Tartalom - emte.siculorum.roemte.siculorum.ro/~salamonjulia/v1_files/OPKutatas_peldatar_MZ_SJ.pdfEl˝oszó Aközgazdaságmatematikaimodelljeilegnagyobbrészbenolyandöntésimodellek,amelyek

Tartalom

Eloszó 11

I. rész OPERÁCIÓKUTATÁS 1

1. Lineáris programozási feladatok 31.1. A lineáris programozás alapveto fogalmai 31.2. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldása 41.3. Lineáris programozási feladat megoldása a WinQSB segítségével 81.4. Dualitás 121.5. A duálitás gazdasági interpretációja 211.6. Keverési feladatok 231.7. Kituzött feladatok 34

2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 452.1. Szállítási feladat 452.2. Hozzárendelési feladat 522.3. Kituzött feladatok 56

3. Játékelméleti feladatok 653.1. A játékok osztályozása 653.2. Kétszemélyes nulla-összegu játékok 663.3. Kétszemélyes, nem konstans-összegu játékok 773.4. Az n-személyes játékok 803.5. Kituzött feladatok 87

4. Hálózatok elemzése 914.1. Alapfogalmak 914.2. Minimális feszítofa probléma 924.3. Legrövidebb út probléma 944.4. Maximális folyam probléma 974.5. Utazó ügynök probléma 1004.6. Kituzött feladatok 104

5. Projektek ütemezése 1115.1. Kritikus út modszere, CPM 1115.2. Ido-költség diagramon alapuló CPM módszer 1185.3. Program kiértékelés és áttekintés módszere, PERT 1235.4. Kituzött feladatok 129

5

6 Tartalom

II. rész GAZDASÁGI DÖNTÉSEK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE 139

6. Komplex döntések 1416.1. Döntési fák 1416.2. A döntési fa elemzése a WinQSB segítségével 1446.3. Bayes-féle döntési fák 1476.4. Kituzött feladatok 159

7. Többcélú döntéshozatal 1657.1. Nemhierarchikus célprogramozás 1657.2. Hierarchikus célprogramozás 1687.3. Kituzött feladatok 172

8. Hierarchikus elemzo módszer 1798.1. Kituzött feladatok 186

9. MEGOLDÁSOK, ÚTMUTATÁSOK 1919.1. Lineáris programozási feladatok 1919.2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 2019.3. Játékelméleti feladatok 2039.4. Hálózatok elemzése 2089.5. Projektek ütemezése 2109.6. Döntési fák 2149.7. Többcélú dönéshozatal 2229.8. Hierarchikus elemzo módszer 227

Könyvészet 229

OPERÁCIÓKUTATÁSI ÉS DÖNTÉSELMÉLETI PÉLDATÁRKÖZGAZDÁSZOKNAK

OPERÁCIÓKUTATÁSI ÉS DÖNTÉSELMÉLETIPÉLDATÁR KÖZGAZDÁSZOKNAK

Makó Zoltá[email protected]

Salamon Jú[email protected]

Eloszó

A közgazdaság matematikai modelljei legnagyobb részben olyan döntési modellek, amelyeka gazdasági élet makro-, illetve mikroszintjén a vezetok számára készítik elo a döntéshozatalt.

A döntéshozatal során a vezetok arra törekednek, hogy a cél érdekében a legmegfelelobbstratégiákat válasszák ki. Ezeknek a stratégiáknak a kiválasztásával foglalkozik az operációku-tatás és a döntéselmélet.

Többéves oktatási tapasztalatunk, hogy az operációkutatás valamint a közgazdasági dön-tések matematikai modellezése tantárgyak elsajátításában a közgazdász hallgatóknak a leg-nagyobb gondjuk a szövegesen megfogalmazott gazdasági, vagy döntési feladatok matematikaimodelljének felírása.

A matematikai modellalkotásban a készség szint kialakításához számos feladat megoldásaszükséges. Ezért a példatár megszerkesztésekor a hangsúlyt a gazdasági probléma matematikaimodelljének felírására és a matematikai modellekben szereplo paraméterek közgazdasági je-lentésének megértésére fektettük. A matematikai modell számszeru megoldására a WinQSB(QSB — Quantitative Systems for Business) programcsomagot és az EXCEL táblázatkezelothasználtuk.

A feladatgyujtemény az operációkutatás és a döntéselmélet néhány fontosabb fejezetébolnyújt ízelítot, és a Sapientia-EMTE közgazdasági szakjain oktatott operációkutatás és közgaz-dasági döntések matematikai modellezése tantárgyak felépítéseit követi. Az elso részben foglal-kozunk az alapveto lineáris programozási modellekkel, a szállítási feladatokkal, a játékelméletalapproblémájával, a hálózatelemzési modellekkel és az ütemezési problémákkal. A másodikrészben a széles körben alkalmazott döntési fákkal, a többcélú döntéshozatal modelljével és ahierarchikus elemzo módszerrel kapcsolatos feladatokat tanulmányozunk.

Az egyes fejezetek a szükséges elméleti alapismeretek — mintapéldák segítségével történo —rövid összefoglalásával kezdodnek, majd a fejezethez kapcsolódó feladattípusok tárgyalásmódjátillusztráló mintapéldák következnek. Minden fejezetben bemutatjuk a WinQSB programcso-mag használatát az illeto feladattípusra. A fejezetek végén a témakörhöz kapcsolódó kituzöttfeladatok találhatók. A könyv végén a legtöbb feladathoz eredményt, vagy bonyolultabb es-etekben megoldási útmutatót is közlünk.

A célja a közgazdász hallgatók tanulmányainak segítése. A megoldott és kituzött fe-ladatok egy része — valós adatokkal — alapötletet és elemzési módszert nyújt szakdolgozatokmegírásához.

Csíkszereda, 2009. januárSzerzok

11

12 Eloszó

I. rész

OPERÁCIÓKUTATÁS

1. fejezet

Lineáris programozási feladatok

1.1. A lineáris programozás alapveto fogalmaiA lineáris programozási feladat (LP) egy olyan optimalizálási feladat, amelyben:

maximalizáljuk vagy minimalizáljuk a döntési változók egy lineáris függvényét. Ezt amaximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük;

a döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket . Ezen a feltételekvagy lineáris egyenlotlenségek vagy lineáris egyenletek kell legyenek;

a döntési változókhoz tartozhat elojelkorlátozás is.Ha a döntési változókra pluszban kikötjük, hogy értékei egész számok, akkor egész értékulineáris programozási feladatról beszélünk.

Formálisan egy LP feladat így írható fel:

z = c1x1 + c2x2 + ...+ cnxn → max (min) ,a1,1x1 + a1,2x2 + ...+ a1,nxn ≤ b1,

...ap,1x1 + ap,2x2 + ...+ ap,nxn ≤ bp,

ap+1,1x1 + ap+1,2x2 + ...+ ap+1,nxn = bp+1,...

ap+q,1x1 + ap+q,2x2 + ...+ ap+q,nxn = bp+q,ap+q+1,1x1 + ap+q+1,2x2 + ...+ ap+q+1,nxn ≥ bp+q+1,

...ap+q+r,1x1 + ap+q+r,2x2 + ...+ ap+q+r,nxn ≥ bp+q+r,

xi ∈ Ai, i ∈ {1, 2, ..., n} ,

(LP)

ahol Ai = [ai, bi] véges vagy Ai = [ai,+∞) vagy Ai = (−∞, bi] vagy Ai = (−∞,+∞) végtelenhosszú intervallumok.Értelmezés. Egy LP feladat lehetséges megoldásainak halmaza az összes olyan (x1, x2, ..., xn)

szám n-esek halmaza, amelyek teljesítik az LP feladat összes korlátozó feltételét és az összeselojelkorlátozást. Az egész értéku LP feladatok esetén még pluszban (x1, x2, ..., xn) mindeneleme egész szám kell legyen.

3

4 1. Lineáris programozási feladatok

Például a 1.1. mintapéldában az x1 = 2, x2 = 4 lehetséges megoldás mert a feladat mindenfeltételét teljesíti, de már az x1 = 2.5, x2 = 4 nem, mert x1 nem egész szám.Értelmezés. Amaximalizálási problémában az LP feladat optimális megoldása egy olyan

(x1, x2, ..., xn) lehetséges megoldás, amelyikhez a legnagyobb célfüggvényérték tartozik, azaz

c1x1 + c2x2 + ...+ cnxn ≥ c1x′1 + c2x

′2 + ...+ cnx

′n

bármely (x′1, x′2, ..., x

′n) lehetséges megoldás esetén. Hasonló módon a minimalizálási prob-

lémában az optimális megoldás egy olyan (x1, x2, ..., xn) lehetséges megoldás, amelyikhez alegkisebb célfüggvényérték tartozik, azaz

c1x1 + c2x2 + ...+ cnxn ≤ c1x′1 + c2x

′2 + ...+ cnx

′n

bármely (x′1, x′2, ..., x

′n) lehetséges megoldás esetén.

Az LP modell segítségével nagyon sok gazdasági jellegu feladat megoldható. A Fortunecímu üzleti újság 500 céget érinto felmérésében a megkérdezettek 85%-a válaszolta azt, hogymár alkalmazott lineáris programozási modellt. A fejezet további részeiben ilyen típusúfeladatokat oldunk meg és tuzünk ki megoldásra.A lineáris programozási modellt George B. Dantzing fogalmazta meg 1947 körül, de már

az 1939-es években a Leonid V. Kantorovich matematikus-közgazdász megfogalmazott ésmeg is oldott egy termelés tervezésével kapcsolatos lineáris programozási feladatot ([13]), demunkáit 1959-ig nem ismerték.A lineáris programozási feladat legismertebb megoldási algoritmusa a Szimplex módszer,

amelyet G. B. Dantzing 1949-ben publikált ([5]). Mivel a módszer számításigénye exponen-ciálisan no a feltételek számának növekedésével, ezért nagyon sok más módszert is kidolgoztaka lineáris programozási feladatok megoldására. Íme néhány ezek közül:

az ellipszoid módszere (Khachiyan, 1979);

bünteto függvények módszere (Iri - Imai, 1986);

belso pontos módszerek ( Dikin, 1967; Karmarkar, 1984; Huard, 1967; Tucker, 1956; Roos- Terlaky - Vial, 1997).

Az olvasó átfogó képet kap a lineáris programozás alapveto módszereirol és gyakorlatialkalmazásairól a Wayne L. Winston, Operációkutatás, módszerek és alkalmazások címukönyvének elso kötetébol. A matematikai programozás alapveto módszereinek matematikaihátterét tárja fel a Neculai Andrei három kötetes összefoglaló muve ([1], [2], [3]).

1.2. Kétváltozós lineáris programozási feladat grafikus megoldásaHa egy LP feladatnál csak két változó van, akkor grafikusan megoldható. A megoldási

algoritmust a következo mintapéldával szemléltetjük.1.1. mintapélda (Számítógépek összeszerelése). Egy cég kéttípusú számítógép

összeszerelésével foglalkozik. Az elso típusú számítógépet PC1-nek nevezik és darabja 50euró profitot, a második típust PC2-nek nevezik és darabja 40 euró profitot jövedelmez.A következo héten a két gép összeszerelésére 150 munkaóra áll rendelkezésre. Egy darabPC1 összeszereléséhez 3 munkaóra és egy darab PC2 összeszereléséhez pedig 5 munkaóraszükséges. A PC2 olyan speciális processzort tartalmaz, amibol csak 20 darab van raktáron.A cég raktározási helysége 300 négyzetméter, amibol egy PC1 8 négyzetmétert és egy PC2

1. Lineáris programozási feladatok 5

pedig 5 négyzetméter területet foglal el. A cég vezetosége maximalizálni szeretné a profitját.Milyen termelési tervet kövessen?Megoldás.Matematikai modell

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása:

x1 az összeszerelendo PC1 számítógépek darabszáma;x2 az összeszerelendo PC2 számítógépek darabszáma.

2. A célfüggvény felírása.Mivel a cél a profit maximalizálása, ezért meghatározzuk, hogy ha a cég az (x1, x2) termelésitervet választja, azaz x1 darabot szerel össze a PC1-bol és x2-ot a PC2-bol, mennyi lesz aprofitja. Tudjuk, hogy 1 darab PC1 50 euró profitot eredményez. Tehát x1 darabnak 50x1a profitja. Teljesen hasonlóan x2 darab PC2 40x2 profitot eredményez. Tehát, a teljesprofit: 50x1 + 40x2. Következésképpen a célfüggvény:

z = 50x1 + 40x2.

3. A korlátozó feltételek megadása.

Az összeszerelés idoigényével kapcsolatos feltétel: mivel egy darab PC1 összeszereléséhez3 munkaóra és egy darab PC2 összeszereléséhez 5 munkaóra szükséges, ezért x1 darabPC1-et és x2 darab PC2-t 3x1 + 5x2 munkaóra alatt szerelnek össze, ami nem lehetnagyobb, mint a rendelkezésre álló 150 munkaóra, vagyis

3x1 + 5x2 ≤ 150.

A PC2 processzorigényével kapcsolatos feltétel: mivel csak 20 darab processzor van rak-táron, ezért:

x2 ≤ 20.

A raktározási feltétel: mivel egy PC1 8 m2-t és egy PC2 5 m2-t foglal el, ezért x1 darabPC1 és x2 darab PC2 összesen 8x1 + 5x2 m2 területet igényel, ami nem lehet nagyobb,mint a rendelkezésre álló 300 m2 raktározási felület. Következésképpen:

8x1 + 5x2 ≤ 300.

A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek: mivel az x1 és x2 darab-számokat jelölnek, ezért

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, és x1, x2 egész számok.

Ha összegezzük az 1. 2. és 3. pontokban kapott összefüggéseket, az alábbi matematikaimodellhez jutunk:

z = 50x1 + 40x2 → max,3x1 + 5x2 ≤ 150,

x2 ≤ 20,8x1 + 5x2 ≤ 300,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, és x1, x2 ∈ Z.

(1.1)


1.1. ábra. A 3x1 + 5x2 ≤ 150, az x2 ≤ 20 és a 8x1 + 5x2 ≤ 300 feltételek megoldáshalmazai.

A lehetséges megoldások halmazának megszerkesztése. A lehetséges megoldásokhalmaza ebben az esetben egy kétdimenziós tartomány a síkban. A szemléltetés érdekébentekintünk egy olyan koordinátarendszert, amelynek a vízszintes tengelyen x1 döntési változót,a függoleges tengelyén pedig az x2 döntési változót vesszük fel. Az egyenlotlenségekkelmegadott korlátozó feltételek egy félsíkot, az egyenloséggel megadott feltételek pedig egyegyenest határoznak meg.A

3x1 + 5x2 ≤ 150 (1.2)

feltétel egy olyan félsíkot határoz meg, amely határegyenesének egyenlete

3x1 + 5x2 = 150.

Megrajzoljuk ezt az egyenest a tengelyekkel való metszéspontok segítségével. Legyen x1 = 0.Ekkor 3 · 0 + 5x2 = 150 egyenlet megoldása x2 = 30. Ha x2 = 0, akkor a 3x1 + 5 · 0 = 150egyenlet megoldása x1 = 50. A metszéspontokat az alábbi táblázatban foglaljuk össze:

x1 0 50

x2 30 0

A metszéspontokat jelöljük A (0, 30)-val és B (50, 0)-vel. Megvizsgáljuk, hogy az O (0, 0)pont a lehetséges pontokat tartalmazó félsíkhoz tartozik-e, behelyettesítve az O pont ko-ordinátáit a (1.2) feltételbe. Mivel a 3 · 0 + 5 · 0 ≤ 150 feltétel teljesül, ezért a lehetségesmegoldások halmaza az AB egyenesnek az O irányába eso félsíkjában van. Besatírozzuk ezta félsíkot (az 1.1. ábra elso grafikonja).Az

x2 ≤ 20

feltétel határegyenese az x2 = 20 vízszintes egyenes, amely a függoleges tengelyt az E (0, 20)pontban metszi. Mivel 0 ≤ 20, a lehetséges megoldások halmaza az egyenes origó felolifélsíkjába esik (az 1.1. ábra második grafikonja).A

8x1 + 5x2 ≤ 300

feltétel határegyenese8x1 + 5x2 = 300.

A tengelyekkel való metszéspontok C (0, 60) és D (37. 5, 0) . Mivel a 8 · 0 + 5 · 0 ≤ 300feltétel teljesül, ezért a lehetséges megoldások halmaza a CD egyenesnek az O irányába esofélsíkjában van. Besatírozzuk ezt a félsíkot (az 1.1. ábra harmadik grafikonja).


1.2. ábra. Az M lehetséges megoldáshalmaz.

Ha a döntési változókra csak x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 feltételek volnának felírva, akkor a lehetségesmegoldások M halmaza a három korlátozó feltétel által meghatározott tartományok met-szetének a koordináta-rendszer elso negyedébe eso része, de mivel x1, x2 ∈ Z, a mintapéldalehetséges megoldásainak halmaza az M -beli egész koordinátájú pontokat tartalmazza (lásda 1.2. ábrát). Ahhoz, hogy meghatározzuk az M halmazt ki kell számítsuk a három határ-egyenes páronkénti metszéspontjainak koordinátáit, azaz meg kell oldani a

{3x1 + 5x2 = 150,

x2 = 20,,

{8x1 + 5x2 = 300,

x2 = 20,,

{3x1 + 5x2 = 150,8x1 + 5x2 = 300

egyenletrendszereket. Az egyenletrendszerek megoldásai rendre a következo metszéspontokatadják: F (50

3, 20), G(25, 20) és H(30, 12). Ha megszerkesztjük a korlátozó feltételek által

meghatározott (az 1.1. ábrán szemléltetett) három tartománynak a koordináta-rendszerelso negyedébe eso közös részét, akkor az M -nek az 1.2. ábrán a besatírozott részt kapjuk.Az M egy olyan poliéder, amelynek csúcspontjai: O,E, F, H, D.Az optimális megoldás keresése. Az optimális megoldás az az (x1, x2) pont a lehet-

séges megoldások halmazából, amelyre a z = 50x1 + 40x2 célfüggvény értéke a legnagyobb.Ahhoz, hogy az optimális megoldást megtaláljuk, be kell rajzoljuk az 1.2. ábrán egy olyanegyenest, amelyen a rajta fekvo pontokhoz ugyanaz a z érték tartozik. Egy maximalizálásifeladatban ezt az egyenest profit szintvonalnak , egy minimalizálási feladatban pedig költségszintvonalnak nevezzük. A c értéku szintvonal egyenlete 50x1+40x2 = c. A c = 0-ra megraj-zoljuk ezt az egyenest, amelynek egyik pontja az O (0, 0) , egy másik pontja pedig I

(−4050, 1).

Újabb szintvonalat úgy kapunk, hogy az OI egyenest saját magával párhuzamosan eltoljuk.Egy LP feladatnál egy bizonyos pont után a szintvonal már nem metszi a lehetséges megoldá-sok tartományát. Bizonyítva van, ha a LP feladatnak van megoldása, akkor a legnagyobbértéku profit szintvonal átmegy valamely csúcsponton (teljesen hasonlóan a költség szintvonalis átmegy valamely csúcsponton). Ebbol a meggondolásból az optimális megoldásokat alehetséges megoldások halmazának csúcspontjaiban keressük. Behelyettesítve a csúcspontokkoordinátáit a z célfüggvénybe, és ahol a legnagyobb értéket kapjuk az lesz az optimálismegoldás (teljesen hasonlóan a minimalizálási feladatnál a z célfüggvény legkisebb értékeitkeressük). A mi esetünkben a következo táblázat adja meg a csúcspontok koordinátái és a


hozzátartozó behelyettesítési értékeket:

Csúcspont (x1, x2) z

O (0, 0) 0

E (0, 20) 800

F(503 , 20

)49003 = 1633. 3

H (30, 12) 1980

D D (37. 5, 0) 1875

A legnagyobb értéket H pontnál kapjuk. Mivel a H pont koordinátái egész számok, ezért azx1 = 30, x2 = 12 optimális megoldás egyben az egész értéku mintapélda optimális megoldásais lesz.Tehát a cég maximális profitja z = 1980 és ezt akkor éri el, ha a következo héten a PC1-bol

30 darabot a PC2-bol pedig 12 darabot szerel össze.Sajátos esetek.

1. Alternatív vagy többszörös megoldások. Ha két egymásmelletti csúcspontban optimálismegoldásokat kapunk, akkor a két csúcspontot összeköto szakasz minden pontja optimálispont. Ebben az esetben a szintvonal párhuzamos az optimális szakaszt tartalmazó egye-nessel.

2. Nincs lehetséges megoldás. Elofordulhat, hogy a korlátozó feltételek és az elojelkorlátozá-sok által meghatározott tartományok metszete üres. Ekkor a LP-nek nincs megoldása.

3. Az LP feladat nem nemkorlátos. Egy maximalizálási problémában a nemkorlátos esetakkor fordul elo, ha a lehetséges megoldások halmazában találhatók olyan pontok, ame-lyekhez tetszolegesen nagy z értékek tartoznak. Ez csak akkor fordulhat elo, ha a profitszintvonalat a növekvo z irányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk, és soha nemhagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát. Hasonlóan a minimalizálási feladatoknál,ha a költség szintvonalat a csökkeno z irányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk,és soha nem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát.

Mi az LP és egész értéku LP feladatokat a WinQSB programcsomag segítségével oldjukmeg. Itt nem célunk a Szimplex módszer ismertetése.

1.3. Lineáris programozási feladat megoldása a WinQSB segít-ségével

1.2. mintapélda (Telefonos felmérés). Egy telefonos felmérés során egy piackutatócsoportnak legalább 150 feleséggel, 120 férjjel, 100 egyedülálló felnott férfival, 80 egyedülállófelnott novel kell kapcsolatba lépnie. 0.9 euróba kerül egy nappali telefonhívás, és (a mag-asabb munkaköltség miatt) 2 euróba kerül egy esti hívás. Az alábbi táblázat azt mutatja,hogy a tapasztalatok szerint a hívások hány százalékában ki lesz a válaszoló személy:

Válaszoló személy Nappali hívások százaléka Esti hívások százalékaFeleség 20 30Férj 20 20

Egyedülálló férfi 10 20Egyedülálló no 20 10

Senki 30 20


A korlátozott létszámú személyzet miatt a hívásoknak legfeljebb a fele lehet csak esti hívás.Hogyan járjon el a piackutató csoport, hogy a felmérést minimális költséggel valósítsa meg?Megoldás.Matematikai modell

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. Cél a költségek minimalizálása.A költségek kiszámításához a hívások számát kellene ismerni. Ezért jelöljük a nappalihívások számát x1-gyel, az esti hívások számát pedig x2-vel.

2. A célfüggvény felírása. Mivel egy nappali hívás 0.9 euróba és egy esti hívás 2 euróba kerül,ezért a hívások összköltsége:

z = 0.9x1 + 2x2.

2. A korlátozó feltételek megadása. Az (x1, x2) elosztás esetén a feleségekhez x1·20%+x2 ·30%hívás érkezik, ami a feltétel alapján legalább 150 kell legyen, ezért

0.2x1 + 0.3x2 ≥ 150.

Hasonló meggondolás alapján a férjekre, egyedülálló férfiakra és az egyedülálló nokrevonatkozó hívási feltételek:

0.2x1 + 0.2x2 ≥ 120,

0.1x1 + 0.2x2 ≥ 100,

0.2x1 + 0.1x2 ≥ 80,

Mivel a korlátozott létszámú személyzet miatt a hívásoknak legfeljebb a fele lehet csak estihívás, ezért

x2 ≤x1 + x22

,

azazx2 − x1 ≤ 0.

A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek: mivel az x1, x2 a hívások számátjelölik, ezért

x1, x ≥ 0 és x1, x2 ∈ Z.

Összegezve az 1. 2. és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat matematikaimodelljére az alábbi lineáris programozási feladatot kapjuk:

z = 0.9x1 + 2x2 → min,0.2x1 + 0.3x2 ≥ 150,0.2x1 + 0.2x2 ≥ 1200.1x1 + 0.2x2 ≥ 100,0.2x1 + 0.1x2 ≥ 80,

x1 − x2 ≥ 0,x1, x2 ≥ 0 és x1, x2 ∈ Z.

A feladat megoldására aWinQSB Linear and Integer Programming eszköztárát használjuk.A feladatban a változók száma (Number of Variables) 2, a feltételek száma (Number of Con-straints) pedig 5.


1.3. ábra. A Linear and Integer Programming eszköztár kezdotáblája.

1.4. ábra. Az 1.2. mintapélda adattáblája.

Kitöltjük a 1.3. kezdo táblázatot. Vigyázni kell, hogy a változókra vonatkozó elojelkor-lát nemnegatív egész számra (Nonnegative integer) és a célfüggvényt pedig minimalizálásra(Minimization) állítsuk:Az OK gombra kattintva betöltodik a feladat 1.4. adattáblája. Itt beírjuk a megfelelo

cellákba a célfüggvény és a korlátozó feltételek együtthatóit:Az sízo emberke ( ) ikonra kattintva a WinQSB kiszámolja a megoldásokat és betölti az

1.5 eredménytáblát:A táblázatból kiolvasható, hogy a minimális költséget z = 900 akkor érjük el, amikor a

nappali hívások száma x1 = 1000, az esti hívások száma pedig x2 = 0. Ezek az értékeka táblázat megoldások (Solution Value) oszlopából olvashatók ki. Az optimális értéketa táblázat célfüggvény (Objective Function) sora tartalmazza. Egy döntéshozó számáranagyon fontos a feltételek élességének vizsgálata valamint az árnyékárak (lásd a 1.5 para-grafust) meghatározása, amit a táblázat második része tartalmaz. Itt fel vannak sorolva afeltételek (Constraint, C1 az elso feltétel, C2 a második és így tovább), az optimális megoldás-nak a feltételek jobb oldalába való behelyettesítési értékei (Left Hand Side), a feltétel típusa(Direction), a feltétel bal oldalának az értékei (Right Hand Side), a feltétel egyenlotlenség


1.5. ábra. Az 1.2. mintapélda eredménytáblája.

1.6. ábra. A Linear and Integer Programming eszköztár grafikus kiválasztó ablaka.

típusától függoen a hiány- illetve a többletváltozók értékei (Slack or Surplus), az árnyékárak(Shadow Price), valamint a feltételek jobb oldalának (azaz a kapacitásoknak) azon inter-valluma (Allowable Min RHS, Allowable Max RHS), amelyre a többi kapacitás megadottértéke mellett a lehetséges megoldáshalmaz nem üres. Ha a feltétel bal oldalának értékeazonos a jobb oldal értékével, azaz a hiány vagy többletváltozó értéke nulla, akkor az afeltétel éles. A mintapéldában az éles feltétel a C3, vagyis a feladat az egyedülálló férfi-akra vonatkozó feltételre érzékeny. Tehát a döntéshozó a feladat C3 feltételeiben elofor-duló együtthatók valódiságát kötelezo módon meg kell vizsgálja, mert a modell optimálismegoldásai elsosorban ezen értékektol függnek. Ebben a feladatban az árnyékárak y1 = 0,y2 = 0, y3 = 9, y4 = 0, y5 = 0. A WinQSB a grafikus megoldást is bemutatja, ha a 1.4táblázatot tartalmazó menüsorból a grafikon ( ) ikont választjuk. Ebben az esetben1.6.

ablakból az x1 és x2 döntési változókat kiválasztva és az OK gombra kattintva megkapjuk alehetséges megoldások halmazát mutató 1.7. grafikont.


1.7. ábra. Az 1.2. mintapélda lehetséges megoldásainak halmaza.

1.4. DualitásMinden LP feladathoz tartozik egy másik LP feladat, amit az eredeti feladat duálisának

nevezzük. Egy adott LP feladat duálisának vizsgálatakor az eredeti feladatot primálnaknevezzük. Ha a primál maximalizálási feladat, akkor a duál egy minimalizálási feladat lesz,és fordítva.Tekintjük az ún. normál maximalizálási feladatot:

z = c1x1 + c2x2 + ...+ cnxn → max,a1,1x1 + a1,2x2 + ...+ a1,nxn ≤ b1,

...ap,1x1 + ap,2x2 + ...+ ap,nxn ≤ bp,

xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n

(NMaxLP)

Az (NMaxLP) feladat duálisa a

w = b1y1 + b2y2 + ...+ bpyp → min,a1,1y1 + a2,1y2 + ...+ ap,1yp ≥ c1,

...a1,ny1 + a2,ny2 + ...+ ap,nyp ≥ cn,

yi ≥ 0, i = 1, 2, ..., p

(NMinLP)

normál minimalizálási feladat lesz, és fordítva az (NMinLP) feladat duálisa az (NMaxLP)feladat.Mátrixos alakban a két feladat így írható:

z = c · x→ max,A·x ≤ b,x ≥ 0,

(NMaxLP)


és

w = y · b→ min,y·A ≥ cT ,y ≥ 0,

(NMinLP)

ahol

c = [c1, c2, ..., cn] ,

y = [y1, y2, ..., yp] ,

x =

x1x2...xn

, b =

b1b2...bp

, A =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n...

.... . .

...ap,1 ap,2 · · · ap,n

.

A primál és duál feladatok között az alábbi összefüggések írhatók fel:1. Gyenge dualitás tulajdonság: Ha x a primál feladat egy lehetséges megoldása, y

pedig a duál feladat egy lehetséges megoldása, akkor

c · x ≤ y · b.

2. Eros dualitás tulajdonság: Ha x∗ a primál feladat egy optimális megoldása, y∗

pedig a duál feladat egy optimális megoldása, akkor:

c · x∗ = y∗·b.

3. Kiegészíto megoldások tulajdonsága: A szimplex módszer minden egyes iterációsorán egyidejuleg meghatározza a primál feladat egy x lehetséges csúcspont megoldását és aduál feladat egy y kiegészíto megoldását, ahol

c · x = y · b.

Ha x nem optimális a primál feladatban, akkor y nem lehetséges megoldás a duál feladatbanés fordítva.4. Kiegészíto optimális megoldások tulajdonsága: A szimplex módszer az utolsó

iteráció során egyidejuleg meghatározza a primál feladat egy x∗ optimális megoldását és aduál feladat egy y∗ kiegészíto optimális megoldását, ahol

c · x∗ = y∗·b.

5. Szimmetria tulajdonság: Egy tetszoleges primál feladat és a duál feladat közöttiösszefüggések mindig szimmetrikusak, mert a duál feladat duálja éppen a primál feladat.6. Korlátossági tulajdonság: Ha a primál feladat célfüggvénye nem korlátos, akkor

a duál feladatnak nincs lehetséges megoldása. Ha pedig a duál feladat célfüggvénye nemkorlátos, akkor a primál feladatnak nincs lehetséges megoldása.A gyenge és eros dualitási tulajdonságoknak egyik fontos alkalmazása lehet a primál feladat

megoldásának ellenorzése azaz, ha megoldjuk a primál feladatot és a duál feladatot is, akkoraz optimális célfüggvényértékek egyenloek kell legyenek (z∗ = c · x∗ = y∗·b = w∗).


A kiegészíto megoldások tulajdonságainak egyik legfontosabb alkalmazása a duál szimplexmódszer ([1] ). Egy másik érdekes alkalmazás az árnyékárak meghatározása. Ezt ismertetjüka következo paragrafusban.1.3. mintapélda. Írjuk fel a

z = 50x1 + 40x2 → max,3x1 + 5x2 ≤ 150,

x2 ≤ 20,8x1 + 5x2 ≤ 300,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

LP feladat mátrixos formáját és duálisát.Megoldás.Ebben a feladatban

c = [50, 40]

x =

[x1x2

], b =

15020300

, A =

3 50 18 5

.

Mivel három korlátozó feltétel van, ezért a duális feladat döntési változója egy 3 elemuy = [y1, y2, y3] vektor. A (NMinLP) alapján, a duál feladat mátrixos felírása

w = y · b→ min,y·A ≤ cT ,y ≥ 0.

Behelyettesítve és a mátrixszorzásokat elvégezve a

w = 150y1 + 20y2 + 300y3 → min,3y1 + 8y3 ≥ 50,

5y1 + y2 + 5y3 ≥ 40,y1, y2, y3 ≥ 0.

keresett duál feladat kapjuk.Nagyon sok LP feladat nincs normál alakban megadva. Ebben az esetben a feladatot

normál alakba kell átalakítani, majd utána lehet a duálisát felírni .Egy maximalizálási feladat normál alakra hozásához a következo lépéseket kell betartani:

1. lépés Ha valamelyik döntési változóra az xi ≥ a feltétel van megadva, akkor a feladatbanaz xi = x′i+a változócserét hajtjuk végre. Ha pedig valamelyik döntési változóra az xi ≤ afeltétel van megadva, akkor a feladatban az xi-t az xi = a−x′i helyettesítjük. Elofordulhataz az eset is, hogy valamelyik xi döntési változóra nincs megadva semmilyen elojelkorlátozófeltétel. Ebben az esetben xi = x′′i − x

′i (ahol x

′i, x

′′i ≥ 0) változócserével a feladat normál

alakra hozható.

2. lépés A ≥ korlátozó feltétel mindkét oldalát szorozzuk −1-gyel.

3. lépés Mindegyik egyenloség alakú korlátozó feltételt két egyenlotlenséggel ( egy ≤ és egy≥ ) helyettesítjük, majd a ≥ feltételt mindkét oldalát szorozzuk −1-gyel.

Egy minimalizálási feladat normál alakra hozásához pedig a következo lépések szükségesek:


1. lépés Azonos a maximalizálási feladatnál leírt 1. lépéssel.

2. lépés A ≤ korlátozó feltétel mindkét oldalát szorozzuk −1-gyel.

3. lépés Mindegyik egyenloség alakú korlátozó feltételt két egyenlotlenséggel ( egy ≤ és egy≥ ) helyettesítjük, majd a ≤ feltételt mindkét oldalát szorozzuk −1-gyel.

1.4. mintapélda (Zöldségleves eloállítása). Egy élelmiszeripari cég a zöldségleveseloállításához négy féle alapanyagot használ: zöldségek, hús, víz, aromák. A zöldségleveselkészítésekor be kell tartsák az alábbi szabályokat:

a leveshez felhasznált zöldségek össztömege nem haladhatja meg a leves tömegének felét;

a víz/hús arány pontosan 8/1;

a leveshez használt hús tömege a leves tömegének 5% és 6% között kell legyen;

az aromák mennyisége nem lehet több mint 10 gramm.

Az alapanyagok beszerzési árai: 1 kilógramm zöldség 1.2 euró, 1 kilógramm hús 8.1 euró,1 liter víz 0.06 euró és 1 kilógramm aroma 8.5 euró. Alakítsuk a kapott LP modellt normálalakra és írjuk fel duálisát. A cég vezetosége milyen termelési tervet válasszon, hogy az 500grammos kicsomagolású zöldséglevest a leheto legkisebb költséggel állítsa elo?Megoldás.Matematikai modell

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. A cég vezetoségének célja a költ-ségek minimalizálása. Mivel az összetevok a zöldségek, a hús, a víz és az aromák, ezért aztkell eldönteniük, hogy az egyes alapanyagokból mekkora mennyiséget használjanak ahhoz,hogy költség minimális legyen. Jelöljük az alapanyagok mennyiségét az alábbiak szerint:

x1 - az egy csomag zöldséglevesben levo zöldség mennyisége grammban kifejezve;x2 - az egy csomag zöldséglevesben levo hús mennyisége grammban kifejezve;x3 - az egy csomag zöldséglevesben levo víz mennyisége grammban kifejezve;x4 - az egy csomag zöldséglevesben levo aromák mennyisége grammban kifejezve.

2. A célfüggvény felírása.Feladatunk, hogy meghatározzuk, ha egy csomag leves x1 gramm zöldséget, x2 gramm húst,x3 gramm vizet és x4 gramm aromát tartalmaz, mennyi lesz a csomag leves eloállításánakköltsége. Tudjuk, hogy 1 gramm zöldség 0.0012 euró. Tehát x1 gramm zöldség 0.0012x1euró. Teljesen hasonlóan x2 gramm hús 0.0081x2, x3 gramm víz 0.00006x3 és x4 grammaroma 0.0085x4 euró lesz. Az összköltség 0.0012x1 + 0.0081x2 + 0.00006x3 + 0.0085x4.Tehát a célfüggvény:

z = 0.0012x1 + 0.0081x2 + 0.00006x3 + 0.0085x4.


A zöldségek mennyiségére vonatkozó feltétel:

x1 ≤ 250.

A víz hús arányra vonatkozó feltétel:

x3x2=8

1.


A hús tömegére vonatkozó feltétel: mivel a leves tömege 500 gramm, ezért a feltételalapján a hús tömege a leves tömegének 5% és 6% között kell legyen, azaz

500 · 5% ≤ x2 ≤ 500 · 6%

vagyis0.05 · 500 ≤ x2 ≤ 0.06 · 500.

Az aromákra vonatkozó feltétel:x4 ≤ 10.

Az összmennyiségre vonatkozó feltétel:

x1 + x2 + x3 + x4 = 500.

A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek: mivel az x1, x2, x3, x4 pozitívmennyiségek tört értékeket is felvehetnek, ezért

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Összegezve a feltételeket, az alábbi matematikai modellhez jutunk:

z = 0.0012x1 + 0.0081x2 + 0.00006x3 + 0.0085x4 → min,x1 ≤ 250,

8x2 − x3 = 0,x2 ≤ 30,x2 ≥ 25,x4 ≤ 10,

x1 + x2 + x3 + x4 = 500,x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

(1.3)

A duális feladat felírásához normál alakra kell hozzuk az (1.3) minimalizálási LP felada-tot. Mivel mindegyik döntési változó elojelkorlátja teljesíti a normál feladat feltételeit, a 2.lépés alapján az 1. 3. és 5. feltételek mindkét oldalát szorozzuk −1-el és a 3. lépés alapjána 2. és 6. feltételeket két feltételre bontjuk és a ≤ feltételek mindkét oldalát szorozzuk−1-gyel. Ezzel az átalakításokkal a következo normál minimalizálási feladathoz jutunk

z = 0.0012x1 + 0.0081x2 + 0.00006x3 + 0.0085x4 → min,−x1 ≥ −250,8x2 − x3 ≥ 0,−8x2 + x3 ≥ 0,−x2 ≥ −30,x2 ≥ 25,

−x4 ≥ −10,x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 500,

−x1 − x2 − x3 − x4 ≥ −500,x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

(1.4)

Ebben a feladatbanc =

[0.0012 0.0081 0.00006 0.0085

],


x =

x1x2x3x4

, b =

−25000−3025−10500−500

, A =

−1 0 0 00 8 −1 00 −8 1 00 −1 0 00 1 0 00 0 0 −11 1 1 1−1 −1 −1 −1

.

A duál feladat meghatározását megkönnyíti a feladat alábbi táblázatos felírása

x1 x2 x3 x4 b

y1 −1 0 0 0 −250y2 0 8 −1 0 0y3 0 −8 1 0 0y4 0 −1 0 0 −30y5 0 1 0 0 25y6 0 0 0 −1 −10y7 1 1 1 1 500y8 −1 −1 −1 −1 −500c 0.0012 0.0081 0.00006 0.0085

A táblázat elso sora a primál feladat xi, elso oszlopa pedig a duál feladat yi döntési vál-tozóit tartalmazza. Az utolsó sorban a célfüggvény ci együtthatóit, az utolsó oszlopbapedig a feltételek jobb oldalán szereplo kapacitás korlátoknak nevezett bi számokat írjukbe. A közbelso részbe a technológiai mátrixnak nevezett A mátrix együtthatóit tüntetjükfel. Figyelembe véve a primál feladat normál alakjának feltételeit, ha az x vektor sorátszorozzuk skalárisan a többi sorral, visszakapjuk a primál feladatot. Például, ha az elsofeltételt akarjuk visszakapni, akkor az x vektor sorát szorozzuk skalárisan a második sorral:(x1, x2, x3, x4) · (−1, 0, 0, 0) = −1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = −x1 és tudva azt, hogy minimal-izáló normál feladatról van szó, azaz a feltétel ≥ típusú, kapjuk −x1 ≥ −250. Hasonlókép-pen, amikor az y oszlop elemeit szorozzuk a többi oszlop megfelelo elemeivel, majd ezeketösszegezzük és felírjuk a duálisra jellemzo feltételeket, akkor az alábbi duál feladathoz jutunk

w = −250y1 + 0y2 + 0y3 − 30y4 + 25y5 − 10y6 + 500y7 − 500y8 → max,−y1 + y7 − y8 ≤ 0.0012,

8y2 − 8y3 − y4 + y5 + y7 − y8 ≤ 0.0081,−y2 + y3 + y7 − y8 ≤ 0.00006,−y6 + y7 − y8 ≤ 0.0085,

y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8 ≥ 0.

(1.5)

Ha a kiemelések után a

w = −250y1 + 0 (y2 + y3)− 30y4 + 25y5 − 10y6 + 500 (y7 − y8)→ max,−y1 + (y7 − y8) ≤ 0.0012,

8 (y2 − y3)− y4 + y5 + (y7 − y8) ≤ 0.0081,− (y2 − y3) + (y7 − y8) ≤ 0.00006,

−y6 + (y7 − y8) ≤ 0.0085,y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8 ≥ 0.


feladatban bevezessük az y2 − y3 = y′2 ∈ R és y7 − y8 = y′7 ∈ R jelöléseket, akkor a (1.5)feladat így is felírható:

w = −250y1 − 30y4 + 25y5 − 10y6 + 500y′7 → max,−y1 + y′7 ≤ 0.0012,

8y′2 − y4 + y5 + y′7 ≤ 0.0081,

−y′2 + y′7 ≤ 0.00006,

−y6 + y′7 ≤ 0.0085,

y1, y3, y4, y5, y6 ≥ 0.

(1.6)

Ez a nem normált alak a primál feladatból az egyenloségek átalakítása nélkül is megkapható.Ennek érdekében készítsük el az elobb bemutatott táblázatot a primál feladat alábbi alakjára

z = 0.0012x1 + 0.0081x2 + 0.00006x3 + 0.0085x4 → min,−x1 ≥ −250,8x2 − x3 = 0,−x2 ≥ −30,x2 ≥ 25,

−x4 ≥ −10,x1 + x2 + x3 + x4 = 500,

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

(1.7)

A táblázatban az egyenloségnek megfelelo sorokhoz tartozó döntési változókat csillaggaljelöljük:

x1 x2 x3 x4y1 −1 0 0 0 −250y∗2 0 8 −1 0 0y3 0 −1 0 0 −30y4 0 1 0 0 25y5 0 0 0 −1 −10y∗6 1 1 1 1 500

c 0.0012 0.0081 0.00006 0.0085

Tehát, a duál feladat

w = −250y1 − 30y3 + 25y4 − 10y5 + 500y6 → max,−y1 + y6 ≤ 0.0012,

8y2 − y3 + y4 + y6 ≤ 0.0081,−y2 + y6 ≤ 0.00006,−y5 + y6 ≤ 0.0085,y1, y3, y4, y5 ≥ 0.

(1.8)

Amint látható visszakaptuk a duális (1.6) alakját, de mivel az y2 és y6 sorokhoz tartozófeltételek egyenloségek voltak, ezért nem tartozik az y2-höz és y6-hoz elojelkorlát. Ezek adöntési változok bármilyen értéket felvehetnek.Az itt bemutatott primál-duál transzformációt a WinQSB Linear and Integer Program-

ming eszköztára is el tudja végezni. Ennek érdekében a WinQSB kezdo táblázatában megad-juk a primál feladat változóinak (Number of Variables) és feltételeinek (Number of Con-straints) a számát és a célfüggvényt pedig minimalizálásra (Minimization) állítsuk:


1.10. ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda eredméntáblája.

1.8. ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda kezdotáblája.

Majd az OK-ra kattintva megjelenik a feladat adattáblája, amit a célfüggvény és a korlá-tozó feltételek együtthatóival töltünk ki:

1.9. ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda adattáblája.

Az sízo emberke ( ) ikonra kattintva a WinQSB kiszámolja a megoldásokat és betöltiaz 1.10. eredménytáblázatot:A táblázat optimális megoldások (Solution Value) oszlopbólkiolvasható, hogy x1 = 230, x2 = 30, x3 = 240, x4 = 0. a célfüggvény értéke (ObjectiveFunction (Min.)=) z = 0.5334. A táblázat feltételekre (Constraint) vonatkozó részébol ki-olvasható, hogy az éles feltételek második, harmadik és a hatodik feltétel, mivel ezen sorokbana többlet és a hiányváltozók (Slack or Surplus) értékei nullák. Elojeltol eltekintve a duális


1.11. ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda duálisának adattáblája.

1.12. ábra. A zöldségleves elkészítése mintapélda duálisának eredménytáblája.

feladat megoldásainak értékeit tartalmazza az árnyékárak (Shadow Price) oszlop: C1 = 0,C2 = 0.0011, C3 = −0.0022, C4 = 0, C5 = 0, C6 = 0.0012, a duális feladat célfüggvényénekoptimális értéke pedig w = z = 0.5334.Ha az ( ) ikonra kattintunk visszajutunk a primál feladat adattáblájához. Itt a Format

menüpontból kiválasztva a Válts Duál Alakra (Switch to Dual Form) parancsot a WinQSBelkészíti a duál feladat 1.11. adattábláját:A táblázatban a duál feladat döntési változói C-kkel, a feltételek X-el és a ∞ pedig M -mel van jelölve. Tehát az adattábla alapján a duálfeladat

w = 250C1 + 30C3 + 25C4 + 10C5 + 500C6 → max,C1 + C6 ≤ 0.0012,

8C2 + C3 + C4 + C6 ≤ 0.0081,C2 + C6 ≤ 0.00006,C5 + C6 ≤ 0.0085,

C1 ≤ 0, C3 ≤ 0, C4 ≥ 0, C5 ≤ 0.

(1.9)

Az y1 = −C1, y2 = C2, y3 = −C3, y4 = C4, y5 = −C5, y6 = C6 helyettesítésekkel vis-szakapjuk a (1.8) duál feladatot. A (1.9) feladat optimális megoldásait tartalmazó 1.12.táblázat: Innen kiolvashatók a megoldások: C1 = 0, C2 = 0.0011, C3 = −0.0022, C4 = 0,C5 = 0, C6 = 0.0012. Ezek az értékek azonosak az elobbiekben az árnyékárak oszlopábólleolvasott értékekkel. Alkalmazva az y1 = −C1, y2 = C2, y3 = −C3, y4 = C4, y5 = −C5,y6 = C6 jelöléseket a (1.8) duál feladat megoldásai: y1 = 0, y2 = 0.0011, y3 = 0.0022, y4 = 0,y5 = 0, y6 = 0.0012. A duális feladat célfüggvényének optimális értéke w = z = 0.5334.Látható, hogy a táblázat árnyékárainak oszlopa a primál feladat megoldásait tartalmazza.Összegezésként elmondhatjuk, hogy a primál feladat árnyékárai azonosak a dul feladat op-timális megoldásaival és fordítva, a duál feladat árnyékárai megegyeznek a primál feladat


optimális megoldásaival. Ezt a duális kapcsolatot tárgyaljuk a következo paragrafusban ésmegadjuk az árnyékárak gazdasági jelentését.

1.5. A duálitás gazdasági interpretációjaA dualitás gazdasági jelentését az alábbi példa segítségével szemléltetjük.1.5. mintapélda (Tejtermékek). Egy tejtermékeket gyártó üzem vajat és túrót állít

elo. A termékek eloállításához magas zsírtartalmú és alacsony zsírtartalmú tejet használnak.A vaj eloállításához 60%-ban magas zsírtartalmú tejet és 40%-ban alacsony zsírtartalmútejet, a túró eloállításához pedig 40%-ban magas és 60% alacsony zsírtartalmú tejet használ-nak. A gyártási technológiája során a tej 10%-a marad a vajban és 15% marad a túróban. Avaj profitja kilógrammonként 1.5 euró a túróé pedig 1.2 euró. Az üzemnek hetenként 1000 kgmagas zsírtartalmú és 800 kg alacsony zsírtartalmú tej áll rendelkezésre. A vajból bármilyenmennyiséget el tud adni, a túróból pedig hetente maximálisan csak 180 kg adható el.a. Írjuk fel a feladat lineáris programozási modelljét.b. Milyen termelési tervvel maximalizálható a profit?c. Írjuk fel a feladat duálisát.d. Határozzuk meg a duál feladat optimális megoldását.e. Gazdaságilag értelmezzük a duál feladat optimális megoldását?Megoldás.a. Matematikai modell

1. Feladatunk, annak eldöntése, hogy az üzem milyen termelési tervvel maximalizálhatjaprofitját. A profit a vaj és a túró eladásából származik. Tehát a termelési terv az egyestermékekbol egy hét alatt gyártott mennyiségeket jelöli: ahol x1 az eloállított vaj menny-isége kg-ban kifejezve és x2 az eloállított túró mennyisége kg-ban kifejezve;

2. A célfüggvény felírása. Mivel 1 kg vaj 1.2 euró profitot eredményez, ezért x1 kilógrammnaka profitja 1.5x1. Hasonlóan, a túró x2 kilógrammjának a profitja 1.2x2. Tehát az összprofit:

z = 1.5x1 + 1.2x2.


Jelöljük L-lel a vajhoz szükséges tejmennyiséget. Mivel a tej 10% marad a vajban, ezértx1 = L · 10% = 0.1L. Az L két részbol tevodik össze magas és alacsony zsírtartalmú tejbol.Jelöljük ezeket u1-gyel és u2-vel. Mivel a vajhoz 60%-ban magas zsírtartalmú tejet és 40%-ban alacsony zsírtartalmú tejet használnak, ezért u1 = L·60% = 0.6L és u2 = L·40% = 0.4L.Összefoglalva:

u1 = 0.6L = 0.6x10.1

= 6x1, (1.10)

u2 = 0.4L = 0.4x10.1

= 4x1.

Teljesen hasonlóan járunk el a túró esetén is. Ebben az esetben jelöljük v1-gyel és v2-vel atúróhoz szükséges tejmennyiségeket. Ekkor

v1 = 0.4x20.15

=8

3x2, (1.11)

v2 = 0.6x20.15

= 4x2.


1.13. ábra. A tejtermékek mintapélda lehetséges megoldásainak halmaza.

Mivel az üzemnek 1000 kg magas zsírtartalmú tej áll rendelkezésre, ezért u1+v1 ≤ 1000, azaz6x1+

83x2 ≤ 1000. Hasonlóan az alacsony zsírtartalmú tejre vonatkozó feltétel: u2+v2 ≤ 800,

azaz 4x1 + 4x2 ≤ 800. Mivel a túróból hetente maximálisan csak 180 kg adható el, ezértx2 ≤ 180. A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek:

x1, x2 ≥ 0.

Tehát a matematikai modell:

z = 1.5x1 + 1.2x2 → max,6x1 +

83x2 ≤ 1000,

4x1 + 4x2 ≤ 800,x2 ≤ 180,

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

b. A WinQSB grafikus módszerét alkalmazva, az 1.13. ábrán bemutatott lehetségesmegoldáshalmazt kapjukAz optimális megoldás: x1 = 140 kg, x2 = 60 kg. Az optimális profit: zmax = 282 euró.c. Az elozo példában leírtak szerint a táblázat:

x1 x2y1 6 8/3 1000y2 4 4 800y3 0 1 180

c 1.5 1.2

A duál feladat

w = 1000y1 + 800y2 + 180y3 → min,6y1 + 4y2 ≥ 1.5,

83y1 + 4y2 + y3 ≥ 1.2,y1, y2, y3 ≥ 0.

(1.12)


d. Ha a WinQSB-t használjuk, akkor a duál feladat megoldásai leolvashatók az optimáliseredményeket tartalmazó táblázat árnyékárak (Shadow Price) oszlopából, azaz: y1 = 0.09,y2 = 0.24, y3 = 0. Az optimális érték: wmin = 282 (= zmax).e. Tegyük fel az üzem el akarja adni a nyersanyagkészletét, és döntenie kell, hogy

mennyiért éri meg eladni a magas és alacsony zsírtartalmú tejet, hogy legalább akkoranyeresége legyen mint a vaj és a túró eloállításából. Legyenek y1 valamint y2 az 1 kgmagas illetve alacsony zsírtartalmú tejért kért eladási árak euróban kifejezve. Ekkor azösszesített ár w = 1000y1 + 800y2. Mivel az üzemet az alsó korlát érdekli, ezért a céljaw = 1000y1 + 800y2 → min . Milyen feltételek kötik az üzemet az árak megállapításakor?Ezek elégé magasak kell legyenek, hogy a nyersanyagok eladása megérje az üzemnek is. Ezlegalább annyi hasznot kell hozzon az üzemnek, mint amikor felhasználja oket. Felhasználvaaz (1.10) és (1.11) képleteket, ahol x1 = x2 = 1, kapjuk, hogy 1 kg vajhoz 6 kg magas zsír-tartalmú tej és 4 kg alacsony zsírtartalmú tej szükséges, illetve 1 kg túróhoz 8/3 kg magaszsírtartalmú tej és 4 kg alacsony zsírtartalmú tej szükséges. Így az üzem legalább akkora áratkell kérjen a kétfajta tejért, hogy legalább az 1 kg vaj illetve 1 kg túró profitját megkapja,azaz

6y1 + 4y2 ≥ 1.5,8

3y1 + 4y2 ≥ 1.2.

Tehát a vállalkozó LP feladata:

w = 1000y1 + 800y2 → min,6y1 + 4y2 ≥ 1.5,83y1 + 4y2 ≥ 1.2,y1, y2 ≥ 0.

(1.13)

A feladat optimális megoldása: y1 = 0.09 euró, y2 = 0.24 euró. Az optimális érték: wmin =282 euró, ami megegyezik a zmax értékével.Összefoglalva, amikor a primál feladat egy normál maximalizáló feladat és, ha ezt a gon-

dolatmenetet alkalmazzuk az összes eroforrásra (azaz a az összes korlátozó feltételre), akkora duál feladat optimális yi döntési változói azt a legkisebb árat mutatják amiért, ha eladjaaz eroforrásokat legalább akkora nyeresége lesz mint a termékek eloállításakor. Mivel ezeka változók a döntéshozó rendelkezésre álló eroforrásainak értékével kapcsolatos, ezért a duálfeladat yi döntési változóit árnyékáraknak nevezik. Ezek az értékek a WinQSB optimáliseredményeket tartalmazó táblázatának árnyékárak (Shadow Price) oszlopából olvashatók ki.Egy érdekes tulajdonság: a nem éles feltételekhez tartozó árnyékárak nullák.

1.6. Keverési feladatokA keverési feladatok modellje az elso olyan gyakorlati alkalmazás, amelyik döntoen be-

folyásolta a matematikai programozás fejlodését. Ilyen típusú feladatokkal találkozunk azipari és a gazdasági modellezés különbözo területein, mint például: élelmiszeripar-diéta prob-léma, kémia ipar - vegyületek optimális keverése, gazdaság - optimális portfolió kiválasztás,stb. Általában egy keverési feladat így fogalmazható meg: határozzuk meg egy keverékösszetevoinek mennyiségét, ismerve az összetevok jellemzoit, úgy hogy a keverék eloállításiköltsége minimális legyen és a keverék jellemzoi az eloírt feltételeket teljesítsék.1.6. mintapélda (Diéta probléma). Zsóka szeretné étkezési költségeit csökkenteni úgy,

hogy szervezete a naponta szükséges energiát (2000 kcal), fehérjét(55g) és kalciumot (800mg)mégis megkapja. Az alábbi táblázat tartalmazza az egyes termékek alapveto jellemzoit:


Ételek Energia Fehérje Kalcium Ár(kcal) (g) (mg) (cent)

Tej(1 adag-1/4 l) 160 8 285 12Bab-hússal(1-adag, 250g) 250 14 76 25

Tojás(1-adag, 2 db.) 160 13 54 22

Csirke(1 adag 100 g) 205 32 12 32Zabkása

(1adag 30g) 120 5 3 10Sütemény

(1 adag 200g) 400 5 24 30

Hogy étkezése ne legyen egyhangú, az egyes ételekbol fogyasztható adagok számát korlá-tozza:

Tej ≤ 2 adagBab-hússal ≤ 2 adagTojás ≤ 2 adagCsirke ≤ 3 adagZabkása ≤ 3 adagSütemény ≤ 3 adag

Hogyan tud a legolcsóbban étkezni?Megoldás. Tulajdonképpen Zsóka azt kell eldöntse, hogy naponta hány adagot fo-

gyasszon az egyes ételekbol ahhoz, hogy a szervezete az eloírt szükséges energiát, fehérjétés kalciumot megkapja és költsége a leheto legkisebb legyen. Ennek érdekében jelöljük x1-gyel a naponta elfogyasztandó tej , x2-vel a bab-hús, x3-mal a tojás, x4-gyel a csirke, x5-tela zabkása és x6-tal a sütemény adagszámát. Az x1, x2, . . . , x6 az egyes tevékenységek (azevések) mértékének vagy intenzitásának is tekintheto. Ekkor [x1, x2, . . . , x6] egy lehetségescselekvési terv, azaz program (innen származik a lineáris programozás elnevezés).A célfüggvény megadja a cselekvési terv költségét, ami a mi esetünkben

z = 12x1 + 25x2 + 22x3 + 32x4 + 10x5 + 30x6

A nap szükségletre vonatkozó korlátozó feltételek:

160x1 + 250x2 + 160x3 + 205x4 + 120x5 + 400x6 ≥ 2000,

8x1 + 14x2 + 13x3 + 32x4 + 5x5 + 5x6 ≥ 55,

285x1 + 76x2 + 54x3 + 12x4 + 3x5 + 24x6 ≥ 800.

Az egyhangúság feloldására vonatkozó feltételek:

x1 ≤ 2, x2 ≤ 2, x3 ≤ 2, x4 ≤ 3, x5 ≤ 3, x6 ≤ 3.

Tehát, Zsóka feladata, hogy alkalmazva aWinQSB Lineáris programozási eszköztárát megoldjaa

z = 12x1 + 25x2 + 22x3 + 32x4 + 10x5 + 30x6 → min160x1 + 250x2 + 160x3 + 205x4 + 120x5 + 400x6 ≥ 2000,

8x1 + 14x2 + 13x3 + 32x4 + 5x5 + 5x6 ≥ 55,285x1 + 76x2 + 54x3 + 12x4 + 3x5 + 24x6 ≥ 800,

x1 ∈ [0, 2] , x2 ∈ [0, 2] , x3 ∈ [0, 2] , x4 ∈ [0, 3] , x5 ∈ [0, 3] , x6 ∈ [0, 3] .


lineáris programozási feladatot. Mivel Zsóka az operációkutatás tantárgy keretében megtan-ulta a WinQSB használatát sikeresen meg is oldja a feladatát és azt találja, hogy x1 = 2,x2 = 2, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 3, x6 = 3.1.7. mintapélda. Egy üzem négy hasonló terméket gyárt. Mind a négy terméknél a

gyártás utolsó három fázisa: összerakás, fényezés és csomagolás. Az alábbi táblázat megmu-tatja a fázisok percben kifejezett szükséges idotartamait a termékeknél. A táblázat utolsóoszlopában meg van adva, hogy a termékek mekkora profitot jövedelmeznek.

Összerakás Fényezés Csomagolás Profit (euró/darab)I. 2 3 2 1.5II. 4 2 3 2.5III. 3 3 2 3IV. 7 4 5 4.5

a. Az üzem vezetosége, a meglévo munkaero alapján úgy becsüli, hogy 1 év során legtöbb100000 percet képes fordítani összerakásra, 50000 percet fényezésre és 60000 percet cso-magolásra. Az üzem milyen termelési tervvel maximalizálhatja profitját?b. Ha az elozo pontban megadott feltételtol eltéroen, nincsenek korlátozva az egyes

munkafázisokra szánt idotartamok, csak annyit tudunk, hogy összesen a 3 fázisra 210000(= 100000 + 50000 + 60000) perc áll rendelkezésre, akkor az üzem milyen termelési tervvelmaximalizálhatja profitját?Megoldás.

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. A feladat azt kéri, hogy az üzemmilyen termelési tervvel maximalizálhatja profitját. Mivel a profit az I, II, III és IVtermékek eladásából származik azt kell megtudni, hogy egy év leforgása alatt mennyitgyártanak az egyes termékekbol, ezért jelöljük ezek éves gyártási darabszámát x1-gyel,x2-vel, x3-mal és x4-gyel.

2. A célfüggvény felírása. Mivel az I. termék 1 darabja 1.5 eurót jövedelmez, ezért x1 darabjövedelme 1.5x1. Hasonlóan a többi termékeknél a profit: 2.5x2, 3x3, 4.5x4. Tehát azösszprofit:

z = 1.5x1 + 2.5x2 + 3x3 + 4.5x4.

3. A korlátozó feltételek megadása. Az (x1, x2, x3, x4) termelési terv esetén a feladat a. pon-tjában az összerakásra szánt idotartam 2x1+4x2+3x3+7x4, ami nem lehet nagyobb mint100000 perc. Így az elso feltétel:

2x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 ≤ 100000.

Hasonló meggondolás alapján a többi munkafázis esetén a korlátozó feltételek:

3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 50000,

2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 ≤ 60000.

A feladat b. pontjában az összidokorlát van megadva, ezért itt a korlátozó feltétel:

2x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 + 3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 ≤ 210000.

A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek: mivel az x1, x2, x3, x4 darab-számokat jelölnek, ezért

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 és x1, x2, x3, x4 ∈ Z.


Összegezve az 1. 2. és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat a. pontjánakmatematikai modellje:

z = 1.5x1 + 2.5x2 + 3x3 + 4.5x4 → max,2x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 ≤ 100000,3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 50000,2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 ≤ 60000,

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 és x1, x2, x3, x4 ∈ Z.

A feladat b. pontjának matematikai modellje pedig:

z = 1.5x1 + 2.5x2 + 3x3 + 4.5x4 → max,7x1 + 9x2 + 8x3 + 16x4 ≤ 210000,x1, x2, x3, x4 ≥ 0 és x1, x2, x3, x4 ∈ Z.

4. A matematikai modell megoldása. A feladat megoldásához a 1.3 paragrafusban leírt mód-szertan alapján használjuk a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztárát.Az a. pont esetén a maximális profitot eredményezo termelési terv: x1 = 0, x2 = 16000,x3 = 6000, x4 = 0 és profit zmax = 58000 euró. A b. pont esetén a maximális profitoteredményezo termelési terv pedig: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 26250, x4 = 0 és profit zmax =78750 euró. A második esetben a profit 36%-al nagyobb mint az elso esetben. Tehát azelso eset korlátozó feltételeinek valós hatása van a profitra, csökkenti azt.

1.8. mintapélda. Van 140 eurónk és szeretnénk vásárolni erre az összegre néhánykartotékszekrényt. Két típus közül választhatunk: az A típus 10 euró, illetve a B típus20 euró. Az A típus 6 négyzetméter alapterületet foglal el és térfogata 8 köbméter. AB típus 8 négyzetméter alapterületet foglal el és térfogata 12 köbméter. Az irodánkban akartotékszekrények elhelyezésére 72 négyzetméter áll rendelkezésre. Hogyan járjunk el, hogya leheto legnagyobb térfogat álljon rendelkezésünkre a kartotékok elhelyezésekor?Megoldás.

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. A feladat azt kéri, hány darabkartotékszekrényt vásároljunk a két típusból külön-külön ahhoz, hogy a szekrények össztér-fogata maximális legyen. Ezért jelöljük x1-gyel a vásárolandó A típusú kartotékszekrényekés x2-vel a B típusú kartotékszekrények darabszámát.

2. A célfüggvény felírása. Mivel az A szekrény 1 darabjának térfogata 8 köbméter, ezértx1 darabnak a térfogata 8x1 köbméter. Hasonlóan a B szekrény esetén a térfogat 12x2köbméter. Tehát az össztérfogat

z = 8x1 + 12x2.

3. A korlátozó feltételek megadása. Az (x1, x2) vásárlási terv esetén az elfoglalt alapterület6x1 + 8x2, ami nem lehet nagyobb mint 72 négyzetméter. Így az elso feltétel

6x1 + 8x2 ≤ 72.

Hasonlóan a rendelkezésre álló összegre vonatkozó korlátozó feltétel

10x1 + 20x2 ≤ 140.


A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek: mivel az x1, x2 darabszámokatjelölnek, ezért

x1, x ≥ 0 és x1, x2 ∈ Z.

Összegezve az 1. 2. és 3. pontokban kapott összefüggéseket, a feladat matematikai mod-ellje:

z = 8x1 + 12x→ max,6x1 + 8x2 ≤ 72,10x1 + 20x2 ≤ 140,

x1, x ≥ 0 és x1, x2 ∈ Z.

4. Mivel a feladatnak csak két döntési változója van, ezért a grafikus módszerrel keressük azoptimális megoldásokat.

A lehetséges megoldások halmazának megszerkesztése. Az x1 döntési változót avízszintes tengelyen, az x2 döntési változót pedig a függoleges tengelyen ábrázoljuk.A 6x1+8x2 ≤ 72 feltétel egy olyan félsíkot határoz meg, amely határegyenesének egyenlete

6x1+8x2 = 72. Megrajzoljuk ezt az egyenest a tengelyekkel való metszéspontok segítségével.A metszéspontokat az alábbi táblázatban foglaljuk össze:

x1 0 12

x2 9 0

A metszéspontokat jelöljük A (0, 9) és B (12, 0) pontokkal. Megvizsgáljuk, hogy az O (0, 0)pont a lehetséges pontokat tartalmazó félsíkhoz tartozik-e, behelyettesítve az O pont ko-ordinátáit az elso feltételbe. Mivel 6 · 0 + 8 · 0 ≤ 72 feltétel teljesül, ezért a lehetségesmegoldások halmaza az AB egyenesnek az O irányába eso félsíkjában van.A 10x1 + 20x2 ≤ 140 feltétel határegyenese 10x1 + 20x2 = 140. A tengelyekkel való

metszéspontok táblázata:x1 0 14

x2 7 0

A metszéspontokat jelöljük: C (0, 7)-vel és D (14, 0)-vel. Mivel 10 · 0 + 20 · 0 ≤ 140 felté-tel teljesül, ezért a lehetséges megoldások halmaza az CD egyenesnek az O irányába esofélsíkjában van.Ha a döntési változókra csak x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 feltételek volnának felírva, akkor a lehetséges

megoldásokM halmaza a két korlátozó feltétel által meghatározott tartomány metszetének akoordináta-rendszer elso negyedébe eso része lenne, de mivel x1, x2 ∈ Z, a feladat lehetségesmegoldásainak halmaza az M-beli egész koordinátájú pontok(lásd a 1.14. ábrát). Ahhoz,hogy meghatározzuk az M halmazt ki kell számítsuk a két határegyenes metszéspontjánakkoordinátáit, azaz meg kell oldani a

{6x1 + 8x2 = 72,10x1 + 20x2 = 140,

egyenletrendszert. A megoldás adja az E(8, 3) metszéspont koordinátáit. Tehát az M egyolyan poliéder, amelynek csúcspontjai: O,E, F, H, D.


1.14. ábra. Az M lehetséges megoldáshalmaz az 1.8. mintapéldában.

Az optimális megoldás keresése. AzM csúcspontajinak koordinátáit behelyettesítjüka célfüggvénybe:

Csúcspont (x1, x2) z

O (0, 0) 0

C (0, 7) 84

E (8, 3) 100

B D (12, 0) 96

Mivel a legnagyobb z érték az E pontnál van és az E pont koordinátái egész számok,ezért a feladat megoldása x1 = 8, x2 = 3. A maximális térfogat pedig zmax = 100 és eztakkor érjük el, ha az A típusú kartotékszekrénybol 8-at, a B típusúból pedig 3-at vásárol-unk. Ha a megoldásnak nem jött volna ki egész szám, akkor a lehetséges megoldásokattartalmazó tartományban, a BEC határ mentén az összes egész koordinátájú pontban ki kellszámítani a célfüggvény értékét, majd azok közül választjuk ki a maximumot adó pontot.Ez lesz a feladat optimális megoldása. Ez már számításigényes feladat. Ilyenkor elonyösebbhasználni a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztárát. Az egész értéku lineárisprogramozási feladatok megoládsára a WinQSB az úgynevezett korlátozás és szétválasztás(Branch and Bound) keresési technikát használja.1.9. mintapélda. Egy cég vezetoje döntést kell hozzon, hogy miképpen ossza el az

általa gyártott vasaló gyártásának mennyiségét két üzeme között, mivel egyik üzem semképes külön-külön a piacot lefödni. Tudjuk, hogy egy vasaló alkatrészeit az I. üzem 10 euróköltséggel, a II. üzem pedig 20 euró költséggel készíti el. Az összeszerelési költségek egyvasalóra I. üzemnél 8 euró, a II. üzemnél pedig 5 euró. Az ellenorzési költségek egy vasalónálaz I. üzemnél 3 euró, a II. üzemnél pedig 1 euró. A cég egy éves költségvetése alkatrészgyártására 120000 eurót, összeszerelésre 40000 eurót és ellenorzésre 12000 eurót fordít. Egyvasaló eladási ára 60 euró függetlenül, hogy melyik üzemben készült.a. Ha a vasalót teljes egészében az egyik vagy másik üzemben készítik el, milyen elosztás

mellett lesz a profit maximális?b. Ha a vasalót csak részben készítik el egyik vagy a másik üzemben, akkor milyen elosztás

mellett lesz a profit maximális?


Mindkét esetben vizsgáljuk meg, hogy a költségvetés hányad része marad felhasználatlanul.Mit jelentenek gazdasági szempontból a költségvetési tétel felhasználatlan részei?Megoldás.a.

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. Mit is kér a feladat? Azt, hogyhány vasalót gyártson az egyik illetve a másik üzem. Ezért jelöljük x1-gyel az I. üzem általés x2-vel a II. üzem által gyártott vasalók darabszámát.

2. A célfüggvény felírása. Az I. üzemnél egy vasaló eloállítási költsége: 10 + 8 + 3 = 21euró, a másik üzemnél pedig: 20 + 5 + 1 = 26 euró. Tehát az I. üzemnél gyártott vasalódarabja 60− 21 = 39 euró, a II. üzemnél gyártott vasaló pedig 60− 26 = 34 euró profitotjövedelmez. Következésképpen, az összprofit

z = 39x1 + 34x2.

3. A korlátozó feltételek megadása. Az (x1, x2) elosztás esetén az alkatrész gyártására 10x1+20x2, összeszerelésre 8x1 + 5x2 és ellenorzésre 3x1 + x2 összeget fordítanak, amik nemlehetnek nagyobbak mint a költségvetésben megszabott összegek. Így a korlátozó feltételeka következok:

10x1 + 20x2 ≤ 120000,

8x1 + 5x2 ≤ 40000,

3x1 + x2 ≤ 12000.

A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek: mivel az x1, x2 darabszámokatjelölnek, ezért

x1, x ≥ 0 és x1, x2 ∈ Z.


z = 39x1 + 34x2 → max,10x1 + 20x2 ≤ 120000,8x1 + 5x2 ≤ 40000,3x1 + x2 ≤ 12000,

x1, x ≥ 0 és x1, x2 ∈ Z.

(1.14)

b.

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. Mit is kér a feladat? Azt, hogyhány az elso illetve második üzemben a különbözo fázisokban (alkatrészgyártás, összesz-erelés, ellenérzés) hány darabot állítsanak elo. Ezért jelöljük x11-gyel az I. üzemben eloál-lított alkatrészek számát, x12-vel a I. üzemben összeszerelt vasalók darabszámát, x13-mala I. üzemben ellenorzött vasalók számát. Teljesen hasonlóan, jelöljük x21-gyel az II. üzem-ben eloállított alkatrészek számát, x22-vel a II. üzemben összeszerelt vasalók darabszámát,x23-mal a II. üzemben ellenorzött vasalók számát. Mivel minden vasalót teljes egészébenel kell készíteni, ezért:

x11 + x21 = x12 + x22 = x13 + x23 = x,

ahol x jelöli az összes eloállított vasalók számát.


2. A célfüggvény felírása. Az I. üzemnél x11 darab vasalóhoz gyártnak alkatrészt, ami 10x11költséget jelent, hasonlóan a második üzemnél ez a munkafolyamat 20x21 költséget je-lent. Ugyanígy a többi munkafolyamat költségei rendre: 8x12, 5x22, 3x13, x23. A vasalókeladásából 60x jövedelem keletkezik. Tehát a profit:

z = 60x− 10x11 − 20x21 − 8x12 − 5x22 − 3x13 − x23.

3. A korlátozó feltételek megadása. Az (x1, x2) elosztás esetén az alkatrész gyártására: 10x11+20x21, összeszerelésre: 8x12+5x22 és ellenorzésre 3x13+x23 összeget fordítanak, amik nemlehetnek nagyobbak mint a költségvetésben megszabott összegek. Így a korlátozó feltételeka következok:

10x11 + 20x21 ≤ 120000,

8x12 + 5x22 ≤ 40000,

3x13 + x23 ≤ 12000.

A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek: mivel a döntési változók darab-számokat jelölnek, ezért

x, x11, x12, x21, x22, x13, x23 ≥ 0 és x, x11, x12, x21, x22, x13, x23 ∈ Z.


z = −10x11 − 8x12 − 3x13 − 20x21 − 5x22 − x23 + 60x→ max,10x11 + 20x21 ≤ 120000,8x12 + 5x22 ≤ 40000,3x13 + x23 ≤ 12000,x11 + x21 − x = 0,x12 + x22 − x = 0,x13 + x23 − x = 0,

x1, x ≥ 0 és x1, x2 ∈ Z.

4. Az optimális értékek keresésére a WinQSB Linear and Integer Programming eszköztáráthasználjuk.Az a. modell optimális megoldása: x1 = 1818, x2 = 5091. Az optimális profit: zmax =243996. A költségvetés egyes tételeibol megmaradt összegek:

S1 = 120000− (10 · 1818 + 20 · 5091) = 0,

S2 = 40000− (8 · 1818 + 5 · 5091) = 1,

S3 = 12000− (3 · 1818 + 1 · 5091) = 1455,

ami összesen S = S1 + S2 + S3 = 1456 eurót jelent.A b. modell optimális megoldása: x11 = 8000, x12 = 0, x13 = 0, x21 = 0, x22 = 8000,x23 = 8000, x23 = 8000, x = 8000. Az optimális profit: zmax = 352000 euró. Az a.esetben összesen 6909 vasalót gyártnak, a b. esetben pedig 8000 darabot. Az elso esetbena profit kisebb mint a második esetben. Ez természetes is mert, ha megfigyeljük a b. eset


optimális megoldásait, láthatjuk a cég vezetojének döntése az, hogy minden munkafázistott végezzenek el, ahol kisebb a költség. A második esetben a költségvetés egyes tételeibolmég megmaradt összegek:

S1 = 120000− (10 · 8000 + 20 · 0) = 40000,

S2 = 40000− (8 · 0 + 5 · 8000) = 0,

S3 = 12000− (3 · 0 + 1 · 8000) = 4000,

ami összesen S = S1 + S2 + S3 = 44000 eurót jelent. Látható, hogy az a. esetbenaz alkatrészgyártás a szoros korlát, a b. esetben pedig az összeszerelésre szánt összeg aszoros korlát. Mindkét esetben érdemes a költségvetés sarokszámait átgondolni és a szoroskorlátokhoz nagyobb összegeket rendelni.Az S1, S2 és S3 az árnyékárak. Lineáris programozási feladatok esetén S1, S2 és S3 a duálisfeladat optimális megoldásai. A mi esetünkben, mivel a gyártott vasalók száma viszony-lag nagy, úgy is eljárhatunk, hogy a feltételekbol kivesszük az egész értékre vonatkozókorlátozást, és az így kapott LP feladat optimális megoldásaiban úgy kerekítünk, hogy afeltételeket ne szegjük meg. Az így kapott megoldások jó közelítései az általunk kiszámítottoptimális megoldásoknak.

1.10. mintapélda. Egy befekteto 12000 euró összeget három alapba helyezhet el: államikötvénybe 7%-os kamattal, bankba 8%-os kamattal és egy magasabb kockázatú részvénybe12%-os kamattal. Hogy a kockázatát csökkentse 2000 eurónál többet részvénybe nem fektet.A hatályban lévo törvények miatt legalább 3-szor nagyobb összeget kell állami kötvénybefektessen mint bankba. Milyen befektetési stratégia mellett maximalizálhatja jövedelmét?Megoldás.

1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása:

legyen x1 az állami kötvénybe elhelyezett összeg 1000 euróban kifejezve;legyen x2 a bankba elhelyezett összeg 1000 euróban kifejezve;legyen x3 a részvénybe elhelyezett összeg 1000 euróban kifejezve (x3 = 12− x1 − x2);

2. A célfüggvény felírása.

A három letét után a kamat rendre: 0.07x1, 0.08x2, 0.12x3. A célfüggvény:

z = 0.07x1 + 0.08x2 + 0.12x3

= 0.07x1 + 0.08x2 + 0.12 (12− x1 − x2)

= 1. 44− 0.05x1 − 0.04x2.


1. szabály:x3 ≤ 2, azaz x1 + x2 ≥ 10.

2. szabály:x1 ≥ 3x2.

A döntési változókra vonatkozó elojelkorlátozó feltételek:

x1, x2, x3 ≥ 0, azaz x1, x2, x1 + x2 ≤ 12.


Összefoglalva az 1-3 pontokban kapott összefüggéseket a következo matematikai modellhezjutunk:

z = 1.44− 0.05x1 − 0.04x2 → max,x1 + x2 ≥ 10,x1 − 3x2 ≥ 0,x1 + x2 ≤ 12,x1, x2 ≥ 0.

(1.15)

A WinQSB Linear and Integer Programming eszköztára segítségével megoldjuk a (1.15)feladattal egyenértéku

z′ = 0.05x1 + 0.04x2 → min,x1 + x2 ≥ 10,x1 − 3x2 ≥ 0,x1 + x2 ≤ 12,x1, x2 ≥ 0

LP feladatot. Az optimális megoldások: x1 = 7.5, x2 = 2.5 és z′min = 0.4750.Mivel z = 1.44−z′ következik, hogy zmax = 1.44 − z′min = 0.965 Tehát a befekteto akkor maximalizálhatjajövedelmét, ha állami kötvénybe 7500, bankba 2500 és részvénybe 2000 eurót fektet. Ekkorvárhatóan 965 euró jövedelme lesz.1.11. mintapélda. Négy projektet 3 éves futamidore terveznek. Az alábbi táblázat

tartalmazza, ezer eurós egységekben kifejezve az egyes projektekben évente befektetendoösszegeket:

1. év 2. év 3. év1. projekt 500 300 2002. projekt 1000 800 2003. projekt 1500 1500 3004. projekt 100 400 100

Az elso projekt várható profitja 200 ezer euró, a másodiké 300 ezer euró, a harmadiké 500ezer euró, a negyediké pedig 100 ezer euró. A rendelkezésre álló összegek: elso évben 3.1millió euró, második évben 2.5 millió és a harmadik évben pedig 0.4 millió euró. A projektekközül melyiket kell választani, hogy a várható profit maximális legyen?Megoldás. A projektek jelölésére bevezetjük az x1, x2, x3, x4 döntési változókat. A

változók értékei 0 vagy 1. Ha mondjuk az elso projektet választjuk, akkor az x1 = 1, x2 = 0,x3 = 0, x4 = 0, ha a másodikat és a negyediket, akkor x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1. Tehátaz xi értéke 1, ha az i-dik projektet kiválasztjuk és 0 ha nem, és mivel csak egy projektválaszható, ezért x1 + x2 + x3 + x = 1. Ekkor a várható profit:

z = 200x1 + 300x2 + 500x3 + 100x4.

Mivel az évente felhasználható összegek adottak, ezért az elso évre vonatkozó korlátozófeltétel: 500x1+1000x2+1500x3+100x4 ≤ 3100, a második évre: 300x1+800x2+1500x3+400x4 ≤ 2500 és a harmadik évre pedig: 200x1 + 200x2 + 300x3 + 100x4 ≤ 400.Tehát, a


feladat az alábbi bináris értéku lineáris programozási modellel írható le:

z = 200x1 + 300x2 + 500x3 + 100x4 → max,500x1 + 1000x2 + 1500x3 + 100x4 ≤ 3100,300x1 + 800x2 + 1500x3 + 400x4 ≤ 2500,200x1 + 200x2 + 300x3 + 100x4 ≤ 400,

x1 + x2 + x3 + x = 1,x1, x2, x3, x4 ∈ {0, 1} .

A modell megoldására használjuk a WinQSB programcsomag Linear and Integer Program-ming eszköztárát. Itt a kezdotáblában be kell jelölni a Binary(0,1) mezot. Az optimálismegoldások: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0 és zmax = 500. Tehát a harmadik projektválasztása esetén maximális a várható profit: zmax = 500 euró.1.12. mintapélda. Egy cég egy bizonyos állateledelt két nyersanyag összekeverésébol

állítja elo. A nyersanyagok tartalmazzák a szükséges A, B, C és D összetevoket. Szabványszerint 1 kg állateledel az A összetevobol legalább 90 grammot, a B-bol legalább 50 grammot,a C-bol legalább 20 grammot és a D-bol legalább 2 grammot kell tartalmazzon.A két nyersanyag az összetevokbol alábbi táblázatban megadott mennyiségeket tartal-

mazza gramm/kg-ban kifejezve:

A B C D1. nyersanyag 100 80 40 12. nyersanyag 200 150 20 6

Tudva azt, hogy az 1. nyersanyag beszerzési ára kilógrammonként 40 euró a 2. nyersanyagára pedig kilógrammonként 60 euró, határozzuk meg, hogy az állateledel eloállításához a cégmilyen arányba keverje a két nyersanyagot ahhoz, hogy a kiadása minimális legyen.Megoldás. Legyen x1 valamint x2 az elso illetve második nyersanyag kg-ban kifejezett

mennyisége egy kg állateledelben. Ekkor 1 = x1+x2. Tudjuk, hogy 1 kg az elso nyersanyagból100 grammot tartalmaz az A összetevobol. Tehát x1 kg az 1-bol 0.1x1 kg-ot fog tartalmazniaz A-ból. Teljesen hasonlóan x1 kg az 1-bol 0.08x1 kg-ot tartalmaz a B-bol, 0.04x1 kg-ot aC-bol és 0.01x1 kg-ot a D-bol. A második nyersanyag összetevoi: 0.2x2, 0.15x2, 0.02x2 és0.06x2. A szabványfeltétel alapján:

0.1x1 + 0.2x2 ≥ 0.09,

0.08x1 + 0.15x2 ≥ 0.05,

0.04x1 + 0.02x2 ≥ 0.02,

0.001x1 + 0.006x2 ≥ 0.002.

A feladat célfüggvénye:z = 40x1 + 60x2.

Tehát, a feladat LP modellje:

z = 40x1 + 60x2 → min,10x1 + 20x2 ≥ 9,8x1 + 15x2 ≥ 5,4x1 + 2x2 ≥ 2,x1 + 6x2 ≥ 2,x1 + x2 = 1,

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.


A modell megoldására használjuk a WinQSB programcsomag Linear and Integer Pro-gramming eszköztárát. Az optimális megoldás: x1 = 0.8, x2 = 0.2 és zmin = 44. Tehát a cégahhoz, hogy minimalizálja a kiadását a keverékhez 80%-ban az 1-es nyersanyagot és 20%-bana 2. nyersanyagot kell keverje. Ekkor az 1 kg keverék eloállítási költsége 44 euró lesz.

1.7. Kituzött feladatok1. Egy üzemben 4 eroforrás felhasználásával kétféle terméket állítanak elo. Az egyes ter-

mékekhez az eroforrásokból 4, 0, 2, 1, illetve 2, 4, 3, 1 egységet használunk fel. Az összeseroforrás kapacitás: 240, 160, 180, 100. Az egyes termékek eladási ára darabonként 20,illetve 40 euró. A WinQSB programcsomag segítségével határozzuk meg a maximális ár-bevételt biztosító termelési programot és az árnyékárakat. Melyek az éles feltételek?

2. Egy bánya vállalatnak két ércbányája van. A kibányászott érc minosége három osztálybasorolható: jó, közepes és gyenge. A vállalat bányászati heti terve a következo: 12 tonnaa jó minoségu, 8 tonna a közepes és 24 tonna a gyenge minoségu ércbol. A két bányakitermelési jellemzoit a következo táblázat tartalmazza:

Termelés (tonna/nap)Bánya Ár Jó Közepes GyengeElso 180 6 3 4Második 160 1 1 6

Heti hány napot kell a bányák dolgozzanak, hogy a tervet minimális költség mellett tel-jesíteni tudják?

3. Egy farmon kétfajta takarmánnyal táplálják a nyulakat. Az egyik takarmány kilógram-mja 150 gramm zsiradékot, 240 gramm szénhidrátot és 40 gramm proteint tartalmaz, árapedig 2 euró. A másik takarmány kilógrammja 240 gramm zsiradékot, 240 gramm szén-hidrátot és 20 gramm proteint tartalmaz, ára pedig 2.5 euró. Egy nyúl normális, napitápanyagszükséglete legalább 24 gramm zsiradékot, 36 gramm szénhidrátot és 4 grammproteint tartalmaz, de az össztakarmány mennyiség nem lehet több mint 0.5 kg. Hogyankell keverni a két takarmányt, hogy normális táplálás mellett a költség minimális legyen.

4. Egy vállalkozás négyféle terméket készít 3 eroforrás felhasználásával. Egy-egy darab ter-mékbe az eroforrások beépülését a következo táblázat tartalmazza:

I II III IVA 1 2 0 1B 0 1 1 1C 1 1 1 0

Kapacitásokra a felso korlátok, rendre: 90, 80, 50. A termékek eladási egységárai: 2, 3,2, 2. Írjuk fel a feladathoz tartozó lineáris programozási modellt és annak duálisát, és aWinQSB segítségével határozzuk meg a primál és duál optimális megoldásokat.

5. Egy játékgyár három típusú robotjátékot gyárt. Az elso típusú játék gyártása 10 perc, amásodiké 12 perc, a harmadiké pedig 15 perc. Az elso típusú játékhoz 2 kg, a másodikhoz 3kg, a harmadikhoz pedig 4 kg muanyag szükséges. A gyár napi 8 órát és 200 kg muanyagotfordít a 3 játék gyártásához. A játékok utáni nettó jövedelmek rendre 1 Lej, 5 Lej illetve6 Lej. Hogy a rendeléseket teljesítse a gyár mindegyik termékbol legalább 10 darabot


kell gyártson. A gyár vezetoségét a maximális nettó nyereséget hozó program valamint azárnyékárak érdeklik. Írjuk fel a fel a feladathoz tartozó lineáris programozási modellt éshatározzuk meg az optimális megoldást, valamint az árnyékárakat.

6. A Csíki sörfozde világos és barna sört gyárt árpából, komlóból és malátából. Jelenleg 4tonna árpa, 2 tonna komló és 5 tonna maláta áll rendelkezésre. Egy hordó világos sört 45euróért lehet eladni, eloállításához 1 kg árpa, 1 kg komló és 2 kg maláta szükséges. Egyhordó barna sört 50 euróért lehet eladni, eloállításához 2 kg árpára, 1 kg komlóra és 1 kgmalátára van szükség. A sörfozde el tudja adni az általa gyártott világos és barna sört.A sörfozde célja az összbevétel maximalizálása. Tegyük fel, hogy a sörfozde maláta-likorgyártását fontolgatja. Egy hordó maláta-likor eladási ára 60 euró, eloállításához 0.5 kgárpára, 3 kg komlóra és 3 kg malátára van szükség. Érdemes-e maláta-likort gyártani. Afeladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot!

7. Egy üzem három eroforrás felhasználásával négyféle terméket készít. A technológiai mátrix(az egységnyi termék eroforrásigénye):

A =

2 3 0 21 2 4 13 2 1 0

A gyártandó darabszámokra két terv készült: t1 = [100, 350, 250, 300] ést2 = [150, 300, 200, 350]. Megvalósítható-e mindkét terv, ha az eroforrásokból maximálisanrendelkezésre álló mennyiségek: b = [2000, 1900, 1250]?

Ismerve az eroforrások egységárait: a = [20, 15, 7] és a termékek eladási egységárait: c =[100, 150, 80, 70] adjuk meg az egyes termékek eloállítási költségeit. AWinQSB segítségévelhatározzuk meg a maximális nyereséget biztosító termelési programot.

8. Egy autóipari cég, személygépkocsikat és teherautókat gyárt. Egy személygépkocsiból300 euró, egy teherautóból pedig 400 euró nyeresége származik. A gyártáshoz szükségeseroforrások az alábbi táblázatban láthatok:

1. típusú gép 2. típusú gép Acél (tonna)Személygépkocsi 0.8 0.6 2Teherautó 1 0.7 3

A cég naponta legfeljebb 98 darab 1. típusú gépet tud bérelni gépenként 50 euróért. Jelen-leg 73 darab 2. típusú gépe van a cégnek, és 260 tonna acél áll rendelkezésére. Marketingszempontok miatt legalább 88 személygépkocsit és legalább 26 teherautót mindenkeppengyártani kell. A cég célja a profit maximalizálása. Válaszoljunk a következo kérdésekre:

a. A cég milyen termelési programmal maximalizálhatja nyereségétb. Mi lenne a feladat új optimális megoldása, ha egy személygépkocsi gyártásából 310 eurónyereség származna? Ez mennyivel növelne a profitot?

c. Legfeljebb mekkora összeget lenne érdemes +1 darab 1. típusú gép egy napi bérléséértkifizetni?

9. Egy cég virág, rombusz és spirál mintás abroszokat készít. Mindegyik abrosz három rés-zlegben készül, a következo sorrendben: szövés, mintázás, vasalás. Az alábbi táblázat


mutatja, hogy az abroszoknak a részlegekben hány percet kell tölteniük:

Részleg (idotartam, perc)Abrosz Szövés Mintázás VasalásVirág mintás 15 15 3Rombusz mintás 10 15 4Spirál mintás 8 4 2

Marketing szempontok miatt legalább 1000 darab rombusz mintás abroszt mindenképpenel kell készíteni. Egy rombusz mintás abrosz ára 8 euró, a spirál mintásé 10 euró, a virágmintásé pedig 12 euró. A szövöde kapacitása 18000 perc, a mintázásé 18000 perc, a vasalásépedig 9000 perc. A cég célja a bevételek maximalizálása.a. Írd fel a lineáris programozási modellt és számítógép segítségével oldd meg.b. +10 perc mintázási kapacitás milyen mértékben növelné a cég bevételét?c. A rombusz mintás abroszokra vonatkozó korlátot 100-zal növelve, hogyan változik a cégbevétele?

10. Egy koolaj-finomító gázolajat és benzint állít elo. A technológia úgy van megtervezve,hogy a finomítás során legalább kétszer annyi mennyiségu benzint kapnak, mint gázolajat.A cég vezetoségének az a tapasztalata, hogy a napi benzin szükséglet nem több mint6400000 liter, de a gázolajból el tudnak adni naponta 3000000 litert is. Ha egy liter benzineladási ára 0.6 euró a gázolajé pedig 0.4 euró, milyen termelési tervvel lehet maximalizálnia bevételt?

11. Egy ács asztalokat és székeket készít. Mindegyik asztal 30 euró és mindegyik szék 10 európrofittal adható el. Az ács heti 40 órát tud dolgozni, egy asztal eloállítása 6 óra, míg egyszék elkészítése 3 órát vesz igénybe. A megrendelo azt kéri, hogy legalább háromszor annyiszéket készítsen, mint asztalt. Egy asztal négyszer nagyobb raktározási felületet igényel,mint egy szék és a szobába legfeljebb 18 szék tárolására van elegendo hely. Add meg alineáris programozási feladat matematikai modelljét, majd oldd meg a feladatot.

12. A Scientia Könyvkiadó három jegyzet kiadását tervezi. Az alábbi táblázat mutatja az elad-ható legnagyobb példányszámot, a jegyzetenkénti változó eloállítási költséget, az eladásiárat és a szerzoi honoráriumot az egyes jegyzetek esetén:

1. jegyzet 2. jegyzet 3. jegyzetKereslet (db.) 250 200 250Költség (Lej/db) 20 15 18Eladási ár (Lej/db) 40 38 32Honorárium (Lej) 500 600 300

Ha például az 1-es jegyzetbol 200 példány készül, akkor a bevétel 200*40 lej, a költségviszont 500 + 200*20=4500 lej. A Scientia legfeljebb 600 jegyzetet tud elkészíteni. Akiadó hogyan maximalizálhatja profitját?

13. Egy játékokat gyártó üzem két modernebb öltöztetésu Barbie-baba készítését tuzi ki célul.Az egyiket Kasszandrának nevezik és 3 munkaóra szükséges az elkészítéséhez a másikatpedig Kleopátrának és 2 munkaórát igényel az elkészítése. A játékok 1 darabjának agyártási költségét és eladási árát az alábbi táblázat tartalmazza:

Játék Gyártási költség Eladási árKasszandra 45 67Kleopátra 76 92


Az üzemnek két részlege közösen készíti el a babákat. Az alábbi táblázat százalékosarányban megadja, hogy az egyes részlegek milyen arányban járulnak hozzá a babákelkészítéséhez:

Játék 1. részleg 2. részlegKasszandra 52% 48%Kleopátra 38% 62%

Tudva azt, hogy az elso részleg kapacitása 480, a másik részlegnek pedig 720 munkaóra,határozzuk meg, hogy az üzem milyen termelési terv mellett maximalizálhatja profitját.

14. Négy termelési projekt közül választhatunk, amelyek jellemzoit a következo táblázat adjameg:

TokebefektetésProjekt Haszon 1. évben 2. évben 3. évben

1. 0.2 0.5 0.3 0.22. 0.3 1.0 0.8 0.23. 0.5 1.5 1.5 0.34. 0.1 0.1 0.4 0.1

Rendelkezésre álló toke 3.1 2.5 0.4

Melyik projekteket válasszuk, ha célunk a haszon maximalizálása?

15. Tegyük fel, Ön éppen most örökölt 5000 eurót és azt be szeretné fektetni. Értesülveerrol, két ismerose külön-külön felajánlja Önnek, hogy társuljon a vállalkozásába. Mindkétesetben fel kellene áldoznia némi idot, és készpénzt is be kellene fektetnie. Elso ismerosevállalatában 4000 euróval és 300 munkaóra ráfordítással teljes társsá válhatna és a várhatóprofit (figyelmen kívül hagyva a befektetett idejének értékét) 3000 euró körül mozogna.Második ismerose ajánlatának adatai: 3000 euró és 500 munkaóra, várható nyeresége pedig4000 euró. Ismerosei azonban rugalmasak és hozzájárulnak, hogy Ön részbefektetéssel csakrészben társuljon a vállalkozásukhoz. Természetesen az Ön nyeresége ekkor a befektetésselarányos lenne. Mivel Önnek úgyis van maximum 600 munkaórányi szabad ideje jövore, úgydönt, olyan arányban társul egyik vagy mindkét ismerose vállalkozásához, hogy várhatóprofitja maximális legyen. Fogalmazza meg a problémát lineáris programozási feladatként.Mennyi a maximálisan várható profit? Melyek a feladat éles feltételei?

16. Három részvény jelenlegi árfolyamai és a tozsde 3 hónappal késobbi árfolyamelvárásaittartalmazza az alábbi táblázat:

Jelenlegi árfolyam (euró/db) Árfolyamelvárás (euró/db)A 13000 16000B 14000 15000C 2500 3000

Egy befekteto mindegyik részvénybol legalább 500000-euró értékben szeretne felvásárolniés portfoliót kialakítani. Összesen legfeljebb 5 millió eurót akar befektetni és a „B”részvénybol legfeljebb 100 darabot vásárolna. A vásárlást követoen minden részvényreazonnal limitáras eladási megbízást is ad. A brókeri jutalék vásárláskor részvényenként avételi ár 0.5%-a és eladáskor az árbevétel 1%-a. Ha minden eladási megbízás teljesülne,akkor milyen portfolió esetén lenne az elvárt hozam maximális? Írjuk fel a lineáris pro-gramozási modellt és a WinQSB segítségével oldjuk meg a feladatot. Határozzuk meg azárnyékárakat.


17. Sok cég használ lineáris programozási modelleket arra, hogy a legkedvezobb kötvény port-foliót kiválassza. A következo egy ilyen modell egyszerusített változata. Egy cégnek egymil-lió dollárja van befektetési célra. Négyféle kötvényben gondolkodik. Az alábbi táblázatmutatja az egyes kötvények várható évi hozamát, a legrosszabb esetben való évi hozamotés az egyes kötvények tartamát:

Kötvény Várható hozam Legrosszabb hozam Tartam1. kötvény 14% 5% 22. kötvény 9% 6% 53. kötvény 11% 8% 64. kötvény 14% 9% 8

Egy kötvény tartama azt méri, hogy a kötvény mennyire érzékeny a kamatlábra. A cégmaximalizálni akarja a kötvénybefektetésekbol származó várható nyereséget, három feltételmellett.

1. feltétel: a portfolió nyeresége a legrosszabb esetben is legalább 6% legyen.2. feltétel: a portfolió átlagos tartama legfeljebb 6 lehet. Például, ha a portfolióban 600000$ van az 1-es kötvényben és 400 000$ a 4-es kötvényben, akkor az átlagos tartam:

(600000 ∗ 2 + 400000 ∗ 8)/1000000 = 4.4.

3. feltétel: a diverzifikációs eloírások miatt egyféle kötvénybe legfeljebb a teljes összeg30% fektetheto be.

Fogalmazzon meg egy lineáris programozási feladatot, amely a cég számára lehetové teszi,hogy maximalizálja befektetésének várható nyereségét! Mennyi ez a legnagyobb várhatónyereség? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! Melyek az élesfeltételek?

18. Egy gazda búzát és zabot termeszt saját 50 holdas földjén. Legfeljebb 30000 kg búzát éslegfeljebb 25000 kg zabot tud eladni. Egy beültetett holdon vagy 2300 kg búza, vagy pedig1800 kg zab terem. A búza eladási ára 0.5 euró/kg a zabé pedig 0.8 euró/kg. Egy hold búzaaratásához 2.5 munkaóra, egy hold zab aratásához 3.5 munkaóra szükséges. Legfeljebb 400munkaóra veheto igénybe 60 euró/óra költséggel.

a. Írjuk fel a lineáris programozási modellt és a WinQSB segítségével oldjuk meg. Mennyia gazda maximális nyeresége?

b. Legfeljebb mennyit érdemes fizetni +1 munkaóráért?c. Legfeljebb mennyit érdemes fizetni +1 hold föld bérléséért?d. Mi lenne az új optimális megoldás, ha a búza ára 0.3 euró/kg-ra esik vissza?

19. Csíkszereda rendorségénél minden 4 órás periódusra az ügyeleti szolgálatot teljesíto rendorökszáma a következo:

Rendorök számaéjféltol 4-ig 84-tol 8-ig 78-tól 12-ig 612-tol 16-ig 616-tól 20-ig 520-tól éjfélig 4


Minden rendor két egymásután következo 4 órás ügyeletben dolgozik. Fogalmazzon megegy lineáris programozási feladatot, amelynek a megoldása úgy minimalizálja Csíkszeredarendoreinek számát, hogy a napi ügyeletek el legyenek látva! Legkevesebb hány rendorrevan szükség? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot!

20. Egy postahivatalban a hét különbözo napjaiban eltéro számú teljes munkaideju alkalmazottmunkájára van szükség. Az alábbi táblázat mutatja az egyes napokra vonatkozó teljesmunkaideju munkaero szükségletet:

H. K. Sz. Cs. P. Szo. V.Szükséglet 14 13 18 15 17 10 12

A szakszervezeti törvény értelmében minden teljes munkaideju alkalmazottnak 5 egymástköveto napon kell dolgoznia, és ezután 2 szabadnap jár. Például egy olyan alkalmazott, akihétfotol péntekig dolgozik, szombat-vasárnap szabadnapos lesz. A postahivatal úgy akarjanapi munkaero-szükségletét kielégíteni, hogy teljes munkaideju alkalmazottakat foglalkoz-tat. Fogalmazzuk meg egy lineáris programozási feladatot, amelyet a postahivatal arratud használni, hogy a leheto legkevesebb teljes munkaidos alkalmazottat foglalkoztassa!Hányan kezdik a munkát hétfon, kedden, szerdán, csütörtökön, pénteken, szombaton ésvasárnap? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! Melyik napszükséglete befolyásolja legjobban az összmunkaero szükségletet?

21. Egy üzlet forgalmát tanulmányozva, azt állapították meg, hogy az egyes napokra az alábbitáblázatban feltüntetett számú elárusító szükséges:

H. K. Sz. Cs. P. Szo. V.Szükséglet 20 18 16 12 10 13 20

Egy elárusító napi bére hétköznap 60 lej, szombaton 85 lej, vasárnap pedig 95 lej. Törvényszerint minden elárusító egyfolytában csak 5 napot dolgozhat és utána kötelezoen 2 egymásutáni szabadnap jár. Az üzletvezeto minimalizálni szeretné az elárusítók bérköltségét.Segítsünk neki!

22. Egy befekteto két pénzt hozó lehetoség A és B közül választhat az elkövetkezo négy évmindegyikében. Minden egyes, az év elején az A-ba befektetett euró két év múlva 30 euró-cent hasznot, míg a B-be fektetett euró három év múlva 50 eurócent hasznot eredményezés azonnal újra befektethetok. Késobb lehetoség nyílik a C és a D befektetésekre is. Min-den, a második év elején a C-be fektetett euró a negyedik év végén 50 eurócent hasznot,valamint a negyedik év elején a D-be fektetett euró az év végére 20 eurócent jövedelmez. Abefekteto 10000 eurót befektetéssel indul. Milyen befektetési terv alapján érdemes eljárnia,hogy a negyedik év végén a leheto legtöbb pénzt halmozhassa fel?

23. Egy ásványvíz palackozó cég meg akarja tervezni termelését az elkövetkezo hat hónapra.Tudja, hogy az egyes hónapokban a kereslet 5000, 6000, 6500, 7000, 5000, 7500 hektoliter.Jelenleg a cégnek 2000 hektoliter ásványvize van raktáron. A jelenlegi kapacitásokkal acég maximum 6000 hektoliter ásványvizet tud egy hónapban palackozni. Egy hektoliterásványvíz palackozási költsége 150 euró és egy hónapnyi raktározási költsége 7.5 euró.Milyen termelési tervet válasszon a cég ahhoz, hogy költsége minimális legyen?

24. A CI&PO RT négy típusú lábbelit gyárt. Az egyes termékek profitja 10, 15, 22, 17 euróés az elkövetkezo 4 hétre a maximálisan eladható mennyiségek 50, 60, 85, 70 pár lábbeli.


Minden egyes lábbeli a gyártási folyamat során 3 részlegen kell átmenjen. A részlegekena négy típusú lábbeli egy egységéhez szükséges munkaidoket, munkaórában kifejezve azalábbi táblázat tartalmazza:

1. lábbeli 2. lábbeli 3. lábbeli 4. lábbeli1. részleg 2 2 1 12. részleg 2 4 1 23. részleg 3 6 1 5

A három részleg kapacitása 160, 200, valamint 80 munkaóra. Lehetoség van, hogy azegyes részlegeken dolgozókat, ha szükséges más részlegekre osszák be. Így a másodikrészleg munkaóra kapacitásának legtöbb 20%-át átadhatja az elso részlegnek, az elso részleg30%-át a harmadik részlegnek és a harmadik részleg 10%-át a második részlegnek. Amarketing terv eloírja, hogy az elkészített elso termék és az elkészített negyedik termékdarabszámainak aránya 0.9 és 1.15 között legyen. A CI&PO Kft milyen termelési tervvelmaximalizálhatja profitját?

25. Egy kosárlabda edzo a kezdo ötös összeállításán töpreng. A rendelkezésére álló hét játékosszóba jöheto szerepkörét (védo —V, center — C, bedobó — B), valamint a labdakezelési,dobási, lepattanó szerzési ill. védekezési képességeinek minosítését (1 = gyenge, 2 =közepes, 3 = kiváló) tartalmazza az alábbi táblázat:

Játékos Szerepkör Labda kezelés Dobás Lepattanó-szerzés Védekezés1 V 3 3 1 32 C 2 1 3 23 V-B 2 3 2 24 B-C 1 3 3 15 V-B 1 3 1 26 B-C 3 1 2 37 V-B 3 2 2 1

Az edzo a kezdo ötöst úgy akarja összeállítani, hogy teljesüljenek a következok:

a. Legalább 3 játékos legyen képes védo, legalább 2 bedobó és legalább 1 center szerepébenjátszani.

b. A kezdocsapat átlagos labdakezelési, dobási ill. lepattanó szerzési szintje legalább 2legyen.

c. Ha a 3-as játékos kezd, akkor a 6-os nem kezdhet.d. Ha az 1-es játékos kezd, akkor a 4-esnek és az 5-ösnek is kezdenie kell.e. A 2-es vagy a 3-as játékosnak a kezdocsapatban kell lennie.

Ezen megkötések mellett az edzo maximalizálni akarja a kezdocsapat összesített védekezésiképességét. Írjon fel egy LP-t, amely segíthet a kezdocsapat kiválasztásában! WinQSB-benoldja meg a feladatot.

26. Mondjuk Ön elhatározza, hogy beszáll az édesség-üzletbe. Kétféle édesség gyártásán gon-dolkodik: csokoládé és drazsé. Mindketto kizárólag cukorból, magokból és nyers csokoládébóláll. Jelenleg önnek 90 deka cukor, 30 dekamag és 45 deka nyers csokoládé áll rendelkezésére.A csokoládét eloállító keverékbe legalább 15% magtartalomnak kell lennie. A drazsébanlegalább 25% magnak és 30% csokoládénak kell lennie. Egy deka csokoládét 40 centértlehet eladni, egy deka drazsét pedig 20 centért. Fogalmazzon meg egy lineáris programozási


feladatot, amely az Ön édességeladásából származó bevételét maximalizálja! Legtöbb men-nyi lehet a bevétele? A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot!

27. A Csöpögo nevu vállalat alma ízesítésu üdítoitalt gyárt ízesítettet-szóda és almalé kom-binálásával. Egy deka ízesítettet-szóda 0.3 deka cukrot, és 2 mg C-vitamint, 1 deka almalépedig 0.35 deka cukrot, és 5 mg C-vitamint tartalmaz. A Csöpögonek 1 deka ízesítettet-szóda 3 euróba kerül, 1 deka almalé pedig 5 euróba. A Csöpögo marketing osztálya el-határozza, hogy minden 10 dekás almalé—palack legalább 25mg C-vitamint és legfeljebb 5deka cukrot tartalmazhat. Határozzuk meg, hogy a Csöpögo hogyan tud eleget tenni amarketing osztály követelményeinek minimális költségek mellett.

28. A marosvásárhelyi mutrágya gyár szilíciumot és nitrogént keverve kétféle típusú mutrá-gyát állít elo. Az 1. mutrágya legalább 48% nitrogént kell hogy tartalmazzon, és eladásiára 70 euró kilogrammonként. A 2. mutrágyának legalább 40% szilíciumot kell tartal-maznia, és eladási ára 30 euró kilogrammonként. A gyár legfeljebb 600 tonna nitrogéntvásárolhat, kilogrammját 12 euróért, és legfeljebb 800 tonna szilíciumot, kilogrammját10 euróért. Tételezzük fel, hogy bármennyi mutrágya eladható. Fogalmazzon meg egylineáris programozási feladatot, amely maximalizálja a gyár nettó jövedelmét! Mennyi eza jövedelem? Határozza meg az árnyékárakat és magyarázza meg a gazdasági jelentésüket.A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot!

29. A Parmen gyümölcsfeldolgozó cégnek két telephelye van. Mindkét telephelyen van egy-egyraktára és egy feldolgozó üzeme. Lehetosége van, hogy felvásároljon három almafajtábólmaximálisan: 20 tonna húsvéti rozmaringot (HR), 31 tonna téli arany parment (AP) és 42tonna téli banánalmát (TB). A húsvéti rozmaring felvásárlási ára tonnánként 1100 euró,a téli arany parmené 1000 euró és az téli banánalmáé pedig 900 euró. A szállítási költséggyümölcstol és a telephelytol függ. Az alábbi táblázat megmutatja, hogy 1 tonna gyümölcsszállítása az egyes raktárakba hány euróba kerül.

1. raktár 2. raktárHR 30 35AP 20 25TB 60 40

A raktárak kapacitását és az üzemek feldolgozási költségét mutatja a következo táblázat:

1. raktár 2. raktárKapacitás 46 tonna 56 tonnaFeldolgozási költség 260 euró/tonna 210 euró/tonna

A cég a gyümölcsökbol szörpöt készít, amelyet egységes 2000/tonna eurós áron értékesít.A Parmen milyen felvásárlási tervvel maximalizálhatja profitját? Milyen felvilágosítássalszolgálnak az árnyékárak a Parmen vezetoségének?

30. A maGma RT háromtípusú elektronikus vezérlot gyárt három részlegen. Egy vezérlogyártási idotartamait percben kifejezve az alábbi táblázat tartalmazza:

1. részleg 2. részleg 3. részleg1. vezérlo 5 7 42. vezérlo 6 12 83. vezérlo 13 14 9


A következo táblázatban van összefoglalva a telephelyeken a vezérlok által jövedelmezettprofitok euróban kifejezve.

1. részleg 2. részleg 3. részleg1. vezérlo 10 8 62. vezérlo 18 20 153. vezérlo 15 16 13

Tudva azt, hogy minden részleg kapacitása 35 munkaóra és az elso vezérlobol legalább 100darabot, a másodikból 150-et, a harmadikból pedig 100-at kell elkészíteni, hány darabotgyártson az egyes részlegeken a vezérlokbol, hogy profitja maximális legyen?

31. Adjuk meg a következo szállítási feladat optimális megoldását, ha az R3. célállomás nemkaphat árut az F1 feladótól, a 3. szállító a második rendeltetési helyre nem szállíthat ésa második feladónál nem maradhat áru. Ha az optimális megoldásban x11 = 40, akkormennyi a többi xij?

R1 R2 R3F1 6 5 8 70F2 7 6 7 60F3 2 5 3 70F4 8 4 7 20

80 70 40

32. Egy cég normál muködés esetén legtöbb 100 egységnyi terméket tud eloállítani egy hónap-ban. A keresletet, a termelési költségeket euróban, és a túlóra gyártási kapacitásokat négyegymásutáni hónapban az alábbi táblázat tartalmazza:

Termelési költség Termelési költségHónap Kereslet normál ütemben Túlóra kapacitás túlórában

1 130 6 60 82 80 4 65 63 125 8 70 104 195 9 60 11

A gyár maximum 70 egységnyi terméket képes elraktározni egyik hónapról a másikra 1.5euró egységnyi raktározási költséggel. Ha kezdetben a raktárban 15 egységnyi termék volt,akkor egyes hónapokban hány egységnyi terméket kell gyártani normál és túlórában ahhoz,hogy a költség minimális legyen és a szükséges kereslet ki legyen elégítve?

33. A Bran koolajfinomító 3 típusú benzint forgalmaz: CO98, CO90 és CO75. Ezeket abenzineket 4 féle alapanyag keverésébol állítják elo. Ezek a következok:

(CT) — holepárlás alapján kapott alacsony minoségu benzin,(RG) — javított minoségu benzin,(RC) — tisztított benzin,(NC5) — oktánszámot javító termek.


Az alábbi táblázatok tartalmazzak az alapanyagok maximális mennyiséget és eloállításiköltségeit, valamint az eloállított benzin keverék összetételét és eladási árat.

Napi termelés KöltségCT 3000 500RG 2000 800RC 4000 600NC5 1000 700

Alapanyag szükséglet ÁrCO98 <= 30% CT

>=40% RG 950<= 50% RC

CO90 <=50% CT 800>=10% RG

CO75 <=70% CT 700

Határozzuk meg a maximális jövedelmet biztosító termelési programot, ha tudjuk, hogy aCO75 benzinbol naponta legalább 3000 kell eloállítson.

34. A Zöldülj Mezo Társaság (ZMT) egy újrafeldolgozó központot muködtet, ahol 4-féle szilárdhulladék anyagot gyujtenek, majd dolgoznak fel oly módon, hogy ezután azok felhasznál-hatók lesznek egy eladható termék gyártására. Ez a termék, a felhasznált anyagok kev-erési anyagától függoen, háromféle minoségben állítható elo. Bár az összetétel mindegyikminoség esetében ingadozhat egy keveset, a minoségi szabványok eloírják az egyes anyagokminimálisan, illetve maximálisan megengedett (súly) arányát az adott minoségu termék-ben. Ezeket az eloírásokat tartalmazza az alábbi táblázat:

Osztály Eloírás Fúziós költség(lej/kg) Eladási árA Az 1. anyag legfeljebb 30%-a

Az 2. anyag legalább 40%-a 3 8.5A 3. anyag legfeljebb 50%-a

B Az 1. anyag legfeljebb 50%-a 2.5 7Az 2. anyag legalább 10%-a

C Az 1. anyag legfeljebb 70%-a 2 5.5

Az újrafeldolgozó központ a szilárd hulladék anyagot ugyanabból a néhány forrásból gyujtibe, ezért normálisan egy állandó termelési szintet tud biztosítani azok feldolgozására. Azegyes típusú anyagokból hetenként összegyujtött mennyiséget valamint azok fajlagos fel-dolgozási költségeit az alábbi táblázat tartalmazza:

Anyag Rendelkezésre álló(lej/hét) Kezelési költség (lej/kg)1 3000 32 2000 63 4000 44 1000 5

Mennyit és az anyagok milyen keverési arányával kell gyártani, hogy a teljes heti haszonmaximális legyen?


35. Egy teherszállító repülogépen három rakodótér található: elol, középen és hátul. Befo-gadóképességüket tartalmazza az alábbi táblázat:

Súlykapacitás TérkapacitásRakodótér (tonna) (m3)

Elol 10 5000Középen 13 8000Hátul 8 4000

Az egyes rakodóterek súlyterhelésének a súlykapacitási adatok arányában kell megoszla-nia ahhoz, hogy a repülogép egyensúlyban maradjon. A következo járatnak a következotáblázatban megadott 5 rakományt ajánlották fel:

Súly Térfogat ProfitRakomány (tonna) (m3) (euró/tonna)

1 12 450 3502 16 500 3003 20 650 4004 13 300 3005 8 400 250

A rakományok feldarabolhatók. A rakományokból mennyit (ha egyáltalán) érdemes szál-lításra elfogadni, és hogyan érdemes oket elosztani a rakodótérben ahhoz, hogy a járat aleheto legnagyobb profitot hozza? A repülo melyik része szállítsa a legnagyobb profitotjelento rakományt?

2. fejezet

Szállítási és hozzárendelési feladatok

Az elozo fejezetben már hangsúlyoztuk a lineáris programozás szélesköru alkalmazhatóságát.Ebben a fejezetben a lineáris programozási feladatok bizonyos speciális típusainak tárgyalásá-val tovább bovítjük eddigi ismereteinket. Bemutatjuk az úgynevezett szállítási és hozzáren-delési feladatokat.

2.1. Szállítási feladat2.1. mintapélda (Babkonzerv). Egy társaság egyik fo terméke a babkonzerv. A ter-

melés három konzervgyárban folyik Kézdivásárhelyen (KV), Sepsiszentgyörgyön (SSz) és Gy-ergyószentmiklóson (GySzM). A terméket teherautókkal szállítják négy értékesíto áruházba.Ezek az áruházak Brassóban (B), Csíkszeredában (CsSz), Székelyudvarhelyen (SzU) és Maros-vásárhelyen (MV) vannak. Mivel a szállítási költségek nagyon lényegesek, ezért a vezetés egytanulmány elvégzését kezdeményezi, amely ezen költségek minimalizálására irányul. Meg-becsülték a konzervgyárak egy hónapnyi várható termelését, valamint az egyes áruházaknakhónaponként kiutalt mennyiségeket a babkonzervbol. Az alábbi táblázat megmutatja azegyes helységek közötti távolságokat km-ben kifejezve, az egyes konzervgyárak várható ter-melését és az áruházaknak kiutalt mennyiségeket.

ÁruházKonzervgyár 1. B 2. CsSz 3. SzU 4. MV Termelés

1. KV 60 62 112 220 62. SSz 33 68 101 184 10

3. GySzM 160 59 57 118 4Kiutalás 6 5 4 5

A táblázat szerint összesen 20 teherautónyi áru vár elszállításra. Tudva azt, a szállításiköltség arányos a távolsággal határozzuk meg, hogy az egyes konzervgyárakból hány autóbabkonzervet kell szállítani az egyes áruházakba úgy, hogy az áruházak szükségleteit teljesít-sék és a teljes szállítási költség minimális legyen?Megoldás. A modell megfogalmazásához jelöljük z-vel a teljes szállítási költséget, xij-

vel (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4;) az i-edik konzervgyárból és a j-edik áruházba szállítandómennyiségeket, és k-val az egy km megtételéhez szükséges költséget. Célunk tehát az xij-k

45

46 2. Szállítási és hozzárendelési feladatok

olyan megválasztása, amelyre

z = k (60x11 + 62x12 + 112x13 + 220x14+

33x21 + 68x22 + 101x23 + 184x24+

160x31 + 59x32 + 57x33 + 118x34)

feltéve, hogy a szükségletek teljesülnek, azaz

x11 + x21 + x31 = 6,

x12 + x22 + x32 = 5,

x13 + x23 + x33 = 4,

x14 + x24 + x34 = 5,

és a termelt mennyiségeket is mind elszállítják, azaz

x11 + x12 + x13 + x14 = 6,

x21 + x22 + x23 + x24 = 10,

x31 + x32 + x33 + x34 = 4.

Tehát, a feladat lineáris modellje:

Z = zk= 60x11 + 62x12 + 112x13 + 220x14

+33x21 + 68x22 + 101x23 + 184x24+160x31 + 59x32 + 57x33 + 118x34 → min,

x11 + x21 + x31 = 6,x12 + x22 + x32 = 5,x13 + x23 + x33 = 4,x14 + x24 + x34 = 5,

x11 + x12 + x13 + x14 = 6,x21 + x22 + x23 + x24 = 10,x31 + x32 + x33 + x34 = 4,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

Alkalmazva a WinQSB lineáris programozási eszköztárát, megoldásként kapjuk, hogy x12 =5, x13 = 1, x21 = 6, x23 = 3, x24 = 1, x34 = 4. A többi döntési változó értéke nulla. Válaszunka feladatra: 5 autó babkonzervet kell szállítani Kézdivásárhelyrol Csíkszeredába, 1-et Kézdi-vásárhelyrol Székelyudvarhelyre, 6-ot Sepsiszentgyörgyrol Brassóba, 3-at SepsiszentgyörgyrolSzékelyudvarhelyre, 1-et Sepsiszentgyörgyrol Marosvásárhelyre és 4-et Gyergyószentmiklós-ról Marosvásárhelyre. Ebben az esetben a szállítás összköltsége z = 1579k.Egy általános szállítási feladat valamilyen tárolóhelyek(raktárok) valamilyen halmazából

a felvevohelyek (keresleti helyek) valamilyen halmazába történo minimális szállítási összkölt-séget igénylo elszállításával foglalkozik. Egy szállítási feladatban általában az alábbi infor-mációk szerepelnek:

Az m darab tárolóhelyrol (kínálati hely) álló halmaz az, ahonnan a szállítás történik.Az i-edik tárolóhelyrol legfeljebb si egységet képes szállítani (az i-edik hely kínálata). Amintapéldában m = 3, s1 = 6, s2 = 10, s3 = 4.

2. Szállítási és hozzárendelési feladatok 47

Az n darab felvevohelybol álló halmaz az, ahová a szállítás történik. A j-edik felvevohe-lynek legalább dj egységnyire van szükség (az j-edik hely kereslete). A mintapéldábann = 4, d1 = 6, d2 = 5, d3 = 4, d4 = 5.

Minden olyan egység, amit az i-edik helyrol a j-edik helyre szállítanak cij költséggel jár.A mintapéldában c11 = 60, c12 = 62, c13 = 112, c14 = 220, c21 = 33, c22 = 68, c23 = 101,c24 = 184, c31 = 160, c32 = 59, c33 = 57, c34 = 118.

Ha xij-vel (i = 1, ...,m; j = 1, ..., n;) jelöljük az i-edik tárolóhelyrol a j-edik felvevohelyreszállítandó egységek számát, akkor a szállítási feladat általános formában így írható fel:

z =m∑

i=1

n∑

j=1

cijxij → min,

m∑

i=1

xij ≥ dj , j = 1, ..., n,

n∑

j=1

xij ≤ si, i = 1, ...,m,

xij ≥ 0, i = 1, ...,m; j = 1, ..., n.

Ha egy feladatbanm∑

i=1

si =n∑

j=1

dj ,

akkor a teljes kínálat egyenlo a teljes kereslettel. Ilyenkor kiegyensúlyozott szállítási feladatrólbeszélünk. Ha

m∑

i=1

si >n∑

j=1

dj ,

akkor feladatnak van megoldása, de nem kiegyensúlyozott, ha pedig

m∑

i=1

si <n∑

j=1

dj ,

akkor a feladatnak nincs lehetséges megoldása, mivel ebben az esetben az összkínálat kisebbmint az összkereslet és így a felvevohelyek szükségleteit nem tudják a tárolóhelyek teljesíteni.Az utóbbi esetben kívánatos azt a lehetoséget is megengedni, hogy a felvevohelyek egy részekielégítetlen maradjon. Ilyenkor a kielégítetlen kereslet gyakran büntetoköltséggel jár. Ezta helyzetet szemlélteti a mintafeladatnak az az esete, amikor Sepsiszentgyörgyön valamilyenokból csak 8 teherautónyi babkonzervet sikerül eloállítani. Ekkor a kínálati oldal 18 autónyi,a keresleti oldal pedig 20 autónyi. A feladat kiegyensúlyozására bevezetünk egy fiktív kínálatihelyet, ahol a hiányt, azaz 20 − 18 = 2 teherautónyi babkonzervet állítják elo. Errol ahelyrol a valamelyik felvevohelyre való szállítási költség éppen az arra a helyre vonatkozó,a hiányból fellépo egy egységre számított büntetoköltség. Hogy ezt meghatározzuk szerremeg kell oldanunk azokat a szállítási feladatokat, amelyben az egyes felvevohelyek keresletétszerre a hiánnyal, azaz 2-vel csökkentjük.


Kezdjük Brassóval, csökkentve a szükségletét 2-ét teherautónyival, és kapjuk az alábbifeladatot:

Z = zk= 60x11 + 62x12 + 112x13 + 220x14

+33x21 + 68x22 + 101x23 + 184x24+160x31 + 59x32 + 57x33 + 118x34 → min,

x11 + x21 + x31 = 4,x12 + x22 + x32 = 5,x13 + x23 + x33 = 4,x14 + x24 + x34 = 5,

x11 + x12 + x13 + x14 = 5,x21 + x22 + x23 + x24 = 8,x31 + x32 + x33 + x34 = 5,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

Alkalmazva a WinQSB lineáris programozási eszköztárát, megoldásként kapjuk, hogy a szál-lítás összköltsége z = 1513k. Tehát a büntetoköltség 1579k − 1513k = 66k. Mivel ez kétegység hiányra volt számítva ezért az egy egységre vonatkozó büntetoköltség 33k. Így a fiktívkonzervgyárból a Brassóba való szállítás költsége 33k.Teljesen hasonlóan járunk el a többi áruház esetén is.Csíkszeredánál a

Z = zk= 60x11 + 62x12 + 112x13 + 220x14

+33x21 + 68x22 + 101x23 + 184x24+160x31 + 59x32 + 57x33 + 118x34 → min,

x11 + x21 + x31 = 6,x12 + x22 + x32 = 3,x13 + x23 + x33 = 4,x14 + x24 + x34 = 5,

x11 + x12 + x13 + x14 = 5,x21 + x22 + x23 + x24 = 8,x31 + x32 + x33 + x34 = 5,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

lineáris programozási feladatunk van, amelynek szállítás összköltsége z = 1477k. Tehát abüntetoköltség 1579k − 1477k = 102k. Így a fiktív helyrol való Csíkszeredába való szállításköltsége 61k.


Székelyudvarhelynél a

Z = zk= 60x11 + 62x12 + 112x13 + 220x14

+33x21 + 68x22 + 101x123 + 184x24+160x31 + 59x32 + 57x33 + 118x34 → min,

x11 + x21 + x31 = 6,x12 + x22 + x32 = 5,x13 + x23 + x33 = 2,x14 + x24 + x34 = 5,

x11 + x12 + x13 + x14 = 5,x21 + x22 + x23 + x24 = 8,x31 + x32 + x33 + x34 = 5,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

lineáris programozási feladatunk van, amelynek szállítás összköltsége z = 1377k. Tehát abüntetoköltség 1579k − 1377k = 202k. Így a fiktív helyrol való Székelyudvarhelyre valószállítás költsége 101k.Marosvásárhelynél a

Z = zk= 60x11 + 62x12 + 112x13 + 220x14

+33x21 + 68x22 + 101x23 + 184x24+160x31 + 59x32 + 57x33 + 118x34 → min,

x11 + x21 + x31 = 6,x12 + x22 + x32 = 5,x13 + x23 + x33 = 4,x14 + x24 + x34 = 3,

x11 + x12 + x13 + x14 = 5,x21 + x22 + x23 + x24 = 8,x31 + x32 + x33 + x34 = 5,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

lineáris programozási feladatunk van, amelynek szállítás összköltsége z = 1233k. Tehát abüntetoköltség 1579k − 1233k = 346k. Így a fiktív helyrol való Székelyudvarhelyre valószállítás költsége 173k.Tehát, bevezetve azt a fiktív gyártási helyet, amely Brassótól 33 km-re, Csíkszeredától

61 km-re, Székelyudvarhelytol 101 km-re és Marosvásárhelytol 173 km-re fekszik, és ame-lynek gyártási kapacitása 2 autónyi babkonzerv a következo lineáris programozási feladathoz


jutunk:

Z = zk= 60x11 + 62x12 + 112x13 + 220x14

+33x21 + 68x22 + 101x23 + 184x24+160x31 + 59x32 + 57x33 + 118x34

+33x41 + 61x42 + 101x43 + 173x44 → min,

x11 + x21 + x31 + x41 = 6,x12 + x22 + x32 + x42 = 5,x13 + x23 + x33 + x43 = 4,x14 + x24 + x34 + x44 = 5,x11 + x12 + x13 + x14 = 5,x21 + x22 + x23 + x24 = 8,x31 + x32 + x33 + x34 = 5,x41 + x42 + x43 + x44 = 2,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

A WinQSB lineáris programozási eszköztárát alkalmazva, megoldásként kapjuk, hogy x12 =5, x13 = 1, x21 = 5, x23 = 3, x34 = 4, x41 = 1, x44 = 1. A többi döntési változó értéke nulla.Válaszunk a kituzött feladatra: 5 autó babkonzervet kell szállítani Kézdivásárhelyrol Csík-

szeredába, 1-et Kézdivásárhelyrol Székelyudvarhelyre, 5-öt Sepsiszentgyörgyrol Brassóba,3-at Sepsiszentgyörgyrol Székelyudvarhelyre, 4-et Gyergyószentmiklósról Marosvásárhelyre.Ebben az esetben a szállítás öszköltsége z = 1568k. Mivel a fiktív helyrol a 1 autónyi konz-ervet szállítanak Brassóba és 1-et Marosvásárhelyre, ezért a brassói és a marosvásárhelyiáruházak szükségletei 1− 1 teherautónyival hiányt szenvednek. Ez a konzervipari társaság-nak 33k + 173k = 206k büntetést jelent. Így a valós szállítási költség 1568k − 206k. =1362k.

2.1.1. A WinQSB Network Modeling eszköztárának alkalmazása a szállításifeladatok megoldására

Amint látható volt a szállítási feladatok sok döntési változót és korlátozó feltételt tar-talmaznak, de speciális felépítésüknek köszönhetoen sok számítást takaríthatunk meg, haaz úgynevezett disztribuciós módszert (más elnevezés szerint szállítási szimplex módszert)alkalmazzuk. Ezt a módszert használja WinQSB Network Modeling eszköztára.A továbbiakban a 2.1. mintapéldát ennek az eszköztárnak a felhasználásával oldjuk meg.

Amint láttuk a mintafeladatban a kínálati helyek száma (Number of Souces) 3, a felvevohe-lyeké (Number of Destinations) pedig 4.Kitöltjük a 2.1. kezdotáblát. Vigyázni kell, hogy a feladat típusánál (Problem Type) a

szállítási feladatot (Transportation Problem) kell kiválasztani és a célfüggvényt (ObjectiveCriterion) pedig minimalizálásra (Minimization) kell állítsuk, majd beírjuk kínálati helyekszámát (a mi esetünkben a 3-at) és a felvevo helyek számát (a mi esetünkben a 4-et).


2.1. ábra. WinQSB Network Modeling eszköztárának kezdotáblája

Az OK-ra kattintva megjelenik a feladat 2.2. adattáblája. Itt be kell írni, hogy honnan(Source-tároló hely) hová (Destination-felvevo hely) mekkora költséggel szállítunk, azaz a cijértékeket, majd meg kell adni az egyes tároló helyek kínálatát az si-ket (Supply) és a felvevohelyek szükségleteit a dj-ket (Demand).

2.2. ábra. A 2.1. mintapélda adattáblája.

Az sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB kiszámolja a megoldásokat és betölti a 2.3.táblázatot:

2.3. ábra. A 2.1. mintapélda eredménytáblája.

A táblázatból leolvasható, hogy az 1. tárolóhelyrol (Source 1) a 2. felvevo helyre (Destina-tion 2) x12 = 5 egységet kell szállítani, aminek az összköltsége (Total Cost) 310k. Hasonlóana többi döntési változó értéke x13 = 1, x21 = 6, x23 = 3, x24 = 1, x34 = 4. A teljes költség,azaz a célfüggvény minimális értéke (Total Objective Funcion Value) 1579. Látható, hogyezek a megoldások megegyeznek a lineáris modell megoldásaival.


2.2. Hozzárendelési feladatA lineáris programozási feladatoknak azt a speciális típusát nevezzük hozzárendelési fe-

ladatnak, amikor a forrásokat (pl. tárolóhely, gép, alkalmazott) egy az egyhez alapon kella tevékenységek (pl. felvevohely, muvelet, tevékenység ) között felosztani. Vagyis min-den egyes forrást egyetlen egy adott tevékenységhez rendelünk hozzá. Az i-edik forrásnaka j-edik tevékenységhez való hozzárendelése cij költséget jelent, a cél pedig az összköltségminimalizálása.2.2. mintapélda (Könnyuipari cég). Egy könnyuipari cégnél a nadrág elkészítésének

négy különbözo tevékenységét 4 különbözo varrógépen 4 olyan munkás végzi, akik közül min-degyik tudd dolgozni bármelyik gépen. Azért, hogy a tevékenységek elvégzésének összidotar-tamát minimalizálják, a munkásokkal egy tesztet végeztettek el. Mindenik munkás dolgozottmindegyik gépen, és végezetül kiszámították azt az átlag idot (percben kifejezve), amelyalatt az Mi-edik munkás elvégezte az Fj-edik tevékenységet. Ezeket az átlagokat mutatja akövetkezo táblázat:

F1 F2 F3 F4

M1 4 5 5 4M2 3 4 6 5

M3 6 8 8 7

M4 2 3 2 2

A feladatunk az , hogy megtaláljuk a munkások olyan elosztását, hogy a tevékenységekösszidotartama minimális legyen.Megoldás. Amodell megfogalmazásához jelöljük z-vel az összidotartamot és értelmezzük

az alábbi változókat (i, j = 1, 2, 3, 4 -re)

xij =

{1 ha az Mi munkás végzi az Fj tevékenységet,0 ha az Mi munkás nem az Fj tevékenységet végzi.

Célunk tehát az xij-k olyan megválasztása, amelyre

z = 4x11 + 5x12 + 5x13 + 4x14 + 3x21 + 4x22 + 6x23 + 5x24

+6x31 + 8x32 + 8x33 + 7x34 + 2x41 + 3x42 + 2x43 + 2x44.

Mivel, egy munkás csak egy tevékenységhez rendelheto hozzá, ezért kell teljesüljenek atevékenységekre vonatkozó:

x11 + x21 + x31 + x41 = 1,

x12 + x22 + x32 + x42 = 1,

x13 + x23 + x33 + x43 = 1,

x14 + x24 + x34 + x44 = 1,

illetve a munkásokra vonatkozó

x11 + x12 + x13 + x14 = 1,

x21 + x22 + x23 + x24 = 1,

x31 + x32 + x33 + x34 = 1,

x41 + x42 + x43 + x44 = 1


feltételek. Az elso négy feltétel azt biztosítja, hogy minden tevékenység el legyen végezve,az utolsó négy pedig azt, hogy minden munkásnak legyen tevékenysége.Összefoglalva, a feladat lineáris modellje:

z = 4x11 + 5x12 + 5x13 + 4x14 + 3x21 + 4x22 + 6x23 + 5x24+6x31 + 8x32 + 8x33 + 7x34 + 2x41 + 3x42 + 2x43 + 2x44 → min,

x11 + x21 + x31 + x41 = 1,x12 + x22 + x32 + x42 = 1,x13 + x23 + x33 + x43 = 1,x14 + x24 + x34 + x44 = 1,x11 + x12 + x13 + x14 = 1,x21 + x22 + x23 + x24 = 1,x31 + x32 + x33 + x34 = 1,x41 + x42 + x43 + x44 = 1,xij ∈ {0, 1} , i, j = 1, 2, 3, 4.

Alkalmazva a WinQSB lineáris programozási eszköztárát, megoldásként kapjuk, hogy x14 =1, x22 = 1, x31 = 1, x43 = 1. A többi döntési változó értéke nulla. Válaszunk a kituzött fela-datra: az elso munkás a negyedik tevékenységet, a második munkás a második tevékenységet,a harmadik munkás a elso tevékenységet és a negyedik munkás a harmadik tevékenységetvégzi el. Ebben az esetben a tevékenységek összidotartama z = 16 perc.

2.2.1. A WinQSB Network Modeling eszköztárának alkalmazása a hozzáren-delési feladatok megoldására

Ha eltekintünk az xij ∈ {0, 1} megszorítástól, láthatjuk, hogy a hozzárendelési feladatvalójában egy kiegyensúlyozott szállítási feladat, amelyben minden tárolóhelynek 1 a kínálataés minden felvevohelynek 1 a szükséglete. Általában a hozzárendelési feladat egy olyankiegyensúlyozott szállítási feladat, ahol minden kínálat és szükséglet 1.Egy hozzárendelési feladatot jellemezhetünk a kínálati helyeknek a felvevohelyhez való

hozzárendelési költségeivel. A hozzárendelési feladatban a (cij)i,j=1,2,...,m; mátrixot költség-mátrixnak nevezzük.A szállítási feladatokra kidolgozott disztribuciós módszer tovább egyszerusítheto a hoz-

zárendelési feladatok esetén. A leggyakrabban a König Gyula és Egerváry által kidolgozotta szakirodalomba "magyar" módszernek nevezett eljárást használják a hozzárendelési felada-tok megoldásához.Az alábbiakban a 2.2. mintapéldát a WinQSB segítségével oldjuk meg.Eloször is elindítjuk a WinQSB Network Modeling eszköztárát, majd az Új feladat (File-

New Problem) ikonra kattintunk, és megadjuk az alapadatokat (2.4. ábra). Vigyázni kell,hogy a feladat típusánál (Problem Type) a hozzárendelési feladatot (Assigmen Problem) kellkiválasztani és a célfüggvényt (Objective Criterion) pedig minimalizálásra (Minimization)kell állítsuk, majd beírjuk a kínálati helyek (Number of Objects) és felvevohelyek (Numberof Assigments) számát. Ez a mi esetünkben a 4− 4.


2.4. ábra. Hozzárendelési feladat kezdotáblája.

Az OK ikonra kattintva megjelenik a kitöltendo adattábla (2.5. ábra). Itt meg kell adni akínálati helyeknek (Assignment) a felvevohelyekhez (Assignee) való hozzárendelési költségeit,azaz a költségmátrixot.


Ha a megoldani és elemezni (Solve and Analyze) menüpontból a oldd meg a problémát(Solve the Problem) parancsot választjuk (vagy a sízo emberke ikonra kattintunk), akkor aprogram meghatározza az optimális megoldást.


Itt láthatjuk (2.6. ábra), hogy melyik munkás melyik tevékenységet kell elvégezze (1-esmunkás a 4 tevékenységet, 2-es munkás a 2-est, 3-as munkás az 1-est és 4-es munkás a 3-ast), és a minimális idot (Total Objective Function Value) z = 16 perc. Láthatjuk, hogy amegoldások megegyeznek a lineáris modell megoldásaival.


Ha a megoldani és elemezni (Solve and Analyze) menüpontból a lépésenkénti elvégzéstválasztjuk (Display Steps-Tableau), akkor a magyar módszer elso iterációs lépését látjuk. Akövetkezo iteráció (Iteration - Next Iteration) paranccsal a második iterációt kapjuk. Eztaddig kell folytatni, amíg az optimális megoldáshoz jutunk.2.3. Mintapélda. Három gyárból hat vásárlóhoz kell szállítani az árukat. A vásárlók

igényeit szerre 40, 35, 25, 20, 60 és 30 tonna. A gyárak termelési kapacitásai a következok 60,70 és 80 tonna. Az árú eloállítási költsége az egyes gyárakban 11.3, 11.0 és 10.8 euró/tonna.A tonnánkénti szállítási költséget a következo táblázat adja meg:

Szállítási költségek (t/vásárló)Vásárlók

Gyárak 1 2 3 4 5 6A 1.5 1.8 3.1 4.2 2.5 3.0B 2.2 4.6 3.5 2.4 1.8 4.0C 3.6 4.8 1.6 4.4 2.8 2.0

a. Határozzuk meg, hogy mennyi terméket kell az egyes gyárakból az egyes vásárlókhozelszállítani úgy, hogy az összköltség minimális legyen.

b. A gyakori árucikkeket nem direkt a gyárakból a vásárlókhoz kerülnek, hanem eloszörlerakatokba szállítódnak és csak onnan a megrendelohöz. Példaként vegyük az elozo fe-ladatot, ahol az árúk szállítását egy lerakaton keresztül is elvégezhetjük. Ebben az esetbentöbb információra is szükségünk van:

a lerakat tonnánkénti raktározási költsége 0.7 euró;a gyárakból a lerakathoz való szállítási költségek a következok: 0.1, 0.3 és 0.7 euró/tonna;a lerakatból a vásárlókhoz való szállítási költsége szerre 0.7, 0.9, 1.1, 0.8, 0.6 és 0.9euró/tonna.

Megoldás. Ezen feladat megoldásához a WinQSB Hálózatok modellezése (NetworkModeling) eszköztár. Hálózati folyam (Network Flow) feladat típusát kell kiválasztani. Acsomópontok száma (Number of Nodes) 11: 3 gyár (A, B és C) a lerakat (D1-lerakatbabemeno áruk és D2-lerakatból kimeno áruk) illetve a hat vásárló (1, 2, 3, 4, 5 és 6). Akezdotábla kitöltés után az OK gombra kattintva megjelenik a 2.3. mintapélda 2.7. adat-táblája, amelyet a bemeneti adatokkal kell feltölteni. Például, az A-ból a D1-be mutatóköltség a szállítási és az A-ban a gyártási költségbol tevodik össze: 0.1 + 11.3 = 11.4, a D1-bol a D2-be a raktározási költséget jelenti, ami 0.7, a D2-bol az 2-be mutató költség az 1-bevaló szállítási költséget jelenti, ami 0.9. A kínálatot (Supply) csak a gyáraknál, a keresletet(Demand) pedig csak a vásárlóknál tüntetjük fel.A sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a minimális szállítási programot

és betölti a 2.8. eredménytáblát.Látható, hogy a lerakaton 155 tonna árú szállítódott át (D1-tol D2-be). A szállítási költség

2676.5 euró. A lerakat kapacitását korlátozni is lehet, ezt az Edit menüpont Folyam korlát(Flows Bounds) almenüpontja kiválasztásával érjük el. Ha korlátozzuk a lerakat kapacitását100 tonnára, akkor a 2.9. eredménytáblát kapjuk.Látható, hogy ebben az esetben a költség nagyobb, mint az elobb. Ez 2678 euró.


2.7. ábra. A 2.3. mitapélda adattáblája.


2.9. ábra. A 2. 3. mintapélda eredménytáblája, ha a lerakat kapacitása korlátozott.

2.3. Kituzött feladatok1. A vasúttársaság (F1, F2, F3) teherautó pályaudvarban azonos típusú üres teherkocsik áll-

nak, amelyekre (R1, R2, R3, R4) pályaudvarokon van szükség, hogy áruval megrakjak oket.Az F1 pályaudvaron 3, az F2—n 18, az F3—an pedig 9 teherkocsi áll. Az R1 pályaudvaron 6,az R2—n 8, az R3—an 5, míg az R4-en 11 teherkocsira van szükség. Az egyes pályaudvarokra


való elszállítási költségeket a következo táblázat tartalmazza.

R1 R2 R3 R4

F1 2 5 8 1F2 2 2 4 4F3 8 8 1 3

Határozzuk meg a minimális szállítási programot.

2. Egy befekteto 3 alapba szeretné elhelyezi pénzét a következoképpen: maximálisan 5 mil-liót részvénybe, maximálisan 3 milliót államkötvénybe és maximálisan 2 milliót lekötöttbetétbe. Négy társaságnál fektetheti be a tokéjét. Az egyes társaságoknál maximálisan4, 3, 2 és 1 millió eurót helyezhet el. A társaságok az adott idoszakra az alapok szerintibontásban, a következo táblázat szerint adták meg várható százalékos hozamukat (A, B,C, D a társaságokat, az I, II, III az alapokat jelenti):

A B C DI 19 17 20 16II 9.4 9.8 8.9 9.2III 7.8 8 7.2 6.6

Milyen bontásban helyezze el a pénzét, ha célja a maximális hozam elérése? Az élesfeltételekre végezzünk érzékenységvizsgálatot is!

3. Két feladóhelyrol (F1 és F2) három célállomásra (R1, R2, R3) kell árut szállítani. Azegységnyi áru szállítási költsége az egyes relációkban a következo:

F1 → R1 : 2 F1 → R2 : 4 F1 → R3 : 3

F2 → R1 : 1 F2 → R2 : 5 F2 → R3 : 6.

Az elso feladóhelyrol összesen 5, a másodikról 4 egységnyi árut kell elvinni, a célállomásokigényei rendre 3; 4 illetve 2 egységnyi áru. Oldjuk meg a szállítási feladatot a WinQSBprogramcsomag segítségével!

4. A kormány elárverezi két földterület olajbérleti szerzodését. Mindkét földterületen 100.000hektár földet lehet bérelni. Hárman licitálnak az olajra. A kormány által bevezetett sz-abályok értelmében egy-egy licitáló az árverezett földnek legfeljebb 40%-át kaphatja meg.Ervin licitje: 1000 lej/hektár az 1. földterületért és 2000 lej/hektár a 2. földterületért.Barna licitje: 900 lej/hektár az 1. földterületért és 2200 lej/hektár a 2. földterületért. Péterlicitje: 1100 lej/hektár az 1. földterületért és 1900 lej/hektár a 2. földterületért. Fogal-mazzuk meg szállítási feladatként a problémát, majd számítógép segítségével határozzukmeg, hogy a kormány milyen döntést hozzon bevételének maximalizálására.

5. Egy banknak két irodája foglalkozik csekkek feldolgozásával. Az 1. helyszínen naponta10.000 csekket tudnak feldolgozni, a 2. helyszínen nem naponta 6.000 csekket dolgoznakfel. A bank háromféle csekk feldolgozását intézi: eladói, fizetési és személyi csekkekét. Afeldolgozási költség függ a helyszíntol, amit az alábbi táblázat tartalmaz:

1. helyszín 2. helyszínEladói csekk 5 lej/csekk 3 lej/csekkFizetési csekk 4 lej/csekk 4 lej/csekkSzemélyi csekk 2 lej/csekk 2 lej/csekk


Minden nap minden típusból 5.000 csekket kell feldolgozni. F Minden nap minden típusból5.000 csekket kell feldolgozni. Fogalmazzuk meg szállítási feladatként a problémát, majdszámítógép segítségével határozzuk meg, hogy a bank milyen döntést hozzon költségeinekminimalizálására.

6. Egy Csíkszeredában lévo vegyi árukat forgalmazó üzlet 5 különbözo bolttal rendelkezik. Aforgalma az idei évben nagyon fellendült, ezért úgy gondolta, hogy a kereslet folyamatosabbkielégítése érdekében az egyik bolthoz nagyobb raktárt épít. Terve szerint azonban úgyakarja a beruházást megvalósítani, hogy a boltok közötti szállítást a leheto legolcsóbbantudja megoldani. Az alábbi táblázat megadja az egyes boltok közötti szállítás költségéteuróban:

BoltokBoltok 1. 2. 3. 4. 5.1. - 10 13 5 12. 10 - 1 20 193. 13 1 - 7 54. 5 20 7 - 95. 1 19 5 9 -

Az alábbi táblázat azt mutatja meg, hogy az egyes boltoknak havonta hány teherautónyiárura van szükségük:

Boltok1. 2. 3. 4. 5.3 4 5 3 5

Melyik eladóhelyet fejlessze, ha saját központi raktárából az áruk kiszállítását minimálisköltséggel akarja megoldani.

7. Oldjuk meg az alábbi szállítási feladatot, majd határozzuk meg, hogy mennyivel növekednea minimális szállítási költség, ha kikötnénk, hogy az A körzetbol csak az A körzetbe, a Bkörzetbol csak a B körzetbe lehet szállítani.

A körzet B körzetC1 C2 C3 C4 C5 Kínálat

A körzet F1 10 12 10 11 13 300F2 9 10 10 9 12 300

B körzet F3 7 8 8 7 8 200F4 13 11 10 12 11 400

Kereslet 200 400 100 300 200

8. Csíkszereda négy újságárus elárusítóhelyeihez három elosztóból szállítanak újságot. Azegyes árusok igénye az újságokból összesen 300, 200, 400 és 250 darab, míg az elosztókbanezen igények kielégítésére 400, 300, 450 darab áll rendelkezésre. Útkarbantartási munkákmiatt le van zárva az E1 → A1 és E2 → A2 útszakasz. Hogyan osszák szét az újságokat, haa cél a szállítás legrövidebb úton történo megvalósítása, ha az elosztók és az elárusítóhelyektávolságai km-ben a következok:

ElárusítóhelyekElosztók A1 A2 A3 A4

E1 1 3 2 2E2 2 3 1 5E3 3 2 2 1


Írjuk fel a feladat lineáris programozási modelljét is és ellenorizzük, hogy megoldásokmegegyeznek-e a disztribuciós módszerrel kapott megoldásokkal.

9. Egy vállalat öt különbözo helyen végez építési munkálatokat, amelyhez négy betonkeverobázisból szerzi be a szükséges betonmennyiséget. A szállítást betonkevero kocsikkal végzik.Megvizsgálva a bázisok és az építkezések közti legrövidebb közúti távolságokat az alábbikm-ben megadott táblázatot kapták:

Építési munkálatokBázisok E1 E2 E3 E4 E5

B1 1 3 2 7 2B2 2.2 4 1.5 5 3.1B3 1.3 5.6 3 8 5.2B4 3.3 4 2.5 8.5 2.5

A vizsgálatok során azt is megállapították, hogy két olyan útszakaszok is van, ahol súlyko-rlátozás miatt betonkevero nem haladhat át, ezek: B1 → E5, B3 → E3. A betonkeverobázisok napi kapacitása 1000, 700, 1500, 800 tonna, az építkezések igényei pedig 400, 300,450, 1000 és 600 tonna. A szállítási költségek km-re sávonként változnak: 2 km-ig 10 euró,2-5 km-ig 15 euró, 5 km-tol 20 euró.Tudva, hogy egy betonkevero egyszerre csak 10 tonna betont szállíthat, hogyan szervezzemeg a vállalat a szállítási tervét, hogy költségei a leheto legkisebbek legyenek.

10. Adjuk meg a következo szállítási feladat optimális megoldását, ha a 3. célállomás nemkaphat árut az elso feladótól:

R1 R2 R3 R4F1 6 8 8 6 40F2 8 9 8 7 30F3 5 6 6 7 50

20 20 35 45

Lehet-e az optimális megoldásban x23 = 9?

11. Egy vállalathoz három fogyasztótól érkezett megrendelés egy bizonyos termékre, mind-egyiktol 30 egységre. A vállalatnak két raktára van. Az 1. raktárban 40 egység, a2. raktárban pedig 30 egység áll rendelkezésre, vagyis a teljes megrendelést nem tudjakielégíteni. Az alábbi táblázatban láthatók a raktárakból a fogyasztókhoz történo szállítá-sok egységköltségei (euróban):

HováHonnan 1. vevo 2. vevo 3. vevo1. raktár 15 35 252. raktár 10 50 40

Minden egyes kielégítetlen fogyasztói keresletegységhez bírság tartozik: az 1. vevo esetébena bírság 110 euró, a 2. vevo esetében a bírság 180 euró, a 3. vevo esetében a bírság 90euró. Oldjuk meg a feladatot számítógép segítségével.

12. Három gép (G1, G2 és G3) mindegyike háromféle termék (T1, T2, T3) bármelyikét képeseloállítani. Az egyes gépeken egy óra alatt bármelyik termékbol egy darab készítheto el. A


gépek kapacitása rendre 20, 30 és 35 gépóra/hét. Az egyes termékekbol a kereslet hetenteminimálisan 45, 30, illetve 25 darab. A kereslet teljesítésének egységnyi hiánya az 1-estermékbol 2 euró, a 2-esbol 3 euró, a 3-asból pedig 1 euró veszteséget jelent. Egy termékdarabjának gyártási költsége (euróban) az egyes gépeken az alábbi táblázatban látható:

T1 T2 T3G1 8 9 7G2 5 4 6G3 6 8 7

Mivel a keresletet nem tudja kielégíteni ezért döntenie kell, hogy az egyes termékekbolmennyit gyártson ahhoz, hogy kiadása a leheto legkisebb legyen.

13. Hargita 2020 cégnél egy csapatban 4 takarítóno dolgozik. Egy lakrész teljes kitakarításaporszívózásból, padló feltörlésbol, a fürdoszoba kitakarításából és általános rendrakásbóláll. Az alábbi táblázat megadja, hogy az egyes takarítónok e munkákat mennyi ido alattvégzik el:

Szükséges ido (percben)Takarítónok porszívózás feltörlés fürdoszoba rendrakás1. takarítóno 60 45 30 202. takarítóno 70 35 25 253. takarítóno 60 40 25 304. takarítóno 50 50 30 20

Melyik takaróno melyik munkát lássa el, hogy a lakás kitakarítása a leheto leghamarabbmegtörténjék, tudva azt, hogy egyes munkák csak egymás után végezhetok el és mind-egyik takarítóno csak egy munkát végez el? Számítógép segítségével oldjuk meg ezt ahozzárendelési feladatot.

14. A csíkszeredai rendorség éppen most kapott 4 telefonhívást. Jelenleg 5 autón teljesítnekszolgálatot a rendorök. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy egyes autók milyen távolságravannak az egyes hívásoktól:

Az útszakasz megtételéhez szükséges idoAutók 1 hely 2 hely 3 hely 4 hely1. autó 10 11 18 152. autó 6 7 7 63. autó 7 8 5 84. autó 5 6 4 35. autó 9 4 7 7

A takarékosság jegyében, a rendorség szeretné minimalizálni az össztávolságot, vagyisazoknak az utaknak az összegét, amennyit az egyes autóknak meg kell tenniük a híváshelyszínére érkezéséhez. Számítógép segítségével oldjuk meg ezt a hozzárendelési felada-tot.


15. Az alábbi táblázat 5 munka 5 gép használatának költségét adja meg.

GépMunka A B C D E1. 22 30 26 16 252. 27 29 28 20 323. 33 25 21 29 234. 24 24 30 19 265. 30 33 32 37 31

Melyik munkát melyik géphez kell hozzárendeljük ahhoz, hogy csökkentsük a költségeinket?

16. Négy hallgató vizsgázik. A tanár kiválaszt 6 tételt, amelyekbol a hallgatók véletlenszeruenkiválasztanak egyet-egyet. A hallgatók felkészültségét az egyes tantárgyakból az alábbitáblázat tartalmazza:

TételHallgató I. II. III. IV. V. VI.A 9 6 9 5 10 9B 6 7 7 4 5 4C 9 10 5 7 5 7D 8 5 7 7 5 4

A legszerencsésebb húzás esetén mennyi lesz a hallgatók osztályzatának átlaga? Legsz-erencsésebb húzásnak azt tekintjük, ha a hallgatók által elért összeredmény a leheto leg-nagyobb. Lehetséges-e, hogy minden hallgató azt a tételt húzza, amelybol a legjobbanfelkészült? A legszerencsétlenebb húzás esetén elofordulhat-e, hogy egyik hallgató sem kap4-est?

17. Öt alkalmazott áll rendelkezésünkre négy munka elvégzésére. Az alábbi táblázatban látható,hogy melyik alkalmazott melyik munkát hány óra alatt tudja elvégezni. „-„ jelöli, ha aszemély a munkát nem tudja elvégezni.

Ido (órában)Személy 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka1. 22 18 30 182. 18 - 27 223. 26 20 28 284. 16 22 - 145. 21 - 25 28

Jelöljük ki az alkalmazottakat az egyes munkákra úgy, hogy a négy munka elvégzéséhezszükséges ido minimális legyen!

18. Egy számítógép karbantartó cég négy megrendelonek dolgozik. Jelöljük ezeket C1, C2, C3és C4-el. A cégnek 4 technikusa van: T1, T2, T3 és T4. Mivel mindegyik technikus másés más szakterületen szakosodott, ezért a megrendelok által kért különbözo karbantartásitevékenységeket alábbi táblázatban feltüntetett idotartamok (munkaórában) alatt végzik


el:Megrendelok

Technikusok C1 C2 C3 C4T1 3 6 7 10T2 5 6 3 8T3 2 8 4 16T4 4 7 5 9

A cég vezetosége minimalizálni szeretné a karbantartási összidotartamot. Hozzárendelésiés lineáris programozási feladatként is keressük meg az optimális megoldásokat.

19. Egy bizonyos terméket egy vállalat a csíkszeredai és sepsiszentgyörgyi telepén gyárt, Csík-szeredában (Cs) hetente 800 egységet tudnak elkészíteni, Sepsziszentgyörgyön (S) 1200egységet. Egységnyi termék gyártási költsége mindkét telepen 100 euró. A heti megrendelésa termékre Székelyudvarhelyen (Sz) 800, Gyergyószentmiklóson (Gy) és Kézdivásárhelyen(K) 600-600 darab. A termék eloször a Tusnádon (T) és Oltszemen (O) lévo raktárakegyikébe kerül, majd onnan szállítják tovább a megrendelokhöz. Az egységnyi termék rak-tározási költsége Tusnádon 5 euró, Oltszemen 3 euró. A tusnádi raktár kapacitása 1500, azoltszemi pedig 1000. Az alábbi táblázat az egyes helységek közötti szállítás egységköltségétmutatja euróban:

HováHonnan T O Sz Gy KCs 2 3 - - -S 3 2 - - -T - - 5 6 4O - - 6 7 3

Olyan szállítási tervet akarunk készíteni, hogy a termékek összes gyártási + raktározási +szállítási költsége a leheto legkisebb legyen.Írjuk fel azt a szállítási feladatot, amelynek optimális megoldása ezen összetett szál-lítási feladat megoldását szolgáltatja. WinQSB alkalmazásával keressük meg az optimálismegoldásokat.

20. Fát kell szállítani Kászonból illetve Csernátonból Brassóba és Marosvásárhelyre. A szál-lítás Kézdivásárhelytol és Csíkszeredától vonattal is történhet. Kászon kapacitása 320 m3

hetente, Csernáton kapacitása 280 m3/het. Brassó igénye 290 m3/het, Marosvásárhelyigénye 310 m3/het. Egy m3 fa szállítási költségét az egyes viszonylatokban az alábbitáblázatok tartalmazzák (euróban kifejezve):

Rönkszállítóval Brassó Marosvásárhely Kézdivásárhely CsíkszeredaKászon 20 35 12 10Csernáton 10 30 3 -

Vonattal Brassó MarosvásárhelyKézdivásárhely 5 15Csíkszereda 6 10

Kézdivásárhelyen a raktározási kapacitás 130m3és költsége 2 euro/m3 Csíkszeredábanpedig 200 m3, illetve 1.5 euro/m3. Határozzuk meg a minimális költségu szállítási ter-vet.


21. Egy termelovállalat három különbözo telephelyén 8, 5 és 3 millió euró értéku árut ál-lítanak elo havonta. Mivel a cég telephelyei nehezen megközelíthetok, a cég az árukatnem közvetlen a megrendelokhöz, hanem a közelében lévo, egymástól azonban távolabbfekvo raktáraiba szállítja, majd onnan a megrendelokhöz. A befogadó kapacitás csupán azegyik R1 raktárában korlátozott. Ide 5 millió euró értéku áru fér be. Az egyes raktároküzemeltetési költsége rendre: 0.5, 0.7 és 0.8 millió euró/1 millió értéku áru;Az alábbi táblázat megadja a szállítási költségeket (euró/1 millió értéku áru) a háromtelephely (T1, T2, T3) a három raktár (R1, R2, R3) és az öt megrendelo (M1,M2,M3,M4,M5)között:

Telephelyek, Raktárok, megrendelokraktárok R1 R2 R3 M1 M2 M3 M4 M5

T1 1000 5000 4000T2 5000 1000 3000T3 2000 4000 3000R1 1000 2000 1000 1000 2000R2 1000 500 700 2000 800R3 500 1000 3000 1500 900

A megrendelok igényei rendre: 4, 2, 3, 5 és 4 millió euró értéku áru. A termelovállalatnakaz 1 millió eurós tétel eloállítási költsége az egyes telephelyeken rendre: 8000, 10000 és11000 euróba kerül.Határozzuk meg hogy mennyi terméket kell az egyes gyárakból az egyes vásárlókhoz el-szállítani úgy, hogy az összköltség minimális legyen.

3. fejezet

Játékelméleti feladatok

A játékelmélet a matematika egyik, interdiszciplináris jellegu ága, mely azzal a kérdés-sel foglalkozik, hogy mi a racionális (ésszeru) viselkedés olyan helyzetekben, ahol min-den résztvevo döntéseinek eredményét befolyásolja a többiek lehetséges választása, azaz ajátékelmélet a stratégiai problémák elmélete.

A játékelmélet hasznos olyan döntések meghozatalánál, amikor két vagy több többé-kevésbé ellentétes érdekeltségu döntéshozó (játékos) szerepel.

A játékelmélet nemcsak a szokásos értelemben vett játékokkal — például társasjátékokkal— foglalkozik. Létrehozói, Neumann János magyar születésu amerikai matematikus és OskarMorgenstern német születésu amerikai közgazdász eredetileg gazdasági problémák megoldá-sára alkották meg. The Theory of Games and Economic Behavior (Játékelmélet és gazdaságiviselkedés) c., 1944-ben közreadott könyvükben megállapítják, hogy a természettudományokcéljaira kifejlesztett matematika — érdekek közrejátszása nélküli muködéseket írván le — nemszolgál megfelelo modellel a közgazdaság vizsgálatához. Megfigyeléseik szerint a gazdaságmuködése inkább játékhoz hasonlít — a résztvevok valamennyien igyekeznek elore megsejtenia többiek lépéseit —, s ebbol arra a következtetésre jutottak, hogy a gazdaság vizsgálataújfajta — általuk játékelméletnek nevezett — matematikát követel.

1994-ben Harsányi János magyar származású közgazdász John Forbes Nash-sel és ReinhardSelten-nel megosztva közgazdasági Nobel díjat kapott a nem-kooperatív játékok elméletébenaz egyensúly-analízis terén végzett úttöro munkásságért.

3.1. A játékok osztályozása

A játékok többféle szempont szerint sorolhatók osztályokba. Az egyik ilyen szempont ajátékban részt vevok száma: eszerint léteznek egy-, két- és többszemélyes játékok (a játékosoknemcsak természetes személyek, hanem nemzetek, társaságok stb. is lehetnek). A játékosokáltal felhasznált információ szerint beszélhetünk teljes köru információra támaszkodó illetvenem teljes információra teljes köru információra támaszkodóalapuló játékokról. Az elobbiesetben a játékosok a teljes tudás birtokában vannak (ahogyan például a sakkban: hiszenmindkét játékos ismerheti a sakk valamennyi szabályát). Az utóbbi esetben a játékosoktudása csupán részleges (a pókerjátékban pl. a játékosok nem tudják, hogy milyen kártyákvannak az ellenfelek kezében).

65

66 3. Játékelméleti feladatok

A játékok különfélék lehetnek továbbá aszerint, hogy a játékosok érdekei azonosak vagyellentétesek-e. A nulla- összegu (pontosabban szólva: állandó összegu ) játékokban a játékosokegymásnak ellenfelei (pl. a pókerben, minthogy ott a játékosok összvagyona állandó: amit azegyik megnyer, azt a másik szükségképpen elveszti, ugyanis a játék közben nem teremtodikpénz, és nem is semmisül meg). Az ilyen játékokban a játékosok érdekei teljesen ellentétesekegymással. A nem nulla-összegu játékokban viszont a játékosok egyszerre is lehetnek nyerte-sek vagy vesztesek: a dolgozók és a vezetok közötti vitában a két félnek lehetnek ellentétesérdekei, de mindkettonek elonye fakadhat abból, ha sikerül elkerülniük a munkabeszüntetést.A nem nulla-összegu játékok lehetnek továbbá kooperatívak és nem kooperatívak. A koop-eratív játékokban a résztvevok kommunikálhatnak egymással, és elozetes megállapodásokatköthetnek. A nem kooperatív játékokban viszont nem. Valamely vállalat és az alkalmazottaiközött kooperatív játék folyik, egy árverésen egymástól függetlenül licitálók között viszontnem.S végül léteznek véges és nem véges játékok. A véges játékokban a résztvevok csak

véges számú döntést hozhatnak, és az egyes döntésekben csak végesen sok lehetoség közülválaszthatnak, a nem végesekben viszont vagy a döntések száma nem véges, vagy az egy-egydöntésben lehetséges választások száma nem az.A játékok leírásának háromféle módja van: az extenzív forma, a normál forma és a karak-

terisztikus függvényes forma. A társasjátékok legtöbbjét — minthogy lépésrol lépésre halad-nak — extenzív formában lehet leírni: azaz egy gráfelméleti értelemben vett fával. Ennekaz egyes helyzetek vagy lépések a csomópontjai, és a csomópontokat összekapcsoló élek ajátékosok választási lehetoségeit adják meg. A normál forma jobbára a kétszemélyes játékokleírására használatos: a játékot ebben egy mátrix jeleníti meg, s annak oszlopai az egyikjátékos lehetséges stratégiáinak felelnek meg, a sorai pedig a másik játékos stratégiáinak.Az egy-egy sor és oszlop találkozásának helyén álló mátrixelem azt mutatja meg, mi a játékkimenetele, ha az elso játékos a szóban forgó oszlopnak, a másik a sornak megfelelo stratégiátköveti. A normál formával való leírás elméleti szempontból fontos, és a gyakorlatban ishasználható, ha viszonylag kicsi a stratégiák száma. A karakterisztikus függvényes forma —ezt a kettonél több játékos játszotta játékok leírására szokás használni — azt mutatja meg,hogy legalább mekkora értékre tehet szert a játékosokból alakítható egy-egy koalíció a koalí-ción kívüli többi játékosból álló koalíció ellen.

3.2. Kétszemélyes nulla-összegu játékokA kétszemélyes nulla-összegu játékok jellemzoi:

Két játékos van: nevezzük oket a sor-, illetve oszlopjátékosoknak. Mindkét játékos racionális(logikusan gondolkodik) és mindkét játékos kizárólag annak alapján választja meg stratégiáit,hogy saját jólétét elomozdítsa (nincs együttérzés az ellenféllel szembe).

A sorjátékos a számára elérheto m darab stratégia közül választ pontosan egyet. Egyide-juleg, az oszlopjátékos a számára elérheto n darab stratégia közül választ pontosan egyet.A stratégia állhat egy egyszeru akcióból, mint az 3.1. mintapéldában, vagy egy elorekimondott szabály betartása mellett egy lépéssorozatból. Mielott a játék elkezdodne, min-degyik játékos ismeri a saját maga és az ellenfele rendelkezésre álló stratégiáit és a kifizetés-mátrixát. A játék tényleges lejátszása abból áll, hogy a játékosok egyidejuleg kiválasztanakegy stratégiát, anélkül, hogy ismernék az ellenfél választását.

3. Játékelméleti feladatok 67

Ha a sorjátékos az i-edik stratégiát, míg az oszlopjátékos az o j-edik stratégiáját választja,akkor a sorjátékos az aij összeget kap, míg az oszlopjátékos aij összeget veszít. Tekinthetjükúgy, hogy ha aij pozitív akkor az oszlopjátékos fizet aij összeget a sorjátékosnak, ha pedigaij negatív akkor a sorjátékos fizet az oszlopjátékosnak −aij összeget.

Egy ilyen játékot normál formában adunk meg a kifizetésmátrix segítségével. A mátrixbanszereplo aij együtthatók a sorjátékos kifizetését jelentik:

A sorjátékos Az oszlopjátékos stratégiáistratégiái 1. 2. · · · n.

1. a11 a12 · · · a1n2. a21 a22 · · · a2n...

......

. . ....

m. am1 am2 · · · amn

Attól, hogy egy kétszemélyes játék nem nulla-összegu, a két játékos érdeke még álhatteljes konfliktusban. Ezt illusztrálják a kétszemélyes konstans-összegu játékok. Ezek olyanjátékok, amelyben a játékosok tetszoleges stratégia választására a sorjátékos kifizetésénekés az oszlopjátékos kifizetésének összege egy állandó c éték. Ha c = 0, akkor nulla-összegujátékunk van. Az egyes játékosok optimális stratégiáját és a játék értékét a konstans összegujátékoknál is általában ugyanúgy lehet meghatározni, mint a nulla-összegu játékoknál.A teljes köru információra támaszkodó kétszemélyes játékokról (pl. a sakkról, a dámáról, a

japán go játékról) Ernest Zermelo 1912-ben bebizonyította, hogy elore meg vannak határozva,azaz a résztvevok a rendelkezésre álló információk maradéktalan kiaknázásával optimálisstratégiát alakíthatnak ki, az ilyen játékok kimenetele elore tudható. Ez például a sakkranézve azt jelenti, hogy ha a világos és sötét is az optimális stratégiát játssza, akkor döntetlenlesz a mérkozés végeredménye. Minthogy egy megfeleloen gyors számítógéppel (a sakk sz-erencséjére jelenleg még nincs ilyen gyors számítógép) az ilyenfajta játékok mind teljesenvégigelemezhetok, játékelméletileg szintén nem túl érdekesek.A nem teljes információra alapuló kétszemélyes, nulla-összegu játékok közül a legegysz-

erubbek azok, amelyekben van nyeregpont (vagyis a résztvevok valamelyikének van olyandöntése, amellyel maximális nyereségre tehet szert, bármit tegyen is a másik. Az elobbi,teljes köru információra alapulókban mindig van ilyen nyeregpont). Ezekben a játékok-nak mindig meghatározott a kimenetelük (ha a résztvevok játéka ésszeru), és a megfelelostratégiát követve a játékosok bármelyike legalább ennek a kimenetnek megfelelo nyereségretehet szert, akárhogyan játszik az ellenfele. Ezt az elore meghatározott nyereségminimumota játék értékének is nevezik.3.1. mintapélda (Piaci részesedés). Két kereskedelmi vállalat osztozik egy speciális

termék forgalmazásának piacán. Mindketten új piaci terveket dolgoznak ki a következo évre,hogy megkíséreljék az eladások egy részét megszerezni a másik vállalattól. A termékbol azösszeladás viszonylag állandó, tehát az egyik vállalat csak a másik rovására tudja növelnieladásait. Mindkét vállalat három lehetoségben gondolkodik: a terméket jobban csomagolja(1), növelje a hirdetéseket (2), egy kicsit csökkentse az árat (3). A három lehetoség költségeinagyjából összemérhetoek, és elég nagyok ahhoz, hogy mindkét vállalat csak egyet válass-zon közülük. Az alábbi táblázat mutatja lehetoségek becsült hatását az I. társaság piaci


részesedésének százalékos növekedésére:

III 1. 2. 3.

1. −2 5 22. 0 −1 13. 0 2 1

Megoldás. Mit tegyen az I. vállalat ebben az esetben? Ha az 1. stratégiát (1. sort)választja, akkor a II. vállalat is az 1. stratégiát fogja választani, mert ekkor neki a részesedése2%-al fog noni. Ha a II. vállalat a 2. vagy 3. stratégiát választaná, akkor ot 5%-os illetve0%-os részesedés-veszteség érné. Hasonlóan, ha az I. vállalat a 2. stratégiát (2. sort)választaná, akkor a II. vállalat is a 2. stratégiáját kell válassza, mert ekkor no a legjobbana piaci részesedése (1%-ot). Amennyiben az I. vállalat a 3. stratégiát (3. sort) választja,akkor a II. vállalatnak az 1. stratégia választása mellett lesz a piaci növekedése a legnagyobb(0%). Tehát, az I. vállalatnak azt a stratégiát kell választania, amelyik esetén a nyeresége alegnagyobb, azaz amelynél a sorok minimuma a legnagyobb. Ily módon biztosítania tudja,hogy nyeresége legalább max {−2,−1, 0} = 0 legyen.A helyzet a II. vállalat szempontjából éppen fordított. Amikor o egy stratégiát (oszlopot)

választ, arra kell számítson, hogy az I. vállalat az oszlopban szereplo legnagyobb értékettartalmazó sort fogja választani, így okozva a legnagyobb hasznot a saját maga számára.Esetünkben, ha a II. az elso oszlopot választja, akkor az I. a második vagy a harmadik sortfogja választani, így a II. vesztesége 0%. Hasonlóan, ha a II. a második oszlopot választja,akkor az I. az elsot sort fogja választani. Ekkor a II. vesztesége 5%. Amennyiben a II. aharmadik oszlopot választja, az I. az elso sort fogja választani. Így a II. vesztesége 2% lesz.Tehát a II. vállalat legjobb választása az 1. stratégia, mert ekkor biztosítani tudja, hogy avesztesége ne legyen több mint min {0, 5, 2} = 0.Megmutattuk, hogy az I. vállalat el tudja érni, hogy nyeresége legalább 0 legyen, a II.

vállalat pedig azt, hogy az I. vállalat nyeresége ne legyen több mint 0. Az I. vállalat számáraegyetlen ésszeru stratégia, hogy egy kicsit csökkentse az árat (3), a II. számára pedig, hogya terméket jobban csomagolja (1).E játék kifizetésmátrixára teljesül a nyeregpont feltétele:

maxi=1,2,...,m

{min

j=1,2,...,n{aij}

}= min

j=1,2,...,n

{max

i=1,2,...,m{aij}

}. (3.1)

Azt mondjuk, hogy egy kétszemélyes nulla-összegu játékban nyeregpont van, ha a kifizetés-mátrixra teljesül az (3.1) összefüggés. Ha egy játékban van nyeregpont, akkor a (3.1)feltételben szereplo két kifejezés közös értékét a játék értékének nevezzük a továbbiakbanv-vel jelöljük. A nyeregpont egyfajta egyensúlypont is abban az értelemben, hogy semelyikjátékos nem húzhat hasznot abból, ha egyoldalúan stratégiát változtat.Esetünkben

maxi=1,2,3

{min

j=1,2,.3{aij}

}= max {−2,−1, 0}

= minj=1,2,3

{maxi=1,2,3

{aij}

}= min {0, 5, 2} = 0

ez teljesül és a játék értéke v = 0. Példánkban, ha az I. vállalat eltér a harmadik stratégiátólés mondjuk az elso stratégiát választja, de a II. vállalat nem tér el az optimális stratégiájától,


akkor az I. vállalatot 2% veszteség éri. Egy nyeregpont tehát stabil abban az értelemben,hogy onnan egyik játékos sem kíván egyoldalúan elmozdulni.A nyeregpont keresésének rendszeres módszere a maximin és a minimax értékek keresése.

A vizsgált példában ez így történik:

1.∗ 2. 3. Sorminimum1. −2 5 2 −22. 0 −1 1 −13.∗ 0 2 1 0∗

Oszlop- max {−2,−1, 0} = 0maximum 0∗ 5 2 min {0, 5, 2} = 0

Ha az oszlopmaximumok legkisebb értéke azonos a sorminimumok legnagyobb értékével,akkor van nyeregpont. Ez a közös érték a játák értéke a v. Az optimális stratégiák az I.és II. játékosoknak a játék értékének megfelelo sorok illetve oszlopok választása. Ezeket atáblázatban ∗-al jelöltük.Számos kétszemélyes nulla-összegu játéknak nincsen nyeregpontja. Ilyen például a követ-

kezo játék.3.2. mintapélda (Egyforma vagy különbözo játék). Ez a játék abból áll, hogy

mindkét játékos egyszerre felmutatja egy vagy két ujját. Ha az ujjak száma megegyezik,akkor a I. játékos (legyen ez a sorjátékos) elnyer a II. játékostól (ez az oszlopjátékos) 1eurót. Ha számok nem egyeznek meg, akkor az I. játékos fizet a II. játékosnak 1 eurót.Megoldás. Mindkét játékosnak két stratégiája van: egy ujjat mutat (1), vagy két ujjat

(2) mutat. A játék kifizetési mátrixa:

III 1. 2.

1. 1 −12. −1 1

Ebben az esetben1.∗ 2. Sorminimum

1. 1 −1 −12. −1 1 −1

Oszlop- max {−1,−1} = −1maximum 1 1 min {1, 1} = 1

Ha valamely kétszemélyes, nulla-összegu játékban nincs nyeregpont, akkor az elmélet nemszolgál semmilyen sajátos stratégiával. Ehelyett azt mondja, hogy a kimenetek valószí-nuségének eloszlásával összhangban lévo stratégiát kell választani (az ilyen stratégiát kev-ert stratégiának mondják). Neumann János 1928-ban bebizonyította, hogy minden véges,kétszemélyes, nulla-összegu játéknak létezik kevert stratégiával elérheto megoldása. Eztminimax-tételnek nevezik.Most megengedjük, hogy mindkét játékos csak az egyes stratégiák kiválasztásának való-

színuségét döntse el., és a véletlenre bízza a tényleges követett stratégia kiválasztását. Es-etünkben jelöljük:

x1-gyel annak valószínuségét, hogy az I. játékos egy ujjat mutat fel;

x2-vel annak valószínuségét, hogy az I. játékos két ujjat mutat fel;


y1-gyel annak valószínuségét, hogy az II. játékos egy ujjat mutat fel;

y2-vel annak valószínuségét, hogy az II. játékos két ujjat mutat fel;

Ha x1, x2 ≥ 0 és x1 + x2 = 1, akkor (x1, x2) egy kevert (véletlenszeru) stratégia a sor-játékosnak. Hasonlóan, ha y1, y2 ≥ 0 és y1 + y2 = 1, akkor (y1, y2) egy kevert (véletlenszeru)stratégia az oszlopjátékosnak.Általában, a sorjátékos számára az (x1, x2, ..., xm) kevert stratégia, ha x1, x2, ..., xm ≥ 0

és x1 + x2 + ... + xm = 1. Egy (x1, x2, ..., xm) kevert stratégia a sorjátékos számára tisztastratégia lesz, ha valamelyik xi = 1. Hasonlóan, az oszlopjátékos számára az (y1, y2, ..., yn)kevert stratégia, ha y1, y2, ..., yn ≥ 0 és y1+y2+...+yn = 1. Egy (y1, y2, ..., yn) kevert stratégiaaz oszlopjátékos számára tiszta stratégia lesz, ha valamelyik yj = 1.Mivel kevert stratégiák esetén a teljesítmény mérésére teljesen kielégíto méroszám nem áll

rendelkezésre, nagyon hasznos a várható kifizetés:

V (x, y) =m∑

i=1

n∑

j=1

aijxiyj.

EsetünkbenV (x, y) = x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2.

A minimax-kritérium azokra a játékokra is kiterjesztheto, amelyeknek nincs nyeregpon-tja. Ebben az esetben a minimax-kritérium azt mondja ki, hogy a sorjátékosnak olyankevert stratégiát kell választania, amely maximalizálja a várható kifizetés minimumát, az os-zlopjátékosnak pedig azt, amely minimalizálja a várható veszteség maximumát saját magaszámára. A várható kifizetés minimumán a leheto legkisebb várható kifizetést értjük, azaz,ha a sorjátékos az x = (x1, x2, ..., xm) kevert stratégiát választja, akkor

v (x) = min

{m∑

i=1

n∑

j=1

aijxiyj / y1, y2, ..., yn ≥ 0 és y1 + y2 + ...+ yn = 1

}

A várható veszteség maximumán a leheto legnagyobb várható kifizetést értjük, azaz ha azoszlopjátékos az y = (y1, y2, ..., yn) kevert stratégiát választja, akkor

v (y) = max

{m∑

i=1

n∑

j=1

aijxiyj / x1, x2, ..., xm ≥ 0 és x1 + x2 + ...+ xm = 1

}

A v (x) a játék alsó értéke és v (y) a játék felso értéke. Amikor tiszta stratégiákat választunk,akkor a nyeregpont nélküli játékok instabilisak, mindkét játékos arra törekszik, hogy javítsona helyzetén. A tanulmányozott példában v = −1 és v = +1. Mindkét játékos azért akarkever stratégiával játszani, mert ezzel javíthat a helyzetén: a sorjátékos megfelelo x kevertstratégia esetén v (x) > v több jövedelemre tehet szert, az oszlopjátékos pedig megfelelo ykevert stratégiával v (y) < v kevesebb veszteség éri. De bárhogyan választják stratégiájukatv (x) ≤ v (y) összefüggés érvénybe marad. Neumann minimax tétele kimondja, hogy:Minimax tétel. Létezik olyan x∗ kevert stratégiája a sorjátékosnak és olyan y∗ kevert

stratégiája az oszlopjátékosnak, amelyre

v ≤ v (x∗) = v (y∗) ≤ v.


Ezt a közös v = v (x∗) = v (y∗) a játék értékének nevezzük. Így, ha a játékosok az x∗ =(x∗1, x

∗2, ..., x

∗m) illetve az y∗ = (y∗1, y

∗2, ..., y

∗n) optimális kevert stratégiákat választják, akkor

a várható kifizetés v, és egyik játékos sem tud jobban teljesíteni azáltal, hogy egyoldalúanmegváltoztatja stratégiáját.Az optimális stratégiákat meghatározhatjuk, ha felírjuk a játék lineáris programozási mod-

elljét. Tegyük fel, hogy a sorjátékos az x = (x1, x2, ..., xm) kevert stratégiát választja. Iga-zolni lehet, hogy várható kifizetése ekkor

v (x) = min

{m∑

i=1

aijxi / j = 1, ..., n

}

= v,

azaz

v ≤m∑

i=1

aijxi, bármely j = 1, ..., n. (3.2)

A sorjátékos célja a v (x) maximalizálása, vagyis

z = v → max,a11x1 + a21x2 + ...+ am1xm − v ≥ 0,a12x1 + a22x2 + ...+ am2xm − v ≥ 0,

...a1nx1 + a2nx2 + ...+ amnxm − v ≥ 0,

x1 + x2 + ...+ xm = 1,x1, x2, ..., xm ≥ 0

(3.3)

lineáris programozási feladat optimális megoldásai adják a sorjátékos optimális kevert stra-tégiáját. A Minimax tétel alapján, ennek az LP feladatnak mindig van megoldása.Teljesen hasonló meggondolások alapján az oszlopjátékos optimális kevert stratégiáját

megkapjuk, ha megoldjuk a

w = u→ min,a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn − u ≤ 0,a21y1 + a22y2 + ...+ a2nyn − u ≤ 0,

...am1y1 + am2y2 + ...+ amnyn − u ≤ 0,

y1 + y2 + ...+ yn = 1,y1, y2, ..., yn ≥ 0

(3.4)

LP feladatot.Könnyu kimutatni, hogy sor- illetve oszlopjátékos LP-jei egymás duálisai. Ezért elég, ha

megoldjuk a sorjátékos LP-jét. Ebben az esetben a megoldások a sorjátékos optimális kevertstratégiáját az árnyékárak pedig az oszlopjátékos optimális kevert stratégiáját adják meg.Ha alkalmazzuk a dualitás eros tételét a játékosok LP modelljeire visszakapjuk a Minimaxtételt.A 3.2. mintapélda esetén az optimális kevert stratégiák meghatározásához a következokép-

pen járunk el:Elso lépésként kibovítjük a kifizetési táblázatot a kevert stratégiák sorával illetve oszlopá-

val, valamint a játék értékeit jelento v és u értékekkel.


y1 y2x1 1 −1 u

x2 −1 1 u

v v

Majd sort sorral és oszlopot oszloppal szorozva felírjuk a két játékos LP-jét:

z = v → max,x1 − x2 − v ≥ 0,−x1 + x2 − v ≥ 0,x1 + x2 = 1,x1, x2 ≥ 0

Sorj.

w = u→ min,y1 − y2 − u ≤ 0,−y1 + y2 − u ≤ 0,y1 + y2 = 1,x1, x2 ≥ 0

Oszlopj.

A WinQSB lineáris programozási eszköztárát használva kapjuk, hogy (x1, x2) = (0.5, 0.5).Az árnyékárak (y1, y2) = (0.5, 0.5) . A játék értéke v = u = 0.A sorjátékos i-edik stratégiája dominálja a sorjátékos k-adik stratégiáját, ha az i-edik

sor elemei nagyobbak vagy egyenlok a k-adik sor megfelelo elemeinél. Ebben az esetbena dominált k-adik sor figyelmen kívül hagyható és kihúzható a játék kifizetomátrixából.Teljesen hasonlóan, az oszlopjátékos j-edik stratégiája dominálja az oszlopjátékos l-edikstratégiáját, ha a j-edik oszlop elemei kisebbek vagy egyenlok az l-edik oszlop megfelelo ele-meinél. Ebben az esetben is a dominált l-edik oszlop figyelmen kívül hagyható és kihúzhatóa játék kifizetomátrixából.3.3. mintapélda. Keressük meg az alábbi játék domináns stratégiáit és egyszerusítsük

le a kifizetomátrixot:

III 1. 2. 3.

1. 1 0 1.52. 0 1 23. 1 −1 24. 1 1 1

Megoldás. Elore összehasonlítsuk párosával a sorokat. Látható, hogy nincs olyan soramelyiknek az elemei kisebbek vagy egyenlok lennének valamely másik sor elemeinél. Foly-tassuk az oszlopok összehasonlításával. Észreveheto, hogy a 3. oszlop elemei nagyobbakvagy egyenlok a második oszlop elemeivel (1.5 ≥ 0, 2 ≥ 1, 2 ≥ −1, 1 ≥ 1). Tehát, a II.játékosnak nem érdeke választani a 3. stratégiát, mert az I. játékos bármilyen stratégiaiválasztása mellett ot nagyobb veszteség éri mintha a 2. stratégiát választotta volna. Ezérta 3. oszlop kihúzható a kifizetomátrixból:


III 1. 2.

1. 1 02. 0 13. 1 −14. 1 1

Most megint összehasonlítjuk a sorokat. Észreveheto, hogy a 3. sor elemei kisebbek vagyegyenlok mint a 4. sor megfelelo elemei (1 ≤ 1, −1 ≤ 1). Ezért az I. játékosnak nem érdekea 3 stratégiát választani, mert a II. játékos bármely választása esetén az o nyeresége kisebblesz mintha a 4. stratégiát választaná. Ezért a 3. sor kihúzható a táblázatból:

III 1. 2.

1. 1 02. 0 14. 1 1

Ugyancsak észreveheto, hogy az 1. sor elemei kisebb vagy egyenlok mint a 3 sor elemei(1 ≤ 1, 0 ≤ 1), ezért ez a sor is kihúzható a táblázatból:

III 1. 2.

2. 0 14. 1 1

Most már látható, hogy az elso sor elemei is kisebbek vagy egyenlok mint a második sorelemei, ezért az elso sor is kihúzható a táblázatból:

III 1. 2.

4. 1 1

Így most már az 1. és második oszlop elemei egyenloek, ezért az egyik oszlop kihúzható:

III 1.

4. 1

Következésképpen, mint az I. játékosnak, mint a II. játékosnak csak egy nem domináltstratégiája maradt. Ezek lesznek az optimális stratégiák is. A játék értéke pedig v = 1.


3.2.1. Kétszemélyes nulla-összegu játékok megoldása a WinQSB segítségével

3.4. mintapélda (Vadász-nyúl). Egy nyúl öt fedezék (1, 2, 3, 4 vagy 5) egyikébebújhat. Egy vadásznak egyetlen lövedéke van, amivel az A, B, C vagy D célpontok egyikérelohet. A lövés megöli a nyulat, ha a meglott célponttal szomszédos fedezékben van. Tegyükfel, hogy a vadász jutalma 1, ha megöli a nyulat, és 0, ha nem.

1_A_ 2_ B_ 3_ C_ 4_ D_ 5

a. Adjuk meg a kifizetésmátrixot.

b. Szurjük ki az összes dominált stratégiát.

c. Írjuk fel mindkét játékos LP-jét és határozzuk meg az optimális stratégiát a vadász és anyúl számára.

d. Tegyük fel, hogy a nyúl a következo nem optimális stratégiát követi: 12valószínuséggel

bújik az 1-es, 14valószínuséggel bújik a 3-as, és 1

4valószínuséggel az 5-ös fedezékbe. Milyen

stratégiával tudja ekkor a vadász a játék értéke fölé emelni a várható kifizetését?

Megoldás.a. Amint a feladat leírásából is kitunik a nyúlnak mint oszlopjátékosnak 5 stratégiai

választása van: 1, 2, 3, 4, vagy az 5. fedezékbe bújik meg, a vadásznak, mint sorjátékosnakpedig 4 választási lehetosége van: A, B, C, vagy a D célpontba lohet. Elemezve a lehetségeshelyzeteket a következo kifizetésmátrixot kapjuk:

NyúlVadász 1. 2. 3. 4. 5

A. 1 1 0 0 0B. 0 1 1 0 0C. 0 0 1 1 0D. 0 0 0 1 1

b. Eloször is elemezzük, hogy van-e a játéknak nyeregpontja. Ennek érdekében meghatá-rozzuk a sorminimumok maximumát a v-t és az oszlopmaximumok minimumát a v-t:

1. 2. 3. 4. 5. min

A. 1 1 0 0 0 0B. 0 1 1 0 0 0C. 0 0 1 1 0 0D. 0 0 0 1 1 0

max 1 1 1 1 1 v = 1\v = 0

Mivel v �= v a játéknak nincs nyeregpontja és nincs tiszta stratégiája.Kevert stratégiákat és a dominanciák vizsgálatához a WinQSB programcsomag Döntése-

lemzés (Decision Analysis) eszköztárát használjuk. Ennek érdekében a kezdo táblázatban anulla-összegu játékot (Two-player, Zero-sum Game) választjuk, majd megadjuk a sorjátékos(Number of Strategies for Player 1.) és az oszlopjátékos (Number of Strategies for Player2.) lehetséges stratégiáinak számát, a mi esetünkben ez 4 illetve 5 (lásd az 3.1. ábrát.)Miután az OK gombra kattintunk megjelenik az adattábla, amit a kifizetésmátrix együt-

thatóival töltünk ki (lásd a 3.2. ábrát).


3.1. ábra. Nulla összegu játékok kezdotáblája



Az sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a kevert stratégiákat és adominanciákat és betölti az 3.3. eredménytáblát.


Az 3.3. táblából kiolvasható, hogy a sorjátékos (vadász) 3-as stratégiáját (C.) domináljaa 2-es (B.). Az oszlopjátékos (nyúl) 2-es stratégiáját dominálja az 1-es és 4-es stratégiájátaz 5-ös. Ezért a vadásznak semmilyen körülmények között nem érdemes választania a Cstratégiát és a nyúlnak a 2-est és a 4-est. A játék optimális kevert stratégiája a vadászszámára az x = (0.33, 0.33, 0, 0.33) a nyúl számára pedig az y = (0.33, 0, 0.33, 0, 0.33) . Ajáték értéke v = 0.33.c. Visszakapjuk b. pontban kapott optimális kevert stratégiákat, ha megoldjuk a vadász

sorjátékoshoz rendelt (3.3) LP feladatot. Ebben a játékban ez így írható:

z = v → max,x1 − v ≥ 0,

x1 + x2 − v ≥ 0,x2 + x3 − v ≥ 0,x3 + x4 − v ≥ 0,x4 − v ≥ 0,

x1 + x2 + x3 + x4 = 1,x1, x2, x3, x4 ≥ 0

(3.5)

A (3.5) megoldására WinQSB lineáris programozási eszköztárát (Linear and Integer pro-gramming) használjuk. Az ismeretlenek száma 5 a feltételek száma pedig 6. Az adattáblakitöltésekor érdemes újranevezni a változókat az Edit menüpont változók elnevezései (Vari-able names) ablakában. Itt az x5 változót v-re cseréljük. Az adattáblában (3.4. ábra) vváltozónak az alsó korlátját (Lower Bound) mínusz végtelenre (−M) állítjuk.

3.4. ábra. A 3.4. mintapélda LP modelljének adattáblája.

Az eredménytáblából kiolvasható a vadász optimális kevert stratégiája:x = (0.33, 0.33, 0, 0.33) . Az árnyékárak (Shadow Price) pedig megadják a nyúl optimáliskevert stratégiáját y = (0.33, 0, 0.33, 0, 0.33) .d. Ebben az esetben a nyúl stratégiája y = (0.5, 0, 0.25, 0, 0.25) . A minimax-kritérium

alapján az a célunk, hogy meghatározzuk azt az x stratégiáját a vadásznak, amelyre a

v (y) = max

{4∑

i=1

5∑

j=1

aijxiyj / x1, x2, ..., xm ≥ 0 és x1 + x2 + ...+ xm = 1

}

a kifejezés eléri a maximumát. Ez azt jelenti, hogy meg kell oldanunk a

x1y1 + x1y2 + x2y2 + x2y3 + x3y3 + x3y4 + x4y4 + x4y5 → maxx1 + x2 + x3 + x4 = 1,x1, x2, x3, x4 ≥ 0,


azaz

0.5x1 + 0.25x2 + 0.25x3 + 0.25x4 → maxx1 + x2 + x3 + x4 = 1,x1, x2, x3, x4 ≥ 0,

lineáris programozási feladatot. A WinQSB lineáris programozási eszköztárát használvakapjuk, hogy x = (1, 0, 0, 0) és v (y) = 0.5. Tehát a vadásznak ebbe az esetben az A célpontbakell lojön ahhoz, hogy legnagyobb eséllyel (v = 0.5 valószínuségel) kiloje a nyulat.

3.3. Kétszemélyes, nem konstans-összegu játékokAz üzleti döntési helyzeteket modellezo legtöbb játék nem konstans-összegu, hiszen megle-

hetosen ritka, hogy az üzleti versenytársak között teljes az érdekellentét.

3.3.1. Kétválasztásos szimmetrikus játékok

A legegyszerubb játék az amikor két játékos játszik úgy, hogy mindkettojüknek csak két-két választási lehetosége van. A játék kifizeto mátrixa ebben az esetben az alábbi alakbaírható:

III 1. stratégia 2. stratégia

1. stratégia (a1, b1) (a2, b2)2. stratégia (a3, b3) (a4, b4)

Célunk, hogy a játékosok döntéslehetoségeit elemezzük és megtaláljuk a lehetséges legjobbmegoldást. Mivel mindkét játékos kétféleképpen dönthet, négy lehetséges kimenetele van ajátékoknak, ezek mindegyike pedig a két játékos számára eltéro értéku. A stratégia szem-pontjából az (ai, bi) számpárokban eloforduló számok egymáshoz viszonyított nagyságrendjeszámít. Ez tehát azt jelenti, hogy át kell tekinteni az összes olyan táblázatot, amelyben az1, 2, 3, 4 számok különféle kombinációkban helyezkednek el az egyik, illetve a másik játékosszámára leosztva. A 78, egymástól lényegesen különbözo táblázat vizsgálatából kiderült,hogy közülük 12-ben a két játékosok szimmetrikus helyzetben vannak. Ezek közül pedignégy tekintheto csapdahelyzetnek. Nem csapda típusú játékra példa:

III 1. stratégia 2. stratégia

1. stratégia (4, 4) (3, 2)2. stratégia (2, 3) (1, 1)

Ebben a játékban nyilvánvaló, hogy mindkét játékosnak csakis az 1. stratégiát érdemesválasztania, a másikkal mindenképpen rosszabbul jár. Ezzel automatikusan, konfliktus-mentesen el is érik a közös optimumot, csapdáról szó sincs.A kétszemélyes, kétválasztásos, szimmetrikus játékoknak négy csapdatípusa a Fogoly-

dilemma, Nemek harca, Vezérürü és a Gyáva nyúl fantázianevu játékok. A játszmák nevüketazokról a (ma már klasszikusnak számító) példákról kapták, amelyeken keresztül a legtalálób-ban lehet oket bemutatni.


Azoknak a kétszemélyes játszmáknak, ahol a játékosoknak már fejenként három választásilehetoségük van, sokkal több, közel kétmilliárd változata van. Ezek csapdahelyzeteit senkinem térképezte még fel, mivel nagyon valószínu, hogy megegyeznek a négy alapjátékéval.Az alapveto csapdamechanizmusokat ez a négy játék megmutatja — a tényleges, életbelikonfliktusok általában e négy alaptípus bonyolult, kusza kombinációiból épülnek fel.3.5. mintapélda (Fogolydilemma). Egy bankrablás kapcsán két gyanúsítottat letartóz-

tat a rendorség. Elítélésükhöz azonban nincs közvetlen bizonyíték, szükség van legalább azegyikük beismero vallomására. A vizsgálóbíró nagyon szeretné végre lezárni az ügyet, ezértkülön-külön magához hívatja oket és mindkettonek a következo ajánlatot teszi: Ha bevalloda bankrablást, és ezzel segítesz tisztázni az ügyet, akkor téged szabadon bocsátlak. Ebbenaz esetben a társadra 10 év börtönbüntetést szabok ki. Ez az ajánlat azonban csak akkorérvényes, ha társad nem vall, és így nem segít nekünk az ügy tisztázásában. De ha o is vall,akkor nem sokat ér a vallomásod és mind a ketten öt-öt évet kaptok. Ha egyikotök semvall, akkor a bankrablást megússzátok, de mindkettotöket lecsukunk egy-egy évre, apróbbszabálytalanságokért.Az alábbi táblázattal foglalható össze a játék:

II. fogolyI. fogoly tagad valltagad (−1,−1) (−10, 0)vall (0,−10) (−5,−5)

A táblázat celláiban az elso szám az egyik gyanúsított hasznát mutatja, a második számpedig a másikét. A letöltendo börtönévek mennyisége negatív haszonnak tekintheto, teháta lehetséges legjobb eredmény a nulla.A zéró összegu játékokra kidolgozott úgynevezett minimax stratégia szerint be kell vallani

a tettet, mert így van esélye a legkisebb kárra, függetlenül a társ döntésétol. Egyikük ezekszerint logikusan így gondolkodhat: Ha a társam vall, és én is vallok, akkor öt évet kapok,ha nem vallok, tízet. Ha tehát o vall, jobb nekem is vallani. Ha a társam nem vall, ésén vallok, holnaptól szabad vagyok, de ha nem vallok, 1 évi fogságra ítélnek. Tehát ebbenaz esetben is jobb vallani. A logika parancsa szerint tehát vallani fog, és mivel a társa isugyanilyen logikusan gondolkozik, o is erre az eredményre jut. Mindketten kapnak öt-ötévet, holott ha egyikük sem vallott volna, egy-egy évvel megúszhatták volna. A játékelméletezt úgy fogalmazza meg, hogy az ilyen játszmában domináns stratégiája van a játékosnak,azaz olyan stratégiája, amely a másik lépésétol függetlenül minden más döntésnél jobb.A szakirodalom sokféle helyzetet, egy és többmenetes vagy akár több személyes fogoly-

dilemmát elemez.Ezek közül az egyik legismertebb az árképzéssel kapcsolatos:3.6. mintapélda (Árképzés). Két zöldséges van egymás közelében. Mindketto tulaj-

donosának havonta dönteni kell az árakról úgy, hogy nem ismeri konkurenciájának tarifáit.Az új árakat egyszerre kel kiírniuk, minden hónap elso munkanapjának reggelén. Ha azegyikük csökkenti az árakat azért, hogy vásárlókat hódítson el a másik üzlettol és így meg-növelje nyereségét, azt kockáztatja, hogy a másik is ekképpen gondolkodik, és így mindkettenveszítenek. Ha azonban nem lesz olcsóbb, és riválisa mérsékli árait, újfent rosszul jár, akártönkre is mehet.


Ez a helyzet is ábrázolható táblázatos formában:

II. zöldségesI. zöldséges árat csökkent nem csökkent áratárat csökkent (0, 0) (4,−3)nem csökkent árat (−3, 4) (1, 1)

A veszteségtol való félelem és a nyereségképzés vágya egyaránt amellett szólnak, hogycsökkentse árait, de ha ezt teszi, a logikus gondolatmenet egyezosége miatt vetélytársa is olc-sóbb lesz és így mindketten elvesztik összes nyereségüket. Ez egy sokmenetes fogolydilemma,hiszen a következo hónapban ismét találkoznak ezzel a döntési helyzettel, hacsaknem az, akiegyoldalúan kooperált, közben tönkre nem megy.3.7. mintapélda (Nemek harca). Egy fiatal pár reggel összeveszik az esti programon.

A fiú meccsre, a lány koncertre menne inkább. Mindketten sokáig dolgoznak és csak 7-kor találkoznak újra, ekkor van módjuk ismét megtárgyalni az esti kikapcsolódást. Ahhoz,hogy ez játékelméleti probléma legyen, pontos preferenciával kell rendelkezniük: mindkettenelsosorban együtt szeretnék tölteni az estét, és csak másodsorban az általuk preferált helyen.Mindkettojük számára a legrosszabb lehetoség az, hogy külön töltik az estét, méghozzá úgy,hogy a lány nézi a meccset és a fiú megy el a koncertre. Ez számukra 1 pontot ér. 1 ponttaljobb a helyzet, ha külön mennek el ugyan, de mind a ketten az általuk választott programra(2-2 pont). A lány számára a legjobb helyzet az, ha mindketten koncertre mennek, ez 4pontot jelent, és kicsivel rosszabb, ha mindketten meccsre mennek (3 pont).

FiúLány mecsre megy koncertre megymecsre megy (3, 4) (1, 1)

koncertre megy (2, 2) (4, 3)

Mindkettojüknek van egy önzo és egy önzetlen lehetosége: A fiú önzo lehetosége az, hogymeccsre megy, önzetlen lehetosége, hogy koncertre. A lánynál ugyanez a helyzet, csakfordítva. Ha mindketten önzetlenek egymással, akkor a leheto legrosszabb helyzet alakulki, azaz a lány meccsre, a fiú koncertre megy (1+1 pont). Ha mindketten önzo stratégiátfolytatnak, külön-külön mennek el hazulról választott programjukra. De ez még mindig nema legjobb helyzet egyikük számára sem (2+2 pont).A játékelmélet szerint fel kell dobni valamiféle kockát. A kérdés az, hogy hány oldalú

legyen ez a kocka, azaz ki milyen valószínuséggel menjen kedvenc programjára. Várhatóanakkor lesz az együttes nyereségük a legnagyobb, ha a fiú 5/8 valószínuséggel megy a meccsreés 3/8-al koncertre, a lány 5/8 valószínuséggel a koncertre és 3/8-al a meccsre. Ekkor ugyanisvárhatóan 5 1/8 pontot fognak elérni, ami az elobbi két stratégiánál jobb, mégis kevesebb,mint a táblázatból is jól látható maximális 7 pont.3.8. mintapélda (Vezérürü). Két nagyon illedelmes ember tessékeli egymást elore az

ajtón. Ez a helyzet nagyon hasonlít a Nemek harcára, a különbség az, hogy a kölcsönöskooperáció (önzetlenség) itt nem a legrosszabb eredményre vezet és a kölcsönös versengésmég rosszabb. A versengés az a stratégia, hogy ragaszkodunk ahhoz, hogy a másik menjenki eloször, a kooperálás pedig az, hogy a másik megvetését vállalva elsoként megyünk ki. Alegrosszabb helyzet a kölcsönös versengés, mert akkor egyikük sem jut át az ajtón és éhenhalnak. Ennél jobb a kooperáció, mert akkor mindketten egyszerre átpréselik magukat azajtón. A legnagyobb közös nyereség akkor alakul ki, ha az egyikük kooperál, másikuk verseng,


mivel akkor mindketten átjutnak az ajtón, csak a versengo játékos plusz nyereségként mégmeg is vetheti "illetlen" társát, aki pedig kooperált.A felsorolt játékok mindegyikében volt egy egyensúlyi helyzet. Ezt a szakirodalomban

Nash-féle egyensúlynak nevezik. Hasonlóan a nulla-összegu játékokhoz a játékosok valamelystratégia választása egyensúlypont, ha semelyik játékos nem profitálhat abból, hogy egy-oldalúan megváltoztatja a stratégiát.A konstans-összegu játékokhoz hasonlóan, egy nem konstans-összegu játékban sincs feltét-

lenül egyensúlypont a tiszta stratégiák között. Be lehet bizonyítani, hogy ha kevert stratégiákis válaszhatók, akkor bármely kétszemélyes nem konstans-összegu játékban van a játékosok-nak egyensúlyi stratégiája azaz, ha az egyik játékos az egyensúlyi stratégiát követi, a másikjátékos nem húzhat hasznot abból, ha eltér az egyensúlyi stratégiától.

3.4. Az n-személyes játékokSzámos versenyhelyzetben több mint két szereplo van. Az ilyen játékokat a karakteriszti-

kus függvény segítségével tanulmányozzuk.Az n-személyes játékok esetén jelöljük N = {1, 2, 3, ..., n} a játékosok halmazát. A

játékosok egy S ⊆ N halmazát koalíciónak hívjuk, speciálisan, az N a nagykoalíció, az ∅pedig az üres koalíció. Hacsak külön nem kötjük ki, mindig megengedjük, hogy a játékosokbármelyik társulása létrejöjjön. Az S részhalmazhoz a játék v karakterisztikus függvényehozzárendeli azt a v (S) összeget, amít az S tagjai biztosan megkapnak, ha együttmuködnekés egy koalíciót alkotnak. A v (S) számérték tehát azt a kifizetés-összeget adja meg, amit azS koalíció tagjai együtt elérhetnek az S-en kívüli játékosok segítsége nélkül.Egy n-személyes játéknak két összetevoje van:

a játékosok halmaza: N = {1, 2, 3, ..., n};

a játék karakterisztikus (koalíciós) függvénye: v : ℘ (N)→ R, amire kikötjük, hogy v (∅) =0, ahol ℘ (N) az N részhalmazainak halmaza.

3.9. mintapélda (Termelési cserepiac). Az N = {1, ..., n}-beli szereplok mindegyikeképes ugyanazt a terméket eloállítani az M = {1, ...,m}-beli eroforrások felhasználásával.Az i ∈ N szereplo kezdetben rendelkezik a j ∈ M eroforrásból pij ≥ 0 mennyiséggel, tehátkezdokészletét a nemnegatív Pi = (pi1, pi2, ..., pim) ∈ Rm

+ vektor adja meg. A rendelkezéséreálló technológiát pedig az fi : Rm

+ → R termelési függvény írja le, amirol egyelore csak azttesszük fel, hogy folytonos. A végtermék minden szereplo számára ugyanaz, s feltesszük,hogy tetszolegesen osztható illetve átviheto a szereplok között. A termelési hatékonyságokkülönbözosége miatt a szereplok egy S ⊆ N társulása számára elonyös lehet, ha a termeléselott átcsoportosítják kezdokészleteiket, majd utána elosztják a koalíció tagjai által egyedilegelért összes végterméket valamilyen minden résztvevo által elfogadható módon. Az általukegyüttesen elérheto legnagyobb végtermék-mennyiség tehát

v (S) = max

{∑

i∈S

fi (Zi) /∑

i∈S

Zi =∑

i∈S

Pi, Zi ∈ Rm+

}

.

Amennyiben feltesszük, hogy a végtermék pénznek tekintheto a fentebb tárgyalt értelemben,akkor a v (S) számot tekinthetjük az S koalíció által elérheto összhaszonnak. Az így kapottjátékot piacjátéknak nevezik.


3.10. mintapélda (Lineáris termelési piac). Ez a cserepiac csak annyiban speciális,hogy a technológia lineáris. Ebben az esetben a technológia mindegyik szereplo számáraazonos, éspedig

fi (b1, b2, ..., bm) = f (b1, b2, ..., bm) = c1x1 + ...+ crxr → maxa11x1 + a12x2 + ...+ a1rxr ≤ b1,a21x1 + a22x2 + ...+ a2rxr ≤ b2,

...am1x1 + am2x2 + ...+ amrxr ≤ bm,

x1, x2, ..., xr ≥ 0,

ahol (c1, c2, ..., cr) olyan vektor és (aij) i=1,2,...,rj=1,2,...,m

olyan mátrix, amelyre az LP feladatnak van

megoldása bármely (b1, b2, ..., bm) ∈ Rm+ vektor esetén. Ebben az esetben v (S) a

v (S) = c1x1 + ...+ crxr → maxa11x1 + a12x2 + ...+ a1rxr ≤

∑

i∈S

pi1,

a21x1 + a22x2 + ...+ a2rxr ≤∑

i∈S

pi2,

...am1x1 + am2x2 + ...+ amrxr ≤

∑

i∈S

pim,

x1, x2, ..., xr ≥ 0,

lineáris programozási feladat optimális értéke lesz.3.11. mintapélda (Merevlemez gyártása). Egy számítógép alkatrészeket tervezo

kutatócég kifejlesztett egy újfajta merevlemezt, de nem képes gyártani azt. Eladhatja aterméket két számítógép alkatrészeket gyártó vállalatnak. A kiválasztott vállalat és a ku-tatócég felezik a közösen elérheto 1 millió eurós profitot. Adjuk meg a játék karakterisztikusfüggvényét.Megoldás. Legyen a cég az 1-es játékos, a két vállalat pedig a 2-es és 3-as játékosok.

Ekkor a karakterisztikus függvény:

S ∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}v (S) 0 0 0 0 1 1 0 1

3.12. Mintapélda (Kesztyupiac). A névadó helyzetleírás szerint a kocsmában azaranyásók közül egyeseknek egy balkezes kesztyuje van, míg másoknak egy jobbkezes. Értékeviszont csak egy pár kesztyunek van, mégpedig 1 üveg whisky. Írjuk fel a játék karakter-isztikus függvényét.Megoldás. Ebben a cserepiac-játékban a szereplok és a jószágok is két típusba sorolhatók,

azaz N = I∪J ésM = {1, 2}. Az i ∈ N szereplo kezdokészlete illetve „termelési” függvénye:

Pi =

{(1, 0) , ha i ∈ I,(0, 1) , ha i ∈ J,

ésf (x, y) = min {x, y} ,

ahol I a kocsmában a balkezes, J a jobbkezes, x egy koalícióban a bal kezes és y egykoalícióban a jobbkezes kesztyuvel rendelkezo aranyásók száma.


Könnyen belátható, hogy ekkor az S koalíció

v (S) = f (|S ∩ I| , |S ∩ J |) = min {|S ∩ I| , |S ∩ J |} ,

üveg whiskyt képes kitermelni, ahol |S ∩ I| az S-ben a balkezes kesztyuvel és |S ∩ J | ajobbkezes kesztyuvel rendelkezo aranyásók száma.Amennyiben mindegyik aranyásó azonosan értékel eggyel több vagy kevesebb kupica whiskyt,

vagyis a nedüt tekinthetjük pénznek, akkor a v a kesztyupiac karakterisztikus függvénye.3.13. mintapélda (Lóvásár). Hárman vannak a vásárban. Jánosnak (J-nek) van egy

eladó lova, amit 500 euróra értékel és ezalatt nem hajlandó eladni. Elemér (E) és Pali (P)mustrálgatja a lovat. Elemér legfeljebb 600 eurót, míg Pali legfeljebb 700 eurót hajlandó ajószágért adni. Alkudozásuk során persze ezeket az információkat egyikük sem köti a többiekorrára. Adjuk meg a játék karakterisztikus függvényét.Megoldás. A vásár elott a kezdeti állapotot euróban kifejezve: v(J) = 0, míg v(E) = 0

és v(P ) = 0, hiszen az eladónál lévo tényleges pénzmennyiség nyilván éppúgy érdektelen azesetleges üzlet megítélése szempontjából, mint a vevoknél lévo, a vételár-plafonjukat megha-ladó pénzmennyiség. Ha János és Elemér meg tud egyezni abban, hogy a ló p euró fe-jében gazdát cserél, akkor együttmuködésük eredménye egy olyan helyzet, aminek a hasznav({J,E}) = p− 500+ (600− p) = 100 euró, amibol a vásár után p− 500 összeg János tisztanyeresége és 600 − p összeg az Elemér tiszta nyeresége. Teljesen hasonló meggondolásbólv({J, P}) = p−500+(700−p) = 200 euró. Ha mind a hárman egyezkednek és lovat Elemérveszi meg, akkor a haszon 100 euró, ha pedig Pali, akkor 200 euró. Tehát a legnagyobb has-zon, ami ebben a játékban elérheto v({J,E, P}) = 200 euró. A két vevo viszont legfeljebbpénzt adhat át egymásnak, de abból haszon nem keletkezik, vagyis v({E,P}) = 0. Tehát alóvásár-játék karakterisztikus függvénye:

S ∅ {J} {E} {P} {J,E} {J,P} {E,P} {J,E,P}v (S) 0 0 0 0 100 200 0 200

3.14. mintapélda (Egyszeru többségi szavazás). A szavazók N halmazának egyelfogadjuk—elutasítjuk jellegu döntést kell hoznia egy javaslatról. Mindegyik szavazat ugyanan-nyit ér. A javaslat elfogadásához a szavazatok több mint felének elfogadónak kell lennie(egyszeru többségi elv). Jelöljük 1-el a javaslat elfogadását és 0-val az el nem fogadásátjelento döntést és határozzuk meg a karakterisztikus függvényt.Megoldás. A szavazók egyS ⊆ N halmazának „szavazati ereje” a

v (S) =

{1, ha |S| > |N |

2

0, ha |S| ≤ |N |2

karakterisztikus függvény adja meg, ahol |X| jelöli az X halmaz elemeinek a számát.3.15. mintapélda (Csodjáték). Csodhelyzetnek nevezzük azt a többszereplos elosztási

problémát, amelyben valamilyen E ≥ 0 értéku tetszolegesen felosztható vagyonnal szembenaz N = {1, ..., n}-beli szereplok rendre d1, ..., dn > 0 jogos követeléssel lépnek fel, de

E <∑

i∈N

di.

Adjuk meg a játék karakterisztikus függvényét.


Megoldás. Egy S koalíció, akkor rendelkezik biztosan a v (S) vagyonnal, ha már a többiN � S játékos megkapta a rá eso E −

∑i∈N�S di részt. Ebbol a megfontolásból következik,

hogy

v (S) = max

{

E −∑

i∈N�S

di, 0

}

.

A lineáris termelési játékokhoz hasonlóan sok kooperatív döntési helyzet olyan, hogy aszereplok két különálló csoportjának összefogása új együttmuködési lehetoségeket, s ezáltaltöbblet-eredményt teremthet. A kesztyupiacon például egy balkezes illetve egy jobbkezeskesztyut birtokló aranyásó együttmuködve határozottan többet tud elérni, mint külön-külön.Ugyanakkor mindegy, hogy hányan szövetkeznek, ha mindegyiküknek balkezes kesztyuje van,egy cseppel sem tudnak több whiskyhez jutni, mintha egyenként próbálkoznának.Azt mondjuk egy játék szuperadditív , ha v(S) + v(T ) ≤ v(S ∪ T ), bármely S, T ⊆ N-re,

amelyre S ∩ T = ∅.A szuperadditív játékokkal modellezheto döntési helyzetekben bármely két, közös játékost

nem tartalmazó koalíció egyesülésébol csak elony származhat. Az általunk tekintett termelésicserepiacok mindig ilyenek, ez magyarázza, hogy eddigi példáinkban miért csak szuperadditívjátékokkal találkoztunk.Tulajdonság. Egy játék pontosan akkor szuperadditív, ha bármely S ⊆ N részhalmazra,

és az S bármely S1, S2, ..., Sr (S = S1∪ S2 ∪ ... ∪ Sr, Si ∩ Sj = ∅ ha i �= j) felosztására

v(S) ≥r∑

i=1

v (Si) .

Az n-személyes játékok megoldására számos koncepció létezik. Egy megoldási koncepciómegadja, hogy egy játékban mennyi legyen az egyes játékosok kifizetése. Pontosabban, haaz i-edik játékos kifizetése xi, akkor x =(x1, x2, ..., xn) vektort elosztásnak nevezzük.Egy szuperadditív játékban az elosztás teljesíti:

a hatékonysági feltételét: v (N) =n∑

i=1

xi;

az egyéni racionalitás feltételét: xi ≥ v ({i}) bármely i ∈ N -re.

Az elso feltétel azt mondja ki, hogy az elosztásnak szét kell osztania a nagykoalíció értékét,vagyis azt a legnagyobb összeget, amit az összes játékos együttmuködésével elérheto. Amásodik feltétel pedig eloírja, hogy mindegyik játékos legalább annyi összeget kell kapjon,mint amennyit egymaga is képes elérni.Például a lóvásár játékban elosztás az x =(100, 100, 0), de nem elosztás az

y =(100, 100, 50), mert 100 + 100 + 50 > v (N) = 200.Az n-személyes játékokra vonatkozó egyik legfontosabb megoldási koncepció a mag.A mag-elosztás olyan elosztás, amelyik minden koalíció számára elfogadható, azaz

∑

i∈S

xi ≥ v(S).

A mag-elosztások halmazát a játék magjának nevezzük és a továbbiakban G-vel jelöljük.


Például a merevlemez gyártás játékban az x =(x1, x2, x3) pontosan akkor lesz mag-elosztás,ha

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0,x1 + x2 + x3 = 1,

}elosztás feltételei

x1 + x2 ≥ 1,x1 + x3 ≥ 1,x2 + x3 ≥ 0,

x1 + x2 + x3 ≥ 1.

a magra vonatkozófeltételek

Az x1 + x2 + x3 = 1 feltételbol az x3-at kifejezve és a többi feltételbe helyettesítve kapjuk:

x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,−x2 ≥ 0,x1 ≤ 1,

x1 + x2 ≥ 1.

Ahonnan következik, hogy x1 = 1, x2 = x3 = 0.A lóvásár játékban az x =(x1, x2, x3) pontosan akkor lesz mag-elosztás, ha

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0,x1 + x2 + x3 = 200,

}elosztás feltételei

x1 + x2 ≥ 100,x1 + x3 ≥ 200,x2 + x3 ≥ 0,

x1 + x2 + x3 ≥ 200.

a magra vonatkozófeltételek

Az x1+x2+x3 = 200 feltételbol az x3-at kifejezve és a többi feltételbe helyettesítve kapjuk:

x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,−x2 ≥ 0,

x1 + x2 ≤ 200,x1 + x2 ≥ 100,x1 ≤ 200.

Ahonnan, x2 = 0, x1 ∈ [100, 200], x3 = 200− x1. Tehát a játék magja

G = {(t, 0, 200− t) / t ∈ [100, 200]} .

Az egyszeru többségi szavazás játéknak az x =(x1, x2, ..., xn) mag-elosztása, ha

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0,x1 + x2 + ...+ xn = 1,∑

i∈S

xi = 1, ha |S| > |N |2


Például, ha n = 4, akkor

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0,x1 + x2 + x3 + x4 = 1,x1 + x2 + x3 ≥ 1,x1 + x2 + x4 ≥ 1,x1 + x3 + x4 ≥ 1,x2 + x3 + x4 ≥ 1,

xi + xj ≥ 0, ha i, j = 1, 2, 3, 4, i �= j.

Összeadva a három tagot tartalmazó egyelottlenség megfelelo oldalait, kapjuk

x1 + x2 + x3 + x4 ≥4

3,

ami ellentmond az x1 + x2 + x3 + x4 = 1 feltételnek. Következésképpen, a játék magja üreshalmaz (G = ∅). Ebben a példában a mag azért üres, mert a nagykoalíció értéke „nem elégnagy” a többi koalíció értékéhez képest.A játékelméletben ismert Bondareva — Shapley — féle tétel kimondja, hogy a játék magja

pontosan akkor nem üres, ha a játék kiegyensúlyozott.Amint láttuk, hogy a merevlemez gyártás játékban a mag az összes nyereséget a leg-

fontosabb szereplonek a kutatócégnek adja. A továbbiakban az n-személyes játékok egyalternatív megoldási koncepcióját, az úgynevezett Shapley-értéket tárgyaljuk.Lloyd Shapley igazolta, hogy tetszoleges v karakterisztikus függvényhez egyetlen olyan

x =(x1, x2, ..., xn) kifizetésvektor tartozik, amelyik teljesíti az alábbi axiómákat:1. axióma. Ha a játékosok sorrendje megváltozik, a kifizetésvektor komponenseinek

sorrendje ugyanúgy változik.

2. axióma. A kifizetésvektor hatékony, azaz v (N) =n∑

i=1

xi.

3. axióma. Amennyiben egy játékos nem ad semmi többletet egyetlen koalícióhoz sem,akkor a kifizetése nulla. Vagyis, ha v (S − {i}) = v (S) bármely S koalícióra, akkor xi = 0.4. axióma. Ha a megoldási koncepció a v és v′ karakterisztikus függvényekkel jellemzett

n-személyes játékokhoz az x illetve az y kifizetésvektorokat rendeli hozzá, akkor a v + v′

karakterisztikus függvénnyel jellemzett n-személyes játékokhoz az x+y kifizetésvektort ren-deli.Ezen axiómák mellett érvényes Shapleynek 1953-ban bizonyított tétele:Tétel (Shapley-érték). Egyetlen olyan megoldási koncepció van, amelyik tetszoleges n-

személyes játék v karakterisztikus függvényéhez úgy rendeli az x =(x1, x2, ..., xn) kifizetésvek-tort, hogy teljesülnek az 1-4 axiómák. Ez a megoldási koncepció alapján az i-edik játékoskifizetése:

xi =∑

S⊂N�{i}

|S|! (n− |S| − 1)!

n![v (S ∪ {i})− v (S)] , (3.6)

ahol |S| az S halmaz elemeinek a számát jelöli. Ezt az x vektort a játék Shapley-értékéneknevezzük.A tételben a kifejezés bonyolultnak tunik, de van egy egyszeru értelmezése. Tegyük fel,

hogy a játékosok egymás után véletlenszeruen érkeznek a szobába. Amikor az i-edik játékosérkezik, az S-beli játékosok már a szobában vannak. Ha az i-edik játékos is csatlakozik az


S koalícióhoz, akkor a határhozzájárulása v (S ∪ {i}) − v (S), ennyivel változtatja meg aszobában levok koalíciójának értékét. Annak valószínusége, hogy az i-edik játékos éppen azS koalíciót találja a szobában pn (S) =

|S|!(n−|S|−1)!n!

. Tehát a (3.6) képlet szerint az i-edikjátékos kifizetése nem egyéb mint az i-edik játékos különbözo koalíciókhoz való határhoz-zájárulásainak várható értéke.

Az alábbi táblázat a pn (S) értékeit tartalmazzák n = 1, 2, 3, 4, 5 esetén.

n |S|1 0 1 2 3 42 1

212

3 13

16

13

4 14

112

112

14

5 15

120

130

120

15

Ha N = {1, 2}, akkor

x1 =1

2[v ({1})− v (∅)] +

1

2[v ({1, 2})− v ({2})]

= v ({1}) +v ({1, 2})− v ({1})− v ({2})

2;

x2 =1

2[v ({2})− v (∅)] +

1

2[v ({1, 2})− v ({1})]

= v ({2}) +v ({1, 2})− v ({1})− v ({2})

2.

A Shapley-érték tehát mindkét szereplonek megadja az általa egyedül is elérheto kifizetéstés egyenlo mértékben osztja szét a közösen elérheto többletet.Érdemes megemlíteni, hogy:

a Shapley-értékvektor nem feltétlenül magbeli elosztás.

a mag-elosztások inkább a versenyhelyzetet tükrözik, a Shapley-érték

ugyanakkor valamennyire figyelembe veszi egy játékos összes pozitívhozzájárulását is.Példaként számoljuk ki a merevlemez gyártás játék Shapley értékét. Kis számú (n ≤ 4)

játékos esetén a Shapley-értéket érdemes a szobába való érkezés értelmezése alapján számolni.Ezért meg kell határozni a határhozzájárulásokat:

Érkezési A játékos határhozzájárulásasorrend 1-es játékos 2-es játékos 3-as játékos(1, 2, 3) 0 1 0(1, 3, 2) 0 0 1(2, 1, 3) 1 0 0(2, 3, 1) 1 0 0(3, 1, 2) 1 0 0(3, 2, 1) 1 0 0

Összeg 4 1 1

Nézzük meg, hogyan is töltöttük ki például a táblázat elso és harmadik sorát. Az elsosorban a beérkezési sorrend (1, 2, 3) . Amikor az 1-es bejön a szobába nem talál senkit ezérthatárhozzájárulása: v ({1})− v (∅) = 0. Jön a második és a szobába találja az 1-es játékost.


Így határhozzájárulása: v ({1, 2}) − v ({1}) = 1. A harmadik játékos érkezésekor már aszobában van az 1-es és 2-es játékosok, ezért a határhozzájárulása: v ({1, 2, 3})−v ({1, 2}) =1− 1 = 0. A harmadik sorban a beérkezési sorrend (2, 1, 3) . A 2-es bejövetelekor még senkisincs a szobában ezért a 2-es határhozzájárulása: v ({2})− v (∅) = 0. Az egyes bejövetelekormár a 2-es a szobában van. Így az 1-es határhozzájárulása: v ({1, 2}) − v ({2}) = 1 − 0 =1. A harmadik érkezésekor már az 1-es és 2-es a szobában van, ezért a harmadik játékoshatárhozzájárulása: v ({1, 2, 3})− v ({1, 2}) = 1− 1 = 0.Mivel a játékosoknak 6 = 3! érkezési sorrendjük volt, ezért a Shapley-érték szerinti ki-

fizetések:

x1 =4

6, x2 =

1

6, x3 =

1

6.

A lóvásár játékban szintén 6 érkezési sorrend van és a határhozzájárulások:

Érkezési A játékos határhozzájárulásasorrend János Elemér Pali(J,E,P ) 0 100 100(J,P,E) 0 0 200(E, J,P ) 100 0 100(E,P, J) 200 0 0(P, J,E) 200 0 0(P,E, J) 200 0 0

Összeg 700 100 400

Tehát a Shapley-érték szerinti kifizetések:

x1 =700

6, x2 =

100

6, x3 =

400

6.

3.5. Kituzött feladatok1. Két játékos egyidejuleg és egymástól függetlenül döntve elhelyez egy asztalra 1-1 eurós

érmét a Fej vagy az Írás oldalra fordítva. Ha azonos oldalt választanak, akkor az 1.játékos nyer; ha pedig különbözot, akkor a 2. játékos, mindkétszer 1 eurót. Határozzukmeg a játékosok kevert optimális stratégiáit és a játék értékét. Igazságos-e a játék?

2. János és Laci a következo játékot játsszák. János betesz egy üveggolyót a bal vagy a jobbzsebébe úgy, hogy azt Laci ne lássa. Ez után Laci megtippeli, hogy János melyik zsebébetette az üveggolyót. Ha eltalálja, hogy a balba, akkor kap Jánostól 2 eurót. Ha eltalálja,hogy a jobba, akkor kap Jánostól 4 eurót. Ha viszont nem találja el, hogy melyik zsebbekerült a golyó, akkor o fizet Jánosnak 3 eurót. Mi a játékosok optimális kevert stratégiáiés mennyi a játék értéke? Igazságos-e a játék?

3. Két versengo kereskedelmi lánc szándékozik egy új üzletet nyitni az A, B vagy C pon-tok valamelyikében. Az A faluban 20-an, a B faluban szinten 20-an, a C faluban 12-enlaknak, a két üzlet tehát 52 vásárlóra számíthat. Mindegyik lakos a hozza közelebbi bolt-ban vásárol, ha két bolt tole egyenlo távolságra van, akkor 1/2 valószínuséggel választjavalamelyiket. Mindkét lánc maximalizálni akarja az új üzletben a vásárlók várható számát.Hova telepítsék az üzletet?

A_________________B___________________C


4. Tegyük fel, hogy egy egységnyi hosszúságú szakasz egy strandszakaszt reprezentál és ezena szakaszon a strandolók egyenletesen oszlanak el. A strandon két fagylaltos kínálja azonosáron,azonos minoségu árúját. Minden strandoló ahhoz a fagylaltoshoz megy, aki közelebbvan hozzá. Ha a távolság azonos akkor pénzfeldobással választ. A fagylaltosok a forgal-mukat akarják maximalizálni. A fagylaltosok egymástól függetlenül választanak egy helyeta strandon, ahol felállítják bódéjukat. Melyek a fagylaltosok optimális stratégiái?

5. A Ruby, illetve a Swamp szupermarketek összesen 90000 vásárló látogatja. A vásárlókbecsalogatása céljából mindkét üzlet ingyen ad egy árucikket, hogy azon a héten mit, aztmindig a hétfoi újságban teszik közzé. Az áruházak persze nem tudják, hogy a másik éppenmit akar ingyen adni. A következo hétre a Ruby vagy egy üveg üdítot, vagy egy doboztejet akar meghirdetni, míg a Swamp egy csomag vaj vagy egy csomag narancslé közül fogválasztani. A következo táblázat mutatja, hogy az egyes árucikk-kombinációk esetén hányvásárló tér be a Ruby áruházba a következo héten. Mindkét áruház maximalizálni akarjaa vásárlóinak várható számát. A játékelmélet segítségével határozd meg az egyes áruházakoptimális stratégiáját és a játék értékét!

Ruby Swamp választásaválasztása vaj narancsléüdíto 40000 50000tej 60000 30000

6. Két hadsereg közelit két városhoz. Az egyik négy ezredbol, a másik három ezredbol áll.Amelyik hadsereg több ezredet küld egy városhoz az nemcsak a várost foglalja el, de azellenfél odaküldött ezredeit is foglyul ejti. Ha a tábornokok azonos számú ezredet küldenekegy városhoz, a csata döntetlen. Minden elfoglalt város és foglyul ejtett ezred 1 pontotér mindkét fél számára. Tegyük fel, hogy mindkét tábornok maximalizálni akarja a sajátés az ellenfele eredményének a különbséget. Határozd meg a játék értékét és az optimálisstratégiákat.

7. Két játékos a következo osztozkodási játékot játssza. 5 eurót kell elosztaniuk egymásközött kerek eurókban. A két játékos egyszerre és egymástól függetlenül jelenti be igényéta bírónak. Ha az igények összege nagyobb, mint 5 euró és páratlan, akkor az elso játékoskapja meg az 5 eurót, a második nem kap semmit, ha pedig páros akkor éppen fordítva.Ha az igények összege legfeljebb 5 euró, akkor mindkét fél megkapja azt, amit kért. Mikebben a játékban a dominált és az optimális stratégiák?

8. Egy várat 40 katona véd. Állások a négyzet alaprajzú vár négy sarkában és az oldalakfelezopontjaiban vannak. Az ellenség akkor nem támad, ha minden oldalról legalább 15védot lát. Hogyan ossza el a parancsnok a katonákat? Mit tegyen a vár parancsnoka, ha10 embere elveszett?

9. Egy játékos készülodik a tizenegyesrúgás elvégzéséhez, a kapus pedig a kivédéséhez. Közis-mert, hogy a kapusnak akkor van a legtöbb esélye a hárításra, ha a rúgás pillanatábanelhatározza, hogy merre mozdul el. A jó lövéshez is el kell határozni, hogy merre rúgjaa játékos a labdát. Az egyszeruség kedvéért tegyük fel, hogy a rúgó játékosnak három(tiszta) stratégiája van: Jobbra, Középre vagy Balra rúgja a büntetot. A kapusnak ishárom lehetosége van: Jobbra vagy Balra mozdul, vagy Középen marad. Kifizetésnekvegyük azt, hogy adott stratégiapáros mellett 10 büntetobol átlagosan hány gól lesz. Azalábbi táblázat mutatja a kifizetéseket, a sorjátékos a Rúgó, az oszlopjátékos a Kapus (a


számok nem objektív statisztikán nyugszanak, de nem is teljesen légbol kapottak). Adjukmeg a játékosok kevert stratégiáját.

KapusRúgó J K BJ 5 8 9K 8 3 8B 9 8 5

10. Két versenytárs vállalatnak egyidejuleg kell meghatároznia, hogy mennyit termeljenek egyadott termékbol. Az elérheto össznyereség mindig 1000 lej. Ha mindkét vállalat alacsonyszinten termel, az 1-es nyeresége 600 lej. Ha az 1-es termelési szintje alacsony, de 2-esémagas, az 1-es nyeresége 400 lej. Viszont, ha az 1-es termelési szintje magas és a 2-eséalacsony, az 1-es nyeresége csak 300 lej. Határozza meg a játék értékét és az optimálisstratégiákat ebben a konstans összegu játékban.

11. Jancsi és Juliska együtt akarnak szombat este szórakozni menni. Kosárlabda mérkozés (K)az egyik lehetoség, operaeloadás (O) a másik. Jancsi a kosármeccset, Juliska az operátszereti jobban,de mindketten azt szeretik legkevésbé, ha egyedül kell elmenni szórakozni.Egymástól függetlenül vásárolnak két-két jegyet valamelyik eseményre. Az alábbi táblázatszámai Jancsi és Juliska preferenciáit tükrözik.

JúliskaJancsi K OK (2, 1) (0, 0)O (0, 0) (1, 2)

Határozzuk meg a játék egyensúlypontjait.12. Angry Max és James Bound hajtanak egymással szembe egy elhagyott úton. Mindket-

tojüknek két stratégiája van: kitérni vagy nem kitérni. Az alábbi táblázat mutatja alehetséges nyereségeket bátorság-pontban kifejezve:

James BoundAngry Max kitér nem tér kikitér (0, 0) (−5, 5)nem tér ki (5,−5) (−100,−100)

Keressük meg a játék egyensúlypontjait!13. A játékosok halmaza N = {1, 2, 3}, a koalíciós függvény pedig

u(S) =

{1 ha S legalább két elemet tartalmaz0 ellenkezoleg

.

Írjuk fel a játék karakterisztikus függvényét és határozzuk meg a játék magját és Shapleyértékét.

14. Tekintsünk egy háromszemélyes, nem konstans összeg játékot, mely karakterisztikus füg-gvénye az alábbi:

v (∅) = v ({2}) = v ({3}) = 0,

v ({1}) = 1, v ({1, 2}) = 5,

v ({1, 3}) = 4, v ({2, 3}) = 3,

v ({1, 2, 3}) = 15,


Határozzuk meg a játék Shapley-értékét.

15. A Mikulás csokoládéval jutalmazza a jó gyerekeket. András, Béla és Cecil testvérek. An-drás szokta lehordani a szemetet, így legalább 1 csoki jár neki. Bélával közösen járnakbevásárolni, így együttesen legalább 6 csokit érdemelnek. Béla és Cecil szokott takarítani,jutalmuk legalább 10 csoki. András és Cecil (a kert gondozásáért) legalább 8 csokit kap. AMikulás 11 csokit hozott. Igazoljuk, hogy a mag üres, a 11 csokit nem lehet úgy elosztani,hogy mindenki megkapja a járandóságát? Hány csokit kellett volna hoznia ahhoz, hogyegy ilyen elosztás lehetséges legyen és ekkor ki mennyit kapott volna?

16. Ahhoz, hogy egy vállalkozás létrejöjjön szükség van befektetokre és termelokre. Egy egysz-erusített vállalkozásban jelöljük 1-el a befektetot és 2-vel illetve 3-mal a termeloket. AShapley-értéket használva határozzuk meg a nyereség igazságos szétosztási arányait.

17. Egy városban öt párt versenget a városi tanácsosi helyekért. Az alábbi táblázat mutatja aválasztás után kapott tanácsosi mandátumok számát:

Pártok AP BP CP DP EPMandátumok 11 8 5 2 1

Mivel egyik párt sem érte el a fele plusz 1 arányt, azaz a 14 mandátum-számot, ezért nemtudja egyik sem megszerezni az egyértelmu hatalmat. Nincs más választásuk koalíciótkell képezzenek. A pártok között nincs semmi ideológiai ellentét és csak a város hasznátnézik. Ezért úgy egyeznek, hogy a város 620 millió eurós évi költségvetésének felügyeletétés gazdálkodását a tanácsban betöltött súlyuk alapján fogják leosztani. Tudjuk, hogy ezeka súlyok a játék Shapley értékét jelentik. Határozzuk meg, hogy az egyes pártok mekkoraköltségvetési összeget felügyelhetnek.

18. A Sapientia-EMTE csíkszeredai helyszíne a következo szabályok szerint fizet az általa bérelttelefonvonalakért: 400 euró/hó az elso 4 vonalért, plusz 200 euró a következo 4 vonalért ésplusz 100 euró/hó a további két vonalért. A Természettudományi karról 150, a Gazadaság-tudományi karról 165, az adminisztrációs egységekbol 85 telefonhívást kezdeményeznekóránként. Egy vonal 40 telefonhívást képes kezelni egy óra alatt. A csíkszeredai helyszíntehát összesen 10 vonalat bérel. Hogyan osszák meg a bérleti díjat az egységek között?

19. Három orvos létrehozott egy közös vállalkozást, amelynek éves fix rezsiköltsége 40000 lej.Az orvosok egyénenkénti bevételei, illetve a munkájukkal kapcsolatos kiadásai évente akövetkezok:

Bevétel KiadásDr. A 155000 lej 40000 lejDr. B 160000 lej 35000 lejDr. C 140000 lej 38000 lej

Az orvosok a játékelmélet segítségével akarják meghatározni a fix rezsiköltség szétosztását.Adjunk meg egy, a helyzetet jól leíró karakterisztikus függvényt, és igazoljuk, hogy ajáték magja üres halmaz! Számítsuk ki a Shapley-értéket és javasoljunk egy igazságosszétosztását a költségeknek.

20. Egy 800 eurós összegre hárman jogosultak: az elso 150, a második 400, a harmadik 500 eu-róra. Mivel a teljes összeg nem elég a követelések teljesítésére a Shapley-érték segítségévelosszuk szét igazságosan a 800 eurós összeget a jogosultak között.

4. fejezet

Hálózatok elemzése

Számos fontos optimalizálási probléma grafikus vagy hálózati szemléltetéssel elemezhetoa legkönnyebben. Ebben a fejezetben az alábbi speciális hálózati modellekkel foglalkozunk:

a minimális feszítofa problémával;

a legrövidebb út problémával;

maximális folyam problémával;

az utazó ügynök problémával;

4.1. AlapfogalmakEgy gráfot vagy hálózatot szimbólumok két halmaza értelmez, ezek elemeit csúcsoknak,

illetve éleknek nevezzük . Az él egy rendezett pár, amely megadja a két csúcspont közöttimozgás vagy áramlás lehetséges irányát. Egy hálózatban szereplo (j, k) él azt mutatja,hogy elmozdulás történhet a j csúcspontból a k csúcspontba. A továbbiakaban egy hálózatcsúcspontjainak halmazát V -vel éleinek halmazát pedig E-vel jelöljük. Például az alábbihálózatnál (4.1. ábra) a V = {1, 2, 3, 4} és az E = {(1, 2) , (1, 4) , (2, 3) , (4, 3) , (4, 5) , (3, 5)} .halmazokat.

4.1. ábra. Hálózati alapfogalmak

91

92 4. Hálózatok elemzése

Számos feladatnál csak az élek bizonyos csoportjára van szükség. Erre különbözo eln-evezéseket használunk. Az i és a j csomópont közötti lánc olyan élsorozat, amely összekötiezeket a csomópontokat. Például az 4.1. ábrán az 1 és 5 csomópontokat összeköto lánc:(1, 2) , (2, 3) , (3, 5) . Ha a lánc mentén a haladás irányát is megadjuk, akkor irányított útrólbeszélünk. Az 4.1. ábrán az (1, 2) , (2, 3) , (3, 5) lánc egy irányított út. A kör olyan lánc,amely egy csomópontot saját magával köt össze. Az 4.1. ábrán, ha a (4, 5) él irányításátmegcseréljük, akkor a (4, 3) , (3, 5) , (5, 4) lánc egy kör lesz. A gráf összefüggo, ha bármelykét különbözo csomópontja között halad lánc. Az 4.1 gráf összefüggo. Az olyan összefüggográfot, amely nem tartalmaz kört fának nevezzük. Valamely gráfot irányítottnak nevez-zük, ha az élekhez irányítást rendelünk. Ilyen gráf az 4.1. Egy hálózatnak nem feltétlenülkell irányítottnak lennie, mivel esetleg megengedhetjük, hogy az áramlás mindkét iránybatörténjen. Az ilyen gráfot irányítatlan gráfnak nevezzük.

4.2. Minimális feszítofa probléma4.1. mintapélda. Egy bank rövidesen számítógépes hálózattal akar kapcsolatot létesíteni

összes fiókja és a központi hivatalban levo számítógépe között, különleges telefonvonalakkalés távközlési eszközök felhasználásával. Nem szükséges, hogy a fiókoktól a központhozközvetlenül csatlakozzanak a telefonvonalak: közvetve is csatlakozhatnak úgy, hogy egymásik fiókhoz csatlakoznak, amely (közvetve vagy közvetlenül) csatlakozik a központhoz.Az egyetlen követelmény, hogy minden fiók valamilyen útvonalon keresztül csatlakozzék aközponthoz.A speciális telefonvonalak díja egyenesen arányos a távolsággal. Az alábbi táblázat km-ben

kifejezve megadja a távolságokat.

1. központ 2. fiók 3. fiók 4. fiók 5. fiók 6. fiók1. központ 190 70 115 270 160

2. fiók 190 100 240 215 50

3. fiók 70 100 140 120 220

4. fiók 115 240 140 175 80

5. fiók 270 215 120 175 310

6. fiók 160 50 220 80 310

A feladat: meghatározandó, hogy mely bankfiók-párokat kell összekötni a speciális tele-fonvonallal, hogy minden fiók (közvetve vagy közvetlenül) össze legyen kötve a központtal,a költség pedig a leheto legkisebb legyen.Megoldás. Az ilyen típusú feladatokat minimális feszítofa problémáknak nevezzük.

Ebben az összefüggésben a minimális feszítofa problémája úgy fogalmazható meg, hogy melyszállítóútvonalak szolgálják ki az összes helyet, a leheto legkisebb összköltséggel.A feladat megoldása nagyon egyszeru, mivel ez az egyike azon operációkutatási prob-

lémáknak, ahol ha mohók vagyunk a megoldási folyamat minden lépésében, akkor optimálismegoldást kapunk.Az elso lépésben kiválasszuk a legrövidebb élt, azaz a mátrix legkisebb számához tar-

tozó élt: (2, 6). Ennek értéke 50. Ezt az 50-es értéket kiválasztottnak tekintjük és úgya második sorban mint az hatodik sorban kijelöljük. Ezután meg kell határozni azt alegközelebbi csomópontot, amely még nincs az eddigiekkel összekötve, azaz 2-es és 6-ossorokból kiválasztjuk a legkisebb ki nem választott elemet. Ez a 80 és a hozzá tartozó

4. Hálózatok elemzése 93

él (4, 6). Folytatjuk az algoritmust. Most már a 2-es, 4-es, 6-os sorokból kell kiválasztani alegkisebb ki nem választott elemet. A mi esetünkben ez 100. A hozzá tartozó él pedig (2, 3).Ezután ki kell választani a 2-es, 3-as, 4-es és 6-os sorokból a legkisebb még ki nem választottelemet. Ez a 70 és az él (1, 3). Maradt még a 5-ös csomópont, amely 3-as csomóponthoz vana legközelebb, ennek az értéke 120. Az összes csomópont ki van választva és a keresett min-imális feszítofa: (2, 6), (4, 6), (2, 3) , (1, 3) , (3, 5) . Ennek összértéke: 50+80+100+70+120 =420.

4.2. ábra. Minimális feszítofa kezdotáblája

A feladat a WinQSB hálózatok modellezése (Network Modeling) eszköztárával is megold-ható. Itt a kezdotáblából kiválasztjuk a Minimális feszítofa probléma típust (Minimal Span-ning Tree). Ezután megadjuk a csomópontok számát (Number of Nodes). A mi esetünkben6. Ha irányítatlan gráfról van szó jó, ha be van jelölve, hogy szimmetrikus a mátrix (Sym-metric Arc Coefficients), mert ebben az esetben csak a foátló feletti részt kell kitölteni, afoátló alatti együtthatók automatikusan megjelennek az adatbevitel után (4.2. ábra).Az OK gombra kattintva betöltodik az adattábla, amelyet a táblázatban megjeleno ada-

tokkal fel kell tölteni (4.3. ábra).

4.3. ábra. A minimális feszitofa adattáblája.

Az sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a minimális feszítofát és betöltiaz alábbi táblázatot (4.4. ábra):

4.4. ábra. Minimális feszítofa eredménytáblája


A táblázatból leolvasható, hogy a minimális feszítofa: (3, 2) , (1, 3) , (6, 4) , (3, 5) , (2, 6)lánc és az összhossz 420 km. A feszítofát a WinQSB ki is rajzolja, ha a hálózat ( ) ikonrakattintunk.

4.3. Legrövidebb út problémaA legrövidebb út problémája egy hálózatban egy adott csomópontból kiindulva a többi

csomópontba vezeto legrövidebb út meghatározását jelenti. Ennek megoldására alkalmas aDijkstra algoritmus, amennyiben minden él hossza nemnegatív szám:

Lássuk el az elso csomópontot az állandó 0 címkével.

Minden olyan i csomópontot lássunk el ideiglenesen az (1, i) él hosszával mint címkével,amelyhez vezet él az elso csomópontból. Minden más csomópont (az elso kivételével)kapja ideiglenesen az ∞ címkét. A legkisebb címkéhez tartozó egyik csomópont címkéjétállandónak minosítjük.

Tegyük fel, hogy az i volt az utolsó, a (k+1)-edik csomópont, amely állandó címkét kapott.Akkor i a k-adik legközelebbi csomópont az elsohöz. Az ideiglenes címkével rendelkezo jcsomópontok címkéit módosítsuk az (i címkéje + az (i, j) él hosszúsága) értékre, ha ezkisebb, mint j eddigi ideiglenes címkéje. Ezután ismét adjunk végleges címkét egy olyancsomópontnak, amelynek címkéje a maradék ideiglenes címkék legkisebbike.

Folytassuk az eljárást, amíg minden csomópont állandó címkét nem kap.

Ha minden csomópontnak végleges címkéje van, akkor az elso csomópontból egy j csomó-pontba vezeto legrövidebb utat a j csomópontból visszafelé haladva olyan csomópontokonkeresztül jutunk el az elso csomópontba, amelyektol a rákövetkezobe vezeto él hossza éppa két címke különbsége.

4.2. mintapélda (Alpinista). Egy alpinista a 4.5. ábrán megadott vázlatos térképalapján el kell jusson az 1-essel jelölt alaptáborból a 7-essel jelölt hegycsúcsra. A hálózatélein a különbözo pihenok közti utak megtételéhez szükséges átlagos idotartamok vannakmegadva. Milyen útvonalon haladjon ahhoz, hogy a legrövidebb ido alatt felérjen a hegyc-súcsra.

4.5. ábra. Az alpinista mintapélda úthálózata.

Megoldás. A legrövidebb utat az elobb vázolt Dijkstra algoritmussal határozzuk meg.1. lépés. Címkézés. Az elso csomópontból a 2., 3., és 4. vezet él, ezért kezdetben a

csomópontok címkéi:[0∗, 45, 40, 60,∞,∞,∞] .


2. lépés. Kiválasztjuk a legkisebb nullától különbözo címkét:

[0∗, 45,40∗, 60,∞,∞,∞] .

3. lépés. Választjuk 3. csomóponthoz legközelebbi csomópontot, ez az 5. csomópont.Tehát ennek megfelelo címke min {∞, 40 + 30} = 70. Az új címkék:

[0∗, 45,40∗, 60, 70,∞,∞] .

4. lépés. Kiválasztjuk a legkisebb nullától különbözo még nem jelzett címkét. Ez a 2-escsomópont címkéje a 45, majd a 2-es csomóponthoz legközelebbi csomópontot. Ez a 4-es.Így a négyes csomópont új címkéje min {60, 45 + 35} = 60. Tehát az új címkék:

[0∗,45∗,40∗, 60, 70,∞,∞] .

5. lépés. Folytatjuk a 4. lépésben bemutatott címkézési eljárást. A legkisebb nem jelzettcímke a 4-es csomóponté, értéke 60. A 4. csomóponthoz legközelebbi csomópont a 6-os.Ennek új címkéje min {∞, 60 + 25} = 85. Az új címkék:

[0∗,45∗,40∗,60∗, 70, 85,∞] .

6. lépés. A legkisebb nem jelzett címke az 5-ös csomóponté, a 70. Az 5-höz legközelebbicsomópont a 7-es. Ennek új címkéje min {∞, 70 + 50} = 120. Tehát az új címkék:

[0∗,45∗,40∗,60∗,70∗, 85, 120] .

7. lépés. Most a legkisebb címke a 6-os csomóponté, a 85. A hozzá legközelebbi csomóponta 7-es. Ennek új címkéje min {120, 85 + 30} = 115. Az új címkék:

[0∗,45∗,40∗,60∗,70∗,85∗,115∗] .

8. Még csak a 7. címke nincs kijelölve, ezt is jelöljük és befejezzük a kiválasztási algorit-must.A végso címkék:

[0∗,45∗,40∗,60∗,70∗,85∗,115∗] .

9. Visszafele haladva a címkék különbségébol megkapjuk annak az élnek az értékét, ame-lyen keresztül eljutunk a kiindulási csomópontba.Mivel 115 − 85 = 30, ezért a 7-bol a 6-ba kell lépjünk. A 6-ból csak a 4-esbe léphetünk.

A 4-es címkéje 60, ami megfelel a 60− 0 = 60 különbségnek, következésképpen innen az 1-escsomópontba jutunk.Összefoglalva, a legrövidebb útvonal az 1-bol a 7-be az

1→ 4→ 6→ 7.

Az alpinista ezen az útvonalon 110 perc alatt éri el a hegycsúcsot.Ezt az algoritmust használja a WinQSB hálózati modelezés (Network Modeling) eszköz-

tára is . Itt a kezdoablakban ki kell választani a legrövidebb út problémáját (Shortest PathProblem) feladattípust. Mivel irányítatlan gráfunk van, ezért az adatbevitelt megkönnyíti aszimmetrikus mátrix (Symmetric Arc Coefficients) bejelölése. Ekkor az adattáblának csak


a foátló feletti részét kell kitölteni.A foátló alatti együtthatók automatikusan megjelennekaz adatbevitel után (4.6. ábra). Az alpinista mintapéldában a csomópontok száma 7. Ezt aNumber of Nodes mezoben adjuk meg.

4.6. ábra. A legrövidebb út probléma kezdotáblája.

Az OK-ra kattintva megjelenik a feladat adattáblája, amelyet háló élein levo értékekkelfel kell tölteni. Megjegyezzük, ha két csomópont között nincs él, akkor a megfelelo mezotüresen hagyjuk (4.7. ábra).

4.7. ábra. Az alpinista mintapélda adattáblája.

A sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza az adott két csomópont közötta legrövidebb utat és betölti az 4.8. eredménytáblát. A táblázatból kiolvasható, hogy alegrövidebb út: 1. csomópont (Node 1) → 4. csomópont (Node 4) → 6. csomópont (Node6) → 7. csomópont (Node 7). Az össztávolság (Distance/Cost) 115.

4.8. ábra. Az alpinista mintapélda eredménytáblája.

A hálózat ikonjára ( ) kattintva a WinQSB megjeleníti a legrövidebb utat. Az ered-mények (Results) menüpontjának paraméteres elemzés (Perform Parametric Analysis) es-zköztáblája segítségével érzékenységvizsgálatot és paraméteres elemzést végezhetünk. Itt


meghatározhatjuk valamelyik él hosszának függvényében a legrövidebb út hosszának vál-tozását.

4.4. Maximális folyam problémaEgyes döntési helyzetekben olyan hálózatot kell vizsgálni, amelyben az éleknek kapaci-

tások feleltethetok meg. A kérdés az, hogy az egyik kitüntetett csúcsból, a forrásból egymásikba, a nyelobe mi a maximális eljuttatható mennyiség a hálózat és a kapacitások fi-gyelembevételével. Ezt a feladatot nevezzük maximális folyam problémának.A maximális folyam problémáját megoldó algoritmus:1. lépés. Keressünk egy (szigorúan) pozitív áramlási kapacitású útvonalat a forrástól a

nyeloig. Ha ilyen nincs, akkor a már kiosztott nettó áramok egy optimális folyamot alkotnak,és vége az algoritmusnak.2. lépés. Keressük meg ebben az útvonalban a legkisebb megmaradó áramlási kapacitást.

Jelöljük ezt a kapacitást c∗-gal, és növeljük meg ezen útvonalon az áramot c∗-gal.3. lépés. Csökkentsük c∗-gal az útvonal minden egyes élén a megmaradó áramlási kapac-

itást.4. lépés. Térjünk vissza az elso lépéshez.4.3. mintapélda (Katasztrófa terv). Az alábbi táblázat megmutatja, hogy egy

város öt csomópontja között vezeto utaknak mekkora az átereszto képessége, azaz idoegységalatt a két csomópont között maximálisan hány jármu haladhat át. Ezeket az értékeketcsúcsforgalom idején statisztikai elemzéssel határozták meg. A város vezetése katasztrófatervet dolgoz ki, ezért szeretné megtudni az 1-es és 5-ös csomópontok között idoegység alattmaximálisan áthaladható jármuvek számát.

VégpontKezdopont 2 3 4 5

1 20 30 10 02 5 0 273 0 154 14 0 19

Megoldás. Eloször is a táblázat alapján megrajzoljuk a hálózat 4.9.ábráját.

4.9. ábra. A katasztrófa terv mintapélda úthálózata.

Amit látható, ez a (4.9.) hálózat már irányított és az éleken megjeleno számok azt mu-tatják meg, hogy idoegység alatt a csomópontok között, a megadott irányba maximálisan


4.10. ábra. Az algoritmus lépései.

hány autó haladhat át. A feladat megoldásához a paragrafus elején bemutatott algoritmustalkalmazzuk.1. lépés. Választjuk az 1→ 3→ 5 útvonalat. Itt a legkisebb kapacitás a 15. Ezt rendeljük

hozzá az 1 → 3 → 5 útvonalhoz. Ezután az útvonal mentén a kapacitásokból levonjuk a15-öt és az ellenkezo élen feltüntetjük a levont értéket. Így a 4.10. ábra elso grafikonjánmegadott folyamot kapjuk.2. lépés. Választjuk az 1→ 2→ 5 útvonalat. Itt a legkisebb kapacitás a 20. Ezt rendeljük

hozzá az 1 → 2 → 5 útvonalhoz. Ezután az útvonal mentén a kapacitásokból levonjuk a20-at és az ellenkezo élen feltüntetjük a 20-at. Így a 4.10. ábra második grafikonján mutatottfolyamot kapjuk.3. lépés. Választjuk az 1→ 4→ 5 útvonalat. Itt a legkisebb kapacitás a 20. Ezt rendeljük

hozzá az 1 → 2 → 5 útvonalhoz. Ezután az útvonal mentén a kapacitásokból levonjuk a10-et és az ellenkezo irányba feltüntetjük ezt. Így a 4.10. ábra harmadik grafikonja általmutatott folyamot kapjuk.4. lépés. Figyelmesen elemezve a 4.10. ábra harmadik hálózatát láthatjuk, hogy nem

kapunk egyetlen utat sem az 1-tol az 5-ig. Tehát a maximálisan áthaladható jármuvekszáma 45 és az úthálózat legjobban ki van használva, ha 1 → 3 → 5 útvonalon 15, az1→ 2→ 5 útvonalon 20 és az 1→ 4→ 5 útvonalon idoegység alatt 10 jármu halad át.Nagy hálózatok esetén elégé bonyolult a maximális folyam meghatározása, de a hálózat

maximálisfolyam értékét megkaphatjuk az úgynevezett minimális vágás segítségével.A vágás az irányított élek egy olyan halmaza, amely minden a forrástól a nyeloig vezeto

útvonalból tartalmaz legalább egy élt. Ha vágáshoz tartozó éleket töröljük a hálózatból,akkor a forrástól nem lehet eljutni nyeloig. A vágás értéke a vágáshoz tartozó élek kapacitá-sainak az összege.Maximális folyam - minimális vágás tétele azt mondja ki, hogy bármely hálózatra,

amelyben egyetlen forrás és egyetlen nyelo van, a forrástól a nyeloig haladó maximális folyamértéke megegyezik a hálózat összes vágása értékének minimumával.A katasztrófa terv mintapéldában íme néhány vágás és értéke:

V1 = {1→ 2, 1→ 3, 1→ 4} , N (V1) = 20 + 30 + 10 = 60,

V2 = {2→ 5, 3→ 5, 4→ 5} , N (V2) = 27 + 15 + 19 = 61,

V3 = {1→ 2, 1→ 4, 3→ 5} , N (V3) = 20 + 10 + 15 = 45.


Mivel a V3 vágás értéke megegyezik a maximális folyam értékével, mindketto 45, ezérta maximális folyam-minimális vágás tétele alapján biztosak lehetünk, hogy az általunkmeghatározott folyam valóban maximális.A bemutatott algoritmust használja a WinQSB hálózati modellezés (Network Modeling)

maximális folyam (Maximal Flow Problem) eszköztárára is. Itt a kezdotáblában ki kellválasztani a maximális folyam problémát (Maximal Flow Problem), és meg kell adni acsomópontok számát (Number of Nodes), ami ebben a feladatban 5 (4.11. ábra). Vigyáznikell, hogy mivel ennek a feladatnak a gráfja irányítótt nem legyen bejelölve a szimmetrikusmátrix (Symmetric Arc Coefficients) opció.

4.11. ábra. A maximális folyam probléma kezdotáblája.

Az OK-ra kattintva a WinQSB betölti az adattábláját, amit a mintapélda adataival felkel tölteni (4.12. ábra).

4.12. ábra. A katasztrófa tervezés mitapélda adattáblája.

A sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB meghatározza a maximális folyamot a forrás(1-es csomópont) és a nyelo (5-ös csomópont) között, és betölti az 4.13. eredménytáblát. Atáblázatból kiolvasható, hogy az egyes éleken idoegység alatt hány jármu kell haladjon, hogya hálózaton idoegység alatt legtöbb jármu eljusson az 1-bol az 5-be.

4.13. ábra. A katasztrófa terv mintapélda eredménytáblája.


A hálózat ikonjára ( ) kattintva a WinQSB grafikusan is megjeleniti az eredményt. Azeredmények (Results) menüpontjának paraméteres elemzés (Perform Parametric Analysis)eszköztáblája segítségével érzékenységvizsgálatot és paraméteres elemzést végezhetünk. Ittmeghatározhatjuk valamelyik él kapacitásának függvényében a maximális folyam értékénekváltozását.

4.5. Utazó ügynök problémaAz utazó ügynök problémát a nemzetközi szakirodalom traveling salesman problémának

(TSP) nevezi. Az elnevezés eredete azokra a kereskedelmi ügynökökre vezetheto vissza, akikazt a feladatot kapták, hogy meghatározott számú ügyfelet keressenek fel, majd térjenekvissza kiinduló állomásukra. Az ügynök nyilvánvalóan arra törekszik, hogy lehetoség szerinta legrövidebb út megtételével hajtsa végre a feladatot. Késobb a szállítási és anyagmozgatásiterületen is alkalmazták a problémát és megoldását.Adva van n számú város. Jelöljön ezek közül kettot i és j. Ekkor ismert ezek cij távolsága.

A feladat egy adott városból kiindulva a legrövidebb úton bejárni valamennyit úgy, hogymindegyiket csak egyszer érintsük és utunkat a kezdopontban fejezzük be. Analóg módon,ha egy gépen az adott idoszakra (pl. egy muszakra) úgy akarjuk az elvégzendo munkáksorrendjét meghatározni, hogy az átállási idok összege minimális legyen. Ebben az esetbencij az i-edik és j-edik munkadarab közötti átszerszámozási ido. Egy másik alternatíva, amikorpl. a megmunkálási idoket is figyelembe vesszük, és egy harmadik, amikor a cél a határidokbetartása (több berendezésre készülo együttes program esetén).4.4. mintapélda (Árukihordó). Egy tehergépkocsival árukihordást végeznek, az A

pontból indulva kell bejárni a hat eladóhelyet (B, C, D, E, F, G) és vissza kell érni az A-bade úgy, hogy mindegyik helységet csak egyszer lehet érinteni. A köztük lévo távolságokatkm-ben megadva az alábbi táblázat tartalmazza:

A B C D E F GA 10 12 15 17B 10 8 3 2C 12 8 7 3D 3 7 2 8 5E 15 2 1F 17 2 8 4G 3 5 1 4

Milyen útvonalat kell választani, hogy az útvonal hossza a leheto legkisebb legyen.Jelöljük xij-vel azt, hogy az i. helységbol megy-e a j. helységbe az árukihordó. Ha igen,

akkor xij = 1, ha pedig nem, akkor xij = 0. Ekkor a

z = 10x12 + 12x13 + 15x15 + 17x16

+10x21 + 8x23 + 3x24 + 2x26

+12x31 + 8x32 + 7x34 + 3x37

+3x42 + 7x43 + 2x45 + 8x46 + 5x47

+15x51 + 2x54 + x57

+17x61 + 2x62 + 8x64 + 4x67

+3x73 + 5x74 + x75 + 4x76


függvény adja meg a megtett út hosszát.Mivel minden helységbol csak egy olyan másik helységbe mehet az árukihordó, amelyhez

vezet út, ezért az xij döntési változók kell teljesítsék az alábbi feltételeket:

x12 + x13 + x15 + x16 = 1,

x21 + x23 + x24 + x26 = 1,

x31 + x32 + x34 + x37 = 1,

x42 + x43 + x45 + x46 + x47 = 1,

x51 + x54 + x57 = 1,

x61 + x62 + x64 + x67 = 1,

x73 + x74 + x75 + x76 = 1.

Teljesen hasonlóan, minden helységbe csak egy másik olyan helységbol jöhet az árukihordó,amelybol vezet út, ezért az xij döntési változók kell teljesítsék az alábbi feltételeket:

x21 + x31 + x41 + x51 = 1,

x12 + x32 + x42 + x62 = 1,

x31 + x32 + x34 + x37 = 1,

x24 + x34 + x54 + x64 + x74 = 1,

x15 + x45 + x75 = 1,

x16 + x26 + x46 + x76 = 1,

x37 + x47 + x57 + x67 = 1.

E két feltétel teljesülése esetén még elofordulhat, hogy a kapott útvonal különálló körutakbóláll, ami a feladat eredeti megfogalmazásának nem felel meg. Ha lenne olyan zárt körút, amelynem tartalmazza az összes csomópontot, akkor az ehhez tartozó városok alkotta I halmazra

∑

i∈I

∑

j∈{1,2,3,4,5,6,7}�I

xij = 0

Tehát annak feltétele, hogy az árukihordó visszaérjen a kezdopontba és minden helységencsak egyszer menejen át:

∑

i∈I

∑

j∈{1,2,3,4,5,6,7}�I

xij ≥ 1, minden I ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , I �= ∅. (4.1)

Mivel az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} halmaznak 27 − 1 = 127 nem üres részhalmaza van, ezért ezutóbbi feltétel 127 egyenlotlenséget tartalmaz. Egy példa egy ilyen egyenlotlenségre. HaI = {1, 2, 3}, akkor ∑

i∈{1,2,3}

∑

j∈{4,5,6,7}

xij ≥ 1,

azazx15 + x16 + x24 + x26 + x34 + x37 ≥ 1.

Így a hét helységes utazó ügynök feladat lineáris programozási modelljében összesen 7 +7 + 127 = 141 feltétel van. Ezek felírása és számítógépes megoldása is nagyon idoigényes


feladat. A. Tucker 1960-ban segédváltozók bevezetésével kevesebb feltétellel fogalmazta újraa feladatot. Nála a 4.1. feltétel így írható:

ui − uj + (n− 1)xij ≤ n− 2, ahol 2 ≤ i �= j ≤ n.

xii = 0,

ui ≥ 0, ui egész szám.

A mintapéldában n = 7.Összefoglalva, a mintapélda Tucker féle lineáris programozási modellje :

z = 10x12 + 12x13 + 15x15 + 17x16 + 10x21 + 8x23 + 3x24 + 2x26+12x31 + 8x32 + 7x34 + 3x37 + 3x42 + 7x43 + 2x45 + 8x46 + 5x47+15x51 + 2x54 + x57 ++17x61 + 2x62 + 8x64 + 4x67+3x73 + 5x74 + x75 + 4x76 → min,x12 + x13 + x15 + x16 = 1, x12 + x13 + x15 + x16 = 1,x31 + x32 + x34 + x37 = 1, x42 + x43 + x45 + x46 + x47 = 1,x51 + x54 + x57 = 1, x61 + x62 + x64 + x67 = 1x73 + x74 + x75 + x76 = 1,x21 + x31 + x41 + x51 = 1, x12 + x32 + x42 + x62 = 1,x31 + x32 + x34 + x37 = 1, x24 + x34 + x54 + x64 + x74 = 1,x15 + x45 + x75 = 1, x16 + x26 + x46 + x76 = 1,x37 + x47 + x57 + x67 = 1ui − uj + 6xij ≤ 5, ahol 2 ≤ i �= j ≤ 7 minden a célfüggvényben

eloforduló döntési változóra.xij ∈ {0, 1}ui ≥ 0, ui egész szám.

Az utazó ügynök feladat nagyszámú feltételére, és a nagy muveletigényére tekintettela feladatot szokás egyrészt korlátozás és szétválasztás módszerével (Branch and BoundMethod) megoldani, másrészt gyors, heurisztikus közelíto eljárásokat alkalmazni. Kis számúcsomópont esetén a korlátozás és szétválasztás módszerét javasolt használni, mert ez a pon-tos megoldást adja, nagyszámú csomópont esetén pedig heurisztikus eljárásokkal közelítomegoldást keresni. A WinQSB utazó ügynök (Traveling Salesman Problem) eszköztáranégy eljárást tartalmaz: a korlátozás és szétválasztás módszerét, valamint a legközelebbihelység hozzáadása (Nearest Neighbor Heuristic), a legolcsóbb beszúrás (Cheapest InsertionHeuristic) és a választás két él cseréje közül (Two-way Exchange Improvement Heuristic)heurisztikus közelíto módszereket. A heurisztikus módszer lényege, hogy egy véletlenszeruválasztással a kezdetben véletlenszeruen megadott útvonalból a körutakat feloldja.A továbbiakban WinQSB utazóügynök eszköztárának korlátozás és szétválasztás módsz-

erét alkalmazzuk a mintapélda megoldására. A hálózatok modellezése (Network Modeling)kezdoablakjában kiválasztjuk az utazó ügynök (Traveling Salesman Problem) feladattípustés megadjuk a csomópontok (Number of Nodes) számát (4.14. ábra). Mivel irányítatlangráfunk van, ezért az adatbevitelt megkönnyíti a szimmetrikus mátrix (Symmetric Arc Co-efficients) bejelölése.


4.14. ábra. Az utazó ügynök eszköztár kezdotáblája.

Az OK-ra kattintva betöltodik a feladat adattáblája, amelyet a távolságokat tartalmazótáblázat szerint fel kell tölteni (4.15. ábra). A táblázatban a csomópontok újranevezését azEdit menüpont Node Names táblájában végezhetjük el.

4.15. ábra. Az árukihordó mintapélda adattáblája.

A sízo emberke ikonra kattintva megjelenik a módszert kiválasztó abalak (4.16. ábra).

4.16. ábra. Az utazóügynök feladat módszereit kiválasztó tábla.

Mivel nincs sok csomópontunk, használhatjuk a korlátozás és szétválasztás módszerrét(Branch and Bound Method). Ezt kiválasztva, és a megoldás (Solve) gombra kattintás utána WinQSB megolja a problémát és betölti az 4.17. eredménytáblát.


4.17. ábra. Az árukihordó mintapélda eredménytáblája.

A táblázatból kiolvasható, hogy a legrövidebb útvonal:

A→ C → G→ E → D→ F → B → A.

Ennek az útvonalnak a hossza 38 km.Az eredmények (Results) menüpontjának paraméteres elemzés (Perform Parametric Analy-

sis) eszköztáblája segítségével érzékenységvizsgálatot és paraméteres elemzést végezhetünk.Itt meghatározhatjuk valamelyik él hosszának függvényében az utazó ügynök problémalegrövidebb útvonalhosszának a változását valamely él hosszának függvényében.

4.6. Kituzött feladatok1. Csíkszereda város öt negyede között telefonvonalakat akarnak telepíteni úgy, hogy a hálózat-

ban mind az öt negyed elérheto legyen. A negyedek közötti távolságokat méterben az alábbitáblázat tartalmazza:

1. negyed 2. negyed 3. negyed 4. negyed 5. negyed1. negyed - 140 220 264 602. negyed 140 - 290 201 803. negyed 220 290 - 113 3004. negyed 264 201 113 - 4005. negyed 60 80 300 400 -

Tudjuk azt is, hogy az 1-es és a 4-es negyed között közvetlen kapcsolat nem létesítheto ésa telepítés költsége arányos a távolságokkal. Hogyan járjanak el, hogy a kiépítés költségea legkisebb legyen

2. Egy település utcahálózatának keresztezodései legyenek a pontok, az összeköto szakaszok azélek (4.18. ábra). Az önkormányzat a jelenlegi utcahálózat bizonyos szakaszain (mindkétirányban használható) kerékpárutat akar kiépíteni. A kiépítés költsége a hálózat mindenszakaszára ismert. Mely szakaszokon építsenek kerékpárutat, ha be kell tartani az alábbikövetelményeket:

a. Minden pontból minden pontba el lehessen jutni, csak a kerékpárutak használatával is.b. A kiépítés költsége a leheto legkisebb legyen.


4.18. ábra. A 2. feladat ábrája.

3. Egy elektromos áramkör tervezésekor 5 darab IC-t használnak. Mindegyik IC-nek egybemeneti és egy kimeneti portja van és bármelyikkel össze lehet kötni. Az alábbi táblázatmegadja a többrétegu nyákon elhelyezet IC-k közti távolságokat mm-ben megadva.

IC-k 1 2 3 4 51 - 5 7 2 52 5 - 6 3 13 7 6 - 2 24 2 3 2 - 35 5 1 2 3 -

Határozzuk meg a legrövidebb huzalozási lehetoséget.

4. Egy koolaj társaságnak öt lelohelye van. A lelohelyek földrajzi koordinátáit az alábbitáblázat tartalmazza

Koordináták Lelohelyek(fokban) Bázis 1 2 3 4 5Földrajzi szélesség 15 80 10 60 30 85Földrajzi hosszúság 35 95 15 70 10 75

A lelohelyek közötti távolság jól becsülheto a koordináták különbségének összegével. Példáulaz 1-es és 2-es lelohely közti távolság: (80− 10) + (95− 15) = 150 fok. Az igazgatóságrepülovel utazva, ellenorzést szeretne tartani úgy, hogy egy lelohelyre csak egyszer megy.A bázisról indul és oda is érkezik vissza. Milyen sorrendben keressék fel a lelohelyeketahhoz, hogy a megtett útjuk a legrövidebb legyen?


1

2

4

5 3

7

8

4 5

7

8

9

6

3

7 2

5

8

4


5. Egy helység vízvezetékének csomópontjai között az alábbi táblázatban megadott távolsá-gok vannak:

Élek Távolságok (km)A—>B 7B—>C 8A—>E 4B—>D 6C—>D 3D—>E 5D—>F 1C—>F 2

Rajzoljuk meg a hálózatot és határozzuk meg az A és F csomópontok között a legrövidebbútat, valamint a hálózat minimális feszítofájának hosszát.

6. Egyetemünknek 7 db. számítógépet egy föld alatti kábelhálózattal kell összekötni. Azalábbi ábra mutatja a gépek összekötéséhez szükséges kábelek hosszát méterben. Ha kétcsúcs között nem megy él, az azt jelenti, hogy a két helyszín között kábel nem fektetheto.Minimálisan milyen hosszúságú kábelre van szükség (minimális kifeszíto fa probléma).Keressük meg az alábbi gráfban az 1-es pontból a 7-es pontba vezeto legrövidebb utat!

7. Egy technológiai muveletsor elvégzéséhez a megmunkálandó tárgyat egy üzem A pontjábólát kell vinni egy másik B pontjába. Az alábbi táblázat megadja a mozgatás során bizonyosfixpontok közötti távolságokat méterben kifejezve.

AC AD CE DE EG EF FH HG HB GB

80 70 25 23 50 45 15 10 40 20

Rajzoljuk meg a hálózatot és határozzuk meg a legrövidebb utat az A és B pontok között.Végezzünk parametrikus elemzést annak megállapítására, hogyan függ a legrövidebb úthossza az AC él hosszától.


8. Egy mobiltelefon 40 euróba kerül. Tegyük fel, hogy legfeljebb öt évig tudunk egy telefonthasználni, továbbá, hogy a becsült fenntartási költségek:

Év Fenntartási költség1. 20 euró2. 30 euró3. 40 euró4. 60 euró5. 70 euró

Éppen most vettünk egy telefont. Feltéve, hogy egy használt telefont már nem tudunkértékesíteni, határozzuk meg, hogyan minimalizálhatjuk az elkövetkezo hat évre a telefon-nal kapcsolatos vételi és fentartási költségeinket. Fogalmazzuk meg ezt a problémát, mintegy legrövidebb út feladatot! A feladat megoldásához használjuk a WinQSB programcso-magot!

9. A barátunk most vett egy új autót 11000 Euróért. Az autó éves fenntartási költsége azautónak az évkezdettel számított korától függ, ahogyan az alábbi táblázat mutatja. Hogyelkerülje az idovel növekvo fenntartási költségek túl magasra emelkedését, a korosodó autótújra kell cserélje. A régi autó a második táblázatban feltüntetett áron számítják be acserénél. Az egyszeruség kedvéért tegyük fel, hogy az új autó ára a teljes idoszakban 11000 Euró. Cél a

nettó költséget=új autó ára+fenntartási költségek-lecserélt autó ára

minimalizálása a következo öt évre vonatkozóan.

a. Fogalmazzuk meg a problémát mint egy legrövidebb út feladatot és rajzoljuk meg ahálóját.

b. Alkalmazva a legrövidebb út meghatározásához a WinQSB programot határozzuk megaz autó lecserélésének optimális idopontját.

Az autó kora (év) Éves fenntartási költség (Euró)0 20001 40002 50003 90004 12000

Az autó kora (év) Eladási ár (Euró)1 80002 60003 30004 20005 1000

10. Lehetséges-e olyan 7 csomópontból felépülo fát szerkeszteni, amelyek közül 4 csomóponthoz3 él, 3 csomóponthoz 4 él tartozik.

11. Az A kikötoben 35 hajó található, és el akarnak jutni a B kikötobe. Idoközben meg kellálljanak a C, D, E, F, G, H, I, J kikötok valamelyikében élelmiszer és üzemanyag felvételre.


Az alábbi táblázatban adjuk meg az egyes kikötok fogadási képességét a többi kikötoirányából. Fogalmazzuk meg a problémát maximális folyam problémaként és határozzukmeg maximálisan hány hajó tud elérni a B kikötobe és milyen útvonalakat válasszanakennek érdekében.

A C D E F G H I J BA 0 12 3 20 - - - - - -C - 0 - - - 6 5 - - -D - - 0 - 4 4 - - - -E - - - 0 5 - - - 10 -F - - - - 0 - - 5 3 -G - - - - - 0 3 3 - -H - - - - - - 0 - - 13I - - - - - - - 0 - 10J - - - - - - - - 0 12B - - - - - - - - - 0

12. A Csíkszeredából (Cs) Bukarestbe (B) meno telefonhívások eloször vagy Szebenbe (Sz),vagy Brassóba (Br) mennek, majd vagy Plojesten (Pl), vagy Pitesten (Pi) keresztül jut-nak el Bukarestbe. Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes városok között egy adottidopontban hány telefonvonal szabad.

TelefonvonalakVárosok számaCs-Br 700Cs-Sz 700Br-Sz 500Br-Pl 200Sz-Pi 800Pl-Pi 400Pl-B 200Pi-B 700

Adjunk meg egy maximális folyam feladatot, annak eldöntésére, hogy maximálisan hánytelefonhívás kezdeményezheto ebben az idopontban Csíkszeredából Bukarestbe.

13. Egy olajtársaság nyersolajat szivattyúz 3 kútból: K1, K2, K3 a T központi tárolóhelyre.Mindegyik kút kapacitása 15m3/perc. Az olaj a vezetékek hálózatán folyik át. Szivattyúzóállomások vannak mindhárom kútnál, és az 5 közbelso állomásnál. Ezen hálózat gráfja, akapacitásokkal (m3/perc) ellátva a következo



Határozzuk meg, hogy percenként mekkora mennyiségeket kell pompálni a vezetékekbeahhoz, hogy a leheto legnagyobb mennyiségu olaj érkezzék a T-be.

14. Tegyük fel, hogy óránként legfeljebb 200 gépkocsi közlekedhet az 1,2 és 3 városok közülbármelyik ketto között. Adjon meg egy maximális folyam feladatot, amellyel meg lehethatározni, hogy a következo két órában maximálisan hány gépkocsi küldheto az 1-városbóla 3-as városba.

15. A Sándor, Todor, Balázs és Kis családok közös piknikre mennek. Négy autójuk van, ezekkapacitása a következo:

Autó Hány személyes?1. (Trabant) 32. (Volvo) 53. (Suzuki) 44. (Jeep) 5

Mindegyik család öttagú és kettonél több személy egyik családból sem ülhet ugyanabba azautóba. Legtöbben hányan mehetnek piknikre? Fogalmazza meg a problémát maximálisfolyam feladatként!

16. Az eljövendo három hónap alatt egy vállalatnak két projektet kell befejeznie. Az 1-es pro-jekt két hónap alatt befejezheto és még 4 havi munkát igényel. A második projekt háromhónap alatt fejezheto be és még 6 havi munkát igényel. Mindegyik hónapban 5 munkás állrendelkezésre, de egyetlen hónapban sem dolgozhat 3-nál több munkás ugyanazon a pro-jekten. Adjon meg egy maximális folyam feladatot, annak eldöntésére, hogy befejezheto-eidoben mind a két projekt.

17. Egy utazó ügynök feladata, hogy az 1, 2, ...8-al jelölt városokat meglátogassa, de úgy hogya legkisebb út megtételével mindegyik városon csak egyszer menjen át. Az alábbi táblázattartalmazza a városok közti távolságokat (km-ben).

VárosokVárosok 1 2 3 4 5 6 7 81 - 150 180 300 200 50 290 3502 150 - 120 180 250 200 150 2503 180 120 - 150 150 120 150 2004 300 180 150 - 300 320 25 605 200 250 150 300 - 100 300 3506 50 200 120 320 100 - 300 3507 290 150 150 25 300 300 - 908 350 250 200 60 350 350 90 -

Rajzoljuk meg a feladathoz rendelt hálózatot és határozzuk meg az optimális útvonalat.18. A fagylaltoskocsi az A helyszínrol indul, és a B, C, D és E helyszínekre fagylaltot kell

vinnie, mielott visszatérne az A helyszínre. Az egyes helyszínek közötti távolságokat azalábbi táblázat mutatja:

A B C D EA - 10 4 5 20B 10 - 5 15 12C 4 5 - 5 4D 5 15 5 - 7E 20 12 4 7 -


A fagylaltoskocsi minimalizálni szeretné a megteendo össztávolság összegét. Milyen sor-rendben keresse fel a helyszíneket?

19. Egy városnak öt kerülete van. Az alábbi táblázat mutatja, hogy hány percig tart, amígegy reklámautó az egyik kerületbol a másikba ér:

K1 K2 K3 K4 K5

K1 - 10 30 5 20K2 10 - 5 10 10K3 30 5 - 15 5K4 5 10 15 - 7K5 20 10 5 7 -

A reklámautó bejárja a város összes kerületét. Muködtetoje minimalizálni szeretné a meg-teendo összidotartamot. Honnan induljon és milyen sorrendben keresse fel a helyszíneket?

20. A konigsbergi Pregel folyót hét híd íveli át a következo módon:


A XVIII. század végén a konigsbergi polgárok vetették fel a következo problémát. Lehet-eolyan sétát tenni, hogy közben mind a hét hídon (a, b, c, d, e, f, g) pontosan egyszerhaladjunk át és visszaérjünk a kiinduló pontba?

5. fejezet

Projektek ütemezése

Az összetett munkafolyamatok rögzített befejezési idoponttal való teljesítése gondos ter-vezomunkát igényel. Ennek része az összefüggo események sorrendjének, idozítésének vizs-gálata hálózati modellek segítségével. Ezeknek a feladatoknak a megkönnyítésére az 1950-esévek végétol kezdodoen kifejlesztettek a hálózatokon és a hálózati módszereken alapuló for-mális eljárásokat. Ezek közül az eljárások közül a legkiemelkedobbek a CPM (Critical PathMethod - Kritikus út módszere) és a PERT (Program Evaluation and Review Technique -Program kiértékelés és áttekintés módszere).

Számos nagy projekt tervezésekor használták ezeket a módszereket, pl. nagy szoftverrendszerek határidos kidolgozásánál, urkutatási projektekben, vagy rakétaindítások vissza-számlálási eljárásának kidolgozásában. Mindkét eljáráshoz szükség van a projektet alkotótevékenységek listájára (mint az 1. mintapéldánál adott táblázat). A projektet akkor tek-intjük befejezettnek , ha minden részfeladata befejezodött. Minden tevékenységnek lehetnekelozményei, olyan munkafolyamatok, amelyeknek elobb be kell fejezodni ahhoz, hogy azadott tevékenység elkezdodhessen. A munkafolyamat lépéseinek ilyen összefüggését egy pro-jekthálózattal adjuk meg. A tevékenységeket a hálózat gráfjának irányított élei definiálják,a csúcsok pedig a tevékenységek csoportjainak befejezését jelzik. A csúcsokat emiatt es-eménynek is nevezzük. Az ilyen projekt-hálózatot AOA (Activity On Arc) hálózatnak nevez-zük.

5.1. Kritikus út modszere, CPM

A CPM módszert akkor alkalmazzák, amikor a munkafolyamat tevékenységeinek végreha-jtási ideje biztosan tudható.

5.1. mintapélda (Faház építése). Egy lakás építése több elemi muveletbol tevodikössze, amelyek az alábbi táblázatban vannak összefoglalva. Ismerjük mindegyiknek az ido-tartamát (munkahétben kifejezve) és a közvetlen elotte lévo muveleteket.

111

112 5. Projektek ütemezése

Tevékenységek Idotartam Elozo tevékenységekTerület vásárlása (A) 3 -Építkezési engedély kiváltása (B) 1 AÉpítoanyagok beszerzése (C) 5 BÉpítészek alkalmazása (D) 3 BAz építotelep megszervezése (E) 1 DAz alap ásása (F) 4 EVakolat a falazáshoz (G) 1 F, IFalak megépítése (H) 6 F, IAjtó-ablak tokok összeállítása (I) 2 CA tokok beszerelése (J) 1 F,IA tetozet megépítése (K) 5 G, H, JSzobák plafonozása (L) 3 KVillanyáram bevezetése (M) 2 KVíz bevezetése (N) 2 KKülso vakolás (O) 3 KBelso vakolás (P) 4 L, M, NPadló lerakása (Q) 4 PMeszelés és festés (R) 3 QAjtók és ablakszemek összeállítása (S) 10 F, IAjtók és ablakszemek beszerelése (T) 1 SAz épület átadása (U) 1 O, R, T

a. Rajzoljuk meg a munkálathoz tartozó gráfot.

b. Határozzuk meg a projekt végrehajtásának minimális idotartamát.

c. Határozzuk meg a legkorábbi és legkésobbi kezdési idopontokat.

d. Számoljuk ki a tevékenységek turési értékeit.

e. Határozzuk meg a kritikus útvonalat.

f. Rajzoljuk meg a muveletek Gantt diagramját.

Megoldás.a. Figyelembe véve a táblázatban megadott tevékenységi sorrendet az 5.1. ábrán be-

mutatott hálózathoz jutunk. A hálózatban az élek jelentik a tevékenységeket . Minde-gyik él mellett zárójelben feltüntettük a tevékenység idotartamát is. A szaggatott vonallaljelölt éleket vakélekneknevezzük, mivel ezek csak sorrendiséget mutatnak és nem jelentnektevékenységet. Például a (8, 9) vakél azt mutatja, hogy aK tevékenység kezdeti csomópontja(kezdeti idopontja) az L tevékenység befejezési csomópontja (befejezési idopontja után jön).A vakél idotartama 0.b. Egy tevékenység kezdésének legkorábbi idopontja, az az idopont, amikor minden a

tevékenységet közvetlen megelozo tevékenység már befejezodött. Kiszámítását az alábbitáblázatban mutatjuk be:

5. Projektek ütemezése 113

5.1. ábra. Az 5.1. mintapélda projekthálózata.

Közvetlenül A legkorábbi ido Maximummegelozo + a legkorábbi

Tevékenység tevékenységek a tevékenységek idotartama idoA - - 0B A 0+3=3 3C B 3+1=4 4D B 3+1=4 4E D 4+3=7 7F E 7+1=8 8G F, I 8+4=12, 9+2=11 12H F, I 8+4=12, 9+2=11 12I C 4+5=9 9J F, I 8+4=12, 9+2=11 12K G, H, J 12+1=13, 12+6=18, 12+1=13 18L K 18+5=23 23M K 18+5=23 23N K 18+5=23 23O K 18+5=23 23P L, M, N 23+3=26, 23+2=25, 23+2=25 26Q P 26+4=30 30R Q 30+4=34 34S F, I 8+4=12, 9+2=11 12T S 12+10 22U O, R, T 23+3=26, 34+3=37, 22+1=23 37


Tehát az U tevékenység legkorábban a 37 héten kezdodhet el és 1 hetet tart. Így a projektlegkorábban a 38. hét végén fejezheto be.c. Egy tevékenység kezdésének legkésobbi idopontja, az a legkésobbi idopont, amikor

tevékenységet még elkezdhetjük, anélkül, hogy a projekt legkorábbi befejezési idopontjátkésleltetnénk. Kiszámítását az alábbi táblázatban mutatjuk be:

Közvetlenül A legkésobbi ido Minimumrákövetkezo - a legkésobbi

Tevékenység tevékenységek a tevékenység idotartama idoU - - 37T U 37-1=36 36S T 36-10=26 26R U 37-3=34 34Q R 34-4=30 30P Q 30-4=26 26O U 37-3=34 34N P 26-2=24 24M P 26-2=24 24L P 26-3=23 23K L, M, N, O 23-5=18, 24-5=19, 24-5=19, 34-5=29 18J K 18-1=17 17I G, H, J, S 17-2=15, 12-2=10, 17-2=15, 26-2=24 10H K 18-6=12 12G K 18-1=17 17F G, H, J, S 17-4=13, 12-4=8, 17-4=13, 26-4=22 8E F 8-1=7 7D E 7-3=4 4C I 10-5=5 5B C, D 5-1=4, 4-1=3 3A B 3-3=0 0

d. Egy tevékenység turése a legkésobbi és a legkorábbi kezdési idopontjai közötti különb-ség. Feltéve, hogy minden más tevékenység az ütemezés szerint zajlik, egy tevékenységturése megmutatja, hogy a tevékenység elvégzésében mekkora késés engedheto meg, amelymég nem késlelteti a projekt legkorábbi befejezésének idopontját. Kiszámításához készítsükel az alábbi táblázatot:


Legkésobbi Legkorábbikezdési kezdési

Tevékenység idopont idopont TurésA 0 0 0B 3 3 0C 5 4 1D 4 4 0E 7 7 0F 8 8 0G 17 12 5H 12 12 0I 10 9 1J 17 12 5K 18 18 0L 23 23 0M 24 23 1N 24 23 1O 34 23 11P 26 26 0Q 30 30 0R 34 34 0S 26 12 14T 36 22 14U 37 37 0

e. Azokat a tevékenységeket, amelyek turése nulla kritikus tevékenységeknek nevezzük.Egy projektben a kritikus útvonal egy olyan a hálózat kezdopontjától a befejezési pontigtartó útvonal, amelyen a tevékenységek turése nulla. Ebben a mintapéldában a kritikusútvonal:

A→ B → D→ E → F → H → K → L→ P → Q→ R→ U.

A legkorábbi és a legkésobbi idopontokra, a turésekre és a kritikus útvonalra vonatkozó in-formációk nagyon értékesek a projektvezeto számára, mert lehetové teszik, hogy meghatározza,hol kell különleges erofeszítéseket kifejteni ahhoz, hogy ne késsünk, és hogy felbecsülje azütemezéshez képest végbemeno csúszások hatását.f. A feladatot meg lehet oldani a WinQSB PERT/CPM eszköztára segítségével is. Ekkor

a kezdo ablakban ki kell választani a CPM módszert (Deterministic CPM), meg kell adni atevékenységek számát (Number of Activities). Ebben feladatban ez 21. Vigyázni kell, hogyennél a feladattípusnál csak a normál ido (Normal Time) legyen kijelölve (lásd a 5.2. ábrát).A feladatban az ido egysége a hét (Time Unit: week).Az OK gombra kattintva megjelenik a feladat adattáblája. Itt a második oszlopban (Ac-

tivity Name) meg kell adni a tevékenységek elnevezését. Ha a tevékenységeket az ABC nagybetuivel jelöljük, úgy mint a feladatban, akkor a program felajánlja ezen elnevezéseket. Amá-sodik oszlopban (Immediate predecessor) a tevékenységet közvetlen megelozo tevékenységeketkell felsorolni. Ha több van, akkor az elválasztó a vesszo. A harmadik oszlopba (NormalTime) a tevékenységek idotartamát kell beírni (lásd a 5.3. ábrát).


5.2. ábra. A CPM módszer kezdotáblája.


A sízo emberke ikonra kattintva megjelenik a feladat 5.4. eredménytáblája.A táblázatból kiolvasható, hogy a projekt legkorábbi befejezésének idopontja (Project

Completion Time) 38 hét, és a feladatban van egy kritikus útvonal (Number of CriticalPath(s)=1). Az elso oszlop (Activity Name) a tevékenységek elnevezését tartalmazza. Amásodik oszlop (On Critical Path) azt mutatja meg, hogy a tevékenység a kritikus útvonalonvan-e (Igen=Yes, Nem=No). A harmadik oszlop (Activity Time) a tevékenység idotartamát,a negyedik oszlop (Earliest Start) a legkorábbi kezdési idopontot, az ötödik oszlop (EarliestFinish) a legkorábbi befejezési idopontot, a hatodik oszlop (Latest Start) a legkésobbi kezdésiidopontot, a hetedik oszlop (Latest Finish) a legkésobbi befejezési idopontot, a nyolcadikoszlop (Slack LS-ES) pedig a turési értékeket mutatja.



A vezeto számára a legfontosabb a Gantt diagram, ami grafikusan szemlélteti az ered-ménytábla adatait. Ezt a WinQSB-ben a diagram ( ) ikonra kattintva érjük el (lásd a 5.5.ábrát):

5.5. ábra. Az 5.1. mintapélda Gantt diagramja.


Az ábrán különbözo színekkel vannak megjelenítve a tevékenységek idotartamai. Egytevékenységnél a felso téglalapok a legkorábbi kezdés-befejezést, az alsók pedig a legkésobbikezdés-befejezést szemléltetik. Ha a két téglalap kezdeti- és végpontja egybeesnek, akkor azilleto tevékenység kritikus.Habár egy projekt-hálózatban a kritikus út megkeresése könnyen programozható, a CPM

módszer lineáris programozási feladattal is modellezheto. Ennek érdekében jelölje xj a j-csúcsponthoz tartozó esemény bekövetkezésének idopontját. Minden (i, j) tevékenységreigaz, hogy a j esemény elott minden (i, j) tevékenységnek be kell fejezodnie. Ezért a projekt-hálózat minden (i, j) élére igaz: xj ≥ xi + tij, ahol tij jelöli az (i, j) tevékenység hosszát.Célunk az,hogy a befejezés-kezdés idotartam-különbséget minimalizáljuk. A mintapéldáhoztartozó lineáris programozási modell:

z = x19 − x1 → min,x2 ≥ x1 + 3, x3 ≥ x2 + 1,x4 ≥ x3 + 5, x5 ≥ x3 + 3,x6 ≥ x4 + 2, x6 ≥ x7 + 4,x7 ≥ x5 + 1, x8 ≥ x6 + 1,x9 ≥ x6 + 6, x10 ≥ x6 + 1,x11 ≥ x6 + 10, x12 ≥ x8 + 5,x12 ≥ x9 + 5, x12 ≥ x10 + 5,x12 ≥ x11 + 5, x13 ≥ x12 + 3,x14 ≥ x12 + 2, x15 ≥ x12 + 2,x16 ≥ x13 + 4, x16 ≥ x14 + 4,x16 ≥ x15 + 4, x17 ≥ x16 + 4,x18 ≥ x17 + 3, x18 ≥ x12 + 3,x18 ≥ x11 + 1, x19 ≥ x18 + 1,xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., 19.I

5.2. Ido-költség diagramon alapuló CPM módszerGyakran elofordul, hogy a projektet hamarabb be kell fejezni, mint amennyi a kritikus út

hossza. Ilyenkor pótlólagos eroforrások bevezetésével megpróbálják leszorítani a befejezésihatáridot. Mindezt persze a leheto legkisebb költséggel szeretnék elérni. Ilyenkor mindenegyes (i, j) tevékenységhez hozzárendeljük a 5.6. ábrán bemutatott úgynevezett ido-költségdiagramot . Az ábrán a tnij a normális idotartamot, a tcij a gyorsított idotartamot, a pnija normál idotartamhoz tartozó költséget és pcij a gyorsított idotartamhoz tartozó költségetjelentik. A grafikon azt mutatja meg, hogy az idotartam növekedésével hogyan esik a költség.A feladat az, hogy határozzuk meg a tevékenységek tij ∈

[tcij , t

nij

]idotartamát úgy, hogy a

befejezési határido az elore ismert T idotartamnál kisebb és az összköltség pedig minimálislegyen.


5.6. ábra. Ido-költség diagram

5.2. mintapélda (Auditálás). Egy vállalat auditálásának elso fázisában a könyvvizs-gáló cégnek eloször “meg kell tanulnia az ügyfelét”. Ez a folyamat az alábbi táblázatbanfelsorolt tevékenységeket jelenti:

Tevékenységek Idotartam (nap) Elozo tev.A. A vizsgálat feltételeinek meghatározása 3 -B. Az auditálhatóság felbecslése 6 AC. A tranzakció típusok és hibalehetoségek azonosítása 14 AD. A rendszer leírása 8 CE. A rendszerleírás ellenorzése 4 DF. A belso ellenorzés értékelése 8 B, EG. Az auditálás menetének megtervezése 9 F

a. Rajzoljuk meg a projekt-hálózatot, keressük meg a kritikus utat, határozzuk meg az egyestevékenységek turéshatárait!

b. Tegyük fel, hogy a projektnek 30 nap alatt be kell fejezodnie. Bármelyik tevékenységhossza rövidítheto Az alábbi táblázat mutatja a normál és gyorsított idotartamokhoz tar-tozó költségeket euróban kifejezve. WinQSB segítségével határozzuk meg a minimálisösszköltséghez tartozó tevékenységi idotartamokat.

Tev. Normál ido (tnij) Normál költs.. (pnij) Gyors. ido (tcij) Gyors. költs.(pcij)A. 3 100 1 200B. 6 300 4 500C. 14 500 8 1000D. 8 400 4 700E. 4 200 2 400F. 8 300 4 600G. 9 400 4 800

c. Írjuk fel a feladat lineáris programozási modelljét.

Megoldás.a. Az 5.1. mintapéldában leírtak alapján járunk el. Figyelembevéve a táblázatban

megadott tevékenységi sorrendet az 5.7. ábrán bemutatott hálózathoz jutunk:Alkalmazva a WinQSB PERT/CPM eszköztárát az alábbi turéshatár-táblázatot kapjuk:



Legkésobbi Legkorábbikezdési kezdési

Tevékenység idopont idopont TurésA 0 0 0B 3 23 20C 3 3 0D 17 17 0E 25 25 0F 29 29 0G 37 37 0

A kritikus út: A → C → D → E → F → G. A projektet leghamarabbi befejezésiidotartama 46 napb. A WinQSB PERT/CPM eszköztárát alkalmazzuk (lásd a 5.8. ábrát). Ekkor a

kezdo ablakban ki kell választani a CPM módszert (Deterministic CPM), meg kell adnia tevékenységek számát (Number of Activities). Ebben feladatban ez 7. Ennél a feladattí-pusnál az adatmezobol (Select CPM Data Field) ki kell választani a normál idot (NormalTime), a gyorsított idot (Crash Time), a normál-költséget (Normal Cost) és a gyorsított idoköltségét (Crash Cost). A feladatban az ido egysége a hét (Time Unit: day).

5.8. ábra. Az 5.2. mintapélda kezdotáblája.


Az OK gombra kattintva megjelenik a feladat adattáblája. Itt a második oszlopban (Ac-tivity Name) meg kell adni a tevékenységek elnevezését. Ha a tevékenységeket az ABC nagybetuivel jelöljük, úgy mint a feladatban, akkor a program felajánlja ezen elnevezéseket. Amá-sodik oszlopban (Immediate Predecessor) a tevékenységet közvetlen megelozo tevékenységeketkell felsorolni. Ha több van, akkor az elválasztó a vesszo. A harmadik oszlopba (NormalTime - tnij) a tevékenységek normál idotartamát, a negyedik oszlopba a gyorsított idotarta-mot (Crash Time - tcij), az ötödik oszlopba a a normál költségeket (Normal Cost - pnij), ahatodik oszlopba pedig a gyorsított ido költségét (Crash Cost - pcij) kell beírni (lásd a 5.9.ábrát).


A sízo emberke kattintva megjelenik a feladat eredménytáblája (5.10. ábra)


A táblázatból kiolvasható, hogy a projekt legkorábbi befejezésének idopontja (ProjectCompletion Time) 46 hét, és a feladatban van egy kritikus útvonal (Number of CriticalPath(s)=1). Az elso oszlop (Activity Name) a tevékenységek elnevezését tartalmazza. Amásodik oszlop (On Critical Path) azt mutatja meg, hogy a tevékenység a kritikus útvonalonvan-e (Igen=Yes, Nem=No). A harmadik oszlop (Activity Time) a tevékenység idotartamát,a negyedik oszlop (Earliest Start) a legkorábbi kezdési idopontot, az ötödik oszlop (EarliestFinish) a legkorábbi befejezési idopontot, a hatodik oszlop (Latest Start) a legkésobbi kezdésiidopontot, a hetedik oszlop (Latest Finish) a legkésobbi befejezési idopontot, a nyolcadikoszlop (Slack LS-ES) pedig a turési értékeket mutatja. Kiolvasható az is, hogy a a projektköltsége (Total Cost of Project) normál idotartamok esetén 2200 euró. Ahhoz, hogy aprojektet 30 nap alatt befejezzük, bizonyos tevékenységeket fel kell gyorsítani.Hogy melyikeket és mennyivel megkapjuk, ha az eredmények (Results) menüpontból kivá-

lasztjuk a gyorsítási analízis eszköztárat (Perform Crashing Analysis- vagy az ikont). A


megjelent táblából (5.11) kiolvasható, hogy normál idotartamok (Project Completion timeand cost based on normal time) esetén a projekt 46 nap alatt 2200 eurós költséggel végezhetoel és ha minden tevékenységet a leheto legkisebb idotartam alatt végeznek el, akkor 23 napszükséges, ekkor a költség pedig 4200 euró. Tehát a projekt 23 nap és 46 nap közöttiidotartamban fejezheto be. A feladatban a projektet 30 nap alatt kell befejezni. Ezt aszükséges idotartam (Desired completion time) mezoben adjuk meg a programnak. Az OK-ra kattintva megkapjuk az eredménytáblát.

5.11. ábra. A gyorsítási eszköztár vezérloablaka.

5.12. ábra. A gyorsítási analízis eredménytáblája.

Az 5.12. eredménytáblából kiolvasható, hogy ha 30 nap alatt akarjuk befejezni a projektet,az nekünk 3383.33 euróba kerül. A tevékenységek javasolt idotartami (Suggested Time) a6. oszlopból olvashatók ki. A pluszköltségeket (Suggested time) a 7. oszlop mutatja. Aprojekt Gantt diagramját tartalmazza a 5.13. ábra.

5.13. ábra. A projekt Gantt diagramja.


c. Jelöljük tA, tB, ..., tG-vel az A − G tevékenységhez szükséges a normál idotartamtóleltéro többlet idotartamokat. Eloször is meghatározzuk az egyes tevékenységek napi töb-bletköltségeit a

mij =pcij − p

nij

tnij − tcij

képlettel:

mA =100

2= 50, mB =

200

2= 100,

mC =500

6= 83.33, mD =

300

4= 75,

mE =200

2= 100, mF =

300

4= 75,

mG =400

5= 80,

Célunk az, hogy a teljes többletköltséget:

z = 50tA + 100tB + 83.33tC + 75tD + 100tE + 75tF + 80tG

minimalizáljuk. Ha xj a j-csúcsponthoz tartozó esemény bekövetkezésének idopontja, akkoraz (i, j) élre vonatkozó feltétel:

xj ≥ xi + tnij − tij ,

ahol tij az (i, j) éllel megadott tevékenység idotartama. Tehát, a feladat LP modellje:

z = 50tA + 100tB + 83.33tC + 75tD + 100tE + 75tF + 80tG → min,x2 ≥ x1 + 3− tA,x3 ≥ x2 + 6− tB,x4 ≥ x2 + 14− tC ,x5 ≥ x4 + 8− tD,x6 ≥ x3 + 8− tF ,x7 ≥ x6 + 9− tG,

xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., 7,tA, tB, ..., tG ≥ 0.

5.3. Program kiértékelés és áttekintés módszere, PERTA CPM feltételezi, hogy a tevékenységek idotartama nagy biztonsággal ismert. Ez a felté-

tel nagyon sok esetben nem teljesül. A CPM-nek ezt a hiányosságát kisérli meg feloldania program kiértékelés és áttekintés módszer (Program Evaluation and Review Technique -PERT ) azzal, hogy a tevékenységek idotartamát valószínuségi változónak tekinti. A Win-QSB 16 különbözo valószínuségi eloszlás esetén képes elemezni a problémát: béta, binomiális,Erlang, exponenciális, geometriai, hipergeometriai, normál, pareto, Poisson, háromszögu,egyenletes, Weibull, hatvány, lognormal, Laplace, gamma. A leggyakrabban a béta eloszlástalkalmazzák. Ekkor a PERT az egyes tevékenységekkel kapcsolatban a következo háromadatot igényli:


a — optimista becslés: a tevékenység idotartamának becslése a legkedvezobb feltételek mel-lett;

b — pesszimista becslés: a tevékenység idotartamának becslése a legkevezotlenebb feltételekmellett;

m — legvalószínubb becslés: a tevékenység idotartamának legvalószínubb értéke.

A három adat között mindig érvényesek az a ≤ m ≤ b egyenlotlenségek. Ha a tevékenységekbéta eloszlást követnek, akkor az (i, j) tevékenység idotartamának várható értéke:

M (tij) =1

3

(aij + bij2

)+2

3mij (5.1)

és varianciája:

V (tij) =(bij − aij)

2

36,

ahol aij az (i, j) élhez tartozó tevékenység idotartamának optimista, bij az (i, j) élhez tartozótevékenység idotartamának pesszimista és mij pedig az (i, j) élhez tartozó tevékenység ido-tartamának legvalószínubb becslése. A PERT feltételezi, hogy a tevékenységek idotartamaiegymástól független valószínuségi változók és hogy a kritikus út kelloen sok tevékenységboláll ahhoz, hogy a centrális határeloszlás tétele alkalmazható legyen.Ebben az esetben a kri-tikus út várható hossza a kritikus úton elhelyezkedo tevékenységek várható idotartamainakaz összege. A kritikus utat alkotó tevékenységek teljes varianciája megegyezik a kritikusúton levo tevékenységek varianciáinak összegével.Feltételezve, hogy a várható idotartamokkal számított kritikus út lesz a tényleges kritikus

út, továbbá, hogy alkalmazható a centrális eloszlás tétele és a kritikus út normális eloszlású-nak tekintheto M (CP ) várható értékkel és V (CP ) varianciával, ahol

M (CP ) =∑

(i,j)∈kritikus ut

M (tij) és

V (CP ) =∑

(i,j)∈kritikus ut

V (tij) .

A CP - kritikus út szórásaσ =

√V (CP ).

Annak valószínusége, hogy egy projekt T idotartam alatt befejezodik:

P (CP ≤ T ) = P

(CP −M (CP )

σ≤T −M (CP )

σ

)= Φ

(T −M (CP )

σ

),

ahol Φ = Φ(x) a standard normális elosztást jelöli:

Φ(x) =

∫ x

−∞

e−t2

dt

és a standard normális eloszlás táblázatából olvasható ki.



5.3. mintapélda (Rockkoncert). Egy rockkoncert szervezojének a következo táblázat-ban felsorolt teendoi vannak:

Idotartam (nap) ElozoTevékenységek a b m tevékenységek

A. Helyszín keresése 2 4 3 -B. Mérnökök toborzása 2 10 5 AC. Elozenekar biztosítása 2 10 6 AD. Rádió és tv-hirdetések elokészítése 1 3 2 CE. Jegyárusítás megszervezése 1 5 3 AF. Hangosítás elokészítése 2 4 3 BG. Plakátok nyomtatása 3 7 5 CH. Szállítás megszervezése 1 3 2 CI Próbák 1 4 2 F, HJ. Utolsó simítások 1 3 2 I

a. Rajzoljuk meg a projekt-hálózatot.

b. Határozzuk meg a kritikus utat.

c. Ha a szervezo 99%-os eséllyel június 30-ig kész akar lenni minden elokészülettel, mikorkell elkezdenie a koncert helyszínének keresését?

Megoldás.a. Figyelembevéve a táblázatban megadott tevékenységi sorrendet az 5.14. ábrán bemu-

tatott hálózathoz jutunk.b. A kritikus út meghatározása a CPM módszernél leírtak alapján történik úgy, hogy

a tevékenységek idotartamának a várható értékeket tekintjük. A várható értékeket a 5.1.képlettel számoljuk ki és az alábbi táblázatba foglaltuk össze:


5.15. ábra. A PERT módszer kezdotáblája.

Idotartam (nap) VárhatóTevékenységek a b m érték (nap)

A. 2 4 3 3B. 2 10 5 5.33C. 2 10 6 6D. 1 3 2 2E. 1 5 3 3F. 2 4 3 3G. 3 7 5 5H. 1 3 2 2I 1 4 2 2.16J. 1 3 2 2

A továbbiakban a WinQSB PERT/CPM eszköztárát alkalmazzuk (lásd a 5.15. ábrát).Ekkor a kezdoablakban ki kell választani a PERT módszert (Probabilistc PERT) és meg kelladni a tevékenységek számát (Number of Activities). Ebben feladatban ez 10. A feladatbanaz ido egysége a hét (Time Unit: day).Az OK gombra kattintva megjelenik a PERT adattáblája, amit az adatlista alapján ki kell

tölteni (5.16. ábra). Itt a második oszlopban (Activity Name) meg kell adni a tevékenységekelnevezését. Ha a tevékenységeket az ABC nagy betuivel jelöljük, úgy mint a feladatban,akkor a program felajánlja ezen elnevezéseket. A harmadik oszlopban (Immediate Predeces-sor) a tevékenységet közvetlen megelozo tevékenységeket kell felsorolni. Ha több van, akkoraz elválasztó a vesszo. A negyedik oszlopba (Opimistic time - a) a tevékenységek optimistaidotartam becslése, az ötödik oszlopba a legvalószínubb becslése ( Most likely time - m), ahatodik oszlopba pedig a pesszimista becslése (Pessimistic time - b) kerül.



A sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB betölti az 5.17. eredménytáblát. Innen le-olvasható, hogy a projekt befejezésének várható legkorábbi idopontja (Project CompletionTime) 15.5 nap és a projektnek egy kritikus útja van (Number of Critical Path(s) = 1).A második oszlop (On Critical Path) megadja a kritikus útvonalon levo tevékenységeket (A → B → F → I → J). A harmadik opszlop (Activity Mean Time) a tevékenységekvárható idotartamát ( M (tij) értékeket) tartalmazza. A negyedik oszlop (Earliest Start)a tevékenységek legkorábbi kezdési, az ötödik oszlop (Earliest Finish) a legkorábbi befe-jezési, a hatodik oszlop (Latest Start) a legkésobbi kezdési, a hetedik oszlop (Latest Finish)a legkésobbi befejezési idopontokat mutatja. A nyolcadik (Slack LS-ES) oszlopban vannakfeltüntetve a tevékenységek turései. A kilencedik oszlop azt mutatja, hogy a három becslésenalapuló eljárást alkalmaztuk, a tízedik oszlop pedig megadja a σ (tij) =

√V (tij) szórásokat.


c. Ha meg akarjuk tudni, hogy a 15.5 nap várható idotartam milyen valószínuséggelteljesül az eredmények (Results) menüpontból kiválasztjuk a valószínuségi elemzés (PerformProbability Analysis, vagy a %-jel ikont) eszköztárat (5.18. ábra), ahol a szükséges idotartam(Desired Completion Time) mezoben beírjuk a 15.5-öt. A szamítsd a valószínuséget (Com-pute Probability) gombra kattintva kiolvasható, hogy a kritikus útvonal (Critical Path):A → B → F → I → J. A standard szórás (Standard deviation): 1.5366, és a 15.5 napvárható idotartam 50% valószínuséggel (Probability %) teljesül.


5.18. ábra. A PERT valószínuségi elemzés eszköztára.

Ha növeljük a szükséges idotartamot mondjuk 18 napra, és újra kiszámoltatjuk a va-lószínuséget, akkor erre már 94.81% kapunk, 19 napra pedig 98.86%-ot. Végül 20 napra99.82% valószínuség jön ki. Tehát, ha alkalmazható a centrális eloszlás tétele és a kritikusút normális eloszlásúnak tekintheto, akkor június 30-adika elott 20 nappal, azaz június 9-énkell elindítani a koncert szervezését.Legtöbb esetben nehéz eldönteni, hogy a centrális eloszlás tétele alkalmazható-e? An-

nak ellenorzésére, hogy valóban a 20 nap 99.86% valószínuséggel teljesül-e használjuk aPERT szimulációs eszköztárát (Results-Perform Simulation, vagy a dobókocka ikon). Amegjelent ablakban (5.19. ábra) a szükséges idotartamot 20-ra állítva és a szimuláció (Sim-ulate) gombra kattintva a szükséges idotartam relatív gyakorisága (% to finish in desiredcompletion time) mezoben megjelenik a 99.8%, ami nagy közelítéssel megegyezik a 99.82%valószínuséggel. A relatív gyakoriságot a beállítás alapján (Number of simulated observa-tions) a program 1000 megfigyelésbol számolja ki.

5.19. ábra. A PERT szimulációs eszköztára.

Érdemes megfigyelni a relatív gyakoriságok és a valószínuségek közötti eltéréseket. Ennekérdekében a szükséges idot 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 napra állítjuk, mint a valószínuségielemzés, mint a szimulációs eszköztárnál és kiszámoljuk a valószínuségeket valamint a relatívgyakoriságokat. Az alábbi táblázat összefoglalja a kapott eredményeket:


Idotartam Valószín. Rel. gyak15 37.24% 20.7%16 62.75% 44.4%17 83.55% 74.9%18 94.81% 92.5%19 98.86% 98.7%20 99.82% 99.8%21 99.98% 99.99%

Látható, hogy amint az idotartam no a relatív gyakoriság és a valószínuség közelít egy-máshoz és, hogy a 20 nap valóban egy jó becslésnek tekintheto.

5.4. Kituzött feladatok1. A helyi kábel-TV társaság néhány izgalmas csatornával akarja bovíteni TV-szolgáltatását

itt Csíkszeredában. A teendoket az alábbi táblázat tartalmazza:

Közvetlen IdotartamTevékenység Leírás elozmények (hét)A Csatornák kiválasztása - 2B Bovítés engedélyeztetése A 4C Jelerosítok megrendelése B 3D Új parabola üzembe helyezése B 2E Jelerosítok üzembe helyezése C, D 10F Számlázási rendszer átalakítása B 4

a. Rajzoljuk meg a projekthálózatot, keressük meg a kritikus utat, határozzuk meg azegyes tevékenységek turéshatárát.

b. Mennyi ido szükséges a tervezet elkészítéséhez?

2. A következo táblázat egy kisebb projekt tevékenységeit tartalmazza:

Idotartam KözvetlenTevékenység (hét) elozményekA 3 -B 1 AC 2 BD 7 -E 8 A, DF 3 BG 1 E, FH 2 A, D

Rajzoljuk meg a hálódiagramot. Adjuk meg a projekt elkészülésének legrövidebb ido-tartalmát és a kritikus útvonalat. Határozzuk meg az egyes tevékenységek turéshatárátis.


3. Tekintsük egy faház építésének tevékenység listáját.

Tevékenység Leírás Elozmények IdotartamA Alapozás - 5B Falak A 8C Tetofedés B 10D Villanyszerelés B 5E Nyílászárok B 4F Külsoburkolat E 6G Festés C, F 3

Rajzoljuk meg a projekthálózatot és határozzuk meg az egyes tevékenységek turéshatárát!

4. Tekintsük az alábbi ütemezési feladatot:

Tevékenység Elozmények IdotartamA - 2B - 3C A 4D A, B 3E C, D 8F C 3G E 2H G, F 3

Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket,a tevékenységek legkorábbi és a legkésobbi kezdési idopontjait. Jelenítsük meg a feladatGantt diagramját.

5. Egy projekt 11 tevékenységbol áll (1, 2, 3, ..., 11). A tevékenységek idotartalmát és aközvetlenül megelozo tevékenységeit az alábbi táblázat adja meg. Rajzoljuk meg a hálódi-agramot, és határozzuk meg a kritikus útvonalat.

Közvetlen IdotartamTevékenység elozmények (hét)1. - 12. 1 33. 2 24. 2 25. 2 46. 4 17. 3 48. 6 29. 6 110. 5, 7, 8 811. 9, 10 2


6. Egy új termék piacra dobásához az alábbi elokészíto tevékenységeket végzik:

Tevékenység Leírás Idotartam1. A termék megtervezés 62. A csomagolás megtervezés 23. A termék anyagszükségletének megrendelés 34. A csomagolás anyagszükségletének megrendelés 25. A termék prototípusának elkészítése 46. A csomagolás prototípusának elkészítése 17. A csomagolás optimalitásának vizsgálata 18. Piackutatás 69. A termék végso tervének elkészítése 310. A csomagolás végso tervének elkészítése 111. A termék bemutatása a döntéshozó testülethez 1

A tevékenységek sorrendiségét az alábbi táblázat tartalmazza:

Tevékenység Megjegyzés Tevékenység sorszáma1. tevékenységet be kell fejezni 3. tev. megkezdése elott2. tevékenységet be kell fejezni 4. tev. megkezdése elott3. tevékenységet be kell fejezni 5. tev. megkezdése elott4. tevékenységet be kell fejezni 6. tev. megkezdése elott

5. és 6. tevékenységet be kell fejezni 7. tev. megkezdése elott7. tevékenységet be kell fejezni 8. tev. megkezdése elott8. tevékenységet be kell fejezni 9. tev. megkezdése elott8. tevékenységet be kell fejezni 10. tev. megkezdése elott

9. és 10. tevékenységet be kell fejezni 11. tev. megkezdése elott

Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket,a tevékenységek legkorábbi és a legkésobbi kezdési idopontjait. Jelenítsük meg a feladatGantt diagramját.

7. Tekintsük az alábbi ütemezési feladatot:

Tevékenység Elozmények IdotartamA - 5B - 7C - 6D A 3E B, C 4F C 2G A, D 6H E, F 5

Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket,a tevékenységek legkorábbi és a legkésobbi kezdési idopontjait. Jelenítsük meg a fela-dat Gantt diagramját. Mi történik, ha az E vagy az F tevékenység 3 nappal csúszik?Befolyásolja-e ez az eredeti befejezési idopontot?


8. Barátai és Ön közösen lassagne vacsorához készülodnek. A teljesítendo feladatok, a hoz-zájuk szükséges idotartamok (percben), valamint a „megelozési kényszerek” a következok:

Tevékenység Leírás Elozmények IdotartamA Vásárold meg a mozzarella sajtot - 30B Szeleteld fel a mozzarellát A 5C Verj fel 2 tojást - 2D Keverd el a tojásokat túróval C 3E Vágj fel hagymát és gombát - 7F Fozd meg a paradicsomszószt E 25G Forralj egy nagy fazék vizet - 15H Fozd meg a lassagne tésztát G 10I Csöpögtesd le a lassagne tésztát H 2J Gyujtsd össze a hozzávalókat B, D, F, I 10K Melegítsd be a sütot - 15L Süsd meg a lassagne tésztát J, K 30

a. Fogalmazzuk meg ezt a problémát CPM-típusú rendszerként, és rajzoljuk meg a ter-vezeti hálózatot!

b. Határozzuk meg minden egyes események kezdésének legkorábbi idopontját, és a turésihatárát. Határozzuk meg a kritikus útvonalat is!

c. Telefonhívás miatt 6 percre félbeszakították, amikor a hagymát és a gombát kellettvolna felvágnia. Mennyivel fog késobb elkészülni a vacsora? Ha használja a robotgépetamely a vágási idot 7 percrol 2 percre csökkenti, még akkor is a tervezettnél késobb fogelkészülni a vacsora?


IdotartamTevékenység (hét)1→2 21→3 31→4 22→5 33→6 74→6 55→7 46→7 97→8 3

A 7. tevékenységet csak az 5. tevékenység befejezése után lehet elkezdeni. Adjuk meg aprojekt elkészülésének legrövidebb idotartalmát és a kritikus útvonalat.



IdotartamTevékenység (hét)1→2 21→3 42→4 73→4 33→5 74→5 35→6 44→6 66→7 24→7 7

Az 5. tevékenységnek csak három héttel az 1. tevékenység befejezése után lehet nekikezdeni. Adjuk meg a projekt legrövidebb idotartalmát és a kritikus útvonalat.

Mi történik, ha:

a 8. tevékenység idotartamát 3 hétre csökkentjük?a 4. tevékenység idotartamát 2 héttel meghosszabbítjuk?a 7 tevékenység idotartamát 2 héttel csökkentjük?

11. Egy vállalat egy olyan termék gyártását készíti elo, amelyet három részbol (A, B és C)szerelnek össze. Azzal számolnak, hogy 4 hetet vesz igénybe a három alkotóelem megter-vezése és összeszerelésük mikéntjének kidolgozása. Az A gyártásának idoigényét 3 hétre,a B-ét 5 hétre, a C-ét pedig 4 hétre becsülik. Elkészülte után az A részt tesztelni kell,ez 1-ét hétbe telik. Az összeszerelési folyamat ezután a következo: egybeépítik az A ésB részeket (3-ét hét), majd hozzárögzítik a C részt (2 hét). Végül a terméket 2 hétigtesztelik. Rajzoljuk meg a projekthálózatot és határozzuk meg a kritikus utat, valamintaz egyes tevékenységek turéshatárát. A feladat megoldásához használjuk a WinQSB pro-gramcsomagot!

12. Egy kockázati ellenorzés az alábbi táblázatban felsorolt tevékenységeket jelenti:

Tevékenység Leírás Elozmények IdotartamA A feltételek meghatározása - 3B A kockázat felbecslése A 6C A hibalehetoségek azonosítása A 14D A rendszer leírása C 8E A rendszerleírás ellenorzése D 4F Az ellenorzés értékelése B, E 8G Az ellenorzés megtervezése F 9

a. Rajzoljuk meg a projekthálózatot, keressük meg a kritikus utat és határozzuk meg azegyes tevékenységek turéshatárait!


b. Tegyük fel, hogy a projektnek 30 nap alatt be kell fejezodnie. Bármelyik tevékenységhossza rövidítheto, de ennek ára van. A költségeket az alábbi táblázatban találhatók:

Tevékenység Lerövidítés költsége Lerövidítés idejeA 100 2B 80 4C 60 5D 70 2E 30 3F 20 4G 50 4

Milyen minimális költséggel érheto el, hogy a projekt 30 nap alatt befejezodjön?

13. Egy új termék bevezetése elott az alábbi táblázatban felsorolt lépéseket kell megtenni:

Tevékenység Leírás Elozmények IdotartamA Termék megtervezése - 6B Piackutatás - 5C Alapanyagok megrendelése A 3D Alapanyagok bevételezése C 2E Prototípus elkészítése A, D 3F Reklám megszervezése B 2G Tömegtermelés beindítása E 4H Termék kiszállítása a boltokban G, F 2

a. Rajzoljuk meg a projekt-diagrammot.b. Határozzuk meg az összes kritikus utat és tevékenységeket.c. Számoljuk ki az egyes tevékenységek turéshatárát.d. Bármelyik tevékenység hossza legfeljebb 2 héttel csökkentheto. Az egyes tevékenységekegy héttel történo lerövidítésének költsége a következo: A 80 euró, B 60 euró, C 30 euró,D 60 euró, E 40 euró, F 30 euró, G 20 euró. Milyen minimális költséggel érheto el, hogya termék két héttel korábban a boltokba kerüljön.

14. Egy cég megtudja, hogy konkurense újfajta termékkel készül kijönni a piacra, amely irántvalóban nagy lesz a kereslet. Ez a cég is dolgozott egy hasonló terméken, és a kutatás-sal már majdnem készen vannak. Most gyorsan piacra akarják dobni a terméket, hogyfelvegyék a versenytársukkal a versenyt. Még négy, egymást át nem fedo fázist kell be-fejezniük, beleértve a kutatásból hátra maradt részt, amelyek jelenleg normális ütembenfolytatnak. Azonban minden fázis végezheto prioritással vagy — gyors befejezés érdekében —sürgosséggel. Az egyes szinteken szükséges idotartamokat (hónap) és költségeket az alábbitáblázat tartalmazza:

Normál Sürgoségi Normál SürgoségiTevékenység ido ido költség költségHátralévo kutatás 4 2 6 9Fejlesztés 3 2 6 9Gyártórendszer megtervezése 5 3 9 12Termelés megkezdése 2 1 3 6


Tudva, hogy a cégnek 30 millió eurója van a négy fázisra, milyen gyorsassággal kell egyesfázisokat elvégezniük, hogy a leheto legrövidebb ido alatt a termék piacra kerüljön az adottköltségvetési korlát mellett.

15. Tegyük fel, hogy egy tervezetet az alábbi háló reprezentál. Alkalmazva az ido-költségdiagramon alapuló CPM-módszert határozzuk meg, hogy milyen minimális költséggel lehet100 hét alatt a tervezetet befejezni.

Sürgoségi Normál Normál SürgoségiTevékenység ido ido költség költség1→2 28 36 10 201→3 22 32 12 222→6 26 46 1 113→4 14 18 5 153→5 28 36 4 143→6 40 74 8 184→5 12 24 24 345→6 16 20 123 1335→7 26 34 11 216→7 12 16 45 55

16. A Jó Közkapcsolat cég projekt menedzsere az alábbi tervezetet nyújtotta be egy rek-lámkampány elokészületeihez (az idok napokban vannak megadva).

Idotartam KözvetlenTevékenység a m b elozményekA 8 10 12 -B 5 8 17 -C 9 10 11 -D 1 2 3 BE 8 10 12 A, CF 5 6 7 D, EG 1 3 5 D, EH 2 5 8 F, GI 2 4 6 GJ 4 5 8 HK 2 2 2 H

Rajzoljuk meg a hálódiagramot. Mi a valószínusége annak, hogy a projekt 35 nap alattelkészül?


17. Tekintjük az alábbi projekthálózatot

Közvetlen IdotartamTevékenység elozmények a m bA - 2 5 8B - 2 5 8C B 1 2 3D A 2 3 4E A 1 3 5F A, C 3 6 10G A, C 4 6 7H A, C 3 4 6I D 1 2 3J I 3 5 6K F 2 4 5L G 2 4 5M E 4 6 11N M 4 5 7O K 2 5 6P L, H 5 6 9Q J 2 3 4

Határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és a legkésobbikezdési idopontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját. Mi a valószínusége, hogya projektet 26 nap alatt befejezik.

18. Egy szerelési munkákkal foglalkozó Kft. versenytárgyalásra készül. A kiírás tárgya egybetonlapra elhelyezett motor felszerelése és beüzemelése. A Kft. vezetése szeretné megha-tározni a munka várható átfutási idejét úgy, hogy azt a legrövidebb ido alatt végezhesse aztel. Az egyes résztevékenységek és az elvégzéshez szükséges becsült idotartamokat (napbankifejezve) az alábbi táblázat tartalmazza:

Közvetlen IdotartamTevékenység Leírás elozmények a m bA Fémlap elkészítése - 10 14 20B Fémlap helyszínre szállítása A 1 2 3C Alapárok ásása - 1 3 7D Zsalu készítése C 2 3 5E Zsalu kiöntése betonnal D 2 3 5F Beton kezelése E 6 8 11G Motor szállítása - 2 3 5H Fémlap elhelyezése B, F 3 4 6I Motor felszerelése H, G 1 2 5J Motor beüzemelése I 1 3 7

Rajzoljuk meg a feladat ütemezési hálózatát és határozzuk meg a kritikus tevékenységeket,a tevékenységek legkorábbi és a legkésobbi kezdési idopontjait. Jelenítsük meg a feladatGantt diagramját. Adjuk meg 99%-os valószínuséggel mennyi a munka várható átfutásiideje.


19. Tekintsük az alábbi táblázatban megadott projekt-hálózatot.

a. Határozzuk meg a kritikus utat valamint a tevékenységek turéshatárát.b. Mennyi a valószínusége, hogy a projekt 40 nap alatt befejezodik?

Tevékenység a b m1→2 4 8 61→3 2 8 42→4 1 7 33→4 6 12 93→5 5 15 103→6 7 18 124→7 5 12 95→7 1 3 26→8 2 6 37→9 10 20 158→9 6 11 9

20. Egy számítástechnikai cég egy új, komplett informatikai rendszer telepítését vállalta el.Mivel azonban ilyen munkát még nem végeztek, ezért az egyes résztevékenységek átfutásiidoire vonatkozóan csak becsült adatokkal rendelkeznek. Az egyes résztevékenységek és azelvégzéshez szükséges becsült idotartamokat (napban kifejezve) az alábbi táblázat tartal-mazza:

IdotartamTevékenység Leírás a m b1→ 2 Rendszerterv elkészítése 1 4 71→ 3 Gépi konfiguráció kiválasztása 3 6 101→ 4 Tanfolyam a rendszermérnököknek 4 5 62→ 5 Program megírása, fejlesztése 10 14 202→ 6 Bemeno adatrendszer eloállítása 4 6 103→ 6 Számítógépek leszállítása 1 2 44→ 6 Rendszermérnökök vizsgáztatása 1 1 15→ 8 Programrendszer tesztelése 10 12 206→ 7 Konfigurálás 2 4 77→ 8 Ellenorzés 5 8 128→ 9 Futtatás éles adatokkal 2 3 59→ 10 Ellenorzés, átadás 1 2 4

A versenyképes ajánlat megadása érdekében határozzuk meg azt a legrövidebb átfutásiidot, amely mellett a cég a rendszer telepítését vállalni tudja és 98% valószínuséggel beis fejezi azt. Határozzuk meg a kritikus tevékenységeket, a tevékenységek legkorábbi és alegkésobbi kezdési idopontjait. Jelenítsük meg a feladat Gantt diagramját.

II. rész

GAZDASÁGI DÖNTÉSEK MATEMATIKAIMODELLEZÉSE

6. fejezet

Komplex döntések

6.1. Döntési fákGyakran elofordul, hogy az embereknek különbözo idopontokban döntések sorozatát kell

meghozniuk. Ekkor az optimális döntés meghozatalához alkalmazhatók az úgynevezett dön-tési fák , amik lehetové teszik, hogy egy komplex döntési problémát néhány egyszerubb prob-lémára bontsuk fel.6.1. mintapélda (Piackutatás). Egy vállalatnak el kell döntenie, hogy végezzen-e

piackutatást az egyik új terméke (kódneve M997) piacra dobása elott. A piackutatás költsége100000 euró, a régebbi tapasztalatok alapján a vállalat tudja, hogy a termékeknek csak 30%sikeres egy ilyen piackutatás esetén.Ha az M997 termék sikeresen helytáll a piackutatás során, akkor a vállalat el kell döntse,

hogy a termékét milyen méretu telephelyeken állítja elo. Egy kicsi telephely kiépítése 150000euróba kerül és évi 2000 darab M997-es termék eloállítását teszi lehetové. Ha nagy tele-phelyen állítanák elo a terméket akkor az 250000 euróba kerülne de évente 4000 darab M997terméket állíthatnának elo.A marketing osztály becslései szerint 40% az esélye annak, hogy a konkurencia is eloáll

egy hasonló termékkel, és így az ár amit egy M997 termékért kérhetnek a következok szerintalakulhat:

Nagy telep Kicsi telepKonkurencia közbelép 20 euró darabja 35 euró darabjaKonkurencia nem reagál 50 euró darabja 65 euró darabja

a. Érdemes-e a cégnek piackutatást végeznie a M997 terméken?

b. Mennyi az a legnagyobb összeg, amit a cégnek érdemes kifizetni ezért a piackutatásért?

c. Mennyi az a legnagyobb összeg, amit a cégnek érdemes kifizetni azért, hogy megtudja akonkurencia belép vagy sem a piacra?

141

142 6. Komplex döntések

6.1. ábra. A piackutatás mintapélda döntési fája.

Megoldás.a. A probléma megoldására döntési fát használunk. Tulajdonképpen a cég vezetésének

két döntést kell meghoznia. Az egyik, hogy végezzen-e piackutatást vagy sem? A másik,hogy ha piackutatás azt mutatja érdemes piacra dobni a terméke, akkor milyen méretutelephelyet építsen: kicsit vagy nagyot? A döntések és a különbözo véletlenszeru eseményekidobeli sorrendjében rajzoljuk meg a döntési fát. A döntési csomópontokat négyzettel, avéletlenszeru események bekövetkezését pedig körrel ábrázoljuk. Egy döntési csomópontaz idoben olyan pontot képvisel, amikor a cég vezetoségének döntést kell hoznia. Mindenág, amelyik egy döntési csomópontból ered, egy lehetséges döntést jelképez. Egy eseménycsomópontot akkor rajzolunk, amikor külso tényezok határozzák meg, hogy a véletlenszeruesemények közül melyik következik be. Egy esemény csomópontból kiinduló ágak a lehetségeseseményeket mutatják, és az ágakon feltüntetett számok az események bekövetkezésénekvalószínuségét jelentik. A döntési fának egy olyan ágát, ahonnan már nem indul ki ág,levélnek nevezzük. A leveleken feltüntetjük a különbözo kimenetelekhez tartozó vagyonihelyzetet (nyereséget).Amint a feladatból is kiderül természetes, hogy egyszer a piackutatásra vonatkozó döntést

hozzuk meg, aminek két kimenetele lehet: igen, vagy nem. Ha a döntésünk az, hogy nem,akkor nem is dobjuk piacra a terméket. Így nyereségünk nulla. Ha pedig piackutatás mellettdöntünk, akkor egy véletlenszeru esemény következik be: 30% eséllyel sikert fognak jósolni,és 70% eséllyel bukást. Ha bukást jósolnak, akkor nem dobjuk piacra a terméket, így ny-ereségünk a piackutatásra kiadott összeg ellentétje, azaz −100000 euró. Ha sikert jósolnak,akkor a második döntésünk, hogy milyen méretu telephelyet építsünk. Ha a kicsi mellettdöntünk és a konkurencia is közbelép, aminek 40% az esélye, akkor nyereségünk hét évreszámolva: 35×2000×7−150000−100000 = 240 000. Ha pedig konkurencia nem lép közbe,aminek 40% az esélye, akkor nyereségünk hét évre számolva: 65×2000×7−150000−100000 =660 000. Másik lehetoség, hogy a nagy mellet döntünk. Ekkor a nyereség a konkurencia köz-belépésekor 20 × 4000 × 7 − 250000 − 100000 = 210 000, a konkurencia közbelépése nélkülpedig 50× 4000× 7− 250000− 100000 = 1050 000.A leírtak alapján a 6.1. ábrán bemutatott döntési fa rajzolható meg.A döntési fa kiértékelése a várható érték elve alapján történik. Kezdjük a leveleket össze-

fogó 6. és 7. csomópontokkal. A 6-odik csomóponthoz tartozó várható érték: v6 = 240000 ·0.4 + 660000 · 0.6 = 492000, a 7-edikhez pedig: v7 = 210000 · 0.4 + 1050000 · 0.6 = 714000.Ezeket az értékeket feltüntetjük a csomópontok alatt.

6. Komplex döntések 143

6.2. ábra. A piackutatás mintapélda EVWSI-je.

Most kiértékeljük az 5. csomóponthoz tartozó döntési helyzetet. A kicsi telephely megépí-tése várhatóan v6 = 492000 euró, a nagy telephely megépítése pedig várhatóan v7 = 714000euró nyereséget eredményez. A várható érték elve alapján azt a kimenetet választjuk, aholnagyobb a várható érték. Ebben az esetben a nagy telephely megépítését. Ezt úgy jelöljük,hogy az 5 csomóponthoz beírjuk a v7 értékét.Továbblépünk a 3. csomópont kiértékeléséhez. Ez egy véletlenszeru eseményt jelképez,

tehát a csomópontból kimeno ágak várható értékét kell meghatározni: v3 = −100000 · 0.7 +714000 · 0.3 = 144200, és a csomópont alatt feltüntetni.Ezután már csak az marad hátra, hogy meghatározzuk a helyes döntést az 1. csomópont-

ban. Mivel a hármas csomópontban lévo érték nagyobb mint a Nem kimenetelhez tartozóérték, ezért döntésünk a hármas csomópontra esik, azaz a piackutatás mellett döntünk.Tehát, a piackutatás mellett döntünk és, ha az sikert fog jósolni, akkor a nagy telephelyet

építsük meg. Ez a stratégia várhatóan 144200 euró jövedelmet fog eredményezni.b. A döntési fák arra is felhasználhatók, hogy megmérjük a mintavételbol (piackutatásból)

származó információ értékét.Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a cég nyereségét abban az esetben, ha a piacku-

tatás nem kerülne semmibe. Ezt a nyereséget (végso vagyoni helyzetet) úgy nevezzük, hogyvárható érték mintainformációval (Expected Value with Sample Information: EVWSI).Kiszámítása ugyanúgy történik, mint az elobbi esetben, csak itt a piackutatás költségenulla, azaz a fa leveleinek értékei a piackutatás ágon 100000 euróval nagyobbak lesznek(6.2. ábra). A piackutatás döntés várható értéke a 3. csomópontnál van feltüntetve. Tehát,az EVWSI = 244200.Ezután meghatározzuk azt a vagyoni helyzetet (nyereséget), amelyet a cég akkor érne el,

ha nem végez piackutatást. Ezt úgy nevezzük, hogy várható érték az eredeti információalapján (Expected Value with Orginal Information: EVWOI). Ezt az értéket a piackutatáscsomópontnak arról az ágáról olvashatjuk le, amelyikhez a Nem döntéshez tartozik. A miesetünkben ez nulla. Tehát az EVWOI = 0.Így a piackutatásból nyerheto információ várható értéke, melynek elnevezése a mintanfor-

máció várható értéke (Expected Value of Sample Information: EV SI) így adható meg:

EV SI = EVWSI −EVWOI.

Ebben a példában az EV SI = 244200.


Az EV SI az a legnagyobb pénzösszeg amit a cég a piackutatásból származó információértfizethet, mert ha ennél többet fizet, akkor a várható nyeresége piackutatás nélkül nagyobblesz, mint piackutatással.c. Az EVSI meghatározására alkalmazott elemzést kiterjeszthetjük a tökéletes információ

meghatározására is. Tökéletes információn azt értjük, hogy bár a konkurencia belépése apiacra ugyanúgy 40% valószínuséggel következik be, de a marketing osztály valamilyen külsoinformáció alapján már elore, a telephely megépítése elott megmondja, hogy a konkurenciabelép a piacra vagy sem. Ez az információ aztán felhasználható a vállalat optimális marketingstratégiájának meghatározására. A tökéletes információval kapott várható érték (ExpectedValue with Perfect Information: EVWPI) kiszámítható úgy, hogy rajzolunk egy döntésifát, ahol a döntéshozónak a döntéshozás elott tökéletes információja van arról, hogy melyikállapot fog bekövetkezni (6.3. ábra). Ebben az esetben a kiinduló csomópont egy véletlen-szeru esemény, amelynek az ágain a konkurencia belépésének valószínuségeit tüntetjük fel.Majd mind a két esetben jön egy döntés, ami a telephelyek kiválasztására vonatkozik. Adöntési csomópont ágain a nulla piackutatási költséggel számított nyereségeket tartalmazólevelek vannak. A döntési fát az elobbiekben leírtak alapján értékeljük ki. Az EVWPI avégso várható anyagi helyzet. Ebben a feladatban EVWPI = 826000.

6.3. ábra. A piackutatás mintapélda EVWPI-je.

Ezután a tökéletes információ várható értéke (Expected Value of Perfect Information:EV PI) az

EV PI = EVWPI −EVWOI

képlettel számítható ki. A tanulmányozott példában EV PI = 826000 euró. A market-ing osztály maximálisan ezt az összeget adhatja egy olyan információért, ami egyértelmuenmegmondja, hogy a konkurencia belép vagy sem a piacra.

6.2. A döntési fa elemzése a WinQSB segítségével6.2. mintapélda (Pályázat) Egy cég el kell döntse, hogy megpályázza-e az állam által

kiirt MS1 és MS2 eszközbeszerzési projekteket. A cégnek több lehetosége van: csak azegyik projektet pályázza meg, vagy mindkettot egy pályázatban vagy egyáltalán nem készítpályázatot. A cégnek csak egy pályázat benyújtására van lehetoségé. A pályázati anyagösszeállítása, ha csak az MS1 projektre pályáz 50000, ha csak az MS2-re pályáz 14000, hamindkettore, akkor 55000 euróba kerül. Sikeres pályázás esetén pluszkiadások lépnek fel:az MS1 pályázat esetén 18000 euró, az MS2 pályázat esetén 12000 euró és mindkét projektelnyerése esetén 24000 euró. Az egyes projekt eszközbeszerzésére felajánlott összegek és ezenértékek mellett a projektek elnyerési valószínuségét a következo táblázat adja meg.


Kiirások SzezodéskötésLehetoségek költsége valószínuségecsak MS1-re 130000 20%

115000 85%csak MS2-re 70000 15%

65000 80%60000 95%

MS1 és MS2 190000 5%140000 65%

Ha az MS1 és MS2 projektet egybe pályázzák, akkor vagy mindkettot elnyerik vagy egyiketsem.

a. Hogyan kellene eljárjon a cég, hogy leheto legnagyobb nyereségre tegyen szert?

b. Ha volna lehetoség egy szakérto véleményét kikérni 20000 euróért, amely segítségével, hacsak az MS2 projekt 60000 eurós összegének megpályázása esetén garantáltan nyero lenne,érdemes lenne-e igénybe venni a segítségét?

Megoldás.a. A cégnek két döntést kell meghoznia a felsorolt sorrendben:I. hogy pályázzon-e, és ha igen, akkor melyik projektre?II. mekkora összegre pályázzon?Ha nem pályázik, akkor vagyoni helyzete nem változik, azaz nyeresége nulla. Ha pályázik,

akkor három változat közül választhat: csak az MS1-re, vagy csak az MS2-re, vagy mindket-tore.Ezeket szemléltetik a 6.4. döntési fa 1 csomópontjából kiinduló ágak. Ha az MS1-re

pályázik, akkor két döntése lehet, vagy a 130000 euróra, vagy a 115000 euróra pályázik.Ezt a döntést mutatják a döntési fa 2 csomópontjából kiinduló ágak. Ha a 130000 eurórapályázik, akkor döntési fa 6 csomópontjával jelzett véletlenszeru esemény alapján 20% azesélye, hogy megnyerje a pályázatot és 80% az esélye, hogy ne nyerje meg. Ha megnyeri,akkor a nyeresége: 130000−50000−18000 = 62 000 euró. Ha nem nyeri meg, akkor nyeresége:0− 50000 = −50 000 euró. Ez a két érték szerepel a 6 csomópontból kimeno ágakon. A 2-esdöntési csomópontból kiinduló másik ág a 115000 eurós pályázat melletti döntést szemlélteti.Ebben az esetben 85% az esélye, hogy megnyerje a pályázatot. Ezt a véletlenszeruséget a 7-escsomópont beiktatásával szemléltetjük. Ennek két kimeno ága van: ha elnyeri a pályázatot,ekkor nyeresége: 115000 − 50000 − 18000 = 47 000 euró, ellenkezoleg pedig: −50000 euró.Ezen értékeket a 7. csomópontból kimeno ágakon tüntetjük fel. Hasonló meggondolásokalapján rajzoljuk meg a döntési fa 3-as és 4-es csomópontjaiból kiinduló ágait.A döntési fa alakját papíron vázoljuk, majd a fa alapján kitöltjük a WinQSB döntése-

lemzési (Decision Analysis) eszköztára által igényelt adattáblázatot. Az ábrán a csomópon-tok alatti a várható értékeket a WinQSB jeleníti meg. Ezeket a vázlatra nem kell beírjuk,csak a levelek értékeit kell kiszámoljuk. A 6.5. kezdotáblában kiválasztjuk a Döntési fa el-emzése (Decision Tree Analysis) feladat típust és megadjuk a csomópontok és levelek számát(Number of Nodes/Events (Including Terminals)). Ebben a feladatban ez 26.


6.4. ábra. A 6.2. mintapélda döntési fája.

6.5. ábra. A döntési fa kezdotáblája.

Az OK-ra kattintás után betöltodik a döntési fa 6.6. adattáblája. A táblázat elso os-zlopában (Node/Event Number) a csomópontok számai szerepelnek. Az elso négyet döntésicsomópontnak tekintjük, a 6-12. pedig az eseménycsomópontnak. Az 5-ös és a 13-26. aleveleket jelentik. A második oszlopban (Node Name or Description) a csomópontok je-lentését adjuk meg. A harmadik oszlopban (Node Type) a csomópont típusát jegyezzükmeg. Ha döntési, akkor D-t, ha véletlenszeru esemény, akkor C-t írunk, a levelek eseténpedig üresen hagyjuk a mezot. A negyedik oszlopban (Immediate Following Node, numberseparated by ’,’) megadjuk a csomópontra rákövetkezo csomópontokat. Az elválasztó jel avesszo. Például: a 2-es rákövetkezoi a 6, 7; a 6-os rákövetkezoi a 13, 14. A levelekneknincs rákövetkezo csomópontjai, ezért a mezojüket üresen hagyjuk. Az ötödik oszlopban(Node Payoff (+profit, -cost)) a levelek értékeit adjuk meg. Plusz elojellel a nyereséget ésmínusz elojellel a veszteséget. A hatodik oszlopba (Probability (if available)) a csomópon-


6.6. ábra. A6.2. mintapélda adattáblája.

thoz tartozó valószínuségeket írjuk be, ha a csomópont elotti ág egy véletlenszeru eseménykimenetele. Például a 13. csomópont a 6. csomópont egy kimenetele és tudjuk, hogy a 6-osegy véletlenszeru esemény, amelynek a 13. csomóponthoz vezeto ága 20% valószínuséggelkövetkezik be. Ezért a 13 csomópont valószínuségi (Probability) mezojébe 0.2 írunk.A sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB az elozo feladatnál leírtak szerint kiértékeli

a feladatot, majd a döntési fa ( ) ikont kiválasztva kirajzolódik a 6.4. ábrán bemutatottdöntési fa. Ahhoz, hogy a csomópontok alatt megjelenjenek a várható értékek az ( ) ikonkiválasztása utáni ablakban be kell jelölni a kiértékelés (Display the expected values for eachnode or event) mezot. Ebben az ablakban lehet méretezni a csomópontokat és az éleket is.A döntési fa 1 csomópontja alatti érték megadja a végso várható nyereséget. Ez a min-

tapéldában 32450 euró. Továbblépve a döntési fán, láthatjuk, hogy a 32450 érték a 2-escsomópont alatt szerepel. Tehát elso döntés, hogy a 2-est, azaz az MS1 projektet választja acég. A második döntés, hogy a 115000 eurós pályázatot célozza meg, mert ebben az esetbena várható nyeresége (32450) nagyobb, mint a 130000 eurós pályázat esetén (−27600).b. Ha a várható érték elve alapján gondolkodik a cég vezetosége, azaz a hasznosságfüg-

gvénye kockázat semleges, akkor nem érdemes szakértot felfogadnia, mert ebben az esetbena nyeresége: 34000− 20000 = 14000 kisebb, mint 32450. Egy ilyen szakértonek a tökéletesinformációért maximálisan EV PI = 34000− 32450 = 1550 eurót érdemes fizetnie.Ha a hasznosság függvénye pedig kockázat elutasító, akkor elofordulhat, hogy a biztos

14000 eurót választja a p ∈ [0.15, 0.85] valószínuséggel elérheto 32450 eurós jövedelem helyett.

6.3. Bayes-féle döntési fák6.3. mintapélda (Hulladéktároló). A környezetvédelmi minisztériumnak el kell dön-

tenie, hogy Csíkszentsimonban vagy Maksán építsen-e hulladéktárolót. A hulladéktárolóépítési költsége 10 millió euró Csíkszentsimonban és 20 millió euró Maksán. Ha Csíkszentsi-


monban épít, és ott a következo öt év alatt valamikor földcsuszamlás lesz, akkor az építkezésmegsemmisül, és a veszteség 10 millió euró, és akkor mégis meg kell építeni a tárolót Maksán.A minisztérium úgy gondolja, hogy 20 % esélye van annak, hogy a kovetkezo öt évben Csík-szentsimonban földcsuszamlás legyen. Egy millió euróért alkalmazhatnak egy geológust, akikielemzi a Csíkszentsimoni földcsuszamlás esélyeit. A geológus elorejelzése vagy az, hogy leszföldcsuszamlás, vagy az, hogy nem. A geológus eddigi tevékenységére vonatkozó adatok aztmutatják, hogy amikor földcsuszamlás volt, az ilyen esetek 95% - ában o is azt mondta elore,hogy földcsuszamlás lesz. Másrészt 90% - ban nem jelzett elore földcsuszamlást, amikor avalóságban sem volt földcsuszamlás.

a. Alkalmazza-e a minisztérium a geológust?

b. Mennyi az a legnagyobb összeg, amit a minisztériumnak érdemes kifizetni az elemzésért(azaz, mennyi az EVSI)?

c. Mennyi az a legnagyobb összeg, amit a minisztériumnak érdemes kifizetni egy olyangeológusnak, amely pontosan megmondja lesz-e földcsuszamlás (azaz, mennyi az EVPI)?

Megoldás.a. Az elozo döntési fa példákban a döntéshozónak kísérletezés nélkül kellett eldöntenie,

hogy egy bizonyos esemény milyen valószínuséggel következett be. Ha azonban lehetségesbizonyos kísérletezés, esetleg némi költség árán, a kísérlettel kapott adatokat be kell építenia döntés fába.A feladat megoldása két lépésbol tevodik össze.I. lépés (Bayes analízis). A mintapéldában a kísérletezést a geológus végzi 1 millió

euróért. A döntéshozónak ki kell számolnia a geológus által adott becslések valószínuségét.Jelöljük A1-gyel azt az eseményt, hogy földcsuszamlás lesz és A2-vel azt az eseményt, hogynem lesz földcsuszamlás, illetve B1-gyel azt az eseményt, hogy a geológus földcsuszamlástfog jelezni, és B2-vel azt az eseményt, hogy a geológus nem fog földcsuszamlást jelezni. Kétdolog ismert:I. amikor földcsuszamlás volt, az ilyen esetek 95% - ában a geológus is azt mondta elore,

hogy földcsuszamlás lesz;II. másrészt a geológus 90% - ban nem jelzett elore földcsuszamlást, amikor a valóságban

sem volt földcsuszamlás.Az általunk bevezetett jelölésekkel ez így írható:I. P (B1|A1) = 0.95, azaz annak valószínusége, hogy az A1 esemény bekövetkezése mellett

a B1 is bekövetkezik 0.95;II. P (B2|A2) = 0.90, azaz annak valószínusége, hogy az A2 esemény bekövetkezése mellett

a B2 is bekövetkezik 0.90.A minisztérium úgy gondolja, hogy a földcsuszamlás esélye 20%, azaz: P (A1) = 0.2.

Mivel A2 az A1 ellentettje, ezért: P (A2) = 0.8. Ezeket a valószínuségeket elozetes (priori)valószínuségeknek nevezzük. A döntési fa megrajzolásához szükség van, a P (B1), P (B2)valószínuségekre és az alábbi feltételes valószínuségekre:1. a geológus földcsuszamlást jelez és bekövetkezik a földcsuszamlás, azaz P (A1|B1) ;2. a geológus földcsuszamlást jelez és nem következik be a földcsuszamlás, azaz P (A2|B1) ;3. a geológus nem jelez földcsuszamlást és bekövetkezik a földcsuszamlás, azaz P (A1|B2) ;4. a geológus nem jelez földcsuszamlást és nem következik be a földcsuszamlás, azaz

P (A2|B2) ;


A valószínuségszámításban azt a feltételes valószínuséget, amely megadja egy eseményrevonatkozó elorejelzés találati valószínuségét az esemény bekövetkezésének feltétele mellettlikelihoodoknak nevezik. Ebben a feladatban két likelihood ismert:

P (B1|A1) a találati valószínusége annak, hogy amikor földcsuszamlás volt, az ilyen esetek95% - ában a geológus is azt mondta elore, hogy földcsuszamlás lesz;P (B2|A2) a találati valószínusége annak,hogy a geológus nem jelzett elore földcsuszamlást,amikor a valóságban sem volt földcsuszamlás.

A P (Ai|Bj) (i, j = 1, 2) valószínuségeket a szakirodalomban utólagos vagy posteriorivalószínuségeknek nevezik, mivel ezek az értékek csak a geológus utólagos becslése alapjántudjuk kiszámolni Bayes-tétele segítségével.Bayes-tétele. Legyenek A1, A2, ..., An olyan események, amelyekre igaz az, hogy egysz-

erre ezen események közül mindig pontosan egy következik be, vagy más szóval teljes es-eményrendszert alkotnak. Legyen továbbá B egy tetszoleges esemény, ekkor

P (B) = P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2) + ...+ P (B|An) · P (An)

és

P (A1|B) =P (B|A1) · P (A1)

P (B). (6.1)

Ebben a feladatban A1 és A2 teljes eseményrendszer, mivel csak két eset lehetséges, vagylesz földcsuszamlás vagy nem. Ezért Bayes-tétele alapján:

P (B1) = P (B1|A1) · P (A1) + P (B1|A2) · P (A2)

= P (B1|A1) · P (A1) + (1− P (B2|A2)) · P (A2)

= 0.95 · 0.2 + 0.1 · 0.8 = 0.27;

P (B2) = P (B2|A1) · P (A1) + P (B2|A2) · P (A2)

= (1− P (B1|A1)) · P (A1) + P (B2|A2) · P (A2)

= 0.05 · 0.2 + 0.9 · 0.8 = 0.73;

P (A1|B1) =P (B1|A1) · P (A1)

P (B1)=0.95 · 0.2

0.27.= 0.704;

P (A2|B1) =P (B1|A2) · P (A2)

P (B1)=0.1 · 0.8

0.27.= 0.296;

P (A1|B2) =P (B2|A1) · P (A1)

P (B2)=0.05 · 0.2

0.73.= 0.014;

P (A2|B2) =P (B2|A2) · P (A2)

P (B2)=0.9 · 0.8

0.73.= 0.986.

II. lépés (Döntési fa elemzés). Elkészítjük a feladat döntési fáját. Két döntést kellmeghozni:

fogadjon vagy sem geológust?

hová építse a hulladéktárolót?

A döntési fa elso csomópontja az a döntés, hogy fogadjon vagy sem geológust. Hanem fogad geológust, akkor a geológusra leírtakat nem kell figyelembe venni. Így a má-sodik döntési csomópontban azt kell eldöntse, hogy Maksára, vagy Csíkszentsimonba építse


6.7. ábra. A 6.3. mintapélda kezdotáblája.

meg a hulladéktárolót. Ha Maksára építi, akkor a költsége 20000000 euró, ha pedig Csík-szentsimonba, akkor egy olyan 3-assal jelzett eseménycsomópontot kell berajzolni, ame-lynek két kimenetele lehetséges. 20% valószínuséggel földcsuszamlás lesz és így a költsége20000000 + 10000000 = 30000000 euró vagy 80% valószínuséggel nem lesz földcsuszamlás ésekkor a költsége 10000000 euró.Az elso csomópont másik döntési ága: alkalmaz egy geológust 1000000 euróért. Ekkor a

geológus tevékenységére vonatkozó adatok alapján tudja, hogy a geológus P (B1) = 0.27 föld-csuszamlást fog jósolni és P (B2) = 0.73 valószínuséggel nem. Ezt a véletlenszeru elágazást4-es csomópont jelzi. Mind a két esetben el kell döntse, hogy hová építi a tárolót.Abban az esetben, ha a geológus földcsuszamlást jelez, akkor az 5-ös döntési csomópontban

két döntés hozható. Ha Maksát választja, akkor költsége 20000000 + 1000000 = 21 000 000euró, ha pedig Csíksentsimonba építi meg a tárolót, akkor a fa a 6-os csomóponttal foly-tatódik. Ennek két kimenete van. Mivel a földcsuszamlást josoló ágon van ezért, a föld-csuszamlás bekövetkezése ág valószínusége P (A1|B1) = 0.704 és költsége: 20000000 +10000000+1000000 = 31 000 000 euró, a fölldcsuszamlás nem következik be ág valószínuségepedig P (A2|B1) = 0.296 és költsége: 10000000 + 1000000 = 11 000 000 euró.Másik lehetoség, hogy a geológus nem jelez földcsuszamlást. Ekkor a 7-es csomópontban

is két döntés hozható. Ha Maksát választja, akkor költsége 20000000+1000000 = 21 000 000euró, ha pedig Csíksentsimonba építi meg a tárolót, akkor a fa a 8-as csomóponttal foly-tatódik. Ennek két kimentele van. Mivel ebben az esetben a nem jeleztek földcsuszam-lást, ezért a földcsuszamlás bekövetkezése ág valószínusége P (A1|B2) = 0.014 és költsége20000000 + 10000000 + 1000000 = 31 000 000 euró, a földcsuszamlás nem következik be ágvalószínusége pedig P (A2|B2) = 0.986 és költsége 10000000 + 1000000 = 11 000 000 euró.A leírt döntési fát papíron vázoljuk és WinQSB döntéselemzési (Decision Analysis) es-

zköztára segítségével értékeljük ki. A kezdotáblában (6.7 .ábra) kiválasztjuk a Döntési fa el-emzése (Decision Tree Analysis) feladat típust és megadjuk a csomópontok és levelek számát(Number of Nodes/Events (Including Terminals)). Ebben a feladatban ez 17.Majd az OK-ra kattintás után betöltodik a döntési fa adattáblája (6.8. ábra.). A táblázat

elso oszlopában (Node/Event Number) a csomópontok számai szerepelnek. Az 1,2,5 és 7döntési csomópontok, a 3,4, 6 és 8 az eseménycsomópontok, a 9-17 pedig a levelek. A



második oszlopban (Node Name or Description) a csomópontok jelentését adjuk meg. Aharmadik oszlopban (Node Type) a csomópont típusát jegyezzük meg. Ha döntési, akkorD-t, ha véletlenszeru esemény, akkor C-t írunk, a levelek esetén pedig üresen hagyjuk amezot. A negyedik oszlopban (Immediate Following Node, number separated by ’,’) megad-juk a csomópontra rákövetkezo csomópontokat. Az elválasztó jel a vesszo. Például: a 2-esrákövetkezoi a 9, 3; a 4-es rákövetkezoi a 5, 7. A leveleknek nincs rákövetkezo csomópont-jai, ezért a mezojüket üressen hagyjuk. Az ötödik oszlopban (Node Payoff (+profit, -cost))a levelek értékeit adjuk meg. Plusz elojellel a nyereséget és mínusz elojellel a kiadást. Ahatodik oszlopba (Probability (if available)) a csomóponthoz tartozó valószínuségeket írjukbe, ha a csomópont elotti ág egy véletlenszeru esemény kimenetele. Például a 5. csomóponta 4. csomópont egy kimenetele és tudjuk, hogy a 4-es egy véletlenszeru esemény, amelynekaz 5. csomóponthoz vezeto ága 27% valószínuséggel következik be. Ezért az 5. csomópontvalószínuségi (Probability) mezojébe 0.27 írunk.A sízo emberke ikonra kattintva a WinQSB a döntési fáknál leírtak szerint kiértékeli a

feladatot, majd a döntési fa ( ) ikont kiválasztva kirajzolódik a 6.9. ábrán bemutatottdöntési fa. Ahhoz, hogy a csomópontok alatt megjelenjenek a várható értékek az ( ) ikonkiválasztása utáni ablakban be kell jelölni a kiértékelés (Display the expected values for eachnode or event) mezot. Ebben az ablakban lehet méretezni a csomópontokat és az éleket is.A döntési fa 1 csomópontja alatti érték megadja a végso várható kiadást. Ez a minta-

példában 13904400 euró. Továbblépve a döntési fán, láthatjuk, hogy a 13904400 érték a4-es csomópont alatt szerepel. Tehát elso döntés, hogy alkalmazni kell a geológust. Ekkorkét lehetoség van. Ha a geológus földcsuszamlást jósol, akkor az 5-ös csomópont irányábalépünk tovább. Az 5-ös csomóponthoz tartozó várható érték −21000000. Tehát ebben azesetben a minimális várható kiadás 21000000 euró, ami úgy érheto el ha hulladéktárolótMaksán építik meg. Ha pedig a geológus nem jósol földcsuszamlást, akkor a 7-es csomópontirányába haladunk. Itt a várható érték−11280000. Így ebben az esetben a minimális várhatókiadás 11280000 euró. Ez úgy érheto el, hogy a telephelyet Csíkszentsimonba építik meg.Összefoglalva, tehát ha a minisztérium a várható érték elve alapján hozza meg a döntését és



magatartása kockázattal szembe semleges, akkor geológust alkalmaz és ha az földcsuszamlástjósol, akkor Maksán, ellenkezo esetben pedig Csíkszentsimonba építi meg a tárolót.b. Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a kiadást abban az esetben, ha a geológus nem

kerülne semmibe, azaz a várható értéket mintainformációval (EVWSI). Kiszámítása ugyan-úgy történik mint az elozo pontban, csak itt a geológus költsége nulla, azaz a fa leveleinekértékei a geológust alkalmaz ágon abszolút értékben 1000000 euróval nonek (6.2. ábra).A geológust alkalmaz ág várható értéke a 4. csomópontnál van feltüntetve. Ez lesz azEVWSI = −12904400.Ezután meghatározzuk azt a vagyoni helyzetet, amelyet akkor érnének el, ha nem alka-

lmaznak geológust, vagyis a várható értéket az eredeti információ alapján (EVWOI). Ez azérték a 2-es csomópont várható értéke, azaz EVWOI = −14000000.Tehát, a geológus által adott információ várható értéke:

EV SI = EVWSI − EVWOI

= −12904400 + 14000000

= 1095 600

Az EV SI az a legnagyobb pénzösszeg amit a geológusért érdemes kifizetni. Mert ennélnagyobb összeg esetén a kiadás a geológus alkalmazása nélkül kisebb lesz.c. Bár a földcsuszamlás 20% valószínuséggel következik be, ha találnának egy olyan ge-

ológust aki 100%-ban megjósolja földcsuszamlás bekövetkezését vagy elmaradását, akkoregyértelmu, hogy érdemes elfogadniuk a geológus becslését. Éspedig, ha földcsuszamlást jó-sol, akkor Maksán, ellenkezoleg pedig Csíkszentsimonba építik meg a tárolót. Így a tökéletesinformációval kapott várható érték

EVWPI = − (0.2 · 20000000 + 0.8 · 10000000)

= −12000000.


6.10. ábra. A 6.3. mintapélda EVSI-je.

Ezután a tökéletes információ várható értéke

EV PI = EVWPI − EVWOI

= −12000000 + 14000000

= 2000000

képlettel számítható ki. Ez az a maximális összeg, amit még érdemes kifizetni egy olyangeológusnak, amely pontosan megmondja lesz-e földcsuszamlás.6.4. mintapélda (Pékség). Egy újonnan alakult pékség friss árujának napi kétsz-

eri kiszállítását tervezi a város 11 boltjába. Tervének megvalósítása elott azonban szeretnemeggyozodni arról, hogy szolgáltatása nem lesz-e veszteséges, ezért döntése elott elvégeznéaz igények felmérését. Korábbi tapasztalatok alapján az alábbi információk állnak ren-delkezésére:

amennyiben csupán két bolt igényli a szállítást, akkor új gépkocsi beszerzése nem szükséges,ebben az esetben csak havi fuvaróra-növekményt kell figyelembe venni, ami 500 euró;

amennyiben csak három négy vagy öt bolt igényli az új szolgáltatást, akkor ez már újgépkocsijárat beszerzését teszi szükségessé, melynek havi fuvaróra díja 300 euró, a gépkocsihavi hiteldíja pedig 400 euró;

amennyiben legalább öt bolt igényli a kiszállítást, akkor két járatot kell beindítani. Mind-kettonek külön-külön havi 300 euró a fuvaróra díja és 350 euró a hiteldíja;

a szolgáltatás teljes árbevétele az igénylok számától függ. Elozetes számítások alapján,megbecsülték a szóbajöheto jövedelmeket és ennek megvalósulási valószínuségeiket:


Várható Várható VárhatóBoltok jöved. jöved. jöved.száma (euró) Valószín. (euró) Valószín. (euró) Valószín.1-2 bolt 1000 60% 700 30% 300 10%3-5 bolt 2000 70% 1500 20% 700 10%6-11 bolt 5000 70% 2500 10% 1000 20%

Mivel az esetleges új, a célnak megfelelo gépkocsi beszerzése idot igényel, ezért a döntéstidoben kell meghozni. A jármuveket még a szolgáltatás bevezetése elott meg kell vásárolnia,hogy igény esetén az ügyfelek kiszolgálása azonnal megtörténjen.Elozetes felmérés hiányában a vállalkozó hajlik arra, hogy 60% valószínuséggel két és 20%

valószínuséggel pedig egy gépkocsit vásároljon.A döntéshozatalai kényszer válságos pillanatában egy Sapientiás hallgató jelentkezett, hogy

csekély 100 eurós térítés ellenében elvállal egy tájékoztató felmérést. A felmérés díja azontapasztalati tudás ellenértéke, amelynek birtokában a hallgató megmondja, hogy ha a szol-gáltatást a boltok meghatározott száma veszi igénybe, akkor milyen valószínuséggel találjais azt el. Az alábbi táblázat ezeket a valószínuségeket foglalja össze:

A hallgató Az igénybevétel mértékebecslései 1-2 bolt 3-5 bolt 6-11 bolt

becslés: 1- 2 bolt 65% 15% 15%becslés: 3-5 bolt 25% 70% 30%becslés: 6-11 bolt 10% 15% 55%

a. Mit tegyen a vállalkozó, ne vásároljon gépkocsit, egy vagy két gépkocsit vásároljon,megbízza-e a hallgatót a felmérés elvégzésére?

b. Mennyi az a legnagyobb összeg, amit a hallgatónak a felmérésért érdemes kifizetni?

c. Mennyit érdemes fizetnie egy olyan tökéletes információért, amely pontosan megmondja,hogy hány bolt veszi igénybe a szolgáltatást?

Megoldása. Elso lépésként a vállalkozó el kell végezze a hallgató által szolgáltatott adatok Bayes

elemzését. Bevezeti az alábbi jelöléseseket:

A1 az az esemény, hogy 1-2 bolt veszi igénybe a szolgáltatást;



B1 az az esemény, hogy a hallgató becslése: 1-2 bolt veszi igénybe a szolgáltatást;



A hallgatóra vonatkozó táblázatban megvannak adva a P (Bj|Ai) (i, j = 1, 2, 3) találativalószínuségek (likelihoodok). Ki kell számítani a P (Ai|Bj) bekövetkezési valószínuségeket aBayes-tétele segítségével. Ezt a WinQSB döntéselemzési (Decision Analysis) eszköztáránakBayes-elemzés (Bayesian Analysis) segítségével végezzük. Itt meg kell adni a lehetségeskimeneteli események számát (Number of the States of Nature) és a felmérés által adott


6.11. ábra. A Bayes-elemzés kezdotáblája.

lehetséges becslések (Number of Survey Outcomes (Indicators)) számát. Ebben a feladatbanmind a ketto 3. A Bayes-elemzés eszköztár kezdotábláját mutatja az 6.11. ábra.Az OK ikonra kattintva betöltodik az 6.12. adattábla. Itt elso lépésként megadjuk az

elnevezéseseket. Ennek az érdekében az Edit menüpontból kiválasztjuk a lehetséges es-emények (State of Nature Name) eszköztáblát, ahol az eseményeket (State) átnevezzük azigénybevétel mértéke alapján, majd ugyancsak az Edit menüpont becslések (Survey Out-come/Indicator Name) eszköztáblát, ahol a becsléseket (Indicators) átnevezzük a hallgatóbecslései alapján. A táblázat elsodleges valószínuségek (Prior Probability) sorába be kell írnia vállalkozó valószínuségi eloszlását az események bekövetkezésére vonatkozóan. Ez tudjuk,hogy 60%-ban 6-11 bolt (két gépkocsit vásárol), 20%-ban 3-5 bolt (egy gépkocsit vásárol), amegmaradt 20%, hogy 1-2 bolt (nem vásárol gékocsit). A táblázat mezoibe beírjuk a hallgatóbecsléseire vonatkozó találati valószínuségeket. A táblázat helyes kitöltése esetén a találativalószínuségek összege az oszlopok mentén egy.

6.12. ábra. A 6.4. mintapélda Bayes-elemzési adattáblája.

A sízo emberke ikkonra kattintva betöltodik a 6.13. Bayes-elemzés eredménytáblája. En-nek a mezoi tartalmazzák az utólagos P (Ai|Bj) (i, j = 1, 2, 3) valószínuségeket, amelyet aWinQSB a (6.1) képlet segítségével számolt ki. Hogyan is kell ezt a táblázatot értelmezni?Például a táblázat elso eleme azt mutatja, hogy ha a hallgató becslése 1-2 bolt, akkor annakvalószínusége, hogy valóságban is 1-2 bolt fogja a szolgáltatást megrendelni 0.52. Teljesenhasonlóan, ha a táblázat második sorának harmadik eleme azt mutatja, ha a hallgató bec-


6.14. ábra. Marginális eloszlások a 6.4. mintapéldában

slése 3-5 bolt, akkor annak valószínusége, hogy a valóságban legalább hat bolt megrendeljea szolgáltatást 0.4865.

6.13. ábra. A 6.4. mintapélda Bayes-elemzés eredménytáblája.

Ezek az értékek megmutatják a döntési fa leveleit tartalmazó elágazások bekövetkezésénekvalószínuségeit. Annak utólagos valószínuségei, hogy mi lesz a hallgató becslése az ered-mények (Results) menüpont marginális eloszlások (Show Marginal Probability) eszköztáraadja meg (6.14. ábra). A táblázatból kiolvasható, hogy a hallgató P (B1) = 0.25 valószínu-séggel 1-2 boltot, P (B2) = 0.37 valószínuséggel 3-5 boltot és P (B3) = 0.38 valószínuséggel6-11 boltot jósol.Második lépésként meg kell rajzolni a feladat döntési fáját. Mindenekelott nézzük meg

milyen döntési lehetoségei vannak a vállalkozónak.I Igénybe vegye-e a hallgató szolgáltatását?II. Hány autót vegyen (nulla, egy vagy kettot)?I.1. Ha nem veszi igénybe a hallgató szolgáltatását, akkor döntenie kell, hogy hány jár-

muvet vásároljon. Mind a három kimeneti lehetoséghez egy véletlenszeru esemény tar-tozik, amelynek szintén három elágazása lehet: 0.2 valószínuséggel 1-2 bolt rendel, 0.2valószínuséggel 3-5 bolt rendel és 0.6 valószínuséggel pedig legalább 6 bolt. Mindegyikkimenethez megint egy véletlenszeru eseményt jelképezo csomópont kapcsolódik, amelyneka maga során a várható jövedelem alapján szintén három kimenetele van. Ezek a kimenetelektartalmazzák a nyereségeket mutató leveleket.II.1. Abban az esetben, ha nem vásárol jármuvet, és 1-2 bolt rendel árút, akkor a várható

jövedelme rendre: 0.6 valószínuséggel 1000− 500 = 500, 0.2 valószínuséggel 700− 500 = 200és 0.2 valószínuséggel 300− 500 = −200. Ekkor a várható jövedelme:

0.6 · 500 + 0.2 · 200 + 0.2 (−200) = 300.

Ha legalább 3 bolt rendel, akkor mivel nincs autója, csak 1-2 boltot tud ezekbol a kérések-bol felvállalni, így várható jövedelme rendre szintén: 0.6 valószínuséggel 1000 − 500 = 500,0.2 valószínuséggel 700 − 500 = 200 és 0.2 valószínuséggel 300− 500 = −200. Így, mindkétesetben a várható érétk 300. Tehát, ha nem vásárol jármuvet, akkor a várható jövedelme:

0.6 · 300 + 0.2 · 300 + 0.2 · 300 = 300,

II.2. Egy jármu vásárlása esetén, ha csak 1-2 bolt rendel, akkor várható jövedelme rendre:0.6 valószínuséggel 1000 − 300− 400 = 300, 0.2 valószínuséggel 700 − 300− 400 = 0 és 0.2


valószínuséggel 300 − 300 − 400 = −400. Ekkor a várható jövedelme: 0.6 · 300 + 0.2 · 0 +0.2 (−400) = 100. Ha legalább 3 bolt rendel, akkor mivel csak egy gépkocsija van, ezértlegtöbb 3-5 bolt rendelését tudja vállalni. Így várható jövedelme rendre: 0.7 valószínuséggel2000− 300− 400 = 1300, 0.2 valószínuséggel 1500− 300− 400 = 800 és 0.1 valószínuséggel700− 300− 400 = 0. Ekkor a várható jövedelme: 0.7 · 1300+0.2 · 800+0.1 · 0 = 1070. Tehát,egy jármu vásárlása esetén, a várható jövedelme:

0.6 · 1070 + 0.2 · 1070 + 0.2 · 100 = 876.

II.3. Két gépkocsi vásárlása esetén, ha csak 1-2 bolt rendel, akkor legfeljebb egyik gépkoc-siját muködteti, mert ennek a fuvardíja kisebb, mint ha gépkocsit bérelne, de mindkettonek ahiteldíját fizetnie kell. Ekkor várható jövedelme rendre: 0.6 valószínuséggel 1000−300−700 =0, 0.2 valószínuséggel 700−300−700 = −300 és 0.2 valószínuséggel 300−300−700 = −700.Ebben az esetben a várható jövedelem: 0.6 · 0 + 0.2 · (−300) + 0.2 · (−700) = −200. Ha3-5 bolt rendel, akkor is elég ha csak az egyik gépkocsiját használja. Ebben az esetbenvárható jövedelme rendre: 0.7 valószínuséggel 2000− 300− 700 = 1000, 0.2 valószínuséggel1500 − 300 − 700 = 500 és 0.1 valószínuséggel 700 − 300 − 700 = −300. Ekkor a várhatójövedelem: 0.7 · 1000 + 0.2 · 500 + 0.1 · (−300) = 770. Ha legalább 6 bolt rendel, akkor mármind a két gépkocsiját kell használja. Ekkor a várható jövedelme rendre: 0.7 valószínuséggel5000− 600− 700 = 3700 0.1 valószínuséggel 2500− 600− 700 = 1200 és 0.2 valószínuséggel1000−600−700 = −300. Így, ekkor a várható jövedelem: 0.7·3700+0.1·1200+0.2·(−300) =2650. Összefoglalva, két gépkocsi vásárlása esetén a várható jövedelem:

0.6 · 2650 + 0.2 · 770 + 0.2 · (−200) = 1704.

I.2. A kezdo döntési csomópont másik ága, hogy alkalmazza a hallgatót. Ekkor az ágvégzodésén levo csomópont azt a véletlenszeru eseményt jelképezi, amelynek három kimene-tele lehet. A hallgató P (B1) = 0.25 valószínuséggel 1-2 boltot, P (B2) = 0.37 valószínuséggel3-5 boltot és P (B3) = 0.38 valószínuséggel 6-11 boltot jósol. Mind a három esetben akimentelek végzodésén egy döntési csomópont van. Itt a vállalkozó el kell döntse hánydarab gépkocsit vásárol. A továbbiakban a II.1-II.3. bekezdéseknél leírtak szerint épülfel a fa, csak a nyereségek mindenütt 100 euróval kisebbek lesznek, hiszen ezt az összeget avállalkozó ki kell fizesse a hallgatónak. Szintén mások lesznek a valószínuségek az árut igényloboltok számánál, mivel itt a 0.2, 0.2, 0.6 valószínuségeket helyettesíteni kell az utólagosvalószínuségekkel. A fa teljes felépítését tartalmazza az 6.15. ábra.Miután lapon vázoltuk a döntési fát, összeszámláljuk a csomópontok és a levelek számát.

Ennek 45-öt kapunk. Ezekután a WinQSB döntéselemzés kezdotáblájának csomópontokszáma mezojébe beírjuk a 45-öt és az OK gombra kattintunk. A megjelent adattáblát azelozo feladatban leírtak alapján töltjük ki.A fa elemzése után látható, hogy nem érdemes a hallgatót alkalmaznia, mivel ebben az

esetben a várható jövedelme 1606.8 euró, és ha nem alkalmazza, csak magára hoz döntést,akkor várható jövedelme 1704 euró. Tehát kockázat semleges magatartás esetén, a várhatóérték elve alapján hozható optimális döntés: nem alkalmazza a hallgatót és vásárol 2-étgépkocsit.b. Ha még egyszer a WinQSB segítségével elemzzük a döntési fát, de úgy, hogy a nyereség-

bol nem vonjuk le a hallgató díját, akkor a döntési fa várható értéke az EVWSI=1706.8. AzEVWOI pedig a 2. csomópont várható értéke, azaz 1704. Következésképpen az

EV SI = 1706.8− 1704 = 2.8.



Tehát a hallgató által nyújtott információért maximálisan 2.8 eurót érdemes kifizetni.c. A tökéletes információ várható értékét megkapjuk, ha feltételezzük, hogy bár a vál-

lalkozó most is hajlik arra, hogy 60% valószínuséggel két és 20% valószínuséggel pedig egygépkocsit vásároljon, de valaki pontosan megmondja, hogy 1-2, vagy 3-5, vagy 6-11 bolt-tól kap megrendelést. Ha ezt o tudja, akkor a maximális várható nyereségei rendre: m1 =0.6·1000+0.2·700+0.2·300−500 = 300.0, m2 = 0.7·2000+0.2·1500+0.1·700−700 = 1070,m3 = 0.7 · 5000 + 0.1 · 2500 + 0.2 · 100− 600− 700 = 2470.0. Tehát az

EVWPI = 0.2 · 300 + 0.2 · 1070 + 0.6 · 2470 = 1756

Következésképpen az

EV PI = EVWPI −EVWOI = 1756− 1609 = 147.

Ez az összeg, amit maximálisan érdemes kifizetnie bármilyen felmérésért.


6.4. Kituzött feladatok1. Egy vállalat fontolgatja, hogy ajánlatot tegyen-e egy nemzetközi cégnek egy megbízatási

szerzodés megkötésére. Az elozetes becslések alapján úgy vélik, hogy az ajánlat elokészítése10000 euróba fog kerülni, annak az esélye, hogy az ajánlatukat a cég fontolóra veszi 50%.Ebben az esetben a vállalat újabb adatokat kell szolgáljon, amely költsége 5000 eurórabecsülheto. Ha az ajánlatuk ebben az esetben is meggyozo volt, csak akkor kapják meg amegbízatást. A feladat teljesítéséhez szükséges agyagi és laboratóriumi költségek 127000euróba kerülnek. Az ajánlatba három árat tüntethetnek fel 155000, 170000 és 190000eurót. Annak a valószínuségé, hogy ezen árajánlatok mellett a szerzodés megköttetik 0.90,0.75 illetve 0.35. Határozzuk meg a vállalat optimális cselekedeteinek sorozatát!

2. Egy vállalat el kell döntenie, hogy végezzen-e olajfúrást a Fekete tenger mélyén. A költség100.000 euró, és ha olajat találnak, becslések szerint annak értéke 600.000 euró lesz. Je-lenleg a vállalat úgy gondolja, 45% esélye van annak, hogy olajat találjanak. A fúrás elotta vállalat alkalmazhat egy geológust (10.000 euróért), hogy több információt kapjon. 50%az esélye annak, hogy a geológus kedvezo jelentést ad, és 50% a kedvezotlen esélye is. Hakedvezo egy ilyen jelentés, akkor 80% az esély arra, hogy a kiszemelt helyen olaj található.Kedvezotlen jelentés esetén az olaj ottlétének valószínusége 0,1. Határozzuk meg a vállalatoptimális cselekedeteinek sorozatát!

3. Nyáron Péter minden nap úszik. Napsütéses nyári napokon egy szabadtéri uszodába jár,ahol ingyen úszhat, esos napokon viszont fedett uszodába kell mennie. A nyár kezdeténlehetosége van arra, hogy egy 15 eurós bérletet vegyen a fedett uszodába, és ez egésznyárra érvényes. Ha nem veszi meg a bérletet, akkor minden alkalommal, amikor a fedettuszodába megy 1 euró kell fizetnie. Múltbeli meteorológiai jelentések azt mutatják. Hogy60% esélye van annak, hogy a nyár napos lesz (átlagosan 6 esos nap) és 40% esélye annak,hogy a nyár esos lesz (átlagosan 30 esos nap). Péternek, lehetosége van a nyár elején egyhosszú távú idojárási elorejelzés vásárlására 1 euró-ért. Az elorejelzés az ido 80%-ábannapos nyarat jósol, és az ido 20%-ában esost. Ha az elorejelzés napos nyár, akkor 70%az esélye annak, hogy valóban napsütéses lesz a nyár. Ha az elorejelzés esos nyár, akkor80% az esélye annak, hogy a valóságban is esos nyár lesz. Feltéve, hogy Péter célja a nyárivárható költség minimalizálása, mi legyen a stratégiája?

4. Egy mezogazdász azon gondolkozik, hogy kössön-e biztosítást búzaterületére jégeso ellen.Az eddigi tapasztalatai alapján annak valószínusége, hogy a jégeso elverje a búzáját 3%.Ha ez bekövetkezne, akkor 0.3, 0.3 illetve 0.4 valószínuséggel az o vesztesége 2000, 4000illetve 8000 euró lenne. A biztosítás az A biztosító társaságnál 200 euróba kerül, és teljesveszteségét fedezné, a B biztosítónál pedig 100 euró, de a veszteségeinek csak 50%-át állnájégeso esetén. Rajzoljuk meg a mezogazdász döntési hálóját és adjuk meg az optimálisdöntését. Ha sikerülne találnia egy olyan idojóst, amely pontosan megmondaná, hogylesz-e jégeso, akkor ezért az információért mennyit érdemes kifizetnie.

5. Az EMTE Gazadaság- és Humántudományok kara megpróbálja eldönteni, hogy két má-sológép közül melyiket vegye meg. Mind a két gép kielégítené a kar igényeit a következoöt évre. Az 1-es gép 2000 euróba kerül, és van hozzá egy karbantartási megállapodás,melynek értelmében évi 150 euróért minden javítást elvégeznek. A 2-es gép 3000 euróbakerül. Jelenleg a kar úgy gondolja, hogy 40% esély van arra, hogy a 2-es gép évi karban-tartási költsége 0 euró, egy újabb 40% esély van arra, hogy ez a költség évi 100 euró, és20% eséllyel a költség évi 200 euró. A kar még felkérhet egy szakembert, hogy értékelje a


2-es gép minoségét. Ha a szerelo úgy gondolja, hogy a 2-es gép kielégíto, akkor 60% esélyarra, hogy az évi karbantartási költség 0 euró lesz, és 40% az esélye az évi 100 eurós költ-ségre. Ha a szerelo úgy gondolja, hogy a 2-es gép nem kielégíto, akkor az évi karbantartásiköltség 20% eséllyel 0 euró lesz, 40%-os eséllyel ez a költség évi 100 euró és 40% eséllyel200 euró. Ha a szerelo 50% eséllyel ad a 2-es géprol kielégíto jelentést és a vizsgálatért 40eurót kér, mit tegyen a Kar döntéshozó testülete?

6. Erika 2009. augusztus 5.-én Londonba repül és augusztus 20.-án tér haza. Most 2009.február elején vehet egy csak egyik útra szóló jegyet (350 euró), vagy egy retúrjegyet (660euró). Megteheti azt is, hogy vár 2009. augusztus elsejéig a jegyvásárlással, de akkor egyútra szóló jegy 370 euróba kerül, a retúrjegy pedig 730 euró. Lehetséges azonban, hogyjúlius 1. és augusztus 1. között Erika novére (aki a repülotársaságnál dolgozik) tud szerezniegy egyirányú szabad jegyet. Annak a valószínusége, hogy a novér szerez egy jegyet 0,3. HaErika megveszi februárban a retúrjegyet és a novére szerez egy ingyen jegyet, akkor Erikavisszaadhatja a retúrjegynek felét a repülotársaságnak. Ebben az esetben teljes költsége330 euró plusz 50 euró büntetés lesz. Hogyan járjon el Erika?

7. A kormánybizottság gazdasági haszon érdekében influenzaoltás programot szeretne kidol-gozni. Ha az oltásokat nem osztja ki a kormány a várható vesztesége, ha egy influen-zajárvány kitörik 7 millió euró 0.1 valószínuséggel, 10 millió euró 0.3 valószínuséggel és15 millió euró 0.6 valószínuséggel. Egy ilyen program 7 millió euróba kerül és annak avalószínusége, hogy egy influenzajárvánnyal kell számolni a jövo évben 0.75.

A kormánynak lehetosége van arra, hogy létrehozzon egy felügyelo bizottságot 3 millióeuróért amely, figyeli az influenza kitörésének veszélyét, és így meg marad ido az oltásokkiosztásához, de ebben az esetben a gyorsított eljárás miatt az oltások kiosztása 10 millióeuróba kerülnek.

Határozzuk meg a kormány optimális cselekedeteinek sorozatát! Számítsuk ki az EVSI ésEVPI értékeit!

8. Egy lakástulajdonos azon gondolkozik, hogy kössön-e lakásbiztosítást egy évre betörésekellen. A tulajdonos lakásban található tárgyak értékét 20000 euróra becsüli. A helyirendorség statisztikái alapján annak valószínusége, hogy nála tényleg betörés történjen3%. Ha ez bekövetkezne, akkor 0.5, 0.35 illetve 0.15 valószínuséggel az o vesztesége 10%,20% illetve 40% lenne. A lakásbiztosítás az A cégnél 150 euróba kerül, és a veszteségeitfedezné. A lakásbiztosítás a B cégnél 100 euróval olcsóbb de a veszteségeinek csak 50%-átállná betörés esetén. C cégnél kötött lakásbiztosítás is 75 euróval olcsóbb, mint az elsocégnél de ebben az esetben a veszteségek 60%-át fizetné ki a biztosító. Feltételezve, hogyévente legfeljebb egy betöréstol kell tartani, rajzold meg a lakástulajdonos döntési hálóját.

9. Egy kanadai vállalat földterületek geológiai feltérképezését végzi, megvizsgálja, hogy mi-lyen fémlelohelyek (réz, arany, ezüst) találhatók a területen. Jelenleg a vállalat azon gon-dolkozik, hogy 3 millió euróért megvásároljon-e egy földterületet. Ha a vállalat megveszi aterületet, akkor geológiai kutatásokat végezne rajta, ami 1 millió euróba kerülne. Régebbitapasztalatok alapján a vállalat úgy véli, hogy 1% annak a valószínusége, hogy a területenrezet találnak, 0.05% hogy aranyat és 0.2% a valószínusége, hogy ezüstöt. A három fémközül egyszerre csak egy lehet jelen. Ha a földterületen rezet találnak, akkor a vállalat30 millió euróért, ha aranyat 250 millió euróért és ha ezüstöt 150 millió euróért adhatjatovább a területet.


A vállalatnak meg van adva az a lehetoség, hogy 750000 euróért három napos kereséstvégezzen a területen, mielott megvenné a földet. Három nap alatt nem lehet egyértelmueneldönteni, hogy a földterületen található-e nemesfémlelohely. A régebbi tapasztalatokalapján a vállalat tudja, hogy a három napos teszt költsége 250000 euró és csak 50%valószínuséggel határozható meg a fémek jelenléte. Ha a három napos keresés lényegesmennyiségu fém jelenlétét mutat ki, akkor annak a valószínusége, hogy tényleg van ott réz,arany vagy ezüst 3%, 1% illetve 2% növekszik. Ha a három napos próba alatt a vállalatnem talál fémlelohelyet, akkor annak a valószínusége, hogy mégis van ott réz, arany vagyezüst 0.75%, 0.04% illetve 0.175%-ra csökken.

Hogyan járjon el a vállalat vezetosége? Ha egy másik hasonló profilú vállalat fele arányba(kiadás és bevétel) beállna a földterület vásárlásba, akkor a vállalatnak érdemes-e bevennitársnak?

10. Egy magyar sakkmester egy svéddel játszik egy-két játszmából álló bemutató mérkozést.Minden megnyert mérkozés egy pontot hoz a játékosnak és minden döntetlen fél pontot.A mérkozést az a játékos nyeri, akinek a két játszma után több pontja van. Ha a két ját-szma után a játékosok döntetlenre állnak, akkor továbbjátszanak addig, amíg valamelyikükmegnyeri egy játszmát, ekkor ez elso olyan játékos, amelyik nyer egy játszmát, megnyeri amérkozést. Minden játszma folyamán a magyar játékosnak két lehetséges stratégiája van:vakmero játékot játszani vagy konzervatívat.

Stratégia Nyer Veszít Döntetlenvakmero 0.45 0.55 0konzervatív 0.1 0 0.9

Mit tegyen a magyar sakkmester, ha maximalizálni akarja a mérkozés megnyerésénekvalószínuségét?

11. Egy kertésznek el kell döntenie, hogy 1000 db piros vagy sárga rózsatövet vásároljon. 1000db piros rózsato vásárlási értéke 15000 lej, 1000 db sárga rózsatoé viszont csak 10000lej. A piros rózsa a vizet kedvelo virágfajták közé tartozik, a sárgát nem befolyásoljaaz idojárás. A piros rózsaton termo rózsák eladási ára 2.5 euró, azonban ha abban azévben szárazság lesz, a rózsáknak csak 40%-a vészeli túl. A sárga rózsaton termo rózsákeladási ára 1.5 euró, és szárasság esetén is 95%-uk életben marad. Az elozo évek idojárásjelentései alapján a kertész úgy feltételezi, hogy 40% a valószínusége, hogy a jövo évbenszárazság lesz. A kertész lehetosége van arra, hogy alkalmazzon egy idojóst 250 euróért, akimegállapíthatja az elkövetkezo év idojárását. Ha a szóban forgó év idojárása esos, akkora szakérto elorejelzése is 80%-ban esost is jósol. A valóságban bekövetkezo meleg éveknéla szakérto elorejelzése is 75%-ban szárazságot jósol. Alkalmazzon-e a kertész idojárásszakértot?

12. Egy ügyfél bemegy a bankba, hogy egy évre 50.000 euró kölcsönt kapjon 12% kamatra.Ha a bank nem adja meg a kölcsönt, akkor az 50.000 eurót kötvényekbe fekteti, ahol az évimegtérülés 6%. Minden további információ nélkül a bank úgy gondolja, hogy 4% esélyevan arra, hogy az ügyfél egyáltalán nem fizeti vissza a kölcsönt. 500 euró költség fejébena bank alaposan át tudja vizsgálni az ügyfél hitelekkel kapcsolatos eloéletét, és a vizsgálateredményekét egy kedvezo vagy egy kedvezotlen javaslatot tesz. A múltbeli tapasztalatok


alapján úgy találják, hogy

P(kedvezo javaslat | az ügyfél rendesen fizet) = 77/96

P(kedvezo javaslat | az ügyfél nem fizet) = 1/4.

Rajzoljuk meg a bank döntési fáját. Hogyan tudja a bank maximalizálni várható profitját?Számítsuk ki az EVSI és EVPI értékeit is!

13. Egy mezogazdásznak el kell döntenie, hogy búzát vagy kukoricát ültessen. Ha kukoricátültet és meleg az ido, akkor 8000 eurót keres; ha kukoricát ültet és hideg az ido, akkor 5000eurót keres. Ha búzát ültet és meleg az ido, akkor 7000 eurót keres; ha búzát ültet és hidegaz ido, akkor 6500 eurót keres. A múltban 40%-ban hideg évek voltak, 60%-ban pedig azévek melegek. Mielott ültetne, a mezogazdász megvehet egy szakértoi-idojárás elorejelzést600 euróért. Ha a szóban forgó év a valóságban is hideg, olyankor 90% valószínuséggel azelorejelzo specialista is hideget jósolt. A valóságban bekövetkezo meleg éveknél az elorejelzospecialista az esetek 80%-ban meleg évet jósolt. Maximalizáld a várható profitot! Határozdmeg az EVSI és EVPI értékeket!

14. Egy pár vidám kedvu fiatal alakítottak egy együttest. Egy éve eljárnak rendszeresenpróbákra, és keményen dolgoznak azért, hogy elkészítsék elso lemezüket. Miután elkészül-tek a felvételek, az egyik énekes úgy dönt, hogy neki egyáltalán nem tetszik, és kiszáll acsapatból. El kell dönteniük a többieknek, hogy kiadják a lemezt vagy sem. Ha a felvételekalapján készült lemez sikeres lesz, akkor várható jövedelmük 5000 euró, ha viszont nem,akkor veszítenek 1000 eurót. Az eddigi koncertek utáni visszajelzések alapján úgy gon-dolják, hogy a siker esélye 70%. Beszéltek egy rádiós DJ-vel, aki felajánlotta, hogy 1000euróért mintavételezi a nagyközönség véleményét. A DJ eddigi tevékenysége azt mutatja,hogy ha egy lemez sikeres volt, akkor ezt o is 70% pontossággal becsülte meg, ha meg nemvolt sikeres, akkor ezt o 80%-ban meg is jósolta. Megéri-e alkalmazni DJ-t és ez mennyibenfolyásolja be a döntésüket? Kiadják a lemezt vagy sem?

15. Janinak egy kocka van a bal kezében és egy másik a jobb kezében. Az egyik kocka mind ahat oldalára hat pont van festve. A másik kocka két oldalára egy pont van festve és a többinégy oldalára hat pont. Zsuzsi éppen most választ egy kockát és a kiválasztott kockárafestett pontok mindegyikéért 10 eurót kap. Mielott kiválasztja a kockát, Zsuzsi fizethetJanina 15 eurót, amiért Jani földobja a bal kezében lévo kockát és megmondja Zsuzsinak,hogy a felso oldalára hány pont van festve. Maximalizájuk Zsuzsi profitját! Határozzukmeg az EVSI és EVPI értékeket!

16. Egy szekrénynek két fiókja van. Az egyik fiókban három aranyérem van a másikbanegy arany- és két ezüstérem. Választhatunk egy fiókot, és 500 eurót kapunk mindenaranyéremért és 100 eurót minden ezüstéremért, amely a kiválasztott fiókból van. Mielottválasztanánk, fizethetünk valakinek 200 eurót, amiért o véletlenszeruen kiválaszt egy ér-mét (mind a hat érme kiválasztásának ugyanakkora a valószínusége) és megmondja nekünk,hogy az arany vagy ezüst és, hogy melyik fiokból választotta. Például az illeto azt mond-hatja, hogy egy aranyérmét választott az 1-es fiókból. Fizessünk-e neki 200 eurót? Mennyilesz az EVSI és EVPI értéke?

17. Egy üzem memóriachipeket gyárt tízes tételekben. Múltbeli tapasztalatokból tudják, hogya tételek 80%-ban 10% selejt chip van, a tételek 20%-ban 50% selejt található. Ha jó egytétel 1000 euró a gyártási költsége, ha rossz, akkor 4000 euró a gyártási költsége. Az


üzemnek van egy olyan lehetosége, hogy átdolgozzon egy tételt 1000 euró költséggel. Egyátdolgozott tétel biztosan jó. A másik lehetoség az, hogy 100 euróért az üzem megvizsgál-hat egy chipet minden tételbol, így megkísérelve eldönteni, hogy egy tétel selejtes-e? Azüzem hogyan minimalizálhatja a várható összköltségét? Számítsuk ki az EVSI és EVPIértékeit!

18. Egy frissen végzett Sapientiás közgazdász úgy gondolja, hogy saját vállalkozásba kezd.Mivel azonban nincs sok pénze, nem akar kockáztatni, ezért felfrissíti operációkutatásiismereteit, és inkább alaposan átszámolja az esélyeit. Úgy gondolja, hogy számítástechnikaicéget alapít és kereskedelmi tevékenységet fog folytatni. Figyelembevéve a beruházási ésüzemeltetési költségeket, valamint a várható árbevételt a tiszta haszon a következoképpenprognosztizálja: siker esetén a várható jövedelem 10000 euró, bukás esetén pedig -5000euró.Annak esélye, hogy sikeres lesz a tevékenység 0.8, hogy bukás 0.2.

Megbízható eredményre azonban úgy tunik csak akkor számíthat, ha elozetesen felméréstvégez. Az eddigi tapasztalatai alapján tudja, hogy az egyetemi évei alatt végzett ilyentípusú felméréseinél ha valami jól muködött, akkor ezt o 95%-ban meg is jósolta, ha pedigvalami bebukott, akkor ezt o 85%-ban el is találta. Felkéri egyik barátját, hogy segítsen afelmérés lebonyolításában. Úgy egyeznek, ha becslésük sikert jósol és valóban a vállalkozássikeres is lesz, akkor a barátja segítségét 100 euróval honorálja. Ha becslésük bukást jósolés valóban bukás lesz, akkor a barátjának fizet egy vacsorát 10 euró költséggel. Ha pedigtévednek, akkor nincs tartozása a barátja felé. Hogyan járjon el, végezzen-e felmérést éselindítsa-e a vállalkozását? Számítsuk ki az EVSI-t és az EVPI-t.

19. Az MDA Rt. Dacia személygépkocsik forgalmazását és szervizelését latolgatja a 40000lakosú Csíkszeredában. Jelenleg a város lakosai a szomszédos Sepsiszentgyörgyön levoszerviz szolgáltatásait veszik igénybe. Az Rt vezetése a Sepsiszentgyörgyi kiszolgálás szín-vonalát elemezve megállapította, hogy sem Sepsiszentgyörgy sem Csíkszereda lakosainaknem tud a jelenlegi módon kielégíto színtu szolgáltatást nyújtani, mert a szerviz zsúfolt,hosszú a várakozási ido és Csíkszeredától elégé messze van.A fejlesztési döntés elott azonban az Rt szeretne meggyozodni arról, hogy a beruházásávalnemcsak a kiszolgálás színvonalát tudja növelni, hanem a befektetés megtérülése után atevékenység nyereségesé is válik. A beruházási- és üzemeltetési költségeket, valamint avárható árbevételt alapul véve a tiszta nyereség az autóvásárlási kedv valamint a szervízs-zolgáltatás igénybevételének függvényében az alábbi négy csoportba foglalható:

A Kapacitás kihasználása Minosítés Tiszta nyereség75%-100% jó 120000 euró45%-75% közepes 60000 euró45% alatt rossz -20000 euró

Az Rt. elozetes felmérés nélkül Csíkszereda szervizszolgáltatási igényét 0.4 valószínuséggeljónak, 0.4 valószínuséggel közepesnek, 0.2 valószínuséggel rossznak gondolja.

Mivel az Rt. számításokkal megalapozottan kívánja meghozni döntését, ezért a dön-téshozatal elott felmérés végeztetne az igények felmérésére. Természetesen ez a felmérésköltséggel jár, és a vizsgálat eredménye nem pontos. Egy kéthetes felmérés az Rt. -nek5000 eurójába kerül. Az igények felmérése alapján az elorejelzés eredménye tükrözi az


egyes kihasználási arányok bekövetkezési valószínuségeit:

A felmérés A kapacitás kihasználásaeredménye jó közepes rosszjó 0.95 0.8 0.3rossz 0.05 0.2 0.7

Vizsgáljuk meg a fejlesztés következményeit, és tegyünk javaslatot az Rt. vezetésének arravonatkozóan, hogy végezzen-e felmérést, és végrehajtsa-e a fejlesztést. Számítsuk ki azEVSI és az EVPI értékeit.

20. Egy illatszereket forgalmazó magánkereskedés tulajdonosa egy újfajta, székelyföldön mégnem forgalmazott illatszer folyamatos beszerzésére elég kedvezo ajánlatott kap. A terméketjó lenne mielobb forgalomba hozni. A bolt elég kicsi, és a tulajdonos áruba fektetendotokéje sem túl sok, ezért az újfajta illatszer beszerzését és árusítását csak akkor tudjamegoldani, ha valamelyik termékét nem árulja tovább.Számításai szerint a forgalomból kivont termék eddig hónaponként 1000 euró tiszta hasznothozott. Elozetes becslések alapján azonban az új termék forgalmazása jó keresleti viszonyokesetén 1800 euró, rossz keresleti viszonyok esetén pedig várhatóan 500 eurót hasznot ered-ményez. A tulajdonos úgy ítéli meg, hogy az új termék iránti magas kereslet valószínusége70%. Az ügyben természetesen gyorsan kell dönteni. Bár a piackutatást két cég is vállalta,a kereskedo mégis tanácstalan, hiszen az ajánlott feltételek nagyon különbözoek.Az I. cég gyors felmérés eredményét eloreláthatóan két minosítéssel fogja ellátni, kedvezo ill.kedvezotlen kategóriába sorolja. Számításainak, becslésének megbízhatósága (likelihood)90%-os, a piackutatásért pedig kedvezotlen eredmény esetén 100 eurót, kedvezo esetbenpedig 50 eurót kért.A II. cég a keresleti viszonyok elorejelzését három részre bontja: jó, közepes vagy gyenge.Megbízhatóságukat az alábbi táblázat tartalmazza:

ElorejelzésKereslet jó közepes gyengejó 0.8 0.2 0gyenge 0.05 0.15 0.8

A cég jó kereseti viszonyok esetén 150 eurót, közepes becslés esetén 50 eurót, gyengeminosítés esetén pedig 20 eurót kér a munkájáért.Adjunk javaslatot a kereskedonek, hogy igénybe vegye-e valamelyik piackutató cég szol-gáltatását, ha igen akkor melyiket, és bevezesse-e az új terméket vagy ne? Számítsuk kiaz EVSI-t és az EVPI-t.

7. fejezet

Többcélú döntéshozatal

Az elso fejezetben tárgyalt lineáris programozási feladatok esetében a döntéshozó a lehet-séges tevékenységeknek egyetlen tényezore kifejtett hatását vizsgálta és célját meg tudtafogalmazni egyetlen célfüggvény segítségével. Akkor a cél az volt, hogy a z = cx kifejezésértékét maximalizálja, vagy minimalizálja az Ax ≤ b, x ≥ 0 feltételek mellett, ahol azx1, ...xn döntési változókat az x vektor, az eroforrásokból rendelkezésre álló mennyiségeketa b vektor, a egységnyi mennyiségek profitját, vagy eloállítási költségét a c vektor és azeroforrásokból felhasznált aij mennyiséget az A mátrix jelöli.Sok valóságos helyzetben azonban a döntés nem csak egy tényezo alapján történik, hanem

több tényezo figyelembevételével. Felmérések alapján a vállalatvezetok döntésük meghozata-lakor több célra is összpontosítanak, mint például: a profit, piaci részesedés, az árak stabil-itása stb. Ekkor számukra lehet több cél (tényezo) is fontos, maximalizálni szeretné példáula z1 = cx profitot és minimalizálni a z2 = px kiadást az Ax ≤ b, x ≥ 0 feltételek mellett.A célprogramozás lehetové teszi, hogy egyidejuleg több cél elérésére törekedjünk.Az alapötlet az, hogy minden egyes célt számszerusítünk, mindegyik célhoz felírjuk a

célfüggvényt, majd egy olyan megoldást keresünk, amelyben e célfüggvényeknek a megfelelocéloktól való eltéréseinek a súlyozott összeg minimális. Két esetet vizsgálunk meg.

Amikor mindegyik cél nagyjából egyforma fontosságú. Ez a nemhierarchikus célprogramozás.

A másikban a célok fontosságuk szerint bizonyos sorrendbe vannak helyezve. Ez a hierar-chikus célprogramozás.

Mind a két esetben nagyon fontos megvizsgálni a tényezok preferencia-függetlenségét, merta kölcsönös preferencia függetlenség a feltétele annak, hogy a döntéshozó értékelo függvényeadditív, sajátos esetben pedig, hogy lineáris legyen. A továbbiakban mindig feltételezzük acélok preferencia-függetlenségét.

7.1. Nemhierarchikus célprogramozás7.1. mintapélda (Felvételi). A 2008-as felvételin a Sapientia-EMTE hérom célt tuzött

ki a jövendo elsoévesekre vonatkozóan:

1. cél. A felvételt nyert hallgatók száma legyen legalább 600.

2. cél. A felvételt nyert hallgatók száma ne legyen több mint 700.

165

166 7. Többcélú döntéshozatal

3. cél. A felvételt nyert hallgatók legalább 60% érjen el minimum 70 pontot a felvételiteszten.

4. cél. Legalább 100 felvételt nyert hallgató jó matematikai képességgel kell rendelkezzen.

Az alábbi táblázat a felvételi adatokat tartalmazza:

Teszt pontszámok Teszt eredmény Jó matematikai képességu100-70 pont között 401 fo amibol 78 fo50-69 pont között 452 fo amibol 65 fo

a. Írjuk fel a feladat nemhierarchikus célprogramozási modelljét.

b. A normatív finanszírozási rendszerben legfeljebb 700 hallgatót támogatnak 1200 euró/hall-gató összeggel. Minden egyes 700-as létszám felett felvett hallgató 300 euró veszteségeteredményez az egyetemnek. Ha felvételt nyert hallgatók 60%-a nem éri el a 70 pontot,akkor minden egyes százalék hiányra az egyetem elveszít 800 euró támogatást. A finan-szírozó 500 euró plusz támogatást biztosít minden jó matematikai képességgel rendelkezofelvett hallgatóra. Ezen információk alapján határozzuk meg a célok fontossági sorrendjét,majd írjuk fel és oldjuk meg a feladat lineáris programozási modelljét.

Megoldás.a. A döntési változók:

x1 a jó matematikai képességgel rendelkezo legalább 70 pontot elért felvételt nyert hallgató;

x2 a gyengébb matematikai képességgel rendelkezo legalább 70 pontot elért felvételt nyerthallgató;

x3 a jó matematikai képességgel rendelkezo 70 pont alatt teljesíto felvételt nyert hallgató;

x4 a gyengébb matematikai képességgel rendelkezo 70 pont alatt teljesíto felvételt nyerthallgató.

A célok matematikai megfogalmazása:

1. cél: x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 600,

2. cél: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 700,

3. cél: x1 + x2 ≥ 0.6 (x1 + x2 + x3 + x4) ,

4. cél: x1 + x3 ≥ 100.

Most már fel tudunk írni egy többcélú programozási feladatot, amelynek lényege, hogy acéloktól való eltérést minimalizáljuk. Mindössze be kell vezessük az úgynevezett eltérésvál-tozókat. Mivel nem tudjuk, hogy a célokat alul- vagy felülteljesítsük, ezért az eltérésváltozók:

s+i − az i-dik cél felülteljesítésének számszeru értéke (többletváltozó);

s−i − az i-dik cél alulteljesítésének számszeru értéke (hiányváltozó).

Az eltérésváltozókat felhasználva a célok így írhatók:

1. cél: x1 + x2 + x3 + x4 + s−1 − s

+1 = 600,

2. cél: x1 + x2 + x3 + x4 + s−2 − s+2 = 700,

3. cél: x1 + x2 + s−3 − s+3 = 0.6 (x1 + x2 + x3 + x4) , azaz

0.4x1 + 0.4x2 − 0.6x3 − 0.6x4 + s−3 − s

+3 = 0,

7. Többcélú döntéshozatal 167

4. cél: x1 + x3 + s−4 − s+4 = 100.

Az eltérésváltozók megmutatják, hogy mennyivel teljesítsük felül illetve alul a feltételkorlátját. Közülük egyik mindig nulla. Például az elso célnál, ha x1 = 300, x2 = 70, x3 = 300,x4 = 10,akkor x1 + x2 + x3 + x4 = 680. Mivel felülteljesítés van az s+1 = 680− 600 = 80 éss−1 = 0. Ha pedig x1 = 200, x2 = 70, x3 = 300, x4 = 10,akkor x1 + x2 + x3 + x4 = 580. Ezalulteljesítés és ezért s+1 = 0, s

−1 = 600− 580 = 20.

A döntéshozó célja, hogy a felsorolt 4 négy célt a leheto legnagyobb mértékbe teljesítse,vagyis a ≥ feltételek esetén minimalizálni kell a feltétel hiányváltozóját (s−i → min), és a ≤feltételek esetén pedig minimalizálni kell a feltétel többletváltozóját (s+i → min). Egyenloségifeltételek esetén a feltétel hiány és többletváltozójának összegét kell minimalizálni (s−i +s

+i →

min).Tehát, a feladat célprogramozási modellje:

z1 = s−1 → min,

z2 = s+2 → min,

z3 = s−3 → min,

z4 = s−4 → min,

x1 + x2 + x3 + x4 + s−1 − s

+1 = 600,

x1 + x2 + x3 + x4 + s−2 − s

+2 = 700,

0.4x1 + 0.4x2 − 0.6x3 − 0.6x4 + s−3 − s

+3 = 0,

x1 + x3 + s−4 − s

+4 = 100,

x1 ≤ 78,x2 ≤ 323,x3 ≤ 65,x4 ≤ 387,

xi, s−i , s

+i ≥ 0, xi, s

−i , s

+i ∈ Z, i = 1, 2, 3, 4.

b. Az elso célnál azt kell meghatározzuk, hogy mekkora veszteséget generál a cél alul-teljesítése. Minden egyes hallgató a 600-as létszám alatt 1200 euró támogatás elvesztésétjelenti. Mivel s−1 számú hallgatóval van kevesebb, ezért ennek a feltételnek a nem teljesítése1200s−1 veszteséget jelent. A 700-as létszám feletti pedig 300 euró többletköltséget, vagyiss+2 számú hallgató esetén 300s+2 hiányt eredményez. A harmadik cél alulteljesítése 1% -al600100

= 6 hallgatót jelent. Tehát a harmadik cél nem teljesítése s−3 hallgató esetén 8006s−3

jövedelemkiesést okoz. A negyedik cél s−4 értékkel alulteljesítése 500s−4 összegu támogatáselvesztését okozza.Az egyetemnek az az érdeke, hogy z = 1200s−1 + 300s

+2 +

8006s−3 + 500s

−4 összveszteségét

minimalizálja. Ebbol a felírásból látható, hogy a veszteség generálásában azok a tényezoka mérvadóak, amelyeknek legnagyobb az együtthatójuk. Az elso célhoz rendelt súly 1200, amásodikhoz 300, a harmadikhoz 800

6, a negyedikhez pedig 400. Ez azt jelenti, hogy az elso

cél 1200300

= 4-szer fontosabb mint a második, 1200800/6

= 9-szer fontosabb mint a harmadik és1200500

= 2.4-szer fontosabb mint a negyedik. Ezért a célok fontossági sorrendje: 1. cél, 4. cél,


2. cél és 3. cél. Az optimális megoldást a

z = 1200s−1 + 300s+2 +

8006s−3 + 500s

−4 → min,

x1 + x2 + x3 + x4 + s−1 − s

+1 = 600,

x1 + x2 + x3 + x4 + s−2 − s

+2 = 700,

0.4x1 + 0.4x2 − 0.6x3 − 0.6x4 + s−3 − s

+3 = 0,

x1 + x3 + s−4 − s

+4 = 100,

x1 ≤ 78,x2 ≤ 323,x3 ≤ 65,x4 ≤ 387,

xi, s−i , s

+i ≥ 0, xi, s

−i , s

+i ∈ Z, i = 1, 2, 3, 4.

(7.1)

lineáris programozási feladat megoldása adja. WinQSB lineáris programozási eszköztáráthasználva az alábbi megoldásokhoz jutunk: x1 = 78, x2 = 321, x3 = 23, x4 = 243, s−1 = 0,s+1 = 65, s

−2 = 35, s

+2 = 0, s

−3 = 0, s

+3 = 0, s

−4 = 0, s

+4 = 1. A minimális veszteség zmin = 0.

Az egyetem az összes célt 100%-ban teljesíteni tudja. Összesen 665 hallgatót kell felvegyen,amibol pontosan 60% érte el a minimum 70 pontot a felvételi teszten és amibol 101 hallgatójó matematikai képességgel rendelkezik.

7.2. Hierarchikus célprogramozásA felvételi mintapéldában a kituzött célok fontosságát a 7.1. lineáris programozási modell

célfüggvényében az együtthatók sorrendje dönti el. Ebben az esetben a döntéshozó pontosanmeg tudta határozni a célok relatív fontosságát. Gyakran elofordul azonban, hogy a dön-téshozó nem képes a célok relatív fontosságának precíz meghatározására. Ha ez a helyzet,akkor a célprogramozás hierarchikus modellje hasznos eszköznek bizonyulhat. Ebben az es-etben a döntéshozónak rangsorolnia kell a célokat az általa legfontosabbnak tartott céltól(ez általában az elso cél) a legkevésbé fontos célig (ez általában az utolsó cél). Tehát az1. cél súlya nagyobb lesz a második cél súlyánál, a második cél súlya nagyobb a harmadikcél súlyánál és így tovább az utolsó célig. Ezután a döntéshozó az 1. célt kielégíto pon-tok halmazán megprobál olyan közel kerülni a második cél teljesítéséhez, amennyire az csaklehetséges. Az így kapott pontok halmazán meg olyan közel kerülni a harmadik célhoz,amennyire csak lehet és így tovább. Addig folytatjuk ezt az eljárást, amíg valamely célhozcsak úgy tudnánk közel kerülni, ha egy magasabb fontosságú céltól való eltérést növelnénk.7.2. mintapélda (Asztalos). Egy asztalos kétfajta terméket gyárt: székeket és asz-

talokat. Összesen 30 munkaóra ráfordítása lehetséges. A piackutatók szerint az asztalokbóllegalább 10-et, a székekbol pedig legalább 15 darabot kell termeljen. A termelés jellemzoittartalmazza az alábbi táblázat:

Asztalok SzékekMunkaido szükséglet (óra/darab) 5 3Nyereség (Euró/darab) 12 8

Az asztalos céljai fontossági sorrendben (a legfontosabbal kezdve):

1. cél. A 100 euró profit elérése.


2. cél. Az asztalok keresletének kielégítése.

3. cél. A székek keresletének kielégítése.

4. cél. Ne legyen túlóra.

a. Írjuk fel és oldjuk meg a feladat hierarchikus célprogramozási modelljét.

b. Tudjuk, hogy a túlórázás büntetoköltsége 0.2 euró óránként, valamint azt, hogy havalamelyik termék gyártása a megkívánt kereslet alá esik, akkor a büntetoköltsége 0.4euró és minden egyes eurónyi alulteljesítésnek 1 euró a büntetoköltsége. Írjuk fel és oldjukmeg a feladat lineáris programozási modelljét.

Megoldás.a. A döntési változók:

x1 a legyártott asztalok száma darabszámba megadva;

x2 a legyártott székek száma darabszámba megadva;

A célok matematikai leírása:

1. cél. A profit összesen: 12x1 + 8x2 ≥ 100.

2. cél. Az asztalok mennyisége: x1 ≥ 10.

3. cél. A székek mennyisége: x2 ≥ 15.

4. cél. A munkaórák száma: 5x1 + 3x2 ≤ 30.

Az eltérésváltozókat felhasználva, a célok az alábbi korlátozó feltételeket kell teljesítsék:

12x1 + 8x2 + s−1 − s = 100;

x1 + s−2 − s

+2 = 10;

x2 + s−3 − s

+3 = 15;

5x1 + 3x2 + s−4 − s

+4 = 30.

A döntéshozó célja, hogy a felsorolt négy célt a leheto legnagyobb mértékbe teljesítse,vagyis a ≥ célok esetén minimalizálni kell a feltétel hiányváltozóját (s−i → min), és a ≤célok esetén pedig minimalizálni kell a feltétel többletváltozóját (s+i → min).Tehát, a feladat célprogramozási modellje:

z1 = s−1 → min,

z2 = s−2 → min,

z3 = s−3 → min,

z4 = s+4 → min,

12x1 + 8x2 + s−1 − s

+1 = 100,

x1 + s−2 − s

+2 = 10,

x2 + s−3 − s

+3 = 15,

5x1 + 3x2 + s−4 − s

+4 = 30,

x1, x2, s−i , s

+i ≥ 0, xi, s

−i , s

+i ∈ Z, i = 1, 2, 3, 4.

(7.2)

Jelöljük az egyes célok súlyait rendre P1-gyel, P2-vel, P3-mal és P4-gyel. A megadottfontossági sorrend alapján

P1 ≥ P2 ≥ P3 ≥ P4.


7.1. ábra. A célprogramozási eszköztár kezdotáblája.

A feladat hierarchikus célprogramozási modelljét a (7.2)-ból az új z = P1s−1 + P2s

−2 +

P3s−3 + P4s

+4 célfüggvény beiktatásával kapjuk:

z = P1s−1 + P2s

−2 + P3s

−3 + P4s

+4 → min,

12x1 + 8x2 + s−1 − s = 100,

x1 + s−2 − s

+2 = 10,

x2 + s−3 − s

+3 = 15,

5x1 + 3x2 + s−4 − s

+4 = 30,

x1, x2, s−i , s

+i ≥ 0, xi, s

−i , s

+i ∈ Z, i = 1, 2, 3, 4.

A feladatot a célprogramozási szimplex módszer segítségével lehet megoldani. Ez azalgoritmus van beépítve a WinQSB célprogramozási (Linear and Integer Gool program-ming) eszköztárába. A továbbiakban ezt használjuk a hierarchikus célprogramozási feladatokmegoldására.Eloször is az eszköztár 7.1. kezdotáblájában megadjuk a célok számát (Number of Goals),

majd az ismeretlenek számát (Number of Variables) és a feltételek számát (Number of Con-straints). Ebben a feladatban ezek rendre 4, 10 és 4. Vigyázni kell, hogy a célfüggvényeketminimalizálásra állítsuk (Default Goal Criteria-Minimization). Mivel a döntési változókpozitív egész számok a változók (Default Variable Type) mezobol a nemnegatív egészet(Nonegative Integer) kell kiválasztani.Az OK gombra kattintva betöltodik a célprogramozás 7.3. adattáblája, amelyet a (7.2)

modell alapján kell kitölteni. Itt eloször is az Edit menüpont változók elnevezései (VariableNames) ablakában megadjuk a döntési változók elnevezéseit: X3-at átnevezzük s−1 -ra, X4-ets+1 -ra és így tovább a többi eltérésváltozót is beírjuk (7.2. ábra).Ezek után már csak az adattáblát kell kitölteni úgy, hogy a táblázat mezoibe a megn-

evezések alapján a megfelelo együttható kerüljön (7.3. ábra).A sízo emberke ikonra kattintva betöltodik az eredménytábla. Innen a Solution Value

oszlopból kiolvashatók a döntési változók értékei: x1 = 10, x2 = 15, s−1 = 0, s+1 = 140,s−2 = 0, s

+2 = 0, s

−3 = 0, s

+3 = 0, s

−4 = 0, s

+4 = 65. A célfüggvények (Goal Value) minimális


7.2. ábra. A döntési változók elnevezéseit ebben az ablakban lehet megváltoztatni.


értékei: z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0, z4 = 65. Látható, hogy az utolsó célt nem lehet teljesíteni,ennek következtében az asztalosnak 65 euró túlóra költsége van.Megjegyezzük, ha megváltoztatjuk a fontossági sorrendet, akkor az 7.2. adattáblában is a

Min:G1 -Min:G4 sorokat a megfelelo módon kell változtatni.b. A túlórázás büntetoköltsége 0.2 euró óránként, ezért s+4 túlóra költsége 0.2s+4 . Az

asztalok száma s−2 , a székek száma pedig s−3 egységgel esik a kereslet alá, ezért a bün-tetoköltség 0.4s−2 illetve 0.4s−3 . Az s

−1 eurónyi alulteljesítésbol eredo veszteség 1s−1 . Tehát az

összveszteség z = s−1 + 0.4s−2 + 0.4s

−3 + 0.2s

+4 . A súlyok alapján a fontossági sorrend azonos

az a. pontban megadottal.A feladat lineáris programozási modellje:

z = s−1 + 0.4s−2 + 0.4s

−3 + 0.2s

+4 → min,

12x1 + 8x2 + s−1 − s

+1 = 100,

x1 + s−2 − s

+2 = 10,

x2 + s−3 − s

+3 = 15,

5x1 + 3x2 + s−4 − s

+4 = 30,

x1, x2, s−i , s

+i ≥ 0, xi, s

−i , s

+i ∈ Z, i = 1, 2, 3, 4.

A WinQSB lineáris programozási eszköztára segítségével a következo megoldásokat kapjuk:


x1 = 0, x2 = 13, s−1 = 0, s

+1 = 4, s

−2 = 10, s

+2 = 0, s

−3 = 2, s

+3 = 0, s

−4 = 0, s

+4 = 9 és

zmin = 6.6 euró.

7.3. Kituzött feladatok1. Egy vállalat kutatási és fejlesztési osztálya három új terméket fejlesztett ki. Az egyes

termékek az alábbi táblázatban megadott szinten teljesítik a felsorolt tényezoket:

TermékTényezo 1 2 3 egység

Hosszútávú profit 20 15 25 millió euróMunkaeroszint 10 8 10 száz alkalmazott

Jövo évi nyereség 7 6 8 millió euró

A vezetés három célt tuz ki a következo prioritási sorrendben:

1. cél hosszútávú profit legyen legalább 100 millió euró;2. cél a munkaeroszint legyen legfennebb 5000 alkalmazott;3. cél a vállalat jövo évi nyeresége legalább 75 millió euró legyen.

Alkalmazzuk a hierarchikus célprogramozás módszerét és adjuk meg, hogy a három ter-méket milyen arányban kell gyártani.

2. Egy üzlet meg akarja határozni a színes tv-k és videók raktárkészletének nagyságát. Azüzletnek 300 euróba kerül egy színes tv és 200 euróba egy videó beszerzése. A színes tv-nek 3 egységnyi, a videónak egy egységnyi raktározási tér szükséges. Egy tv eladásán azüzlet 150 eurót, egy videó eladásán 100 eurót keres. Az üzlet célja fontossági sorrendbena következok:

1. cél Maximum 20.000 euró költheto el színes tv-re és videó készülékre.2. cél Az üzlet legalább 11.000 euró profitot akar realizálni tv és videó eladásból.3. cél A színes tv-k és videók nem foglalhatnak el többet a raktárban 200 egységnél.

Fogalmazzuk meg azt a hierarchikus célprogramozási modellt, amelynek segítségével azüzlet meg tudja határozni a színes tv és videó rendelések számát! Hogyan változik meg amodell, ha az üzlet pontosan 11.000 euró profitot szeretne elérni?

3. Egy játékgyár három típusú robotjátékot gyárt. Az elso típusú játék gyártása 10 perc, amásodiké 12 perc, a harmadiké pedig 15 perc. Az elso típusú játékhoz 2 kg, a másodikhoz 3kg, a harmadikhoz pedig 4 kg muanyag szükséges. A játékok utáni nettó jövedelmek rendre2, 5 illetve 7 euró. Hogy a rendeléseket teljesítse a gyár mindegyik termékbol legalább 10darabot kell gyártson. A gyár céjai, sorrendben:

1. cél legalább 200 euró nettó jövedelmet érjen el;2. cél maximum napi 8 órát dolgozhatnak a játékok eloállításánál;3. cél legfennebb 200 kg muanyagot fordítson a játékok gyártásához.

Fogalmazzunk meg egy hierarchikus célprogramozási feladatot és adjuk meg az optimálisdöntéseket. Mi történik, ha a gyár vezetosége fordított prioriritási sorrendet választ?

4. A Csíki sörfozde világos és barna sört gyárt árpából, komlóból és malátából. Jelenleg 4tonna árpa, 3 tonna komló rendelkezésre. Egy hordó világos sört 45 euróért lehet eladni,eloállításához 1 kg árpa, 1 kg komló és 1.8 kg maláta szükséges. Egy hordó barna sört50 euróért lehet eladni, eloállításához 2 kg árpára, 1 kg komlóra és 1.5 kg malátára van


szükség. A sörfozde el tudja adni az általa gyártott világos és barna sört. A sörfozde céljaiprioritási sorrendben:

1. cél az összbevétel legalább 120000 euró legyen;2. cél maximum 4 tonna malátát használjon fel a gyártásnál.a. Fogalmazzunk meg egy hierarchikus célprogramozási feladatot és adjuk meg az opti-mális döntéseket.

b. Milyen termelési tervet válasszanak ha tudják, hogy a sörfozde vesztesége mindenegységnyi bevételkiesés miatt 1 euró és minden plusz tonna felhasznált maláta a sör-fozdének 30 euró veszteséget generál.

5. Csíkszereda önkormányzatának jövore a város területén újrafelhasználható hulladékgyujtolerakatokat kell elhelyeznie. Egy lerakat éves költségvetése 5.000 euró. Mindegyik lerakatothozzá kell rendelni a város keleti vagy nyugati részéhez. Legyen x1 a keleti részben és x2a nyugati részben kialakított lerakatok száma. A munkásoknak a keleti részben napontaátlagosan 40−3x1 óra szükséges a hulladék begyujtéséhez, nyugati részben pedig 50− 4x2óra. A város önkormányzatának három célja van:

1. cél A keleti részben a begyujtési ido legfeljebb 5 óra legyen.2. cél A nyugati részben a begyujtési ido itt is legfeljebb 5 óra legyen.3. cél A lerakatok éves költségvetése 100000 euró.

A város önkormányzata úgy gondolja, hogy (bármely rész esetén) az 5 órás célkituzésegy órával történo túllépésének kára 10.000 euró költséggel egyenlo és minden eurónyiköltségkeret-túllépés költsége 1 euró.

a. Írjuk fel és oldjuk meg az LP modellt, amelyik azt határozza meg, hogy hány lerakatotkell az egyes részekben telepíteni!

b. A következo prioritási rangsorok közül mindegyik esetében alkalmazzuk a célprogramo-zási szimplex módszert a lerakatoknak a város részekhez rendelésére: 1.cél>2.cél>3.cél;2.cél>1.cél>3.cél; 3.cél>1.cél>2.cél.

6. Egy számítástechnikai vállalat fel kívánja adni éves chiprendelését. A vállalat a chipeket(100-as egységekben) három szállítótól vásárolhatja meg. Mindegyik chip kiváló, jó vagyközepes minosítésu. A jövo évben a vállalatnak 5.000 kiváló, 3.000 jó és 1.000 közepesminosítésu chipre lesz szüksége. Az egyes szállítóktól érkezo chipek tulajdonságait akövetkezo táblázat mutatja.

Chiprendelés ÁraKiváló Jó Közepes

1. szállító 60 20 20 4002. szállító 50 35 15 3003. szállító 40 20 40 250

A vállalat minden évben 28.000 euró költ ezekre a számítástechnikai alkatrészekre. Ha avállalat az adott minoségu chipbol nem rendelkezik elegendo mennyiséggel, pótrendeléstadhat le, amelyeknek többletköltsége a kiváló minoségu chipeknél 10 euró, a jóknál 6euró, a közepeseknél pedig 4 euró. A vállalat 1 euró bünteto költséget rendel minden egyeseuróhoz, amely az 1.-3. szállítóknak kifizetendo költségkeretet meghaladja. Fogalmazzuk ésoldjuk meg a vállalat számára azt az LP modellt, amellyel az éves chipszükséglet kielégítéseminimális büntetoköltséggel történik! Alkalmazzuk a hierarchikus célprogramozási modellt


a beszerzési stratégia meghatározására! Legyen a költségkeret a legmagasabb prioritásúcél, amelyet a kiváló, a jó és a közepes chiprendelések kielégítésének céljai követnek.

7. Egy vállalat négyféle terméket gyárt: a T1 és T2 típusokat házi használatra és a T3 és T4típusokat ipari célokra. A termékek elkészítéséhez három különbözo integrált áramkörreés munkaerore van szüksége. Az A és B áramköröket importálják, a C áramkört a vállalatmaga állítja elo. Az alábbi táblázat az egyes gépekhez felhasznált áramkörök számát, amunkaero szükségletet (órában) és a nyereséget (ezer euróba) tartalmazza:

T1 T2 T3 T4A 5 3 2 0B 0 0 3 8C 1 4 6 2

Munkaero 2 3 4 6Nyereség 10 30 50 100

A termeléshez minden periódusban 240 A és 320 B áramkör áll rendelkezésre. A munkaerofelso korlátja 180 óra. A vállalat céljai fontossági sorrendben:

1. cél a nyeresége legalább 2 millió euró legyen;2. cél a házi használatra készült termékek száma legyen legalább 60;3. cél a saját eloállítású felhasznált C áramkörök száma legyen legalább 270.

Írjuk fel azt a hierarchikus célprogramozási modellt, amely alapján meghatározható egyhatékony termelési terv.

8. Egy vállalat egy új ötvözetet kíván gyártani. Az új ötvözet a táblázatban látható összetételuötvözetek összeolvasztásával szeretnék eloállítani:

ÖtvözetTulajdonság 1 2 3

Óntartalom (%) 60 25 45Cinktartalom (%) 10 15 45Ólomtartalom (%) 30 60 10Ár (euró/kg) 19 17 23

A vállalat céljai fontossági sorrendben:

1. cél az ötvözet 40% ónt, 35% cinket és 25% ólmot tartalmazzon;2. cél 1kg ötvözet eloállítási költsége ne legyen több mint 20 euró.

Milyen arányban kell az egyes ötvözeteket összeolvasztani? Mennyi lesz a minimális eloál-lítási költség?Az ötvözetben valamelyik összetevonek 1%-os eltérése a megadott aránytól 2 eurós töb-bletköltséget jelent a vállalatnak, minden egységnyi bevételkiesés miatt pedig 1 euró veszteségéri a vállalatot. Írjuk fel azt a nemhierarchikus lineáris programozási modellt, amellyel avállalat meghatározhatja, hogy milyen arányban kell az egyes övözeteket összeolvasztani,ahhoz, hogy vesztesége minimális legyen.

9. Egy gazda búzát és zabot termeszt saját 50 holdas földjén. Legfeljebb legfeljebb 25000kg zabot tud eladni. Egy beültetett holdon vagy 2300 kg búza, vagy pedig 1800 kg zabterem. A búza eladási ára 0.5 euró/kg a zabé pedig 0.8 euró/kg. Egy hold búza aratásához


2.5 munkaóra, egy hold zab aratásához 3 munkaóra szükséges. A gazda céljai prioritásisorrendben:

1. cél nyeresége legalább 35000 euró legyen;2. cél legtöbb 70 munkaórát vehet igénybe, 60 euró/óra költséggel.

Fogalmazzunk meg egy hierarchikus célprogramozási feladatot és adjuk meg az optimálisdöntéseket.

10. Jancsi mobil boltja jelenleg 4 foállású alkalmazottal és 2 részmunkaidos alkalmazottal ren-delkezik. A teljes munkaidos alkalmazott munkaideje napi 8 óra azaz heti 40 óra, a rész-munkaidosöké pedig napi 4 azaz heti 20 óra. A teljes munkaidos alkalmazottak órabére5 euró és átlagban 3 mobil tudnak eladni, a részmunkaidosök órabére 3 euró és átlagban1 mobil tudnak eladni óránként. Ha a teljes munkaidos alkalmazottak túlóráznak akkoróránként 10 euró kell fizetni nekik. Jancsi a mobilokat átlag 15 euróért veszi, és 20 euróadja el oket. A havi fix költsége 1200 euró. Jancsi a következo célokat tuzte ki magának(a fontosság sorrendjében):

1. cél legalább heti 1800 euró profitot érjen el;2. cél legalább heti 700 mobiltelefont adjon el;3. cél a teljes munkaidos alkalmazottak legfeljebb heti 50 túlórát vállalhatnak.

Írjuk fel azt a hierarchikus célprogramozási modellt, amely alapján meghatározhatjuk afoállású alkalmazottak túlóráinak számát!

11. A Gunya Kft. alkalmi ruhákat forgalmaz. Az alábbi táblázat mutatja a ruhák heti eladá-sainak adatait:

Hét Mennyiség1 452 1233 864 103

A Gunya Kft. heti 90 noi és férfi ruhát tud rendelni, és raktáron 20 ruhát tud tárolni.Minden további plusz ruha raktározási költsége heti 2 euró többletköltséggel jár. Mindenkeresletbeli hiány átlagosan 10 euró veszteséget jelent. Határozzuk meg, hogy a GunyaKft. hetente hány ruhát kell rendeljen ahhoz, hogy az összes rendelést teljesítse a lehetolegkevesebb többletköltség mellett.

12. Egy cipogyár elorejelzése szerint a kereslet a következo negyed évre így alakul:

Hónap Cipo1. 150 pár2. 190 pár3. 210 pár

Egy pár cipo elkészítése 5 euróba kerül rendes munkaidoben, túlórában pedig 7 euró.Minden hónapban legtöbb 180 cipot képesek eloállítani rendes munkaidoben, túlórávalpedig még 80-at. Ha egy pár cipo a raktárban marad, 1 euróba kerül a tárolása.A cipogyár vezetosége a következo célokat tuzte ki magának (a fontosság sorrendjeben):

1. cél teljes termelési költség legfeljebb 2800 euró legyen;2. cél a havi raktárban maradt készlet ne haladja meg az 5 darabot.


Írjuk fel azt a hierarchikus célprogramozási modellt, amely alapján meghatározhatjuk anegyed évi termelési tervet!

13. Egy asztali számítógépeket forgalmazó vállalkozáson belül a következo divíziók vannak:beszerzés, összeszerelés és értékesítés. A divíziók profit centerként muködnek. Legyena, b, c az egyes divíziók árrése százalékban. A vállalkozás alacsony-, közepes- és felsoárkategóriás gépeket forgalmaz, amelyek az alkatrészek minoségében különböznek. Haminden divízió 10%-os árrést határoz meg, akkor a jelenlegi forgalom mellett, összvállalatiszinten a következo nyereségek valósulnak meg (géptípusra lebontva, ezer euró):

a b cAK 90 300 90KK 120 400 100FK 100 250 95

A vállalat megfelelo muködése érdekében a következo feltételeknek kell teljesülniük.

A közepes árkategóriás gépeken megvalósított nyereség legalább 600 ezer euró kell legyen.A magas árkategóriájú gépeken megvalósított nyereség legalább 400 ezer euró kell legyen.A vállalat összes nyereségének nagyobbnak kell lennie mint 1.5 millió dollár.Az értékesítés árrése legalább 5%, maximum 10% kell legyen.

A vállalat stratégiája a következo célokat határozza meg:

1. cél Az alacsony árkategóriájú gépeken megvalósított nyereség legalább 400 ezer eurókell legyen;

2. cél Az összeszerelés nyeresége nem lehet nagyobb mint 800 ezer euró, adózási meg-fontolásokból;

3. cél Az értékesítés nyeresége legalább 300 ezer euró kell legyen.

Mekkora árrés alkalmazását javasolja a felso vezetés az egyes divízióknak, ha a célok pri-oritása: 1. cél ≥ 2. cél ≥ 3. cél, illetve ha 2. cél ≥ 1. cél ≥ 3. cél.

14. Csíkszereda polgármesterének ki kell dolgoznia a város adózási politikáját. Ötféle adót kellkivetni:

Tulajdoni adó. Legyen p a tulajdoni adó százalékos mértéke.Fogyasztási adó, amelyet minden termékre kivetnek, kivéve az élelmiszereket, a gyógysz-ereket és a tartós fogyasztási cikkeket. Legyen s a kereskedelmi adó százalékos mértéke.A tartós fogyasztási cikkek adója. Jelölje d a tartós fogyasztási cikkek százalékos adókulc-sát.A benzin fogyasztási adója. Jelölje g a benzin fogyasztási adójának százalékos mértékét.Az élelmiszerek és gyógyszerek fogyasztási adója. Jelölje f ezen termékek fogyasztásiadókulcsát.

A városban alacsony jövedelmu (AJ), közepes jövedelmu (KJ) és magas jövedelmu (MJ)emberek élnek. Az egyes jövedelmi csoportoktól az egyes adófajták 1%-os mértéku kivetéserévén beszedett összegek (millió euróban) a következok:

p s d g fAJ 90 30 12 3 9KJ 120 40 10 2 6MJ 100 25 6 1 4


Ha tehát a tartós fogyasztási cikkekre 3%-os adót vetnek ki, akkor az alacsony jövedelmucsoporttól 36 millió euró folyik be. Az adózási politikának a következo feltételeket kellkielégítenie:

A közepes jövedelmu csoporttól beszedett összeg nem haladhatja meg a 280 millió eurót.A magas jövedelmuek adóterhe nem haladhatja meg a 240 millió eurót.Az összes adóbevételnek meg kell haladnia a jelenlegi 650 millió eurós összeget.Az s értékének 1% és 3% között kell lennie.

Mindezeket figyelembevéve a polgármester három célt jelöl meg:

1. cél A tulajdoni adó kulcsa legyen 3% alatt.2. cél Az alacsony jövedelmuek adóterhét tartsuk 200 millió euró alatt.3. cél Ha az adóteher túlságosan nagy, akkor az alacsony jövedelmuek 20%-a, a közepesjövedelmuek 20%-a és a magas jövedelmuek 40%-a fontolóra veszi, hogy a külso kerületekbeköltözzön. Ennek a hatásnak az ellensúlyozására a külso kerületek célja az, hogy a jelzettarányú népesség összes adóterhét 150 millió euró alatt tartsa.

Alkalmazzuk a célprogramozás módszerét az optimális adópolitika kialakítására, miközbena polgármester céljainak prioritási kapcsolatai a következok:

a. 2. cél ≥ 1. cél ≥ 3. cél.b. 1. cél ≥ 2. cél ≥ 3. cél.c. 3. cél ≥ 2. cél ≥ 1. cél.

Van-e valami közös a három prioritási sorrend esetén kapott megoldásokban?

15. Egy vállalat az elkövetkezo 3 hónapban raktártér bérlésére kényszerül. Csak azt ismerik,mekkora raktárterületre lesz szükség az egyes hónapokban. Mivel azonban ezek az igényekigencsak eltéroek, talán az lenne a legkifizetodobb, ha minden hónapra kibérelnék a megfelelonagyságú területet. Másrészrol viszont, egy terület bérletének egy további hónapra történomeghosszabbítása az elso hónapi díjnál sokkal kisebb többletköltséggel jár, vagyis talánolcsóbb lenne a maximális területet kibérelni a teljes 3 hónapra. Egy közbülso megoldáslehetne, ha idoközben legalább egyszer, megváltoztatnák a bérleti terület nagyságát (továbbiterületet bérelnének). Az egyes idoszakokra szükséges raktárterület nagysága ( m2) és abérleti díjak a következok:

Szükséges Bérleti Bérleti díjHónap terület idoszak (hónap) (euró/m2)

1 300 1 652 200 2 1003 400 3 135

A vállalat céljai fontossági sorrendben:

1. cél bérleti díj ne legyen több mint 45000 euró;2. cél a raktári szükségletek biztosítása.

Írjuk fel azt a hierarchikus célprogramozási modellt, amely alapján meghatározható egyhatékony bérlési terv. Tudva azt, hogy minden 45000 euró feletti bérleti díj 1 euró hiánytés minden négyzetméter bérleti terület hiánya 2 euró veszteséget jelent a vállalatnak, írjukfel azt a nemhierarchikus lineáris programozási modellt. Mekkora lesz a vállalat minimálisvesztesége.

8. fejezet

Hierarchikus elemzo módszer

Az elozo fejezetben olyan problémákat tárgyaltunk, amikor a döntéshozó a lehetségesmegoldások közül úgy választ, hogy azok mennyire elégítenek ki különbözo célokat. Ha adöntéshozónak egyszerre több cél is fontos, akkor a választás nem könnyu feladat. A ThomasSaaty1 által kifejlesztett hierarchikus elemzo mószer (Analytic Hierarchy Process-AHP) egyjó lehetoség a többcélú feladatokat megoldani kívánó döntéshozó számára.8.1. mintapélda (Házvásárlás). Egy átlagos jövedelmu család, házat szeretne vásárolni.

Döntése meghozatala elott négy tényezot mérlegel:

1. tényezo: a ház mérete (négyzetméterben megadva);2. tényezo: általános feltételek (szükséges javítások, falak, tisztaság, teto, víz és elektromosvezetékek);

3. tényezo: a kert tágassága (elso, hátsó és, és a szomszédoktól való távolság);4. tényezo: finanszírozás (felvállalandó teher, banki finanszírozás).

Három ház közöl választhat.Az “A” ház a három közül a legnagyobb. Habár az általános feltételek nem épp a legjob-

bak, kitakarításra és festésre szorul. A “B” és “C” ház kertjéhez viszonyítva aránylag nagy-obb kertje van. A finanszírozása sem épp a legmegfelelobb mivel banki kölcsön szükségeshozzá elég magas kamatláb mellett.A “B” ház egy kicsit kisebb, mint az “A” ház. A kert elég kicsi és a ház nem rendelkezik

modern berendezéssel. Másfelol az általános feltételek elég jók. Elfogadható jelzálog sz-erezheto, tehát elég jónak mondható a pénzügyi része.A “C” ház nagyon kicsi és kevés a modern felszerelése. Jó állapotban van, és bizton-

ságosnak tunik. A kertje nagyobb, mint a “B” házé, de nem lehet összemérni az “A”-val.Finanszírozási szempontból jobb, mint “A”, de rosszabb, mint a “B”.Alkalmazva az AHP-t segítsünk a döntés meghozatalában.Megoldás.

1. lépés. Meghatározzuk a tényezok fonossági sorrendjét. Ehhez elkészítjük az úgynevezettpáros összehasonlítási mátrixot , amelynek ai,j elemei azt mutatják meg, hogy az i-edik célhányszor fontosabb a j-edik célnál. A fontosságot az egész számokból álló 1-9-ig terjedoskálán mérjük, ahol az egyes számértékek jelentését az alábbi táblázat mutatja:

1 T. L. Saaty, The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill (1980).

179

180 8. Hierarchikus elemzo módszer

aij értéke Értelmezés1 Az i-edik cél és a j-edik cél egyformán fontos3 Az i-edik cél enyhén fontosabb a j-edik célnál5 Az i-edik cél fontosabb a j-edik célnál7 Az i-edik cél jóval fontosabb a j-edik célnál9 Az i-edik cél határozottan jóval fontosabb a j-edik célnál2, 4, 6, 8 Közbeeso értékek: például a 4 azt jelenti, hogy az

i-edik cél valahol félúton enyhén fontosabb −fontosabb mint a j-edik cél

Tegyük fel, hogy a család összehasonlítja a tényezoket és az alábbi páros összehasonlításimátrixot kapja:

1. 2. 3. 4.

1. 1 2 1/2 1/3

2. 1/2 1 1/3 1/4

3. 2 3 1 1

4. 3 4 1 1

A mátrix átlóján levo elemekre aii = 1. Ha mondjuk a negyedik tényezo enyhén fontosabbmint az elso tényezo, azaz a41 = 3, akkor a következetesség (konzisztencia) biztosításaérdekében a14 = 1

3. Általában is érvényes az aij · aji = 1 tulajdonság.

Egy tökéletesen következetes döntéshozó páros összehasonlítási mátrixa az

1. 2. ... n.1. w1

w1w1w2

... w1wn

2. w2w1

w2w2

... w2wn

......

.... . .

...n. wn

w1wnw2

... wnwn

alakba írható.Megmutatható, hogy az

w1w1

w1w2

. . . w1wn

w2w1

w2w2

. . . w2wn

......

. . ....

wnw1

wnw2

. . . wnwn

x1x2...xn

= λ

x1x2...xn

egyenletrendszernek egyetlen nem nullától különbözo megoldása a λ = n és x = (w1, w2, ..., wn) .Legyen A egy nem tökéletesen következetes döntéshozó páros összehasonlítási mátrixa.

Jelöljük λmax-al azt a legnagyobb számot, amelyre az

A

x1x2...xn

= λ

x1x2...xn

egyenletrendszernek van (x1, x2, ..., xn) �= (0, 0, ..., 0) megoldása. Ha a döntéshozó összeha-sonlításai nem térnek el nagyon a tökéletes következetesség esetétol, akkor azt várnánk, hogy

8. Hierarchikus elemzo módszer 181

a λmax közel legyen az n-hez és (x1, x2, ..., xn) a (w1, w2, ..., wn)-hez. Saaty igazolta, hogyvalóban ez a meglátás helyes. Ezért a döntéshozó következetességének mértékéül az n ésλmax távolságát tekintjük.A következokben bemutatjuk a λmax , az (x1, x2, ..., xn) , valamint a következetesség

kiszámítására alkalmazható eljárást.I. Normalizált páros összehasonlítási mátrix meghatározása. Kiszámoljuk minden oszlop

összegét:

1. 1 2 12

13

2. 12 1 1

314

3. 2 3 1 1

4. 3 4 1 1

Összeg 13/2 10 17/6 31/12

és minden oszlop elemeit elosztjuk az oszlop összegével:

Anorm =

213

15

317

431

113

110

217

331

413

310

617

1231

613

25

617

1231

.

II. A λmax -hoz tartozó x = (x1, x2, ..., xn) megoldások becslése. Az xi értékét nagyon jólközelíti az Anorm mátrix sora elemeinek a számtani középarányosa:

x1 =213+ 1

5+ 3

17431

4= 0.16483,

x2 =113+ 1

10+ 2

17+ 3

31

4= 0.09785,

x3 =413+ 3

10+ 6

17+ 12

31

4= 0.33693,

x4 =613+ 2

5+ 6

17+ 12

31

4= 0.40039.

III. A következetesség ellenorzése.A. Számoljuk ki az AxT szorzatot. A mintapéldában ez

AxT =

1 2 12

13

121 1

314

2 3 1 13 4 1 1

0.164830.097850.336930.40039

=

0.662460.392671.36051.6232

.

B. Számítsuk a λ-át.

λ =1

n

n∑

i=1

az AxT i-edik elemeaz xT i-edik eleme

=1

4

(0.66246

0.16483+0.39267

0.09785+1.3605

0.33693+1.6232

0.40039

)

= 4.031.


C. A következetességi mutató (KM):

KM =λ− n

n− 1

=4.031− 4

3= 0.0103.

D. A következetességi mutató összehasonlítása a véletlenszeru következetességi mu-tatóval (VKM). Tekintünk egy olyan döntéshozót, aki teljesen véletlenszeruen tölti ki a párosösszehasonlító táblázatot de úgy, hogy az átlón lévo elemek értékei 1 és aij · aji = 1. Kiszá-moljuk erre a KM-et. Sokszor elvégezve ezt a számítást és átlagolva a KM értékeket kapjuka véletlenszeru következetességi mutatót az VKM-et. Az alábbi táblázat az n különbözoértékeire megadja a VKM értékeit.

n VKM2 03 0.584 0.95 1.126 1.247 1.328 1.419 1.4510 1.51

(8.1)

Gyakorlatban a következetesség akkor tekintheto elfogadhatónak, ha

KM

VKM≤ 0.1

Ellenkezo esetben komoly következetlenségek léphetnek fel. Ekkor az AHP végeredményemegkérdojelezheto. A mintapéldában KM

VKM= 0.0103

0.9= 0.011 ≤ 0.1, vagyis a család célokat

összehasonlító mátrixa nem tartalmaz komoly következetlenségeket.Tehát a tényezok súlyainak elfogadhatók az x elemei. Ezért

T1 = 0.16483, T2 = 0.09785, T3 = 0.33693, T4 = 0.40039.

Megállapítható, hogy a családnak a legfontosabb tényezo a finanszírozás, majd a kert tá-gassága, a ház mérete és legvégül az általános feltételek.

2. lépés. Most minden tényezo szempontjából összehasonlítsuk a választási lehetoségeket.Alkalmazzuk az 1. lépésben bemutatott módszert, összehasonlítva a házakat a tényezokalapján.

1. tényezo. A ház nagysága. A leírtak alapján készítheto a B1 páros összehasonlításimátrix:

A B CA 1 3 5

B 13 1 3

C 15

13 1

2. tényezo. Általános feltételek. A leírtak alapján a B2 páros összehasonlítási mátrix:


A B CA 1 1

516

B 5 1 12

C 6 2 1

3. tényezo. A kert nagysága. A B3 páros összehasonlítási mátrix:

A B CA 1 7 5

B 17 1 1

3

C 15 3 1

4. tényezo. Finanszírozás. A B4 páros összehasonlítási mátrix:

A B CA 1 1

713

B 7 1 3

C 3 13 1

Hasonlóan, mint az A mátrixra a B1, B2, B3 és B4 mátrixokra itt is kiszámoljuk akövetkezetességi mutatókat. A számításokat az Excel táblázatkezelo program segítségévelvégezzük.B1. Elso lépésként feltöltjük az Excel elso mezoit a B1 értékeivel:

A B C1 1 3 52 0.3333 1 33 0.2 0.3333 1

majd összegezünk az oszlopok mentén:

A B C1 1 3 52 0.3333 1 33 0.2 0.3333 14 1.53333 4.33333 9

Ezután a 4. sor elemeivel elosztjuk a megfelelo oszlop elemeit, az eredményt a 6 sortólkezdodoen írjuk, azaz az A4 mezobe beírjuk az "=A1/A$4" képletet és a + jellel széthúzzuka mezot az C8-as mezoig:

A B C1 1 3 52 0.33333 1 33 0.2 0.33333 14 1.53333 4.33333 956 0.65217 0.69230 0.555557 0.21739 0.23076 0.333338 0.13043 0.07692 0.11111


A 6., 7. és 8. sor elemeit átlagoljuk (AVERAGE) és az eredményt az E6 mezotol kezdodoenírjuk a táblába. Kapjuk

A B C D E1 1 3 52 0.33333 1 33 0.2 0.33333 14 1.53333 4.33333 956 0.65217 0.69230 0.55555 x1 = 0.633367 0.21739 0.23076 0.33333 x2 = 0.260498 0.13043 0.07692 0.11111 x3 = 0.10615

Az x1, x2 és x3 értékeit az E6, E7 illetve E8 mezokbol olvashatjuk ki:

x1 = 0.63336,

x2 = 0.26049,

x3 = 0.10615.

A következetességi mutató kiszámításához szoroznunk kell az eredeti A1:C3 mátrixot azE6:E8 mátrixszal. Ennek érdekében válasszuk ki az E1 mezot, és az MMULT függvénymeghívása után az elso ablakba jelöljük ki az A1:C3, a másikba pedig az E6:E8 mátrixot.Kiszámítás után kijelöljük az E1:E3 mezoket, majd F2 funkcióbillentyu és a

CTRL+SHIFT+ENTER billentyuk segítségével a szorzás eredményét megjelenítjük a ki-jelölt mezokben:

A B C D E1 1 3 5 1.945622 0.33333 1 3 0.790083 0.2 0.33333 1 0.319654 1.53333 4.33333 956 0.65217 0.69230 0.55555 x1 = 0.633347 0.21739 0.23076 0.33333 x2 = 0.260498 0.13043 0.07692 0.11111 x3 = 0.10615

Ezek után elvégezzük az E1/E6, E2/E7 és E3/E8 osztásokat. Az eredményeket a G1:G3mezokben jelenítjük meg:

A B C D E F G1 1 3 5 1.94562 3.071972 0.33333 1 3 0.79008 3.032963 0.2 0.33333 1 0.31965 3.011204 1.53333 4.33333 956 0.65217 0.69230 0.55555 x1 = 0.633347 0.21739 0.23076 0.33333 x2 = 0.260498 0.13043 0.07692 0.11111 x3 = 0.10615


A λ értékét megkapjuk, ha a G1:G3 oszlop elemeit összeadjuk és elosztjuk 3-mal. Ezt a G4mezobe írjuk:

A B C D E F G1 1 3 5 1.94562 3.071972 0.33333 1 3 0.79008 3.032963 0.2 0.33333 1 0.31965 3.011204 1.53333 4.33333 9 λ = 3.0387156 0.65217 0.69230 0.55555 x1 = 0.633347 0.21739 0.23076 0.33333 x2 = 0.260498 0.13043 0.07692 0.11111 x3 = 0.10615

A következetességi mutatót a G5 mezoben számoljuk a (G4− 3) /2 képlettel:

A B C D E F G1 1 3 5 1.94562 3.071972 0.33333 1 3 0.79008 3.032963 0.2 0.33333 1 0.31965 3.011204 1.53333 4.33333 9 λ = 3.038715 KM= 0.01936 0.65217 0.69230 0.55555 x1 = 0.633347 0.21739 0.23076 0.33333 x2 = 0.260498 0.13043 0.07692 0.11111 x3 = 0.10615

Háromszor hármas mátrixok esetén beírjuk a V KM = 0.58 az G6 mezobe, és kiszámoljuk aKM/VKM arányt a G7 mezoben:

A B C D E F G1 1 3 5 1.94562 3.071972 0.33333 1 3 0.79008 3.032963 0.2 0.33333 1 0.31965 3.011204 1.53333 4.33333 9 λ = 3.038715 KM= 0.01936 0.65217 0.69230 0.55555 x1 = 0.63334 VKM= 0.587 0.21739 0.23076 0.33333 x2 = 0.26049 KM/VKM= 0.033378 0.13043 0.07692 0.11111 x3 = 0.10615

Mivel KM/VKM<0.1 a család következtetése elfogadható.Az elkészített Excel tábla segítségével a B2, B3 és B4 mátrixokra a súlyokat és a követ-

kezetességi mutatót könnyen kiszámíthatjuk, csak az eredeti mátrixban az (A1:C3) mezoketkell kicserélni szerre a B2, B3 és B4-el. A súlyokat az E6:E8 mezokbol olvashatjuk ki, a KMértékét és az összehasonlítást a G5 és G7 mezok mutatják.A tényezok szerint a házak összehasonlításának súlyait, következetességi mutatóit és a

KM/VKM arányt az alábbi táblazat tartalmazza:


Tényezok1. 2. 3. 4.

A ház x1 = 0.63336 0.08195 0.72351 0.08821

B ház x2 = 0.26049 0.34305 0.08331 0.66869

C ház x3 = 0.10615 0.575 0.19318 0.24310

KM = 0.0193 0.014579 0.03290 0.00351KMVKM = 0.03337 0.02513 0.05674 0.00606

Tényezok súlyai: 0.16483 0.09785 0.33693 0.40039

3. lépés. Válasszuk ezek után a legmagasabb összértéku ajánlatot. Az egyes ajánlatokösszértéke a tényezok súlyaival számított átlag:

Az "A" ház összértéke = 0.63336 · 0.16483 + 0.08195 · 0.09785 +

0.72351 · 0.33693 + 0.08821 · 0.40039

= 0.39151,

A "B" ház összértéke = 0.26049 · 0.16483 + 0.34305 · 0.09785 +

0.08331 · 0.33693 + 0.66869 · 0.40039

= 0.37231,

A "C" ház összértéke = 0.10615 · 0.16483 + 0.575 · 0.09785 +

0.19318 · 0.33693 + 0.24310 · 0.40039

= 0.23618.

Az AHP alapján a családnak az "A" házat kell választania.

8.1. Kituzött feladatok1. Egy vizsgáztató tanárt a diákok tesztelni akarják, hogy elégé következetes-e az értékelésében,

ezért négy névtelen dolgozatot adnak a tanárnak, hogy hasonlítsa össze oket. A tanár párosösszehasonlítási mátrixa:

1. 2. 3. 4.1. 1 2 3 4

2. 12 1 3 2

3. 13

13 1 3

4. 14

12

13 1

Határozzuk meg a tanár következetességi mutatóját és hasonlítsuk össze ezt a véletlenszerukövetkezetességi mutatóval.

2. Tömeg alapján hasonlítsuk össze azt az öt ezüsttömböt, amelyek tömegei rendre: 5 kg, 1kg, 8 kg, 2 kg, illetve 15 kg. Helyes összehasonlítás esetén mennyi lesz a következetességimutató? Határozzuk meg a tömbök súlyértékeit.

3. Egy XII. diák el szeretné dönteni, hogy tanulmányait hol folytassa tovább. A Sapientia-EMTE csíkszeredai (Cs) és marosvásárhelyi (Mv) karai közül szeretné kiválasztani a nekilegjobban megfelelot. Négy szempontot választ ki a döntése meghozatalához:


1. tényezo. Szakok.2. tényezo. Költség.3. tényezo. Távolság.4. tényezo. A kar légköre.

Az AHP módszer alapján a négy tényezot összehasonlította és az alábbi páros összehason-lítási mátrixot kapja:

1. 2. 3. 4.1. 1 5 7 8

2. 15 1 4 6

3. 17

14 1 2

4. 18

16

12 1

Ezután minden tényezo alapján a karokat is összehasonlította és preferenciáit a következotáblázatban foglalta össze:

Szakok Cs Mv Költség Cs MvCs 1 1

2 Cs 1 4Mv 2 1 Mv 1

4 1

Távolság Cs Mv Légkör Cs MvCs 1 5 Cs 1 2Mv 1

5 1 Mv 12 1

Határozzuk meg a páros összehasonlítási mátrixok következetességi mutatóit és ha elfo-gadhatóak, akkor tegyünk javaslatot a diák döntésére vonatkozóan!

4. Egy felsofokú oktatási intézményben az oktatók fizetésemelését három területen elért tel-jesítmény alapján határozzák meg: oktatás, kutatás, adminisztratív teendok. Az in-tézmény vezetése megállapította, hogy ezek a tényezok mekkora fontossággal bírnak azegyetem akkreditációja szempontjából. Értékelésüket az alábbi páros összehasonlításimátrixban foglalták össze .

Oktatás Kutatás Admin.Oktatás 1 1

2 7

Kutatás 2 1 7

Admin 17

17 1

A vezetés, hogy kipróbálja az AHP alkalmazását a fizetések megállapításánál, az elozo évrevonatkozó önértékelési lapokban foglaltak alapján elkészítette két azonos oktatói fokozat-tal rendelkezo tanárjának a felsorolt tényezok szerinti összehasonlítását. Az I. tanárt azeredményesebb kutatói tevékenység, a II. oktatót pedig a hatékonyabb oktatói és admin-isztratív tevékenység jellemzi. Az értékeléseket az alábbi táblázatok tartalmazzák:

Oktatás I II Kutatás I III 1 1

3 I 1 5II 3 1 II 1

5 1

Admin I III 1 1

3II 3 1


Ellenorizzük a páros összehasonlítási mátrixok következetességét! Az AHP alapján melyikoktató kell nagyobb fizetésemelésben részesüljön?

5. A Hallgatók névtelenül értékelik tanáraikat a következo szempontok alapján:1. tényezo. Következetesség.2. tényezo. Érthetoség.3. tényezo. Pontosság.4. tényezo. Igazságosság.

Az alábbi táblázat a felsorolt tényezok páros összehasonlításait tartalmazza.

1. 2. 3. 4.1. 1 2 3 1

2

2. 12 1 5 1

4

3. 13

15 1 1

7

4. 2 4 7 1

Az alábbi táblázatok a Döntéselméleti tanszék négy oktatójának, a négy tényezo szerintipáros összehasonlításait mutatják.

1. I II III IVI 1 4 3 2

II 14 1 3 2

III 13

13 1 1

IV 12

12 1 1

2. I II III IVI 1 1

4 2 1

II 5 1 3 5

III 14

13 1 2

IV 1 15

12 1

3. I II III IVI 1 1

2 1 1

II 2 1 1 1

III 1 1 1 1

IV 1 1 1 1

4. I II III IVI 1 2 1

418

II 12 1 1

216

III 4 2 1 15

IV 8 6 5 1

Ellenorizzük az összehasonlítások következetességét és határozzuk meg az oktatók sorrend-jét.

6. Egy üzletbe két személy jelentkezik az elárusítói állásra. A két jelentkezo közül csak azegyiket alkalmazzák. Az üzletvezeto döntéseit befolyásoló szempontok fontossági sorrend-ben: megbízhatóság, külso megjelenés, kommunikációs készség. Az alábbi páros összeha-sonlítási táblázatok mutatják az állásinterjú eredményeit.

Megbizh. I II Megjel. I III 1 5 I 1 1

7II 1

5 1 II 7 1

Komm. I III 1 4II 1

4 1

Az üzletvezeto melyik jelentkezot fogja választani, ha a tényezokre vonatkozó páros össze-hasonlítási mátrixa:

1. 2. 3.1. 1 2 3

2. 12 1 5

3. 13

15 1


Vizsgáljuk meg az üzletvezeto következetességét is.

7. A gólyabálon a zsuri négy pár teljesítményét értékeli. Döntését befolyásoló szempontokfontossági sorrendben: leleményesség, ügyesség és megjelenés. Minden zsuritag ebbol ahárom szempontból összehasonlítsa a négy pár teljesítményét. Az egyik zsuritag pon-tozólapján az alábbi páros összehasonlítási mátrixok találhatók:

Lelm. I II III IV Ügyes. I II III IVI 1 2 3 3 I 1 1

213

15

II 12 1 3 4 II 2 1 1

415

III 13

13 1 2 III 3 4 1 1

IV 13

14

12 1 IV 5 5 1 1

Megj. I II III IVI 1 1 1

217

II 1 1 1 14

III 2 1 1 1IV 7 4 1 1

a. Következetes volt-e a zsuritag?b. Az alábbi táblázat a zsuri értékelését tartalmazza a tényezokre vonatkozóan:

Lelm. Ügyes. Megj.Lelm. 1 2 5

Ügyes. 12 1 2

Megj. 15

12 1

Határozzuk meg a tényezok páros összehasonlítási mátrixának következetességét és adjukmeg az elozo pontban bemutatott zsuritag által javasolt sorrendet.

8. A befektetési döntéseknél két tényezo: a várható megtérülés és a kockázat mértéke egy-formán fontosnak számít. Egy cég két beruházás közül az egyiket szeretné megvalósítani,ezért elkészíti az alábbi páros összehasonlítási mátrixokat:

Megtérülés I II Kockázat I III 1 1

2 I 1 3II 2 1 II 1

3 1

a. Hogyan rangsorolhatjuk a beruházásokat?b. Idoközben egy újabb beruházási lehetoség is számításba jön. A három beruházásravonatkozó páros összehasonlítási táblázatok a következok:

Megtérülés I II III Kockázat I II IIII 1 1

2 4 I 1 3 12

II 2 1 8 II 13 1 1

6III 1

418 1 III 2 6 1

Figyeljük meg, hogy az elso két beruházás egymás közötti páros összehasonlításai nemváltoztak. Mi lesz most a beruházások rangsora? Hasonlítsuk össze az eredményt az a.pontban kapottal.


9. Egy vállalat új számítógépek beszerzésén gondolkodik. A beszerzendo számítógép háromtulajdonságát tartják fontosnak, ezek: felhasználóbarát muködés (1), szoftverek elérhetosége(2) és a költségek (3). Ezekre a tényezokre vonatkozóan a következo páros összehasonlításimátrixot dolgozták ki:

1. 2. 3.1. 1 1

2 4

2. 2 1 5

3. 14

15 1

A vásárlásnál három számítógéptípus jöhet szóba. Az egyes típusoknak az egyes tényezokrevonatkozó páros összehasonlítási mátrixok:

1. I II III 2. I II IIII 1 3 5 I 1 1

312

II 13 1 2 II 3 1 5

III 15

12 1 III 2 1

5 1

3. I II IIII 1 1

217

II 2 1 15

III 7 5 1

Ellenorizzük a páros összehasonlítási mátrixok következetességét. Melyik számítógéptípustkell megvásárolni?

10. Egy család nyári szabadságára készülve ki szeretné választani a számára legkedvezobbországot. A szempontjai: távolság (minél messzebb, annál jobb), a látnivalók és a költségek(minél olcsóbb, annál jobb). A lehetséges célországok: India, Olaszország és Egyiptom. Aszempontok fontosságára vonatkozó adatok:

a látnivalók 5-ször fontosabbak a távolságnál,a költségek 7-szer fontosabbak a távolságnál,a költségek 2-szer fontosabbak a látnivalóknál.

Néhány utazási iroda ajánlatának tanulmányozása után megállapították, hogy az egyesalternatívák páros összehasonlításai a következok:

Táv. India Olaszo. Egyipt. Látv. India Olaszo. Egyipt.India 1 6 4 India 1 1

2 2Olaszo. 1

6 1 12 Olaszo. 2 1 5

Egyipt. 14 2 1 Egyipt. 1

215 1

Költs. India Olaszo. Egyipt.India 1 1

713

Olaszo. 7 1 2Egyipt. 3 1

2 1

Melyik országba utazzon a család? Írjuk fel az alternatívák rangsorát meghatározó súlyokatés határozzuk meg az összehasonlítások következetességét.

9. fejezet

MEGOLDÁSOK, ÚTMUTATÁSOK

9.1. Lineáris programozási feladatok1. Matematikai modell:

z = 20x1 + 40x2 → max,4x1 + 2x2 ≤ 240,4x2 ≤ 160,

2x1 + 3x2 ≤ 180,x1 + x2 ≤ 100,x1, x2 ∈ N.

A maximális árbevételt biztosító termelési programot akkor érhetjük el, ha 30 darab ter-méket állítanak elo az elso termékbol, 40 pedig a másodikból. Árnyékárak: (0, 2.5, 10, 0).A második és a harmadik eroforrások kapacitási feltételei az éles feltételek.

2. Matematikai modell:

z = 180x1 + 160x2 → min,6x1 + x2 ≥ 12,3x1 + x2 ≥ 8,4x1 + 6x2 ≥ 24,x1, x2 ∈ N.

Heti 2 illetve 3 napot kell dolgozni az egyes bányákban, hogy minimális költség mellett atervet teljesíteni tudják.


z = 2x1 + 2.5x2 → min,0.15x1 + 0.24x2 ≥ 0.024,0.24x1 + 0.24x2 ≥ 0.0360.04x1 + 0.02x2 ≥ 0.004

x1 + x2 ≤ 0.5,x1, x2 ≥ 0.

A nyulak etetését akkor tudjuk minimális költség mellett elérni, ha naponta 133 grammotadunk nekik az elso takarmányból és 16.7 grammot a másodikból.

191

192 9. MEGOLDÁSOK, ÚTMUTATÁSOK

4. A primál és duál matematikai modellek:

z = 2x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 → max,x1 + 2x2 + x4 ≤ 90,x2 + x3 + x4 ≤ 80,x1 + x2 + x3 ≤ 50,x1, x2, x3, x4 ∈ N.

,

w = 90y1 + 80y2 + 50y3 → min,y1 + y3 ≥ 2,

2y1 + y2 + y3 ≥ 3,y2 + y3 ≥ 2,y1 + y2 ≥ 2,y1, y2, y3 ∈ N.

A primál feladat optimális megoldása: (30, 0, 20, 60). A duál feladat optimális megoldása:(1, 1, 1) .


z = x1 + 5x2 + 6x3 → max,10x1 + 12x2 + 15x3 ≤ 480,2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 200,

x1, x2, x3 ≥ 10,x1, x2, x3 ∈ N.

A maximális nettó jövedelem a robotjátékok eladása után 165 lej. Az árnyékárak (2, 83).

6. Matematikai modellek, maláta-likor gyártásával illetve nélküle.

Maláta-likor gyártása nélkül Maláta-likor gyártásával

z = 45x1 + 50x2 → max,x1 + 2x2 ≤ 4000,x1 + x2 ≤ 2000,2x1 + x2 ≤ 5000,x1, x2 ∈ N.

,

z = 45x1 + 50x2 + 60x3 → max,x1 + 2x2 + 0.5x3 ≤ 4000,x1 + x2 + 3x3 ≤ 2000,2x1 + x2 + 3x3 ≤ 5000,

x1, x2, x3 ∈ N.

.

A maximális bevételek mind a két esetben 100000, amelyet akkor kapunk, ha csak barnasört gyártunk, tehát nincs értelme bevezetni a maláta likor gyártását.

7. Csak a második terv valósítható meg az elso terv esetében a második feltétel nem teljesül.Az egyes termékek eloállítási költségei rendre: 76, 104, 67, 55. Matematikai modell:

z = 24x1 + 46x2 + 13x3 + 15x4 → max,2x1 + 3x2 + 2x4 ≤ 2000,

x1 + 2x2 + 4x3 + x4 ≤ 1900,3x1 + 2x2 + x3 ≤ 1250,x1, x2, x3, x4 ∈ N.

A maximális nyereséget biztosító termelési program: t = (0, 3, 1, 5).


z = 260x1 + 350x2 → max,0.8x1 + x2 ≤ 98,0.6x1 + 0.7x2 ≤ 73,2x1 + 3x2 ≤ 260,

x1 ≥ 88,x2 ≤ 26,x1, x2 ∈ N.

9. MEGOLDÁSOK, ÚTMUTATÁSOK 193

A cég 90 személygépkocsi és 26 teherautó gyártása mellett éri el a maximális profitot.Ha a személygépkocsi gyártásából származó nyereség 310 euró, akkor a profit 900 euróvalnövekedne. Egy újabb 1. típusú gép bérléséért legfeljebb egy személygépkocsi árábólszármazó nyereséget érdemes fizetni, mivel ezáltal eggyel több személygépkocsit tudnánkgyártani.


z = 12x1 + 8x2 + 10x3 → max,15x1 + 10x2 + 8x3 ≤ 18000,15x1 + 15x2 + 4x3 ≤ 18000,3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 9000,

x2 ≥ 1000,x1, x2, x3 ∈ N.

A maximális haszon 15500 euró, amelyet a (0, 1000, 750).termelési terv mellett lehet elérni.+10 perc mintázási kapacitás mellett még két spirál mintás abroszt lehet elkészíteni. Haa rombusz mintás abroszokra vonatkozó korlátot 100-zal növeljük, a cég bevétele csökken.


z = 0.4x1 + 0.6x2 → max,x2 − 2x1 ≥ 0,x2 ≤ 6400000,x1 ≥ 3000000,x1, x2 ≥ 0.

A bevétel akkor lesz maximális, ha gázolajból 3200000 litert míg benzinbol 6400000 litertállítanak elo.


z = 30x1 + 10x2 → max,6x1 + 3x2 ≤ 40,x1 ≥ 3x2,

4x1 + x2 ≤ 18,x1, x2 ∈ N.

Az ács 2 asztalt és 9 széket kell elkészítenie, hogy a hasznát maximalizálja.


z = 20x1 + 23x2 + 14x3 − 1400→ max,x1 + x2 + x3 ≤ 600,

x1 ≤ 250,x2 ≤ 200,x3 ≤ 250,

x1, x2, x3 ∈ N.

A kiadó maximális profit melletti termelési terve: (250, 200, 150).


z = 22x1 + 12x2 → max,0.52 · 3x1 + 0.38 · 2x2 ≤ 480,0.48 · 3x1 + 0.62 · 2x2 ≤ 720,

x1, x2 ∈ N.


Maximális profitot 57 Kasszandra és 514 Kleopátra baba gyártása mellett lehet elérni.


z = 0.2x1 + 0.3x2 + 0.5x3 + 0.1x4 → max,0.5x1 + x2 + 1.5x3 + 0.1x4 ≤ 3.1,0.3x1 + 0.8x2 + 1.5x3 + 0.4x4 ≤ 2.5,0.2x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.1x4 ≤ 0.4,

x1, x2, x3, x4 ∈ {0, 1} .

A 3. és 4. projekteket kell választani.


z = 0.75x1 + 1.33x2 → max,x1 + x2 ≤ 5000,

90x1 + 200x2 ≤ 720000,x1, x2 ≥ 0.

A maximális várható profit 5174 euró. Mind a két feltétel éles.


z = 2775x1 + 780x2 + 457.5x3 → max,13000x1 ≥ 500000,14000x2 ≥ 500000,2500x3 ≥ 500000,

13000x1 + 14000x2 + 2500x3 ≤ 5000000,x2 ≤ 100,

x1, x2, x3 ≥ 0.

A maximális elvárt hozam 973203.8 euró.Az árnyékárak (0, 0.1577, 0.0305, 0.2135, 0).


z = 0.14x1 + 0.09x2 + 0.11x3 + 0.14x4 → max,x1 + x2 + x3 + x4 = 1000000,

0.05x1 + 0.06x2 + 0.08x3 + 0.09x4 ≥ 60000,2x1 + 5x2 + 6x3 + 8x4 ≤ 6000000,

x1, x2, x3, x4 ≤ 300000,x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

A befektetés maximális várható nyeresége 126000. Az éles feltételek a harmadik köve-telménynél jönnek be, amely kimondja, hogy egyféle kötvénybe, legfeljebb a teljes összeg30%-a fektetheto be. Egyedül a második kötvénybe fektethetünk volna több pénzt.


z = 1000x1 + 1230x2 → max,x1 + x2 ≤ 50,2300x1 ≤ 30000,1800x2 ≤ 25000,

2.5x1 + 3.5x2 ≤ 400,x1, x2 ≥ 0.


A gazda maximális nyeresége 30126.81 euró. Nem érdemes fizetni sem +1 munkaóráértsem +1 hold bérléséért, mivel ezen feltételek nem élesek, a búza illetve zab utáni keresettaz ami a gazda hasznát meghatározza. Ha a búza ára visszaesik 0.3-ra, akkor a maximálishaszon 24126.81 euróra esik vissza.


z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 → min,x1 + x6 ≥ 14,x1 + x2 ≥ 13,x2 + x3 ≥ 18,x3 + x4 ≥ 15,x4 + x5 ≥ 17,x5 + x6 ≥ 10,

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ∈ N.

Legkevesebb 19 rendor alkalmazására lesz szükség.


z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 → min,x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 14,x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13,x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 18,x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 15,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 17,x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 10,x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 12,x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 ∈ N.

A legkevesebb teljes munkaidos alkalmazottak száma 21, ezt a következo munkálatba ál-lítási tervvel érhetjük el: (9, 0, 5, 0, 3, 2, 2). A szerdai, pénteki, szombati és vasárnapi szük-ségletek befolyásolják legjobban az összmunkaero szükségletet.


z = 300x1 + 325x2 + 360x3 + 360x4 + 360x5 + 360x6 + 335x7 → min,x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 20,x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 18,x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 16,x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 12,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 10,x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 13,x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 20,x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 ∈ N.

A minimális bérköltség 7625 lej, ezt a következo munkába állítási tervvel valósítható meg:(2, 0, 2, 1, 5, 5, 7).



z = 0.3x11 + 0.3x12 + 0.3x13 + 0.5x21 + 0.5x22 + 0.5x32 + 0.2x44 → max,x11 + x21 ≤ 10000,

x12 + x22 + x32 + x11 + x21 ≤ 10000,x13 + x12 + x22 + x32 − 0.3x11 + x21 ≤ 10000,

x44 + x13 − 0.3x12 + x22 + x32 − 0.3x11 − 0.5x21 ≤ 10000,x11, x12, x13, x21, x22, x32, x44 ≥ 0.

ahol x11, x12, x13 az A lehetoségbe befektetett összegek az elso, második illetve harmadik évelején, x21, x22 a B lehetoségbe befektetett pénzösszeg az elso és második év elején, x32, x44a C illetve D lehetoségekbe lekötött pénzek a második illetve a negyedik év elején. Azajánlott befektetési terv: (0, 0, 0, 10000, 0, 0, 15000) azaz az elso év elején a B lehetoségbekell befektesse az összes pénzét a befekteto, majd a negyedik év elején a jövedelemmelegyütt a D lehetoségbe.


z = 187.5x1 + 180x2 + 172.5x3 + 165x4 + 157.5x5 + 150x6 − 77500→ min,x1 ≥ 3000,

x2 + x1 ≥ 9000,x3 + x2 + x1 ≥ 15500,

x4 + x3 + x2 + x1 ≥ 22500,x5 + x4 + x3 + x2 + x1 ≥ 27500,

x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x1 ≥ 35000,x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≤ 6000,x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0.

Minimális költség eléréséhez a cég az elso hónapban 5000, a többi hónapokban meg 6000hl vizet kell palackozzon.


z = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + x7 → max,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 5,

x1 + x3 + x5 + x7 ≥ 3,x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 2,

x2 + x4 + x6 ≥ 1,3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + x5 + 3x6 + 3x7 ≥ 10,3x1 + x2 + 3x3 + 3x4 + 3x5 + x6 + 2x7 ≥ 10,x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + x5 + 2x6 + 2x7 ≥ 10,

x3 + x6 ≤ 1,x1 − x4 ≤ 0,x1 − x5 ≤ 0,x2 + x3 ≥ 1,

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 ∈ {0, 1} .

A kezdo csapatban az elso, második, negyedik, ötödik és hetedik játékosok kell kezdjenek,ekkor a csapat védekezési képességének átlaga 1,8.



z = 10x1 + 15x2 + 22x3 + 17x4 → max,x1 − 0.9x4 ≥ 0,x1 − 1.15x4 ≤ 0,

2x1 + 2x2 + x3 + x4 + u1 − u2 ≤ 160,2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + u2 − u3 ≤ 200,3x1 + 6x2 + x3 + 5x4 + u3 − u1 ≤ 80,x1 ≤ 50, x2 ≤ 60, x3 ≤ 85, x4 ≤ 70,

u1 ≤ 48, u2 ≤ 40, u3 ≤ 8,x1, x2, x3, x4, u1, u2, u3 ∈ N.

ahol az u1, u2, u3 változók adják meg, hogy az egyes részlegek hány munkaórát adnak átegy másik részlegnek. Maximális profitot akkor szerezhet a cég, ha 5, 5 pár cipot készít azelso és a negyedik fajta cipobol, 85 párat a másodikból, és a harmadik fajta lábbelit nemgyártja. Ebben az esetben az elso részleg 45 munkaórát át kell adjon a hármas részlegnek.


z = 40x11 + 40x12 + 40x13 + 20x21 + 20x22 + 20x23 → max,x11 + x21 ≤ 90,x12 + x22 ≤ 30,x13 + x23 ≤ 45,

0.85x12 − 0.15x11 − 0.15x13 ≥ 0,0.75x22 − 0.25x21 − 0.25x23 ≥ 0,0.7x23 − 0.3x21 − 0.3x22 ≥ 0,x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥ 0.

A maximális bevétel: 6600 cent. Csak csokoládé gyártásával kapjuk meg a maximumot.


z = 3x1 + 5x2 → min,0.3x1 + 0.35x2 ≤ 5,2x1 + 5x2 ≥ 25,x1 + x2 = 10,x1, x2 ≥ 0.

Aminimális költséget biztosító termelési programot akkor érhetnek el, ha minden 10 üdítoi-tal 8.33 deka ízesítettet-szódából és 1.66 deka almalébol állítják elo.


z = 60x11 + 58x12 + 20x21 + 18x22 → max,x11 + x21 ≤ 800000,x12 + x22 ≤ 600000,0.52x12 − 0.48x11 ≥ 0,0.6x21 − 0.4x22 ≥ 0,x11, x12, x21, x22 ≥ 0.

A maximális bevétel 82.8 millió. Az árnyékárak: (60, 58, 0, 0) azt mutatják meg, hogy ha aszilíciumot el akarná adni, akkor legalább 60 euró/kg árat, a nitrogénért pedig legalább 58euró/kg árat kell kérjen, hogy a bevétele legalább a jelenlegi 82.8 milliós szinten maradjon.



z = 610x11 + 655x12 + 720x21 + 765x22 + 780x31 + 850x32 → max,x11 + x12 ≤ 20,x21 + x22 ≤ 31,x31 + x32 ≤ 42,

x11 + x21 + x31 ≤ 46,x12 + x22 + x32 ≤ 56,

x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥ 0.

A maximális profit felvásárlási és szállítási terve: az összes almát fel kell vásárolni, az elsofajtát mind az elso raktárhoz kell szállítani, a második fajtából 17 tonnát az elso, 14 tonnáta második raktárba kell vitetni, a harmadik fajta almát mind a második feldolgozási helyrekell szállítani. Az árnyékárak (610, 720, 805, 0, 45). Az elso három érték azt mutatja meg,ha az egyes almafajtákat eladná, akkor annak ára legalább (610, 720, 805) euró/tonna, azutolsó érték pedig, hogy ha a raktárát kiadná, akkor annak ára legalább 45 euró/tonnakell legyen ahhoz, hogy a nyeresége a jelenlegi szinten maradjon.


z = 10x11 + 8x12 + 6x13 + 1821 + 20x22 + 15x23+15x31 + 16x32 + 13x33 → max,5x11 + 6x21 + 13x31 ≤ 2100,7x12 + 12x22 + 14x32 ≤ 2100,4x13 + 8x23 + 9x33 ≤ 2100,x11 + x12 + x13 ≥ 100,x21 + x22 + x23 ≥ 150,x31 + x32 + x33 ≥ 100,

x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33 ∈ N.

A legnagyobb profitot akkor kapjuk, ha az elso vezérlobol csak a harmadik részlegben gyár-tanak 100 darabot, a második vezérlobol mindegyik részlegen gyártanak rendre 350, 175,illetve 100 darabot, míg a harmadik vezérlobol ugyancsak a harmadik részlegen gyártanak100 darabot.


z = 6x11 + 5x12 + 8x13 + 7x21 + 6x22 + 7x23++2x31 + 5x32 + 3x33 + 8x41 + 4x42 + 7x43 → min,

x11 + x12 + x13 ≤ 70,x21 + x22 + x23 = 60,x31 + x32 + x33 ≤ 70,x41 + x42 + x43 ≤ 20,

x11 + x21 + x31 + x41 ≥ 80,x12 + x22 + x32 + x42 ≥ 70,x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 40,

x13 = 0,x32 = 0,x11 = 40,

x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33, x41, x42, x43 ∈ N.


Az optimális megoldás:

40 20 00 50 1040 0 300 0 0

.


z = 10.5x11 + 7x21 + 9.5x31 + 9x41+12.5x12 + 9x22 + 11.5x32 + 11x42 − 945→ min,

x11 + x12 ≥ 115,x21 + x22 + x11 + x12 ≥ 195,

x31 + x32 + x21 + x22 + x11 + x12 ≥ 320,x41 + x42 + x31 + x32 + x21 + x22 + x11 + x12 ≥ 515,

x11 + x12 ≤ 185,x21 + x22 + x11 + x12 ≤ 265,

x31 + x32 + x21 + x22 + x11 + x12 ≤ 390,x11, x21, x31, x41 ≤ 100,

x11, x21, x31, x41, x12, x22, x32, x42 ∈ N.

ahol x11, x21, x31, x41 normál muködés mellett eloállított egységek az egyes hónapokban, azx12, x22, x32, x42 túlórával eloállított egységek.Minimális költség eléréséhez a cég a következo termelési tervet kell kövesse:

(100, 100, 100, 100, 15, 50, 0, 50) .


z = 450x11 + 150x12 + 350x13 + 250x14 + 300x21 + 200x23+100x24 + 200x31 − 100x32 + 100x33 → max,

x11 + x21 + x31 ≤ 3000,x12 + x22 + x32 ≤ 2000,x13 + x23 + x33 ≤ 4000,x14 + x24 + x34 ≤ 1000,

0.7x11 − 0.3x12 − 0.3x13 − 0.3x14 ≤ 00.6x12 − 0.4x11 − 0.4x13 − 0.4x14 ≥ 00.5x13 − 0.5x12 − 0.5x11 − 0.5x14 ≤ 00.5x21 − 0.5x22 − 0.5x23 − 0.5x24 ≤ 00.9x22 − 0.1x21 − 0.1x23 − 0.1x24 ≥ 00.3x31 − 0.7x32 − 0.7x33 − 0.7x34 ≤ 0

x31 + x32 + x33 + x34 ≥ 3000x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34 ≥ 0.

A maximális jövedelmet biztosító termelési program:

0 1733 1600 1000900 267 1500 02100 0 900 0

.



z = 2.5x11 − 0.5x12 + 1.5x13 + 0.5x14 + 1.5x21 − 1.5x22+0.5x23 − 0.5x24 + 0.5x31 − 2.5x32 − 0.5x33 − 1.5x34 → max,

x11 + x21 + x31 ≤ 3000,x12 + x22 + x32 ≤ 2000,x13 + x23 + x33 ≤ 4000,x14 + x24 + x34 ≤ 1000,

0.7x11 − 0.3x12 − 0.3x13 − 0.3x14 ≤ 00.6x12 − 0.4x11 − 0.4x13 − 0.4x14 ≥ 00.5x13 − 0.5x12 − 0.5x11 − 0.5x14 ≤ 00.5x21 − 0.5x22 − 0.5x23 − 0.5x24 ≤ 00.9x22 − 0.1x21 − 0.1x23 − 0.1x24 ≥ 00.3x31 − 0.7x32 − 0.7x33 − 0.7x34 ≤ 0

x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34 ≥ 0.

Maximális heti hasznot akkor érnek el ha az elso termékbol 3667kg-ot állítanak elo

(367, 1467, 1833, 0)

összetétel mellett, a második termékbol 5333kg-ot (2633, 533, 2167, 0) összetétel mellett,míg a harmadik termék gyártásáról lemondanak.


z = 350x11 + 350x12 + 350x13 + 300x21 + 300x22 + 300x23+400x31 + 400x32 + 400x33 + 300x41 + 300x42 + 300x43

+250x51 + 250x52 + 250x53 → max,x11 + x12 + x13 ≤ 12,x21 + x22 + x23 ≤ 16,x31 + x32 + x33 ≤ 20,x41 + x42 + x43 ≤ 13,x51 + x52 + x53 ≤ 8,

x11 + x21 + x31 + x41 + x51 ≤ 10,x12 + x22 + x32 + x42 + x52 ≤ 13,x13 + x23 + x33 + x43 + x53 ≤ 8,

37.5x11 + 31.25x21 + 32.5x31 + 23.08x41 + 50x51 ≤ 5000,37.5x12 + 31.25x22 + 32.5x32 + 23.08x42 + 50x52 ≤ 8000,37.5x13 + 31.25x23 + 32.5x33 + 23.08x43 + 50x53 ≤ 4000,

x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33, x41, x42, x43, x51, x52, x53 ≥ 0.

A legnagyobb profitot akkor kapjuk, ha az elso rakodótérbe az elso rakományból 3 tonnát aharmadik rakományból 7 tonnát teszünk, a középso rakodótérbe a harmadik rakománybólrakunk 13 tonnát, a hátsó rakodótérbe pedig az elso rakományból teszünk 8 tonnát. Alegnagyobb profitot jelento rakományt a középso rakodótérben szállítja a repülogép.


9.2. Szállítási és hozzárendelési feladatok

1. feladat R1 R2 R3 R4F1 0 0 0 3F2 6 8 0 4F3 0 0 5 4

2. feladat A B C DI 3 0 2 0II 0 2 0 1III 1 1 0 0

3. feladat R1 R2 R3F1 0 3 2F2 3 1 0

4. feladat Ervin Barna Péter1. földterület 20000 0 800002. földterület 20000 80000 0

5. feladat 1. helyszín 2. helyszínEladói csekk 0 5000Fizetési csekk 5000 0Személyi csekk 5000 0

6. feladatSzállítási költségek1. 2. 3. 4. 5.125 190 89 175 131

7. feladat

A körzet B körzetC1 C2 C3 C4 C5

A körzet F1 200 0 100 0 0F2 0 0 0 300 0

B körzet F3 0 200 0 0 0F4 0 200 0 0 200

A körzet B körzetC1 C2 C3 C4 C5

A körzet F1 200 100 0 0 0F2 0 300 0 0 0

B körzet F3 0 0 0 200 0F4 0 0 100 100 200

A minimális szállítási költség 11700-ról 12000-ra növekedik.

8. feladat ElárusítóhelyekElosztók A1 A2 A3 A4

E1 0 0 400 0E2 300 0 0 0E3 0 200 0 250

9. feladat Építési munkálatokBázisok E1 E2 E3 E4 E5

B1 25 30 45 0 0B2 0 0 0 70 0B3 15 0 0 30 0B4 0 0 0 0 60

10. feladat

R1 R2 R3 R4F1 20 0 0 20F2 0 0 5 25F3 0 20 30 0

Igen.

R1 R2 R3 R4

F1 16 0 0 24F2 0 0 9 21F3 4 20 26 0

11. feladat 1. vevo 2. vevo 3. vevo1. raktár 0 30 102. raktár 30 0 0fiktív raktár 0 0 20

12. feladat T1 T2 T3G1 0 0 20G2 0 30 0G3 35 0 0fiktív raktár 10 0 5

13. feladat porszivózás feltörlés fürdoszoba rendrakás1. takarítóno - - - X2. takarítóno - X - -3. takarítóno - - X -4. takarítóno X - - -


14. feladat 1 hely 2 hely 3 hely 4 hely1. autó - - - -2. autó X - - -3. autó - - X -4. autó - - - X5. autó - X - -

15. feladat A gép B gép C gép D gép E gép1. munka X - - - -2. munka - - - X -3. munka - - X - -4. munka - X - - -5. munka - - - - X

16. feladat

Legjobb Tételhúzás I. II. III. IV. V. VI.A - - - - X -B - - X - - -C - X - - - -D X - - - - -

Rossz Tételhúzás I. II. III. IV. V. VI.A - - - X - -B - - - - - XC - - X - - -D - X - - - -

A legszerencsésebb húzás esetén a hallgatók osztályzatának átlaga 8.75.Lehetséges, hogy minden hallgató azt a tételt húzza, amelybol a legjobban felkészültA legszerencsétlenebb húzás esetén az egyik hallgató 4-est kap.

17. feladat 1. munka 2. munka 3. munka 4. munka1. személy - X - -2. személy X - - -3. személy - - - -4. személy - - - X5. személy - - X -

18. feladat C1 C2 C3 C4T1 - X - -T2 - - X -T3 X - - -T4 - - - X

Matematikai modell:

z = 3x11 + 6x12 + 7x13 + 10x14 + 5x21 + 6x22 + 3x23 + 8x24+2x31 + 8x32 + 4x33 + 16x34 + 4x41 + 7x42 + 5x43 + 9x44 → min,

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 1,x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 1,x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 1,x41 + x42 + x43 + x44 ≤ 1,x11 + x21 + x31 + x41 ≥ 1,x12 + x22 + x32 + x42 ≥ 1,x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 1,x14 + x24 + x34 + x44 ≥ 1,

x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34, x41, x42, x43, x44 ∈ {0, 1} .


19. feladat T O Sz Gy KCs 800 0 - - -S 200 1000 - - -T - - 800 200 0O - - 0 400 600

20. feladat Kézdivásárhely Csíkszereda Brassó MarosvásárhelyKászon 120 200 - -Csernáton 10 - 270 -Kézdivásárhely - - 20 110Csíkszereda - - - 200

21. feladatTelephelyek, Raktárok, megrendelokraktárok R1 R2 R3 M1 M2 M3 M4 M5

T1 5 0 3 - - - - -T2 0 5 0 - - - - -T3 0 0 3 - - - - -R1 - - - 0 0 0 5 0R2 - - - 0 2 3 0 0R3 - - - 4 0 0 0 2

9.3. Játékelméleti feladatok1. Mindkét kereskedelmi láncnak a B faluban kell üzletet nyitnia

2. A játék mátrixaLaci

János bal jobbbal -2 3jobb 3 -4

Mindkét játékos optimális kevert stratégiái (0.58, 0.42) . A játék értéke 0.08. A játékLacinak kedvez.

3. Mindketto kevert optimális stratégiája (12, 12). A játék értéke nulla. A játék igazságos.

4. Jelöljük x és y-al azon pontok koordinátáit, ahová a két fagylaltos el akarja helyeznibódéját. Az egyszeruség kedvéért feltételezzük, hogy x ≤ y. Ekkor az a partszakasz, amelyaz x-ben levo bódéhoz megy

[0, x+y

2

], és akik az y-ba levo bódéhoz mennek

[x+y2, 1]. Tehát

az elso bódé tulajdonosa meg kell oldja a

z1 =x+y2→ max,

x− y ≤ 0,0 ≤ x, y ≤ 1,

LP feladatot, a második bódé tulajdonosa pedig a

z2 = 1−x+y2→ max,

x− y ≤ 0,0 ≤ x, y ≤ 1,


A partszakasz hossza 1 és a játék szimmetrikussága miatt z1max = z2max, azaz xmax =1− ymax. Ez azt jelenti, hogy úgy kell elhelyezniük bódéjukat, hagy az egyiknek a nullátólmért távolsága egyenlo legyen a másiknak az egytol mért távolságával.

5. A Ruby áruház optimális stratégiája (0.75; 0.25), a Swamp áruház optimális stratégiája(0.5; 0.5) és a játék értéke 5000.

6. A négy ezredbol álló hadsereg stratégiái: (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0), ahol a számokazt jelöli, hogy a hadsereg hány ezredet küldött az elso illetve a második városban. Ahárom ezredbol álló hadsereg stratégiái: (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0). A játék értéke 1.56, anégy ezredbol álló hadsereg javára. A seregek optimális stratégiái: (0.44; 0; 0.11; 0; 0.44)illetve (0.08; 0.36; 0.53; 0.03).

7. A játék mátrixa:II

I 0 1 2 3 4 50 0 -1 -2 -3 -4 -51 1 0 -1 -2 -3 -52 2 1 0 -1 -5 53 3 2 1 -5 5 -54 4 3 -5 5 -5 55 5 -5 5 -5 5 -5

Az elso játékos kevert stratégiája:

(0, 0, 0.09, 0.1, 0.44, 0.37)

A második játékos kevert stratégiája:

(0, 0.25, 0.43, 0.28, 0.04, 0)

Mindkét játékos 0-választási stratégiáját dominálja az 1-et választó stratégia.

8. A parancsnok 10-10 katonát a négyzet alaprajzú vár négy sarkába kell állítson. Ha 10embert elvesztett a parancsnok, akkor a vár ellentétes sarkaiba 7-7 illetve 8-8 katonát kellállítson, ahhoz, hogy az ellenség, még mindig ne támadja meg.

9. Mindkét játékos kevert stratégiája: (0.47; 0.22; 0.31).

10. A játék értéke 500 és az elso vállalat optimális stratégiája (0.67; 0.33), míg a másodikvállalaté (0.5; 0.5).

11. A játék egyensúlypontban, akkor van amikor mindketten azt a szabadidos programotválasztják, amit kedvelnek.

12. A játék egyensúlypontja: egyik vezeto sem tér ki a másik útjából.

13. A játékosok halmaza N = {1, 2, 3}, a karakterisztikus függvény:

v (∅) = v ({1}) = v ({2}) = v ({3}) = 0,

v ({1, 2}) = v ({2, 3}) = v ({1, 3}) = 1,

v ({1, 2, 3}) = 1.


Jelöljük a szétosztást (x1, x2, x3) vektorral. Ekkor a feltételek

xi ≥ 0,x1 + x2 ≥ 1,x2 + x3 ≥ 1,x1 + x3 ≥ 1,

x1 + x2 + x3 = 1.

Az egyenlotlenség-rendszernek nincs megoldása. Tehát a játék magja az üres halmaz. AShapley-érték: S =

(13, 13, 13

).

14. Shapley-érték: S =(396, 386, 376

).

15. Jelöljük a szétosztást (x1, x2, x3) vektorral. Ekkor a feltételek

x1 ≥ 1,x1 + x2 ≥ 6,x2 + x3 ≥ 10,x1 + x3 ≥ 8,

x1 + x2 + x3 = 11.

Az x3 = 11 − x1 − x2 ismeretlent a harmadik és negyedik egyenlotlenségbe helyettesítvekapjuk

x1 ≥ 1,x1 + x2 ≥ 6,−x1 ≥ −1,x2 ≤ 3.

Innen következik, hogy x1 = 1 és x2 ≤ 3, ami nem teljesíti a második egyenlotlenséget.Legyen y az a legkisebb mennyiség, ami már szétosztható. Ekkor

x1 ≥ 1,x1 + x2 ≥ 6,x2 + x3 ≥ 10,x1 + x3 ≥ 8,

x1 + x2 + x3 = y.

Az x3 = y − x1 − x2 ismeretlent a harmadik és negyedik egyenlotlenségbe helyettesítvekapjuk

x1 ≥ 1,x1 + x2 ≥ 6,x1 ≤ y − 10,x2 ≤ y − 8.

A két utolsó egyenlotlenség alapján 2y − 18 ≥ x1 + x2 ≥ 6. Ahonnan kapjuk, hogy y ≥242= 12. Tehát a legkisebb csoki mennyiség amit a mikulás a feltételek alapján szét tud

osztani 12. Ekkor a helyes szétosztás (2, 4, 6) .

16. A játékosok halmaza N = {1, 2, 3} . Egy olyan koalíciónak az értéke, amely lehetové teszia vállalkozás elindítását 1. A játék karakterisztikus függvénye:

v (A) =

{1, ha A = {1, 2} , vagy A = {1, 3} , vagy A = {1, 2, 3} ,0, ellenkezoleg.


A Shapley-értéket az alábbi táblázatban számítsuk ki

Érkezési A sorrend A szereplok határhozzájárulásasorrend valószínusége 1 2 3(1, 2, 3) 1/6 0 1 0

(1, 3, 2) 1/6 0 0 1

(2, 1, 3) 1/6 1 0 0

(2, 3, 1) 1/6 1 0 0

(3, 1, 2) 1/6 1 0 0

(3, 2, 1) 1/6 1 0 0

Összesen: 4 1 1

Tehát a nyereség igazságos szétosztási arányai (Shapley-értéke):(46, 16, 16

).

17. Öt játékos által meghatározott halmaznak összesen 25 részhalmaza van. Az üreshalmaztóleltekintve így összesen 25 − 1 kolalíciót képezhetnek. Ebbol 16 többségi koalíció. Egykoalíciónak az értéke 1, ha többségi és nulla ha nem. Minden egyes többségi koalícióbanmegnézzük, hogy az egyes pártok hozzájárulása lényeges (azaz ha kilépnek akkor a koalíciómár nem lesz többségi), vagy nem és azt találjuk, hogy

AP -lényeges 10 többségi koalícióbanBP -lényeges 6 többségi koalícióbanCP -lényeges 6 többségi koalícióbanDP -lényeges 2 többségi koalícióbanEP -lényeges 2 többségi koalícióban

Mivel 31 koalíciós lehetoség van, ezért a Shapley-érték:

S =

(10

31,6

31,6

31,2

31,2

31

).

Tehát a pártok az alábbi költségvetési összegeket felügyelhetik:

Pártok AP BP CP DP EPÖsszeg (millió euró) 200 120 120 40 40

18. Jelölések 1-természettudományi Kar, 2-Gazadaságtudományi Kar, 3-Adminisztráció. Azigazságos szétosztás a Shapley érték alapján történik. A számítást az alábbi táblázatbafoglaltuk össze:


(1, 3, 2) 1/6 400 100 200

(2, 1, 3) 1/6 0 600 100

(2, 3, 1) 1/6 100 600 0

(3, 1, 2) 1/6 200 100 400

(3, 2, 1) 1/6 100 200 400

Összesen: 1200 1800 1200


Tehát a Shapley-érték szerinti szétosztás:(1200

6,1800

6,1200

6

)= (200, 300, 200) .

19. A játékosok halmaza N = {A,B,C}, a karakterisztikus függvény (1000 lejes egységekbenfelírva):

v (∅) = 0, v ({A}) = 75, v ({B}) = 85, v ({C}) = 62,

v ({A,B}) = 200, v ({A,C}) = 177, v ({B,C}) = 187,

v ({A,B,C}) = 302.

Jelöljük a szétosztást (x1, x2, x3) vektorral. Ekkor a feltételek

x1 ≥ 75,x2 ≥ 85,x3 ≥ 62,

x1 + x2 ≥ 200,x2 + x3 ≥ 177,x1 + x3 ≥ 187,

x1 + x2 + x3 = 302.

Kifejezve az x3-at az utolsó egyenloségbol és a 3. egyenlotlenségbe helyettesítve kapjuk:

x1 ≥ 75,x2 ≥ 85,

x1 + x2 ≤ 102,x1 + x2 ≥ 200.

A 3. és 4. feltételek ellentmondásosak. Tehát a játék magja üres. A játék Shapley-értéke: S =

(6106, 6706, 5326

). A költségek igazságos szétosztása arányos kell legyen a Shapley-

értékkel. A javasolt szétosztás:(610

6,670

6,532

6

)∗40000

302= (13466, 14790, 11744) .

20. Egy 800 eurós összegre hárman jogosultak: az elso 150, a második 400, a harmadik 500 eu-róra. Mivel a teljes összeg nem elég a követelések teljesítésére a Shapley-érték segítségévelosszuk szét igazságosan a 800 eurós összeget a jogosultak között.


(1, 3, 2) 1/6 150 150 500

(2, 1, 3) 1/6 150 400 250

(2, 3, 1) 1/6 0 400 400

(3, 1, 2) 1/6 150 150 500

(3, 2, 1) 1/6 0 300 500

Összesen: 600 1800 2400

Tehát a jogosultak közötti szétosztás: (100, 300, 400) .


9.1. ábra. 3. feladathoz.

9.4. Hálózatok elemzése1. Minimálisan 454 hosszúságú telefonhálózatra lesz szükség.2. A minimális kifeszítofa a település utacahálózatára:

a→b→f→i→g→c→j→d→h→k→e→s→u→v→w→m→o→p→q→l→n→r→t.3. A legrövidebb huzalozási hossza 7 mm (lásd a 9.1. ábrát).4. Legrövidebb útvonal a köolaj lelo helyekk között: B→2→4→3→5→1→B.5. A legrövidebb út az A és B pontok között: A→D→E→G→B. A legrövidebb út hossza

megváltozik, ha az AC él hossza 68-nál kisebb lesz.6. Minimálisan 25 hosszúságú kábelre van szükség. Az 1-es pontból a 7-es pontba vezeto

legrövidebb út: 1→3→4→5→7.7. Az A és F csomópontok között a legrövidebb út: A→B→D→F. A hálózat minimális

feszítofájának hossza 18.8. A telefont három évenként kell lecserélni.9.

0 1 2 3 4 50 - 4000 11000 19000 29000 420001 - - 4000 11000 19000 290002 - - - 4000 11000 190003 - - - - 4000 110004 - - - - - 40005 - - - - - -

Az autót évente kellene lecserélni.10. Igen.

1 2 3 4 5 6 71 - 1 - 1 - 1 -2 1 - 1 - 1 - -3 - 1 - 1 - 1 14 1 - 1 - 1 - -5 - 1 - 1 - 1 16 1 - 1 - 1 - 17 - - 1 - 1 1 -


9.2. ábra. A 11. feladathoz.

11. Maximálisan 28 hajó tud elérni a B kikötobe (lásd a 9.2. ábrát).

12. Maximálisan 900 telefonhívás kezdeményezheto Csíkszeredából Bukarestbe.

13. Percenként 31 m3 olajat kell pompálni a vezetékekbe ahhoz, hogy a leheto legnagyobbmennyiségu olaj érkezzék a T-be. A feladat megoldásakor egy segéd csomópontot kellbeiktatni a gráf elejére.

14. A következo két órában maximálisan 800 gépkocsi küldheto az 1-városból a 3-as városba.

15. Maximálisan 17-en mehetnek piknikre.

16. Idoben befejezheto mind a két projekt. Maximális folyam feladat mátrixa:

K 1ho 2ho 3ho 1pr 2pr VK - 5 5 5 - - -1ho - - - - 3 3 -2ho - - - - 3 3 -3ho - - - - 3 3 -1pr - - - - - - 62pr - - - - - - 9V - - - - - - -

17. Az optimális útvonal: 1→6→5→3→2→7→4→8→1.

18. A fagylaltos kocsi útvonala: A→C→E→D→B→A.

19. A reklámautó útvonala: A→D→E→C→B→A.

20. Minden hídra 3 csomópontot tekintünk. Ketto a két végén és egy középen. Így összesen21 csomópontunk lesz. A gráf minden élének a hossza 1. A WinQSB utazó ügynök feladateszköztárának korlátozás és szétválasztás módszerét használva a számítógép ellenorzi azösszes lehetsége utvonalat. Eredmény, hogy nem lehet olyan sétát tenni, amilyent a feladatmegkövetel.


9.5. Projektek ütemezése1. A kritikus út: A→B→C→E. A D és F tevékenységek turéshatára 1 illetve 9 hét. A

tervezet elkészítéséhez 19 hét szükséges. A hálódiagramot az 9.1 táblázat tartalmazza.

TevékenységA 1→2B 2→3C 3→4D 3→5Vak él 4→5E 5→6F 3→6

Tevékenység TuréshatárA. 1→2 0B. 2→3 0C. 3→5 3D. 3→6 8E. 3→4 0F. 4→5 0G. 5→6 0

Tevékenység TuréshatárA. 1→2 0B. 2→5 20C. 2→3 0D. 3→4 0E. 4→5 0F. 5→6 0G. 6→7 0

9.1 Táblázat 9.2 Táblázat 9.3 Táblázat

2. A projekt elkészülésének legrövidebb idotartama 16 hét, és a kritikus útvonalat: D→E→G.A hálódiagramot és a tevékenységek turéshatárát az 9.4 táblázat tartalmazza.

Tevékenység TuréshatárA. 1→2 4B. 2→3 8C. 3→6 10D. 1→4 0E. 4→5 0F. 3→5 8G. 5→6 0H. 4→6 7Vak él 2→4 -

TevékenységA. 1→2B. 1→3C. 1→4D. 2→5E. 3→6F. 4→6G. 5→7H. 6→7

Vak él 4→3

TevékenységA. 1→2B. 1→3C. 2→4D. 3→5E. 5→6F. 4→7G. 6→7H. 7→8

Vak élek 2→34→5

TevékenységA. 1→2B. 2→6C. 1→3D. 3→4E. 4→5F. 5→6G. 1→7H. 6→7I. 7→8J. 8→9

9.4 Táblázat 9.5 Táblázat 9.6 Táblázat 9.7 Táblázat

3. A hálódiagramot és a tevékenységek turéshatárát az 9.2 táblázat tartalmazza.

4. A hálódiagramot az 9.6 táblázat tartalmazza.


5. A hálódiagramot az 9.8 táblázat tartalmazza. A kritikus útvonal: 1→2→3→4→7→8→9.


6. A hálódiagramot az 9.10 táblázat tartalmazza.

Tevékenység1. 1→22. 2→33. 3→44. 3→55. 3→76. 5→67. 4→78. 6→79. 6→810. 7→811. 8→9

Tevékenység Turésh.1→2 A 41→3 B 02→4 C 43→4 D 03→5 E 5.833→6 F 8.54→7 G 05→7 H 5.836→8 I 8.57→9 J 08→9 K 8.5

9.8 Táblázat 9.9 Táblázat


7. A hálódiagramot az 5.5 táblázat tartalmazza. Ha az E vagy az F tevékenység 3 nappalcsúszik, az eredeti befejezési idopontot is 3 nappal csúszik.



8. A hálódiagramot az egyes események kezdésének legkorábbi idopontját, és a turési határátaz 9.11 táblázat tartalmazza. A kritikus útvonal: A→B→J→L. Telefonhívás miatt avacsora 3 perccel késobb fog elkészülni. Ha használja a robotgépet, akkor a vacsora atervezett idoben fog elkészülni.

Tevékenység1. 1→22. 1→33. 2→44. 3→55. 4→66. 5→67. 6→78. 7→89. 8→910. 8→1011. 10→11

Vak él 9→10

Tevékenység Kezdés Turésh.A. 1→2 0 0B. 2→7 30 0C. 1→3 0 30D. 3→7 2 30E. 1→4 0 3F. 4→7 7 3G. 1→5 0 8H. 5→6 15 8I. 6→7 25 8J. 7→8 35 0K. 1→8 0 30L. 8→9 45 0


9. A projekt elkészülésének legrövidebb idotartama 22 hét, és a kritikus útvonal:1→3→6→7→8.

10. A projekt legrövidebb idotartama 18 hét és a kritikus útvonal: 1→2→4→5→6→7.Ha a 8. tevékenység idotartamát 3 hétre csökkentjük, nem történik változás a projektidotartamát illetoen.Ha a 4. tevékenység idotartamát 2 héttel meghosszabbítjuk, nem történik változás aprojekt idotartamát illetoen.Ha a 7 tevékenység idotartamát 2 héttel csökkentjük, akkor 1 héttel csökkenhet a projektidotartama.

11. A hálódiagramot és az egyes tevékenységek turéshatárát az 9.13 táblázat tartalmazza. Akritikus út: A→C→F→G→H.

Tevékenység Leírás TuréshatárA 1→2 tervezés 0B 2→3 A gyártása 1C 2→4 B gyártása 0D 2→5 C gyártása 4E 3→4 A tesztelése 1F 4→5 A, B egybeépítése 0G 5→6 C rögzítése 0H 6→7 tesztelés 0

Tevékenység TuréshatárA. 1→2 0B. 1→3 11C. 2→4 0D. 4→5 0E. 5→6 0F. 3→7 11G. 6→7 0H. 7→8 0


12. A kritikus út: A→C→D→E→F→G. A projektet 30 nap alatt lehet befejezni 160 egységminimális többletköltséggel. A hálódiagramot és a tevékenységek turéshatárát az 9.3táblázat tartalmazza.


13. A kritikus út: A→C→D→E→G→H. A termék elkészítése két héttel korábban 40 eurósplusz költséggel jár. A hálódiagramot és a tevékenységek turéshatárát az 9.13 táblázattartalmazza.

14. Leghamarabb 10 hónap múlva kerülhet a termék a piacra.15. A tervezetet befejezni 100 hét alatt 256.53 minimális költséggel lehet.16. A hálódiagramot az 9.14 táblázat tartalmazza. 99.5% a valószínusége annak, hogy a pro-

jekt 35 nap alatt elkészül.

TevékenységA. 1→2B. 1→3C. 1→4D. 3→5E. 4→5F. 5→6G. 5→7H. 6→8I. 7→10J. 8→9K. 8→10Vak élek 2→4

7→69→10

9.14 Táblázat

17. 98.9% a valószínusége, hogy a projektet 26 nap alatt befejezik.


18. A hálódiagramot az 9.7 táblázat tartalmazza. A munka várható átfutási ideje 99%-osvalószínuséggel 33 nap.

Documents

Tartalom - emte.siculorum.roemte.siculorum.ro/~salamonjulia/v1_files/OPKutatas_peldatar_MZ_SJ.pdfEl˝oszó Aközgazdaságmatematikaimodelljeilegnagyobbrészbenolyandöntésimodellek,amelyek