabile, con cautela si può presumere che

essa sia sempre costante nella sezione (errore 3% se angolo = 20°)

A x

A x dA x

0

dAdx

A

Si separano le variabili e differenziali affini

per poter integrare: 0

dAdx C

A

0

ln A x C

Esponenziale:

0 0

x C x

A e C e

Condizione contorno

0 0A P

0C A

0

0

x

A x A e

ASTE STATICAMENTE INDETERMINATE

Finora sono state analizzate solo strutture la cui soluzione ha richiesto le sole equazioni di

equilibrio - staticamente determinate

In conseguenza di ciò le proprietà del materiale non hanno influenza sulla soluzione trovata

In molti casi invece, le equazioni di equilibrio non sono

sufficienti a determinare tutte le incognite

0 0vert A BF R R P

Si può introdurre una condizione aggiuntiva relativa al fatto che

l’allungamento totale tra i due incastri è nullo, ottenendo la II equazione

; A B

Pb PaR R

L L

0AB AC CB 0A BR a R b

EA EA

Equazioni di compatibilità

Nelle equazioni di compatibilità compaiono esplicitamente le

caratteristiche dei materiali (leggi costitutive) per collegare gli

spostamenti ai carichi incogniti

Soluzione:

Lo schema di corpo libero AB evidenzia la

presenza di 4 incognite

Esercizio

Una trave rigida AB è attaccata ad uno

snodo C mediante due tiranti CB e CD.

Determinare le tensioni sui due cavi.

L’equilibrio dei momenti in A consente di far

comparire 2 sole incognite

1 1 2 20 sin 2 sin 2AM T b T b Pb

Ma, dalla geometria (piccoli spostamenti): 1 22 2

sin =1 2 ; sin =1 52 5

b b

b b

1 2 22

2 5

T b T bPb

Equazione di compatibilità:

Dopo la deformazione, i punti A D B debbono restare allineati

Dal teorema di Talete, si ha che

2 12

Introducendo le

lunghezze indeformate 1 1 2 2/sin ; /sinL b L b

1 1

1

1

1

sin

T L

EA

2 2

2

2

1

sin

T L

EA

Legame costitutivo:

11

2T b

EA

22

5T b

EA

2 15 4T T

Si può ora sostituire questa ultima nell’eq. equilibrio ottenendo:

1 2 2

10 10 4 1.406 ; 1.125

58 2 5 5T P P T T P

N.B. Le caratteristiche del materiale (EA) non compaiono solo perché uguali nei due cavi

Note le tensioni, le altre reazioni vincolari si determinano dal solo equilibrio forze orr/vert

EFFETTI LEGATI A VARIAZIONE DI TEMPERATURA

Anche cambi di temperatura (rispetto a quella di riferimento – montaggio) possono indurre

deformazioni termiche e tensioni termiche

TSe il blocco non è vincolato, si espande liberamente in

tutte le direzioni, mantenendo la forma

T T Se l’espansione termica è

impedita, si possono generare

sollecitazioni molto elevate!

100 acciaioT C

6 312 10 100=1.2 10T

L’impedimento provoca

deformazione contraria

(risultante nulla) dovuta al

carico vincolare

3 111.2 10 2.06 10 242 termica MPa

Se una struttura può espandersi liberamente non si instaurano sollecitazioni di coazione

Stati di coazione invece si possono avere se sussistono gradienti termici, se vi sono vincoli che

impediscono l’espansione libera, se si hanno passaggi di fase con conseguenti cambi di

proprietà del materiale

Questa struttura risulta staticamente determinata (6 gdl, 2+2+2 gdv)

In essa si possono avere variazioni di temperatura sulle due travi,

senza che ciò comporti l’insorgere di sollecitazioni su di esse o

variazioni delle reazioni vincolari

Le strutture Staticamente Determinate non si tensionano per

effetto di cambiamenti uniformi di temperatura

Le strutture Staticamente Indeterminate si possono o

meno tensionare a seconda di come vengono applicati i

cambiamenti di temperatura

ΔT applicato a tutti i membri non produce tensioni

ΔT applicato ad una sola asta produce tensioni

Effetto eccezionale ondata calore su ferrovia

Da catalogo giunti per piping Semplice assorbitore per def. termica

Giunzione su tratti di viadotto

Montaggio giunzione su grande tubazione

per recupero dilatazioni termiche

Esempio

Un dado è avvitato sulla vite finché non si

ha il recupero totale dei giochi su un

elemento cavo di materiale con coefficiente

di espansione maggiore della vite.

Determinare le tensioni e l’allungamento

del complessivo in seguito a un ΔT

Ora si esprime la condizione che la somma

degli spostamenti per vite e elemento sia =

1 3 2 4Tot S VS V

S S V V

P L P LTL TL

E A E A

1 S T L 2 V T L

3S

S S

P L

E A

4V

V V

P L

E A

Soluzione:

Per risolvere il problema dovremo: (i)

eliminare un vincolo (testa vite), (ii) lasciare

la libera espansione, (iii) inserire i carichi e

l’uguaglianza degli spostamenti alla testa vite

L

+

PV

Finora non si sono utilizzate le equazioni di equilibrio, ma solo la condizione di congruenza

S VP P P S V

S V S V

S S V V

TP E E A A

E A E A

S V

S S V V

S S S V V

TPE E A

A E A E A

Per le tensioni deriva

S V

V S V S

V S S V V

TPE E A

A E A E A

compressione trazione

Si noti che le tensioni non dipendono dalla lunghezza

1 3 2 4

S S S V V V

Tot

S S V V

E A E A TL

E A E A

Per le deformazioni si riprende la congruenza, sostituendo P

Come verifica si può notare che se i materiali fossero gli stessi, la soluzione si semplifica in

modo corretto

0S V Tot T L

ENERGIA DI DEFORMAZIONE

La definizione dell’energia di un sistema è di fondamentale importanza. Mediante le

formulazioni energetiche si possono risolvere rapidamente molti problemi statici e dinamici

Se un carico viene applicato in regime

quasi statico fino ad un valore massimo,

esso si deforma raggiungendo allo stesso

tempo l’elongazione massima

Il lavoro compiuto è la somma di tutti gli

elementari prodotti carico – spostamento

Il lavoro compiuto dall’esterno produce deformazione e viene

totalmente immagazzinato in energia di deformazione 1 1

0

U W Pd

Se il carico applicato supera il punto A, di elasticità o di

reversibilità, alla rimozione dello stesso si ha solo un parziale

recupero

In ogni caso allo scarico la legge costitutiva torna ad essere

elastica lineare ma si ha una deformazione permanente OD

1 1

0

W Pd

Geometricamente =

area sottesa

ENERGIA nel caso di comportamento lineare elastico

L’area sottesa risulta semplicemente quella di un triangolo:

2

PU W

ma

PL

EA

2

2

P LU

EA

2

2

EAU

L

L’energia si può sommare nel caso di segmenti prismatici o integrare nel caso di sezioni variabili

2

1 2

ni i

i i i

N LU

E A

2

2

L

o

N xU dx

E x A x

Se vengono applicati più carichi, l’energia non può essere

calcolata dalla sovrapposizione semplice degli effetti

Si noti comunque che l’energia non è una

funzione lineare del carico applicato

Aumentando la lunghezza L si

incrementa l’energia assorbita

Aumentando E o A diminuisce

l’energia assorbita

A parità di carico!

DENSITÀ DI ENERGIA DI DEFORMAZIONE

Non è altro se non l’energia elastica immagazzinata per unità di volume

Per una trave prismatica soggetta a trazione-compressione tale densità è costante

2

22

U Pu

V EA

2

22

Eu

L

Ricordando le definizioni di tensione e deformazione

2

2u

E 2

2

Eu

La densità di energia immagazzinabile in un volume unitario da un

materiale al limite di elasticità proporzionale è detta modulo di resilienza

2

2

pr

ruE

La resilienza è la capacità di un materiale di assorbire energia in campo elastico

La densità di energia immagazzinabile da un materiale al limite della rottura

(la relazione dipende dalla forma della curva tensione-deformazione) è detta

modulo di duttilità

0

R

du d

La duttilità è la capacità di un materiale di assorbire energia prima del cedimento

Esempio 1

Si calcoli l’energia immagazzinata per effetto

(i) del solo peso proprio e (ii) del peso proprio

con un carico aggiuntivo.

x

i ii

Identico risultato si poteva ottenere dalla densità energia:

N x

x L xA

22

2

L xu

E

22

02

L

V

L xU udV Adx

E

N x A L x

22

2 3

0 02 2 6

L L A L xN x ALU dx dx

EA EA E

i

ii N x A L x P

2

2 3 2 2

02 6 2 2

L A L x P AL PL P LU dx

EA E E EA

Termine dovuto al solo peso proprio Termine dovuto al solo carico P

Termine misto aggiuntivo

Pertanto, si vede come sulla energia

non si può applicare la semplice

sovrapposizione degli effetti

Esempio 2 Se la struttura è elastica, un solo carico agisce e lo

spostamento richiesto è quello di applicazione del carico, si può

ricavare lo spostamento applicando direttamente l’eq. energia

Il carico supportato da ciascuna delle due aste è

2cos

PN

L’energia immagazzinata è fornita dalla

22 2

3

0

2 22 2 4 cos

L N x N L P HU dx

EA EA EA

Per questo solo caso si può = l’energia immagazzinata con il lavoro esterno compiuto da P

2

32 4 cos

P P HW

EA

32 cos

PH

EA

Questa soluzione è quindi molto particolare e non va estesa a casi più generali!

CARICHI DI IMPATTO

Carichi statici È il caso di carichi applicati molto lentamente senza innescare vibrazioni o

altri effetti dinamici

Carichi dinamici Possono essere causati da impatto: urti fra corpi , oggetti che cadono, …

Possono essere variabili nel tempo: macchine rotanti, terremoti, vibrazioni,…

Esaminiamo il semplice caso di un grave che impatta su una flangia

terminale di una trave prismatica

La soluzione non approssimata di questo problema è assai

complessa, ma con alcune semplificazioni si può risolvere facilmente

Si cerca una soluzione in chiave energetica assumendo che:

1) L’energia cinetica alla fine impatto venga tutta assorbita dalla trave

prismatica

2) L’energia elastica assorbita dal collare è immagazzinata in modo

simultaneo da tutti i punti

3) Il collare ha un urto perfettamente plastico con la flangia senza rimbalzi

4) Ogni effetto dissipativo sia trascurabile e la massa della trave sia trascurabile rispetto M

Si uguaglia l’energia potenziale del grave = energia elastica trave

Due soluzioni, di cui una positiva:

2

max 2WL WL WL

hEA EA EA

2

maxmax

2

EAW h

L

Equazione di II grado W Mg

Si vede già che l’allungamento aumenta con il carico W e diminuisce

con il modulo di rigidezza trave EA

Dipende da h che è in genere >> st se h= 40 st max= 10 st

La precedente si può semplificare se h >> st 2

max 2 2st

MgL Mv Lh h

EA EA

L’ultima relazione semplificata si poteva ottenere direttamente omettendo nel calcolo della

energia potenziale la deformazione aggiuntiva

st

WL

EA 2

max 2st st sth L’allungamento risulta ben maggiore di

quello statico!

La sollecitazione massima si calcola dalla: max

max EL

st

W

A

2

max 2W W WE

hA A AL

max

21 1st

hEA

WL

Ancora si può semplificare se h >> st

2

max

2st

hE Mv E

L AL

In pratica, per diminuire gli effetti deleteri dell’impatto conviene adottare elementi flessibili

e non rigidi

L’aumento del volume o di A e L separatamente, causa una diminuzione della sollecitazione

massima ma l’aumento di A causa un incremento del fattore di impatto

Un caso del tutto particolare si ha quando il carico è applicato improvvisamente, da altezza h = 0

2

max 2st st st

2

max 2st st st

L’applicazione subitanea del carico provoca un

raddoppio degli effetti statici!

Viene chiamato fattore di impatto il rapporto tra la tensione max / tensione statica

Esso assume valori anche superiori a 100

Esempio

Un ascensore discende verticalmente con velocità v costante.

All’improvviso la puleggia subisce un subitaneo arresto.

Determinare la massima tensione supportata dal cavo nel transitorio

Soluzione:

Come punto di partenza occorre specificare che il cavo, prima

dell’arresto, non è a riposo ma supporta il peso W della cabina

La soluzione prevede il calcolo della energia immagazzinata prima

del blocco ed il suo trasferimento integrale all’energia elastica

immagazzinata nel cavo

21

2cin

WE v

g

Si trascura l’E.C. del cavo e della

puleggia con tutti gli organi rotanti

maxpot stE W Energia disponibile per l’ulteriore allungamento del cavo a blocco

2

2

ststrain st

EAE

L

Energia di deformazione accumulata per sostentamento statico

2 2

2 maxmax

1

2 2 2

stTot prima st Tot dopo

EA EAWE v W E

g L L

1000 ; 1 ; acciaioW kg d cm

2 2 2

max max

1

2 2

stst st

EAW EAv

g L L

stEA

WL

2 2

max 2

11 1 1 1st st

st st

Wv L v

gEA g

Questa ultima, riscritta in termini tensionali, ci fornisce la tensione massima

2

maxmax 1 1st

v EAE

L gWL

Aumenta sempre più significativamente al decrescere

della lunghezza del cavo svolto

Cresce con la velocità della cabina

Il fattore di impatto può essere anche molto grande

Soffre incrementi di rigidezza del cavo (EA)

CONCENTRAZIONI DI TENSIONE

Come si vede dalla figura, solo ad una certa distanza dal

punto di applicazione del carico lo stato tensionale è

quello ipotizzato in precedenza

Tensione nominale

Spostandosi di una quantità circa pari alle dimensioni

caratteristiche, la tensione diventa quella nominale

In generale, carichi concentrati o discontinuità agiscono in

un arco spaziale limitato

Definire un coefficiente di concentrazione delle tensioni K

che rapporti la tensione massima e quella nominale

max

nom

K

Esistono tabelle e grafici dove vengono raccolti i coeff. conc. per varie disuniformità

geometriche calcolati con soluzioni analitiche, metodi numerici avanzati, sperimentazione,…

Il progettista utilizza le soluzioni di St Venant amplificando poi i valori locali mediante K

Foro in una piastra sottile

Piastra con raccordo sulla larghezza

Albero con riduzione di diametro

In sollecitazioni statiche, nell’uso di materiali fragili

si utilizzano i fattori K tabellati

nell’uso di materiali duttili i fattori K vengono

considerati spesso unitari (ridistribuzione plastica)

ANALISI ELASTO - PLASTICA

Approssimare gli acciai dolci da costruzione in materiali

elasto – plastici perfetti è una buona approssimazione:

Utilizziamo la struttura iperstatica a fianco per illustrare

come si può operare in una analisi elasto plastica

A

AA

Equazioni di equilibrio: 1 22F F P

Equazioni di congruenza: 1 2

Per bassi carichi, il comportamento è totalmente elastico

1 1 2 21 2;

F L F L

EA EA 1 1 2 2F L F L

Risolvendo le due equazioni assieme:

2 11 2

1 2 1 2

; 2 2

PL PLF F

L L L L

2 1

1 2

1 2 1 2

; 2 2

PL PL

A L L A L L

Le precedenti sono vere finché la 2 = snervamento

2

1

21y y

LP A

L

Nell’incipiente snervamento della barra 2, l’allungamento è 22 2 y

y

LF L

EA E

Ulteriori incrementi di carico comportano che la F2 rimanga

costante e le altre aumentino

Ad un certo punto tutte e tre le barre saranno plasticizzate e

non si avranno ulteriori incrementi

1 2 ; 3y pl yF F A P A

1y

pl

L

E

Dal confronto delle due posizioni A e B, si evincono i rapporti:

1

2

pl

y

L

L

1

1 2 1 2

3 3

2 2

pl pl

y y

P L

P L L L L

La pendenza del tratto AB è minore della precedente OA, l’estensione dello stesso tratto è

tanto maggiore quanto maggiore è la differenza fra L1 e L2

Si noti che se il carico è rimosso dopo aver superato il primo snervamento (pt A) il

sistema non torna alla configurazione iniziale – si instaurano tensioni residue

Vediamo se insorgono tensioni residue allo scarico

1) Allungamento oltre il valore δpl (grandi spostamenti e deformazioni)

Δ

Sotto carico le tensioni in tutte le barre valgono sn

1 1L L Le lunghezze finali sono 2 2L L

1 1ln 1 L Dal punto di vista delle deformazioni vere: 2 2ln 1 L

Le dimensioni finali delle sezioni sono

(Hp. Conservazione del volume in plasticità)

1 1 1ln A A 1 1 1A AL L

2 2 2ln A A 2 2 2A AL L

Per rimuovere il carico si applica una forza -Ppl che provoca il seguente stato tensionale

2

1

1 1 2

1

2

2 1 2

2

2

pl

pl

P L

A L L

P L

A L L

Sostituendo i valori

finali di carico

1 2

1

1 1 2

1 2

2

2 1 2

3

2 3

3

2 3

y

y

L L

L L L

L L

L L L

Le tensioni residue risultano: 1 1 1 1

2 2 2 2

Res y

Res y

Ci sono tensioni residue piccole - ma non

nulle - dovute agli spostamenti non

infinitesimi

Le aste lunghe hanno residua trazione e

quella corta compressione (più consistente)

Vediamone un diagramma

nel caso particolare:

2

1 21 ; 1 ; 0.8 ;

350 ; 210 ;y

A cm L m L m

MPa E GPa

In questo caso i

carichi variano da 2

1

21y y

LP A

L

a 3pl yP A

1 1L L Le lunghezze finali sono 2 2L L

Le tensioni che derivano sono:

2 y

1 1

1

E EL

1

2yP E AL

2) Allungamento compreso tra δy e δpl (piccole deformazioni)

Δ

P

Risolvendo le due

equazioni assieme:

Le tensioni residue risultano dalla

somma delle due tensioni precedenti:

21

1 1 2

12

1 2

2

2

Res

Res y

PLE

L A L L

PL

A L L

Alla rimozione del carico (aggiunta di -P) la reazione è tutta in campo elastico in piccoli

spostamenti rispetto alla configurazione iniziale:

2

1

1 22

PL

A L L

1

2

1 22

PL

A L L

E globalmente per

tutto il campo elasto-

plastico e plastico