Equação de Euler / Bernoulli

Equação de Euler /

Bernoulli

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Equações de Q. Movimento: Linha do Tempo (112 anos)

, Re >> 1

Re ~ 1

20 P g V

Stokes (1850), Re << 1

George Stokes – Inglês (1819 1903)

Balanço: atrito e pressão Ausente: força inércia

Daniel Bernoulli - Suíço (1700 1782)

2P V 2 gz C

Bernoulli (1738)

Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa

L. Euler – Suíço(1707 1783)

DV Dt P g

Euler (1750)

Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa

2DVP g V

Dt

Navier(1823)

Stokes(1845)

Claude Navier – Frances (1785 /1836)

George Stokes – Inglês (1819 / 1903) Balanço: inércia, atrito e pressão

Veja as contribuições de cada autor para se chegar na Eq. N-S no Apêndice I


Escoamento ReL >> 1: Camada Limite & Euler

Região onde o atrito é desprezível.

Eq. Euler é válida, fora da

Camada Limite1

Região onde o atrito (viscoso)

não é desprezível. Eq. Euler não é

válida, dentro da Camada Limite L

d

(1) conceito introduzido por Ludwig Prandtl – Alemão ( 1875 - 1953)

Eq. Euler reduz a ordem da eq. Q.M. de 2 para 1. Satisfaz a uma

condição de contorno para cada variável e não mais duas como na eq.

N-S. Isto implica que a eq. Euler permite deslizamento na parede!


Todos os fluidos reais possuem viscosidade entretanto, há regiões do escoamento onde os efeitos viscosos estão ausentes.

Estes casos ocorrem com freqüência em escoamentos externos com Re elevados.

A viscosidade influi no escoamento somente próximo da parede caracterizando uma camada limite,

Na região externa à parede os termos viscosos são 1/Re vezes menores que os termos inerciais e portanto eles são descartados da equação da quantidade de movimento.

Equação de Euler:

Eq. quantidade de movimento sem atrito

Coordenadas Cartesianas

DV Pg

Dt


Euler: algumas características:

Balanço: Inércia, Pressão (tensão normal) e força g; cisalhamento não

causa movimento do fluido em Euler; ausência de viscosidade!

A ordem da Eq. Q.M. reduziu de 2 1 só atende 1 c.c. para cada

variável para cada direção Euler permite deslizamento na parede!

Esc

oam

ento

s R

eais

x E

ule

r

Fluidos reais possuem viscosidade entretanto para Re>>1 mas:

• Os efeitos viscosos concentram-se numa camada limite;

• Externo à camada limite termos viscosos são O(1/Re) vezes menores que os termos inerciais;


Plano da Aula Parte (I) – Dedução da Eq. Bernoulli • Integração eq. Euler ao longo de uma linha de corrente & aplicações. • Escoamento de Euler irrotacional e a eq. de Bernoulli. • Bernoulli e sua relação com a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica. • Conclusões

Parte (II) – Aplicações da Eq. Bernoulli • Escoamento incompressível • Equações linearizadas (acústica) • Escoamento compressível regime permanente • Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann)

Parte (III) – Aplicações da Eq. Bernoulli • Referencial não inercial (escoamento geotrópico)

Apêndices – • Contribuições de Bernoulli, Euler, Navier e Stokes na equação de N-S • Dedução de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente. • Bernouille e o Teorema de Crocco


Parte I

Seção – I 06

Dedução da Eq. Bernoulli

• Integração eq. Euler ao longo de uma linha de corrente & aplicações.

• Escoamento de Euler irrotacional e a eq. de Bernoulli.

• Bernoulli e sua relação com a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica.

• Conclusões


Equação de Bernoulli é um dos tópicos centrais de mecânica dos fluidos. Sob condições especiais, pode-se integrar a eq. Euler e reduzir a sua solução a relação algébrica:

As aplicações da equação de Euler/Bernoulli ocorrem para Re elevados em escoamentos incompressíveis e compressíveis. De forma aproximada ela possibilita a solução de problemas complexos.

A aplicação requer conhecimento sob quais condições Bernoulli é válido e também do significado de sua constante de integração

Questão: quais condições afetam na uniformidade de C? • C vale ao longo de uma linha de corrente ou para qualquer ponto?

• Qual é a relação C p/ escoam. barotrópico ou processo isoentrópico?

• C altera se o escoamento for rotacional ou irrotacional?

Fluido barotrópico é aquele que a densidade depende somente da pressão, = f(P)

2P V 2 gz C J / kg

Motivação


Seção I-A

Euler em coordenadas ajustadas às linhas

de corrente

DV Pg

Dt

Seção – I 06


Seção I-A

Euler em Coordenadas Ajustadas à Linha de Corrente

A eq. de Euler para um sistema de coordenadas ortogonal local

composto por dois versores: um tangente (s) e outro normal (n) à

linha de corrente

Como V é sempre tangente à linha de corrente, ela não possui

componente normal, i.e. V=(Vs,0n) e V = |V|.

A representação com s e n aplica-se a sistemas 2D. Caso contrário

seria necessário introduzir um versor binormal para definir uma

base ortogonal 3D.

^ ^

^ ^

^ ^

Q

Rc

linha de corrente n

s V

V Vs 0n ˆ, ˆ

^ ^

Seção - I

DV Pg

Dt


Eq. Euler:

direções s e n ^ ^ Q

Rc

n s V

1

2 g z

z1

z2

^ ^

A dedução da decomposição da eq. Euler ao longo de uma linha de corrente nas direções paralela e normal à linha de corrente está no Apêndice II.

Recomendado ao aluno estudar a dedução Euler s e n para melhor compreender seu significado dos termos

Euler normal à linha de corrente:

2

c

V P zn g

R

*

ˆ

n n

2V V

s P gz 0t 2

*ˆ

Euler ao longo linha de corrente:

dP dP

dP , P P P P

* *

e

fluido barotrópico


Integração Euler direção s BERNOULLI

Integrando a equação ao longo de

uma linha de corrente entre os

pontos (1) e (2):

22 2

1 1

V VP gz d d

2 t

*

Q

Rc

n s V

1

2 g z

z1

z2

^ ^

222 22

11 1

1

dP V Vgz d

2 tP

^

Modelo transiente válido só p/ linhas corrente paralelas s/t = 0.

O lado direito muda instante a instante.

^

Seção - I

Resta definir a função barotrópica ρ(P).

22 2

1 1

dP V V gz d d

2 tP


Hipótese de Escoamento Barotrópico: = (P)

Processo reversível (sgen = 0)

Fluido Compressível:

Processo politrópico reversível e gás ideal: = f(P) → P/ n = P1/ 1n

22

1 1

dP P

1P

Para fluidos com apenas um modo de trabalho (compressível), ρ=ρ(P,s) porém, s=cte → ρ=ρ(P)

(+) hipótese será verificada contra 1ª e 2ª leis na seção III Seção - I

Fluido incompressível =const.

22

1 1

dP n P para 1 n

n 1P

1< n < → Q ≠ 0 e = Cp/Cv

n = → Q = 0

‘n’ é determinado conhecendo Q trocado ao longo de cada L.C. mas, raramente esta informação é disponível.

Para estender a aplicação de Bernoulli é feita uma hipótese(+): processo adiabático, Q = 0, ou isoentrópico:


Resumo :Bernoulli ao longo Linha de Corrente (processo reversível e adiabático)

Escoamento Compressível: p1/ρ1 = p2/ρ2

22 2 22

111 1

Transiente

P V Vgz d

1 2 t

Escoamento Incompressível, = cte dp = (p)|1,2

22 2 22

111 1

Transiente

P V Vgz d

2 t

Seção - I

O termo transiente pode variar instante a instante e aplica somente para linhas de

correntes paralelas.

2

Permanente

P Vgz C

1 2

2

Permanente

P Vgz C

2

Compressibilidade ~ Ma2, veja nota nos ‘Slides Complementares’


http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/

2P Vgz C

2

Teorema de Bernoulli:

originalmente proposto:

incompressível, ao longo de

uma linha de corrente e regime

permanente.

Seu sucesso deve-se ao fato que

ela é uma das ‘poucas’ (talvez a

única) expressões analíticas na

área que relaciona velocidade e

pressão de forma genérica.

Nota Histórica

https://archive.org/details/bub_gb_VP5xrx373N4C




Algumas Aplicações Bernoulli s

Avança

^


Alt

ura

Pie

zom

étri

ca T

ota

l 2 2

(1) (2)

V VP Pz z C

g 2g g 2g

Altura potencial

Altura cinética

Altura Total

Altura de Pressão


Manifestação experimental bernoulli

A passagem do ar entre os balões faz com que a pressão diminua e surja uma força radial aproximando os balões;

P = Patm P < Patm

Se soprar ar entre os balões fará com que eles se afastem ou se aproximam?


Escoamento num Vertedouro

A vazão volumétrica Q num

vertedouro pode ser

estimada utilizando

Bernoulli.

(1) V = 0, z = 0 e Patm

(2) V = ?, z = -h e Patm

V2 = 2gh

Patm (1)

(2)

Considerando na seção ‘d’ a velocidade é uniforme

e igual a V2, então:

Q d 2gh

Tu

bo

d

e P

ito

t (1

73

2)

Pressão Estática

Corrente Livre: P, V, T

Manômetro Diferencial

Pressão Estagnação ou

Pressão Total

(1) Corrente

Livre

(2) Estagnação;

V=0

1PP2V ou V

2

1PP 2

12112

2222

2111 V

2

1 P V

2

1 P

P. Estat P. Din P. Estag. = 0


Aplicação: Bernoulli Transiente Reservatório de água com nível constante é conectado a uma tubulação

de descarga com uma válvula na extremidade. Determine como a velocidade evolui com o tempo.

h=cte

D

L

d

1

2 z

2 2 2

1 2 1

dV p V p Vd gz gz 0

dt 2 2

se d<<D → V2>>V1

2

2 2dV V V tL gh 0; C.I.: V(0) 0 Tanh

dt 2 2gh 2L 2gh

0 0


Aplicação: Bernoulli Transiente

a) o tempo para Q atingir um valor constante;

A equação diferencial ordinária nãolinear pode ser resolvida

isolando V de t e integrando:

Denominando vamos encontrar que

O tempo para atingir 99% de V é quando V = 0.99 V , logo:

2

2 2dV VL gh 0 C.I.: V(0) 0

dt 2

V t

2

0 0

2gh VdV dt t 1Ln

2gh V 2L 2L 2 2gh 2gh V

V 2gh

V VLt Ln

V V V

V 0 t 0

V V t

L 1.99 Lt Ln 5.293

V 0.01 V

2 2

dx 1

2aa x

x aLn c

x a

tabela de integrais


Aplicação: Bernoulli transiente

b) como a velocidade evolui com o tempo;

Usando a transformação de Ricatti (link), a EDO de 1a ordem pode ser transformada numa EDO Linear de 2a ordem:

Resolvendo para u e fazendo a transformação inversa para encontrar V, teremos:

2 2

2 2 2dV V VdV ghL gh 0; C.I.: V(0) 0 0

dt 2 dt 2L L

2

2 2

u d u ghV 2L u 0

u dt 2L

V tTanh

V 2L V

RICATTI.pdf


Eq. Euler direção n

A eq. Euler n relaciona com duas

linhas de corrente adjacentes que

possuem os mesmos raios de

curvatura, Rc, entre os pontos (1) e (2): Rc

g

z

z1

z2

2

1

n s V ^

^

2

c

P gzV

R

*

n

Simplificações e definições:

Escoamento incompressível;

Força gravitacional desprezível - n é a distância na direção n.

2

c

P V0

R

n

• Se há L.C. com curvatura há grad. P normal!

• Pressão aumenta na direção do raio de curvatura.

^


Equação de Euler

2V V

s P gz 0t 2

Euler ao longo de uma linha de corrente

Integração

ao longo de uma L. C.

BERNOULL

I

*ˆ

Seção - I

2

c

V P z n g

R

Euler normal a uma linha de corrente

pouca explorada

nos livros textos...

*

ˆ

n n

Para escoamento incompressível,

Para escoamento compressível e

isoentrópico

22

1 1

dP PP P

1P

*

2 2

11

dP 1P P P

P

*


Eq. Euler direção n

Relaciona o gradiente de pressão

normal a linha de corrente à força

centrífuga! Rc

g

z

z1

z2

2

1

n s V ^

^

Simplificações:

Escoamento incompressível;

Força gravitacional desprezível

O vetor ‘n’ é paralelo ao Rc

O vetor ‘n’ mas pode ter o mesmo de Rc ou contrário;

2

c

P V0

R

n

Curvatura das linhas de corrente causa um gradiente de pressão

normal. Corolário: linhas de correntes paralelas não possuem

gradiente de pressão normal!

A pressão aumenta na direção crescente do raio de curvatura!

^

Efeito da curvatura na linha de corrente

Linha de corrente curva - O gradiente de

pressão n ‘empurra’ a partícula para dentro:

força centrípeta. Há um equilíbrio entre os

termos (V2/Rc) e grad P na direção n. c

2

R

VP

d

Pi

Pe

V2/Rc

V

Rc

d

Rc

fluido sólido

c

2

s

c

2

R

V

R

VP

d

Separação centrífuga sólido, < s - O

gradiente de pressão n do líq. é menor

que a aceleração centrífuga do sólido.

Sólido desloca-se radialmente para fora.

^

^

^

Aplicação:


Escoamento secundário: Tea Cup Flow (filme)

Vaso cilíndrico com linhas de corrente circulares e concêntricas.

Devido a curvatura das linhas de corrente P2>P1 pois o gradiente de

pressão deve ‘equilibrar’ a força centrífuga.

Próximo ao fundo do vaso a viscosidade impede que o fluido tenha

movimento tangencial, a força centrífuga diminui e o gradiente de

pressão P2-P1 ‘empurra’ o fluido para o centro do vaso criando a

corrente secundária.

P2 P1

Seção - I

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-14 & 15-EULER_&_POTENCIAL/Tea cup flow.wmv


Escoamento secundário: tubos e canais curvos

A curvatura do tubo estabelece um gradiente de pressão de (2) para (1). No fundo do canal a viscosidade impede que o fluido ganhe velocidade tangencial (não deslizamento) mas o gradiente de pressão impõe o escoamento de (2) para (1)

Seção - I

Formação de curvas e lagos em rios

O escoamento secundário

é um dos mecanismos

físicos que atua nos

fenômenos de:

• Assoreamento das margens de rios,

• Formação de curvas em rios,

• E, eventualmente, formação de lagoas.

Seção - I


SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme)

Diferenças

Área de baixa

pressão

Área de

pressão atmosf

Área Baixa Pressão: linhas de corrente com curvatura, a menor pressão está na sucção. Manifestação de Bernoulli na direção normal.

Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas. A curvatura , não há gradiente de pressão normal às L.C. portanto a pressão é constante.

Conteúdo visto na aula #4

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-3 & 4-VOLUME_CONTROLE/InjecaoxSuccao.mov


Seção I-B

A Equação de Bernoulli é válida somente ao

longo de uma linha de corrente?

Generalização para casos 3D

V PV V g

t

Seção - II 39


Para responder esta pergunta é necessário reescrever a eq. de Euler

com o auxílio das identidades vetoriais:

2*V V

P gz V ; t 2

2V V V 2 V *P P g gz

sendo . Substituindo estas definições em Euler: V

V P

V V gt

(+) por hipótese um processo isoentrópico: p1/ρ1 = p2/ρ2

Seção - II

2V VP gz 0 V=Vs

t 2

*; ˆ

Observe similaridade da eq. acima com Euler ao longo de uma L.C.


Eq. Euler para escoamento irrotacional, =0

Se o escoamento for irrotacional, então sempre é = 0:

Pode-se definir um novo potencial ’ tal que: ’= + ∫h(t)dt.

Substituindo na expressão encontra-se h(t) = f(t) , para que sempre seja verdadeira h(t) = f(t) = Constante, portanto ela não depende de ‘t’:

2dP Vou gz 0

t 2

2dP Vgz C

t 2

O termo destacado entre ( ) pode depender do tempo, por ex:

f(t), mas f(t) é desconhecido e não possui significado físico.

Seção - II

C válido para qualquer ponto no escoamento

2 2* *V V V

P gz 0 P gz 0 t 2 t 2

V

Forma integral de Euler válido para quaisquer dois pontos do domínio.


Ge

ra

çã

o vortic

id

ad

e p

ela

visco

sida

de

Vorticidade gerada pelo

cisalhamento entre camadas

de fluidos. Bernoulli é

aplicável fora desta região.

Vorticidade gerada nas

paredes. Bernoulli aplica-se

somente no núcleo que está

acelerando.

Vorticidade gerada nas

paredes e transportada para a

esteira. Bernoulli é aplicável

fora da região de esteira.

Seção - II

Veja geração de vorticidade por aquecimento nos ‘Slides Complementares’


Equação de Euler regime permanente

A equação de Euler para regime

permanente é:

Se o campo de velocidades for dado por uma função potencial, V = o sistema de

equações pode ser integrado entre quaisquer 2 pontos e o sistema de EDP reduz a

uma relação direta entre pressão, velocidade e força gravitacional:

2

Incompressível

P Vgz C

2

2

Compressível

P Vgz C

1 2

Bernoulli incompressível sem viscosidadeatrito e irrotacional.

Bernoulli compressível, isoentrópico (sem troca calor e reversível – sem

viscosidadeatrito) e irrotacional.

Os campos de velocidade e pressão de Bernoulli satisfazem o sistema de EDP!


Seção I - C

A Relação de Bernoulli com as 1a e 2a Leis da

Termodinâmica

Seção - III

Até o momento Bernoulli foi analisado a partir da

integração da equação de Euler ao longo de uma linha de

corrente e com a hipótese do campo de velocidade ser

gerado por um campo irrotacional;

Pretende-se analisar Bernoulli a partir das 1ª e 2ª leis da

termodinâmica.

45


Bernoulli & 1a Lei para Regime Permanente

Bernoulli –

1a Lei(+) –

2dp Vgz C [J/kg]

2

2 2

eixo

2 1

V VP P Jgz u gz u q w

2 2 kg

Pelo fato que ambas equações possuem:

o as mesmas unidades (Jkg) e

o termos semelhantes

Pode-se imaginar que, sob determinadas condições, estas

equações sejam linearmente dependentes!

(+) ‘u’ é a energia interna específica Seção - III


Bernoulli & 1a Lei q = weixo = 0

d P

Igualando Bernoulli com a 1ª lei e fazendo os estados (1)

e (2) se aproximarem encontra-se:

Considerando que: dh =VdP+Tds, logo para ser verdadeira a

igualdade é necessário que o escoamento seja isoentrópico.

ds=0 valida a hipótese de escoamento barotrópico (seção I)!

é o volume específico (m3/kg)

Bernoulli ↔ 1a Lei

22

2

1

1 Termo Térmico

Termos Mecânicos

VPgz u 0

2

22 22

1

1 1

dp Vgz 0

2

dP identidade

du dh

=


Informações extraídas da 1ª e 2ª lei

termodinâmica para Bernoulli

A 1ª e 2ª lei definem

se Bernoulli é válido

ou não. A vorticidade

define se a constante

C é para cada linha

de corrente ou para

qualquer ponto do

escoamento. Se

esco

amen

to f

or:

com troca calor e irrevesibilidade não há Bernoulli

sem troca de calor e irreversível, Bernoulli válido ao longo de uma linha de corrente. Cada linha de corrente terá uma constante!

sem troca de calor, reversível e irrotacional Bernoulli é válido p/ quaisquer dois pontos

O Apêndice III traz a demonstração do Teorema de

Crocco que está relacionado com este tópico.


Conclusões (I)

Bernoulli requer escoamento isoentrópico, =(P), mas

uniformidade de C depende se o esc. for rotacional ou não!

Válido ao longo de uma L.C.

Regime permanente

Válido p quaisquer 2 pontos

Regime trans. ou perm.

2dP Vgz C

2

2dP Vgz C

t 2

Escoamento Rotacional

Escoamento Irrotacional,

55

Veja demonstração de que Bernoulli irrotacional é coincidente com a 1ª lei

transiente nos ‘Slides Complementares’


Escoamento rotacional -> cada

linha de corrente possui uma

energia total distinta da outra.

Qual é a diferença física entre os escoamentos rotacional e

irrotacional para que C valha somente ao longo da L.C. ou

seja uniforme para qualquer ponto

Escoamento irrotacional ->

todas linhas de correntes

possuem a mesma energia

total.

2VdP gz C

2

C1

C2

C4 C5

C6

C7

C1 = C2 = C3 = C


Conclusões (II) A equação de Bernoulli requer escoamento isoentrópico, portanto o fluido é barotrópico, =(P). Matematicamente é necessário que a viscosidade e a condução térmica do fluido sejam nulas. Isto por definição é um fluido perfeito (ou ideal):

Ds

T k T 0Dt

Considerando um fluido real (µ e k não nulos) e escoamento

irrotacional (ou rotacional) não garante que e T sejam nulos!

Porém assegurando as condições:

i. ausência transferência de calor

ii. restringindo para Re >>1 em regiões onde o efeito da

viscosidade é desprezível, p. ex., exterior C.L., sem separação

Então Ds/Dt 0 garante a aproximação de Bernoulli!

0 0

≠

Veja definição de nos ‘Slides Complementares’


Fim da parte I


PARTE II

Modelando fenômenos com Bernoulli:

i. Escoamento incompressível

ii. Equações linearizadas (acústica)

iii. Escoamento compressível 3D e regime permanente

iv. Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann)

v. Referencial não inercial (escoamento geotrópico)


Equação de Massa e Q. Movimento

Os campos de V e P de Euler são determinados, de forma geral,

resolvendo-se simultaneamente as eqs. da massa e de Bernoulli :

O sistema traz uma grande simplificação se o escoamento for

irrotacional. A eq. q. mov. foi reduzida para uma eq. escalar e a

solução de P e V depende agora de suas equações escalares!

2*

*

V V 0 et

VP gz C

t 2

onde P P dP


O potencial de velocidade,

Note que se o campo de velocidades então ele sempre satisfaz

a condição de irrotacional (necessário para Bernoulli) porque:

Além disto, se as componentes de velocidades podem ser

definidas pela função potencial como:

A função potencial de velocidade será o assunto da próxima aula.

V 0

V

(polar) r

;rr

V

o)(cartesian jy

;ix

V

V


A velocidade do som ‘c’ é uma propriedade do material (sólido,

líquido ou gás). ‘c’ é genericamente definido em função do módulo

de elasticidade K; c2 = K/ ‘sendo K:

Substituindo na definição de c, encontra-se c2 = dP/d|s.

Para gases, considera-se que dP/d|s segue um processo

isoentrópico. Para gás perfeito: c2 = kRT.

A velocidade do som

velocidade de um pulso de pressão com intensidade infinitezimal

1 dP dPK ou K

d d


Revisitando eq. massa e q. movimento

mas, P/ |s = c2 , V=, expressando /t e com P*:

*

*

propriedades definições e

=

*

*

Pt P t P

Pts sdP

P PdP s s

t

t

P

dPP

PP

2* *

2 *

2 2

Eq. massa Eq. Bernoulli

1 P P0 e P gz C

c t c t 2

As eqs. definem e P* para um escoamento irrotacional e isoentrópico. Para resolvê-lo é necessário definir as condições de contorno.

O sistema de eqs. é não linear e não possui uma solução geral entretanto, podem ser extraídas soluções aproximadas.

* 212

Eq. massa Eq. Bernoulli

t V V 0 e t P V gz C

Substituindo as expressões acima nas eqs. massa e Bernoulli:


Bernoulli

A constante ‘C’ passa a ser válida para qualquer região do domínio:

dP .gz C

t 2

Esta equação pode ser simplificada para dois casos:

O 1º caso é para regime permanente onde o potencial não varia com o

tempo e há um balanço entre pressão, velocidade:

O 2º caso ocorre ligado a grandes pressões presentes no início do

escoamento incompressível gerado pelo movimento impulsivo de uma

fronteira (Batchelor, sec 6.10, pg 473):

Impacto de esferas em água e cavitação (https://www.youtube.com/watch?v=mXaltOAVWL8)

dP .gz C

2

dP é o impulso onde Pdt

t

https://www.youtube.com/watch?v=mXaltOAVWL8

https://www.youtube.com/watch?v=mXaltOAVWL8


Casos aproximados

a) Fluidos incompressíveis ( = constante)

b) Velocidade V/c << 1, equação acústica

c) Regime permanente 3D e compressível

d) Unidimensional, compressível e transiente

A seguir será analisado cada um dos casos

particulares.

2* *

2 *

2 2

Equação da massa Equação de Bernoulli

1 P P0 e P gz C

c t c t 2


(a) Fluido incompressível

Se incompressível, dP/d assim, c , logo toda

informação do contorno é transmitida para todo domínio

instantaneamente. Neste caso massa reduz para:

2 0

2

PC gz

2 t

O potencial está desacoplado da pressão. Resolve-se a

equação de Laplace e depois determina-se a pressão por

meio de Bernoulli:

2* *

2 *

2 2


1 P P0 e P gz C

c t c t 2

Este será o assunto da próxima (e última) aula


(b) Acústica (i)

O valor instantâneo é a superposição de um valor médio (0) somado a

uma flutuação (‘) ao redor da média: P=P0 + p’; =0 + ’ e V=V0 + u’

onde p’/P0 = ’/0 = u’/V0 << 1.

Adicionalmente, = 0+ ’ e u’= d’/dx e

2* *

2 *

2 2


1 P P0 e P gz C

c t c t 2

*

0 0

P p 'dP 1 P dP

Sabendo que V0/c <<1; reduz

massa e Bernoulli para:

2*

2 *

2

1 P0 e P gz C

c t t 2

Substituindo P* = (P0+p’)/0 e = 0+ ’ encontra: 2

2 0 00

0

2

2

0 0

P Vmédia 0 e C

21 p ' ' p '

flutuação ' 0 e 0 c t t


(b) Acústica (1D)

2 22

2 2

' 'c 0

t x

2

2

0 0

Eq. flutuação massa Eq. flutuação Bernoulli1 p ' ' p '

' 0 e C c t t

Inserindo p’ de Bernoulli na na eq. massa encontra-se:

Aplicando /t na massa e

substituindo /t Bernoulli:

2 22

2 2

p ' p 'c 0

t x

p pp ' f (x ct) g (x ct)

e

' f (x ct) g (x ct)

Um caso 1D, e a vel. do som ‘c’ = constante e apresenta a solução

geral de D’Alembert

Propagação som


(b) Acústica 1D

i t kx i t kx iq

p p

p ' Ae Be ; e Cos q iSen q

A pressão acústica p/ uma onda plana é:

A e B são as amplitudes das ondas que deslocam ao longo das direções x+ e x-, respectivamente; e k são a frequência e o número de onda tais que ( /c) = k

O potencial vem

de Bernoulli:

0 0

' p ' 10 ' p 'dt

t

0 0

p p '

i i

O campo de velocidades

vem do potencial

0 0

d ' p p u' =

dx c c


(c) Fluido compressível, 3D e regime permanente (i)

Para regime permanente as eqs. Massa e Bernoulli reduzem para:

Substituindo a definição de P* de Bernoulli na massa chega-se a um

sistema que depende somente de :

2

2

2 12c

0

Expandindo em termos de a equação acima chega-se à equação do

potencial de velocidade:

22 2y x y y zx z x z

xx yy zz xy xz yz2 2 2 2 2 2

2 221 1 1 0

c c c c c c

‘c’ também é variável e depende de !

2*

2 *

2


P 0 e P C

c 2


(c) Fluido Compressível, 3D e Regime Permanente (ii)

Considerando um estado de estagnação, ‘0’, pode-se definir que:

2 2 2 2 2 2 2

0 0 x y z

1 1c c V c

2 2

Como ‘c0’ é constante, a eq. fornece ‘c’ em função de .

A equação acima está acoplada com a eq. abaixo:

Estas duas equações devem ser resolvidas simultaneamente sujeitas as

condições de contorno. Estas equações são nãolineares válidas para

escoamentos irrotacionais, isoentrópicos em regimes subsônicos,

transônicos e supersônicos.

Note que para escoamento incompressível, c ela reduz p/ 2=0

22 2y x y y zx z x z

xx yy zz xy xz yz2 2 2 2 2 2

2 221 1 1 0

c c c c c c


Aplicação em M < 1 e M > 1 sem choques

X-15 model in

supersonic wind

tunnel

At 0.7M no shock has formed, implying that Mach

critical is greater than 0.7. In this and subsequent

photographs, the wake is visible as a horizontal dark line

starting at the trailing

The current equation does not apply!

The existence of shocks avoid the use of isentropic flow, therefore one has to use mass,

momentum and energy equation.

Reentrance Mercury

program

22 2

2 2 2 2 2 2

2 221 1 1 0

y x y y zx x zzxx yy zz xy xz yz

c c c c c c


(d) Escoamento 1D compr. & trans. (i)

O sistema de equações não lineares definido pela massa e Bernoulli é:

2* *

2 *

2 2

MASSA BERNOULLI

1 P P0 e P gz C

c t c t 2

Mas = (x,t), u = /x, e multiplique Bernoulli c. ( )/x:

* 2 *2

2

2 *

2

P Pc 0 Massa

t x x x

P0 Bernoulli

t xc

x xc c

x x

1 2 3

4 5 6

Somando/subtraindo termo a termo eq. Bernoulli massa:

*

* * 2

2

D x DtDP Dx

P Pc c c 0

t x x t x x x

1 3 6 4 5 2 *1 DP Du dP

0 ou du 0c Dt Dt c


(d) Escoamento 1D compr. & trans. (ii)

A eq. deve ser integrada num caminho em (x,t).

Entretanto, x e t possuem uma dependência, de tal forma que:

du dP c 0

du = du dt u c du dx dtdx dt u c onde u = x de tal forma

dp = dp dt u c dp dx dt

Integrando nas

linhas características c+ e c-

definidas por :

du dP c 0

dx dt u cc

dPJ u

c

Ao longo de cada curva

característica o valor J+/- é

constante!


(d) Escoamento 1D compr. & trans. (iii)

2 ao longo de cada característica

1

c

dPJ u u c

c

O valor de u ± ∫dp/c são os invariantes de Riemann ao longo das

curvas características.

Pode-se mostrar, utilizando as identidades para gás perfeito :

(p/p1)=(/1); (c/c1)=(p/p1)

(-1)/2 e c2= P/, que os invariantes podem

ser expressos pelas velocidades u e c para gases perfeitos.


(d) Escoamento 1D compr. & trans. (iv)

Os invariantes de Riemann são transportados sem variação dos seus

valores ao longo de suas linhas características. A eq. Euler/Bernoulli

junto com a massa permitem uma solução tipo ‘onda’:

A forma das eq. acima

constituem a base do método

das características.

2 2J u c 0 em dx dt u c e J u c em dx dt u c

1 1

x

t p

J+

c1, u1 c2, u2

p p 1 1

p p 2 2

1 1 2p 1 2 1 24 4 1

1 1p 1 22 2

2 2u c J u c

1 1

2 2u c J u c

1 1

c J J c c u u

u J J u u

J-


Fim da parte II


Referencias não Inerciais

(forças em sistemas rotativos)

Assista ‘Rotating Flows’ e leie também ‘Film

Notes’

PARTE III

http://www.youtube.com/watch?v=Ans3tnvMyTk&list=PL0EC6527BE871ABA3&index=19&feature=plpp_video



http://web.mit.edu/hml/ncfmf/19RF.pdf




Ref. não-inercial x não uniformidade de C

Forças de campo não conservativas, p. exemplo força de Coriolis

num referencial rotativo não inercial, fazem com que Bernoulli não

seja válido para qualquer ponto:

A força centrífuga é conservativa pq. pode ser expressa por um

potencial (gradiente), semelhante à força de campo:

Neste caso Crocco mostra que C não é uniforme apesar de = 0 :

2

centrifuga coriolis

V Vgz P V R 2 V

t 2

22

centrifuga

R2

1R

R

R’

2

2 2

coriolis

C

V 1gz p R V 2 V 0

2 2

0


Escoamento geostrópico

A razão entre força de inércia e Coriolis define o n. de Rosby

Escoamento dominado pela força de Coriolis, típico na atmosfera, ocorre quando Ro << 1, portanto a eq. de Euler:

reduz para:

1. O gradiente de pressão é normal as linhas de corrente!

2. A pressão é constante ao longo de uma linha de corrente!

p 2 V

V

LV

Coriolis

InérciaRo

2

22 2

coriolis

V 1gz p R 2 V 0

2 2


Consequência esc. Geotrópico na

circulação da atmosfera do planeta

O gradiente pressão varia normal as linhas de corrente.

Linhas isobáricas coincidem com as linhas de corrente (direção dos

ventos),

Quanto maior for P maior a velocidade dos ventos

p 2 V


Bibliografia

1. Anderson, J.D., 1982, Modern Compressible Flow, McGraw Hill.

2. Batchelor GK, 1967, An Introduction to fluid dynamics, Cambridge Un.

Press.

3. Darrigol, O., 2009, Worlds of flow: a history of hydrodynamics from

Bernoulli to Prandtl, Oxford Press.

4. Joseph, D.D., 2006, Potential flow of viscous fluids: Historical notes,

IJMF, 32, pp. 285–310.

5. Lamb H, 1932, Hydrodynamics, Dover.

6. Lighthill, J., 1986, An informal introduction to theoretical fluid

mechanics, Oxford Press

7. Prandtl L. and Tietjens O.J., 1934, Fundamentals of hydro and

aeromechanics, Dover.

8. Rosa, E.S.,2002, Formas diferenciais eqs. transporte, Apostila http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS%20E%20MINI-CURSOS/EQ%20TRANSPORTE/EQ%20TRANSPORTE.pdf

9. Shapiro AH, 1972, The NCFMF book of film notes, MIT Press.

10. Wiki-book - fundamentals of acoustic

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/EQ TRANSPORTE/EQ TRANSPORTE.pdf













http://en.wikibooks.org/wiki/Acoustics/Fundamentals_of_Acoustics






Nomenclatura

Variáveis

C – constante de Bernoulli

c – velocidade do som

g – vetor acel. gravidade

h – entalpia específica h – cota na direção normal à L.C.

k – versor paralelo eixo z

l – comprimento da L.C.

L.C. – linha de corrente

Ma – número de Mach

n – versor normal a L.C.

P – pressão

Rc – raio de curvatura

s – versor tangente a L.C.

s - entropia

t – tempo

u – energia interna específica

V – vetor velocidade v – volume específico

z – cota vertical

Símbolos gregos

- função dissipação viscosa

- razão calores específicos

- função potencial

- viscosidade dinâmica

- densidade

- vetor vorticidade

Símbolos matemáticos

- operador nabla xi

x – produto vetorial

^

^

^


FIM


Apêndices

I. A contribuição de Bernoulli, Euler, Navier e Stokes para se

chegar na equação de N-S

II. Dedução de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente

partindo da equação de Euler.

III. Bernouille e o Teorema de Crocco


Apêndice I

A contribuição de Bernoulli, Euler, Navier e

Stokes para se chegar na equação de N-S


Contribuição de Bernoulli (1732)

A relação de Bernoulli foi originalmente desenvolvida baseado em princípios de conservação de energia cinética e potencial em analogia aos trabalhos de D’Alembert sobre pêndulos compostos.

Daniel Bernoulli, considerando o fluido como partículas Bernoulli propõe a conversão de energia cinética e potencial para calcular a velocidade.

Daniel Bernoulli, introduz o conceito de pressão para quando o fluido é desacelerado para velocidade zero!

Contribuição de Euler (1750)

Euler aponta que a base para a mecânica do contínuo em corpos continuamente deformáveis é a 2ª lei de Newton aplicada a elementos infinitezimais.

Euler introduziu a força de superfície na 2ª lei de Newton e a identificou como pressão.


Contribuição de Navier (1823)

A resistência ou atrito do fluido era então desconhecida. Navier, inspirado nos trabalhos sobre elasticidade em corpos sólidos, faz uma analogia para fluidos e propõe o tensor de tensões para corpos deformáveis.

A contribuição de Stokes (1845/1850)

Stokes decompôs o tensor de deformação em parte simétrica (dilatação e deformação) e antissimétrica (rotação) e associou a tensão a parte simétrica.

Stokes resolve o problema do escoamento lento numa esfera desprezando os termos inerciais


Apêndice II

Dedução da integração da Eq. de Euler ao longo de uma

linha de corrente e também de sua componente normal à

linha de corrente.

DV Pg

Dt

Q

Rc

linha de corrente n

s V

V Vs 0n ˆ, ˆ

^ ^


Eq. Euler em coordenadas ajustadas

à linha de corrente

A eq. de Euler para um sistema de coordenadas ortogonal local composto por dois versores: um tangente (s) e outro normal (n) à linha de corrente

Como V é sempre tangente à linha de corrente, ela não possui componente normal, i.e. V=(Vs,0n) e V = |V|.

A representação com s e n aplica-se a sistemas 2D. Caso contrário seria necessário introduzir um versor binormal para definir uma base ortogonal 3D.

^ ^

^ ^

^ ^

Q

Rc

linha de corrente n

s V

V Vs 0n ˆ, ˆ

^ ^

Seção - I


Componentes da eq. Euler: aceleração

A derivada total :

2

Termo com Termo com Termo na derivada t ? derivada ? direção s

DV V V s sV s V V

Dt t t

ˆ

ˆ ˆˆ

VsDVVs,0n s, n Vs,0n

Dt t n

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Pode-se determinar a derivada do versor s com relação ao

comprimento de arco ‘l’.

Seção - I

DV

Dt

Abrindo as derivadas e agrupando os termos :

Vs

t

ˆ

V Vs

ˆ


Componentes da eq. Euler: a derivada

Sistema de coordenadas local, a posição de s varia ao longo da curva que possui raio de curvatura Rc:

A taxa de variação do versor s com o arco l é um vetor que aponta

na direção normal, sentido negativo, cujo módulo é o inverso do raio

de curvatura da linha de corrente!

ˆ s

Rc

Rc

s

s

dl

Q

ss sin

2 2

d

c

s 1n

R

d

d

logo:

para

->0, c

sR

dd

Seção - I

s

s

sd

Q

2

^


Componentes da eq. Euler: aceleração

Escoamento transiente :

• linhas de corrente paralelas → o módulo V pode variar com o

tempo mas a direção do versor s não, portanto, s/t = 0.

• linhas de corrente com curvatura → a direção do versor s pode

mudar com o tempo, s/t 0 e seu valor não pode ser

determinado à priori.

2

c

DV V V V sV s n V

Dt t R t

ˆ

ˆ ˆ

^ ^ A aceleração nas direções s e n:

Escoamento permanente, s/t = 0 ^

Seção - I

^

^

^ ^


Componentes da eq. Euler: acel. g

As componentes da aceleração da gravidade nas direções s e n são:

s ng g s + g n ; onde g gk ˆˆ ˆ

As componentes gs e gn passam a ser:

dz dzg g s g n

d d ˆ ˆ

n

Produtos escalares expressos por meio da

taxa de cota z em função de ‘s’ e de ‘n’:

k s cos 2 dz d

k n cos dz d

ˆ ˆ

ˆ ˆ

n

Rc

linha de corrente

n s V ^ ^ g

k ^

z Q

Seção - I

s ng g k s , g g k n ˆ ˆˆ ˆ

dzd dn

z

z

Q

n s


Componentes da eq. Euler: pressão P*

O termo P/ para ser expresso nas direções s e n é necessário que seja uma função apenas da pressão;

Isto é genericamente denominado por escoamento ‘Barotrópico’ onde = f(P) a ser definida posteriormente;

A transformação permite trabalhar com notação mais compacta!

P P PP s n

* *

*ˆ ˆ

n

dP dP

dP e P P P P

* *

P P P

*

^

As componentes nas direções s e n são:

^ ^

Seção - I


Eq. Euler: direções s e n

P gz

V Vs V

t

*

ˆ

Eq. de Euler ao longo da linha de corrente:

2

c

V P zn g

R

*

ˆ

n n

Eq. de Euler normal à linha de corrente:

^ ^

Seção - I

2V V

s P gz 0t 2

*ˆ

ou


Integração Euler direção s BERNOULLI

Integrando a equação ao longo de

uma linha de corrente entre os

pontos (1) e (2):

22 2

1 1

V VP gz d d

2 t

*

Q

Rc

n s V

1

2 g z

z1

z2

^ ^

222 22

11 1

1

dP V Vgz d

2 tP

^

Modelo transiente válido só p/ linhas corrente paralelas s/t = 0.

O lado direito muda instante a instante.

^

Seção - I

Resta definir a função barotrópica ρ(P).


Hipótese de escoamento barotrópico: = (P)

Processo reversível (sgen = 0)

Fluido Compressível:

• processo politrópico reversível e gás ideal: = f(P) → P/ n = P1/ 1n

22

1 1

dP P

1P

Para fluidos com apenas um modo de trabalho (compressível),

ρ=ρ(P,s) porém, s=cte → ρ=ρ(P)

(+) hipótese será verificada contra 1ª e 2ª leis na seção III Seção - I

Fluido incompressível =const.

22

1 1

dP n P para 1 n

n 1P

1< n < → Q ≠ 0 e = Cp/Cv

n = → Q = 0

‘n’ é determinado conhecendo Q trocado ao longo de cada L.C. mas,

raramente esta informação é disponível.

Para estender a aplicação de Bernoulli é feita uma hipótese(+):

processo adiabático, Q = 0, ou isoentrópico:


Resumo:Bernoulli ao longo Linha de Corrente (processo reversível e adiabático)

Escoamento Compressível: p1/ρ1 = p2/ρ2

22 2 22

111 1

Transiente

P V Vgz d

1 2 t

Escoamento Incompressível, = cte dp = p|1,2

22 2 22

111 1

Transiente

P V Vgz d

2 t

Seção - I

O termo transiente pode variar instante a instante e aplica somente para linhas de

correntes paralelas.

2

Permanente

P Vgz C

1 2

2

Permanente

P Vgz C

2

Compressibilidade ~ Ma2, veja nota nos ‘Slides Complementares’

Apêndice III

Bernouille e Teorema de Crocco


Seção I - C

Bernoulli a partir da 1a e 2a Leis da Termodinâmica e o

Teorema de Crocco

Seção - III

Até o momento Bernoulli foi analisado a partir da

integração da equação de Euler;

Pretende-se analisar Bernoulli a partir das 1ª e 2ª leis da

termodinâmica.

45


Bernoulli & 1a lei para regime permanente

Bernoulli –

1a Lei(+) –

2dp Vgz C [J/kg]

2

2 2

eixo

2 1

V VP P Jgz u gz u q w

2 2 kg

Pelo fato que ambas equações possuem:

As mesmas unidades (Jkg) e

Termos semelhantes

Pode-se imaginar que, sob determinadas condições, estas

equações sejam linearmente dependentes!

(+) ‘u’ é a energia interna específica Seção - III


Bernoulli & 1a Lei q = weixo = 0

d P

Igualando Bernoulli com a 1ª lei e fazendo os estados (1) e

(2) se aproximarem encontra-se:

Considerando que: dh =VdP+Tds, logo para ser verdadeira a igualdade é necessário que o escoamento seja isoentrópico.

ds=0 valida a hipótese de escoamento barotrópico (seção I)!

é o volume específico (m3/kg)

Bernoulli ↔ 1a Lei

22

2

1

1 Termo Térmico

Termos Mecânicos

VPgz u 0

2

22 22

1

1 1

dp Vgz 0

2

dP identidade

du dh

=


Bernoulli: um caso particular da 1ª Lei Quando o processo for:

1. Reversível sgen = 0

2. Sem trabalho eixo w =0

3. Sem Transf. de Calor sin = sout

1ª Lei e Bernoulli e são concidentes:

Resta esclarecer dependência da vorticidade c/ 1ª lei. C está

relacionada c/ a uniformidade das propriedades nas fronteiras.

Seção - III

2 2VP dP Vgz u gz C

2 2

ao longo L.C.→ ω ≠ 0

qualquer pto → ω = 0

Releitura Bernoulli: a energia

total se conserva!

Para fluidos com densidade constante calor e energia mecânica ficam desacoplados,

veja discussão nos ‘Slides Complementares’.


Teorema de Crocco (1937)

Escoamento em regime permanente e isoentrópico:

C T s V

22 VdP V P gz = gz u C

2 2

Aplicando no lado direito da expressão chega-se ao C: 21 P V

C P u gz2

2

*T s V

V P gz 2

Luigi Crocco – Italiano (1908/ 1986)

(+) não é apenas função de P;

(+)

C f s,

te s c & 0

s ≠ cte Bernoulli não existe

s = cte C válido ao longo L.C.

C válido qualquer ponto

C é um parâmetro que depende de s e :


Uniformidade de C ao longo linha lorrente

Multiplicando-se ambos os lados

da eq. de Crocco pelo arco da linha de corrente, d l

O 2º termo é nulo pq é sempre

normal à linha de corrente! Resta:

V

V

dl V

Para que C seja uniforme (C 0) ao longo de uma linha de corrente

é necessário escoamento isoentrópico.

C d T s d

0

Seção - III

C T s V d d d


Slides Extras


Seção I - D

Estudo de casos particulares

Fluido com densidade constante

Escoamento transiente


Bernoulli para fluido com densidade constante

Em um processo reversível com um fluido =cte a transf. de calor

altera a energia interna mas a energia mecânica (P, V e g) permanece

cte porque não há trabalho de compressão. Em primeira ordem(+) as

relações entre calor e energia mecânica ficam desacopladas:

Tds du pd cte. du Tds q

Neste cenário pode-se mostrar que a equação da energia mecânica

coincide com a eq. Euler. Partindo da eq. energia mecânica:

(+) a transf. calor pode alterar as prop. transporte e, indiretamente, alterar campo de escoamento

2V V PV gz 0

t 2

K V VV K V P V g 0, onde K=

t 2

Substituindo K = V.V/2 e considerando cte. :

Mas V= 2P V

gz Ct 2


Bernoulli para fluido com densidade constante, II

Para um fluido com densidade constante as restrições para aplicação

de Bernoulli ficam mais relaxadas daquelas para o fluido

compressível.

Quando o processo for:

1. Reversível sgen = 0 (sem atrito, = 0)

2. Sem trabalho eixo w =0

Bernoulli e eq. Energia mecânica são concidentes mas a uniformidade

de C depende se há ou não transferência de calor e vorticidade:

2P Vgz C

2

ao longo L.C.

qualquer pto → ω=0

→ ω≠0


Análise para Regime Transiente


Demonstração Euler Transiente ↔ 1ª Lei

Formalmente não foi demonstrado se Euler transiente e compressível

satisfaz a 1ª lei. A igualdade será demonstrada partindo da 1ª lei,

com as hipóteses: irrotacional, reversível e adiabático para chegar em

Euler transiente.

1a Lei – s/ transf. calor e s/

efeitos viscosos (função

dissipação nula):

2 PVD V Dug V

Dt 2 Dt

Para um processo

isoentrópico: 2 2

Ds Du P D Du P DT 0

Dt Dt Dt Dt Dt

Subst. Du/Dt e usando o

fato que Dρ/Dt= - ρ.V

2D V PV g V 0

Dt 2

A equação acima é identificada como de transporte da En. Cinética.

Ela é obtida multiplicando por V a eq. Navier Stokes


Demonstração Euler Transiente ↔ 1ª Lei (cont.)

Colocando em

evidência V:

2V V dPgz 0

t 2

Subst. V= chega-se a: 2V dP

gz 0t 2

Ou exatamente na forma

de Euler transiente dP

gz Ct 2

Abrindo os termos c/

K, e expressando em

2V V PV V V V gz 0

t 2

Documents

Equação de Euler / Bernoulli