Disciplina  ENG04010  -­‐  Teoria  Eletromagnética  e  Ondas   Versão:  22  de  junho  de  2012  1  

SERVIÇO  PÚBLICO  FEDERAL  MINISTÉRIO  DA  EDUCAÇÃO  

UNIVERSIDADE  FEDERAL  DO  RIO  GRANDE  DO  SUL  

 

LISTA  DE  EXERCÍCIOS  Nº  1  

 

Problemas  

1)  Uma  das  possíveis  formas  de  descrever  quantitativamente  uma  linha  de  transmissão  é  através  da  Teoria  de   Circuitos   a   parâmetros   distribuídos.   Para   tanto,   segmenta-­‐se   um   pequeno   elemento   da   linha   de  transmissão  e  a  este  se  atribui  um  circuito  equivalente,  cujos  parâmetros  são  especificados  por  unidade  de  comprimento.  Desta  forma,  mediante  a  Teoria  de  Circuitos  usual,  pode-­‐se  obter  um  conjunto  de  equações  que   descrevem   eletricamente   tal   elemento   da   linha   de   transmissão.   O   resultado   pode   ser   trivialmente  estendido  para  qualquer  ponto  da   linha  de  transmissão  tornando  o  comprimento  do  elemento  modelado  tão  pequeno  quanto  possível.  Além  da   topologia  L   já   investigada,  há  as   topologias  Π  e  T  de  circuitos,  as  quais   são   respectivamente   apresentadas   na   Figura   1(a)   e   Figura   1(b)   e   que   podem   ser   possivelmente  adotadas   como   modelo   ao   pequeno   elemento   da   linha   de   transmissão.   Suponha   então   uma   linha   de  transmissão  plenamente  homogênea  a  dois  condutores  permeados  por  um  dielétrico  imperfeito.  Sendo  𝑧  a  coordenada   espacial   ao   longo   da   linha   de   transmissão   e   𝑡   o   tempo,   para   cada   uma   das   topologias  apresentadas,  (a)  determine  o  sistema  de  equações  que  descreve  a  tensão  𝑣(𝑧, 𝑡)  e  a  corrente  𝑖(𝑧, 𝑡)  em  cada  um  de  seus  pontos  espaciais.  (b)  Obtenha  as  soluções  para  a  tensão  𝑣(𝑧, 𝑡)  e  para  a  corrente  𝑖(𝑧, 𝑡).  (c)  As  soluções  possuem  teor  ondulatório?  Discorra.  (d)  As  equações  e  soluções  obtidas  para  cada  um  dos  modelos  de  circuito  equivalente  são  compatíveis  com  àquelas  obtidas  na  topologia   tipo  L   já   investigada?  Disserte.  

 Figura  1:  Circuitos  equivalentes  para  um  elemento  de  comprimento  𝚫𝒛  da  linha  nas  topologias  (a)  tipo  𝚷  e  (b)  tipo  𝐓  

 

2)  Uma  linha  de  transmissão  a  dois  condutores  imperfeitos  encontra-­‐se  em  um  meio  dielétrico  com  perdas.  Para   tal   linha   de   transmissão,   determine   as   equações   diferenciais   parciais   de   2ª   ordem   associadas   (a)   a  tensão   𝑣(𝑧, 𝑡)   e   (b)   a   corrente   𝑖(𝑧, 𝑡).   Tais   equações   são   comumente   denominadas   de   Equações   do  Telegrafista.   (c)   Estas   equações   possuem   a  mesma   estrutura   da   Equação   da  Onda   no   vácuo?  Discorra   a  respeito   de   cada  um  dos   termos  que   compõem  estas   equações.   (d)   Se   os   condutores   da   linha   e   o  meio  dielétrico   são   perfeitos,   qual   formato   assume   as   equações   deduzidas   nos   itens   (a)   e   (b)   anteriores?  Determine  e  explique.  (e)  Analisando  as  equações  obtidas  no  item  (d),  qual  é  a  velocidade  de  propagação  das  ondas  de  tensão  𝑣(𝑧, 𝑡)  e  de  corrente  𝑖(𝑧, 𝑡)?    

3)   Suponha   uma   linha   de   transmissão   a   dois   condutores   dispostos   em   um  meio   dielétrico   com   perdas.  Considere  que  a  linha  seja  não-­‐homogênea  eletricamente.  Sendo  𝑧  a  coordenada  espacial  ao  longo  da  linha  de   transmissão   e   𝑡   o   tempo,   determine   (a)   o   sistema   de   equações   que   descreve   a   tensão   𝑣(𝑧, 𝑡)   e   a  

(a) (b)RΔz

½GΔz ½GΔz½CΔz ½CΔz

LΔz ½RΔz ½LΔz ½RΔz ½LΔz

GΔz CΔz

           

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corrente  𝑖(𝑧, 𝑡)  ao  longo  da  linha  de  transmissão.  (b)  As  equações  obtidas  diferem  daquelas  pertinentes  a  uma  linha  de  transmissão  homogênea  eletricamente?  Discorra  a  respeito.  

 

4)  Uma  linha  a  dois  condutores  cilíndricos  paralelos  é  apresentada  na  Figura  2(a).  O  meio  físico  que  envolve  a  linha  possui  permissividade  elétrica  𝜖  e  permeabilidade  magnética  𝜇.  Determine  (a)  a  capacitância  𝐶  e  (b)  a   indutância  𝐿  por  unidade  de  comprimento.  Se  a   linha  de   transmissão  bifilar  em  questão  é  do   tipo  sem  perdas,   adicionalmente   quantifique   (c)   a   velocidade   com   a   qual   se   propagarão   eventuais   ondas  eletromagnéticas  e  (d)  a  impedância  característica  da  linha  de  transmissão.  

 

5)  Uma   linha  a  dois   condutores   coaxiais   é   apresentada  na  Figura  2(b).  O  meio   físico  que  envolve  a   linha  possui   permissividade   elétrica   𝜖   e   permeabilidade   magnética   𝜇.   Determine   (a)   a   capacitância   𝐶   e   (b)   a  indutância  𝐿   por   unidade  de   comprimento.   Se   a   linha  de   transmissão   coaxial   em  questão  é   do   tipo   sem  perdas,   adicionalmente   quantifique   (c)   a   velocidade   com   a   qual   se   propagarão   eventuais   ondas  eletromagnéticas  e  (d)  a  impedância  característica  da  linha  de  transmissão.  

 

6)  Uma  linha  compostas  por  duas  placas  condutoras  paralelas  é  apresentada  na  Figura  2(c).  O  meio  físico  que   envolve   a   linha   possui   permissividade   elétrica   𝜖   e   permeabilidade   magnética   𝜇.   Determine   (a)   a  capacitância  𝐶   e   (b)   a   indutância  𝐿   por   unidade   de   comprimento.   Se   a   linha   de   transmissão   por   placas  paralelas   em   questão   é   do   tipo   sem   perdas,   adicionalmente   quantifique   (c)   a   velocidade   com   a   qual   se  propagarão  eventuais  ondas  eletromagnéticas  e  (d)  a  impedância  característica  da  linha  de  transmissão.  

 Figura  2:  Seções  transversais  de  linhas  de  transmissões  do  tipo  (a)  bifilar,  (b)  coaxial  e  (c)  placas  paralelas  

 

7)   Uma   linha   de   transmissão   a   dois   condutores   está   disposta   em   um   meio   dielétrico.   As   perdas   nos  condutores   que   compõem   a   linha   bem   como   no   dielétrico   são   pequenas   porém   não-­‐desprezíveis.  Considere  que  a  linha  seja  homogênea  eletricamente.  Sendo  𝑧  a  coordenada  espacial  ao  longo  da  linha  de  transmissão   e   𝑡   o   tempo,   determine   (a)   a   expressão   aproximada   para   a   impedância   característica  𝑍!   da  linha  de  transmissão  nesta  situação.  (b)  A  equação  aproximada  para  a  constante  de  propagação  𝛾  de  uma  eventual  onda  nesta   linha  de  transmissão.   (c)  Qual  dos  termos  de  𝛾  é   responsável  pela  atenuação  e  pela  propagação   de   eventuais   ondas   na   linha   de   transmissão   em   questão?   (d)   Expresse   as   ondas   de   tensão  𝑣(𝑧, 𝑡)  e  corrente  𝑖(𝑧, 𝑡)  em  termos  das  quantidades  recentemente  obtidas  em  (a)  e  (b).  

 

8)   Uma   linha   de   transmissão   a   dois   condutores   homogêneos   eletricamente   está   disposta   em   um  meio  dielétrico.  Os  condutores  que  compõem  a   linha  bem  como  o  dielétrico  do  meio   físico  que  a  envolve   são  

(a) (b) (c)

a

d

d t

w

a

t

a

           

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imperfeitos.  Tal   linha  está  conectada  a  uma  carga  de   impedância  𝑍!..  A  coordenada  espacial  ao   longo  da  linha   de   transmissão   e   o   tempo   são   respectivamente   designados   por   𝑧   e   𝑡.   Sendo   a   constante   de  propagação  𝛾 ≡ 𝛼 + 𝑗𝛽   e   a   impedância   característica   da   linha  𝑍!,   (a)   obtenha   a   impedância  𝑍   em   uma  coordenada  espacial  arbitrária  𝑧  da  linha  de  transmissão  explicitamente  em  termos  de  𝛼  e  𝛽.  (b)  Determine  a   impedância  de  entrada  𝑍!"#  desta   linha  de  transmissão.   (c)  Se  𝑍! ≫ 𝑍!,  a  quais  expressões  se  reduzem  aquelas  obtidas  nos  itens  (a)  e  (b)?  (d)  Se  𝑍! ≪ 𝑍!,  a  quais  expressões  se  reduzem  aquelas  obtidas  nos  itens  (a)  e  (b)?  (e)  Se  a  linha  de  transmissão  é  completamente  sem  perdas,  qual  formato  assume  as  expressões  obtidas  em  todos  os  itens  anteriores?  

 

9)  Uma   linha   de   transmissão   a   dois   condutores   é   eletricamente   homogênea.   A   linha   de   transmissão   em  questão  possui  perdas,   tanto  no  dielétrico  que  a  circunda  quanto  no  material  condutor  que  a  compõe.  A  impedância  característica  desta  linha  é  𝑍!  e  da  carga  a  esta  conectada  𝑍!.  Sendo  𝑧  a  coordenada  espacial  ao   longo   da   linha   e   𝑡   o   tempo,   (a)   determine   a   potência   𝑃   transportada   por   uma   eventual   onda  eletromagnética  ao   longo  da   linha.  (b)  Quantifique  então  a  potência  média  temporal  𝑃   transportada  pela  onda  ao  longo  da  linha.  (c)  Interprete  fisicamente  cada  um  dos  termos  que  compõem  as  expressões  obtidas  nos  itens  (a)  e  (b).  (d)  Na  entrada,  quais  formatos  assumem  as  potências  obtidas  nos  itens  (a)  e  (b)?  (e)  E  na  carga,  quais  as  expressões  descrevem  as  potências  obtidas  nos   itens   (a)  e   (b)?   (f)  Mediante  a  análise  das  equações  recentemente  obtidas,  qual  é  a  condição  para  a  máxima  transferência  de  potência  à  carga?  

 

10)  Um  guia  de  onda  oco  possui  seção  transversal  retangular  e  é  preenchido  por  um  dielétrico  perfeito.  As  paredes  do  guia  de  onda  são  confeccionadas  em  material  condutor  perfeito.  O  guia  de  onda  é  excitado  de  sorte   que   os   modos   de   propagação   sejam   do   tipo   transversal   elétrico   (TE).   Considere   que   o   eixo  coordenado  𝑧  esteja  ao   longo  do  guia  e  que  𝑎  e  𝑏   sejam  respectivamente  as  dimensões  horizontal  —  ao  longo  do  eixo  𝑥  —  e  vertical  —  ao  longo  do  eixo  𝑦  —  do  guia  de  onda.  Nesta  situação,  determine  os  campos  (a)  magnético  𝐁  e  (b)  elétrico  𝐄.  Esboce  graficamente  os  campos  𝐁  e  𝐄  para  (c)  o  modo  TE10  e  (d)  o  modo  TE01.  

 

11)  Um  guia  de  onda  oco  possui  seção  transversal  retangular  e  é  preenchido  por  um  dielétrico  perfeito.  As  paredes  do  guia  de  onda  são  confeccionadas  em  material  condutor  perfeito.  O  guia  de  onda  é  excitado  de  sorte   que   os   modos   de   propagação   sejam   do   tipo   transversal   magnético   (TM).   Considere   que   o   eixo  coordenado  𝑧  esteja  ao   longo  do  guia  e  que  𝑎  e  𝑏   sejam  respectivamente  as  dimensões  horizontal  —  ao  longo  do  eixo  𝑥  —  e  vertical  —  ao  longo  do  eixo  𝑦  —  do  guia  de  onda.  Nesta  situação,  determine  os  campos  (a)  elétrico  𝐄  e  (b)  magnético  𝐁.  Esboce  graficamente  os  campos  𝐄  e  𝐁  para  (c)  o  modo  TM10  e  (d)  o  modo  TM01.  

 

12)  Considere  um  guia  de  onda  oco  tal  qual  descrito  nos  problemas  10)  e  11).  Para  este  sistema,  determine  a   (a)  a   freqüência  de  corte  𝜔!,   (b)  o  comprimento  de  onda  de  corte  𝜆!,   (c)  a  velocidade  de   fase  𝑣!,   (d)  a  velocidade  de  grupo  𝑣!   e   (e)  a   impedância   transversal  𝑍!  para  os  modos  de  propagação  TE  e  TM.   (f)  Há  diferença  entre  as  quantidades  determinadas  nos  itens  anteriores  para  os  modos  TE  e  TM?  Discorra.