II FEJEZETOPTIMALIZÁLÁSI PROBLÉMÁK MEGOLDÁSA AZ EXCEL SEGÍTSÉGÉVEL

1. MIT JELENT AZ OPTIMALIZÁLÁSI PROBLÉMA?

Valamennyi szervezetnek döntéseket kell hoznia erőforrásainak allokálásáról és felhasználásáról. Mivel ezek az erőforrások csak korlátozottan állnak rendelkezésre, a menedzsmentnek folyamatosan döntéseket kell hoznia felhasználásukról annak érdekében, hogy a vállalkozás a céljait minél hamarabb elérhesse. Lehetséges célok például a forgalom vagy a nyereség növelése, valamint a költségek minimalizálása.

Ilyen stratégiai döntések hozatala lineáris vagy nem-lineáris programozás segítségével érhető el. A lineáris és nem-lineáris programozás olyan matematikai technikák, amelyek felhasználhatók arra, hogy egy vállalat erőforrásait célirányosan használja fel. A „lineáris” jelző proporcionális függést fejez ki a tárgyalt problémáknál vizsgált értékek között. Ebben a jegyzetben is csak lineáris programozással foglalkozunk tekintettel arra, hogy a matematika előadásokon illetve szemináriumokon is csak ez fordul elő.

Ahhoz, hogy egy döntési problémát optimalizálási problémává lehessen alakítani, különböző feltételeknek kell teljesülniük:

Különböző döntési alternatíváknak kell létezniük, amelyek a vállalat célját nagymértékben befolyásolják és ezek matematikai változók formájában kifejezhetőknek kell lenniük.

Az erőforrásoknak korlátozottan kell rendelkezésre állniuk. Világosan meg kell tudni fogalmazni azt a vállalati célt, amely a döntési

alternatíváktól függ és ezt is ki kell tudni fejezni a döntési változók matematikai függvényeként.

A fentieknek megfelelő optimalizálási modellek három alapvető komponensből állnak: A döntési változók olyan értékek, amelyeket a döntéshozó befolyásolni tud. Ezek

számára keressük az optimális értékeket. A célfüggvény a döntési változók egy függvénye, amelyet maximalizálni vagy

minimalizálni kell. (Pl. a költségek minimalizálása, a nyereség maximalizálása) A korlátok olyan feltételek, amelyek a megengedett változókombinációk halmazát

behatárolják.

.

A keverési probléma

A keverési probléma egy egyszerű lineáris optimalizálási probléma: különböző nyersanyagok

mennyiségét kell meghatározni úgy, hogy az előállított keverék költsége minimális legyen, és

közben a meghatározott feltételek teljesüljenek.

Tekintsük az alábbi feladatot:

Egy háziállat táplálékának tartalmaznia kell négyféle tápanyagból legalább 0,2 kg. 0,4 kg,

1 kg és 4,2 kg mennyiséget. Két takarmányféleség áll rendelkezésünkre: A és B. 1 kg A

takarmányban rendre 0,1; 0; 0,1; 0,7 kg van az egyes tápanyagokból, 1 kg B takarmány ezekből

0; 0,2; 0,2; 0,6 kg-ot tartalmaz. Az A takarmány egységára 20 e Ft/kg, a B takarmányé 30 e

Ft/kg. Határozzuk meg a gazdaságos takarmánykeverék összetételét!

Mindenekelőtt a feladatot át kell írni matematikai változók segítségével:

A döntési változók az A és B takarmányokból rendelt mennyiségek kg-ban. Legyen ez x1 és x2

Ekkor a célfüggvény az összár amit minimalizálni kell az alábbi korlátozási feltételek mellett:

C=20x1+30x2

0.1 ∙ x1+0 ∙ 2x2≥ 0.2

0.2 ∙ x1+0 ∙ x2 ≥0.4

0.1 ∙ x1+0.2 ∙2 x2≥ 1

0.7 ∙ x1+0.6 ∙ 2 x2 ≥ 4.2

x1 , x2≥ 0

A feladatot át kell tudnunk írni egy munkalapra:

1 ábra: A feladat megfogalmazása az Excel munkalapon

 

A döntési változóknak kezdetben a Z=(0, 0) értékeket adjuk. A Z érték tulajdonképpen a

változóktól függő ár, azaz a célfüggvény értéke, ami azonnal látható, hogy a c és x mátrixok

szorzata (ezt lehet az MMULT és SUMPRODUCT függvényekkel is végezni). Ezt kell

minimalizálni.

Miután minden adatot beírtunk az optimalizációt a Tools Solver (Eszközök Solver;

Instrumente Solver) menüfunkció segítségével indítjuk meg. A „Solver” párbeszédablakban

megadjuk azokat a cellacímeket, amelyek a változókat, a célfüggvényt valamint a korlátozási

feltételeket tartalmazzák. Mindezt a lenti ábrák szemléltetik:

2 ábra.A Solver elindítása. Az optimalizálandó és a változó cellákmegjelölése

3. ábra: Korlátok szerkesztése

4. ábra.A beadott optimalizálási modell a Solver ablakban

 Miután minden feltételt beírtunk, a Megoldás (SOLVE) nyomógombra való kattintással az

Excel megoldja a problémát és az x felveszi az optimális értékeket, ezáltal a Z és Ax értéke is

megfelelően változik.

5. táblázat. A megoldás a takarmánykeverék példájára

Tehát az optimális, ha 3 kg-ot vásárolunk az A takarmányból és 3,5 kg-ot a B

takarmányból, ez 165 e Ft-ba kerül és tartalmaz 0,3 kg-ot az I. tápanyagból, 0,7 kg-ot a II.

tápanyagból, 1 kg-ot a III. tápanyagból és 4,2 kg-ot a IV. tápanyagból.

Oldjuk meg a hasonló példát, ha 3 típusú takarmányból állítjuk össz a legolcsóbb

keveréket. A harmadik takarmány tápanyagtartalma rendre 0;0;0,1 és 0,7, az egységára pedig 15.

Ebben az esetben a célfüggvény bővül egy x3 változóval, amelynek az együtthatója az

egységár, 15 lesz. Az A mátrix is bővül egy oszloppal, ami a harmadik takarmány összetételének

felel meg. Természetesen a példa eredményét képező X vektor is bővül 1 taggal, ami a harmadik

takarmány mennyiségének felel meg. Az Excel munkalap ebben az esetben a 6 ábrán látható.Az

eredményt az X mátrix tartalmazza (7 ábra)

6. ábra: Az Excel munkalap a 3 takarmány-összetevő esetében

7. ábra: Az eredmény az x vektorban található meg

A fenti egy egyszerűbb korlátozási feltételekkel rendelkező feladat volt.

Vannak esetek, amikor a döntési változók egészek kell legyenek, vagy amikor csak

néhány értéket vehetnek fel. Ez utóbbira lássunk egy példát:

A hátizsák probléma

A hátizsák probléma az operációkutatás standard problémái közé tartozik. Eredeti

megfogalmazásában a probléma abban áll, hogy m tárgyból hogyan válasszunk ki i darabot.

Ezen tárgyak mindegyikének van egy költsége és egy haszna. A cél az, hogy a hasznot úgy

maximalizáljuk, hogy a költségek ne haladjanak meg egy adott korlátot. Megtörténhet, hogy

konkrét haszon nincs (pl. egy iroda-felszerelés meghatározásakor), hanem minden tárgynak van

egy szubjektív értéke. Az is megtörténik, hogy bizonyos beruházásokat nem tervezhetünk egy

másik beruházás megtétele nélkül. (pl. nem vásárolhatunk nyomtatót, ha nem vásárolunk

számítógépet). Ezekben az esetekben a döntési változók a 0 és az 1. (0, ha nem hajtjuk végre és 1

ha végrehajtjuk). Annak a korlátozási feltétele, hogy nem vásárolhatunk nyomtatót számítógép

vásárlása nélkül az, hogy a számítógépnek és a nyomtatónak megfelelő döntési változók

különbsége nagyobb vagy egyenlő 0-val.

Tekintsük az alábbi feladatot:

Egy kis számítástechnikai cég éves ülésén lehetséges projekteket vizsgál meg. Ezek a

tervek berendezések vásárlását és üzembe állítását, berendezések lízingjét stb. foglalják

magukba. Valamennyi projekt a következő évben egy kezdő beruházást igényel. A cég

mindegyik tervtől olyan hasznot vár el, amely a beruházási kiadásokból és a jövőben elvárt

fizetések sorozatának készpénzértékéből tevődik össze. Összesen 500 000 DM áll a

rendelkezésre a kezdeti beruházásokhoz. A vállalatnak el kell döntenie, hogy a projektek közül

melyeket bvalósítja meg, hogy az elvárt együttes haszon a maximális legyen, és a beruházási

költségek ne lépjék túl a rendelkezésre álló költségvetési keretet. A 6. ábra a lehetséges projektek

pénzügyi vonatkozásait mutatja be. (Nettó haszon = Kezdő beruházás – Elvárt haszon)

A példa megoldása: klikk ide- Hátizsák1 munkalap

Az A oszlop a projektszámokat tartalmazza, a B oszlopban a döntési változók szerepelnek,

azaz kezdetben 0-k (1 = végrehajtani, 0 = nem végrehajtani). Az összes haszon egyenlő a

végrehajtott beruházások nettó hasznának összegével azaz a B2:B8 és E2:E8 vektorok

szorzatösszegével. Az összes beruházás egyenlő a végrehajtott beruházások összegével, azaz a a

B2:B8 és C2:C8 vektorok szorzatösszegével.

Tehát a beírt képletek:

Cella Képlet Másold a ...-ba

E2 =D2-C2 G25:G35

E11 =SUMPRODUCT(B2:B8,E2:E8)

E12 =SUMPRODUCT(B2:B8,C2:C8)

Most már csak a probléma megoldása van hátra:

A következő problémát oldjuk meg:

Maximalizáld: $E$11

Döntési változó: $B$2:$B$8

Korlátok: $E$12<=$E$10

$B$2:$B$8<=1

$B$2:$B$8=integer

$B$2:$B$8>=0

Vigyázzunk arra, hogy ha nem adjuk meg, hogy milyen modellről van szó (lineáris), akkor az

Excel a számára legkézenfekvőbb modellként kezeli a feladatot. Ezt a Solver párbeszédablak

Options nyomógombjára való kattintással tehetjük meg. Most már kérhetjük az eredményt

(SOLVE, Megoldás)  klikk ide – Hátizsák1 munkalap

Tehát az 1, 3, 4, 5 és 6 számú projektek végrehajtásával érhető el a legnagyobb haszon. A

beruházási költségek ekkor 490 000 DM és a teljes haszon 610 000 DM.

Változtassunk a feladat feltételein mégpedig úgy, hogy néhány logikai korlátot is vegyünk

figyelembe, éspedig:

Az 1. sz projektet csak akkor szabad végrehajtani, ha a 2 sz. Projektet is végrehajtjuk

(B3>=B2 vagy B3–B2>=0)

A 2. sz. és 3. sz. projektek közül valamelyiket végre kell hajtani (B3+B4>=1)

A3. sz. és 5. sz. projektek egyidejűleg nem hajthatók végre (B4+B6<=1)

A 2. sz. és 6. sz. projektek közül egyet és csak egyet kell végrehajtani (B3+B7=1)

Az 5. sz. projekt akkor és csak akkor hajtható végre ha a 7. sz. projektet is

végrehajtjuk (B6=B8 vagy B6–B8=0)

Készítsünk egy segéd táblázatot, amely a fenti feltételeket tartalmazza:

B C D Cella Képlet Cella Képlet

15 0 >= 0 B15 0 D15 0

16 0 >= 1 B16 0 D16 1

17 0 <= 1 B17 0 D17 1

18 0 = 1 B18 0 D18 1

19 0 = 0 B19 0 D19 0

8. táblázat.Logikaifeltételek

 

Tehát a korlátozási feltételeket az alábbiakkal kell kiegészítenünk:

$B$15:$B$16>=$D$15:$D$16

$B$17<=$D$17

$B$18:$B$19=$D$18:$D$19

Ekkor a megoldás: Klikk ide Hátizsák2 munkalap

 Tehát ebben az esetben az 1, 2, 3 és 4 számú projekteket kell végrehajtani és ekkor a beruházási

költségek 310 000 DM és a teljes haszon 500 000 DM.

2.3. Kitűzött feladatok

1. Készítsd el egy vállalat egyik gyáregységének maximális nyereséget biztosító termelési tervét

és számítsd ki a nyereséget az alábbi információk alapján:

A gyáregység kétféle terméket gyárthat (A és B)

  A B

eladási ár (eFt/db) 1000 800

technológiai önköltség (eFt/db) 400 300

normaóraigény (nó/db) 15 20

alapanyag-szükséglet (t/db) 3 2

  

Normaóra-kapacitás (nó/év) 1440 

Beszerezhető alapanyag (t/év) 240 

   

B termék maximális piaca (db/év) 50 

Fel nem osztott költségek éves terve (eFt) 3200 

10. táblázat.Egy gyáregység termelési feltételei

 Megoldás: Klikk ide

2. Az „Egészség” elnevezésű vállalkozás négyfajta müzlit állít elő: csokoládésat, gyümölcsöset,

standardot és mézeset 250 grammos csomagolásban. Ezeknek az előállításához többek között

zabpehely, csokoládéreszelék, szárított gyümölcs, cukor és méz szükséges. A zabpehely készlete 8

kg, ezen kívül még 1 kg csokoládéreszelék, 1,8 kg szárított gyümölcs, 600 g cukor és 100 g méz

van a raktáron. A recept alapján a gyártónak az alábbi nyersanyag mennyiségekre van szüksége

ahhoz, hogy az egyes müzlifajtákból 100 grammot előállítson:

gr/100gr Csokoládés m. Gyümölcsös m. Standard m. Mézes m.

Zabpehely 70 65 75 70

Csokoládéreszelék 25 5 10 5

Szárított gyümölcs 0 25 10 15

Cukor 5 5 5 3

Méz 0 0 0 7

11. táblázat.A müzlifajták összetétele

 

Az eladási árak csomagonként a következők:

  Csokoládés m. Gyümölcsös m. Standard m. Mézes m.

Ár/csomag 3.5 DM 3.7 DM 2.9 DM 4.2 DM

12. táblázat.A müzlifajták csomagonkénti ára

 

A következő hétre a müzlifajták számát úgy kell meghatározni, hogy a forgalom maximális

legyen.

Megjegyzés: Figyelembe kell venni, hogy a csomagok száma egész kell legyen.

3. Hat különböző nyerstakarmányból kell egy lehetőség szerint olcsó takarmánykeveréket

előállítani. Öt tápanyagra vonatkozóan meghatározott alsó és felső korlátokat írtak elő. A 15.

táblázat foglalja össze a releváns paramétereket (melyik takarmány mennyit tartalmaz az egyes

tápanyagokból illetve a takarmányok egységárát), valamint a keresési probléma változóit. A

feladat meghatározni az egyes takarmányok részarányát. (Kiszámítandó a 15. táblázatban dőlt

betűvel ít cellák tartalma).

4. Egy iroda felszereléséhez 2900 DM költségvetés áll rendelkezésre. A 16. táblázat azokat a

komponenseket tartalmazza, amelyek közül vásárolni lehet. Itt az árat és a komponens szubjektív

értékét soroltuk fel. Az a cél, hogy úgy vásároljunk maximálisan 2900 DM értékű berendezést,

hogy a kiválasztott berendezések szubjektív értékeinek összege maximális legyen.

A feladat megoldással (dőlt betűk) látható a 16. táblázatban. Azonnal észrevesszük, hogy így

nincs értelme a vásárlásnak, mert hiába veszünk lézernyomtatót, ha nincs számítógépünk. Ezért

szükségünk van még a következő korlátokra:

Ha lézernyomtatót vásárolunk, akkor kötelező módon számítógépet is kell vásárolni.

Hálozatot számítógép nélkül nem lehet vásárolni.

ISDN csatlakozás vásárlásakor ISDN alapú telefont is kell vásárolni.

Ha nem vásárolunk számítógépet, akkor írógépet kell vásárolni és fordítva.

Egy telefont és csak egyet kell vásárolni.

A feladat megoldása ezekkel a feltételekkel együtt a Klikk ide