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ESCOAMENTOS COM RE<1STOKES FLOW OU CREEPING FLOW
Escoamento de Stokes (homenagem à Stokes) é um tipo de escoamento onde a força de inércia (termos convectivos) são pequenos comparados com a força viscosa. O número de Reynolds é pequeno. Freqüentemente ocorre em situações onde a velocidade do fluido é baixa, a viscosidade é alta ou onde a dimensão característica do escoamento é pequena. Ele é aplicado na área de transporte de particulados e suspensões (emulsões, polímeros), meios porosos, lubrificação, dispositivos micro-eletromecânico entre outras áreas. Não deixe de assistir o filme
Low Reynolds Flows
O processo Re -> 0• Utilizando-se escalas típicas de escoamento viscosos:
2L
V* Re V* V* P* V*t *
• A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assintótico, quando Re ->0, para equação de Stokes;
*2 *
*
V P* Vt
*0
2* *0
V V U x=x *L
U LP P t = tL
• As eq. N-S. podem ser escritas na forma adimensional como:
• A dependência no tempo de V vem diretamente das C.C. que dependem do tempo; uma vez cessada a variação no tempo da C.C. o campo de V deixa de ser transiente.
O processo Re -> 0• A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assintótico, quando Re ->0, para equação de Stokes ou, Stokes é uma solução aproximada para N-S;
•Quando Re ->0 significa que as forças viscosas são muito maiores que as forças de inércia;
•A força motriz é a pressão que, por sua vez, é balanceada pelas forças viscosas.
• Aproximações da solução quando ReL -> 0 podem ser obtidas expandindo-se V em potências de Re (técnica de perturbação)
*2 *
*
V P* Vt
Campos de P e V Desacoplados
• No domínio de Stokes pode-se mostrar que os campos de V e P estão desaclopados;• Deixando de lado a forma adimensional das equações e considerando um caso sem c.c. variando no tempo, o gradiente de pressão está relacionado com o campo de velocidade por meio de:
• Além disto, o campo de velocidades deve satisfazer e equação da massa:
2P V g
V 0
Desacolplamento campo de PRESSÃO
• Tomando o divergente da Eq. Q. Movimento
• Reconhecendo que o escoamento é incompressível, divV=0;
2 2VVdiv P V P V
t t
2P 0
Desacoplamento campo de VELOCIDADE
• Tomando o rotacional da Eq. Q. Movimento
• Reconhecendo que, rot(gradP) =0 e aplicando novamente o rot
2 2VVrot P V P V
t t
2V
Vt
• porém, da identidade: 2V V V
4
22 2
(operador bi-harmonico)
VV
t
Desacoplamento campo de VELOCIDADE – casos 2D ou Axi-simétricos -
• Foi visto que a Eq. Quantidade de Movimento 2D ou axi-simétrico:
• Campos 2D ou axi-simétricos em regime permanente permitem a definição de uma função corrente e reduzem a vorticidade para uma componente apenas. Considere um escoamento no plano XY:
2
0
Pt
2z z
u v e u v y x y x
• A equação de Q. Movimento reduz para equação bi-harmônica da função corrente.
2 20
Equações de P e V Desacoplados
• Para regime permanente a solução do campo de pressão e de velocidade não dependem da viscosidade!
• A solução do campo de velocidades depende somente da forma do contorno e da distância .• O valor de estabelece uma proporção entre P e V:
4
2
V 0
P 0
2 2
V f r, geometria c.c.
P V P f r, geometria c.c.
r
Características das Eq. Stokes - LINEARIDADE
• As equações para V e P são lineares.
• Pode-se aplicar o princípio da superposição para V e P onde novos campos de V e P são determinados a partir da combinação linear de campos conhecidos.
• Note que a superposição linear não pode ser aplicada para escoamentos potenciais porque o campo de V é quadrático (exemplo: Eq. Bernoulli).
4
2
V 0
P 0
Características das Eq. Stokes - REVERSIBILIDADE
• O escoamento é reversível pq não há inércia. • Havendo a supressão da força externa o escoamento cessa; • Se a força externa for revertida o escoamento reverte;• Se o histórico de aplicação da força externa for repetido então o escoamento e sua história serão revertidos e a partícula de fluido re-traçará sua trajetória;
Kinematic reverse Re < 1 Kinematic irreverse Re > 1 Kinematic reverse Re < 1 (2)
Irreversibilidade do Escoamento com Inércia
Características das Eq. Stokes - SIMETRIA• O escoamento ao redor de corpos simétricos é simétrico pq a difusão de V se propaga a montante e a jusante com igual efetividade. • As formas das linhas de corrente a montante e a jusante coincidem.• Objetos simétricos não possuem esteiras.
Re < 1 Re > 1
Cara
cter
ística
s das
Eq.
Sto
kes -
SIM
ETRI
A• Solução numérica do escoamento viscoso através de um orifício circular (Re = 4aU/).
• As figuras mostram os contornos da função corrente e da vorticidade (Mills 1968)
• Re = 0 a vorticidade difunde-se igualmente a montante e a jusante.
•A medida que Re aumenta os contornos de e deixam de ser simétricos devido ao surgimento da inércia na solução.
Re = 0 & Cd = 0
Re = 10 & Cd = 0.463
Re = 50 & Cd = 0.69
Cara
cter
ística
s das
Eq.
Sto
kes –
Aus
ênci
a de
Es
teira
Re < 1
Re > 1
ESCOAMENTO EM CORPOS ESFÉRICOS
Coordenadas Esféricas e a Função Corrente de Stokes (simetria Azimutal )
Superfíciesf r, e g=
Os gradientes das superfícies
1 1, , e r r rSin
1g 0,0,rSin
r r
r 2
Velocidades :v
V g; v v r, ; v v r, ; 0
1 1v ; vr Sin rSin r
• Note que esta definição de automaticamente satisfaz a massa:
2r
2
r v Sin v1 1V 0r r rSin
Formulação: Vorticidade - (simetria Azimutal )
• O escoamento com simetria em só pode apresentar rotação (vorticidade , ) no plano (r,); isto é, reduz a uma única componente não nula, :
rrv v1 1Vr r r
• Formulação de Stokes:
2
2
VV
t
0t
22 2 2 2
1 1r sin t r r r r sin r sin
Laplaciano de um vetor em coordenadas esféricas (extraído de Batchelor)
0 0
0
Formulação: Função Corrente - (simetria Azimutal )
• A formulação função corrente é adequada para problemas 2D e axi-simetricos.• Ela pode ser obtida através:
(1) re-escrevendo a vorticidade em termos da função corrente de Stokes e (2) substituir a vorticidade na Eq. Q. Momento.
1. Substituindo as velocidades pela definição de Função Corrente:
2
2 2
1 sin 1rsin r r sin
Operador E2 2
22 2
sin 1Er r sin
21 Ersin
em função do operador
rrv v1 1r r r
Formulação: Função Corrente - (simetria Azimutal )
2. Expressando a vorticidade por na equação de Stokes
• Na ausência de c.c. variando no tempo (d/dt =0), expandindo as derivadas e simplificando os termos semelhantes:
2
22 2
1 sin 1 E =0 rsin r r sin
• O operador entre chaves é a definição de E2, então a formulação de Stokes reduz para a função bi-harmonica:
2 2E E =0
• Sua forma expandida contém muitos termos:
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
E E
sin 1 sin 1 sin 1 =0r r r sin r sin r r sin
2 2 22
E E E2r sin r sin r sin2 2 3 3
E1 1r sin t r r r r sin r sin
ESFERA DESLOCANDO-SE NUM FLUIDO ESTACIONÁRIO
Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)condições de contorno
aU • Esfera de raio ‘a’ deslocando-se na direção x
com velocidade U
2 2r a
1 - Ua sin 2
• Na superfície da esfera (r=a), todos os pontos se deslocam com velocidade U. A função faz a velocidade resultante, em (r=a), sempre U ,verifique!
• Na superfície (r=a), v = U.sin, condição de não deslizamento.
r a 2 2r
r 2r a
1v U sinr sin r
U v v1v U cos
r sin
• Longe da esfera o fluido está parado, = constante.
2 0 para r r
vr
U
v
Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)equação de transporte
• A função corrente deve satisfazer a equação E4=0. • Possível técnicas de solução: separação de variáveis. • Sugere-se como tentativa a função
• O operador E2, de acordo com proposto, assume a forma:
• A equação bi-harmonica
• Para satisfazer E4=0 é necessário que f”-(2/r2)f = 0, ou seja:
2 sin F r
2 2 22
2E sin F '' F sin f rr
4 22
2E sin f '' f 0r
2 Bf r Arr
(1)
(2)
(3)
Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)equação de transporte
• Substituindo Eq. (3) em (2)
• A função corrente , , é definida pelas constantes A, B, C e D :
2 2 2r a
3
22
r a
1 1 1 DUa sin Ua Ba2 2 2 a 3 1B Ua, D Ua
1 D 2 4Uasin Ua B r 2 a
2 4 22
2 B A B D F'' F Ar F r r r Crr r 10 2 r
2 4 2A B Dr, sin r r Cr10 2 r
• Que por sua vez serão determinadas pelas condições de contorno.• Como /r2 0 para r , então A = C = 0.• Aplicando as duas c.c. para r = a (não deslizamento) encontra-se:
Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)função corrente e campo de velocidade
• A função corrente :
• O campo de velocidades:
2 2
32 2
1 a rUa sin 3 ou 4 r a
1 a aUr sin 34 r r
2
r 2
2
1 1 a a rv U cos 3 r sin 2 r r a
1 1 a av Usin 3r sin r 4 r r
Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)distribuição de pressão
• O campo de pressão pode ser obtido resolvendo-se 2P = 0 entretanto não se conhece a priori o valor de P no contorno.
• Vamos calculá-lo a partir do campo de velocidades ou da vorticidade uma vez que esta já é conhecida:
• As componentes r e da equação de quantidade de momento:
2
3r 22
P V Psin0e ;0e ;B e sendo B Ua
r
2
2
P 1 sinsin Br r sin r
P 1 sinr Br r r r
Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)distribuição de pressão
• A partir das componentes do gradiente de pressão pode-se determinar o campo de pressão:
• Integrando-se a expressão acima obtêm:
2
3 cosP P aU2 r
323 2 2
P Pdp dr dr
2cos dr sin d cos B Bd sendo B Uar r r
Características das Eq. Stokes – SIMETRIA & ANTI-SIMETRIA
• O escoamento num corpo simétrico apresenta uma distribuição de velocidade SIMÉTRICA
• O escoamento num corpo simétrico apresenta uma distribuição de PRESSÃO ANTI-SIMÉTRICA
• Distribuição de pressão na esfera (r =a) e em = 0 e 2
3 cosP P aU2 r
P
U
Aplic
ação
em
Tub
os d
e Pi
tot
• Tubos de Pitot ou tubos de impacto são empregados para medida de velocidade através da diferença de pressão entre o ponto de estagnação e a corrente livre.
• A pressão da corrente livre e a pressão de estagnação estão relacionadas por Bernoulli.
2s
sp 21
2
1P P U ou 2
P PC 1
U
• Cp = 1 é válido para Re >>1. Cp no ponto de estagnação da esfera (=0) para Stokes é:
s
pd
3 UP P 2 a6 6C
U(2a) Re
• Ignorar efeitos viscosos quando Re <1 em tubos de impacto resulta em erros pq os valores de Ps medidos são muito maiores daqueles que seriam medidos por Bernoulli devido a Re <1
Força de Arrasto na Esfera• A força de arrasto na esfera é resultante da soma das parcelas de arrasto devido ao atrito na superfície e a distribuição de pressão anti-simétrica. A componente X é:
ação das tensões
elemento de áreadA = (2asin)(ad)
r r a r a0 0
4 Ua 2 Ua
D sin dA (P P ) cos dA 6 Ua
4r
r
2
v v1 3 U ar sinForças de r r r 2 a rSuperfície 3 cosP P aU
2 r
• Observe que a distribuição de pressão representa 1/3 do arrasto total enquanto que a força viscosa os outros 2/3, mesmo que Re<<1!
Coeficiente de Arrasto da Esfera
Comparação Cd contra dados experimentais para vários Re, área colorida indica a faixa de validade da relação de Stokes
D
d d2 21d2
U 2a6 Ua 24C onde ReReU a
Generalização da Força de Arrasto É difícil encontrar soluções para escoamento ao redor de corpos que não apresentam a forma esférica, apesar disto pode-se generalizar alguns resultados, entre eles o arrasto no regime de Stokes:
i ij jD 4 K U d
• Di representa as componentes da força de arrasto• Kij é um tensor cujos coeficientes dependem somente da geometria do corpo• Uj é a velocidade relativa entre o corpo e o fluido• d uma dimensão característica do corpo.
A principal informação é que o arrasto no regime de Stokes é linear com U e à viscosidade.
Velocidade Terminal de uma Esfera em Queda Livre num Fluido
Uma esfera caindo num fluido viscoso sob a ação da gravidade eventualmente atinge uma velocidade uniforme onde as forças gravitacionais que ela está submetida são equilibradas pela força hidrodinâmica que o fluido exerce. Esta velocidade é denominada por velocidade terminal. Considere: i) fluido com densidade e viscosidade e ii) raio da esfera, a e densidade da esfera e
Um balanço entre a força de empuxo e a força peso:
e2 2e
4 26 Ua g a U a g3 9
• Se o fluido for um gás, usualmente e >> , então: 2 e2U a g
9
• As expressões são válidas desde que Re <<1
Esfera em Queda Livre
• Para o regime de Stokes, V ~ D2
• Esferas com razão 2:1 de diâmetro apresentam uma razão de 4:1 para a velocidade!
e22 U a g9
ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA ESFERA ESTACIONÁRIA
Esfera Estacionária e Fluido Escoando condições de contorno
a U • Fluido se aproximando da esfera na direção x com velocidade U
r ar a
0 e 0 r
• Na superfície da esfera (r=a), todos os pontos possuem velocidade nula (não deslizamento) portanto a (r=a) é uma linha de corrente e a v é nulo:
• Longe da esfera o fluido está se deslocando com velocidade U2 21
2 Ur sin para r
• O problema está determinado e pode-se, com as c.c., determinar novas constantes A,B,C e D.
• Porém, como o escoamento é linear a solução pode ser obtida por meio do princípio da superposição.
Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno
• A função corrente pode ser obtida somando-se ao da esfera se deslocando um correspondente ao campo uniforme em sentido contrário:
32 21 1 a 3 aUr sin 1
2 2 r 2 r
Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno
• A função corrente pode ser re-escrita na forma:3
2 21 a 3arUsin r2 2r 2
• Dentro do parêntesis o primeiro termo representa o escoamento uniforme e o segundo termo um doublet. Juntos eles representam a função corrente de um escoamento ausente de viscosidade sobre uma esfera.
• O terceiro termo é denominado por Stokeslet e representa a correção viscosa.
Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno
• As componentes das velocidades podem ser determinadas rapidamente somando-se a elas a velocidade uniforme (vr = -Ucos e v = Usin )
2
r
3
1 a a rv U cos 3 2 2 r r a
1 a av Usin 3 44 r r
• A distribuição de pressão tem o sinal invertido uma vez que o escoamento mudou de direção:
2
3 cosP P aU2 r
Linhas de Corrente para Esfera
• Observe as diferenças entre as linhas de corrente ao redor da esfera (se deslocando ou estacionária) para escoamento Potencial ou de Stokes.
• No escoamento de Stokes (o potencial também) há uma completa simetria entre as linhas de corrente para um plano que passa pelo equador. Isto é possível somente pq o escoamento não possui inércia. Para Re > 1 a falta de simetria manifesta-se na forma de esteiras e vórtices na traseira da esfera.
ESCO
AMEN
TO A
O R
EDO
R DE
U
MA
ESFE
RA D
E FL
UID
O
• Uma derivação interessante da solução de Stokes para a esfera é o escoamento ao redor de uma gota de fluido proposto por Rybczynski (1911) e Hadamard (1911) independentemente.
• Os escoamentos no interior da gota e externo a ela são identificados por (i) e (o)
• A solução parte das hipóteses : 1. Re <<1, 2. A tensão superficial tende a manter a forma esférica da
interface entre dois fluidos imiscíveis contra a tendência desta se deformar pela ação das forças viscosas.
3. O único efeito que a tensão superficial traz é causar uma descontinuidade na tensão normal na interface
o i 2P Pa
Esfera de Fluido: Condições de Contorno
o i
= para r = a r r
rv =Ucos e v -Usin para r
o i 0 para r a
(1) Assume-se que a gota está estacionária e o fluido externo se move com velocidade uniforme na direção de x positivo
(2) Na interface (r=a) vr = 0, i.e., interface esférica, e por sí só ela constitui uma linha de corrente (fluido não cruza a interface):
(3) Na interface (r=a) v é contínuo entre os dois meios,
(4) Na interface (r=a) a tensão tangencial é contínua entre os dois meios, o i
o i2 2
1 1 = para r = a r r r r r r
As quatro c.c. garantem uma solução para o sistema de equações
Esfera de Fluido: Solução Aplica-se a solução geral encontrada para a esfera no escoamento interno e externo:
• A c.c. para r requer que A=0 e C=(1/2)U• Na origem (r=0) demanda-se que a solução seja finita, F=H=0• As quatro constantes restantes são determinadas pela aplicação das c.c. restantes do problema.
233
2
o i
13 1 1B Ua , D Ua2 1 4 15 U 1E , G U2 a 1 4 1
é a razão de viscosidades, =
o 2 4 2
i 2 4 2
A B Dr, sin r r Cr , r a10 2 rE F Hr, sin r r Gr , r a10 2 r
Arrasto numa Esfera de Fluido A força de arrasto é determinada a partir da integral das forças normais e tangenciais que atuam na interface de modo similar ao problema da esfera sólida:
Casos limites:
1. Se i ou 0 reproduz a lei de Stokes, D=-6Ua
2. Se o>> i ou >> 1, simula uma bolha ascendendo num meio líquido, D=-4Ua
23
23
1D 6 Ua
1124Cd
Re 1
Aplicação do Princípio da Superposição
Um elipsóide com razão a:b apresenta coeficientes de arrasto distintos se o escoamento estiver paralelo ou normal ao seu eixo principal
a ab b4 3 2
F C Ub; Ct 6 ; Cn 65 5
A força de arrasto e os coeficientes para cada direção são dados por:
Para a>>b, corpo tipo agulha, Cn ~ 2Ct
Aplicação do Princípio da Superposição
Suponha que o elipsoide faça um ângulo com relação a corrente livre que possui velocidade U. Determine o arrasto
t t n nF C bU cos e F C bU sin
No regime de Stokes a força é linear com a velocidade:
U
2 22 2t n t nF F F bU C cos C sin
Queda livre de um corpo tipo agulha, Cn=2Ct
Durante a queda a força resultante na agulha deve ser igual a sua força de empuxo.
tn
t t
2C bUsinFtan 2 tanF C bU cos
ou cot 2 tan
Relação entre e
• ângulo da agulha com horiz.• - ângulo de U com a agulha• Fn, Ft, E – Forças normal, tan. e empuxo• U – velocidade de translação
Paradoxo de Whitehead• Escoamentos 2D (cilindros) a equação de transporte de Stokes P=2V não possui uma solução analítica exata; A c.c. no infinito não consegue ser satisfeita p/ geometria 2d.• Pode-se entender esta limitação fazendo-se uma analogia com problemas puramente difusivos em condução de calor em sólidos semi-infinitos
y=0, T=Tw mas y, T , não é possível atender c.c. T=T
2
1 22
T 0 T C y Cy
1 21 Tr 0 T C Lnr Cr r r
r=r0, T=Tw mas r, T , não é possível atender c.c. T=T
21 22
1 T 1r 0 T C Cr r r r
r=r0, T=Tw e r, T T, C2= T e C1 = ro(Tw- T)
Não Uniformidade Solução Stokes p/ domínios infinitosescoamentos não-confinados
• A aproximação de Stokes é válida para Re 0. Isto é verdade próximo da esfera, i.e. os termos inerciais são desprezíveis. • Entretanto, para r, os termos inerciais não são mais desprezíveis.• Escoamento Stokes numa esfera; é estimado na ordem de magnitude dos maiores termos de difusão e convecção
3
2
22
r
1 U aDifusão sinr sin a r
v U aConvecção vr a r
• A razão entre os termos:
Convecção Ua rDifusão a
Não Uniformidade Solução Stokes p domínios infinitosescoamentos não-confinados
• A razão dos termos mostra que mesmo para Re <<1, é possível que os termos inerciais sejam aos termos viscosos para r
• A solução de Stokes não é válida em regiões afastadas a esfera, a solução é não uniforme!
Convecção Ua rDifusão a
Stokes
Inércia ~ difusãoStokes não válido
Esfera
• A aproximação de Stokes é boa para uma região próxima do corpo. Por esta razão é que a teoria prevê muito bem o arrasto. Entretanto esta aproximação não pode ser aplicada para r .
Não Uniformidade Solução Stokes p/ domínios infinitosAproximação de Carl Wilhelm Oseen (* 1879; † 1944 )
• Oseen (1910) remove a não uniformidade na solução de Stokes e propondo uma aproximação para o termo convectivo:
• V é o campo de velocidades e U é a velocidade relativa do fluido ao corpo, neste caso U é uniforme. Oseen linearizou o termo convectivo permitindo que fosse obtido soluções analíticas.
2 U V P V
esferad
24 3Cd 1 Re ...Re 16
• A solução de Oseen é não-simétrica, apresenta esteira na esfera mas não uma região de separação.
Comparação solução de Oseen
Referências
• Batchelor, G.K., Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge Press, 1967• Happel and Brener, Low Reynolds number hydrodynamics”, Martinus Nijhoff Publishers, 1963• White, F. M. , Viscous Flow, McGraw Hill• Lamb, Hydrodynamics, Dover, 1945• Clift, Grace and Weber, Bubbles, Drops and Particles, Dover, 1978• Panton, Incompressible Flow”, John Wyley, 1984• Taylor, G.I. , Low Reynolds Flow, NCFMF
FIM