2011

Enf.lab4

[TAM SAYILAR]

Tam sayıların tanımı,Tam sayılarda toplama-çıkarma-bölme-

çarpma,Sayı doğrusu,Mutlak değer

2

İçindekiler

TAM SAYILAR NEDİR? ......................................................................................................................3

Tam sayılarda işlemler nasıl yapılır? ................................................................................................4

Tam Sayılarda Pullarla İşlemler ........................................................................................................5

Tam Sayılarda Toplama İşlemi: ....................................................................................................5

Sayı doğrusu: ..................................................................................................................................9

TAMSAYI TANIMLARINI YAPALIM .................................................................................................. 10

POZİTİF SAYILAR, NEGATİF SAYILAR ............................................................................................... 11

TAMSAYILAR TEST SORULARI ........................................................................................................ 12

TAM SAYILAR KABİLESİ .................................................................................................................. 14

3

TAM SAYILAR NEDİR?

Sıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, sıfırın solundaki sayılar negatif tam

sayılardır.Pozitif tam sayılar,negatif tam sayılar ve sıfır sayısının birleşmesi sonucu tam

sayılar kümesi oluşur.

Artı işareti olan pozitif sayılar (1,3,45,78,...), eksi işareti olan negatif sayılar(-2,-9,-34,-

345,...) ve sıfırında dahil olduğu Z sembolü ile gösterilen sayılardır(....-3,-2,-

1,0,+1,+2,+3,...)

Tam sayılar denince sayının önünde artı yada eksi işareti varmı diye bakacaz. Artı işareti

yoksada artıdır.

Bugün Manisa'da hava sıcaklığı sıfırın altında 2 derece (-2)

Denizaltı deniz seviyesinin 75 metre altındadır (-75)

THY uçağı şuan yerden 200 metre yüksektedir (+200)

Ali'nin karı 15 ytl (+15)

Ayşe'nin zararı 20 ytl (-20)

4

Tam sayılarda işlemler nasıl yapılır?

Artı tam sayıyla artı tam sayı toplanırken aynen toplanır işaret artıdır(+)

Eksi tam sayıyla eksi tam sayı toplanırken aynen toplanır işaret eksidir(-)

Zıt işaretli tam sayılar toplanırken birbirinden çıkarılır büyük sayının işareti sonuçta

bulunan sayının önüne konur. Aynı işaretli tam sayıların çarpımı artıdır zıt işaretli

tamsayıların çarpımı eksidir.

5

Tam Sayılarla İlgili Örnekler:

(+3) . (+4) = (+12) +23+45=+68

(-3) . (-4) = (+12) +23-45=-22

(+3) . (-4) = (-12) -23+45=+22

(-3) . (+4) = (-12) -23-45=-68

Tam Sayılarda Pullarla İşlemler

Tam Sayılarda Toplama İşlemi:

Tam sayılarda pullarla toplama işlemi yaparken,ilk sayı kadar pul kutuya konur.Eklenecek sayı kadar

pul kutuya ilave edilir.Kutunun içindeki pulların hepsi + işaretli ise toplanır ve sonuç + olarak

yazılır.Kutunun içindeki pulların hepsi – işaretli ise toplanır ve sonuç - olarak yazılır.Eğer kutunun

içindeki pullar – ve + işaretli ise,aynı sayıdaki – ve + pullar birbirini yer.Arta kalan pullar işaretleri ile

birlikte sonuç olarak yazılır. (+6)+(-2)=+4

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -5 pul duruyormuş.Sonradan +3 pul eklenmiş.Kutunun içinde - pul ile + pul

yanyana gelince birbirini yer yani götürür. -3 pul +3 pulu yedi.Geriye -2 pul kaldı.Doğru cevap D şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

6

Yukarıdaki soruda aslında en başta +2 pul duruyormuş.Sonradan +3 pul eklenmiş.Kutunun

içinde +5 oldu. (+2)+(+3)=+5

Tam Sayılarda Çıkarma İşlemi:

Tam sayılarda pullarla çıkarma işlemi yaparken,ilk sayı kadar pul kutuya konur.Çıkarılacak sayı kadar

kutuya – ve + işaretli pul konur.Çıkması gereken pullar kutudan çıktıktan sonra, kalan pullar kutuda

sayılır.Eğer kutunun içinde – ve + işaretli kalmış olursa aynı sayıda olanlar birbirini yer.Arta kalan

pullar işaretleri ile birlikte sonuç olarak yazılır.(-4)-(+3)=(-7)

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -7 pul duruyormuş.Kutudan -3 pul çıkarılmış.Geriye -4

pul kaldı. (-7)-(-3)=-4

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta +9 pul duruyormuş.Kutudan +10 pul çıkarılmış.Yanlız

+10 pul çıkarmak için kutunun içine +1 ve -1 pul ilave edilir.Daha sonra +10 pul

çıkarılır.Geriye -1 pul kaldı. (+9)-(+10)=-1

Tam Sayılarda Çarpma İşlemi:

7

5 x (-3) çarpma işlemi yapılırken kutunun içerisine 5 tane 3’lü – pul girer.Sonuçta kutunun içinde 15

tane – pul olacak.

(-3) x 5 çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3 tane 5’li sıfır çifti pul girer.Sonra kutunun içinden 3

tane 5’li + pul çıkar.Burada ikinci sayı +5 olduğu için + pullar dışarı çıkar.

(-3) x (-4) çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3 tane 4’lü sıfır çifti pul girer.Sonra kutunun

içinden 3 tane 4’lü - pul çıkar.Burada ikinci sayı -4 olduğu için - pullar dışarı çıkar.

Tam Sayılarda Bölme İşlemi:

8 : 2 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 8 tane + pul girer.Pullar iki gruba ayrılır.Her gruptaki

pul sayısı sonucu verir.(8):(2)=+4

8

(-14) : 7 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 14 tane – pul girer.Pullar yedi gruba ayrılır.Her

gruptaki pul sayısı sonucu verir.(-14):(7)=-2

Tam Sayılarda İşlemlerin Sayı Doğrusunda Gösterilmesi:

Eklenen sayı pozitifse sağa doğru, eklenen sayı negatifse sola doğru ilerlenir.

(+4)+(-8)=(-4)

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Doğru cevap A şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

9

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir.

(+6)-(+3)=+3

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan sayı negatifse sağa ilerlenir.

(-6)-(-10)=+4

Sayı doğrusu: Üzerinde sayıların eşit bir şekilde dağıldığı doğruya sayı doğrusu denir.Sayı

doğrusunda sayılar soldan sağa doğru gidildikçe büyür.

Mutlak değer: Sayı doğrusu üzerindeki bir sayının, sıfır noktasına olan uzaklığına o

sayının mutlak değeri denir.Uzunluk olduğu için mutlak değer pozitiftir.Sıfırın mutlak

değeri sıfırdır.

l-2l=2, l+2l= 2, l2l=2

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçek) sayısının başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına

x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

10

İşlem önceliği: Birden fazla işlem karışık verilmişse, önce parantezler, parantez yoksa

önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma yapılır. Eşit öncelikli yan yana olursa

örneğin çarpma ve bölme, her zaman işleme soldan başlanır. 6.2:3= 12:3= 4 , 2:1:2=

2:2= 1

TAMSAYI TANIMLARINI YAPALIM

Z = {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına tam sayı

denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z – , pozitif tam sayılar kümesi : Z+ ve sıfırı

eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, Z = Z – È Z+ È {0} dır.

11

POZİTİF SAYILAR, NEGATİF SAYILAR

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya

negatif sayı denir.

a < b < 0 < c < d olmak üzere,

a, b negatif sayılardır.

c, d pozitif sayılardır.

İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)

İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)

Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan

küçük ise fark negatif olur.

m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.

Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı

çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.

Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.

Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.

Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.

12

Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.

Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

Bir tam sayının + 1 e bölümü o sayının kendisine eşittir.

Bir tam sayının – 1 e bölümü o sayının toplamaya göre tersine eşittir.

Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır.

Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Sıfırın sıfıra bölümünde sonuç tanımsız mıdır? Belirsiz midir? Sonsuz

mudur?

Alttan baksak sayı bölü 0’ın tanımsız olmasını bekleriz. Üstten baksak 0 bölü sayı şeklinde bir

ifadedir ki buna 0 diye cevap veririz. Bu nedenle bu ifadeye net bir yanıt bulamıyoruz. Limit

konusu içinde yer alan 0/0 belirsizliğini de örnek olarak kullanabiliriz. x sıfıra yaklaşırken x/x

ifadesinin cevabını arıyorsak bu limitin cevabı 1’dir. Ama 7x/x yine aynı limit yaklaşımı için

0/0 belirsizliğidir ve 7 cevabını alır. Böyle her yaklaşım için farklı sonuçlar veren bu genel

hallere belirsizlik denir.Yani 0 bölü 0 belirsizdir.

TAMSAYILAR TEST SORULARI

1. Zıt işaretli iki tam sayı toplandığında sonuçtaki sayının işareti yazılırken neye

bakılır?

A) birinci sayının işaretine bakılır

B) ikinci sayının işaretine bakılır

C) küçük sayının işaretine bakılır

D) büyük sayının işaretine bakılır

13

2. (2-9) x 7= ? İşleminin sonucu kaçtır?

A) 49

B) -49

C) 77

D) -77

3. (-24-11) x (-3+3) =? İşleminin sonucu kaçtır?

A) -35

B) 35

C) 0

D) 33

4. Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü nedir?

A) 0

B) 1

C) -1

D) belirsiz

5. a < 0 < c verilen ifadeye göre hangisi doğrudur?

A) a x c = negatif

B) a x c = pozitif

C) a – c = pozitif

D) c – a = negatif

14

CEVAPLAR:

1)D 2)B 3)C 4)A 5)A

TAM SAYILAR KABİLESİ

Günün birinde Kafkas dağlarının ardında bir kabile yaşarmış .Bu kabilenin adı tam sayılar

kabilesiymiş.Bu kabile iki kola ayrılırmış.Bunlardan biri NEGATİF tam sayılar olup bu tam sayılar

diğer kabilelere hep öfke aşılarmış.Fakat tam sayıların diğer kolu olan POZİTİF tam sayılarla

yaptıkları her savaşta yenilirlermiş, çünkü pozitif tam sayılar hep mutluluk aşıladıkları için öfkeye

hiç yenilmezlermiş.Bir de ‘0’ sayısı varmış.Bu kendi halinde ,kimseye yararı ve zararı olmayan ,

etliye sütlüye karışmayan birisiymiş.Ama sinirlendiğinde çok kötü çarparmış.Bu yüzden kimse onunla

çatışmayı göze alamazmış.Zamanla tam sayılar arasındaki ayrılık alevlenmiş ve pozitif tam sayılar

arasından bir grup ayrılıp ,kendilerine DOĞAL sayılar diyerek başka bir kabile kurmuş. Bu grup ‘0’ da

yanlarına almış ve negatif tam sayılardan uzakta bir mekana çadır kurmuşlar.Uzun zaman sonra

negatif tam sayılar ne kadar büyük bir hata yaptıklarını anlamışlar ama nafile… Aralarından en yaşlı

ve bilge olanlarını seçip bir komite kurmuşlar ve doğal sayılarla anlaşma imzalamak için

göndermişler.Uzun uğraşlar sonucunda antlaşma imzalanmış.Buna göre; negatif tam sayılar ve doğal

sayılar beraberce yaşayacaklar ama doğal sayılar ( sıfır hariç) eskisi gibi pozitif tam sayı olarak

anılacak ve hep beraber aynı yerde yaşayacaklardır.Hemen işe koyulmuşlar ve sayı doğrusu denen

yeni evlerini yapmaya başlamışlar.Evlerinin yerini belirlemeye gelince ne yapacaklarını şaşırmışlar ,

herkes en güzel yeri isterken sıfır araya girmiş ve ‘ benim solumda negatif tam sayılar sağımda da

pozitif tam sayılar oturacak ben tam ortada olacağım.’ Herkes bu kararı çok sevmiş ve kabul etmiş.

O günden bugüne hiç kavga etmeden yaşaya gelmişler.

15

Kaynakça http://www.google.com.tr/imgres?q=matematik&hl=tr&sa=X&biw=1440&bih=719&tbm=isch&prmd

=imvnsbl&tbnid=x0ufG5BsKCDhHM:&imgrefurl=http://www.demreli.com/2011/04/matematik-

buyuyunce-ne-isimize-

yarayacak.html&docid=Y8zrNln9PiLuJM&imgurl=http://resim.demreli.com/matematik-ne-isimize-

yarar.jpg&w=487&h=319&ei=bLUCT4uKE8bEtAaAlND5Dg&zoom=1

http://www.google.com.tr/imgres?q=matematik&hl=tr&sa=X&biw=1440&bih=719&tbm=isch&prmd

=imvnsbl&tbnid=--

ydgLk5bpCwxM:&imgrefurl=http://www.matcolik.com/blog/&docid=bNhvIYHgedL6yM&imgurl=http:

//www.matcolik.com/blog/wp-content/uploads/2010/11/yas-

problemi.jpg&w=450&h=380&ei=bLUCT4uKE8bEtAaAlND5Dg&zoom=1

http://www.google.com.tr/imgres?q=matematik&hl=tr&sa=X&biw=1440&bih=719&tbm=isch&prmd

=imvnsbl&tbnid=MiXsG0_YVYrFbM:&imgrefurl=http://www.delinetciler.net/forum/soru-cevap-

forumu/124431-matematik-dergisi-

hazirlama.html&docid=d1pQy1clrlPf5M&imgurl=http://www.delinetciler.net/forum/attachments/20

426d1316092742-19997d1301487550-matematikle-ilgili-karikaturler-

k8.jpg&w=363&h=450&ei=bLUCT4uKE8bEtAaAlND5Dg&zoom=1&iact=rc&dur=250&sig=1182934942

52202741503&page=1&tbnh=153&tbnw=123&start=0&ndsp=20&ved=1t:429,r:13,s:0&tx=50&ty=66

http://www.google.com.tr/imgres?q=matematik&hl=tr&sa=X&biw=1440&bih=719&tbm=isch&prmd

=imvnsbl&tbnid=ZIfQRBpEbqrBLM:&imgrefurl=http://ragipsahin.com/matematik-dersini-nasil-

sevebilirim/&docid=WoLSTvxqnLTpEM&imgurl=http://ragipsahin.com/wp-

content/uploads/2011/10/matematik-

ba%2525C5%25259Far%2525C4%2525B1.jpg&w=450&h=300&ei=bLUCT4uKE8bEtAaAlND5Dg&zoom

=1&iact=hc&vpx=272&vpy=168&dur=515&hovh=183&hovw=275&tx=128&ty=110&sig=1182934942

52202741503&page=10&tbnh=96&tbnw=144&start=184&ndsp=23&ved=1t:429,r:1,s:184

http://www.matematikcifatih.tr.gg/tam-say%26%23305%3Blar.htm

1

1 Tam Sayılar Konu Anlatımı