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Problema de muitos corpos

Eric C. AndradeUniversidade de São Paulo @ São Carlos

IFSC 10/06/2016

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O que é?● Comportamento coletivo de muitas partículas;● Dinâmica das partículas pode ser clássica (Newton/Einstein) ou quântica (Schrödinger/Dirac);

● Estado fundamental (órbitas): qual é o estado de menor energia?;

● Excitações e estabilidade do estado fundamental;● Resultados analíticos escassos:

– experimento– modelos (criatividade) – cálculo numérico!

Lema pessoalMais é diferente

“O comportamento coletivo de um sistema de muitas partículas não pode ser entendido por uma extrapolação direta do comportamento de seus constituintes”

Física → Química → Biologia … → → Psicologia →Ciências Sociais

Hierarquia A → B não implica em “B é apenas A aplicado”

P.W. Anderson, Science 177, 393 (1972)

Lema pessoal

Mais é diferente, um resumo

Afirmação: As pessoas ricas são diferentes de nós.

Resposta: Sim, elas têm mais dinheiro…

P.W. Anderson, Science 177, 393 (1972)

Problema de 1 corpo

● Uma partícula num potencial externo

1 mínimo 2 mínimos degenerados

Mínimo?

Partícula parada em Vmin

Oscilações ao redor de Vmin

Problema de 1 corpoAlgoritmo geral de solução: independente de V, condições iniciais, dinâmica …

➢ Encontre o mínimo do potencial externo: Vmin

➢ Se E = Vmin: sem movimento (estado fundamental)➢ Se E > Vmin: pequenas oscilações ao redor do mínimo (excitações) devido à energia cinética

Problema de 2 corpos

● Duas partículas interagentes?Terra e Sol

● Como MS >> MT,

Considere o sol parado


● Duas partículas interagentes?Terra e Sol

● Mínimo?

Digressão: forças centrais

● Forças centrais não produzem torque →momento angular conservado órbitas →

planares


● Potencial efetivo:

● Oscilações ao redor do mínimo: órbitas estáveis


Sol, Terra e Lua

● Dois problemas de um corpo acoplados. Não há solução geral. ● Complicação extra. Potencial de longo alcance: ● Sabemos que a órbita é estável, contudo. Modelos, aproximações e cálculo numérico.

Problema de um corpo: Terra (Lua) no campo do Sol

Acoplamento do movimento Terra-Lua

Problema de N corpos

● Há esperança de alguma solução?● Certamente, há muitas tentativas…

60's 70's 80's 2015

… …

Exemplo: magnetismo

Exemplo: magnetismo

● Consideramos apenas o grau de liberdade do spin do elétron

● Energia cinética dos elétrons nula K=0● Estado fundamental dado por Vmin

● Interação spin-spin de curto alcance● Magnetismo em sólidos

Métodos

● Cálculos numéricos efetuados via FORTRAN (compilador Intel)

● Programação científica essencial em física teórica

– FORTRAN, Mathematica, C, C++, Python, …● Bom entendimento de cálculo numérico

Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing

Métodos

● Gráficos e figuras via Mathematica.

– Vantagens: Efetua cálculos numéricos e analíticos. Produz figuras de alta qualidade;

– Desvantagens: Proprietário (a USP fornece licença a todos nós);

● Aprendizagem sua ou de equivalente obrigatória a todos estudantes de física;

– xmgrace, matplolib, gnuplot, MATLAB, origin, …

Redes cristalinas

● Arranjo periódico dos átomos● Os spins vivem nos vértices dessas redes. Redes 2D por simplicidade

Quadrada

Kagomé

Favo de mel

Triangular

Rede quadrada

● Cada sítio possui quatro primeiros vizinhos: z=4● Caracterizada por seu comprimento L● Número de sítios N=LXL

● Rótulo do sítio:

i=(m1+1) + m2*L● Fácil de programar!

L

L

(0,0) (1,0)(2,0)

(0,1) (1,1) (2,1)

(3,0)

(3,1)

i=1 i=2 i=3 i=4

a=1a=1

L

L

Rede triangular

● Cada sítio possui seis primeiros vizinhos: z=6● Caracterizada por seu comprimento L● Número de sítios N=LXL

● Rótulo do sítio:

i=(m1+1) + m2*L● Computador: rede “quadrada”

(0,0) (1,0) (2,0) (3,0)i=1 i=2 i=3 i=4

(0,1) (1,1) (2,1) (3,1)

Modelo de spins: Ising

● Modelo de Ising (Lenz 1920, Ising 1925, Onsager 1944)● Interação entre as componentes z dos spin eletrônico● Modelo definido em uma rede. Acoplamento J entre primeiros vizinhos <ij>

● J < 0 Ferromagnetismo; J > 0 Antiferromagnetismo

ou

ou

Modelo de spins: Ising

● Qual é o estado fundamental?● Minimização da energia● Vínculo:● Campo local em i

L

L

J

JJ

J

Algoritmo de minimização

● Comece com um estado aleatório– jogue uma moeda para cada sítio

● Tente inverter o spin de um sítio: – Se E < 0 aceite. Se E > 0 rejeite

● Passe para o sítio vizinho. Repita até convergir: – |Snew- Sold| < tol– Nsteps > Nmax

→

Algoritmo de minimização

● Passo mais custoso é o cálculo de E● Interações são de curto alcance

● Só depende do campo local em i!

Rede quadrada com J < 0

Ferromagnetismo

ou


● Configuração aleatória com L=10 (E=-0.04|J|N)

Cara → Coroa →

Gerador de números aleatórios: 0 < r < 1Distribuição uniforme:

Período: 219937 - 1

10

P(r)

r


● Configuração após uma varredura na rede

Varredura: tente uma inversão em cada um dos N spins da rede.

● Se E < 0 aceite. Se E > 0 rejeite

Usamos o número de varreduras Nvar como nosso número de passos do algoritmos


● Configuração após duas varreduras na rede





● Configuração após três varreduras na rede





● Configuração após quatro varreduras na rede

O algoritmos convergiu para um dos dois possíveis estados fundamentais com energia E=-0.5N|J|






● O que está por trás de nosso triunfo?● Física: no estado fundamental, os spins estão alinhados antiparalelamente com o campo local

● Algoritmo equivalente: antialinhe o spin com o campo local

Rede quadrada com J > 0

Antiferromagnetismo


● Mesma configuração aleatória para L=10

Buscamos agora o estado fundamental para essa situação antiferromagnética



● Novamente: E=-0.5N|J|● Problemas equivalentes J<0 (FM) e J>0 (AFM)

● Rede bipartite: vermelho é vizinho só de azul e vice-versa

Modelo de Ising na rede quadrada

● O procedimento de minimização obteve os estados fundamentais ferromagnético e antiferromagnético: E=-0.5N|J|

J<0 J>0

Rede triangular com J < 0

● Configuração aleatória com L=11 (E=-0.06|J|N)

Cara → Coroa →

Gerador de números aleatórios: 0 < r < 1Distribuição uniforme:

Período: 219937 - 1

10

P(r)

r


● Configuração após cinco varreduras na rede

O algoritmos convergiu para um dos dois possíveis estados fundamentais com energia E=-0.75N|J|





Rede triangular com J > 0Repetimos os passos da rede quadradaa)J < 0 (FM)b)J > 0 (AFM)Para FM igual. AFM? Olhe para um único triângulo…

FrustraçãoConsequências?

➢ Energia➢ Degenerescência

?EAFM=-J/4

EFM=-3J/4Não é bipartite!

Rede triangular com J > 0

● Configuração aleatória com L=11 (E=0.06|J|N)

Novamente, começamos com uma configuração aleatória


● Configuração após algumas varreduras na rede

O algoritmos encontra um dos vários possíveis estados fundamentais com energia E=-0.25N|J|



N/3 sítios possuem campo local nulo!Tanto faz se apontam para cima ou para baixo. A energia não muda: E=-0.25N|J|



Mínimo “achatado” ou “plano”Degenerescência extensiva (depende do # sítios N):

Antiferromagnetos frustrados

● Frustração domina a física– Geometria (topologia da rede) importa

● Vínculos locais insatisfeitos número muito →

grande estados fundamentais possíveis– Degenerescência extensiva e teorias de gauge

● Estudar o estado fundamental e as excitações de antiferromagnetos frustrados é fronteira de pesquisa em matéria condensada!

Conclusão

● Sistemas de spins fornecem um exemplo “simples” de sistemas de muitos corpos– Modelos e experimentos

● Comportamento coletivo modificado devido à frustração: mais é mesmo diferente!– Muito mais surpresas quando incluímos flutuações térmicas e quânticas

● Muito a ser explorado tanto em experimentos quanto em teoria (analítica e numérica)

Muito obrigado pela atenção

contato: [email protected]

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