Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan
luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen potenIaalienergia ja potenIaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä ja aine 15 Viikko 3 MagneeNken>ä 18 Viikko 4 Kertausta 14-‐18 Viikko 5 Sähköken>ä johImissa, 19 Viikko 5 sähköiset piirit, komponenIt 20 Viikko 6 MagneeNnen voima 21 Viikko 7 Kertausta 18-‐21 Viikko 8 tenN
KENTÄN KÄSITE
Ken>ä: suureella on määrä>y arvo (skalaari tai vektori) jokaisessa tarkasteltavan avaruuden pisteessä.
Ken>äviiva: käyrä, jonka tangenN käyrän jokaisessa pisteessä on kentän suuntainen. Viivojen Iheys (tai pituus) kuvaa kentän voimakkuu>a
SÄHKÖKENTTÄ
• SähköisesI varatut hiukkaset luovat ympärilleen sähkökentän, jota voidaan mitata voimavaikutuksen kau>a
+ + +q2
F +
-q2
F -‐
• Coulombin laki kuvaa voimaa kahden pistemäisen varauksen välillä. Käänteisen neliön laki.
• Sähköken>ä kiihdy>ää/jarru>aa hiukkasta
• Sähköken>ä on määritelty E=F/q2
+q1 +q1
FARADAYN HÄKKI
E=0
+
+
+
+
+
+
+
+
-‐ -‐
-‐
-‐ -‐
-‐
-‐
-‐
JOHDE ULKOISESSA SÄHKÖKENTÄSSÄ
-‐ -‐ -‐ -‐
+ + + +
E0
E=0
Johteessa on vapaita varauksia. Ulkoisessa sähkökentässä näihin elektroneihin kohdistuu voima ja ne liikkuvat johteen pinnoille niin e>ä ken>ä johteen sisällä on nolla. Johteessa tasapainoIlassa sähköken>ä on kohIsuorassa pintaa vastaan. Jos olisi pinnan suuntainen sähkökentän komponenN se kiihdy>äisi varauksia pinnalla. Huomaa, e>ä nämä eivät päde tasapainoIlanteeseen mentäessä kun elektronit vielä liikkuvat ja järjestäytyvät.
KERTAUSTA ENSIMMÄISILTÄ VIIKOLTA • Sähköinen dipoli: systeemi, joka koostuu kahdesta yhtä suuresta varauksesta (esim. H2O molekyyli)
-q +q
s• Dipolin ken>ä -‐ akselin suunnalla: E=(2kp)/r3 - kohIsuoraan akselilta: E=-(kp)/r3
• DipolimomenN: p=qs • Tarkastelupisteen tulee olla kaukana verra>una dipolin etäisyyteen
• Sähköken>ä pyrkii kiertämään dipolia suuntaisekseen. Vääntö-‐momenN on τ=p✕E.Dipolin ken>ä heikentää ulkoista ken>ää
• potenIaalienergia U=-pEcosϕ = -p�E p
E ϕ
Harjoitus 4, tehtävä 1 Kaksi idenNstä pysyvää sähködipolia on asete>u etäisyydelle r toisistaan. Dipolien akselit ovat x-‐akselin suuntaiset. a) Jäljennä kuva ja hahmo>ele siihen varauksiin vaiku>avat
voimavektorit ja dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat. b) Osoita, e>ä dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat ovat
muotoa F ~ 6q2s2/r4. Kertaa minkälaisen kentän sähködipoli aiheuN dipoli-‐momenNnsa suuntaisella akselilla kaukana dipolista (laskeNin harjoituksissa 1). MieI minkälaiset voimat oikean puoleinen dipoli aiheu>aa vasemmanpuoleisen dipolin varauksiin.
-q +q -q +q
rs s
r >>s
Harjoitus 4, tehtävä 1 Kaksi idenNstä pysyvää sähködipolia on asete>u etäisyydelle r toisistaan. Dipolien akselit ovat x-‐akselin suuntaiset. a) Jäljennä kuva ja hahmo>ele siihen varauksiin vaiku>avat
voimavektorit ja dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat. b) Osoita, e>ä dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat ovat
muotoa F ~ 6q2s2/r4. Toinen tapa ratkaista b) on huomata e>ä dipoliin kohdistuva voima voidaan kirjoi>aa F ≈ p∂E/∂r. Nähdään myös suoraan, e>ä jos dipoli on homogeenisessä sähkökentässä ei siihen kohdistu kokonaisvoimaa
-q +q -q +q
rs s
r >>s
Monet molekyylit ovat sähködipoleita, tai ne indusoituvat dipoleiksi ulkoisessa sähkökentässä. Dipolien välisen vuorovaikutuksen ymmärtäminen on siis tärkeää!
KERTAUSTA ENSIMMÄISILTÄ VIIKOLTA Sähköken>ä Ietyssä tarkastelupisteessä varausjoukolle saadaan superposiIoperiaa>eella, eli voidaan vain laskea vaikkapa N:n pistevarauksen kentät yhteen (summa). Jos jatkuva varausIheys niin summan sijaan lasketaan integraali (rajalla dq à 0).
-‐ lineaarinen varausIheys λ=Q/L ja yksikkö [λ]=C/m -‐ pintavarausIheys σ=Q/A ja yksikkö [σ]=C/m2
-‐ IlavuusvarausIheys ρ=Q/V ja yksikkö [ρ]=C/m3
Laskuissa yleensä on olete>u, e>ä varausIheys on tunne>u ja pääosin käsi>elimme tapauksia joissa tasainen jakauma.
Jaa tehtävä osiin (esim. ohut rengas hyvin pieniksi pistevarausalkioiksi). MieI symmetriaa.
E = dE∑ E = dE∫à
OrigokeskeisesI x-‐akselilla lepää L-‐pituinen sauva, jonka varaus-‐Iheys muu>uu lineaarisesI dq = (Axdx)/L2 , missä A on posiIivinen vakio. Origon vasemmalla puolella sauva on siis negaIivisesI varautunut ja oikealla puolella posiIivisesI varautunut. Laske sähkökentän tarkka arvo x-‐akselilla pisteessä P.
ESMIERKKI TEHTÄVÄ VARAUSJAKAUMAN SÄHKÖKENTTÄ
Pdxdq = (Axdx)/L2
rx
TYÖN JA POTENTIAALIN MÄÄRITELMÄT
• KonservaIivinen voima: sen tekemä työ ei riipu kappaleen kulkemasta reiIstä (▽×E=0)
• työ on W=⎰F�ds
• PotenIaalienergia U: kyky tehdä työtä asemansa ansiosta. Kun kappale liikkuu suuntaan johon voima kiihdy>ää sitä sen potenIaali-‐energia pienenee (posiIivinen työ). PosiIivisen varauksen potenIaalienergia pienenee sen siirtyessä sähkökentän suuntaan, negaIivisen varauksen potenIaalienergia kasvaa (tarkkana miten päin voima osoi>aa!)
- ΔU= -W > 0: negaIivinen työ, tehdään työtä sähköken>ää vastaan (hiukkanen liikkuu voimaa vastaa), kineeNnen energia pienenee
- ΔU= -W < 0: posiIivinen työ, sähköken>ä tekee työtä (hiukkanen liikkuu voiman suuntaan), kineeNnen energia kasvaa
TYÖN JA POTENTIAALIN MÄÄRITELMÄT • Sähköinen potenIaali on sähkökentän potenIaalienergia yksikkövarausta kohden
• Pistevarauksen potenIaaliksi saaIin V=kq/r, missä r on etäisyys pistevarauksesta. Tässä 0-‐taso on vali>u ääre>ömyyteen ja potenIaali menee ääre>ömäksi pistevarauksen kohdalla (eli siis voi ajatella potenIaalierona ääre>ömyyden ja pisteen r välillä). Jos pistevarauksen ken>ään tuodaan hiukkanen, saadaan sen potenIaalienergia kertomalla potenIaali hiukkasen varauksella.
• Käytännössä fysikaalisesI merki>ävää on vain jännite, eli potenIaaliero kahden pisteen välillä.
• Jos systeemin sähköinen potenIaali tunnetaan sähkökentän saa laske>ua potenIaalista derivoimalla E=-‐▽V
• TasapotenIaalipinnat (pisteiden välinen potenIaaliero nolla). TasapotenIaalipintaa pitkin kulje>aessa sähköken>ä ei tee työtä
Harjoitus 4, tehtävä 2 Ohuelle R-‐säteiselle pallokuorelle on jakautunut varaus q. Jakamalla pallokuori sopiviin infinitesimaalisiin osiin laske integroimalla a) sähkökentän potenIaali b) ja edellistä derivoimalla sähkökentän voimakkuus kaikkialla.
Kanna>aa myös hahmotella sekä sähkökentän, e>ä potenIaalin kuvaajat niin näet vielä paremmin miten ken>ä ja potenIaali muu>uvat.
Sähköken>ä on helpompi laskea kun ensin laskee potenIaalin
ESIMERKKI: TASAISESTI VARATTU PALLO Pistemäisen varatun hiukkasen sähkökentän voimakkuus kasvaa raja>a hiukkasta lähestyessä. Entä jos hiukkanen on äärellisen kokoinen? Tarkastele protonia, jonka varaus tunnetusI on +e. Oletetaan, e>ä protonin varaus on jakautunut tasaisesI R-‐säteiseen palloon. Määritä sähkökentän potenIaali ja sähkökentän voimakkuus kaikkialla, protonin sisällä ja ulkopuolella.
R P
r
ds
s
Harjoitus 4, tehtävä 3 Elektroniin vaiku>aa sähkökentässä voima F = Cxey, missä C on posiIivinen vakio. Elektroni lähtee origosta ja kiertää kentässä xy-‐tasossa olevan neliön L:n pituisia sivuja pitkin suljetun kierroksen vastapäivään (ks. Kuva oikealla). Laske voiman elektroniin tekemä työ tällä suljetulla kierroksella. Onko voima konservaIivinen?
Työn ja voiman käsi>een kertaamista
A. ∆V13 > ∆V12 > ∆V23 B. ∆V13 = ∆V23 > ∆V12 C. ∆V13 > ∆V23 > ∆V12 D. ∆V12 > ∆V13 = ∆V23 E. ∆V23 > ∆V12 > ∆V13
KYSYMYS Laita suurimmasta pienimpään potenIaali erot ∆V12, ∆V13, ja ∆V23 pisteiden 1 ja 2, pisteiden 1 ja 3, sekä pisteiden 1 and 3 välillä
KYSYMYS Protoni päästetään irI levosta pisteessä B missä varaus on 0 V. Myöhemmin protoni
A. Liikkuu kohI piste>ä A tasaisella nopeudella B. Liikkuu kohI piste>ä A kiihtyvällä nopeudella C. Liikkuu kohI piste>ä C tasaisella nopeudella. D. Liikkuu kohI piste>ä C kiihtyvällä nopeudella E. Pysyy paikallaan pisteessä B
Harjoitus 4, tehtävä 4 Systeemi koostuu kahdesta lähekkäisestä johdelevystä etäisyydellä s toisistaan. Levyjen etäisyys on paljon pienempi kuin läpimi>a. Molem-‐mat levyt ovat tasaisesI vara>uja, toisen varaus on +q ja toisen –q. a) Osoita e>ä levyjen varausten q ja levyjen välisen jänni>een V
suhde on vakio, ts. q/V = C. Laske vakion C lauseke. b) Laske tehdyn työn määrä dW ja siis kuinka paljon systeemin
potenIaalienergia dU muu>uu, kun posiIiviselta levyltä siirretään pieni määrä negaIivista varausta –dq negaIiviselle levylle.
c) Ajatellaan levyjen varaaminen tapahtuvan seuraavasI: Aluksi levyt ovat neutraaleja. Toiselta levyltä aletaan siirtämään negaIivista varausta -dq kokoisissa erissä toiselle, kunnes levyjen varaukset ovat +q ja -q. Osoita, e>ä tässä prosessissa, levyjen välisen jänni>een kasvaessa arvoon V systeemin potenIaalienergia kasvaa arvoon U =½CV2
Tärkeitä tuloksia. KäyIin luennollakin lävitse mu>a hyvä kaskea itse
• Sähköken>ä on nolla johteen sisällä
POTENTIAALI JOHTEESSA
Onko myös sähköinen poten5aali nolla johteen sisällä?
V: Ei tarvi olla nolla mu>a on vakio
sillä ΔV=-W/q ja W=Fd=qEd
à ΔV=0
Harjoitus 4, tehtävä 5 Ajatellaan sylinterin muodostuvan suuresta määrästä vierekkäisiä suoria ohuita eristesauvoja. Sauvojen pituus on L, sylinterin säde R, L >> R. Sylinterillä on tasainen pintavarausIheys σ ja sen keskipiste on origossa. Leikataan sylinterin pinnasta osa pois Kuvan 2 mukaisesI. Mikä on kappaleen aiheu>aman sähkökentän voimakkuus E origossa kulman θ funkIona?
Vielä yksi harjoitus sähkökentän laskemisesta hieman erikoisemmalle varausjakautumalle..
Harjoitus 4, tehtävä 6 JohImessa kulkee virta 0.62 A. Kuvan kolmio muodostuu kolminkertaisesta johImesta, kolmion sivujen pituudet ovat L = 8,3 cm. Mikä on johImien synny>ämän magneeNkentän vuon Iheys origossa kolmion (massa)keskipisteessä?
Hyvä tehtävä, joka kertaa Biot’n ja SavarIn lain käy>öä ja symmetrian mieNmistä. Huomaa e>ä kolmen virtajohdon vaikutuksen saat helposI mukaan laskuun. MieI miten massakeskipiste jakaa kolmion korkeuden.
ERISTE ULKOISESSA SÄHKÖKENTÄSSÄ • Klikkerikysymyksissä havaitsimme e>ä neutraalin eristeen ja sekä posiIivisesI, e>ä negaIivisesI varatun pienen kappaleen välillä on sähköinen vetovoima.
• Ulkoinen sähköken>ä muu>aa siis jollakin tavalla eristeen atomien/molekyylien sisäistä rakenne>a.
• Eristeessä ei ole vapaita varauksen kulje>ajia, mu>a atomit/molekyylit voivat olla joko pysyviä dipoleita tai ulkoinen sähköken>ä voi indusoida niihin dipolimomenIn. Edellisessä tapauksessa dipolit ovat ”sikinsokin” kun ulkoista ken>ää ei ole. Ulkoisen kentän vaikutuksesta ne kiertyvät kentän suuntaan niin e>ä ne luovat kentän eristeen sisälle, joka heikentää ulkoista ken>ää. Samoin käy myös indusoituneille dipoleille.
ERISTE ULKOISESSA SÄHKÖKENTÄSSÄ
+ + + + + + + + + +
+ + + + +
-‐ -‐ -‐ -‐ -‐ Ep
-‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐
pintavarausIheys σpE0 A
s
+Qp –Qp
E0
Ep
-‐ + -‐ + -‐ + -‐ + -‐ + -‐ + -‐ + -‐ + -‐ +
A
sE0
“levykondensaa>ori” Etot =E p +E0
εr =E0 /Etot >1
KYSYMYS Kahden varatun (+Q ja –Q) tason väliin työnnetään eriste. Tällöin paikan funkIona sähkökentän potenIaalia esi>ää kuvaaja
.
MagneeNken>ä syntyy liikkuvista varauksista. MagneeNsuus esiintyy magneeNsten materiaalien magneeNsuutena, joka lii>yy elektronien magneeNseen dipolimomenNin spiniin ja elektronien liikkeeseen atomin ympäri (paramagneIsmi/ferromagneIstmi, ei varsinaisesI kuulu tämän kurssin aihepiiriin). Tällä kurssilla tarkastelemme pääasiassa johImessa kulkevien elektronien synny>ämää magneeNken>ää. Mu>a muista, e>ä ihan samalla lailla myös liikkuvat protonit synny>ävät sähkövirtaa.
MAGNEETTIKENTTÄ
spin
+ -‐-‐-‐-‐ -‐
Tämä laki yhdistää magneeNkentän B sähkövirtaan I, joka on siis magneeNkentän lähde (tai siis sähkövirran aiheu>avat liikkuvat elektronit). Kentällä on r-2 kuin sähkökentälläkin. Tämä on kurssilla perustyökalu laskea erilaisten virtajohdinten magneeNken>ä. Taas kanna>aa jakaa osiin ja mieNä symmetriaa.
ΔB = µ04πIΔl× r̂r2
B = µ0I4π
dl× r̂r2wire∫
B = µ04πqv× r̂r2
BIOTIN JA SAVARTIN LAKI
pienelle virta-‐alkiolle Δl. Yksikkövektorin suunta on virta-‐alkiosta havaintopisteeseen
Koko johImen ken>ä saadaan integroimalla johImen yli (vrt. sähkökentän superposiIo)
Tämä on liikkuvan varauksen (nopeus v) aiheu>ama ken>ä
OIKEANKÄDEN SÄÄNNÖT
Näiden avulla voidaan näppäräsI (?) päätellä magneeNkentän suunta
Virtasilmukan kentälle saaIin (tai vähän vilkaisIin periaate>a, ehkä vikalla viikolla laskuharjoitukseen, koska ilmeisen tärkeä tulos) sama r3 riippuvuus kuin sähködipolille ja magneeNken>ä on vielä samanmuotoinen kuin sähködipolin ken>ä (ks kuva lla).
MAGNEETTINEN DIPOLI
E = 14πε0
2pr3,
Edellisellä luentoviikolla havaiNin, e>ä saadaan ympyräsilmukan kentäksi vastaavasI kun määritetään dipolimomenN μ=IA missä A on virtasilmukan ala (ympyräsilmukalle siis A=πR2)
Sähködipolin tapauksessa määriteNin p=qs sähköiseksi dipoli-‐momenIksi joka kertoo miten sähködipoli kiertyy ulkoisessa magneeNkentässä. Dipolin sähköken>ä pisteessä r dipolin akselin suuntaan voiIin kirjoi>aa dipolimomenIn avulla
MAGNEETTINEN DIPOLI
B = µ04π2µr3
MAGNEETTINEN DIPOLI Ulkoinen magneeNken>ä pyrkii myös kääntämään magneeNsta dipolia niin e>ä sen aiheu>ama ken>ä on vastakkainen ulkoisen kentän suunnalle. VääntömomenN on τ=µ×B
h>p://hyperphysics.phy-‐astr.gsu.edu/hbase/magneIc/magmom.html#c2
Johtoa ei tällä kurssilla vaadita mu>a täältä se tulee à
Eli määritetään minkälaisen vääntömomenIn virtasilmukka kokee kun se on ulkoisessa magneeNkentässä
TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ Miten saataisiin aikaan hyvin tasainen magnee<ken=ä?
Laitetaan kaksi ympyräsilmukkaa vastakkain
Tietyllä etäisyydellä, ken>ä on suurella alueella hyvin tasaisnen silmukoiden välissä
TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ
TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ
Kierretään johdinta Iukkaan ympäri useita kertoja à solenoidi
à Ken>ä solenoidin sisällä kun ollaan kaukana päistä on vakio (useiden ympyräsilmukoiden kenNen summa*)
B = µ0NIl
*Solenoidin kentän lasku on esite>y kirjan sivuilla 735-‐736
Jos solenoidin säde R on paljon pienempi kuin sen pituus L (R << L) saadaan kentäksi solenoidin keskellä:
N kierrosta
TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ
Laitetaan kaksi solenoidia vastakkain. Tälläistä systeemiä kutsutaan nimellä Helmholtzin käämit
KYSYMYS Mihin suuntaan magneeNken>ä osoi>aa pisteessä P?
PA. Vasemmalle B. Oikealle C. Ylös D. Alas
I on ulospäin
I on sisäänpäin
KYSYMYS Mihin suuntaan magneeNken>ä osoi>aa pisteessä P?
PA. Vasemmalle B. Oikealle C. Ylös D. Alas
I on ulospäin
I on sisäänpäin