Departamento de Matematica

Engenharia AeronauticaEngenharia Electromecanica

Calculo IIFicha 1

2019/2020

1) Estude a natureza das seguintes series. Em caso de convergencia calcule a respectiva soma.

a)

+∞∑

n=1

(

2

7

)n

b)

+∞∑

n=1

2

7nc)

+∞∑

n=1

2−2n

d)

+∞∑

n=1

ln

(

1 +1

n

)

e)

+∞∑

n=2

ln

(

1− 1

n

)

f)

+∞∑

n=1

√n+ 1−√

n√n2 + n

g)+∞∑

n=1

2−n h)+∞∑

n=1

2

3n−1i)

+∞∑

n=0

2n−1

6n+ e−n

j)

+∞∑

n=1

3

6n+

1

nk)

+∞∑

n=1

3 · 2n + n(n+ 1)

2nn(n+ 1)l)

+∞∑

n=1

6

n(n+ 1)(n + 3)

2) Mostre que sao divergentes as seguintes series.

a)

+∞∑

n=1

n2 + n

n2 + 2 b)+∞∑

n=1

(−2)n c)+∞∑

n=1

n

√

1

n+ 1d)

+∞∑

n=1

2n+1 sen1

2n

3) Use a teoria das series geometricas escrever na forma de fraccao os racionais dados pelas dızimasabaixo.

a) 3,666 . . . b) 2,181818 . . . c) 0,999 . . .

4) Determine a natureza das seguintes series usando o criterio geral de comparacao ou o criterio dolimite.

a)

+∞∑

n=1

1

2n + 3 b)

+∞∑

n=1

1

ln(n+ 1)c)

+∞∑

n=1

1

n2 + 1

d)

+∞∑

n=1

1

(2n − 1)22n−1e)

+∞∑

n=1

n+ 1

n(n+ 2)f)

+∞∑

n=1

n√3n+ 1

n(n+ 2)

g)+∞∑

n=1

5

2 + 3nh)

+∞∑

n=1

senπ

2ni)

+∞∑

n=1

4 + 3n

2n

j)+∞∑

n=2

1

n−√n

k)+∞∑

n=1

tgπ

4nl)

+∞∑

n=1

n−√

n2 − 1

m)

+∞∑

n=1

1√

n(n2 + 1)n)

+∞∑

n=1

1

(n+ 1)no)

+∞∑

n=1

√

n+ 1

n2 + 1

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Engenharia AeronauticaEngenharia Electromecanica

Calculo IIFicha 2

2019/2020

1) Determine a natureza das seguintes series usando o criterio de D’Alembert.

a)

+∞∑

n=1

n2

3n b)

+∞∑

n=1

n!

100nc)

+∞∑

n=1

n!

n2

d)+∞∑

n=1

n!

nne)

+∞∑

n=1

nn

n! 3nf)

+∞∑

n=1

nn

(2n)!

g)

+∞∑

n=1

(n!)2

(2n)!h)

+∞∑

n=1

n!

(2n− 1)!i)

+∞∑

n=1

n!

2n + 1

j)

+∞∑

n=1

10n × 2× n!

(2n)!k)

+∞∑

n=1

2× 5× . . .× (3n − 1)

1× 5× . . .× (4n − 3)l) 1+

2

3+

2× 3

3× 5+

2× 3× 4

3× 5× 7+ · · ·

2) Determine a natureza das seguintes series usando o criterio de Cauchy.

a)

+∞∑

n=1

1

n2n b)

+∞∑

n=1

(

n2 + 1

2n2 + 1

)n

c)

+∞∑

n=1

(

n+1n

)n2

3n

d)+∞∑

n=1

n

2ne)

+∞∑

n=1

1

lnn(n+ 1)f)

+∞∑

n=1

(

n

2n+ 1

)n

g)

+∞∑

n=1

nn

21+3nh)

+∞∑

n=1

(2n + 3)2n

(5n2 − 1)ni)

+∞∑

n=1

(√n−

√n− 1

)n

3) Calcule os seguintes limites.

a) lim

(

2

3

)n

n b) limnn

(2n)!c) lim

nn

(n!)2

4) Estude a natureza das seguintes series alternadas.

a)+∞∑

n=1

cos(nπ) sen1

n b)

+∞∑

n=1

(−1)n2√n

c)

+∞∑

n=1

(−1)n+1 1

2n− 1

d)

+∞∑

n=1

(−1)nn

n+ 1e)

+∞∑

n=1

(−1)n cos(π

n

)

f)

+∞∑

n=2

(−1)n2n+ 1

n2 − n

g)+∞∑

n=1

sen nπ2

n!h)

+∞∑

n=1

(−1)n+1 1

ne1/n i)

+∞∑

n=1

(−1)nn e−n

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Calculo IIFicha 3

2019/2020

1) Determine se sao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as seriesindicadas.

a)+∞∑

n=1

(−1)nn

n+ 2 b)

+∞∑

n=1

sen(π4 + nπ)

3n+ 1c)

+∞∑

n=1

(−1)nn!

(n+ 2)!

d)

+∞∑

n=1

e−n n! e)

+∞∑

n=1

cos(nπ) f)

+∞∑

n=1

(−1)n+1 2n

n4

g)+∞∑

n=1

1

(n + 1)(n + 2)h)

+∞∑

n=1

sen(4n)

4ni)

+∞∑

n=1

cos2 n

n2 + 1

2) Determine a natureza das seguintes series.

a)+∞∑

n=1

2n31−2nb)

+∞∑

n=1

1

n2 + 4n+ 3c)

+∞∑

n=1

n! e−n

d)

+∞∑

n=1

n2

2n2 + 1e)

+∞∑

n=1

√n+ 1

n3f)

+∞∑

n=1

2n

n2 + 3n

g)+∞∑

n=1

1 + n

n 2nh)

+∞∑

n=1

1

n!i)

+∞∑

n=1

n

3n+1

j)

+∞∑

n=1

(

1 + n2

1 + n3

)2

k)

+∞∑

n=1

(n+ 1)!

e3nl)

+∞∑

n=1

sen1

n2

m)

+∞∑

n=1

lnn

n3n)

+∞∑

n=1

3n − 2n

4n + 3nno)

+∞∑

n=1

n sen1

n

p)+∞∑

n=1

n tgπ

2n+1q)

+∞∑

n=1

cos(nπ)

3n+ 1r)

+∞∑

n=1

lnn2 + 1

n2

s)

+∞∑

n=1

(

n+ 2

n+ 4

)n

t)

+∞∑

n=1

(

n

2n+ 1

)n

u)

+∞∑

n=1

(2n)!

n2n + 2n

v)

+∞∑

n=1

(−1)nn2

n+ 1sen

π

2nw)

+∞∑

n=1

2nnn

(3 + 9n)nx)

+∞∑

n=1

(

tg

(

π

n+ 3

))n

y)+∞∑

n=1

(

n

n2 + 4

)n

z)+∞∑

n=1

n 5n(

n

n+ 2

)2n2

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Engenharia AeronauticaEngenharia Electromecanica

Calculo IIFicha 4

2019/2020

1) Determine o intervalo de convergencia das seguintes series de potencias:

a)

+∞∑

n=0

1

n+ 1(x− 3)n b)

+∞∑

n=0

(x+ 1)n c)

+∞∑

n=0

n

n+ 1(x− 1)n

d)

+∞∑

n=0

n

n2 + 1xn e)

+∞∑

n=0

n2

10n(x+ 2)n f)

+∞∑

n=0

2n

1 + 8n(x− 1)n

g)

+∞∑

n=0

(−1)n(x+ 2)n

2n+1h)

+∞∑

n=0

2n(n!)2

(2n)!(x− 2)n i)

+∞∑

n=0

1

n2 + 1x2n+1

j)

+∞∑

n=0

1

n2 + 1(5x+ 1)2n k)

+∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1x2n+1 l)

+∞∑

n=1

1

n3(x+ 1)2n+1

2) Determine para cada uma das funcoes seguintes a serie de potencias que tem por soma essa funcaoe indique o intervalo de convergencia da serie.

a)1

1 + xb) − 1

(1 + x)2c) ln(1 + x) d)

1

3 + x

e) − 1

(3 + x)2f) ln(3 + x) g)

2x3

1− x2h)

1 + x2

1− x2

i)3

(1− x)2j)

1

(1− x)3k) x ln(1− x) l) arctg(3x)

3) Sabendo que

senx =+∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!, cos x =

+∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!e ex =

+∞∑

n=0

1

n!xn

para cada x ∈ R, verifique que, para cada x ∈ R, se tem

a) e−x2

=+∞∑

n=0

(−1)n

n!x2n b) 2x =

+∞∑

n=0

(ln 2)n

n!xn c) sen2 x =

+∞∑

n=1

(−1)n+1 22n−1

(2n)!x2n

d) senhx =

+∞∑

n=0

x2n+1

(2n + 1)!e) coshx =

+∞∑

n=0

x2n

(2n)!f) cos2 x = 1+

+∞∑

n=1

(−1)n22n−1

(2n)!x2n

4) Considere a funcao definida por f(x) =

∞∑

n=0

(3x)2n+1

2n+ 1.

a) Determine o maior intervalo onde a funcao f esta definida.

b) Determine f ′(1/10) e a expressao analıtica da funcao f ′.

c) Determine a expressao analıtica da funcao f .

5) Sejam f e g as funcoes dadas por f(x) =ex−1

xe g(x) = x ex.

a) Escreva as funcoes f e g como series de potencias centradas em zero.

b) Derive a serie que obteve para f e mostre que

+∞∑

n=1

n

(n + 1)!= 1.

c) Primitive a funcao g e a sua serie para mostrar que+∞∑

n=1

1

n!(n+ 2)=

1

2.

6) Determine a serie de Taylor da funcao f(x) = 1/x2 no ponto x = 1.

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Calculo IIFicha 5

2019/2020

1) a) Represente no plano os seguintes pontos (2, 2), (1, 2), (−2,−4) e (−3, 1).

b) Represente no espaco os seguintes pontos (0, 5, 2), (4, 0,−1), (2, 4, 6) e (1,−1, 2).

2) Sejam x = (1, 2/3) e y = (0,−3) dois vectores de R2, u = (1, 3/4, 0) e v =(

7,√3, π

)

dois vectores

de R3 e z =(√

2/3, 1,−1/2,−2)

e w = (2, 1,−2, 1) dois vectores de R4. Determine

a) x+ 2y b) u+ v c) u− 2v d) −1/3w +√2z

3) Determine distancia entre os pontos

a) (2, 1) e (6, 2) b) (1,√2, 1) e (6, 2, 1) c) (3, 2, 1, 4) e (2, 4, 6, 1)

4) Calcule a norma dos vectores

a) (2, 3) b)(√

3, 2, 3)

c) (2, 1, 0, 5) d)(

3/2, 1,−1/2,√5)

5) Calcule o produto interno dos seguintes vectores

a) (2, 1) e (6, 2) b) (1,√2, 1) e (6, 2, 1) c) (3, 2, 1, 4) e (2, 4, 6, 1)

6) Verifique se

a) (√2, 3) ∈ B1[(−1, 2)] b) (2,

√2,√2) ∈ B2((2, 0, 0))

c) (2,√2,√2) ∈ B2[(2, 0, 0)] d) (2, 2, 1, 0) ∈ B4((1, 1, 0,−1))

7) Represente geometricamente

a) B1(2) b) B1[2] c) S1(2) d) B2((1, 2))

e) B2[(1, 2)] f) S2((1, 2)) g) B1[(1, 2, 3)] h) B2[(2, 2, 3)]

8) Represente geometricamente cada um dos seguintes conjuntos e determine o interior, o exterior, afronteira, o fecho e o derivado. Indique ainda se o conjunto e aberto, se e fechado e se e limitado.

a) A ={

(x, y) ∈ R2 : x > 4}

b) B ={

(x, y) ∈ R2 : y 6 −2}

c) C ={

(x, y) ∈ R2 : xy > 1}

d) D ={

(x, y) ∈ R2 : max {|x|, |y|} 6 1}

e) E ={

(x, y) ∈ R2 : x = 0, 2 < y < 4}

f) F ={

(x, y) ∈ R2 : x = π, 2 6 y 6 4}

g) G ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, y < x2}

h) H ={

(x, y) ∈ R2 : x > y2, 2 6 y 6 4}

i) I ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, y 6= x2}

j) J ={

(x, y) ∈ R2 : 1 6 x2 + y2 6 2, x 6= 0}

k) K ={

(x, y) ∈ R2 : − 1 6 x 6 1, −x2 < y < x2}

l) L ={

(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2}

m) M ={

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 6 1, 0 < z < 4}

n) N ={

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 2, x2 + y2 < 1}

o) O ={

(x, y, z) ∈ R3 : 1 < x2 + y2 + z2 6 4, z > 0}

p) P ={

(x, y, z) ∈ R3 : 1 < x2 + y2 + z2 6 4}

q) Q ={

(x, y, z) ∈ R3 : z 6 x2 + y2, 1 6 z 6 4}

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Calculo IIFicha 6

2019/2020

1) Sejam f e g as funcoes dadas por f(x, y) = x2 + ln(y − 1) e g(x, y) =x2

1− ln(x+ y − 1).

a) Calcule f(1, 2), f(2, 1 + e), g(1, 2) e g(2, 0).

b) Determine o domınio e o contradomınio de f e de g.

2) Sejam f e g as funcoes definidas por f(x, y, z) = x2 e2xy cos z e g(x, y, z) = e√

z−x2−y2 .

a) Calcule f(0, 1,−π), f(π, 2, 0), g(2,−1, 6), g(0, 0, 1).

b) Determine o domınio e o contradomınio de f e de g.

3) Sejam f e g as funcoes dadas por

f(x, y) =(

x2 −√

y − 1, ex/y)

e g(x, y, z) =

(

e√z−x−y, arcsen x,

1

x2 + y2

)

.

Calcule f(2, 3), f(0, 1), g(0, 1, 5) e g(0, 1, 2) e determine o domınio de f e de g.

4) Determine o domınio D de cada uma das seguintes funcoes. Determine ainda o interior, o exterior,a fronteira, a aderencia e o derivado de D, e indique se D e aberto, se e fechado e se e limitado.

a) f(x, y) =√x+ y b) f(x, y) =

√x+

√y c) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)

d) f(x, y) =√y − x ln(x+ y) e) f(x, y) =

x− 3y

x+ 3yf) f(x, y) =

3x+ 5y

x2 + y2 − 4

g) f(x, y) =

√

y − x2

1− x2h) f(x, y) =

1

x2 + y2i) f(x, y) =

1√

1− x2 − y2

j) f(x, y) = arctg

√

|xy|x+ y

k) f(x, y) =

√

x2 + y2 − 1

ln(4− x2 − y2)l) f(x, y) =

ln(x2 + y2)√x2 − x

m) f(x, y, z) =ln(xy)

x2 + y+ z n) f(x, y, z) = ln(xyz) o) f(x, y, z) =

√

1− x2 − y2 − z2

p) f(x, y, z) = ln(16 − 4x2 − 4y2 − z2) q) f(x) =(

ln(2− |x|), arccos(1− x2))

r) f(x, y) =

(

ln(x− x2),4

xy − 1

)

s) f(x, y, z) =ln(z − 1−

√

x2 + y2)√

z − 2x2 − 2y2

5) Determine o domınio de cada uma das seguintes funcoes. Determine ainda as curvas de nıvel eesboce quatro delas.

a) f(x, y) = 9− x2 − y2 b) f(x, y) = 8− x2 − 2y c) f(x, y) = x2 + y2 + 1

d) f(x, y) =√

4− x2 − y2 e) f(x, y) = y − 3x+ 2 f) f(x, y) = y2 − x2

g) f(x, y) =x

yh) f(x, y) = xy i) f(x, y) = sen(x2 + y2)

6) Esboce o grafico de cada uma das seguintes funcoes.

a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = 4− x2 − y2 c) f(x, y) = x2 + y2 + 1

d) f(x, y) =√

9− x2 − y2 e) f(x, y) = 2y − 3x+ 1 f) f(x, y) = senx

7) Para cada uma das seguintes funcoes determine as superfıcies de nıvel e esboce quatro delas.

a) f(x, y, z) = x2 + y2 b) f(x, y, z) = x2 + y2 − z c) f(x, y, z) = (x− 1)2 + y2 + z2

d) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2 e) f(x, y, z) = z −√

x2 + y2 f) f(x, y, z) = x+ 3y + 5z

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Calculo IIFicha 7

2019/2020

1) Determine, caso existam, os seguintes limites:

a) lim(x,y)→(5,−2)

(x5 + 4x3y − 5xy2) b) lim(x,y)→(6,3)

xy cos(x− 2y)

c) lim(x,y)→(0,0)

6x3y

2x4 + y4d) lim

(x,y)→(0,0)

x2√

x2 + y2

e) lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x− yf) lim

(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2

g) lim(x,y)→(0,0)

x2 + sen2 y

2x2 + y2h) lim

(x,y)→(0,0)

xy cos y

3x2 + y2

i) lim(x,y)→(0,2)

sen(xy)

xj) lim

(x,y)→(0,0)

x2 sen2 y

x2 + 2y2

k) lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 − cos(x+ y))

x2 − cos(x+ y)l) lim

(x,y)→(0,0)

sen(x+ y)x2y

x2 + y2

m) lim(x,y,z)→(3,0,1)

e−xy senπz

2 n) lim(x,y)→(1,0)

e(x−1)y −1

sen y tg(x− 1)

o) lim(x,y,z)→(0,0,0)

x2 + 2y2 + 3z2

x2 + y2 + z2p) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xy + yz2 + xz2

x2 + y2 + z4

q) lim(x,y,z)→(0,0,0)

xy + yz + zx

x2 + y2 + z2r) lim

(x,y,z)→(0,0,2)

xy(z − 2)

|x|+ |y|+ |z − 2|

s) lim(x,y)→(0,0)

(

x2

y2 + 2,x2 + 3

x2 + 1

)

t) limx→0

(

tgx2 + 1

x, tg x2,

tg x+ 1

x2

)

2) Seja f a funcao definida por

f(x, y) =xy2

x2 + y4.

a) Mostre que a funcao tem o mesmo limite no ponto (0, 0) ao longo de qualquer recta que passena origem.

b) Calcule o limite no ponto (0, 0) ao longo da parabola de equacao x = y2.

c) O que pode concluir sobre a existencia de lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)?

3) Seja f a funcao definida por

f(x, y) =x4y

x8 + y2.

a) Mostre que a funcao tem o mesmo limite no ponto (0, 0) ao longo de qualquer recta que passena origem.

b) Calcule o limite no ponto (0, 0) ao longo da da curva de equacao y = x4.

c) O que pode concluir sobre a existencia de lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)?

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Calculo IIFicha 8

2019/2020

1) Estude a continuidade das funcoes indicadas.

a) f(x, y) = arctg(x+√y) b) f(x, y) = arcsen(x2 + y2) c) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 4)

d) f(x, y) =senxy

ex − y2e) f(x, y) =

1

ycos

√

x2 + y f) f(x, y) =

(

sen(xy)

x+ y,1

|x|

)

g) f(x, y, z) =

(

ln(x+ y), x− z,x+ y

z + 1

)

h) f(x, y) =

xy

x2 + xy + y2se (x, y) 6= (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0)

i) f(x, y) =

x2y3

2x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0)

j) f(x, y) =

x2 − y2

x− yse x 6= y

0 se x = y

k) f(x, y) =

x3 − y3

x+ yse x+ y 6= 0

x− y se x+ y = 0

l) f(x, y) =

1− 2y + x se x+ y < 1

1 se x+ y = 1

2− x+ y se x+ y > 1

2) Seja f : R2 → R uma funcao contınua em R2 e tal que f(x, y) = 1+ x

x2 − y2

x2 + y2para (x, y) 6= (0, 0).

Indique, justificando, o valor de f(0, 0).

3) Seja k ∈ R. Considere a funcao f(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2+ ek(x+ y) se x 6= y

k + 1 se x = y

a) Calcule lim(x,y)→(0,0)

y=mx

f(x, y).

b) A funcao possui limite na origem?

c) Determine k de tal modo que f seja contınua no ponto (1/2, 1/2).

d) Sera possıvel determinar k de tal forma que f seja simultaneamente contınua em dois pontosdistintos da forma (a, a)?

4) Considere a funcao f(x, y) = x2 + y2 e conjunto C ={

(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 4}

.

a) Verifique que a funcao f e contınua em C e que C e limitado.

b) Esboce algumas curvas de nıvel de f e o conjunto C e conclua da analise desse esboco que afuncao f nao tem maximo nem mınimo em C.

c) Porque e que as alıneas anteriores nao contradizem o teorema de Weierstrass?

d) Diga, justificando, se f admite extremos em C.

5) Considere a funcao f(x, y) = x+ y e o conjunto C ={

(x, y) ∈ R2 : xy > 0}

.

a) Verifique que a funcao f e contınua em C e que C e fechado.

b) Esboce algumas curvas de nıvel de f e o conjunto C e conclua da analise desse esboco que afuncao f nao tem maximo nem mınimo em C.

c) Porque e que as alıneas anteriores nao contradizem o teorema de Weierstrass?

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Calculo IIFicha 9

2019/2020

1) Para cada uma das seguintes funcoes calcule as derivadas parciais de primeira ordem.

a) f(x, y) = 3x− 2y4 b) f(x, y) = x e3y

c) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4 d) f(x, y) = y/ lnx

e) f(x, y) = xy f) f(x, y) = x2 + y2 sen(xy)

g) f(x, y) = ln (senx) h) f(x, y, z) = x/y +√z

i) f(x, y, z) = (2x− y + z)ex−y j) f(x, y, z, t) =xy2

t+ 2z

k) f(x, y, z, t) = sen(x+ ez) + ln(yzt)− 3xt5 l) f(x, y) = (ex+y, 2y)

m) f(x, y) =

(

√

x2 + y2,x√

x+ y + 1

)

n) f(x, y) =

x2

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

o) f(x, y) =

2x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)p) f(x, y) =

xy2

x2 + y4se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

q) f(x, y) =

x− y

x+ yse y 6= −x

0 se y = −xr) f(x, y) =

x3 − y3 − y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

s) f(x, y) =

x3y − y2

x2 + (y − 1)2se (x, y) 6= (0, 1)

1 se (x, y) = (0, 1)

2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funcoes que se seguem.

a) f(x, y) = x2y3 + 3xy + 1 b) f(x, y) = cos x3 + xy c) f(x, y) = arctgx

y

d) f(x, y) = x sen(xy) + y2 e) f(x, y, z) = exyz f) f(x, y, z) = x2z3 + 4y4z2 + x2z

3) Considere a funcao f(x, y, z) = x2yz + xy + yz definida em R3. Calcule

∂4f

∂x2∂y∂z.

4) Determine todas as funcoes f : R2 → R que verificam as igualdades indicadas.

a)∂2f

∂x2(x, y) = 0 b)

∂2f

∂x∂y(x, y) = 0

c)∂2f

∂x2(x, y) = 24x,

∂2f

∂x∂y(x, y) = −3,

∂2f

∂y∂x(x, y) = −3,

∂2f

∂y2(x, y) = 42y

d)∂2f

∂x2(x, y) = 12x− 4y,

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) = −4x,

∂2f

∂y2(x, y) = 60y2 + 2.

5) Mostre que nao existe nenhuma funcao f : R2 → R tal que∂f

∂x(x, y) = xy2 + 1 e

∂f

∂y(x, y) = y2.

6) Mostre que a funcao z = xey + yex e uma solucao da equacao∂3z

∂x3+∂3z

∂y3= x

∂3z

∂x∂y2+ y

∂3z

∂x2∂y.

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Calculo IIFicha 10

2019/2020

1) Determine o gradiente e o laplaciano das seguintes funcoes.

a) f(x, y, z) = xey−z b) f(x, y, z) = ln(x2 + y2) + z

c) f(x, y, z, t) = 2xt− 3yt+z

x+ yd) f(x, y, z) = x3 + y3 − 3z

2) Determine a matriz jacobiana das seguintes funcoes

a) f(x, y) = 2x+ y + xy b) f(x, y) = y2 + 7

c) f(x, y) = (x3 − 3y, 2x+ y + xy) d) f(x, y, z) =(

x2 + z2, sen(yz), ln x2)

e) f(x, y) =(

x+ y2, ex+y, 3xy)

f) f(x, y, z) = x2 + z2 + ex

g) f(x) =(

x+ ex, e2x)

h) f(x, y, z) =(

x2 + z2, y + ln(x2 + 3z))

3) Determine a divergencia das seguintes funcoes.

a) f(x, y) =(

x3y2, x2y3)

b) f(x, y, z) = (y − z, z − x, x− y)

c) f(x, y, z) =(

xy, xz3, 2z − yz)

d) f(x, y, z, t) =(

x2 + zt, ey senx, y + et, ex+t3)

4) Determine o rotacional das seguintes funcoes.

a) f(x, y, z) = (y − z, z − x, x− y) b) f(x, y, z) =(

xy, xz3, 2z − yz)

c) f(x, y, z) = (ex sen y, ex cos y, ez senx) d) f(x, y, z) =(

2z2 − sen ey, xy,−xz)

5) Calcule, usando a definicao, a derivada das seguintes funcoes nos pontos indicados e segundo ovector indicado.

a) f(x, y) = xy2 no ponto (0,−1) segundo o vector (1, 2)

b) f(x, y) = sen(xy) no ponto (0, 0) segundo o vector (1, 1)

c) f(x, y) = 2x− y no ponto (−1, 2) segundo o vector (1, 1)

d) f(x) = (sen(x+ 1), ln x) no ponto 1 segundo o vector 1

e) f(x, y, z) = ln(x2 + y2) + z no ponto (−1, 1, 0) e segundo o vector (1, 1, 1)

f) f(x, y, z) = 2x− y no ponto (0, 1, 1) segundo o vector (1, 2, 1)

g) f(x, y, z) = xy + yz + xz no ponto (−1, 1, 7) segundo o vector (3, 4,−12)

h) f(x, y, z) =(

x2 + y2 + z2, xy)

no ponto (1, 2, 3) segundo o vector (1, 1, 1)

i) f(x, y) =

xy2

x+ yse x+ y 6= 0

0 se x+ y = 0no ponto (−1, 3) segundo o vector (1,−2)

6) Calcule as derivadas direccionais das seguintes funcoes no ponto (0, 0).

a) f(x, y) = 3x− 2y4 b) f(x, y) = xe3y

c) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4 d) f(x, y) = x2 + y2 sen(xy)

e) f(x, y) =

2x2y

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)f) f(x, y) =

xy2

x2 + y4se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

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Calculo IIFicha 11

2019/2020

1) Verifique, usando a definicao, que as seguintes funcoes sao diferenciaveis no ponto indicado

a) f(x, y) = 4x2 − y2 + 2y no ponto (1, 2) b) f(x, y) = 4− x2 − 2y2 no ponto (0, 1)

c) f(x, y) = y cos(x− y) no ponto (2, 2) d) f(x, y) =

{

2x+ 3y se x 6= 0

0 se x = 0no ponto (0, 0)

2) Mostre que as seguintes funcoes sao diferenciaveis usando a definicao.

a) f(x, y) = x+ y b) f(x, y) = xy c) f(x, y) = x+ y2 d) f(x, y) = x2 + xy − y2

3) Determine os pontos onde as funcoes indicadas sao diferenciaveis.

a) f(x, y) =√

x2 + y2 + sen(xy) b) f(x, y, z) = x+ y + z + cos(xyz)

c) f(x, y) =

x2y

x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

d) f(x, y) =

ex+y −1

2x+ 2yse x+ y 6= 0

3 se x+ y = 0

4) Mostre que as seguintes funcoes sao diferenciaveis e calcule a sua derivada.

a) f(x, y) = 2x+ y + xy b) f(x, y) = y2 + 7

c) f(x, y) = (x3 − 3y, 2x+ y + xy) d) f(x, y, z) =(

x2 + z2, sen(yz), ln x2)

e) f(x, y) =(

x+ y2, ex+y, 3xy)

f) f(x, y, z) = x2 + z2 + ex

g) f(x) =(

x+ ex, e2x)

h) f(x, y, z) =(

x2 + z2, y + ln(x2 + 3z))

5) Mostre que as funcoes que se seguem sao diferenciaveis e calcule sua derivada nos pontos indicadose segundo o vector indicado.

a) f(x, y) = xy2 no ponto (0,−1) segundo o vector (1, 2)

b) f(x, y) = sen(xy) no ponto (0, 0) segundo o vector (1, 1)

c) f(x) = (sen(x+ 1), ln x) no ponto 1 segundo o vector 1

d) f(x, y, z) = ln(x2 + y2) + z no ponto (−1, 1, 0) e segundo o vector (1, 1, 1)

e) f(x, y, z) = xy + yz + xz no ponto (−1, 1, 7) segundo o vector (3, 4,−12)

f) f(x, y, z) =(

x2 + y2 + z2, xy)

no ponto (1, 2, 3) segundo o vector (1, 1, 1)

6) Verifique que as seguintes funcoes sao diferenciaveis no ponto indicado e determine uma equacaodo plano tangente ao grafico das funcoes no ponto indicado

a) f(x, y) = 4x2 − y2 + 2y no ponto (−1, 2, 4);

b) f(x, y) =√

4− x2 − 2y2 no ponto (1,−1, 1);

c) f(x, y) = y cos(x− y) no ponto (2, 2, 2).

7) Prove que a funcao e diferenciavel no ponto dado e calcule a linearizacao L(x, y) da funcao noponto.

a) f(x, y) = x√y no ponto (1, 4) b) f(x, y) = ex cos xy no ponto (0, 0)

c) f(x, y) = arctg(x+ 2y) no ponto (1, 0) d) f(x, y) = sen(2x+ 3y) no ponto (−3, 2)

8) Determine a aproximacao linear da funcao f(x, y) = ln(x − 3y) em (7, 2) e use-a para aproximarf(6.9, 2.06).

9) Determine a aproximacao linear da funcao f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2 em (3, 2, 6) e use-a paraaproximar

√

(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2.

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Calculo IIFicha 12

2019/2020

1) Use a regra da derivada da funcao composta para calcular as seguintes derivadas:

a)dz

dtquando z = x2 + y senx, x = 2t+ arctg t e y = et−t2;

b)dw

dtquando w = x2 + yz, x = 3t2 + 1, y = 2t− 4 e z = t3;

c)dw

dtquando w = xy + yz, x = et, y = et sen t e z = et cos t;

d)∂w

∂xe∂w

∂yquando w = et

2

e t = x ln y;

e)∂w

∂se∂w

∂tquando w = x2 exy +y2 cos x2, x = st2 e y = s et;

f)∂w

∂xe∂w

∂yquando w = r3 + s+ v2, r = x ey, s = y ex e v = x2y;

g)∂w

∂x,∂w

∂ye∂w

∂zquando w = r2 + sv + t3, r = x2 + y2 + z2, s = xyz, v = x ey e t = yz2.

2) Utilize a regra da derivada da funcao composta para determinar as derivadas parciais indicadas:

a)∂R

∂xe∂R

∂yquando R = ln(u2 + v2 + w2), u = x + 2y, v = 2x − y e w = 2xy no ponto

(x, y) = (1, 1);

b)∂z

∂u,∂z

∂v,∂z

∂wquando z = x2+xy3, x = uv2+w3 e y = u+vew no ponto (u, v, w) = (2, 1, 0);

c)∂Y

∂s,∂Y

∂te

∂Y

∂rquando Y = w arctg(uv), u = r + s, v = s + t e w = t + r no ponto

(r, s, t) = (1, 0, 1).

3) Usando a regra da derivada da funcao composta, determine a matriz jacobiana de w ◦ v quando

a) w(x, y, z) =(

x2 + y2, arctg x)

e v(s, t) = (2s+ t, s, sen t);

b) w(x, y) = (tg x+ y, y, 2x) e v(s, t) = (t− 1, s).

4) Usando a regra da derivada da funcao composta, determine a matriz jacobiana de g ◦ f nos pontosindicados para

a) f(t) =(

sen t, t2)

e g(x, y) = e3x+2y no ponto π;

b) f(x, y, z) =(

xy, x2 + z2)

e g(s, t) =(

es2+t, s+ t

)

no ponto (2, 0,−4);

c) f(x, y) = (ex−y, x− y) e g(u, v) =(

tg(u− 1)− ev, u2 − v2)

no ponto (1, 1).

5) Seja f : R → R uma funcao de classe C2 e a, c1 e c2 constantes reais. Prove que qualquer funcao

da forma u(t, x) = c1f(x− at) + c2f(x+ at) e solucao da equacao∂2u

∂t2= a2

∂2u

∂x2.

6) Sejam z = u2v3, u = x+ y, e v = x2 − y2. Calcule∂z

∂x,∂z

∂y,∂2z

∂x2e

∂2z

∂x∂y.

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Calculo IIFicha 13

2019/2020

1) Para cada uma das seguintes funcoes verifique que a equacao F (x, y) = 0 define implicitamente y

como funcao de x numa vizinhanca do ponto (a, b) indicado e determinedy

dx(a):

a) F (x, y) = x2 + xy + y2 − 3 no ponto (a, b) = (1, 1);

b) F (x, y) = x2 − xy + y2 − 3 no ponto (a, b) = (1,−1);

c) F (x, y) = 2xy + x2y − x− 2y no ponto (a, b) = (1, 1);

d) F (x, y) = x cos(xy) no ponto (a, b) =(

1,π

2

)

;

e) F (x, y) = xey − y + 1 no ponto (a, b) = (0, 1);

2) Considere a funcao f definida por f(x, y) =sen(x− 2) + y

x− y − 2+ ln(y + 1).

a) Represente analıtica e geometricamente o domınio de f .

b) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderencia e o derivado do domınio de f .

c) Calcule∂f

∂xe∂f

∂y.

d) Estude a diferenciabilidade de f .

e) Prove que a equacao f(x, y) = 0 define y implicitamente em funcao de x, y = ψ(x), numavizinhanca de P0 = (2,−1 + e).

f) Calcule ψ′(2).

3) Mostre que a equacao xyz sen(xyz) =π

2define implicitamente z como funcao de x e y numa

vizinhanca do ponto(

1, 1,π

2

)

. Determine as derivadas parciais de z no ponto (1, 1).

4) Mostre que a equacao xyz3 + x2yz2 − x+ 2y + z = 0 define implicitamente z como funcao de x e

de y numa bola aberta centrada no ponto (1, 1,−1). Calcule∂z

∂x(1, 1) e

∂z

∂y(1, 1).

5) Seja g : R→ R uma funcao de classe C1 e tal que g(π) = −1.

a) Prove que a equacao x2 + 2cos(yz)− g(y

z

)

= 0, define x como funcao implıcita de y e z numa

vizinhanca de (−1, π, 1).

b) Mostre que

(

y∂x

∂y+ z

∂x

∂z

)

(π, 1) = 0.

6) Determine

a)dy

dxquando x3 + y3 = 6xy; b)

dy

dxquando cos(x− y) = x ey;

c)∂z

∂xe∂z

∂yquando x2y − xz3 = −z cos x; d)

∂z

∂xe∂z

∂yquando x ey +yz + z ex = 0;

e)∂z

∂xe∂z

∂yquando x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.

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Calculo IIFicha 14

2019/2020

1) Determine, caso existam, os maximos, mınimos e pontos sela das seguintes funcoes.

a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = x2 − y2

c) f(x, y) = (x− 1)2 − 2y2 d) f(x, y) = (x− 1)2 + 2y2

e) f(x, y) = (x− y2)(x+ y2 − 2) f) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x− y

g) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2 h) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y

i) f(x, y) = e4y−x2−y2 j) f(x, y) = (1 + xy)(x+ y)

k) f(x, y, z) = 2− x2 − y2 − z2 + xy + yz l) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + x− 2y

m) f(x, y, z) = x2 − 2xy + zy + z2 n) f(x, y, z) = (x− y)2 + (x− z)2 − xz + y

o) f(x, y, z) =1

2x2 + y2 + z2 + xz p) f(x, y, z) = (x− 1)2 + yz

2) Determine, utilizando multiplicadores de Lagrange, os extremos absolutos das seguintes funcoessujeita a(s) restricao(oes) dada(s).

a) f(x, y) = x2 − y2; x2 + y2 = 1 b) f(x, y) = xy; x2 + y2 = 1

c) f(x, y) = xy; 4x2 + y2 = 4 d) f(x, y) = xy; x+ y = 1; 4x2 + y2 = 4

e) f(x, y) = 3x+ 4y; x2 + y2 = 1 f) f(x, y) = 4x+ 6y; x2 + y2 = 13

g) f(x, y) = x2y; x2 + 2y2 = 6 h) f(x, y, z) = xyz; x2 + 2y2 + 3z2 = 6

i) f(x, y, z) = x+ z; x2 + y2 + z2 = 1 j) f(x, y, z) = x− y + 2z; x2 + y2 + 2z2 = 2

k) f(x, y, z) = yz + xy; xy = 1, y2 + z2 = 1 l) f(x, y, z) = xyz; x2 + y2 = 1; x = z

3) Determine os extremos absolutos das seguintes funcoes nos conjuntos indicados.

a) f(x, y) = x2 − y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4}

b) f(x, y) = 1 + x2 + 2y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4}

.

c) f(x, y) = x2 + xy + y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4}

d) f(x, y) = 1− x2 + y2 no conjunto

{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1 ∧ 0 6 y 61

2

}

e) f(x, y) = x2 + 2x+ y2 no conjunto{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4 ∧ x > −1}

f) f(x, y) = 5− 3x+4y na regiao triangular fechada com vertices nos pontos (0, 0), (4, 0) e (4, 5).

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Calculo IIFicha 15

2019/2020

1) Determine o volume maximo do paralelipıpedo de arestas paralelas aos eixos coordenados e inscritona figura dada por

x2 + y2 − z = 0 e z 6 4.

2) Determine, usando multiplicadores de Lagrange, a distancia da parabola de equacao y = x2 a rectay = x− 1.

3) Calcule os extremos da funcao

f(x, y, z) = (x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2,

sujeita a condicaox2 + y2 + z2 = 1.

Interprete geometricamente.

4) Determine os pontos da superfıciez2 = xy + 1

que estao mais proximos da origem.

5) Determine as dimensoes da caixa rectangular de maior volume cuja area da sua superfıcie total e64 cm2.

6) Uma caixa de papelao sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Determine as dimensoes queminimizem a quantidade de papelao utilizado.

7) Considere a funcaof(x, y) = x2 + x2y + y2

e o conjunto

D =

{

(x, y) ∈ R2 : y 6 −x2

2e y > −2

}

.

a) Determine os extremos locais de f no interior de D.

b) Usando o resultado da alınea anterior e o metodo dos multiplicadores de Lagrange determineos extremos globais de f em D.

8) Suponha que se pretende construir um tanque cilındrico de chapa metalica com uma dada capaci-dade V . Com que altura e raio da base o devemos construir de forma a gastar o mınimo possıvelde chapa?

9) O plano x + y + 2z = 2 intersecta o paraboloide z = x2 + y2 numa elipse. Determine os pontosdessa elipse que estao mais proximo(s) e mais distante(s) da origem.

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Calculo IIFicha 16

2019/2020

1) Calcule os seguintes integrais duplos.

a)

∫ 2

0

∫ 3

0x+ y dx dy b)

∫ 1

0

∫ e

1

y

x+ 1dx dy

c)

∫ 1

0

∫ 1

0xy ex+y dx dy d)

∫ π2

0

∫ π2

0senx cos y dx dy

e)

∫ 3

0

∫ 1

0

√x+ y dx dy f)

∫ 4

1

∫ 2

1

y

x+x

ydx dy

g)

∫ 2

0

∫ 0

−1x2y2 + x dx dy h)

∫ 0

−1

∫ 2

1−x ln y dy dx

i)

∫ 1

0

∫ 1

0

√y + x− 3xy2 dy dx j)

∫ π

0

∫ π

0sen2 x sen2 y dx dy

k)

∫ π/2

0

∫ π/2

0sen (x+ y) dy dx l)

∫ 3

1

∫ 1

0(1 + 4xy) dx dy

m)

∫ 4

2

∫ 1

−1(x2 + y2) dy dx n)

∫ 2

0

∫ π2

0x sen y dy dx

o)

∫ 4

1

∫ 2

0(x+

√y) dx dy p)

∫ 2

0

∫ 1

0(2x+ y)8 dx dy

q)

∫ 1

0

∫ 2

1

xex

ydy dx r)

∫ 2

1

∫ 1

0(x+ y)−2 dx dy

s)

∫ ln 2

0

∫ ln 5

0e2x−y dx dy t)

∫ 1

0

∫ 1

0

xy√

x2 + y2 + 1dx dy

2) Calcule os seguintes integrais triplos.

a)

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0x2 dx dy dz b)

∫ 1

0

∫ 1

−1

∫ 2

02x+ 3y + z dx dy dz

c)

∫ 1

0

∫ 2

0

∫ 3

0xy2z3 dx dy dz d)

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0y e−xy dx dy dz

e)

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0z ex+y dx dy dz f)

∫ π

0

∫ 3

2

∫ 1

−1y senx dz dy dx

g)

∫ 2

0

∫ π2

0

∫ π

0r2 cos θ dϕdθ dr h)

∫ 1

−1

∫ 1

0

∫ π2

0y cos x+ 2 dx dy dz

i)

∫ 1

0

∫ 2

1

∫ 3

2cos [π(x+ y + z)] dx dy dz j)

∫ π2

0

∫ π2

0

∫ 1

0cos x sen y ez dz dy dx

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Engenharia AeronauticaEngenharia Electromecanica

Calculo IIFicha 17

2019/2020

1) Calcule os seguintes integrais duplos.

a)

∫∫

R(6x2y3 − 5y4) dA, onde R =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 3, 0 6 y 6 1}

b)

∫∫

Rcos(x+ 2y) dA, onde R =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 π, 0 6 y 6π2

}

c)

∫∫

D

4y

x3 + 2dA, onde D =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 2, −x 6 y 6 x}

d)

∫∫

D

2y

1 + x2dA, onde D =

{

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6√x}

e)

∫∫

Dey

2

dA, onde D ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 1, 0 6 x 6 y}

f)

∫∫

De

xy dA, onde D =

{

(x, y) ∈ R2 : 1 6 y 6 2, y 6 x 6 y3}

g)

∫∫

Dx√

y2 − x2 dA, onde D ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 1, 0 6 x 6 y}

h)

∫∫

Dx cos y dA, onde D e limitada por y = 0, y = x2, x = 1

i)

∫∫

D(x+ y) dA, onde D e limitada por y =

√x e y = x2

j)

∫∫

Dxy2 dA, onde D e limitada por x = 0 e x =

√

1− y2

k)

∫∫

Dy3 dA, onde D e a regiao triangular com vertices (0, 2), (1, 1) e (3, 2)

2) Calcule

∫∫

Rf dA para as funcoes e regioes de integracao indicadas, utilizando as duas possıveis

ordens de integracao.

a) f(x, y) = xy e R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 2 ∧ 0 6 y 6 x2}

b) f(x, y) = ex+y e R = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| 6 1}

c) f(r, θ) = cos θ e R = {(r, θ) ∈ R2 : 0 6 θ 6 π2 ∧ 0 6 r 6 cos θ}

d) f(x, y) = (x+ y)2 e R = {(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2− y ∧ 0 6 y 6 1}

e) f(x, y) =x2

y2e R a regiao limitada pelas rectas x = 2, y = x e pela hiperbole xy = 1.

3) Calcule

∫∫

Rf dA para as funcoes e regioes de integracao indicadas.

a) f(x, y) = x2 e R ⊂ R2 e a regiao limitada pelas rectas y = x, y = 2x e x = 2

b) f(x, y) = x+ y, onde R ⊂ R2 e o rectangulo definido pelos vertices (0, 1), (1, 0), (3, 4) e (4, 3)

c) f(x, y) = x2y2, onde R ⊂ R2 e a regiao limitada por 1 6 y 6 2 e 0 6 x 6 y

d) f(x, y) = x cos(x+ y), onde R ⊂ R2 e o triangulo definido pelos vertices (0, 0), (π, 0), (0, π)

4) Esboce a regiao de integracao e faca a mudanca da ordem de integracao.

a)

∫ 1

0

∫ y

0f(x, y) dx dy b)

∫ 1

0

∫ 2−y

y2f(x, y) dx dy

c)

∫ 4

0

∫ 2

y2

f(x, y) dx dy d)

∫ 4

1

∫ 2

√xf(x, y) dy dx

e)

∫ 2

1

∫

√2x−x2

2−xf(x, y) dy dx f)

∫ 1

−1

∫ 2y2−1

−√

1−y2f(x, y) dx dy

g)

∫ π2

0

∫ senx

0f(x, y) dy dx h)

∫ e

1

∫ lnx

0f(x, y) dy dx

i)

∫ 4

0

∫y−4

2

−√4−y

f(x, y) dx dy

5) Calcule, trocando a ordem de integracao, os integrais seguintes.

a)

∫ 1

0

∫ 3

3yex

2

dx dy b)

∫ 1

0

∫ 1

√y

√

x3 + 1 dx dy

c)

∫ 3

0

∫ 9

y2y cos(x2) dx dy d)

∫ 1

0

∫ 1

x2

x3 sen(y3) dy dx

e)

∫ 1

0

∫ π2

arcsen ycos x

√

1 + cos2 x dx dy f)

∫ 8

0

∫ 2

3√yex

4

dx dy

g)

∫ 1

0

∫ arcsen y

0y senx dxdy

6) Calcule os seguintes integrais triplos.

a)

∫ 1

0

∫ z

0

∫ x+z

06xz dy dx dz b)

∫ 1

0

∫ 2x

x

∫ y

02xyz dz dy dx

c)

∫ 3

0

∫ 1

0

∫

√1−z2

0zey dx dz dy d)

∫ 1

0

∫ z

0

∫ y

0ze−y2 dx dy dz

e)

∫∫∫

E2x dV , onde E = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 y 6 2, 0 6 x 6

√

4− y2, 0 6 z 6 y}

f)

∫∫∫

Eyz cos(x5) dV , onde E = {(x, y, z)R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x, x 6 z 6 2x}

g)

∫∫∫

Ey dV , com E a regiao limitada pelos planos de equacao x = 0, y = 0, z = 0 e 2x+2y+z = 4.

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Calculo IIFicha 18

2019/2020

1) Calcule os seguintes integrais utilizando a mudanca de coordenadas indicada.

a)

∫ 1

0

∫ y

0(x+ y) dx dy onde x = u+ v e y = u− v;

b)

∫ 1

0

∫ 1

0

1√1 + x+ 2y

dx dy onde x = u e y =v

2

2) Utilize coordenadas polares para calcular os integrais indicados.

a)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0ex

2+y2 dy dx b)

∫ 2

0

∫

√4−y2

−√

4−y2x2y2 dx dy

c)

∫ 2

−2

∫

√4−x2

−√4−x2

(x+ y) dy dx d)

∫ 0

−√

2

2

∫

√1−x2

−xy dy dx

e)

∫ 2a

0

∫

√2ax−x2

0(x2 + y2) dy dx f)

∫ a

1

∫ x

0

(

x2 + y2)

dy dx

g)

∫ 1

0

∫

√9−x2

√1−x2

√

x2 + y2 dydx+

∫ 3

1

∫

√9−x2

0

√

x2 + y2 dydx

h)

∫∫

Rln

(

x2 + y2)

dxdy, onde R ⊂ R2 e a regiao do primeiro quadrante definida por a2 6

x2 + y2 6 b2, com a, b ∈ R tais que 0 < a < b.

i)

∫∫

R

√

1− x2 − y2 dxdy, onde R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2

}

.

3) Utilize coordenadas cilındricas para calcular os seguintes integrais.

a)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0

∫

√1−x2−y2

0z dz dy dx

b)

∫ 2

−2

∫

√4−x2

−√4−x2

∫

√4−x2−y2

0

(

x2 + y2)

dz dy dx

c)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0

∫ 2

0sen(x2 + y2) dz dy dx

d)

∫ 1

−1

∫

√1−x2

−√1−x2

∫ 2−x2−y2

x2+y2

√

x2 + y2 dz dy dx

e)

∫∫∫

Rdx dy dz, onde R =

{

(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2 ∧ 0 6 z 6

√

4− (x2 + y2)}

f)

∫∫∫

Rz3 dx dy dz, onde R =

{

(x, y, z) ∈ R3 : − 1 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2 ∧

√

x2 + y2 6 z 6 1}

4) Utilize coordenadas esfericas para calcular os seguintes integrais.

a)

∫ 1

0

∫

√1−x2

0

∫

√2−x2−y2

√x2+y2

dz dy dx b)

∫ 2

0

∫

√4−x2

0

∫

√8−x2−y2

√x2+y2

(

x2 + y2 + z2)

dz dy dx

c)

∫ 3

0

∫

√9−x2

0

∫

√9−x2−y2

0z√

x2 + y2 + z2 dz dy dx

d)

∫∫∫

R

1

1 + x2 + y2 + z2dz dy dx,

onde R ={

(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2 ∧ 0 6 z 6

√

1− x2 − y2}

5) Calcule o integral das funcoes que se seguem na regiao R indicada.

a) f(x, y) = y e R ⊆ R2 e a regiao do primeiro quadrante limitada pelo cırculo de equacao

x2 + y2 6 9 e pelas rectas de equacao y = x e y = 0.

b) f(x, y) = xy e R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 4 ∧ x 6 |y|}

.

c) f(x, y) = ln(x2 + y2) e R ⊆ R2 e a regiao do primeiro quadrante definida por 1 6 x2 + y2 6 4.

d) f(x, y) =√

1− x2 − y2 e R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6√1− x2

}

.

e) f(x, y) = (x2 + y2)3

2 e R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}

.

f) f(x, y) = x2 e R ={

(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 y ∧ x2 + y2 6 1}

.

g) f(x, y, z) = x2 e R e a regiao definida por x2 + y2 6 a2 e 0 6 z 6 b, onde a, b ∈ R.

h) f(x, y, z) = x2 sen z e R e a regiao limitada pelos planos x = 0, x+ y = 1, y = 0, z = 0 e z = π.

i) f(x, y, z) = z e R o tetraedro limitado pelo plano x+ y+ z = 1 e pelos planos das coordenadas.

j) f(x, y, z) =√x2 + z2 e R e o solido limitado pelo plano y = 4 e pelo paraboloide y = x2 + z2.

k) f(x, y, z) = z e R ⊆ R3 e a regiao definida pelas condicoes x2 + y2 6 1, z > 0 e z2 6 x2 + y2.

l) f(x, y, z) =1

√

x2 + y2e R e a regiao limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1, os planos z = −3 e

z = 3 e que verifica a condicao y > 0.

m) f(x, y, z) = 7yz e R e a regiao limitada pelo cilindro x2 + y2 = a2 e os planos y = 0, z = 0 ez = b, com b > 0.

n) f(x, y, z) =√

x2 + y2 e R ⊆ R3 e a regiao contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os

planos z = −5 e z = 4.

o) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e R ⊆ R3 e a bola unitaria x2 + y2 + z2 6 1.

p) f(x, y, z) = y e R ⊆ R3 e o solido que esta entre os cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 acimado plano xy e abaixo do plano z = x+ 2

q) f(x, y, z) = xz e R ⊆ R3 e o solido limitado pelos planos z = 0, z = y + 2 e pelo cilindro

x2 + y2 = 1.

r) f(x, y, z) = x e(x2+y2+z2)2 e R ⊆ R

3 e o solido que esta no primeiro octante e entre as esferasx2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4.

s) f(x, y, z) = e(x2+y2+z2)3/2 e R ⊆ R3 e a bola unitaria.

t) f(x, y, z) =ez

√

x2 + y2 + z2e R =

{

(x, y, z) ∈ R3 : 1 6 x2 + y2 + z2 6 9 ∧ z > 0}

.

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Calculo IIFicha 19

2019/2020

1) Determine a area das regioes indicadas.

a) R ={

(x, y) ∈ R2 : y > |3x| ∧ y + x2 6 4}

b) R ={

(x, y) ∈ R2 : y2 6 x 6 y ∧ 0 6 y 6 1}

c) R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 16}

d) R ={

(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1 ∧ |y| 6 1}

e) R ={

(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 6 36 ∧ x > 0 ∧ y > 0}

f) R ={

(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1 ∧ −2|x| 6 y 6 |x|}

g) R =

{

(x, y) ∈ R2 :x2

a2+y2

b26 1

}

, onde a, b ∈ R

h) R ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1 ∧ y + x− 1 6 0 ∧ y 6 x}

. Escreva uma expressao para a areade R em termos de integrais iterados nas duas ordens de integracao possıveis.

2) Determine o volume dos seguintes solidos.

a) O solido limitado pelo cilindro x = y2 e os planos z = 0 e x+ z = 1.

b) O solido limitado pelas superfıcies z = 0, z = xy e x2 + y2 = 1.

c) O solido limitado pelo paraboloide z = 4− x2 − y2 e o plano z = 0.

d) O solido definido por x2 + y2 6 z 6 x+ y, 0 6 y 6 x e 0 6 x 6 1.

e) O solido limitado pelo paraboloide z = 2x2 + y2 e pela superfıcie z = 4− y2.

f) O cone circular de raio R e altura h.

g) O solido limitado pelas superfıcies x2 + 2y2 = 2, z = 0 e x+ y + 2z = 2.

h) O solido definido por x2 + y2 > 1 e x2 + y2 + z2 6 5.

i) O solido R ={

(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1− x, 0 6 z 6 1− x− y}

.

j) A parte da esfera unitaria centrada na origem situada no primeiro octante.

k) A parte do cilindro elıptico 4x2 + z2 6 4 limitada pelos planos y = 0 e y = 4.

l) A interseccao dos paraboloides x2 + y2 6 z e 18− x2 − y2 > z.

3) Usando coordenadas cilındricas determine o volume da porcao da esfera x2 + y2 + z2 6 a2 que seintersecta com o cilindro x2 + y2 6 ay.

4) Usando coordenadas esfericas determine o volume do cone x2 + y2 6 z2 tal que 0 6 z 6 1.

5) Determine o volume do solido limitado superiormente pela esfera unitaria de centro na origem einferiormente por:

a) o cone z2 = x2 + y2;

b) a superfıcie z = x2 + y2.

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Engenharia AeronauticaEngenharia Electromecanica

Calculo IIFicha 20

2019/2020

1) Parametrize as curvas representadas nas figuras seguintes:

a)

0 1 2 3−10

−1

1

2

3

A

B

b

b

b)

0 1 2−1−20

−1

1

2

3

b b

y = x2

c)

0 1 2 3−10

−1

1

2

3

y = lnx(e, 1)

b

b

d)

b

b

x2 + y2 = 4

0 1 2−1−20

−1

1

2

3

e)

0 1 2 3−10

−1

1

2

3

b

b

b

f)

0 1 2−1−20

−1

1

2

3

b

b (32 ,94)

y = x2

2) Seja r uma parametrizacao da curva Γ. Calcule o integral da funcao φ ao longo da curva Γ,∫

Γ φ,em cada um dos seguintes casos:

a) φ(x, y) = (1 + 4y)−1

2 , com Γ tal que y = x2 e x ∈ [1, 2].

b) φ(x, y) = 3x, com Γ como em 1b)

c) φ(x, y) =√

1− x2 − y2, com Γ parametrizada por r(t) = (0, t), t ∈ [−1, 1]

d) φ(x, y) = xy, onde Γ e o arco da elipse x2 + (2y)2 = 4 situado no 1º quadrante.

e) φ(x, y, z) = x+ y + z + 1, com Γ parametrizada por r(t) = (2t, 3t, 1), t ∈ [2, 3]

f) φ(x, y, z) = x+ y + z, com Γ parametrizada por r(t) = (sen t, cos t, t), t ∈ [0, 2π].

g) φ(x, y, z) = x + z, com Γ constituıda pela interseccao da superfıcie x2 + y2 = 4 com o planoz = 3

3) Utilizando integrais de linha, calcule o comprimento das curvas:

a) r(t) = (cos(2t), sen(2t), 3t), 0 6 t 6 2π b) r(t) = (cos t, sen t, t3

2 ), 0 6 t 6 2π

c) r(t) = (3t− 1, t+ 1, t), 0 6 t 6 1 d) dada por 1b)

e) dada por 1c) f) dada por 1f)

4) Usando integrais de linha, mostre que o perımetro duma circunferencia de raio R e 2πR.

5) Seja r uma parametrizacao da curva Γ. Calcule o integral do campo vectorial F ao longo da curvaΓ,

∫

Γ F , em cada um dos seguintes casos:

a) F (x, y) = (1, 0), com Γ tal que y = x2 e x ∈ [−2, 1].

b) F (x, y) = (x2 − 2xy, y2), com Γ tal que y = x2 e x ∈ [−2, 1].

c) F (x, y) = (x2 − y2, x), com Γ tal que x2 + y2 = 4, de (0, 2) a (2, 0) no sentido anti-horario.

d) F (x, y) = (ey , x), onde Γ e a fronteira da area delimitada pelas curvas x = 1 e y2 = x no sentidohorario.

e) F (x, y) = (x, xy), com Γ o quadrado definido pelos vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), nosentido horario.

f) F (x, y) = (0, xy−2), com Γ a curva 1e).

g) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2), com Γ tal que y = 1− |1− x| e x ∈ [0, 2].

h) F (x, y, z) = (y2, z,−x), com r(t) = (cos t, sen t, et), t ∈ [0, π].

i) F (x, y, z) = (y, ln x, 0), com r(t) = (t2, 2t, t3) e t ∈ [1, 3].

6) Verifique a validade do Teorema de Green nos seguintes casos:

a) D o cırculo de raio ρ centrado na origem e F (x, y) = (xy2,−x2y).b) D a regiao delimitada pelas curvas y = x e y = x2 e F (x, y) = (xy, x).

7) Seja Γ a fronteira do quadrado [0, 1] × [0, 1], orientada no sentido positivo. Usando o Teorema de

Green, calcule

∫

ΓF , onde

a) F (x, y) = (y4 + x3, 2x6).

b) F (x, y) = (x2y, 3yx2).

c) F (x, y) = (3x4 + 5, y5 + 3y2 − 1).

d) F (x, y) =

(

2y + senx

1 + x2,x+ ey

1 + y2

)

.

8) Seja C uma curva fechada simples qualquer e F (x, y) = (y, x). Usando o Teorema de Green, proveque

∫

CF = 0.