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SJBV
• Potencial Elétrico de distribuições contínuas de cargas
• Gradiente do Campo Elétrico
• Campos conservativos
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2
Potencial de distribuições de cargas e campos conservativos (Capítulo 4 - Páginas 86 a 95)
SJBV
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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas
x
z§ O potencial elétrico gerado no ponto r por uma
carga pontual Q1 no ponto r1 é:
V (!r ) = Q14πε0
1!r − !r1
!r!r1
Q1
A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste.
§ Se adicionarmos uma carga Q2 no ponto r2, o potencial no ponto r fica:
V (!r ) = Q14πε0
1!r − !r1
+Q2
4πε01!r − !r2
!r2Q2
y
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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas
x
z
Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico em r devido a ‘n’ cargas pontuais diferentes é a soma do potencial devido a cada uma das cargas isoladamente.
§ Se substituirmos as cargas pontuais por cargas com densidade ρi que ocupam um volume Δvi, cada, teremos:
V (!r ) = Qi
4πε01!r − !rii=1
n
∑
y
Origem
!r1
!rQ1
Q2
!r2
Qn
!rnV (!r ) = ρiΔvi4πε0
1!r − !rii=1
n
∑
§ Se Δvi tender a 0 e o número de elementos tender a infinito numa região, teremos uma distribuição contínua de cargas.
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Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas
x
z
• O Potencial Elétrico de uma distribuição contínua de cargas pode ser obtido tomando o limite de Δv à 0.
• O somatório se torna uma integral de volume.
y
!rV (!r ) = 14πε0
ρv r '( )dv '!r − !r 'V∫
dv'
!r '
V
ρv r '( )dv ' = ρs r '( )dS ' = ρl r '( )dl '
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Gradiente do potencial
• Se conhecemos a distribuição do potencial elétrico V uma dado ponto do espaço, podemos calcular o campo elétrico tomando o negativo do gradiente de V.
• Isto é o inverso de utilizar a integral de linha para calcular V a partir de E.
• Ou no caso do potencial de referência ser adotado como o infinito:
!E = −∇V [V /m]
VAB = −!E ⋅d!l
B
A∫ [V ]
VA = −!E ⋅d!l
∞
A∫ [V ]
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Gradiente do potencial
• O gradiente do potencial V em coordenadas cartesianas é
!E = − ∂V
∂xax +
∂V∂y
ay +∂V∂z
az⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
!E = − ∂V
∂ρaρ +
1ρ∂V∂φ
aφ +∂V∂z
az⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ (cilíndricas)
!E = − ∂V
∂rar +
1r∂V∂θ
aθ +1
rsenθ∂V∂φ
aφ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ (esféricas)
• O gradiente do potencial V em coordenadas cilíndricas é:
• O gradiente do potencial V em coordenadas esféricas é:
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Campo uniforme
§ O Potencial elétrico é um ‘campo escalar’ cuja distribuição espacial pode ser descrita através de linhas equipotenciais (lugares geométricos onde V = constante).
§ O gradiente de um campo escalar num ponto é um campo vetorial cuja magnitude é a ‘taxa’ de variação espacial máxima do escalar no ponto. O vetor no ponto aponta na direção de máxima variação do campo escalar.
§ Uma consequência disso é que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em cada ponto.
§ O campo elétrico aponta na direção de potenciais decrescentes (sinal negativo)
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Potencial de uma carga pontual
§ Vimos que o campo elétrico de uma carga pontual está na direção radial. No caso de cargas positivas, o campo aponta radialmente para fora.
V (!r ) = Q4πε0
1!r − !r '
§ As superfícies equipotenciais ao redor de uma carga pontual correspondem a superfícies esféricas:
!E(!r ) = Q
4πε0!R2 aR =
Q4πε0
!r − !r '( )!r − !r ' 3
§ O potencial elétrico diminui conforme nos afastamos da carga positiva.
§ Note que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em todos os pontos.
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§ Isto é equivalente a dizer que a integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é nula (por que?).
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Campos Conservativos e irrotacionais
§ O potencial eletrostático (gerado por cargas ou distribuições de carga) possui um valor único em cada ponto do espaço.
!E ⋅d!l"∫ = 0
§ Teorema de Stokes:
§ Qualquer campo vetorial definido através do gradiente de um campo escalar é conservativo.
!E ⋅d!l
C"∫ = ∇×
!E( ) ⋅d
!S
S∫E
C
S
§ Mas o rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo!
∇× ∇V( ) = 0!E ⋅d!l"∫ = 0
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Aplicação em Circuitos elétricos
§ No caso dos circuitos elétricos, o campo elétrico fica confinado na superfície dos condutores. O condutor ‘guia’ o campo elétrico, pois E = 0 longe dos condutores.
§ Para encontrar tensões usamos (indiretamente):
§ Isto possibilita utilizar elementos de parâmetros concentrados o que simplifica a matemática e solução de problemas. Não é necessário calcular distribuições de campos.
!E ⋅d!l"∫ = 0
§ Segunda Lei de Kirchhoff (malhas):
R1
R2
R3
R4
FEM – VR1 – VR2 = 0
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Considere o potencial e calcule o potencial
V, a magnitude do campo elétrico E, a direção e o sentido de E,
a densidade de fluxo elétrico e a densidade volumétrica de
cargas no ponto P(-4,3,6).
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V = 2x2y− 5z [V ]
Exemplo
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Dado o potencial
(a) Determine a densidade de fluxo elétrico em (2, π/2, 0).
(b) Calcule o trabalho realizado ao se movimentar uma carga de 10µC do
ponto A(1, 30º, 120º) até o ponto B(4, 90º, 60º).
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Exemplo
V = 10r2senθ cosφ [V ],
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Uma densidade superficial de carga uniforme de 20 nC/m2 está presente na
superfície esférica r = 0,6 cm no espaço livre.
(a) Calcule o potencial absoluto em (r = 1cm, θ = 25º, φ = 50º).
(b) Calcule VAB dados os pontos A(r = 2cm, θ = 30º, φ = 60º) e B(r = 3cm, θ = 45º,
φ = 90º).
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Exemplo