HA-almen, 6. semester Forfatter: Jacob Krøll

Bachelorafhandling Vejleder: Stig Vinther Møller

Erhvervsøkonomisk Institut

Empirisk undersøgelse af CAPM

med fokus på size- og value-premiums

Aarhus Universitet, Business and Social Sciences

Forår 2012

Abstract

This thesis investigates the ability of the capital asset pricing model (CAPM) to explain

size-, value-premiums, and excess returns on six portfolios formed on the intersections

of market capitalization and book to market ratio on the American stock market. The

investigation focuses on the period 1926-2012 which is further divided into four sub-

periods, 1926-1945, 1946-1974, 1975-1999, and 2000-2012, based on the degree of

financial and political turbulence. The motivation of this thesis springs from the study

of Castellani & Jahan-Parvar (2010), where they find that CAPM is successful in

explaining the excess returns on the six portfolios in the periods 1926-1963 and 1987-

2009. They argue that these periods both have high degrees of financial and political

turbulence and that this might be an explanation of the successful performance of

CAPM in these periods. This thesis seeks to contribute to these findings.

Firstly, the theoretical framework of CAPM is reviewed. It is shown how CAPM is based

on Markowitz’s (1959) model of portfolio selection where investors choose mean-

variance-efficient portfolios. With the introduction of the risk-free interest rate the

capital market line (CML) is derived, and finally it is shown how CAPM describes the

expected return on an asset in terms of the risk-free interest rate, the expected return

on the market portfolio, and the systematic risk of the asset. This relationship is shown

by the security market line (SML).

To examine the existence of size- and value-premiums in the chosen periods, the null

hypothesis that a given premium is equal to zero is tested against the alternative that

the premium is different from zero. To test if CAPM can explain the premiums and the

excess returns on the 6 portfolios, time-series regressions of each premium or excess

return on the excess market return are performed. Then for each regression the null

hypothesis that the intercept parameter is equal to zero is tested against the

alternative that the intercept is different from zero. Failure to reject the null implies

that CAPM cannot be rejected for the premium or excess return in question and vice

versa. In addition, the null hypothesis that the intercepts from the six portfolios is

jointly equal to zero is tested against the alternative that at least one of the intercepts

is different from zero. The central element to this test is an -statistic introduced by

Gibbons et al. (1989).

The results of the tests show the existence of either size-, value-premiums or both in

all of the periods. CAPM explains some of these premiums but not all. An interesting

result is that CAPM fails to explain the excess returns on the six portfolios in all periods

except from 1926-1945 which is considered the most turbulent period. This supports

Castellani & Jahan-Parvar’s (2010) hypothesis, but only to a weak extent since the

period is a sub-period of 1926-1963. Further support is not found since CAPM is

rejected for the turbulent 2000-2012 period. While Fama & French (2006) and

Castellani & Jahan-Parvar (2010) find that CAPM is able to explain the size-premium,

the results in this thesis show the existence of size-premiums concentrated in

portfolios with neutral and high book to market ratios for the full period and a size-

premium in portfolios with high book to market ratio for the 2000-2012 sub-period

that cannot be explained by CAPM.

Indholdsfortegnelse 1. Introduktion .............................................................................................................................. 1

1.1 Problemformulering ............................................................................................................ 1

1.2 Afgrænsning ........................................................................................................................ 2

1.3 Struktur ............................................................................................................................... 3

2. Teori .......................................................................................................................................... 4

2.1 Forudsætninger for CAPM .................................................................................................. 4

2.2 Sharpe-Lintner CAPM .......................................................................................................... 6

3. Metode .................................................................................................................................... 10

3.1 Data ................................................................................................................................... 10

3.1.1 Porteføljesammensætning ......................................................................................... 10

3.1.2 Periodeinddeling ........................................................................................................ 12

3.2 Databehandlingsværktøjer ................................................................................................ 15

3.3 Simple statistiske metoder ................................................................................................ 16

3.3.1 Middelværdi ............................................................................................................... 16

3.3.2 Varians og standardafvigelse ..................................................................................... 17

3.3.3 -statistik og -værdi ................................................................................................. 17

3.3.4 Forudsætning om normalfordelt population ............................................................. 19

3.4 Tidsserieregression og GRS-teststatistikken ..................................................................... 21

3.4.1 Tidsserieregression ..................................................................................................... 22

3.4.2 GRS-teststatistikken ................................................................................................... 24

3.4.3 Forudsætninger for tidsserieregressionen ................................................................. 26

4. Resultater ................................................................................................................................ 30

4.1 Resultaterne af de simple statistiske tests ........................................................................ 30

4.1.1 Analyse af resultaterne .............................................................................................. 30

4.1.2 Opsummering ............................................................................................................. 37

4.2 Resultater af tidsserieregressionerne ............................................................................... 38

4.2.1 Analyse af resultaterne .............................................................................................. 38

4.2.2 Opsummering ............................................................................................................. 44

4.3 Sammenfatning ................................................................................................................. 45

5. Konklusion ............................................................................................................................... 47

Litteraturliste ............................................................................................................................... 49

1

1. Introduktion Capital asset pricing modellen (CAPM) blev udviklet af Sharpe (1964) og Lintner (1965)

og bygger på Markowitz (1959) porteføljevalgsmodel. CAPM var den første asset

pricing model, og den beskriver sammenhængen mellem forventet afkast og risiko på

aktiver. På trods af at empiriske undersøgelser, som fx Fama & MacBeth (1973), peger

på, at modellen ikke i tilstrækkelig grad kan forklare afkast på aktiver i virkeligheden,

så bliver modellen anvendt bl.a. i undervisning og af virksomheder pga. dens simple og

intuitive opbygning (Fama & French, 2004). Andre asset pricing modeller er sidenhen

blevet udviklet, fx Ross’ (1976) arbitrage pricing theory (APT) og Mertons (1973)

intertemporal capital asset pricing model (ICAPM).

Empiriske undersøgelser på det amerikanske aktiemarked viser, at aktier i små

virksomheder har en tendens til at give højere afkast end aktier i store virksomheder,

det såkaldte size-premium, samt at de såkaldte value stocks, der er aktier i

virksomheder med høj book equity to market equity ratio (BE/ME), har en tendens til

at give højere afkast end growth stocks, der er aktier i virksomheder med lav BE/ME,

det såkaldte value premium (Fama & French, 2006). I et studie af Castellani & Jahan-

Parvar (2010) på det amerikanske aktiemarked i perioden 1926-2009, der er en

viderebygning på studiet af Fama & French (2006), vises det, at CAPM godt kan

forklare size-premiummet, mens dette ikke er tilfældet for value-premiummet. Det

vises, at CAPM ikke kan forklare value-premiummet i perioden 1926-2009, men at

modellen godt kan forklare premiummet i perioderne 1926-1963 og 1987-2009.

Castellani og Jahan-Parvar vurderer, at der i disse perioder har været en højere grad af

politisk og finansiel ustabilitet end ellers, og dermed spekulerer de i, at resultaterne

kan antyde, at CAPM klarer sig bedre i disse turbulente perioder. Castellani og Jahan-

Parvar foreslår, at der foretages yderligere undersøgelser af dette.

1.1 Problemformulering Denne afhandling har til formål at forlænge studierne af Fama & French (2006) og

Castellani & Jahan-Parvar (2010) ved at inkludere seneste tilgængelige data. Castellani

2

& Jahan-Parvars (2010) forslag om yderligere undersøgelse af CAPMs performance

under krisetider vil blive imødekommet, ved at bruge Fama & Frenchs (2006)

metodologi til at i perioden 1926-2012 undersøge delperioder opdelt efter hvor

turbulente de har været. Fama & French (2006) og Castellani & Jahan-Parvar (2010)

lægger begge mest fokus på value-premiummet, da de finder dette mest interessant at

undersøge for deres periodevalg. Da denne afhandling tager udgangspunkt i en anden

periodeinddeling, vurderes det at være interessant at undersøge size-premiummet i

lige så høj grad som value-premiummet. For at forstå artiklerne af Fama & French

(2006) og Castellani & Jahan-Parvar (2010) er et kendskab til fundamental teori om

CAPM og statistisk metodologi påkrævet, da begge dele kun berøres overfladisk i disse.

Derfor er det oplagt i denne afhandling at lave en grundigere redegørelse for teorien

om CAPM og den statistiske metodologi. Afhandlingen vil hermed tage udgangspunkt i

følgende problemformulering:

1. Hvad er teorien, der ligger til grund for CAPM?

2. Hvordan kan CAPM testes empirisk?

3. Har der været size- og value-premiums i turbulente og rolige perioder?

4. Hvordan er CAPMs evne til at forklare disse size- og value-premiums samt afkast på

porteføljer opdelt efter size og BE/ME?

1.2 Afgrænsning Der vil i denne afhandling blive brugt data udelukkende fra det amerikanske

aktiemarked. Da markedsporteføljen i CAPM indeholder alle aktiver, er den

markedsportefølje, der dannes af aktier på det amerikanske aktiemarked kun en proxy

for den rigtige (Roll, 1977; Fama & French, 2004). En undersøgelse af konsekvenserne

ved at bruge proxyen er udenfor denne afhandlings rammer. Data forekommer med

månedlig frekvens, da det er med denne frekvens, at data har været tilgængelig for

hele perioden 1926-2012. Data med højere frekvens har kun været tilgængelig fra

1963-2012 (French, 2012). Mere højfrekvent data kunne godt være benyttet for de

3

senere delperioder, men af ønske om at holde research designet konsistent med det af

Fama & French (2006) og Castellani & Jahan-Parvar (2010) benyttes månedlige data.

Foruden Sharpe-Lintner-versionen af CAPM er en anden version udviklet af Black

(1972). Forskellen mellem de to versioner er, at det i Sharpe-Lintner-versionen er

muligt at låne til en risikofri rente, mens dette ikke er muligt i Black-versionen (Fama &

French, 2004). I denne afhandling vil kun Sharpe-Lintner-versionen blive behandlet, da

det er denne version, der bliver benyttet af Fama & French (2006) og Castellani &

Jahan-Parvar (2010).

Andre afgrænsninger vil forekomme, hvor det findes naturligt at bringe dem frem.

1.3 Struktur Afhandlingen består i det følgende af 4 kapitler. I kapitel 2 vil den grundlæggende teori

om CAPM blive gennemgået. I kapitel 3 vil datastrukturen samt den anvendte

metodologi til den empiriske undersøgelse blive beskrevet. I kapitel 4 vil resultaterne

af den empiriske undersøgelse blive fremlagt og analyseret. Til sidst vil der i kapitel 5

blive konkluderet på afhandlingen.

4

2. Teori I dette kapitel vil der blive gjort rede for den teoretiske baggrund for CAPM. Afsnit 2.1

vil beskrive de forudsætninger, som CAPM bygger på. I afsnit 2.2 redegøres der for

Sharpe-Lintner-versionen af CAPM.

2.1 Forudsætninger for CAPM At lave en model der eksakt afspejler den virkelige verden kan være yderst vanskeligt.

Der kan være mange faktorer, der har betydning for investorers adfærd, og for at

holde modellen simpel gøres der derfor visse antagelser om de faktorer, der menes at

have minimal eller ingen betydning. I det følgende er listet forudsætningerne for

CAPM:

1. Ingen transaktionsomkostninger

Der er ingen omkostninger forbundet med hverken at købe eller sælge et aktiv. Hvis

der tages højde for transaktionsomkostninger i modellen, ville afkastet på et aktiv

afhænge af, om investoren var i besiddelse af dette før beslutningsperioden. Om det er

den yderlige kompleksitet værd, at medtage disse omkostninger afhænger af deres

størrelse. Det vurderes, at de er små nok til, at de ikke har særlig stor indvirkning på

investorernes beslutninger.

2. Aktiver er uendeligt delelige

Det er muligt at købe eller sælge en uendeligt lille del af et aktiv.

3. Ingen personlig indkomstbeskatning

Der er ingen beskatning af investorernes afkast. Fx vil investoren være indifferent, om

han modtager afkastet som dividende eller kapitalforøgelse.

4. Fælles prisfastsættelse

5

En enkelt investor kan ikke påvirke prisen på et aktiv med hans købs- og salgsadfærd

svarende til perfekt konkurrence. Med deres adfærd på markedet fastsætter

investorerne i fællesskab prisen på et aktiv.

5. Beslutninger baseret udelukkende på forventet værdi og standard afvigelse

Investorerne tager i deres beslutninger kun højde for det forventede afkast og

standardafvigelserne på deres porteføljer.

6. Ubegrænset short selling

Det er muligt for alle investorer at shorte enhver mængde af ethvert aktiv.

7. Ubegrænsede lån og udlån til en risikofri rente

Investorerne kan låne og udlåne så mange penge de ønsker til den rente, der svarer til

afkastet på et aktiv uden risiko.

8. Homogene forventninger

Alle investorerne har samme forventninger til forventet afkast og varians af dette på

alle aktiver over én bestemt periode, der er den samme for alle investorer (Fama &

French, 2004; Elton et al., 2003).

9. Enighed om relevante beslutningsparametre

Der er enighed blandt alle investorer om de nødvendige parametre, der skal ligge til

grund for porteføljevalget. Disse er et aktivs forventede afkast og varians på dette

samt korrelationsstrukturen mellem de forskellige aktiver.

10. Alle aktiver kan afsættes

Alle aktiver, inklusiv humankapital, kan købes og sælges på markedet.

Det er klart, at ingen af disse forudsætninger holder i den virkelige verden. Det

afgørende er, hvor meget virkeligheden bliver forvrænget, af at CAPM bygger på disse

forudsætninger (Elton et al., 2003). Det er ikke indenfor denne afhandlings ramme at

undersøge betydningen af brudene på disse forudsætninger, men det er værd at være

opmærksom, på at CAPM bygger på disse.

6

2.2 Sharpe-Lintner CAPM I Markowitz (1959) porteføljevalgsmodel vælger investorer en portefølje på tidspunkt

t-1, som giver et stokastisk afkast på tidspunkt t. Investorerne antages at være

risikoaverse, og når de vælger mellem porteføljer, tager de kun højde for deres

forventede afkast og variansen af dette over perioden. På denne måde vælger

investorerne kun mean-vaiance efficiente porteføljer, hvilket betyder, at porteføljerne

minimerer variansen af afkastet givet et bestemt forventet afkast og maksimerer det

forventede afkast givet en bestemt varians.

Figur 2.2.1 viser hvilke porteføljer, investorerne kan vælge i mellem.

Figur 2.2.1. Porteføljemuligheder.

Kilde: Egen konstruktion inspireret af Fama & French (2004).

7

E(R) og σ(R) er hhv. det forventede afkast og standardafvigelse på en portefølje.

Kurven abc viser den såkaldte minimum-varians rand, der viser de porteføljer, der

minimerer variansen for et givet forventet afkast, hvis det ikke er muligt at låne og

udlåne til den risikofri rente Rf. Det ses, at rationelle investorer altid vil vælge

porteføljer på linjestykket ba, da disse maksimerer det forventede afkast for en given

risiko. Porteføljer på dette linjestykke er mean-variance-efficiente (Fama & French,

2004).

Ved at tilføje muligheden for at låne og udlåne til den risikofri rente kan investorerne

nu danne porteføljer, der kombinerer investering i et risikofyldt aktiv med lån eller

udlån til den risikofri rente. Fx vil porteføljer, der kombinerer investering i porteføljen

g med lån eller udlån til den risikofri rente ligge på linjen, der går igennem Rf og g.

Porteføljen med 100% udlån til den risikofri rente ligger ved punktet Rf, mens 100%

investering i g ligger ved punktet g. I porteføljer på linjen til højre for g lånes der til den

risikofri rente for at finansiere yderligere investering i g. Det ses, at porteføljerne på

linjestykket (på nær Rf) ikke er mean-variance-efficiente, da der ligger mulige

porteføljer over linjen, der har højere forventet afkast givet et bestemt variansniveau.

De mean-variance-efficiente porteføljer er dem, der ligger på linjen, der går fra Rf

gennem tangentporteføljen T. For hver af disse porteføljer er det ikke muligt at finde

porteføljer med højere forventet afkast givet et en bestemt risiko. Da alle investorer, jf.

forudsætning 8, har samme forventninger til forventet afkast og risiko, ser de de

samme porteføljemuligheder, og de vil dermed alle kombinere investering i

tangentporteføljen T med lån og udlån til den risikofri rente (Ackert & Deaves, 2010;

Fama & French, 2004). Linjen fra Rf gennem T kaldes ”capital market line” (CML) (Elton

et al., 2003). Da alle investorer ejer den samme portefølje T med risikofyldte aktiver,

må denne være den værdivægtede markedsportefølje for risikofyldte aktiver. Hvert

risikofyldt aktivs vægt i markedsporteføljen, som fra nu af benævnes M, er den totale

markedsværdi af alle udestående enheder af aktivet divideret med den totale

markedsværdi af alle risikofyldte aktiver. (Fama & French, 2004).

En vigtig ting med hensyn til risiko er at skelne mellem et aktivs systematisk risiko og

ikke-systematisk risiko. Den ikke-systematiske risiko bliver diversificeret væk, når en

investor investerer i markedsporteføljen, og dermed har denne form for risiko ingen

8

effekt på det forventede afkast på et aktiv. Det eneste, der har betydning for det

forventede afkast på et aktiv, er dets systematiske risiko, som er et aktivs afkasts

sensitivitet til afkastet på markedsporteføljen. Målet for et aktivs systematiske risiko er

markedsbeta,

hvor er antallet af aktiver på markedet, er markedsbetaet for aktiv ,

er covariansen mellem afkastet på aktiv og afkastet på markedsporteføljen, og

er variansen af afkastet på markedsporteføljen (Ackert & Deaves, 2010; Fama

& French, 2004). Sharpe-Lintner CAPM er givet ved følgende ligning:

hvor er det forventede afkast på aktiv , er som tidligere nævnt den risikofri

rente, er det forventede afkast på markedsporteføljen, og er som nævnt

ovenfor markedsbetaet for aktiv . Det forventede afkast på ethvert aktiv er den

risikofri rente plus et risikopremium, som er det pågældende aktivs markedsbeta

ganget med premiummet pr. enhed markedsbeta, (Fama & French, 2004).

Den lineære sammenhæng mellem afkast og markedsbeta er fremstillet i figur 2.2.2

(Ackert & Deaves, 2010). Den afbildede linje kaldes security market line (SML). Som det

ses i figuren, har markedsporteføljen naturligvis en markedsbeta på én, og aktiver med

lavere og højere markedsbeta har hhv. lavere og højere forventet afkast end det på

markedsporteføljen (Ackert & Deaves, 2010).

9

Figur 2.2.2. Security Market Line.

Kilde: Egen konstruktion inspireret af Ackert & Deaves (2010).

CAPM kan omskrives simpelt på følgende måde:

Dette vil være formen, der bliver behandlet i denne afhandling.

10

3. Metode I dette kapitel vil det anvendte data samt de metoder, som benyttes til at behandle

data, blive gennemgået. I afsnit 3.1 gennemgås sammensætningen af og strukturen i

data. I afsnit 3.2 beskrives kort hvilke værktøjer, der er blevet brugt til

databehandlingen i denne afhandling. I afsnit 3.3 vil der blive redegjort for de simple

statistiske metoder, der bliver brugt til at beskrive data, samt forudsætningen om

normalfordelt population. I afsnit 3.4 vil der blive redegjort, for hvordan

tidsserieregression og en teststatistik af Gibbons et al. (1989) (herfra GRS) bliver brugt

til at teste CAPM, samt hvilke forudsætninger tidsserieregressionen bygger på.

3.1 Data Data, der danner grundlag for undersøgelserne i denne afhandling, vil være det samme

som i studierne af Fama & French (2006) og Castellani & Jahan-Parvar (2010) blot i en

opdateret version dvs. månedlige data fra juli 1926 til januar 2012 hentet fra Kenneth

R. Frenchs hjemmeside (2012). Desuden vil årlige data fra 1927 til 2011 blive benyttet i

dette kapitel til at argumentere for periodeinddelingen.

3.1.1 Porteføljesammensætning Der vil tages udgangspunkt i 6 porteføljer inddelt efter markedskapitalisering (size) og

BE/ME samt 8 faktorporteføljer. De 6 size-BE/ME-porteføljer bliver dannet i slutningen

af juni hvert år. Her deles aktierne først op i 2 grupper efter deres

markedskapitalisering, og dette gøres ved at rangordne aktierne efter deres

markedskapitalisering og dele dem op omkring medianen. Grupperne med lav og høj

markedskapitalisering kaldes hhv. ”small” og ”big”. Herefter inddeles alle aktierne i 3

grupper efter deres BE/ME, og dette gøres på samme vis ved at rangordne aktierne

efter BE/ME. Aktierne bliver nu inddelt ved 30’te og 70’te percentil. Grupperne med

lav, mellem og høj BE/ME benævnes hhv. ”growth”, ”neutral” og ”value”. De 6

porteføljer bliver nu dannet, ud fra hvilke grupper de hører til. Dvs. at der dannes

følgende porteføljer: Small Growth (SG), Small Neutral (SN), Small Value (SV), Big

11

Growth (BG), Big Neutral (BN) og Big Value (BV). Porteføljerne indeholder alle aktier fra

børserne NYSE, NASDAQ (efter 1972) og AMEX (efter 1962), hvortil der kunne skaffes

data for book equity og markedskapitalisering. Der bliver kun brugt aktier med positiv

book equity (Fama & French, 2006; Castellani & Jahan-Parvar, 2010; French, 2012).

Faktorporteføljerne vil blive beskrevet i det følgende. De 8 faktorporteføljer Small

Minus Big (SMB), Small Minus Big Growth (SMBG), Small Minus Big Neutral (SMBN),

Small Minus Big Value (SMBV), Value Minus Growth (VMG), Value Minus Growth Small

(VMGS) og Value Minus Growth Big (VMGB) og Value Minus Growth Small Minus Big

(VMGS-B) dannes ud fra følgende formler:

SMB er altså gennemsnittet af de månedlige afkast på de 3 porteføljer med lav

markedskapitalisering minus de gennemsnitlige månedlige afkast på de 3 porteføljer

med høj markedskapitalisering, SMBG er det månedlige afkast på porteføljen med lav

markedskapitalisering og lav BE/ME minus det månedlige afkast på porteføljen med

høj markedskapitalisering og lav BE/ME, SMBN er det månedlige afkast på porteføljen

med lav markedskapitalisering og neutral BE/ME minus det månedlige afkast på

porteføljen med høj markedskapitalisering og neutral BE/ME, SMBV er det månedlige

afkast på porteføljen med lav markedskapitalisering og høj BE/ME minus det

månedlige afkast på porteføljen med høj markedskapitalisering og høj BE/ME, VMG er

12

gennemsnittet af de månedlige afkast på de 2 porteføljer med høj BE/ME minus de

gennemsnitlige månedlige afkast på de 2 porteføljer med lav BE/ME, VMGS er det

månedlige afkast på porteføljen med lav markedskapitalisering og høj BE/ME minus

det månedlige afkast på porteføljen med lav markedskapitalisering og lav BE/ME,

VMGB er det månedlige afkast på porteføljen med høj markedskapitalisering og høj

BE/ME minus det månedlige afkast på porteføljen med høj markedskapitalisering og

lav BE/ME, og endeligt er VMGS-B VMGS minus VMGB.

SMB og VMG er mål for hhv. size-premiummet og value-premiummet, mens SMBG,

SMBN og SMBV er mål for size-premiummet for aktier med hhv. lav, neutral og høj

BE/ME, VMGS og VMGB er mål for value-premiummet for aktier med hhv. lav og høj

markedskapitalisering, og VMGS-B er forskellen mellem value-premiumerne for aktier

med hhv. lav og høj markedskapitalisering (Fama & French, 2006).

SMBG, SMBN og SMBV er ikke med i Fama & French (2006) og Castellani & Jahan-

Parvar (2010), men er konstrueret til denne afhandling, da de vil være anvendelige til

undersøgelsen af size-premiummet.

3.1.2 Periodeinddeling Som beskrevet i indledningen i kapitel 1 spekulerer Castellani & Jahan-Parvar (2010), i

at CAPM klarer sig bedre i ustabile perioder. CAPM kan som nævnt forklare value-

premiummet i perioderne 1926-1963 og 1987-2009. Disse perioder vurderes til at

være ustabile perioder, da de indeholder væsentlige begivenheder, der må antages at

bidrage til en høj grad af usikkerhed på markedet. For perioden 1926-1963 drejer det

sig om børskrakket i 1929 efterfulgt af ”The Great Depression”, anden verdenskrig,

Korea-krigen og begyndelsen af Vietnam-krigen. For perioden 1987-2009 er de

betydningsfulde begivenheder børskrakket i 1987, Irak-krigen og finanskrisen fra 2007-

2009. Den mellemliggende periode vurderes til at være forholdsvis mere rolig

(Castellani & Jahan-Parvar, 2010).

Castellani & Jahan-Parvars (2010) motivation for deres undersøgelser var, at se hvilken

effekt et opdateret datasæt indeholdende finanskriseårene 2007-2009 havde på Fama

& Frenchs (2006) resultater. Derfor er deres periodeinddeling rettet mod netop denne

13

undersøgelse. Derfor vil der i denne afhandling blive arbejdet med en

periodeinddeling, der vurderes at være egnet til at teste Castellani & Jahan-Parvars

(2010) spekulationer. Den ideelle periodeinddeling til dette formål vil være en

inddeling, hvor der både er turbulente perioder og rolige perioder. Dermed kan disse

perioder undersøges med henblik, på at finde ud af hvor stor indikation der er, på at

CAPM klarer sig bedre i urolige tider.

Figur 3.1.2.1 viser årlige afkast i procent på det amerikanske aktiemarked for perioden

1927-2011 bestående af alle aktier fra børserne NYSE, NASDAQ og AMEX (French,

2012). Grunden, til at 1926 og 2012 ikke er med, er, at der kun findes data for disse år

for hhv. juli til december og januar. De lodrette linjer viser hvilken periodeinddeling,

der er valgt. Det ses, at der i langt de fleste år er positive afkast, men at der også er et

betydeligt antal år med negative afkast. Særligt årene 1929-1932, 1937, 1973-1974,

2000-2002 og 2008 springer i øjnene.

I 1929 sker krakket på Wall Street, som bliver efterfulgt af ”The Great Depression”, og

dette resulterer i markante negative afkast i samtlige år fra 1929 til 1932. Stadig under

”The Great Depression” er der et markant negativt afkast i år 1937 som følge af

recession i den amerikanske økonomi. I 1973 og 1974 er der store negative afkast som

følge af oliekrisen. Som følge af at dot-com-boblen brister og terrorangrebene på

World Trade Center er der negative afkast i alle årene fra 2000 til 2002. Finanskrisen

forårsager et stort negativt afkast i 2008 (Wikipedia, 2012)1. Negative årlige afkast er

altså indikator for finansiel og politisk turbulens. Dermed virker det oplagt at lade år

med negative afkast være et afgørende kriterium for periodeinddelingen. Et andet

kriterium, der er oplagt, er, at de valgte perioder helst skal være så lange som muligt

for at få så mange månedlige afkast med som muligt, hvilket giver de statistiske test

mere kraft (Campbell et al., 1997).

Den første periode skal naturligvis starte fra første tidspunkt, der er data tilgængelig,

dvs. fra juli 1926, og det virker naturligt at lade denne indeholde krakket på Wall

Street, ”The Great Depression” og 1937. Det ses, at der i de fire sidste år af Anden

Verdenskrig (1942-1945) er positive årlige afkast. Til gengæld vurderes det, at der

1 Wikipedia vurderes til at være en pålidelig kilde i dette tilfælde.

14

Figur 3.1.2.1 Årlige afkast på det amerikanske aktiemarked i procent, 1927-2011.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012). Anm.: De lodrette linjer indikerer den valgte periodeinddeling for afhandlingen.

15

under krigen er høj politisk turbulens, og derfor tages disse år også med i den første

periode. Den første periode bliver dermed juli 1926 til december 1945, og dette må

regnes for en meget turbulent periode. Imellem Anden Verdenskrig og den næste

store krise, oliekrisen, er der flere år med moderate negative afkast (1946, 1957, 1962,

1966 og 1969), som endeligt kulminerer med kriseårene 1973 og 1974, hvor der er

store negative afkast. Den anden periode er altså fra januar 1946 til december 1974.

Samlet set må perioden regnes for at være turbulent dog i mindre grad end den første.

I de efterfølgende år til og med 1999 er der for det meste positive afkast, og i de

enkelte år med negative afkast (1977, 1981, 1990 og 1994) er der tale om meget små

negative afkast. Det virker, til at denne periode er meget stabil, og den vil derfor stå

som et modstykke til den meget turbulente første periode. Den tredje periode er

dermed fra januar 1975 til december 1999. Den fjerde periode vælges, så den

indeholder de resterende år. Dvs. den bliver fra januar 2000 til januar 2012. Denne

periode indeholder både bristningen af dot-com-boblen, terrorangrebene på World

Trade Center og finanskrisen, og dermed må denne periode antages at være af

turbulent karakter. En rangordning af perioderne fra mest turbulent til mindst

turbulent vurderes at være første, fjerde, anden og tredje. Hvis der er hold i Castellani

& Jahan-Parvars (2010) spekulationer, bør testene i denne afhandling vise, at CAPM

klarer sig bedre des mere turbulent den pågældende periode er. For en god ordens

skyld vil hele den tilgængelige periode fra juli 1926 til januar 2012 også blive

undersøgt, ligesom det er tilfældet i Fama & French (2006) og Castellani & Jahan-

Parvar (2010).

3.2 Databehandlingsværktøjer Til databehandlingen i denne afhandling er der i forbindelse med de simple statistiske

tests og tidsserieregressionerne brugt programmet EViews 6: Student Version.

Udregningerne af GRS-statistikkerne er udført manuelt i Microsoft Excel 2007 med

dataoutputtet fra EViews. Årsagen, til at netop disse to programmer er blevet

benyttet, er at forfatteren er familiær med disse.

16

3.3 Simple statistiske metoder Til at beskrive size- og value-premiumsne benyttes der simple statistiske metoder. Der

vil blive redegjort for middelværdi, varians/standardafvigelse, -statistik og -værdi.

Disse metoder vil blive beskrevet senere i dette afsnit. Desuden vil der blive redegjort

for forudsætningen om normalfordelt population. Først redegøres der for notationen.

er et size- eller value-premium fra en af de 5 faktorporteføljer eller afkastet på

en af de 6 size-BE/ME-porteføljer minus den risikofri rente (kaldes fra nu af det

overskydende afkast) for måned , hvor viser hvilken portefølje, der er tale om. Som

proxy for den risikofri rente bruges afkastet på den 1-månedlige amerikanske

statsobligation2. er det værdivægtede afkast på markedsporteføljen

fratrukket den risikofri rente (kaldes fra nu af markedspremiummet) for måned , hvor

markedsporteføljen indeholder alle aktier fra NYSE, NASDAQ (efter 1972) og AMEX

(efter 1962) (Fama & French, 2006; Castellani & Jahan-Parvar, 2010).

3.3.1 Middelværdi For at beregne de gennemsnitlige size-premiums, value-premiums og overskydende

afkast for de forskellige perioder skal følgende formel bruges:

hvor enten er det gennemsnitlige size-premium, value-premium eller

overskydende afkast for en portefølje , er antallet af måneder i den pågældende

periode, og benævner de enkelte måneder. Det gennemsnitlige markedspremium

beregnes ligeledes:

hvor er det gennemsnitlige markedspremium (Keller, 2009).

2 Frit oversat fra ”the one-month Treasury bill rate”.

17

3.3.2 Varians og standardafvigelse For at beregne variansen af de forskellige size-premiums, value-premiums og

overskydende afkast for de forskellige perioder skal der gøres brug af følgende formel:

hvor enten er variansen af size-premiummet, value-premiummet eller det

overskydende afkast for en portefølje . Standardafvigelsen af de forskellige size-

premiums, value-premiums og overskydende afkast for en portefølje er givet ved

denne formel:

Variansen og standardafvigelsen for markedspremiummet udregnes på samme

måde:

(Keller, 2009).

3.3.3 -statistik og -værdi I denne afhandling vil der blive testet, om de gennemsnitlige size-premiums, value-

premiums og overskydende afkast er signifikant forskellige fra nul. Til dette formål

udføres følgende to-sidede hypotesetest:

hvor er nul-hypotesen for portefølje , at populationsmiddelværdien for size-

premiums, value-premiums eller overskydende afkast for portefølje er lig med nul, og

18

er alternativhypotesen for portefølje , at populationsmiddelværdien for portefølje

er forskellig fra nul. Til denne hypotesetest skal der, hvis populationen for portefølje

er normalfordelt3, bruges en -statistik, der er givet ved følgende formel:

hvor er -statistikken for portefølje . Denne teststatistik er -fordelt med

frihedsgrader (Keller, 2009).

-værdien for testen på portefølje er sandsynligheden for at observere en -statistik,

der er mindst lige så ekstrem som den beregnede for portefølje , givet at nul-

hypotesen for portefølje er sand.

For at finde ud af om markedspremiummet er signifikant forskellig fra nul, er

testproceduren den samme. Følgende hypotesetest foretages:

hvor er nul-hypotesen, at populationsmiddelværdien for markedspremiummet er

lig med nul, og er alternativhypotesen, at populationsmiddelværdien er forskellig

fra nul. Der skal også her bruges en -statistik:

hvor er -statistikken for markedspremiummet.

-værdien for testen er sandsynligheden for at observere en -statistik, der er mindst

lige så ekstrem som den beregnede, givet at nul-hypotesen er sand (Keller, 2009).

3 Denne forudsætning omtales nærmere i afsnit 3.3.4.

19

3.3.4 Forudsætning om normalfordelt population Forudsætningen, om at populationen skal være normalfordelt, kan omgås, hvis blot

stikprøven er tilstrækkelig stor. Dette fremgår af den centrale grænseværdisætning,

der siger, at middelværdien af en tilfældigt udvalgt stikprøve fra enhver population er

approksimativt normalfordelt, når stikprøvestørrelsen er tilstrækkeligt stor. Jo større

stikprøven er, des tættere vil middelværdien være på at være normalfordelt (Keller,

2009).

Det skal nævnes, at tilfældigheden i udvælgelsen af stikprøven, når man har at gøre

med tidsseriedata, tager sig ud på følgende måde: En sekvens af stokastiske variable

indekseret efter tid kaldes en stokastisk proces eller en tidsserieproces. Når et

tidsseriedatasæt, fx en serie af månedlige overskydende afkast, bliver udvalgt, opnås

ét muligt udfald af denne proces. Det er kun i teorien muligt at gå tilbage i tiden og

starte processen forfra og dermed opnå et andet udfald af den stokastiske proces for

samme periode. Alle de mulige udfald af den stokastiske proces kan betragtes som

populationen, og dermed kan et enkelt udfald betragtes som tilfældigt (Wooldridge,

2009).

Hvor stor stikprøven skal være for at være tilstrækkelig stor, afhænger af hvor langt

væk populationen er fra at være normalfordelt (Keller, 2009). I Andersen & Jensen

(2009) foreslås tommelfingerreglen, at stikprøven skal være større end 100 gange

kvadratet på skævhedsestimatet (Andersen & Jensen, 2009). EViews beregner

skævheden for size-, value-premiums og overskydende afkast hhv.

markedspremiummet på følgende måde:

hvor og er hhv. estimatet af skævheden af populationsfordelingen for size-,

value-premiummet eller det overskydende afkast for portefølje og estimatet af

skævheden af populationsfordelingen for markedspremiummet, og og

20

er hhv. et biased estimat af standardafvigelsen for size-, value-

premiummet eller det overskydende afkast for portefølje og et biased estimat af

standardafvigelsen for markedspremiummet (EViews 6 User’s Guide I, 2007). Værd at

nævne er, at det er blevet påvist, at afkast på aktieafkast ikke følger en

normalfordeling (Campbell, 1997). Derfor må der i denne afhandling sættes lid, til at

stikprøvestørrelserne er tilstrækkeligt store.

Tabel 3.3.4.1 viser de beregnede værdier for tommelfingerreglen. Det ses, at det kun

er i perioden juli 1926 til december 1945, at der er tommelfingerregelsværdier, der er

over den pågældende stikprøvestørrelse på 234. For de 6 size-BE/ME-porteføljer er der

overskridende værdier for 2 porteføljer, SG og SV, mens der for de 8 faktorporteføljer

er overskridende værdier for 6 porteføljer, SMB, SMBG, SMBN, SMBV, VMG og VMGB.

For disse i alt 8 porteføljer er der dermed tegn, på at stikprøven ikke er stor nok, til at

det kan antages, at middelværdien er tæt på at være normalfordelt. Dermed må der

sættes spørgsmålstegn ved pålideligheden af de beregnede -værdier for disse

porteføljer, og konklusionerne på hypotesetestene har dermed en højere grad af

usikkerhed. Dette må der nødvendigvis tages forbehold for, når resultaterne skal

analyseres. For de 4 andre perioder er der ingen værdier, der er over de respektive

stikprøvestørrelser, og derfor betragtes -værdierne og konklusionerne på

hypotesetestene som pålidelige.

21

Tabel 3.3.4.1 Værdier for tommelfingerreglen.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012). Anm.: Værdierne med fed skrift er værdier over stikprøvestørrelsen.

3.4 Tidsserieregression og GRS-teststatistikken I dette afsnit vil der blive gjort rede, for hvordan en række tidsserieregressioner kan

blive brugt, til at teste om CAPM kan forklare size- og value-premiumerne og de

overskydende afkast. Til sidst vil der blive redegjort for forudsætningerne for

tidsserieregressionerne.

22

3.4.1 Tidsserieregression Jensen (1968) var den første til at vise, at Sharpe-Lintner-versionen af CAPM kan testes

ved hjælp af en tidsserieregression. Det vises i afsnit 2.2, at ifølge CAPM bliver den

forventede værdi af et aktivs overskydende afkast fuldstændig forklaret af dets

forventede risikopremium. Dette betyder, at i tidsserieregressionen af på

er skæringsparameteren , kaldet ”Jensen’s alpha”, nul for hvert aktiv . er

fejlledet for aktiv for måned (Fama & French, 2004; Wooldridge, 2009).

De estimerede parametre i tidsserieregressionerne vil blive udregnet med ordinary

least squares-metoden (OLS) (Wooldridge, 2009). I denne afhandling vil der for hver

periode og hver regression blive opgivet de estimerede skæringsparametre og

hældningsparametre samt de respektive -statistikker og , -værdier og

justeret forklaringsgrad . -statistikkerne vil blive brugt til at teste om de forskellige

parametre er forskellige fra nul. Ligesom i afsnit 3.2.3 vil der blive udført to-sidede

hypotesetests:

hvor er nul-hypotesen for portefølje , at skæringsparameteren for portefølje

er lig med nul, og er alternativhypotesen for portefølje , at skæringsparameteren

for portefølje er forskellig fra nul. Til denne hypotesetest skal der bruges en -

statistik, der bliver beregnet på følgende måde:

hvor er den estimerede standardafvigelse af den estimerede

skæringsparameter for portefølje . Denne teststatistik følger en -fordeling med

frihedsgrader, hvor er antallet af hældningsparametre. Dvs. for

regressionerne i denne afhandling.

23

-værdien for testen på portefølje er sandsynligheden for at observere en -statistik,

der er mindst lige så ekstrem som den beregnede for portefølje givet at nul-

hypotesen for portefølje er sand.

For hældningsparametrene udføres samme to-sidede hypotesetests:

hvor er nul-hypotesen for portefølje , at skæringsparameteren for portefølje

er lig med nul, og er alternativhypotesen for portefølje , at skæringsparameteren

for portefølje er forskellig fra nul. Samme -statistik benyttes:

hvor er den estimerede standardafvigelse af den estimerede

hældningsparameter for portefølje . Teststatistikken følger selvfølgelig også en -

fordeling med frihedsgrader.

-værdien på portefølje findes som sandsynligheden for at observere en -statistik,

der er mindst lige så ekstrem som den beregnede for portefølje , givet at nul-

hypotesen for portefølje er sand.

Den justerede forklaringsgrad for portefølje findes ved følgende formel:

hvor er den justerede forklaringsgrad for portefølje , og og er hhv. ”sum

of squared residuals” og ”total sum of squares” for portefølje givet ved formlerne:

hvor er residualen for portefølje for måned (Wooldridge, 2009).

24

Den justerede forklaringsgrad vil ikke blive eksplicit inddraget i resultatbehandlingen i

denne afhandling, men da det er standard at opgive et mål for forklaringsgraden i

forbindelse med regressioner, vil den derfor blive opgivet. Som alternativ kunne den

ikke-justerede forklaringsgrad være opgivet, men siden både Fama & French (2006) og

Castellani & Jahan-Parvar opgiver den justerede version, vurderes det naturligt at

fortsætte denne tendens. Både den justerede og den ikke-justerede forklaringsgrad er

biased estimatore for populationsforklaringsgraden, og det er ikke umiddelbart muligt

at fastslå hvilken, der er den bedste estimator. Forskellen mellem de to er, at den

justerede forklaringsgrad straffer tilføjelsen af flere forklarende variable til

regressionsmodellen, hvilket betyder, at den justerede forklaringsgrad både kan stige

og falde ved tilføjelsen af nye variable, hvorimod den ikke-justerede forklaringsgrad

aldrig kan falde og næsten altid vil stige ved tilføjelsen af flere forklarende variable

(Wooldridge, 2009).

3.4.2 GRS-teststatistikken I den tidlige litteratur er der blevet benyttet en række af forskellige metoder til at teste

om alle skæringsparametrene fra tidsserieregressionerne for hver portefølje er lig med

nul. Sidenhen introducerer Gibbons et al. (1989) en -teststatistik, der bliver regnet for

den bedst egnede til formålet. GRS-statistikken bruges, til at teste om

skæringsparametrene for hver portefølje er fælles lig med nul. I denne afhandling skal

GRS-statistikken bruges, til at teste om skæringsparametrene for de 6 size-BE/ME-

porteføljer er fælles lig med nul (Fama & French, 2004; Castellani & Jahan-Parvar,

2010). Dette implicerer følgende multiple hypotesetest:

hvor er nul-hypotesen, at samtlige porteføljer har skæringsparametre, der er lig

med nul, og er alternativhypotesen, at mindst et af skæringsparametrene er

forskellig fra nul. GRS-statistikken beregnes på følgende måde:

25

hvor er en vektor af de estimerede skæringsparametre:

og er et unbiased estimat på residualcovariansmatrixen (Campbell et al., 1997;

Castellani & Jahan-Parvar). Et sådant estimat kan findes ved følgende formel:

hvor er en vektor af residualerne for måned for de porteføljer:

Dvs., at også kan skrives således:

(Campbell et al., 1997; Wooldridge, 2009). GRS-statistikken følger en -fordeling med

frihedsgrader til tælleren og frihedsgrader til nævneren. -værdien for

testen er sandsynligheden for at observere en GRS-statistik, der er mindst lige så høj

som den beregnede, givet at nul-hypotesen er sand (Wooldridge, 2009; Castellani &

Jahan-Parvar, 2010).

Til alle hypotesetestene i denne afhandling, både dem beskrevet i dette afsnit og i

afsnit 3.3.3, vil der blive taget udgangspunkt i det klassiske signifikansniveau på 0,05.

Det vil sige, at hvis en -værdi er under 0,05, kan den pågældende nul-hypotese

forkastes, og hvis -værdien er over 0,05, kan nul-hypotesen ikke forkastes. Dog vil der

26

også blive taget højde for størrelsen af -værdierne i det hele taget, da det er klart, at

en -værdi marginalt over 0,05 vil indebære, at konklusionen om ikke at forkaste

nulhypotesen er svagere, end hvis -værdien var tæt på 1, og at en -værdi marginalt

under 0,05 medfører, at konklusionen om at forkaste nulhypotesen er svagere, end

hvis -værdien er tæt på 0 (Wooldridge, 2009).

3.4.3 Forudsætninger for tidsserieregressionen I dette afsnit vil eventuelle komplikationer med hensyn til tidsserieregressionerne blive

belyst. Tidsserieregressionerne kræver, at de 6 såkaldte classical linear model-

forudsætninger (CLM) er overholdt, for at pålidelige resultater kan fremkomme. I det

følgende vil disse forudsætninger blive redegjort for. De første 5 er

tidsserieversionerne af Gauss-Markov-forudsætningerne, mens den sidste er en ekstra.

Forudsætning 1A: Linearitet i parametrene

Den stokastiske proces følger den lineære model

hvor er sekvensen af fejlled. er den ’te forklarende variabel,

er den forklarede variabel, benævner tidspunktet for observationen, er antallet af

observeringstidspunkter, og er antallet af forklarende variable. Forudsætningen siger

altså, at der skal være en lineær sammenhæng mellem de forklarende og den

forklarede variabel. I denne afhandling er der i regressionerne kun 1 forklarende

variabel, markedspremiummet, og den forklarede variabel er enten et size-, value-

premium eller et overskydende afkast.

Forudsætning 2A: Ingen perfekt collinearitet.

I stikprøven, og dermed i den underliggende tidsserieproces, må ingen af de

forklarende variable være konstante eller en perfekt lineær kombination af de andre

forklarende variable.

Forudsætning 3A: Betinget forventet værdi på nul

27

For hvert er den forventede værdi af fejlledet givet de forklarende variable for alle

tidspunkter nul. Skrevet matematisk:

hvor benævner alle de forklarende variable for alle tidspunkter. Denne forudsætning

implicerer, at fejlledet på tidspunkt er ukorreleret med hver af de forklarende

variable på hvert tidspunkt.

Forudsætning 4A: Homoskedasticitet

Betinget på er variansen af den samme for alle :

hvor er variansen af . Hvis denne forudsætning ikke er overholdt, siges fejlledene

at være heteroskedastiske.

Forudsætning 5A: Ingen seriel korrelation (autokorrelation)

Betinget på er fejlledene på to forskellige tidspunkter ukorrelerede:

hvor benævner et andet tidspunkt end .

Forudsætning 6A: Normalitet

Fejlledene er uafhængige af og er uafhængige og identisk fordelt (IID) som

(normalfordelt med en middelværdi på nul og varians på ).

Under forudsætning 1A, 2A og 3A er OLS-estimatorene unbiased:

Under forudsætning 1A til 6A er OLS-estimatorne normalfordelte betinget på , og

under den pågældende nul-hypotese er hver -statistik -fordelt og hver -statistik -

fordelt (Wooldridge, 2009).

28

Det er muligt med forskellige metoder, at teste om forudsætningerne er overholdt

samt at korrigere for eventuelle forudsætningsbrud. Metoderne indbefatter fx Durbin-

Watson-test (Durbin & Watson, 1950) og Breusch-Godfrey-test (Breusch, 1978;

Godfrey, 1978) for seriel korrelation, Breusch-Pagan-test for heteroskedasticitet

(Breusch & Pagan, 1979) og Jarque-Bera-test for normalitet (Jarque & Bera, 1980),

samt Newey-West seriel korrelations- og heteroskedasticitetsrobuste estimerede

standardafvigelser (Newey & West, 1987) og White heteroskedasticitetsrobuste

estimerede standardafvigelser (White, 1980) til hhv. seriel korrelations- og

heteroskedastictetsrobust statistisk inferens og heteroskedasticitetsrobust statistisk

inferens (Verbeek, 2004; Wooldridge, 2009).

Hverken Fama & French (2006) eller Castellani & Jahan-Parvar (2010) gør noget forsøg,

på at teste om disse forudsætninger er overholdt. Dermed laver de heller ingen

korrektioner for eventuelle brud på forudsætningerne.

De 6 forudsætninger kan i visse tilfælde omgås. Frem for unbiased OLS-estimatore kan

der opnås konsistente OLS-estimatore samt asymptotisk gyldige -statistikker og -

statistikker, hvis 5 forudsætninger er opfyldt.

Forudsætning 1B: Lineæritet og svag afhængighed

Modellen er præcis som i forudsætning 1A, men yderligere forudsættes det, at den

stokastiske proces er stationær og svagt afhængig.

At den er stationær, betyder, at sandsynlighedsfordelingen for hver variabel er stabil

over tid. At den er svagt afhængig, vil sige, at det for hver variabel gælder, at den i

tidspunkt er næsten uafhængig af variablen i tidspunkt , når går mod

uendelig.

Forudsætning 2B: Ingen perfekt collinearitet

Samme som forudsætning 2A.

Forudsætning 3B: Betinget forventet værdi på nul

De forklarende variable er samtidigt exogene, hvilket skrives

matematisk:

29

Forudsætning 4B: Homoskedasticitet

Fejlledene er samtidigt homoskedastiske, hvilket skrives matematisk:

Forudsætning 5B: Ingen seriel korrelation

For alle gælder det at .

Under forudsætning 1B, 2B og 3B er OLS-estimatorene konsistente:

Under forudsætning 1B til 5B er OLS-estimatorene asymptotisk normalfordelte, og de

estimerede standardafvigelser, -statistikker og -statistikker er asymptotisk gyldige.

Det vil sige, den statistiske inferens bliver mere pålidelig, jo større stikprøven er

(Wooldridge, 2009).

Test af, om forudsætning 1A til 6A og 1B til 5B er overholdt, er ikke inden for

rammerne af denne afhandling. Da Fama & French (2006) og Castellani & Jahan-Parvar

(2010) laver statistisk inferens uden at omtale forudsætningerne, antages det, at OLS-

estimatorene samt teststatistikkerne i denne afhandling er pålidelige.

30

4. Resultater I dette kapitel vil resultaterne af databehandlingen blive fremstillet og analyseret. I

afsnit 4.1 vil resultaterne af de simple statistiske tests blive fremlagt og analyseret. I

afsnit 4.2 vil resultaterne fra tidsserieregressionerne blive fremstillet og analyseret. I

afsnit 4.3 vil resultaterne af analysen blive sammenfattet.

4.1 Resultaterne af de simple statistiske tests I dette afsnit vil resultaterne af de simple statistiske tests blive fremlagt i tabeller for

hele perioden og hver af de 4 delperioder. Herefter vil resultaterne blive analyseret

med henblik på at finde ud af, om der har været size- og value-premiums i perioderne.

Selvom det ikke umiddelbart er formålet med denne afhandling, vil de gennemsnitlige

månedlige afkast og de gennemsnitlige månedlige overskydende afkast blive

behandlet, da det vurderes, at disse er med til at give et generelt overblik over

perioderne. Til sidst vil resultaterne af analysen blive opsummeret.

4.1.1 Analyse af resultaterne Tabel 4.1.1.1 viser resultaterne af testene for hele perioden juli 1926 til januar 2012.

Tabel 4.1.1.1 Resultaterne af de simple statistiske tests.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

31

Middel og S. A. er hhv. gennemsnittet og standardafvigelsen af enten det månedlige

markedspremium eller et månedligt overskydende afkast, size-premium eller value-

premium i procent.

Det ses, at det gennemsnitlige månedlige markedspremium har været 0,62, og med en

-værdi på 0,0003 kan nul-hypotesen, om at det månedlige markedspremium er

forskelligt fra nul, forkastes ved et signifikansniveau på 0,05. -værdien er tilmed så

lav, at dette må betragtes som en meget sikker konklusion. Alle de 6 size-BE/ME-

porteføljer har positive overskydende afkast, og nulhypotesen kan forkastes for alle 6

porteføljer, da samtlige -værdier er under 0,05, og ligeledes er -værdierne meget

lave, hvilket gør de enkelte konklusioner, om at de månedlige overskydende afkast er

forskellige fra nul meget sikre. Ved SG-porteføljen er der dog en lidt højere -værdi,

0,0042, men den er stadig meget lille, og konklusionen er stadig meget sikker.

SMB-porteføljen viser, at det gennemsnitlige månedlige size-premium har været 0,24,

og at dette med en -værdi på 0,0186 er signifikant forskelligt fra nul. Når der ses på

det gennemsnitlige månedlige size-premium for porteføljer med hhv. lav, neutral og

høj BE/ME (hhv. SMBG, SMBN og SMBV), ses det, at size-premiummet for porteføljer

med lav BE/ME kun har været 0,10 og med en -værdi på 0,4625 ikke er signifikant

forskellig fra nul. Dette er samtidig en ret høj -værdi, så det betragtes som en meget

sikker konklusion. Til gengæld findes der positive size-premiums, der er signifikant

forskellige fra nul ved porteføljer med neutral og høj BE/ME. Size-premiummet ser

dermed ud til at være til stede for den fulde periode og koncentreret i porteføljer, der

har neutral og høj BE/ME.

VMG-porteføljen har haft et gennemsnitligt månedligt value-premium på 0,38, og

dette er signifikant forskelligt fra nul og en meget sikker konklusion grundet en meget

lav -værdi på 0,0007. Det gennemsnitlige månedlige value-premium for porteføljer

med lav og høj markedskapitalisering (hhv. VMGS og VMGB) er hhv. 0,48 og 0,27, og er

begge signifikant forskellige fra nul. Dette er en meget sikker konklusion for VMGS,

mens den er knap så sikker for VMGB, da -værdien her kun er en smule under 0,05.

Forskellen mellem VMGS og VMGB, VMGS-B, er i gennemsnit 0,21 og er signifikant

forskellig fra nul. Dog er det med en -værdi på 0,0349 ikke en meget sikker

32

konklusion. Alt i alt tyder det dog på, at der er et value-premium, og at dette

fortrinsvist er koncentreret i porteføljer, der indeholder aktier med lav

markedskapitalisering.

Tabel 4.1.1.2 viser testresultaterne for den første delperiode juli 1926 til december

1945.

Tabel 4.1.1.2 Resultaterne af de simple statistiske tests.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

Det gennemsnitlige månedlige markedspremium har i denne delperiode været 0,78,

men er med en -værdi på 0,1440, der er et stykke over signifikansniveauet på 0,05,

ikke signifikant forskelligt fra nul. Samtlige overskydende afkast for de 6 size-BE/ME-

porteføljer er positive, men de er også alle ikke signifikant forskellige fra nul. Dog ligger

-værdierne for SG-, SN- og SV-porteføljerne på hhv. 0,0852, 0,0593 og 0,0661 og er

dermed ikke meget over 0,05. Dermed er konklusionerne for disse porteføljer noget

usikre.

SMB har givet et gennemsnitligt månedligt size-premium på 0,54, men med en -værdi

på 0,0693 er premiummet ikke signifikant forskelligt fra nul. -værdien er dog ikke så

langt over de 0,05, og dermed er der trods alt en smule, der peger på tilstedeværelsen

af et size-premium. Når der kigges på size-premiummet fordelt på growth-, neutral- og

value-porteføljerne, ses det, at de gennemsnitlige månedlige premiums er omtrentligt

lige store, hhv. 0,50, 0,62 og 0,51, men det er kun size-premiummet i neutral-

porteføljen, der er signifikant forskelligt fra nul, og med en -værdi på 0,0441 kun lige

under signifikansniveauet er dette en noget usikker konklusion. Der er altså for denne

33

periode kun svag indikation på et size-premium, og dette er fortrinsvist koncentreret i

porteføljer med neutral BE/ME.

VMG viser et gennemsnitligt månedligt value-premium på 0,44, men dette er med en

temmelig høj -værdi, 0,2234, ikke signifikant forskellig fra nul, og dette er en rimelig

sikker konklusion. VMGS og VMGB giver gennemsnitlige månedlige value-premiums,

der er næsten ens, hhv. 0,44 og 0,45, men heller ikke disse er signifikant forskellige fra

nul, og dette er også rimeligt sikre konklusioner. Forskellen mellem VMGS og VMGB er

selvsagt lille, 0,01, og medfører en ekstremt høj -værdi på 0,9686 og en meget sikker

konklusion, om at forskellen ikke er signifikant forskellig fra nul. I denne periode er der

dermed ikke belæg nok for at konkludere, at der er et value-premium.

Som nævnt i afsnit 3.3.4 kan der være problemer med en del af -værdiernes

troværdighed for denne periode, pga. at stikprøverne ikke er tilstrækkeligt store, til at

det kan antages, at middelværdien i tilstrækkelig grad følger en normalfordeling.

Dermed er der for denne periode et ekstra element af usikkerhed på de konklusioner,

der fremkommer af de berørte -værdier.

Tabel 4.1.1.3 indeholder resultaterne af testene for den anden delperiode januar 1946

til december 1974.

Tabel 4.1.1.3 Resultaterne af de simple statistiske tests.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

I denne periode har gennemsnittet af det månedlige markedspremium været 0,52, og

dette er med en -værdi på 0,0148 signifikant forskelligt fra nul. Dette er en rimelig

sikker konklusion. Der har været positive gennemsnitlige månedlige overskydende

34

afkast for alle de 6 size-BE/ME-porteføljer, og disse er alle på nær for SG-porteføljen

signifikant forskellige fra nul. Det er en bemærkelsesværdig høj -værdi for SG-

porteføljen og dermed en rimelig sikker konklusion.

SMB viser et negativt gennemsnitligt månedligt size-premium på -0,04, og dette er

med en høj -værdi på 0,7402 ikke signifikant forskelligt fra nul, hvilket kan

konkluderes med stor sikkerhed. For SMBG, SMBN og SMBV er der også

gennemsnitlige månedlige size-premiums, der ligger tæt omkring nul, og med høje -

værdier er de ikke i nærheden af at være signifikant forskellige fra nul. Det må dermed

konstateres, at det ikke ser ud til, at der er et size-premium for denne periode.

VMG-porteføljen har givet et gennemsnitligt månedligt value-premium på 0,38, og

dette er signifikant forskelligt fra nul, hvilket med en -værdi på 0,0018 er en meget

sikker konklusion. VMGS og VMGB viser gennemsnitlige månedlige value-premiums på

hhv. 0,45 og 0,31, og disse er begge signifikant forskellige fra nul. Med -værdier på

hhv. 0,0003 og 0,0371 er konklusionen meget sikker ved VMGS-porteføljen, mens den

er noget svagere ved VMGB-porteføljen. VMGS-B viser en forskel på 0,15 mellem de

gennemsnitlige månedlige valuepremiums for de 2 porteføljer, men denne er ikke

signifikant forskellig fra nul, da -værdien er relativt høj, 0,2419, hvilket dermed er en

rimelig sikker konklusion. Der er altså stærk indikation på et value-premium i denne

periode, og der er ikke nok belæg for at konkludere, at dette premium er koncentreret

i porteføljer med aktier med lav markedskapitalisering frem for porteføljer med aktier

med høj markedskapitalisering.

Tabel 4.1.1.4 viser testresultaterne for den tredje delperiode januar 1975 til december

1999.

35

Tabel 4.1.1.4 Resultaterne af de simple statistiske tests.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

Det gennemsnitlige månedlige markedspremium for denne periode har været 0,87 og

er signifikant forskelligt fra nul, hvilket er en meget sikker konklusion, da -værdien er

0,0008. Det ses, at der er positive overskydende afkast på samtlige size-BE/ME-

porteføljer, der alle er signifikant forskellige fra nul grundet meget lave -værdier. Kun

SG-porteføljen har en -værdi, 0,0203, der ikke medfører en yderst sikker konklusion,

og den er endda stadig forholdsvis lav.

SMB har givet et gennemsnitligt månedligt size-premium på 0,23, men dette er med en

-værdi på 0,1444 ikke signifikant forskelligt fra nul, og dette er en rimelig sikker

konklusion. Når der ses på SMBG, SMBN og SMBV, er der hhv. 0,02, 0,33 og 0,35

gennemsnitlige månedlige size-premiums og -værdier på hhv. 0,9118, 0,0400 og

0,0237. Premiummet for SMBG er dermed ikke signifikant forskelligt fra nul, hvilket

kan konkluderes med stor sikkerhed, men for både SMBN og SMBV er premiummet

signifikant forskelligt fra nul, hvilket dog ikke er meget sikre konklusioner. Der er altså

indikation, på at der i denne periode, er et size-premium for porteføljer, der

indeholder aktier med neutral og høj BE/ME.

VMG viser, at det gennemsnitlige månedlige value-premium har været 0,26, men at

det med en -værdi på 0,0960 ikke er signifikant forskelligt fra nul. Dette er en lidt

usikker konklusion. Ses der på VMGS- og VMGB-porteføljerne, giver de gennemsnitlige

månedlige value-premiums på hhv. 0,42 og 0,10 med tilhørende -værdier på hhv.

0,0181 og 0,5455. Premiummet for VMGS er dermed signifikant forskelligt fra nul, som

er en rimelig sikker konklusion, mens det for VMGB ikke er signifikant forskelligt fra

36

nul, og dette er en meget sikker konklusion. Det ses også, at den gennemsnitlige

forskel mellem VMGS og VMGB på 0,32 med en -værdi på 0,0282 er signifikant

forskellig fra nul, hvilket dog ikke er en meget sikker konklusion. Det tyder dermed, på

at der er et value-premium for porteføljer indeholdende aktier med lav

markedskapitalisering, mens dette ikke kan konkluderes for porteføljer, der indeholder

aktier med høj markedskapitalisering.

Tabel 4.1.1.5 viser resultaterne af testene for de fjerde og sidste delperiode januar

2000 til januar 2012.

Tabel 4.1.1.5 Resultaterne af de simple statistiske tests.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

For denne periode er det gennemsnitlige månedlige markedspremium 0,09, hvilket

ikke er signifikant forskelligt fra nul. Dette er med en meget høj -værdi på 0,8199 en

meget sikker konklusion. Alle gennemsnitlige månedlige overskydende afkast på de 6

size-BE/ME-porteføljer er positive på nær for BG, og de er alle ikke signifikant

forskellige fra nul. Dette er meget sikre konklusioner for SG, BG, BN og BV pga. meget

høje -værdier, mens det er en smule usikre konklusioner for SN og SV, da de kun har

-værdier en smule over signifikansniveauet på 0,05.

Det ses på SMB, at det gennemsnitlige månedlige size-premium har været 0,47, men at

dette med en -værdi på 0,1355 ikke er signifikant forskelligt fra nul, og dette er en

rimelig sikker konklusion. De gennemsnitlige månedlige size-premiums for SMBG,

SMBN og SMBV er hhv. 0,22, 0,52 og 0,67, og med -værdier på hhv. 0,5763, 0,0726 og

0,0332 er det kun for SMBV, at dette er signifikant forskelligt fra nul. For SMBN er -

37

værdien dog ikke ret meget over 0,05, og dermed er det en noget usikker konklusion.

For SMBG er det en meget sikker konklusion. Der er altså tegn, på at der kun er et size-

premium for porteføljer med høj BE/ME. Dog er der også en lille smule evidens for et

size-premium for porteføljer med neutral BE/ME.

VMG viser et gennemsnitligt månedligt value-premium på 0,51, der med en -værdi på

0,0894 ikke er signifikant forskelligt fra nul. Dette er en lidt usikker konklusion. De

gennemsnitlige månedlige value-premiums for VMGS og VMGB er hhv. 0,74 og 0,29

med -værdier på hhv. 0,0339 og 0,3416, hvilket betyder, at premiummet for VMGS er

signifikant forskelligt fra nul som en smule usikker konklusion, mens premiummet for

VMGB ikke er signifikant forskelligt fra nul som en meget sikker konklusion. Den

gennemsnitlige forskel mellem VMGS og VMGB på 0,44 er dog ikke signifikant

forskellig fra nul. -værdien på 0,0797 er dog så lav, at dette er en lidt usikker

konklusion. Der er altså evidens for et value-premium for porteføljer, der indeholder

aktier med lav markedskapitalisering, mens dette ikke er tilfældet for porteføljer, der

indeholder aktier med høj markedskapitalisering.

4.1.2 Opsummering Opsummerende kan det konkluderes, at for den fulde periode 1926-2012 er der et

size-premium, som er mest koncentreret i porteføljer med neutral og høj BE/ME.

Denne konklusion ændrer sig dog mellem de enkelte perioder. I perioden 1926-1945 er

der en svag indikation på et size-premium, men som mest er koncentreret i porteføljer

med neutral BE/ME. I den efterfølgende periode 1946-1974 kan der ikke konstateres

et size-premium overhovedet. I de 2 efterfølgende perioder 1975-1999 og 2000-2012

er der i begge i mere eller mindre grad indikation på size-premiums i porteføljer med

neutral og høj BE/ME. Med hensyn til value-premiummet kan det for hele perioden

konkluderes, at der er et value-premium, og at dette ligger mest i porteføljer med lav

markedskapitalisering. Denne konklusion varierer også mellem de enkelte delperioder.

For 1926-1945 findes der ikke nok evidens for et value-premium. I næste periode

1946-1974 er der derimod stærk evidens for et value-premium, og der kan ikke spores

nogen forskel i koncentrationen i porteføljerne delt op efter size. For de 2 sidste

38

perioder 1975-1999 og 2000-2012 er der kun evidens nok til at konkludere, at der er et

value-premium for porteføljer med lav markedskapitalisering.

4.2 Resultater af tidsserieregressionerne I dette afsnit vil tabeller med resultaterne af tidsserieregressionerne blive fremlagt og

analyseret med henblik, på at finde ud af om CAPM kan forklare size, value-premiums

og de overskydende afkast for size-BE/ME-porteføljerne. Resultaterne vil til sidst blive

opsummeret.

4.2.1 Analyse af resultaterne I det følgende vil det blive undersøgt om de size- og value-premiums, der blev fundet

evidens for i afsnit 4.1, kan forklares af CAPM.

Tabel 4.2.1.1 viser resultaterne af tidsserieregressionerne for den fulde periode juli

1926 til januar 2012.

Tabel 4.2.1.1 Resultaterne fra tidsserieregressionerne.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

39

og er hhv. de estimerede skæringsparametre og hældningsparametre for de

forskellige porteføljer, , , og er de respektive -statistikker og -værdier,

er den justerede forklaringsgrad for regressionerne4, og GRS og er hhv. GRS-

statistikken og den dertilhørende -værdi.

For denne periode blev der fundet et size-premium, og dette er koncentreret i

porteføljer med neutral og høj BE/ME. Der blev også konstateret et value-premium,

som er mest koncentreret i porteføljer med lav markedskapitalisering, men som også

er til stede i porteføljer med høj markedskapitalisering. Derfor vil der blive fokuseret

på, om CAPM kan forklare premiumsne for SMB-, SMBN-, SMBV-, VMG-, VMGS- og

VMGB-porteføljerne.

Det ses, at SMB har en estimeret skæringsparameter på 0,12 og en -værdi på 0,2271,

der er et godt stykke over signifikansniveauet på 0,05. Dermed kan nulhypotesen om

at skæringsparameteren er lig med nul ikke forkastes, og dermed kan det ikke afvises,

at CAPM kan forklare size-premiummet for denne periode. For SMBN og SMBV er de

estimerede skæringsparametre hhv. 0,22 og 0,23, og de respektive -værdier er

0,0291 og 0,0268, hvilket betyder, at de begge er signifikant forskellige fra nul, og at

det dermed kan konkluderes, at CAPM ikke kan forklare disse size-premiums.

VMG har en estimeret skæringsparameter på 0,29 og en -værdi på 0,0086, og denne

er dermed signifikant forskellig fra nul. Det kan dermed konkluderes, at CAPM ikke kan

forklare value-premiummet. Ses der på VMGS og VMGB, har de skæringsparametre på

hhv. 0,45 og 0,13 med tilhørende -værdier på 0,0001 og 0,3128. Dermed kan det

konkluderes, at skæringsparameteren for VMGS er signifikant forskellig fra nul, mens

dette ikke er tilfældet for VMGB. Det kan dermed afvises, at CAPM kan forklare value-

premiummet i porteføljer med lav markedskapitalisering, mens det ikke kan afvises for

porteføljer med høj markedskapitalisering.

GRS-statistikken på 6,27 og en -værdi på 0,0000 forkaster nulhypotesen, om at

skæringsparametrene for de 6 size-BE/ME-porteføljer er fælles lig nul. Dermed kan det

konkluderes, at CAPM ikke kan forklare de overskydende afkast på disse porteføljer for

den fulde periode. Det lader, til at det særligt er SN- og SV-porteføljerne, med

4 Der var komplikationer mht. at få en streg over R’et, og derfor er denne ikke med.

40

estimerede skæringsparametre på hhv. 0,25 og 0,36 samt lave -værdier på hhv.

0,0080 og 0,0060, der volder problemer for CAPM.

Tabel 4.2.1.2 viser resultaterne af tidsserieregressionerne for den første delperiode juli

1926 til december 1945.

Tabel 4.2.1.2 Resultaterne fra tidsserieregressionerne.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

For denne periode blev der kun for porteføljer med neutral BE/ME fundet et signifikant

size-premium. Derfor vil der blive set på CAPMs evne til at forklare premiummet for

SMBN-porteføljen.

SMBN har en estimeret skæringsparameter på 0,48, -værdien er 0,1013, og den er

dermed ikke signifikant forskellig fra nul. Det kan derfor ikke afvises, at CAPM kan

forklare size-premiummet i porteføljer med neutral BE/ME. -værdien er dog så lav, at

dette er en lidt usikker konklusion.

GRS-statistikken er 0,96, og den tilhørende -værdi er 0,4549. Dermed kan nul-

hypotesen, om at skæringsparametrene for de 6 size-BE/ME-porteføljer er fælles lig

nul, ikke forkastes. Dermed er der evidens for, at CAPM godt kan forklare de

overskydende afkast på disse porteføljer i denne periode.

41

Tabel 4.2.1.3 viser resultaterne af tidsserieregressionerne for den anden delperiode

januar 1946 til december 1974.

Tabel 4.2.1.3 Resultaterne fra tidsserieregressionerne.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

Der blev for denne periode fundet stærk evidens for et value-premium, hvilket også

gjorde sig gældende, når der blev kigget på porteføljerne delt op på lav og høj

markedskapitalisering. Derfor vil fokus ligge på CAPMs evne til at forklare premiumsne

for VMG-, VMGS- og VMGB-porteføljerne.

VMG har en estimeret skæringsparameter på 0,40 og en meget lav -værdi på 0,0011,

hvilket gør, at den er signifikant forskellig fra nul, og at en CAPM-forklaring af value-

premiummet kan afvises. For VMGS er den estimerede skæringsparameter 0,51, -

værdien er 0,0001, og dermed er den signifikant forskellig fra nul. Der er dermed stærk

evidens, for at CAPM ikke kan forklare value-premiummet for porteføljer med lav

markedskapitalisering. For VMGB er den estimerede skæringsparameter 0,29, og -

værdien på 0,0520 er lige over signifikansniveauet på 0,05. Dermed er den estimerede

skæringsparameter ikke signifikant forskellig fra nul, og det kan dermed ikke afvises, at

CAPM kan forklare value-premiummet for porteføljer med høj markedskapitalisering.

Dette er dog en usikker konklusion den lave -værdi taget i betragtning.

42

GRS-statistikken er 4,66, og med en -værdi på 0,0001 kan nul-hypotesen, om at

skæringsparametrene for de 6 size-BE/ME-porteføljer er fælles lig nul, forkastes. Der er

dermed ikke tegn, på at CAPM kan forklare de overskydende afkast på de 6 porteføljer

i denne periode. Det ser ud, til at det særligt er SG- og BV-porteføljerne, der med

estimerede skæringsparametre på hhv. -0,30 og 0,26 samt -værdier på hhv. 0,0452 og

0,0158, giver problemer for en CAPM-forklaring af de overskydende afkast.

Tabel 4.2.1.4 viser resultaterne af tidsserieregressionerne for den tredje delperiode

januar 1975 til december 1999.

Tabel 4.2.1.4 Resultaterne fra tidsserieregressionerne.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

Der blev i denne periode fundet tegn på et size-premium i porteføljer høj BE/ME, mens

der blev fundet svag evidens for et size-premium i porteføljer med neutral BE/ME. Der

blev også fundet et value-premium for porteføljer med lav markedskapitalisering.

Dermed vil der blive fokuseret på CAPMs evne til at forklare premiumsne for SMBN,

SMBV og VMGS.

SMBN og SMBV har begge estimerede skæringsparametre på 0,24 og -værdier på

hhv. 0,1305 og 0,1184, hvilket betyder, at de begge ikke er signifikant forskellige fra

43

nul. En CAPM-forklaring af size-premiumsne for porteføljer med neutral og høj BE/ME

kan dermed ikke afvises.

VMGS har en estimeret skæringsparameter på 0,71 og en yderst lav -værdi, 0,0000.

Dermed er den estimerede skæringsparameter signifikant forskellig fra nul, og det kan

dermed afvises, at CAPM kan forklare value-premiummet for porteføljer med lav

markedskapitalisering.

GRS-statistikken er 5,06, og den dertilhørende -værdi er 0,0001. Dermed kan nul-

hypotesen, om at skæringsparametrene for de 6 size-BE/ME-porteføljer er fælles lig

nul, forkastes. Dermed er der ikke evidens, for at CAPM kan forklare de overskydende

afkast på de 6 porteføljer. Det lader til at være specielt SN- og SV-porteføljerne med

skæringsparametre på hhv. 0,29 og 0,45, der volder CAPM problemer, da de har lave

-værdier på hhv. 0,0353 og 0,0068.

Tabel 4.2.1.5 viser resultaterne af tidsserieregressionerne for den fjerde og sidste

delperiode januar 2000 til januar 2012.

Tabel 4.2.1.5 Resultaterne fra tidsserieregressionerne.

Kilde: Egen konstruktion ud fra data fra Kenneth R. Frenchs hjemmeside (2012).

44

For denne periode blev der fundet evidens for et size-premium for porteføljer med høj

BE/ME og et value-premium for porteføljer med lav markedskapitalisering. Derfor ses

der på CAPMs evne til at forklare SMBV- og VMGS-porteføljernes premiums.

Skæringsparameteren for SMBV er 0,65, og med en -værdi på 0,0340 er denne

signifikant forskellig fra nul. Dermed kan det afvises, at CAPM kan forklare size-

premiummet for porteføljer med høj BE/ME. Dette er en lidt usikker konklusion, da -

værdien ikke er så langt fra signifikansniveauet på 0,05.

For VMGS er den estimerede skæringsparameter 0,75, og -værdien er 0,0254. Den

estimerede skæringsparameter er dermed signifikant forskellig fra nul, og det kan

dermed afvises, at CAPM kan forklare value-premiummet for porteføljer med lav

markedskapitalisering. Denne konklusion er lidt usikker, da -værdien ikke er så langt

fra 0,05.

GRS-statistikken er 3,46, og med en -værdi på 0,0032 kan nul-hypotesen, om at

skæringsparametrene for de 6 size-BE/ME-porteføljer er fælles lig nul, forkastes. Der er

dermed ikke tegn, på at CAPM kan forklare de overskydende afkast på de 6 porteføljer

i denne periode. Det lader til at være SN- og SV-porteføljerne, der med estimerede

skæringsparametre på hhv. 0,75 og 0,85 samt -værdier på hhv. 0,0027 og 0,0031

volder problemer for CAPM.

4.2.2 Opsummering Af analysen blev det fundet, at for den fulde periode 1926-2012 kunne en CAPM-

forklaring af SMBN-, SMBV-, VMG- og VMGS-premiumsne afvises, mens den ikke

kunne afvises for SMB- og VMGB-premiumsne. Der blev heller ikke fundet evidens, for

at CAPM kunne forklare de overskydende afkast på de 6 size-BE/ME-porteføljer. For

den første delperiode 1926-1945 kunne en CAPM-forklaring af SMBN-premiummet

ikke afvises. En CAPM-forklaring af de overskydende afkast på size-BE/ME-

porteføljerne kunne heller ikke forkastes. I den anden delperiode 1946-1974 blev der

ikke fundet tegn, på at CAPM kunne forklare VMG- og VMGS-porteføljernes premiums.

En CAPM-forklaring kunne dog ikke afvises for VMGB-premiummet, men dette var en

ret usikker konklusion. Der blev ikke fundet tegn, på at CAPM kunne forklare de

45

overskydende afkast på size-BE/ME-porteføljerne. For den tredje delperiode 1975-

1999 blev det fundet, at det ikke kunne afvises, at CAPM kunne forklare premiumsne

på SMBN- og SMBV-porteføljerne. Til gengæld kunne en CAPM-forklaring afvises for

premiummet på VMGS-porteføljen. For de overskydende afkast på de 6 size-BE/ME-

porteføljer kunne en CAPM-forklaring afvises. Ved den fjerde og sidste periode 2000-

2012 kunne en CAPM-forklaring afvises for premiumsne på SMBV- og VMGS-

porteføljerne. Der blev heller ikke fundet evidens, for at CAPM kunne forklare de

overskydende afkast på de 6 size-BE/ME-porteføljer.

4.3 Sammenfatning Af analysen i afsnit 4.1 og 4.2 ses det at hvilke size- eller value-premiums, der kan

findes evidens for, varierer mellem delperioderne. For perioden 1926-1945 findes der

kun et enkelt premium, nemlig for SMBN, og dette premium er der ikke evidens nok,

for at CAPM ikke kan forklare. Når der kigges på de overskydende afkast på de 6 size-

BE/ME-porteføljer, kan en CAPM-forklaring heller ikke afvises. Dermed ser CAPM ud til

at klare sig ganske godt i denne periode, som blev klassificeret som den mest

turbulente. Dette er i trit med Castellani & Jahan-Parvars spekulationer, om at CAPM

klarer sig godt i turbulente perioder. Resultatet er nok heller ikke så overraskende,

dersom at 1926-1945 er en delperiode af den periode, 1926-1963, som Fama & French

(2006) og Castellani & Jahan-Parvar (2010) finder samme resultat for.

Ses der på den fjerde periode, der blev klassificeret som den næstmest turbulente

periode, findes der et size- og et value-premium i SMBV og VMGS, som begge ikke kan

forklares af CAPM. Når der ses på alle de 6 size-BE/ME-porteføljer, afvises en CAPM-

forklaring ligeledes. Hvis CAPM kunne forklare de overskydende afkast i denne

turbulente periode, ville det kunne støtte Castellani & Jahan-Parvars (2010)

spekulationer. Dette er dog som sagt ikke tilfældet.

For de to mellemliggende perioder 1946-1974 og 1975-1999, der blev klassificeret som

de mest rolige, kan en CAPM-forklaring af de overskydende afkast på size-BE/ME-

porteføljerne afvises for begge. For 1946-1974 blev der konstateret value-premiums i

VMG, VMGS og VMGB, hvor premiumsne i VMG og VMGS ikke kunne forklares af

46

CAPM. For 1975-1999 blev der konstateret premiums for SMBN, SMBV og VMGS, hvor

en CAPM-forklaring kun blev afvist for VMGS.

Alt i alt må det siges, at der ikke kunne findes yderligere støtte til Castellani & Jahan-

Parvars spekulationer ved at lave en anderledes periodeinddeling og ved at inkludere

de seneste 3 år i undersøgelsen.

Mere interessant er resultaterne for size-premiumsne. Som nævnt i Kapitel 1

konkluderer Fama & French (2006) og Castellani & Jahan-Parvar (2010), at en CAPM-

forklaring af size-premiummet ikke kan afvises. Samme konklusion nås i denne

afhandling for SMB-porteføljen, men ved opdelingen i SMBG, SMBN og SMBV findes

det, at der er size-premiums for SMBN og SMBV for den fulde periode 1926-2012 samt

et size-premium for SMBV for 2000-2012, der ikke kan forklares af CAPM.

47

5. Konklusion I denne afhandling er der med udgangspunkt i den opstillede problemformulering i

kapitel 1 udført en undersøgelse af CAPMs evne til at forklare size-, value-premiums og

afkast på 6 porteføljer opdelt efter markedskapitalisering og BE/ME.

I kapitel 2 blev der foretaget en redegørelse, for hvorledes teorien om CAPM tager

udgangspunkt i Markowitz’ (1959) porteføljevalgsmodel, hvor investorer kun vælger

porteføljer, der minimerer risikoen for et givet forventet afkast og maksimerer det

forventede afkast givet en bestemt risiko. CAPM siger hvordan et aktivs forventede

afkast afhænger af den risikofri rente, aktivets markedsbeta og det forventede afkast

af markedsporteføljen. Denne sammenhæng vises af Security Market Line.

I kapitel 3 blev det vist hvorledes de 6 porteføljer bruges til at danne faktorporteføljer,

der beskriver size- og value-premiums. Efterfølgende blev der valgt hvilke perioder, der

skulle undersøges, på baggrund af hvor turbulente de har været, hvilket resulterede i

de 4 delperioder 1926-1945, 1946-1974, 1975-1999 og 2000-2012 foruden hele

perioden 1926-2012. Herefter blev der redegjort, for hvorledes simple hypotesetests

kan benyttes til at belyse tilstedeværelsen af size- og value-premiums for de valgte

perioder, og hvordan hypotesetests på baggrund af en række tidsserieregressioner kan

benyttes til at teste, om CAPM kan forklare size- og value-premiums samt

overskydende afkast på de 6 size-BE/ME-porteføljer.

I kapitel 4 blev resultaterne af den empiriske undersøgelse fremlagt og analyseret. Der

blev fundet enten size-, value-premiums eller begge dele i alle perioder. En del af disse

premiums kunne CAPM ikke forklare, mens der for en anden del ikke kunne afvises en

CAPM-forklaring. Et interessant resultat er, at en CAPM-forklaring af de overskydende

afkast på de 6 size-BE/ME-porteføljer kunne afvises for den fulde periode samt de 3

seneste delperioder, mens den ikke kunne afvises for den mest turbulente periode

1926-1945. Dette resultat skal holdes op, mod at der i tidligere studier er fundet, at en

CAPM-forklaring ikke kan afvises for de samme 6 porteføljer for perioden 1926-1963.

Da CAPM-forklaringen afvises for den næstmest turbulente periode 2000-2012,

fandtes der ikke støtte for Castellani & Jahan-Parvars (2010) spekulationer, om at

48

CAPM skulle klare sig bedre i turbulente perioder. Et andet interessant resultat er, at

der blev fundet size-premiums i porteføljer med neutral og høj BE/ME for 1926-2012

samt et size-premium for porteføljer med høj BE/ME for 2000-2012, der ikke kan

forklares af CAPM.

49

Litteraturliste Ackert, L. F. and Deaves, R. (2010). Behavioral Finance: Psychology, Decision-Making

and Markets, Mason, OH: South-Western Cengage Learning.

Andersen, S. and Jensen, M. B. (2009). Notesamling til Statistik: HA og HD 1. del,

Aarhus: Institut for Marketing og Statistik, Handelshøjskolen, Aarhus Universitet.

Black, F. (1972). Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing, The Journal of

Business, Vol. 45, No. 3 (July), pp. 444-455.

Breusch, T. S. (1978). Testing for Autocorrelation in Dynamic Linear Models, Australian

Economic Papers, Vol. 17, No. 31 (December), pp. 334-355.

Breusch, T. S. and Pagan, A. R. (1979). A Simple Test for Heteroskedasticity and

Random Coefficient Variation, Econometrica, Vol. 47, No. 5 (September), pp. 1287-

1294.

Campbell, J. Y., Lo, A. W. and MacKinlay, A. C. (1997). The Econometrics of Financial

Markets, Princeton, N.J.: Princeton University Press.

Castellani, G. A. and Jahan-Parvar, M. R. (2010). The Capital Asset Pricing Model and

the Value Premium: A Post-Financial Crisis Assessment, http://www.ecu.edu/cs-

educ/econ/upload/ecu1008-Jahan-Parvar-CAPMValPremFC-version20100910.pdf

(August), pp. 1-18.

Durbin, J. and Watson, G. S. (1950). Testing for Serial Correlation in Least Squares

Regression, I, Biometrika, Vol. 37, No. 3/4 (December), pp. 409-428.

Elton, E. J., Gruber, M. J., Brown, S. J. and Goetzmann, W. N. (2003). Modern portfolio

theory and investment analysis, New York: John Wiley & Sons.

EViews 6 User’s Guide I (2007), Irvine, CA: Quantitative Micro Software, LLC.

Fama, E. F. and French, K. R. (2004). The Capital Asset Pricing Model: Theory and

Evidence, Journal of Economic Perspectives, Vol. 18, No. 3 (Summer), pp. 25-46.

50

Fama, E. F. and French, K. R. (2006). The Value Premium and the CAPM, The Journal of

Finance, Vol. 61, No. 5 (October), pp. 2163-2185.

Fama, E. F. and MacBeth, J. D. (1973). Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests,

Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3 (May-June), pp. 607-636.

French, K. R. (2012).

http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html

Godfrey, L. G. (1978). Testing against General Autoregressive and Moving Average

Error Models when the Regressors Include Lagged Dependent Variables, Econometrica,

Vol. 46, No. 6 (November), pp. 1293-1302.

Jarque, C. M. and Bera, A. K. (1980). Efficient Tests for Normality, Homoskedasticity

and Serial Independence of Regression Residuals, Economics Letters, Vol. 6, No. 3

(October), pp. 255-259.

Jensen, M. C. (1968). The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964, The

Journal of Finance, Vol. 23, No. 2 (May), pp. 389-416.

Keller, G. (2009). Managerial Statistics, Mason, OH: South-Western Cengage Learning.

Lintner, J. (1965). The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments

in Stock Portfolios and Capital Budgets, The Review of Economics and Statistics, Vol. 47,

No. 1 (February), pp.13-37.

Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, New

York: John Wiley & Sons, Inc.

Merton, R. C. (1973). An Intertemporal Capital Asset Pricing Model, Econometrica, Vol.

41, No. 5 (September), pp. 867-887.

Newey, W. K. and West, K. D. (1987). A Simple Positive Semi-Definite,

Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix, Econometrica,

Vol. 55, No. 3 (May), pp. 703-708.

51

Roll, R. (1977). A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential

testability of the theory, Journal of Financial Economics, Vol. 4, No. 2 (March), pp. 129-

176.

Ross, S. A. (1976). The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing, Journal of Economic

Theory, Vol. 13, No. 3, pp. 341-360.

Sharpe, W. F. (1964). A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, The

Journal of Finance, Vol. 19, No. 3 (September), pp. 425-442.

Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics, Chichester, West Sussex: John

Wiley & Sons Ltd.

White, H. (1980), A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a

Direct Test for Heteroskedasticity, Econometrica, Vol. 48, No. 4 (May), pp. 817-838.

Wooldridge, J. M. (2009). Introductory Econometrics: A Modern Approach, South-

Western Cengage Learning.

Wikipedia (2012). http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stock_market_crashes.