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Elementos de Trigonometria (1)
Américo Bento
DEP. DE MATEMÁTICA
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
O que é a Trigonometria?
Trigonometria = trigono(três ângulos) + metria = triângulo + medir.
A Trigonometria é o ramo da Matemática que trata dos processosque permitem calcular medidas de lados, ou ângulos, num triânguloa partir das medidas de outros lados, ou ângulos, no mesmotriângulo.É a «caixa de ferramentas» adequada para resolver muitosproblemas.Alguns exemplos (elementares):
identificar a largura de um rio sem ter de o atravessar;identificar a altura de um monumento ou de uma árvore (sem a elessubir!);identificar a altura de uma montanha; a inclinação de uma encosta; ainclinação da rua onde moramos;fazer o levantamento topográfico de terrenos;
...
Triângulos rectângulos semelhantes
1 ∆[ABE ] e ∆[ACD] são triângulos rectângulos semelhantes;2 os pares de lados correspondentes (lados homólogos) são:
([BE ], [CD]) , ([AB], [AC]) , ([AE ], [AD]) .
3 em triângulos semelhantes, os pares de lados homólogos sãoproporcionais, isto é, o quociente entre dois lados homólogos éinvariante, desde que tomados pela mesma ordem.
Triângulos rectângulos semelhantes
Formalmente, tem-se: |BE||CD| =
|AB||AC| =
|AE||AD| , isto é,
|BE ||CD| =
|AB||AC| e
|BE ||CD| =
|AE ||AD|
[
⇔ |BE ||AE | =
|CD||AD|
]
. (1)
Ora, relativamente ao ângulo com vértice em A, temos
(cateto opostohipotenusa
)
∆[ABE]
=BE
AE=
︸︷︷︸
por (1)
CD
AD=
(cateto opostohipotenusa
)
∆[ACD]
. (2)
Justificámos, assim, o facto:
Proposição
Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulosrectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto oposto e ahipotenusa, respectivos, é invariante.
Seno de um ângulo agudo
Este quociente depende, portanto, unicamente do ângulo; é, assim, umnúmero que podemos associar a cada ângulo agudo. Tal número foinomeado por SENO do ângulo.Se o ângulo é α, usamos a abreviatura sin(α) [ou sen(α)] para denotar oseno do ângulo α.
Definição
Sendo α um ângulo de um triângulo rectângulo, define-se o seno de α
pelo quociente entre o cateto oposto a α e a hipotenusa, isto é,
sin(α) =cateto opostohipotenusa
.
Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o seno dos ângulos agudos do triângulo.
Proposição
Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então sin(α) 6 1.
Um outro invariante... nos triângulos rectângulos
No quociente cateto opostohipotenusa , se substituirmos cateto oposto por cateto
adjacente temos uma outra invariância. Assim,
Proposição
Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulosrectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto adjacente e ahipotenusa, respectivos, é invariante. Isto é, é invariante o quociente
(cateto adjacente
hipotenusa
)
α
.
Demonstração. O caminho para justificar esta Proposição é idêntico aoque desenvolvemos para o seno de um ângulo. �Que nome atribuir a este número?Consideremos o seguinte: seja ∆[ABC] um triângulo rectângulo em C edenotemos por α e β os ângulos agudos opostos aos lados LA e LB,respectivamente.
Um outro invariante... nos triângulos rectângulos
Consideremos a informação contidana seguinte tabela:
α β
sin(·) LAhipotenusa
LBhipotenusa
cateto adjacentehipotenusa
LBhipotenusa
LAhipotenusa
Estes resultados e o facto de os ângu-los α e β serem complementares, istoé:
α+ β = 90o,
induziram a designação CO-SENO de um ângulo. Dizemosque LB
hipotenusa é o co-seno doângulo α por ser igual ao seno doseu complementar.• Se o ângulo é α, usamos a abre-viatura cos(α) para denotar o co-seno do ângulo α.
Definição
Sendo α um ângulo agudo de umtriângulo rectângulo, define-se oco-seno de α pelo quocienteentre o cateto adjacente a α e ahipotenusa, isto é,
cos(α) =cateto adjacente
hipotenusa.
Um outro invariante... o co-seno
Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três,quatro e cinco unidades de comprimento.Calcule o co-seno dos ângulos agudos do triângulo.
Proposição
Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então cos(α) 6 1.
Demonstração. ... �Para não esquecermos:
Proposição
Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então:
cos(90o − α) = sin(α);
sin(90o − α) = cos(α).
A fórmula fundamental da trigonometria
Temos:
sin(α) =|BC||AC| ;
cos(α) =|AB||AC| .
Logo:
sin2(α) =
( |BC||AC|
)2
=(|BC|)2
(|AC|)2 ; cos2(α) =
( |AB||AC|
)2
=(|AB|)2
(|AC|)2 .
Portanto,
sin2(α) + cos2(α) =(|BC|)2
(|AC|)2+(|AB|)2
(|AC|)2 =(|BC|)2 + (|AB|)2
(|AC|)2 =(|AC|)2
(|AC|)2 = 1.
A tangente de um ângulo (tangente trigonométrica)
Em triângulos rectângulos se-melhantes, foi mostrado quesão invariantes, os quocientes
(cat . op.)αhip.
,(cat . adj .)α
hip..
De modo semelhante, se mostra que o quociente (cateto oposto)α(cateto adjacente)α
éinvariante. Este invariante designa-se por tangente do ângulo α;denota-se por tan(α).
Definição
Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se:
tan(α) =(cateto oposto)α
(cateto adjacente)α.
Valores possíveis para tan(·) de um ângulo agudo
Relativamente a um ângulo agudo α de umtriângulo rectângulo, se o cateto oposto émaior do que o adjacente, temostan(α) = (cat. op.)α
(cat. adj .)α)
> 1.
Se o cateto oposto é igual ao adjacente,temos tan(α) = (cat. op.)α
(cat. adj .)α)
= 1.
Se o cateto oposto é menor do que oadjacente, temos tan(α) = (cat. op.)α
(cat. adj .)α)
< 1.
Portanto:
Proposição
Se α é um ângulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, então
tan(α) ∈ ]0, +∞[.
A co-tangente de um ângulo agudo
Uma vez que (cateto oposto)α(cateto adjacente)α
é invariante, o seu inverso tam-bém o é. Isto é, é invariante oquociente (cateto adjacente)α
(cateto oposto)α.
Este invariante é a tangentedo complementar de α. Portal facto, designa-se por co-tangente do ângulo α; denota-se por cot(α).
Definição
Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se:
cot(α) =(cateto adjacente)α(cateto oposto)α
.
Valores possíveis para cot(·) de um ângulo agudo
Relativamente a um ângulo agudo α de umtriângulo rectângulo, se o cateto oposto émaior do que o adjacente, temoscot(α) = (cat. adj .)α
(cat. op.)α)
< 1.
Se o cateto oposto é igual ao adjacente,temos cot(α) = (cat. adj .)α
(cat. op.)α)
= 1.
Se o cateto oposto é menor do que oadjacente, temos cot(α) = (cat. adj .)α
(cat. op.)α)
> 1.
Portanto:
Proposição
Se α é um ângulo cuja amplitude pertence aointervalo ]0o, 90o[, então
cot(α) ∈ ]0, +∞[.
Tangente versus co-tangente
Proposição
Sendo α um ângulo agudo:
tan(α) =sin(α)cos(α)
; cot(α) =cos(α)sin(α)
; tan(α) =1
cot(α).
Demonstração. Temos:
tan(α) =cat .op.cat .adj .
=cat .op.cat .adj .
hip.hip.
=
cat.op.hip.
cat.adj .hip.
=sin(α)cos(α)
; (...) �
Proposição
Sendo α um ângulo agudo:
tan(90o − α) = cot(α); cot(90o − α) = tan(α).
Demonstração. Temos: tan(90o − α) = sin(90o−α)cos(90o−α)
=︸︷︷︸
porque?
cos(α)sin(α) = cot(α).
(...) �
Razões trigonométricas do ângulo de 30o
sin(30o) =?1 O triângulo ∆[ABC] é rectângulo em B
e BAC = 30o.2 O triângulo ∆[ADB] é a reflexão do
∆[ABC] relativamente ao eixo AB.Logo, o triângulo ∆[ADC] é equilátero.
3 Assim: |BC| = 12 |DC| e
|AC| = |DC| = |AD|.4 Ora: sin(30o) = op.
hip. =|BC||AC| =(3)
12 |DC||AC| =(3)
12 |DC||DC| = 1
2 .
cos(30o) =? Pela FFT, cos2(30o) + sin2(30o) = 1. Portanto,...
tan(30o) =? tan(30o) = sin(30o)cos(30o)? cot(30o) =? cot(30o) = cos(30o)
sin(30o) ?
Proposição
sin(30o) = 12 ; cos(30o) =
√3
2 ; tan(30o) =√
33 ; cot(30o) =
√3.
Razões trigonométricas do ângulo de 60o
Comecemos por recordar que 60o + 30o = 90o, isto é, 60o e 30o sãocomplementares.Pelo que já vimos atrás, podemos escrever:
sin(60o) = cos(90o − 60o) = cos(30o) =√
32 .
cos(60o) = sin(90o − 60o) = sin(30o) = 12 .
tan(60o) = cot(90o − 60o) = cot(30o) =√
3.
cot(60o) = tan(90o − 60o) = tan(30o) =√
33 .
Proposição
sin(60o) =√
32 ; cos(60o) = 1
2 ; tan(60o) =√
3; cot(60o) =√
33 .
Razões trigonométricas do ângulo de 45o
sin(45o) =?1 O triângulo ∆[ABC] é isósceles e
rectângulo em B.2 Logo, os ângulos adjacentes ao lado
[AC] são geometricamente iguais. Umavez que são ângulos complementares,decorre que a sua amplitude é de 45o.
3 Por serem complementares, o seno deum coincide com o co-seno do outro.Assim, sin(45o) = cos(45o).
4 Imediatamente, temos:tan(45o) = cot(45o) = 1.
Usando (3) na FFT, temos: 2 sin2(45o) = 1 ⇔ ...
Consequentemente: cos(45o) = ...;
Proposição
sin(45o) = cos(45o) =√
22 ; tan(45o) = cot(45o) = 1.
Elementos de Trigonometria (2)
Américo Bento
DEP. DE MATEMÁTICA
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
Funções trigonométricas
Sentido POSITIVO de leitura
Semi-recta OP é o lado origem.
Semi-recta OQ é o lado final.
Funções trigonométricas
Sentido NEGATIVO de leitura
Semi-recta OP é o lado origem.
Semi-recta OQ é o lado final.
Funções trigonométricas
Ângulo GENERALIZADO
Amplitude α ou... α mais uma volta?A cada par ordenado de semi-rectas corresponde uma família deamplitudes da forma α + k × 360o, k ∈ Z.
Funções trigonométricas — Arco GENERALIZADO
A cada par ordenado de pontos sobre uma circunferênciacorresponde uma família de amplitudes de arco da formaα + k × 360o, k ∈ Z.Ao arco(PQ) corresponde a família da forma α + m × 360o, m ∈ Z.Ao arco(QP) corresponde a família da forma β + n × 360o, n ∈ Z.
Funções trigonométricas — Quadrantes
Diz-se um ângulo pertence ao 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes se o ladoorigem é Ox+ e tem lado final no 1o, 2o, 3o ou 4o quadrantes,respectivamente.
Funções trigonométricas — Função seno
No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
A definição sin(α) := ordenada de Pdis(P,O)
preserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.
Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, os triângulos rectângulos∆[OBP] e ∆[OEQ] sãosemelhantes.
Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definição (Nova definição de seno de um ângulo)
Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem
Ox+, define-se seno de α pela relação sin(α) =y
dis(P,O).
Funções trigonométricas —— sin(180o − α) = sin(α)
A semi-recta OP é o lado final do ângulo α.A semi-recta OP ′ é a reflexão de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P ′ nasemi-recta OP ′ de tal modo que P e P ′ têm uma mesma ordenada edis(P,O) = dis(P ′,O). Consequentemente:
sin(180 − α) =ordenada de P ′
dis(P ′,O)=
ydis(P ′,O)
=y
dis(P,O)= sin(α).
O seno de um ângulo e o círculo trigonométricoPara cada ponto Bsobre a fronteira docírculo, o seno doângulo com lado origemOx+ e lado final OB é aordenada do ponto B.
Sinal da função seno:1o e 2o quadrantes:positivo;3o e 4o quadrantes:negativo.
Proposição (Variação)
∀α, −1 6 sin(α) 6 1.
Proposição (Paridade)
∀α, sin(−α) = − sin(α).
Variação monótona e periodicidade do seno
A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata:
ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360o têm igual seno;
nos 1o e 4o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta o seno;
nos 2o e 3o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui o seno.
Estas três asserções merecem registo formal. Assim:
Proposição (Periodicidade do seno)
Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:sin(α+ k × 360o) = sin(α).
Proposição (Variação monótona do seno: 1o e 4o quadrantes)
Sejam α, β ∈ [−90o, 90o]. Se α<β então sin(α)< sin(β).
Proposição (Variação monótona do seno: 2o e 3o quadrantes)
Sejam α, β ∈ [90o, 270o]. Se α<β então sin(α)> sin(β).
Funções trigonométricas ::: Função co-seno
No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
A definição cos(α) := abcissa de Pdis(P,O)
preserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.
Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, os triângulos rectângulos∆[OBP] e ∆[OEQ] sãosemelhantes.
Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definição (Nova definição de co-seno de um ângulo)
Sendo P(x , y) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem
Ox+, define-se co-seno de α pela relação cos(α) =x
dis(P,O).
Funções trigonométricas ::: cos(180o − α) = − cos(α)
A semi-recta OP é o lado final do ângulo α.A semi-recta OP ′ é a reflexão de OP relativamente ao eixo Oy .Portanto, a cada ponto P(x , y) em OP corresponde um ponto P ′ nasemi-recta OP ′ de tal modo que P e P ′ têm abcissas simétricas edis(P,O) = dis(P ′,O). Consequentemente:
cos(180 − α) =abci . de P ′
dis(P ′,O)=
−xdis(P ′,O)
= −x
dis(P,O)= − cos(α).
O co-seno de um ângulo e o círculo trigonométrico
Para cada ponto Bsobre a fronteira docírculo, o co-seno doângulo com lado origemOx+ e lado final OB é aabcissa do ponto B.
Sinal do co-seno:1oQ e 4oQ: positivo;2oQ e 3oQ: negativo.
Proposição (Variação)
∀α, −1 6 cos(α) 6 1.
Proposição (Paridade)
∀α, cos(−α) = cos(α).
Variação monótona e periodicidade do co-seno
A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata:ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360o têm igual co-seno;nos 1o e 2o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui oco-seno;nos 3o e 4o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta oco-seno.
Estas três asserções merecem registo formal. Assim:
Proposição (Periodicidade do co-seno)
Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:cos(α+ k × 360o) = cos(α).
Proposição ( co-seno: 1o e 2o quadrantes = DECRESCENTE )
Sejam α, β ∈ [0o, 180o]. Se α<β então cos(α)> cos(β).
Proposição ( co-seno: 3o e 4o quadrantes = CRESCENTE)
Sejam α, β ∈ [180o, 360o]. Se α<β então cos(α)< cos(β).
Funções trigonométricas ::: Função tangente
No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
1 Para cada ponto P(x , y), x 6= 0,definição tan(α) := ordenada de P
abcissa de Ppreserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.
2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, o ∆[OBP] e o ∆[OEQ]são semelhantes.
3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definição (Nova definição de tangente de um ângulo)
Sendo P(x , y), x 6= 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado
origem Ox+, define-se tangente de α pela relação tan(α) =yx.
Periodicidade e paridade da função tangente
No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
O ângulo (180o + α) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP ′, sendo P ′ o simé-trico de P relativamente à origem O.Consequentemente, as coordenadasde P ′ são simétricas das coordenadasde P. Temos, portanto:
Proposição (Periódica...)
Se existe tan(α) então∀ k ∈ Z, tan(α+ k ×180o) = tan(α).
Proposição (Par ou ímpar?)
Se existe tan(α) entãotan(−α) = − tan(α).
Exemplos. Exercícios 20(d),(f).
Função tangente como função de seno e do co-seno
Para cada ânguloα 6= 90o + k × 180o, k ∈ Z, cujolado final seja a semi-recta OP,
podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a tangente de α.Assim, podemos tomar o ponto de in-tersecção da semi-recta OP com afronteira do círculo trigonométrico.As coordenadas de tal ponto são(x , y) = (cos(α), sin(α)). Logo,
Proposição
Se cos(α) 6= 0 então tan(α) = sin(α)cos(α) .
Exercício. Usando a caracterizaçãoprecedente para tan(α), mostre que:
1 tan(α+ 180o) = tan(α);2 a função tangente é ímpar;3 tan(180o − α) = − tan(α).
Círculo trigonométrico e o eixo das tangentes• Para identificar relações entre as tan-gentes de diferentes ângulos usa-se arecta paralela ao eixo das ordenadas naabcissa x = 1. Assim, tal recta é a tan-gente geométrica à fronteira do círculotrigonométrico no ponto (1,0).• O ponto P tem abcissa cos(α) e orde-nada sin(α). Logo, tan(α) = sin(α)
cos(α) .
• Por outro lado, ∆[OBP] e ∆[OET ] sãosemelhantes; portanto,tan(α) = ET
OE= ET
1 = y1 = y .
Justificámos, por conseguinte, o facto:
Seja α = ∢
(
Ox+, OP)
. Se existir,
tan(α) é a ordenada do ponto deintersecção da semi-recta OP coma recta de abcissa constante x = 1[eixo das tangentes].
Sinal e monotonia da tangente
Resumo: • se α = 90o + k × 180o, k ∈ Z, tan(α) não existe; • no 1oQ eno 3oQ, a tangente é positiva; • no 2oQ e no 4oQ, a tangente é negativa.
no 2oQ e no 3oQ, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente;nos 1oQ e 4oQ, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente.
Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente:
Proposição ( tangente: 2oQ e 3oQ ::: monótona CRESCENTE )
Sejam α, β ∈]90o, 270o[. Se α<β então tan(α)< tan(β).
Proposição ( tangente: 1oQ e 4oQ ::: monótona CRESCENTE)
Sejam α, β ∈]− 90o, 90o[. Se α<β então tan(α)< tan(β).
Este factos e a periodicidade da tangente permitem escrever:
Proposição
Em cada intervalo da forma ]− 90o + k × 180o; 90o + k × 180o[, k ∈ Z, atangente é crescente. ?? sinal da derivada ??
Variação da tangente
• Podemos concluir que quando α per-corre o conjunto ]−90o; 90o[, tan(α)“passa” por todas as ordenadas do eixodas tangentes. Portanto, tan(α) per-corre todos os valores de −∞ a +∞,isto é, o intervalo ]−∞; +∞[.• Este facto e a periodicidade da tan-gente justificam a seguinte asserção:
Proposição
Para cada k ∈ Z, se α percorre oconjunto]− 90o + k × 180o; 90o + k × 180o[então tan(α) percorre o intervalo]−∞; +∞[.
Funções trigonométricas ::: Função co-tangente
No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
1 Para cada ponto P(x , y), y 6= 0,definição cot(α) := abcissa de P
ordenada de Ppreserva a definição construídacom base num triângulorectângulo.
2 Qualquer ponto na semi-rectaOP pode ser tomado; de facto,dados P,Q no lado final doângulo, o ∆[OBP] e o ∆[OEQ]são semelhantes.
3 Assim, o ponto a considerar podeser escolhido à distância de umaunidade da origem: dis(P,O) = 1
Definição (Nova definição de co-tangente de um ângulo)
Sendo P(x , y), y 6= 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado
origem Ox+, define-se co-tangente de α pela relação cot(α) =xy.
Periodicidade e paridade da função co-tangente
No esquema precedente, o ânguloα tem lado origem na semi-rectaOx+ e lado final na semi-recta OP.
O ângulo (180o + α) tem lado ori-gem na semi-recta Ox+ e lado finalna semi-recta OP ′, sendo P ′ o simé-trico de P relativamente à origem O.Consequentemente, as coordenadasde P ′ são simétricas das coordenadasde P. Temos, portanto:
Proposição (Periódica...)
Se existe cot(α) então∀ k ∈ Z, cot(α+ k × 180o) = cot(α).
Proposição (Par ou ímpar?)
Se existe cot(α) entãocot(−α) = − cot(α).
Função co-tangente: função de co-seno e do seno
Para cada ânguloα 6= 0o +k ×180o, k ∈ Z, cujo ladofinal seja a semi-recta OP,
podemos tomar um ponto qualquernesta semi-recta [excepto (0,0)] paraescrever a co-tangente de α.Assim, podemos tomar o ponto de in-tersecção da semi-recta OP com afronteira do círculo trigonométrico.As coordenadas de tal ponto são(x , y) = (cos(α), sin(α)). Logo,
Proposição
Se sin(α) 6= 0 então cot(α) = cos(α)sin(α) .
Exercício. Usando a caracterizaçãoprecedente para cot(α), mostre que:
1 cot(α+ 180o) = cot(α);2 a função co-tangente é ímpar;3 cot(180o − α) = − cot(α).
Círculo trigonométrico e o eixo das co-tangentesyx�1 +1Eixo das o-tangentes
b
b x1 ot(�) = x1 = x ot(�) = os(�)sin(�) os(�)�Para identificar relaçõesentre as co-tangentesde diferentes ângulosusa-se a recta paralelaao eixo das abcissas naordenada y = 1. Assim,tal recta é a tangentegeométrica à fronteira docírculo trigonométrico no
ponto (0,1). O ponto P tem abcissa cos(α) e ordenada sin(α). Logo,cot(α) = cos(α)
sin(α) . Por outro lado, ∆[OQP] e ∆[OSR] são semelhantes;
portanto, cot(α) = ??= ?
1 = x1 = x . Justificámos, por conseguinte, o
facto: Seja α = ∢
(
Ox+, OP)
. Se existir, cot(α) é a abcissa do ponto
de intersecção da semi-recta OP com a recta de ordenada constantey = 1 [eixo das co-tangentes].
Sinal e monotonia da co-tangente
Resumo: • se α = 0o + k × 180o, k ∈ Z, cot(α) não existe; • no 1oQ e no3oQ, a co-tangente é positiva; • no 2oQ e no 4oQ, a co-tangente énegativa.
no 1oQ e no 2oQ, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente;nos 3oQ e 4oQ, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente.
Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente:
Proposição ( co-tangente: 1oQ e 2oQ ::: monótona DECRESCENTE )
Sejam α, β ∈]0o, 180o[. Se α<β então cot(α)> cot(β).
Proposição ( tangente: 3oQ e 4oQ ::: monótona DECRESCENTE)
Sejam α, β ∈]180o, 360o[. Se α<β então cot(α)> cot(β).
Este factos e a periodicidade da co-tangente permitem escrever:
Proposição
Em cada intervalo da forma ]0o + k × 180o; 180o + k × 180o[, k ∈ Z, atangente é decrescente. ?? sinal da derivada ??
Variação da co-tangenteyx�1 +1Eixo das o-tangentes
b
b x1 ot(�) = x1 = x ot(�) = os(�)sin(�) os(�)�• Podemos concluirque quando α percorreo conjunto ]0o; 180o[,cot(α) “passa” portodas as abcissas doeixo das co-tangentes.Portanto, cot(α)percorre todos osvalores de +∞ a −∞,
isto é, o intervalo ]−∞; +∞[.• Este facto e a periodicidade da co-tangente justificam a seguinteasserção:
Proposição
Para cada k ∈ Z, se α percorre o conjunto]0o + k × 180o; 180o + k × 180o[, então cot(α) percorre o intervalo]−∞; +∞[.
Elementos de Trigonometria (3)
Américo Bento
DEP. DE MATEMÁTICA
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
Conservação da FFT
O ângulo α tem lado origem na semirretaOx+ e lado final na semirreta OP.(1) Seja d = dis(P,O). De acordocom as definições de seno e de co-seno,temos sin(α) = y
d , cos(α) = xd .
(2) Logo, sin2(α) = y2
d2 , cos2(α) = x2
d2 .(3) Consequentemente:sin2(α) + cos2(α) = y2
d2 + x2
d2 = y2+x2
d2 .(4) Podemos interpretar d comoa hipotenusa do ∆[OPE ]. Assim, pelo
teorema de Pitágoras, d2 = (PE)2 + (EO)2 = |x |2 + |y |2 = x2 + y2.(5) De (3) e (4):
sin2(α) + cos2(α) = 1 .
Considere os casos: (i) OP coincide com Ox+; (ii) OP coincide comOy+; (iii) OP coincide com Ox−; (iv) OP coincide com Oy−.Verifique que a fórmula fundamental da trigonometria continua válida.
A unidade de medida: RADIANO
RADIANO é o menor ângulo (aocentro) determinando por um arcode circunferência de comprimentoigual ao raio.
1 Quantos RADIANOS cabem naamplitude de umacircunferência?... ou, de outromodo: quantas vezes cabe o raiode uma circunferência nelaprópria?
2 Ora, saber quantas vezes cabe rem 2πr é dividir esta quantidadepor aquela. Assim, 2πr
r = 2π; istoé, o raio r cabe 2π vezes nacircunferência de comprimento2πr .Logo, uma vez que a cada rcorresponde 1rad , é de esperarque na amplitude dacircunferência caibam 2π vezes1rad , isto é, 2πrad .
A unidade de medida: RADIANO
RADIANO é o menor ângulo (aocentro) determinando por um arcode circunferência de comprimentoigual ao raio.
• De facto, se ao raio r corresponde 1radiano (1rad) então ao comprimento2πr corresponde x radianos. Resol-vendo a equação que traduz esta re-lação de proporcionalidade:
1radr
=x
2πr⇔ x = 2πr
1radr
⇔ x = 2πrad .
• Consequentemente, temos:
360o ←→ 2πrad
180o ←→ πrad
90o ←→ (π/2)rad
60o ←→ (π/3)rad
45o ←→ (π/4)rad
30o ←→ (π/6)rad .
Amplitude de ângulo em radianos e a recta real
Qualquer amplitude de ângulo em graus pode ser expressa em radianos.• De facto, sendo α uma amplitude de ângulo (em graus) e x a mesmaamplitude em radianos, a relação de proporcionalidade
x está para α, assim como πrad está para 180o
permite escrever
xπrad
=α
180o ⇐⇒ x =α
180πrad .
• Esta unidade de medida — radianos — permite tratar cada amplitudede ângulo como uma grandeza escalar de natureza igual à natureza docomprimento do raio.• Escrevemos cos
(
π
3 rad)
no lugar de cos(60o); na forma simplificada:cos
(
π
3
)
.• Escrevemos sin
(
π
4 rad)
no lugar de sin(45o); na forma simplificada:sin
(
π
4
)
.• As expressões cos(2), sin(3), tan(5) são interpretadas comocos(2rad), sin(3rad), tan(5rad).
Seno ::: co-seno ::: tangente ::: co-tangente
lim sin xx , quando x → 0
Notemos que x , sin x ,tan x são grandezas da mesma natureza(estamos a usar a unidade radianos).Portanto, podemos escrever:• se x → 0+ então
sin x < x < tanx . (1)
• Dividindo (1) por sin x[notar que sinx > 0, se x → 0+], obtemos
1 <x
sin x<
1cos x
. (2)
• Aplicando lim, resulta
1 6 limx→0+
xsin x
6 limx→0+
1cos x
.
Uma vez que limx→0+1
cos x = 1, decorre que limx→0+x
sin x = 1.
• Logo: limx→0+
sin xx
= 1. (*)
lim sin xx , quando x → 0
? x → 0− ?
• Ora: x → 0− se, e só se, −x → 0+. Assim, por (*): lim−x→0+
sin(−x)−x
= 1.
• Mas, por outro lado,
lim−x→0+
sin(−x)−x
= limx→0−
− sin x−x
= limx→0−
sin xx
.
• Por conseguinte: limx→0−
sin xx = 1. Daqui e de (*), resulta:
limx→0
sin xx
= 1 .
Ex. Calcule: • (a) limx→0
sin(2x)3x
; • (b) limx→0
sin(3x)sin(5x)
; • (c) limx→0
sin(3x)tan x
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função real, de variável real, sin(·)
sin : R→ R, x 7→ sin(x) 1-1 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 y xFigura: Gráfico da função sin(x)
• Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo deamplitude 2π, ficamos a conhecer todo o gráfico.• No intervalo
]
−π
2 ,π
2
[
, sin(x) é monótona crescente. Logo, nesteintervalo, a sua derivada tem sinal positivo (= declive da tangentegeométrica ao gráfico).• O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é ointervalo [−1,1].• Os zeros da função ocorrem nos valores da forma kπ, k ∈ Z;(intersecção do gráfico com o eixo Ox).
A função real, de variável real, sin(·); derivada
Proposição
Sendo a e b dois ângulos, tem-se: sin a− sin b = 2 sina− b
2cos
a + b2
.
Exercício. Deduza a fórmula para sin a + sin b.Exercício. Deduza a fórmula para cos a + cos b.
Exercício. Deduza a fórmula para cos a − cos b.
Teorema (Derivada de sin(x))
A derivada de sin(x) é cos(x), isto é, sin′(x) = cos(x).
Demonstração. Usando a definição de derivada, temos:
(sin x)′ = limh→0
sin(x + h)− sin(x)h
= limh→0
2 sin x+h−x2 cos x+h+x
2
h
= limh→0
2 sin h2 cos
(
x + h2
)
h= lim
h→0
sin h2
h2
limx→0
cos(
x +h2
)
= 1 · cos(x) = cos(x). �
A função real, de variável real, sin(·); derivada
Teorema (Derivada de sin(u(x)))
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então aderivada da função sin(u(x)) é u′(x) cos(u(x)), isto é,(sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).
Demonstração. Recordemos: sin(u(x)) = (sin ◦u)(x). Portanto,
(sin(u(x)))′ = (sin ◦u)′(x) = (sin)′(u(x)) · u′(x) = u′(x) cos(u(x)). �
Exemplos
A função real, de variável real, cos(·)
cos : R→ R, x 7→ cos(x) 1-1 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6 y xFigura: Gráfico da função cos(x)
• Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo deamplitude 2π, ficamos a conhecer todo o gráfico.• No intervalo ]0, π[, cos(x) é monótona decrescente. Logo, nesteintervalo, a sua derivada tem sinal negativo (= declive da tangentegeométrica ao gráfico).• O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é ointervalo [−1,1].• Os zeros da função ocorrem nos valores da forma π
2 + kπ, k ∈ Z;(intersecção do gráfico com o eixo Ox).
A função real, de variável real, cos(·); derivada
Teorema (Derivada de cos(x))
A derivada de cos(x) é − sin(x), isto é, cos′(x) = − sin(x).
Demonstração. Usando a fórmula fundamental da trigonometria e aderivada de uma potência, temos:
1 sin2 x + cos2 x = 1⇐⇒ sin2 x = 1− cos2 x , (pela FFT);2 (sin2 x)′ = 2(sin x)′(sin x) = 2 cos x sin x , (derivada de uma
potência e derivada do sin(x));3 (1 − cos2 x)′ = 0− (cos2 x)′ = −2(cos x)′ cos x , (derivada da
diferença; derivada de uma potência);4 Por (1), (2) e (3), temos: 2 cos x sin x = −2(cos x)′ cos x .
Logo: (cos x)′ = − sin x . �
A função real, de variável real, cos(·); derivada
Teorema (Derivada de cos(u(x)))
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então aderivada da função cos(u(x)) é −u′(x) sin(u(x)), isto é,(cos(u(x)))′ = −u′(x) sin(u(x)).
Demonstração. Recordemos: cos(u(x)) = (cos ◦u)(x). Portanto,(cos(u(x)))′ = (cos ◦u)′(x) e
(cos ◦u)′(x) = (cos)′(u(x))·u′(x) = − sin(u(x))·u′(x) = −u′(x) sin(u(x)).
Exemplos
A função real, de variável real, tan(·)
Não existe tan(x) se x = π
2 + kπ, k ∈ Z. Portanto, tan(·) está definida emintervalos da forma
]
−π
2 + kπ, π
2 + kπ[
, k ∈ Z. Assim, para cada k ∈ Z:
tan :]
−π
2+ kπ,
π
2+ kπ
[
−→ R, x 7→ tan(x)
12345-1-2-3-4-51 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6
yxy = tan(x) Pela
periodicidade,conhecidoográficoem qualquerintervaloda forma
]
−π
2 + kπ, π
2 + kπ[
, k ∈ Z, ficamos a conhecer todo o gráfico.• No intervalo
]
−π
2 ,π
2
[
, tan(x) é monótona crescente. Logo, a suaderivada tem sinal positivo (= declive da tangente geométrica ao gráfico).
A função real, de variável real, tan(·) ::: derivada
Teorema
Se x 6= π
2 + kπ, k ∈ Z, então (tan x)′ = 1cos2 x .
Demonstração. Temos:
(tan x)′ =(
sin xcos x
)
′
=(sin x)′ cos x − sin x(cos x)′
cos2 x= · · · =
1cos2 x
. �
Teorema
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então:nos pontos x onde existe u′(x) e u(x) 6= π
2 + kπ, k ∈ Z, tem-se
(tan(u(x)))′ = u′(x)cos2(u(x)) .
Demonstração. Recordemos que tan(u(x)) é a expressão designatóriada composta da função u(·) com a função tan(·); isto é:(tan(u(x)))′ = (tan ◦u)′(x). Ora,
(tan ◦u)′(x) = (tan)′(u(x))·u′(x) =1
cos2(u(x))·u′(x) =
u′(x)cos2(u(x))
. (...) �
A função real, de variável real, tan(·) ::: derivada
ExemplosSendo f (x) = tan(2x3 − 2x + 1), temos:
f ′(x) =(2x3 − 2x + 1)′
cos2(2x3 − 2x + 1)=
6x2 − 2cos2(2x3 − 2x + 1)
.
Sendo g(x) = tan(sin x), temos:
g′(x) =(sin x)′
cos2(sin x)=
cos xcos2(sin x)
.
Sendo h(x) = tan(cos x), temos:
h′(x) =(cos x)′
cos2(cos x)=
− sin xcos2(cos x)
.
Sendo i(x) = tan(tan x), temos:
i ′(x) =(tan x)′
cos2(tan x)=
1cos2 x
cos2(tan x)=
1(cos2 x) cos2(tan x)
.
A função real, de variável real, cot(·)
Não existe cot(x) se x = 0 + kπ, k ∈ Z. Portanto, cot(·) está definida emintervalos da forma ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z. Assim, para cada k ∈ Z:
cot : ]0 + kπ, π + kπ[ −→ R, x 7→ cot(x).
12345-1-2-3-4-51 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6
yxy = ot(x) • Pela periodicidade,
conhecido o gráfico emqualquer intervalo daforma ]0 + kπ, π + kπ[,k ∈ Z, ficamos aconhecer todo o gráfico.• No intervalo]0 + kπ, π + kπ[, cot(x)
é monótona decrescente. Logo, a sua derivada tem sinal negativo (=declive da tangente geométrica ao gráfico).
A função real, de variável real, cot(·) ::: derivada
Teorema
Se x 6= kπ, k ∈ Z, então (cot x)′ = −1sin2 x
.
Demonstração. Temos:
(cot x)′ =(cos x
sin x
)′
=(cos x)′ sin x − cos x(sin x)′
sin2 x= · · · =
−1
sin2 x. �
Teorema
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então:nos pontos x onde existe u′(x) e u(x) 6= kπ, k ∈ Z, tem-se(cot(u(x)))′ = −u′(x)
sin2(u(x)).
Demonstração. Recordemos que cot(u(x)) é a expressão designatóriada composta da função u(·) com a função cot(·); isto é:(cot(u(x)))′ = (cot ◦u)′(x). Ora,
(cot ◦u)′(x) = (cot)′(u(x))·u′(x) =−1
sin2(u(x))·u′(x) =
−u′(x)
sin2(u(x)). (...) �
A função real, de variável real, cot(·) ::: derivada
ExemplosSendo f (x) = cot(2x3 − x + 1), temos:
f ′(x) =−(2x3 − x + 1)′
sin2(2x3 − x + 1)=
−6x2 + 1
sin2(2x3 − x + 1).
Sendo g(x) = cot(sin x), temos:
g′(x) =−(sin x)′
sin2(sin x)=− cos x
sin2(sin x).
Sendo h(x) = cot(cos x), temos:
h′(x) =−(cos x)′
sin2(cos x)=−(− sin x)
sin2(cos x)=
sin x
sin2(cos x).
Sendo i(x) = cot(tan x), temos:
i ′(x) =−(tan x)′
sin2(tan x)=− 1
cos2 x
sin2(tan x)=
−1
(cos2 x) sin2(tan x).