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M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 1
ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA
ELETTRICA ED ENERGETICA_3f (ultima modifica 18/10/2017)
Metodi numerici per la soluzione dei problemi
vincolati al contorno
I problemi vincolati al contorno possono essere risolti
analiticamente ottenendo soluzioni esatte, quando la frontiera o
contorno del dominio in esame e la distribuzione delle sorgenti sono
semplici.
Nei casi in cui la frontiera o contorno del dominio e la
distribuzione delle sorgenti è complessa, tali problemi possono
essere risolti in modo approssimato mediante metodi numerici.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 2
Le principali tecniche impiegate per questo scopo sono:
• il metodo delle differenze finite e
• il metodo degli elementi finiti.
In entrambi i metodi
• il dominio è suddiviso (discrettizzato) in sottodomini di forma semplice
• all’equazione differenziale alle derivate parziali ( es.: equazione di Laplace) si sostituisce
-un sistema di equazioni algebriche lineari (se il materiale è lineare***) o
-un sistema di equazioni algebriche non lineari (materiale non lineare),
che legano i valori che la funzione incognita assume nei nodi dei sottodomini considerati.
*** Esempio: In elettrostatica il materiale è lineare se il rapporto tra l’intensità della polarizzazione o vettore spostamento e quella del campo elettrico applicato è indipendente dall’ampiezza del campo elettrico, ossia:
costante elettrica litàsuscettibi χcon ,
e0EP
e
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 3
Il probema integro-differenziale in esame è dunque ricondotto ad
un problema algebrico.
Le relazioni algebriche così definite, forniscono una
rappresentazione tanto più accurata della funzione incognita
quanto più spinta è la discretizzazione fatta, cioè quanto maggiore
è il numero dei nodi. Inoltre la precisione dei risultati dipende
anche dal tipo, dalla forma e dall’ordine dell’elemento usato.
Lo sviluppo dei metodi numerici è stato, ed è favorito dalla crescita
rapidissima della “potenzialità di calcolo dei computer,
largamente diffusi.
Sono di seguito esposti i principi su cui sono basati i 2 metodi
citati e le linee guida fondamentali per l’utilizzo, con
riferimento alla soluzione di problemi in 2D.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 4
Metodo alle differenze finite
Si consideri nella regione piana , limitata dal contorno curvilineo
la funzione φ che in soddisfa all’equazione di Laplace:
e che sul contorno assume valori assegnati.
In tale regione è tracciato un reticolo a maglie quadrate di lato h
piccolo rispetto alle dimensioni della regione stessa:
0yx 2
2
2
2
A
B
o
y
x
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Nel reticolo si possono individuare:
• nodi interni, equidistanti dai nodi adiacenti (nodo A, centro di
una stella simmetrica) e
• nodi esterni (nodo B centro stella dissimmetrica)
h
h
h
h
1 3
2
4
h
h
h
h
1 3
2
4 b) a)
A B
A
B
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 6
Il valore di una funzione di campo generica in ciascuno dei nodi 1, 2, 3, e 4 (vertici di una stella di centro O) può essere espresso in funzione del suo andamento nel nodo O, in base allo sviluppo della funzione (x,y) in serie di Taylor nell’intorno del punto O stesso.
dove le derivate sono calcolate nel punto O di coordinate x0 e y0 .
...)y)(yx(xyx
2
)y(yy
)x(xx2
1
)y(yy
)x(xx
y)(x,
oo
o
2
2
o
o
2
22
o
o
2
2
o
0
o
0
o
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 7
Lo sviluppo della relazione precedente fornisce per la funzione
nei punti 1 e 3 della figura b) le seguenti espressioni***:
*** per i punti 1 e 2 compaiono solo i termini in x e per i punti 2 e 4 compaiono solo i termini in y
h y-y h yy 4 punto ilper
eh y-y h yy 2 punto ilper
e
h x- xh x x 3 punto ilper
eξh x- xξh x x 1 punto ilper
:essendo
. ...hx2
1h
x
...,hξx2
1ξh
x
00
00
00
00
2
0
2
2
003
22
0
2
2
001
3
b)
h
h
h
h
1
2
4
B
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 8
Moltiplicando l’ultima relazione per e sommandola a quella
immediatamente precedente si ha in funzione di x:
Una analoga relazione si ottiene per i punti 2 e 4 in funzione di y:
...,hx
ξ1ξξ1ξ 2
0
2
2
031
2
2η 1 η η 1 η h ...,2 4 0 2y0
...hx2
1h
x
, ...hξx2
1ξh
x
2
0
2
2
003
22
0
2
2
001
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 9
Se si trascurano i termini di ordine superiore al secondo, si
ottiene la seguente espressione approssimata per il laplaciano
della funzione , calcolata nel punto 0:
Scegliendo il valore di h opportunamente piccolo, l’errore di
troncamento, che si commette assumendo quest’ultima relazione
può essere mantenuto entro limiti accettabili.
2
042031
0
2
2
0
2
2
h
2
ηη)η(1η)η(1ξξ)ξ(1ξ)ξ(1
yx
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 10
Il metodo delle differenze finite consiste nel sostituire all’espressione differenziale del laplaciano, per ciascun nodo del reticolo, l’espressione approssimata che lega linearmente il laplaciano in un punto 0 e i valori di nei nodi adiacenti del reticolo che si è impostato.
In tal modo l’equazione di Laplace alle derivate parziali viene sostituita da un sistema di equazioni algebriche lineari dette equazioni alle differenze finite, una per ogni nodo del tipo:
dove ij indica il valore di nel nodo posto all’incrocio della riga i-esima e della colonna j-esima del reticolo per i nodi che sono centri di stelle.
0η
1
ξ
1
η1ξ1η)η(1ξ)ξ(1ij
j1,i1ji,j1,i1ji,
0ηη)η(1η)η(1ξξ)ξ(1ξ)ξ(1yx
2
hlim 042031
0
2
2
0
2
22
0h
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 11
In particolare per i nodi centri di stelle simmetriche risulta
= = h e l’equazione si semplifica ulteriormente, riducendosi a:
Occorre introdurre nell’equazioni le condizioni al contorno del
problema in esame.
Nel caso del problema di Dirichlet, risultano assegnati i valori di
in uno o più vertici di ciascuna stella di confine.
04 ijj1,i1ji,j1,ij1,i
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 12
Il sistema di equazioni algebriche che consente la determinazione
delle negli n nodi del reticolo assume la forma:
e con notazione matriciale:
dove [B] è il vettore colonna dei termini noti.
In ciascuna delle equazioni i termini noti Bi diversi da zero sono
quelli che dipendono dai valori assegnati di sul contorno.
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
BA...AA
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
BA...AA
BA...AA
A = B
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 13
Per il problema di Neumann e per il problema misto le
equazioni precedenti non possono essere impiegate per le stelle
che hanno vertici sulla parte del contorno in cui è assegnato il
valore di .
La soluzione del problema diventa complicata, tranne nel caso
in cui il contorno sul quale è specificato il valore di sia
rettilineo.
Si dimostra che il sistema risolvente anche in questo caso è dello
stesso tipo.
n
n
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 14
Metodo degli elementi finiti
Il metodo degli elementi finiti (FEM), come il metodo alle
differenze finite, è una tecnica numerica finalizzata a
cercare soluzioni approssimate di problemi descritti da
equazioni differenziali alle derivate parziali riducendo
queste ultime ad un sistema di equazioni algebriche.
Con questa metodologia è possibile risolvere problemi i cui
modelli analitici descritti con un sistema di equazioni alle
derivate non presentano una soluzione.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 15
Metodo degli elementi finiti
Il grande vantaggio di questa tecnica computazionale
consiste nel fatto che l'implementazione in un codice di
algoritmi iterativi, relativamente semplici, consente di:
• disporre di soluzioni, praticamente "esatte“, ossia con
una approssimazione accettabile, di problemi molto
complessi, altrimenti non ottenibili per altra via,
•con tempi di calcolo sensibilmente ridotti.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 16
Metodo degli elementi finiti
Il Metodo degli Elementi Finiti è dunque una tecnica di Analisi
Numerica volta ad ottenere soluzioni approssimate per una
molteplicità di problemi di Fisica e di Ingegneria.
Benché originariamente sviluppato per studiare il campo
tensionale nelle strutture aeronautiche, è stato poi esteso ed
applicato al vasto campo della Meccanica dei Continui e a tutti i
problemi che presentano analogie formali nei modelli analitici.
Per la sua varietà di impiego e duttilità quale strumento di
analisi è attualmente utilizzato nelle Università e nelle
Industrie in tutto il mondo, grazie anche allo sviluppo dei
software commerciali, come Ansys, FEM, Maxwell, COMSOL
e altri.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 17
Metodo degli elementi finiti
Il metodo degli elementi finiti trova origini nelle necessità di
risoluzione di problemi complessi di analisi elastica e strutturale e
nel campo dell’ingegneria civile e aeronautica.
I primordi del metodo possono essere fatti risalire
•agli anni 1930-1935 con i lavori di A. R. Collar e W. J. Duncan,
che introducono una forma primitiva di elemento strutturale nella
risoluzione di un problema di aeroelastica, e
•agli anni 1940-41 con i lavori di Alexander Hrennikoff e Richerd
Courant, dove entrambi, benché in differenti approcci,
condividevano l'idea di suddividere il dominio del problema in
sottodomini di forma semplice (gli elementi finiti).
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 18
Il metodo degli elementi finiti
• Quindi il metodo degli elementi finiti ( Finite Element Method o FEM ) ha origine nel campo strutturale-meccanico a partire dal secondo dopoguerra; solo successivamente si è avuta l’estensione alla soluzione di problemi di campo di tipo termico.
• L’applicazione ai problemi di tipo elettromagnetico incomincia, invece, a partire dagli anni ‘70 e solo per le geometrie bidimensionali.
• Nel corso degli anni ’80, con l’aumento della potenza di calcolo e della memoria dei calcolatori elettronici, si sono implementate anche formulazioni tridimensionali in termini di potenziale
scalare elettrico V e potenziale vettore magnetico . A
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 19
Il metodo degli elementi finiti
Oggigiorno, considerata la complessità delle forme dei sistemi elettromagnetici, il metodo degli elementi finiti è diventato uno strumento di calcolo indispensabile per la progettazione di dispositivi elettrici e magnetici in diverse aree, come:
• Problemi con guide d’onda
• Macchine elettriche
• Dispositivi con semiconduttori
• Microstrips
• Assorbimento di radiazioni elettromagnetiche nei materiali e nei corpi biologici.
• Plasma sottoposto a campi elettromagnetici
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 20
Il metodo degli elementi finiti
Il Metodo agli Elementi Finiti fornisce una soluzione approssimata di
equazioni differenziali alle derivate parziali di Laplace,
o di equazioni differenziali alle derivate parziali di Poisson:
0V2
JμA
ε
ρV
2
2
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 21
Metodo degli elementi finiti
Uno dei concetti base su cui si fonda il metodo di analisi
strutturale agli elementi finiti è quello della discretizzazione del
dominio continuo di partenza in un dominio discreto (mesh)
mediante l'uso di primitive (elementi finiti) di semplice forma:
•triangoli, rettangoli e quadrilateri etc.. per domini 2D,
•tetraedi, esaedri, ottaedri, dodecaedro e etc.. per domini 3D.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 22
Metodo degli elementi finiti
Attraverso la discretizzazione è possibile descrivere una
struttura con un numero finito di punti.
Un modo per discretizzare una struttura è quello di
dividerla in un sistema equivalente di strutture più piccole,
o unità, o forme elementari, tali che il loro assemblaggio
dia luogo alla struttura reale.
Su ciascun elemento caratterizzato da questa forma
elementare, la soluzione del problema è espressa dalla
combinazione lineare di funzioni dette funzioni di base o
funzioni di forma (shape functions).
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 23
Metodo degli elementi finiti
Da notare che la funzione soluzione viene approssimata, e non
necessariamente i valori che essa assume nei nodi del reticolo
saranno i valori esatti della funzione.
I valori che la funzione assume nei nodi sono quelli che
forniranno il minor errore su tutta la soluzione.
L'esempio tipico è quello che fa riferimento a funzioni
polinomiali, sicché la soluzione complessiva del problema
viene approssimata con una funzione polinomiale a tratti.
Il numero di coefficienti che identifica la soluzione su ogni
elemento è dunque legato al grado del polinomio scelto.
Questo, a sua volta, governa l'accuratezza della soluzione
numerica trovata.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 24
Metodo degli elementi finiti
Il metodo FEM consente di ottenere le equazioni algebriche con i
potenziali incogniti, imponendo che:
un funzionale sia minimo.
Esso si basa sulla possibilità di formulare in forma variazionale il
problema della determinazione della funzione continua , in un
volume o dominio Vol delimitato da una superficie o contorno
superficiale , dove la funzione soddisfa alle seguenti proprietà:
1) nel volume o dominio Vol : div(k grad )= - k2 = -,
dove k e sono funzioni scalari generalmente continue
assegnate in V;
2) nel contorno : assegnata su una parte di ;
assegnata sulla parte restante * di . n
k
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 25
Metodo degli elementi finiti
Per esempio nel caso di un campo elettrostatico la relazione definibile nella regione spaziale (volume Vol) delimitata dalla superficie , in cui è presente il campo, per la quale vale la relazione:
div(k grad )= - 2 = -
è l’equazione di Poisson;
essendo =V potenziale scalare elettrostatico definita in
χ = ρ è la densità di carica volumica definita nel Vol
k= ε è la costante dielettrica definita nel Vol
)V
y(
y)V
x(
x
ε
ρV
2
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Metodo agli Elementi Finiti o FEM:
• Il dominio racchiuso da un contorno vincolato, viene suddiviso in aree triangolari (o anche di altra forma più idonea per il perfetto ricoprimento della regione spaziale in esame), che possono avere dimensioni diverse, e
• non è necessario che le caratteristiche costitutive del materiale (permettività, resistività, permeabilità) siano omogenee per tutti gli elementi.
VINCOLO DA RISPETTARE
• i potenziali in tutti i vertici, nei quali non sia già stato assegnato il loro valore, vengono determinati, con approssimazione, imponendo il vincolo basato sul principio variazionale
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 27
Infatti il FEM ( Finite Element Method) si basa su un
principio variazionale secondo il quale in un sistema isolato
le configurazioni di equilibrio sono quelle e solo quelle per le
quali è minima l’energia immagazzinata, ossia deve essere
minima l’espressione:
• Tale punto di minimo della energia immagazzinata viene
identificato attraverso l’annullamento del differenziale
dell’energia potenziale associata a quel campo (principio
dei lavori virtuali):
dW=0.
21
2W E d
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 28
In questo modo, e` possibile sostituire il problema della
risoluzione di un sistema di
equazioni differenziali alle derivate parziali,
con il problema equivalente della determinazione del
minimo di un integrale espresso
con una equazione algebrica.
02
10 2 dτεE dW dW
τ
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 29
Per soddisfare il principio variazionale, la distribuzione del campo
potenziale V in una regione spaziale di volume , deve essere
tale da rendere minima l’energia immagazzinata in esso:
Tale energia per ciascun elemento della discretizzazione, nella
ipotesi di volumetto τe costituito da un prisma retto triangolare di
altezza unitaria (per ricondurre lo studio a 2D), con S l’area di
una delle basi, essendo , è esprimibile in funzione del
potenziale scalare V come:
21
2W E d
22
2 21 1 1
2 2 2e e
S Se
V VW E d E dS dS
x y
VE
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 30
22
2 21 1 1
2 2 2e e
S Se
V VW E d E dS dS
x y
:risulta V potenziale del funzionein W energia della eespressionl' cui da
yxE nalebidimensio è E campo il Se
za
ya
xaV
:poichè
zyxVEE VE
:essendo Infatti
222
zyx
222222
VV
V
VVV
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 31
V(x,y)
x
y Dominio
Contorno
Fig. 5
τe
S
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 32
ESEMPIO DI APPLICAZIONE
Applicazione e sviluppo del metodo FEM facendo le seguenti
ipotesi:
– geometria piana: 2-D,
– mezzo lineare, omogeneo ed isotropo,
– elementi triangolari,
– equazione di Poisson del campo elettrico (anche con gli altri
campi ci si riconduce, comunque, a formulazioni simili).
Con le ipotesi fatte la equazione di Poisson può essere scritta
come:
)()( V
yyV
xx
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 33
L’idea che sta alla base dell’approssimazione usata nel metodo è
quella di approssimare l’andamento della funzione incognita con
quello di alcune funzioni particolari ad andamento noto
generalmente polinomiali, ma anche funzioni trigonometriche ed
esponenziali.
Vengono presi in considerazione un numero di punti (nodi), interni
al dominio di integrazione, nei quali i valori della funzione f
approssimata risulteranno identici a quelli della funzione
approssimante polinomiale P(x) (teorema di Weierstrass).
Per esempio in un sistema lineare se f è definita nel dominio [a,b],
in tale intervallo fissato un > 0, deve essere: |f-P(x)|<
dove l’approssimazione varia con l’ordine del polinomio.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 34
Una volta suddiviso il dominio di integrazione in elementi
(che per adattarsi a un ricoprimento completo del dominio,
possono essere non regolari), si procede ad approssimare la
funzione incognita con delle funzioni interpolati ad
andamento noto, scegliendo
come incognite del problema trattato solo i
valori che la funzione assume nei nodi.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 35
L’approssimazione del metodo dipende:
• dal grado del polinomio e
• dal numero dei nodi ossia dalle dimensioni dell’intervallo di suddivisione.
Il numero dei nodi deve aumentare soprattutto nelle regioni in cui le grandezze del campo presentano forti gradienti.
In tali regioni, per applicare il metodo con la precisione richiesta, potrebbe essere necessario infittire i nodi solo in alcune regioni del dominio.
Il FEM consente di adattare opportunamente il numero dei nodi per le diverse regioni del dominio.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 36
L’applicazione del metodo degli elementi finiti prevede in
generale i seguenti 4 passi principali :
• -1) Discretizzare il dominio di applicazione dell'equazione
differenziale in funzione della grandezza fisica di campo V in un
numero finito di elementi,
• -2) Definire le relative equazioni algebriche in funzione della
grandezza di campo V per un generico elemento,
• -3) Assemblare di tutti gli elementi nel dominio del campo e
determinazione della energia totale W, determinata attraverso
l'assemblaggio degli elementi ed espressa come funzione dei
valori che la grandezza di campo V assume in ciascuna degli n
nodi della mesh: :
W = f (V1, V2, V3, ..., Vn)
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 37
• -4) Risolvere il sistema di equazioni lineari risultanti
dall'applicazione del principio variazionale, imponendo la
condizione di minima energia immagazzinata, che equivale alla
condizione di equilibrio del sistema.
Ciò comporta che le derivate parziali della funzione energia W
rispetto a ogni valore nodale della grandezza di campo Vk sia
pari a zero e cioè:
1,2,...nk ,0
kV
W
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 38
In questo modo si ottiene un sistema di n equazioni algebriche le
cui incognite sono valori che la grandezza di campo V assume in
ciascuna delle n nodi della maglia, ad eccezione di nodi sul bordo
del dominio, in cui la grandezza di campo (condizioni Dirichelet) o
la derivata normale della grandezza di campo (condizioni di
Neumann) è nota.
Quindi il valore della grandezza di campo in qualsiasi punto
all'interno dell'elemento triangolare generico sarà determinato con le
funzioni superficiali interpolanti in funzione dei tre valori della
grandezza di campo Vk nei nodi dell'elemento corrispondente.
1,2,...nk ,0
kV
W
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 39
In sintesi l’applicazione del metodo degli elementi finiti per i
campi elettromagnetici, prevede i seguenti passi:
– 1) Discretizzare il dominio di applicazione dell’equazione di
Poisson in un numero finito di elementi,
– 2) Definire le equazioni che governano un elemento
generico,
– 3) Assemblare tutti gli elementi del dominio in studio,
– 4) Risolvere il sistema di equazioni lineari ottenute
dall’applicazione del principio variazionale, imponendo la
condizione di energia minima immagazzinata, equivalente
alla condizione di equilibrio del sistema.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 40
La modellazione della struttura costituisce uno dei passi
più importanti dell’analisi in quanto in questa fase
vengono formulate diverse ipotesi che permettono la
semplificazione del modello reale e consentono la
riduzione del gran numero di dati da gestire.
I risultati saranno influenzati da queste assunzioni che
comunque una volta definite, permetteranno una corretta
interpretazioni dei valori numerici.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 41
1) Discretizzazione della regione
• Consiste nel suddividere il dominio di definizione del problema in un numero finito di elementi, ciascuno avente la stessa forma (nel nostro caso triangolare) e in modo che i lati di due elementi adiacenti siano coincidenti, come in fig. 3.
Fig. 3
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 42
Ciascun elemento è caratterizzato da un certo numero di punti disposti in posizioni prestabilite, che possono essere:
• i vertici dell’elemento;
• i centri dei suoi lati;
• i centroidi della sua superficie
e che sono chiamati nodi.
Per illustrare il metodo degli elementi finiti considereremo elementi triangolari con i nodi ai vertici (fig. 4).
Fig. 4
nodi
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 43
Condizioni da verificare e assumere come vincoli
Si considera, poi, un’approssimazione del potenziale Ve(x,y)
all’interno di ciascun elemento e
si interelaziona la distribuzione di potenziale nei vari elementi in
modo tale che :
• il potenziale sia continuo attraverso il confine tra elementi
adiacenti e
• tale da soddisfare il principio variazionale.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 44
In questo modo allora è possibile scrivere la relazione, come:
• dove:
–V(x,y) e` la soluzione vera del problema, che soddisfa sia
l’equazione di Poisson nel dominio di definizione, sia le
condizioni al contorno,
–Ne e` il numero totale degli elementi e
–le funzioni interpolanti Ve che in generale per due elementi
adiacenti devono assumere gli stessi valori in corrispondenza dei
punti comuni.
simo-e elementodell' esternoall' 0V
contorno suo nel e
simo-e elementodell' internoall' solo 0V
:con
y)(x,Vy)V(x,
e
e
Ne
1e
e
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 45
• In particolare, per il generico elemento triangolare si definisce:
- una numerazione dei nodi antioraria,
- il potenziale in ciascun nodo,
- la posizione di ciascun nodo nel piano x,y:
Si può notare che è assicurata la continuità della soluzione
poichè tutti i nodi sono comuni ad almeno due elementi.
1
(x1,y1)
Ve1
3
(x3,y3)
Ve3
2
(x2,y2)
Ve2
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 46
Per approssimare il potenziale all’interno del generico triangolo
con una funzione superficiale che in corrispondenza dei
punti 1, 2, 3, assuma rispettivamente il valori dei potenziali
V1,V2 e V3,
l’ approssimazione più semplice e` quella lineare, per la quale:
Ve(x,y)=a+bx+cy per gli elementi triangolari
Ve(x,y)=a+bx+cy+dxy per gli elementi quadrangolari
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 47
Assumendo che gli elementi siano triangolari, il potenziale
all’interno e sul contorno dell’elemento e-simo è dato da:
Ve(x,y)=a+bx+cy
che in forma matriciale si può scrivere:
• dove le costanti a, b e c sono incognite e possono essere
determinate in modo univoco in funzione dei potenziali e delle
coordinate ai nodi.
c
b
a
yxyxVe 1),(
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 48
• L’assunzione di approssimazione lineare equivale ad
ipotizzare il campo elettrico Eei costante all’interno di
ciascun elemento
• Ricordando, infatti, la relazione:
ed essendo: Vei(x,y)=ai+bi x+ci y,
si ottiene una espressione costante per il campo all’interno
del generico l’elemento iesimo:
con versori rispettivamente degli assi x e y.
- -( )x yei ei i i
E V b u c u
x yu e u
yxeiei u
y
Vu
x
VVE
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 49
2) Definire le equazioni che governano un elemento tipico
consiste nell’esprimere il potenziale all’interno del generico
elemento in funzione dei valori che il potenziale assume nei
tre nodi del triangolo Ve1 Ve2 e Ve3 , con le funzioni forma
come:
Ve(x,y)= N1(x,y) Ve1 + N2(x,y) Ve2 + N3(x,y) Ve3
essendo
N1(x,y), N2(x,y), N3(x,y) le funzioni di forma o shape function.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 50
Definizione delle funzioni forma
• Per i nodi di ciascun elemento triangolare è possibile scrivere il
sistema di equazioni:
• attraverso il quale è possibile determinare i coefficienti a, b e c in
modo univoco:
c
b
a
yx
yx
yx
V
V
V
cybxaV
cybxaV
cybxaV
e
e
e
e
e
e
33
22
11
3
2
1
333
222
111
1
1
1
3e
2e
1e
1
33
22
11
V
V
V
yx1
yx1
yx1
c
b
a
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 51
• e sostituendo nella espressione del potenziale all’interno del generico elemento, essendo;
si ottiene:
1
11 1
2 2 2
3 3 3
12 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2 2
3 2 1 3 2 1 3
1
( , ) 1 1 1
1
11
2
e
e e
e
e
e
e
Va x y
V x y x y b x y x y V
c x y V
Vx y x y x y x y x y x y
x y y y y y y y VS
x x x x x x V
),( cybxayxVe
3e
2e
1e
1
33
22
11
V
V
V
yx1
yx1
yx1
c
b
a
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 52
• Essendo S l’area dell’elemento, che può essere espressa come:
• oppure
con S > 0 , se i nodi sono numerati in senso antiorario.
1 1 1
2 1 ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2
1 3 3
x y
S x y x y x y x y x y x y x y
x y
2 1 3 1 3 1 2 1
1[( ) ( ) ( ) ( )]
2S x x y y x x y y
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 53
1 2 3 3 2 2 3 3 2
2 3 1 1 3 3 1 1 3
3 1 2 2 1 1 2 2 1
1( , ) [( ) ( ) ( ) ]
2
1( , ) [( ) ( ) ( ) ]
2
1( , ) [( ) ( ) ( ) ]
2
N x y x y x y y y x x x yS
N x y x y x y y y x x x yS
N x y x y x y y y x x x yS
0
1 0
1
3
2
1 0
0
1
3
2
1
0 0 1
3
2
1
1 1
( , ) 0 2
0 3
nel nodo
N x y nel nodo
nel nodo
2
0 1
( , ) 1 2
0 3
nel nodo
N x y nel nodo
nel nodo
3
0 1
( , ) 0 2
1 3
nel nodo
N x y nel nodo
nel nodo
Dal confronto delle relazioni precedenti le funzioni di forma risultano :
Le funzioni forma corrispondono alle superfici delimitate dai contorni rossi tratteggiati
e indicano la dipendenza della distribuzione del potenziale per l’elemento e-simo dal
valore che potenziali assumono rispettivamente nei tre nodi di tale elemento
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 54
La relazione precedente che esprime il potenziale nell’elemento
e-simo può essere scritta in forma compatta matriciale come:
• dove
• e
e
T
e VNyxV ),(
),(),(),( 321 yxNyxNyxNNT
3
2
1
e
e
e
e
V
V
V
V
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 55
Poichè
per rappresentare correttamente il valore ai nodi, le funzioni di forma godono delle seguenti proprieta`:
e
),(),(),( 321 yxNyxNyxNNT
3
2
1
e
e
e
e
V
V
V
V
jise
jise
0
1),y(xN jji
1)y,x(N jji
3
1i
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 56
Il potenziale del punto P(x,y) del triangolo risulta:
V (x,y)= N1(x,y) V1 + N2(x,y) V2 + N3(x,y) V3
essendo:
è ora possibile calcolare le componenti, secondo l’asse x e secondo l’asse y, del vettore campo elettrico:
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1
2V a b x c y V a b x c y V a b x c y V
S
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1
2
1
2
x
y
VE bV b V bV
x S
VE cV c V c V
y S
yxeiei u
y
Vu
x
VVE
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 57
Il quadrato del modulo del vettore campo elettrico ha un
valore indipendente da x e y:
Nota E2 l’energia immagazzinata nell’elemento considerato di
volume τe è ora calcolabile come:
E
22
2 21 1 1
2 2 2e e
S Se
V VW E d E dS dS
x y
22
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 31 1 2 3
1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1
1
4
yx
V VE E E
x y
b c V b c V b c VS
bb c c VV b b c c V V b b c c V V
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 58
2) Definire le equazioni che governano un elemento tipico
L’energia immagazzinata nell’elemento considerato è :
dove i parametri Sij sono facilmente calcolabili.
I coefficienti Shh e Shk =Skh sono riportati nella seguente tabella e da tali relazioni è possibile verificare che i coefficienti Shk sono esprimibili come combinazione dei coefficienti Shh.
22
2
2 2 2
11 1 22 2 33 3 12 1 2 23 2 3 13 1 3
1 1
2 2
1 = 2 2 2
2
e
S
V VW dS E S
x y
S V S V S V S VV S V V S VV
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 59
Tabella dei valori Sii
Gli elementi della matrice [S] dipendono dalle coordinate dei vertici e dalle permettività i associate ai singoli elementi.
2 2 2 2 2 2
11 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 2 2 2
22 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1
2 2 2 2 2 2
33 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 4 4
2 24 4
2 24 4
S b c y y y y x x x xS S
S b c y y y y x x x xS S
S b c y y y y x x x xS S
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 60
Tabella dei valori Sij
12 1 2 1 2
2 2
3 1 2 2 3 3 1 3 1 2 2 3 3 1 21
13 1 3 1 3
2 2
2 1 2 2 3 3 1 3 1 2 2 3 3 1 31
23 2 3 2 3
2 2
1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2
εS = b b +c c =
4S
ε = - y +y y -y y -y y +x +x x -x x -x x =S
4S
ε S = b b +c c =
4S
ε = - y -y y -y y +y y +x -x x -x x +x x =S
4S
εS = b b +c c =
4S
ε = - y -y y +y y -y y +x -x x +x x
4S 3 3 1 31
-x x =S
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 61
Tabella dei coefficienti Shk in funzione dei coefficienti Shh.
12 13 11 12 33 11 22
12 23 22 13 22 11 33
13 23 33 23 11 22 33
S +S = -S 2
S +S = -S 2
S +S = -S 2
S S S S
S S S S
S S S S
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 62
Quindi se per esempio si suppongono assegnati i potenziali V2
e V3 , il potenziale V1 deve assumere un valore che renda
minima l’energia immagazzinata We nell’elemento e-simo ,
per cui essendo:
deve essere:
12 2 13 3
11 1 12 2 13 3 1
1 11
=0 da cui: V
e
e
W S V S VW S V S V S V
V S
22
2
2 2 2
11 1 22 2 33 3 12 1 2 23 2 3 13 1 3
1 1
2 2
1 = 2 2 2
2
e
S
V VW dS E S
x y
S V S V S V S VV S V V S VV
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 63
3) Assemblare tutti gli elementi del dominio
– Per estendere il metodo al caso di m triangoli, esprimiamo in
forma matriciale l’energia immagazzinata nell’elemento generico
e-simo We data in forma quadratica:
2 2 2
11 1 22 2 33 3 12 1 2 23 2 3 13 1 3
1 2 2 22
eW S V S V S V S VV S V V S VV
111 12 13
1 2 3 21 22 23 2
31 32 33 3
V 1
V V V V 2
V
in forma compatta:
1 V V 2
e
e t
S S S
W S S S
S S S
W S
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 64
Nella espressione della We compaiono dei valori di potenziale noti e
altri che devono essere determinati.
Si suddivida il vettore V in due sottovettori Vl dei potenziali noti e
Vp dei potenziali da calcolare e analogamente la matrice S in
sottomatrici Sij tali che:
ll lp l
e l pt tpl pp p
e l ll l p pl lt t
l lp p p pp pt t
S S V1 1W = V S V = V V
S S V2 2
che sviluppta da:
1W = V S V V S V
2
V S V V S V
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 65
Per determinare il vettore dei potenziali incogniti si procede secondo
quanto riportato di seguito.
Si impone la condizione di energia minima imponendo che la
derivata prima della espressione della energia, ottenuta
differenziando rispetto a ciascuno dei potenziali incogniti del vettore
Vl , sia uguale a zero, cioè:
e l ll l p pl lt t
l lp p p pp pt t
e
l ll ll l p pl lp pt t
l
1W = V S V V S V
2
V S V V S V
WV S S V V S S V 0
V
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 66
Per la simmetria del matrice S rispetto alla diagonale principale, si
può scrivere:
l ll ll l p pl lp pt t
l ll ll l p pl lp pt t
ll l lp p
lp p
V S S V V S S V 0
essendo
V S = S V e V S = S V
si ottiene l'espressione più semplice:
S V + S V = 0
ponendo B = - S V
I pot
1
l ll
enziali incogniti risultano calcolabili risolvendo il sistema:
V = S
B
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 67
Per risolvere il problema della definizione di tutti i potenziali
incogniti relativi al dominio, occorre estendere il ragionamento
fatto a tutti i triangoli con i quali è stata discretizzata la regione di
interesse.
Esempio per due triangoli
Per comprendere come procedere, consideriamo due elementi
triangoli indipendenti e contigui e si valutino separatamente le
energie immagazzinate nei due triangoli:
I II
1
3 2
1
3
2
x
y
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 68
Le energie immagazzinate singolarmente dai due triangoli sono così
esprimibili:
II I I
111 12 13
I I I I I I I I
e 1 2 3 21 22 23 2
I I I I
31 32 33 3
IIII II II
111 12 13
II II II II II II II II
e 1 2 3 21 22 23 2
II II II II
31 32 33 3
V S S S1
W = V V V S S S V 2
S S S V
e
V S S S1
W = V V V S S S V 2
S S S V
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 69
Consideriamo ora i due elementi interconnessi come in figura:
in modo che i nodi distinti risultino 4, per cui:
Si è così passati da 6 nodi distinti a 4 nodi
I II I II
1 1 1 3 2 3
I II
2 2 3 4
V =V =V V =V =V
V =V V =V
I II
4
3
1
2
x
y
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 70
L’energia complessiva immagazzinata nei due elementi accorpati
espressa come somma delle energie immagazzinate nei due singoli
elementi in funzione dei potenziali dei 4 nodi:
I1 1 1
111 12 13
I1 1 1
221 22 23I II
e e e 1 2 3 4 1 1 1 I
31 32 33 3
I
4
11 11 11
11 12 13
1 2 3 4 11 11 11
21 22 23
1
31
V 0
V 01W = W + W = V V V V
2 0 V
0 0 0 0 V
0
0 0 0 01 + V V V V
02
S S S
S S S
S S S
S S S
S S S
S
II
1
II
2
II
3
1 11 11 II
32 33 4
V
V
V
0 VS S
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 71
Sommando le due matrici quadrate si ottiene una relazione analoga a
quella ottenuta per un elemento triangolare.
I1 11 1 1 11 11
111 11 12 13 12 13
I1 1 1
221 22 23
e 1 2 3 4 1 11 1 1 11 11 I
31 21 32 33 22 23 3
11 11 11 I
31 32 33 4
V
V 01W = V V V V
2 V
0 V
S S S S S S
S S S
S S S S S S
S S S
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 72
4) Risolvere il sistema di equazioni lineari ottenute applicando il principio variazionale
Il procedimento può essere esteso accorpando a due a due gli elementi interconnessi, associati ad n nodi.
In tale modo si costruisce una matrice quadrata [S], di ordine n, dove i termini della matrice Sij dipendono dalle modalità di interconnessione e di numerazione dei triangoli.
Gli elementi della matrice [S] dipendono dalle coordinate dei vertici e dalle permettività i associate ai singoli elementi.
Da cui si comprende come il metodo possa essere applicato anche nel caso di materiali eterogenei, scegliendo opportunamente la dimensione dei triangoli.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 73
Si determina iterativamente l’energia complessiva W:
N
e te=1
e
i
1W= W = ε V S V
2
e imponendo le condizioni di energia minima, devono essere nulle
le derivate parziali rispetto ai potenziali di ciascun nodo :
δW=0 per i=1,2,...,N
δV
si ottengono le equazioni
t 1 2 n
algebriche per determinare
i potenziali incogniti [V] V ,V ,...V
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 74
Caratteristiche del codice agli elementi finiti
Per utilizzare correttamente il codice FEM, occorre definire la mesh ottimale con un numero minimo di nodi, che garantisce una risoluzione con la precisione desiderata. A tal fine il codice che implementa il metodo agli elementi finiti deve far riferimento a dei criteri di procedura e di arresto.
Per evitare una convergenza lenta, occorre usare un reticolo iniziale non troppo fitto.
Nei passi successivi si riduce il passo del reticolo (si infittisce la mesh) iterativamente, solo nelle regioni dove è maggiore il gradiente delle grandezze di campo e l’errore risulta più alto.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 75
Il software deve quindi creare automaticamente una mesh
iniziale grossolana, che, per quanto possibile, utilizzi i vertici
della geometria come vertici di elementi della mesh.
La mesh ottimale dovrà avere un numero sufficientemente
elevato di triangoli (o altre forme di elementi) per ottenere una
soluzione ottimale della distribuzione del campo, ma tale da non
superare le capacità di memoria del computer in uso.
Il numero ottimale di triangoli è legato:
• agli errori massimi consentiti e
•limitato dalla capacità di memoria del computer.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 76
Il criterio di arresto è basato sulla definizione del residuo massimo ammissibile. Esso specifica l’approssimazione richiesta delle grandezze di campo calcolate, perché siano soddisfate le equazioni di Maxwell con un residuo dato.
Procedura
Per una mesh data si calcolano le grandezze di campo relative, quindi si sostituiscono i valori delle grandezze ottenute nelle equazioni di Maxwell per il calcolo e la verifica del residuo.
Se il residuo non è minore del residuo massimo ammissibile, si possono verificare due casi:
•il sistema é non lineare; in questo caso si impone una piccola correzione alle grandezze di campo e si ricalcola il residuo, procedendo iterativamente sino a quando il residuo risulta minore del valore massimo ammissibile richiesto mentre
•il sistema è lineare; in questo secondo caso la correzione si esegue in un passo solo, in base al valore del residuo ottenuto.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 77
Se non si ottengono risultati soddisfacenti occorre infittire ulteriormente la mesh, applicando un metodo adattativo, stabilendo:
• il massimo numero di elementi da incrementare per ogni
passo di iterazione
e
• applicando ulteriori criteri di arresto come
-il numero massimo di iterazioni
-l’errore minimo sulla energia immagazzinata
- tempo computazionale
Per ogni passo di iterazione si incrementa così il numero dei triangoli e si calcola la variazione della energia immagazzinata dal sistema rispetto a quella calcolata nella iterazione precedente.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 78
Per errore minimo percentuale e%: si intende un errore minimo percentuale stabilito, tale che alla i-esima iterazione, il decremento della energia immagazzinata della i-esima rispetto alla energia immagazzinata calcolata nella i-esima iterazione in % , sia minore del valore dell’errore definito e%:
Quando tale condizione è verificata si considera la energia immagazzinata calcolata nella i- esima iterazione Wi , come energia minima immagazzinata dal sistema, ossia si può ritenere che il sistema sia nella configurazione di equilibrio e quindi assumere le grandezze di campo relative come le soluzioni del problema.
Δ W W - We e ei i i-1 e%= = 100 < δ%W We ei i
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3f 79
Diagramma a blocchi del metodo della analisi adattattiva
Inizio
Risoluzione del Campo con il FEM
Fine
Risoluzione del Campo
Generazione Mesh iniziale
Calcolo delle grandezze di campo
Valutazione dell’errore
Ridefinizione della mesh
incrementando
il numero degli elementi
No
Si
Verifica criteri
di arresto?