Risk Management - Course work

Nicola Gritti, Francesca Meriggi, Carlo Orrieri, Luca Pontecorvi

1 agosto 2012

Indice

1 Esercizio 1 2

2 Esercizio 2 2

3 Esercizio 3 3

4 Esercizio 4 5

5 Esercizio 5 12

6 Esercizio 6 13

7 Esercizio 7 14

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2 Esercizio 2

1 Esercizio 1

Il valore totale del portafoglio è ottenuto come somma del valore delle singole componenti,calcolato secondo le formule standard di prezzo di bond e swaption. Riportiamo nella tabellasottostante i risultati ottenuti.

Componente Valore (Euro)

Portafoglio 3.0327E+03

Bond 2Y 993.5735

Bond 5Y 976.1414

Bond 10Y 954.4974

Swaption 1Y 7.3913

Swaption 2Y 31.0981

Swaption 4Y 69.9621

Tabella 1: Portfolio Component Value

2 Esercizio 2

Denotiamo con V (Rt) il valore del portafoglio al tempo t mettendo in evidenza la dipendenzadai tassi. Allora, grazie alla linearità possiamo scrivere:

∂V

∂R=

∑ ∂VBi

∂R+∑ ∂VSwi

∂R

Per calcolare le greche del portafoglio approssimiamo le derivate alle differenze finite. In parti-colare abbiamo

Θ =∂V

∂t=V (t+ δ,R)− V (t, R)

δ

∆ =∂V

∂R=V (t, R+ δ)− V (t, R− δ)

2δ

Γ =∂2V

∂R2=V (t, R+ δ)− 2V (t, R) + V (t, R− δ)

δ2

Ove abbiamo shiftato la curva dei tassi parallelamente ed abbiamo considerato i valori all’ultimadata della matrice storica dei tassi. Per quanto riguarda il calcolo di Θ invece abbiamo scelto dishiftare tutte le date necessarie per il calcolo del fattore di sconto di un giorno lavorativo (e.g.−1/250). Riportiamo ora i valori ottenuti per ogni componente del portafoglio:

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3 Esercizio 3

Componente Theta Delta Gamma

Portafoglio -73.74 -8534 167237

Bond 2Y -22.8748 -1967 3915

Bond 5Y -28.7144 -4642 22742

Bond 10Y -32.2020 -8328 79026

Swaption 1Y 3.0463 848 22197

Swaption 2Y 4.5281 2214 30092

Swaption 4Y 2.4769 3341 9252

Tabella 2: Portfolio Component Greeks

3 Esercizio 3

L’analisi delle componenti principali della matrice di varianza-covarianza permette di semplifi-care computazionalmente il calcolo delle greche. L’idea è quella di spiegare la varianza lungodelle direzioni privilegiate scelte tra gli autovettori. Più precisamente scriviamo le variazionigiornaliere dei tassi nella matrice D ∈ M(T, 10), ove T sono i campionamenti storici, e gene-riamo la matrice di covarianza ΣD. Calcoliamo ora autovalori e autovettori di ΣD e ordiniamo iprimi in ordine decrescente. Avremo

ΣD = ATΛA, λ1 > . . . > λn

Per capire quanta varianza spiega l’i-esimo autovalore calcoliamo la quantità λi∑j λj

. Nel nostro

caso abbiamo Pλ1 = 87.24%, Pλ2 = 8.01%, Pλ3 = 1.79%; le prime tre componenti principalispiegano circa il 97% della varianza totale. Come si può notare dal grafico 1 infatti, la curva deitassi reale è ben approssimata già con queste prime tre componenti.

Figura 1: Approssimazioni successive della struttura a termine dei tassi.

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3 Esercizio 3

Scriviamo ora le differenze di tassi nella base degli autovettori come

D = A · F

con F ∈M(10, T ) matrice dei fattori. In particolare possiamo riscrivere la relazione precedenteutilizzando le prime tre componenti principali e considerando solamente i tassi a oggi:

D|(10×1) = A|(10×3) · F |(3×1) .

Per quanto riguarda il calcolo delle greche, procediamo shiftando di un basis point (1E−04) tuttele prime 3 componenti principali F |(3×1), calcoliamo lo spostamento sulle differenze di tassoD|(10×1) tramite l’equazione precedente e infine ricaviamo il nuovo tasso finale. Utilizziamoquindi le formule alle differenze finite già illustrate nell’esercizio precedente.

Riportiamo i risultati ottenuti:

Componente Delta Gamma

Portafoglio -8534 167247

Bond 2Y -1967 3902

Bond 5Y -4642 22718

Bond 10Y -8328 79024

Swaption 1Y 848 22208

Swaption 2Y 2214 30094

Swaption 4Y 3341 9227

Tabella 3: Portfolio Component Greeks con analisi PCA

Osserviamo che i risultati ottenuti sono compatibili con i precedenti fino alla quarta cifra si-gnificativa. Notiamo inoltre che il valore di Θ non è stato ricalcolato in quanto lo shift temporalenon dipende dal calcolo delle componenti principali.

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4 Esercizio 4

4 Esercizio 4

Sfruttando i risultati ottenuti nell’esercizio precedente, abbiamo scritto le variazioni dei tassicome D = A · F , ove A sono le componenti principali e F i loro fattori. Detto nPC il numerodi componenti principali considerato, N il numero dei fattori di rischio (nel caso in analisi sonoi tassi a diverse expiry, quindi 10) e T il numero di osservazioni presenti nella serie storicadei fattori, avremo che D è una matrice di dimensioni N × T , A ha dimensioni N × nPC eF è nPC × T . Considerando il fatto che nel portafoglio in analisi gli unici fattori di rischiopresenti sono i tassi, abbiamo simulato il loro andamento per poi calcolare il VaR sfruttando lavariazione di valore del portafoglio seguito alla variazione del valore dei tassi. In particolare, neiprimi tre casi abbiamo supposto che i fattori F si muovano con diverse dinamiche, simulandole quali abbiamo ricavato la variazione delle differenze di tassi. Utilizzando queste ultime siamopoi giunti alla variazione dei tassi. Per l’ultima analisi, invece, abbiamo scelto di effettuare unbootstrapping sulle differenze per ottenere una simulazione storica dei loro andamenti futuri.

Le dinamiche considerate sono state le seguenti:

• Modello Gaussiano, prevedibilmente si suppone che i fattori seguano un andamento nor-male multivariato; la media e la varianza sono ricavate dalle serie storiche dei fattoricontenute nella matrice F

• Modello EWMA (exponential weighted moving average), si suppone che i fattori si muo-vano come una normale con media nulla e volatilità variabile; la volatilità dipende dai va-lori passati dei fattori pesati secondo le potenze di un parametro, λ, stimato minimizzandola funzione di massima verosimiglianza

• Modello GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity), si supponeche i fattori siano descritti da un modello ARMA(r,m) con parametri nulli e che la lorovolatilità segua una dinamica di tipo GARCH(p,q) con p = q = 1.

In tutti i casi abbiamo calcolato il VaR considerando una, due o tre componenti principali.Inoltre, per ogni combinazione di modello-numero componenti principali abbiamo ricavato ilVaR utilizzando sia il metodo Full Revaluation che Delta Gamma. Il primo di tali metodi consi-ste nel rivalutare tramite una simulazione tutta la curva dei tassi, trovare il valore del portafogliosulla base della nuova curva e utilizzarlo per determinare il P&L simulato. Il secondo, invece,utilizza le greche e restituisce direttamente la differenza di valore simulata. Le greche conside-rate sono Θ, derivata del valore del portafoglio rispetto al tempo, ∆, vettore di derivate parzialidel valore del portafoglio rispetto ai singoli fattori di rischio, e Γ, matrice delle derivate secondedel valore del portafoglio rispetto ai fattori di rischio. Dato che ognuna delle componenti delportafoglio in analisi dipende da un unico fattore di rischio, si potrebbe supporre che Γ sia unamatrice diagonale. Tuttavia, nel codice utilizzato sono state calcolate, per completezza, anchele derivate seconde miste. Tutte le derivate parziali sono state calcolate utilizzando metodi alledifferenze finite. Abbiamo poi ripetuto il procedimento per un numero di simulazioni variabile(5.000, 10.000 o 20.000), ottenendo un vettore contenente il P&L di ogni simulazione. Il per-centile al 90% e al 99% di questo vettore rappresenta rispettivamente il VaR simulato al 90% eal 99%.

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4 Esercizio 4

Analizziamo a questo punto i risultati ottenuti.

Figura 2: VaR - 10.000 simulazioni

Fissiamo a 10.000 il numero di simulazioni e a 3 il numero di componenti principali utilizza-te. Calcoliamo il VaR supponendo diversi modelli per la dinamica dei fattori e diversi orizzontitemporali (uno, dieci e venti giorni). La prima cosa che notiamo è la vicinanza dei risultati otte-nuti supponendo diverse dinamiche per i fattori. Infatti, i dati in figura 2 evidenziano che sia conil metodo Full Revaluation che con il metodo Delta Gamma i risultati dei primi tre modelli sonomolto vicini.

Un leggero discostamento si osserva invece considerando i risultati derivanti dalla simulazio-ne storica: per tutti gli orizzonti temporali il VaR calcolato con questo modello risulta maggiorein modulo di quello calcolato con i primi tre modelli.

Inoltre, risulta evidente la vicinanza dei risultati anche cross-modello, cioè fra i risultatiottenuti con il metodo Full Revaluation e quelli ottenuti con il metodo Delta Gamma. Si notatuttavia che i risultati ottenuti con il metodo Delta Gamma sono tipicamente leggermente piùgrandi in valore assoluto: cioè il metodo Delta Gamma stima delle perdite possibili maggiori.

Per calcolare il VaR a diversi orizzonti temporali, nel caso Gaussiano si è usato il fattoche, dato il VaR a un giorno, il VaR a n giorni si trova semplicemente moltiplicando il primoper la radice dell’orizzonte temporale scelto. Tale relazione tuttavia non vale negli altri casi.Consideriamo ad esempio il VaR a un giorno a livello 99% ottenuto con il modello GARCH(−7, 789) e moltiplichiamolo per

√10 e√

20. Otteniamo rispettivamente -35,697 e -50,483, chesi discostano notevolmente dal VaR a 10 e 20 giorni presentati in figura. Questo mostra che,a meno di supporre una dinamica gaussiana per i fattori, per calcolare il VaR a un qualsiasiorizzonte temporale, è necessario effettuare simulazioni a quello specifico orizzonte.

Consideriamo ora il tempo necessario per effettuare le simulazioni e stimare il VaR. In figura3 è possibile vedere il tempo impiegato dalla CPU (espresso in secondi) per calcolare il VaR a

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4 Esercizio 4

Figura 3: Timing calcolo VaR - 10.000 simulazioni

diversi orizzonti temporali, considerando vari modelli, utilizzando il metodo Full Revaluation(FR) o Delta Gamma (DG). Si considera la somma del tempo impiegato per calcolare il VaR al90% e al 99%, in quanto i due sono di volta in volta calcolati utilizzando le stesse simulazioni. Iltempo necessario al modello Gaussiano è stato calcolato solo per il VaR a un giorno, in quanto,come precedentemente osservato, basta una sola moltiplicazione per trovare il VaR a più giorni,e questa non impatta nella misurazione temporale effettuata.

Guardando la figura risulta evidente quanto il metodo Delta Gamma sia computazionalmentepiù efficiente di quello Full Revaluation. Tale risultato può essere spiegato ricordando che ilvettore dei P&L simulati con il metodo Delta Gamma è calcolato semplicemente come sommae prodotto di matrici. Al contrario, il procedimento per ottenere lo stesso risultato con il metodoFull Revaluation risulta molto più laborioso: si simula l’andamento dei fattori, si ricava la curvadei tassi simulata, si ottiene il valore simulato del portafoglio, si definisce il vettore dei P&Lcome differenza tra il valore simulato e quello iniziale del portafoglio.

Si nota, inoltre, che i tempi rimangono pressocchè invariati al variare dell’orizzonte tempora-le considerato. Questo mostra che simulare l’andamento dei fattori a un giorno o a dieci è un’o-

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4 Esercizio 4

perazione computazionalmente equivalente. Infine, possiamo notare che il GARCH risulta unmodello leggermente più lento rispetto agli altri, anche se tale differenza non pare significativa.

Mantenendo fisso il numero di simulazioni (consideriamo ora il caso con 20.000 simulazio-ni), analizziamo ora come cambiano i risultati al variare del numero di componenti principaliconsiderate. La variazione di tale parametro, infatti, comporta una modifica nella descrizionedella dinamica delle differenze dei tassi, e dovrebbe quindi impattare notevolmente sul calcolodel VaR.

(a) VaR 90% - modello Gaussiano (b) VaR 90% - modello EWMA

(c) VaR 90% - modello GARCH (d) VaR 90% - historical simulation

Figura 4: VaR al variare del numero di componenti principali

Analizzando la figura 4 abbiamo dei dati di supporto alla nostra tesi. Infatti, in esse possiamoosservare il valore del VaR al 90% al variare dell’orizzonte temporale, ottenuto considerando di-verse dinamiche per il sottostante. Ovviamente, in tutti i casi, aumentando l’orizzonte temporaleaumentano i valori assoluti del VaR. Tuttavia, nonostante quanto detto precedentemente, non sinotano grandi differenze nei risultati al variare del numero di componenti principali considera-te. Questo perchè, come visto nel terzo esercizio, la prima componente principale spiega circa

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4 Esercizio 4

l’87, 24% della volatilità dei tassi, mentre la seconda e la terza contribuiscono rispettivamen-te solamente per l’8% e l’1, 8%. Aggiungere tali componenti, dunque, non fornisce importanticontributi nella previsione dei movimenti dei tassi.

I dati presentati finora sono stati tutti calcolati considerando fisso il numero di simulazioni.Analizziamo ora le conseguenze cambiando tale parametro.

(a) 5.000 simulazioni (b) 20.000 simulazioni

Figura 5: Timing calcolo VaR

Consideriamo nuovamente tre componenti principali per descrivere l’andamento dei fattoridi rischio analizzati. Il figura 5, analogamente a quanto fatto in figura 3 per 10.000 simulazioni,sono riportati i tempi necessari per calcolare il VaR usando 5.000 o 20.000 simulazioni.

Osserviamo che i tempi per calcolare il VaR con il metodo Full Revaluation crescono li-nearmente con il numero di simulazioni considerate. Infatti, con 20.000 simulazioni il temponecessario per calcolare il VaR è circa il quadruplo di quello utilizzato dalla macchina con 5.000simulazioni. Inoltre, confermiamo in tutti i casi il fatto che il metodo diventa leggermente piùlento se si suppone che la dinamica dei fattori possa essere descritta con un modello di tipoGARCH.

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4 Esercizio 4

Tale osservazione non vale per il metodo Delta Gamma, nel quale il tempo sembra cresceremeno velocemente. Ciò fa in modo che, all’aumentare del numero di simulazioni, la differen-za fra i due metodi cresca, rendendo il metodo Delta Gamma progressivamente più efficiente.Infatti, considerando ad esempio il modello Gaussiano, il rapporto fra il tempo utilizzato con ilmetodo Full Revaluation e quello utilizzato con il metodo Delta Gamma si passa da un minimodi 9,97 con 5.000 simulazioni a un massimo di 21,91 con 20.000 simulazioni.

Occupiamoci ora di analizzare la stabilità dei metodi al variare del numero di simulazioni,cioè di descrivere la stabilità dell’algoritmo di simulazione.

Figura 6: Std del VaR a 1 giorno al variare del numero di simulazioni

Figura 7: Std del VaR a 10 giorni al variare del numero di simulazioni

Figura 8: Std del VaR a 20 giorni al variare del numero di simulazioni

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4 Esercizio 4

A tal fine, fissato di volta in volta il numero di simulazioni, eseguiamo più volte il program-ma ed effettuiamo un’analisi di media e varianza dei risultati così ottenuti. In figura 6, 7 e 8riportiamo la deviazione standard del VaR al 90% per diversi orizzonti temporali calcolato convari modelli al variare del numero di simulazioni, supponendo di descrivere la dinamica dei tas-si attraverso le prime due componenti principali. Per ottenere tale risultato abbiamo eseguito ilprogramma 20 volte per ogni set di parametri, ottenendo così 20 valori di VaR dei quali abbiamocalcolato la standard deviation.

Si osserva immediatamente che la varianza non cambia calcolando il VaR con il metodo FullRevaluation o Delta Gamma. Tale risultato deriva dal fatto che, nel codice utilizzato, i due valoridi VaR sono di volta in volta calcolati sfruttando lo stesso set di simulazioni. Notiamo inoltreche, nei vari casi, non vi è una netta predominanza di un modello rispetto all’altro: non è quindipossibile individuare una dinamica che abbatta la varianza dei risultati.

Inoltre, come prevedibile, si nota una diminuzione della varianza al crescere del numero disimulazioni.Questo andamento risulta evidente per tutte le dinamiche sono per piccoli orizzontitemporali (in particolare, come in figura 6, se analizziamo il VaR a un giorno), mentre è semprechiaramente osservabile considerando il modello GARCH, in cui la standard deviation descrescelinearmente all’aumentare del numero di simulazioni.

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5 Esercizio 5

5 Esercizio 5

Il contributo di ogni componente del portafoglio al calcolo del VaR è detto IVaR ed è definitoanaliticamente con la derivata parziale del VaR rispetto al peso all’interno del portafoglio dellacomponente considerata.

Per prima cosa, dunque risulta necessario calcolare i pesi delle singole componenti del por-tafoglio. Questi sono definiti come il rapporto tra il valore della singola componente e il valoretotale del portafoglio. Per il portafoglio in analisi il vettore dei pesi vale

w′ = [0.3276, 0.3219, 0.3147, 0.0024, 0.0103, 0.0231].

Figura 9: IVaR al variare del livello di α e del numero di simulazioni

Dopo aver fissato i pesi, dobbiamo scegliere un algoritmo di calcolo per l’IVaR. Se sup-poniamo che la distribuzione congiunta dei ritorni dei singoli asset presenti nel portafoglio siauna normale multivariata di media µ∆ e matrice di covarianza Σ∆, possiamo calcolare l’IVaR alivello di confidenza α sull’orizzonte temporale n∆ come

IV aRα =∂V aRα(t, t+ n∆)

∂w= −µ∆n− z1−α

Σ∆w√w′Σ∆w

√n , (1)

ove z1−α è il valore dell’inversa della funzione di distribuzione di una normale standard calcolatonel punto 1 − α. Nel caso in cui i fattori seguano una dinamica Gaussiano, dunque, calcoliamol’IVaR utilizzando questa formula, considerando un orizzonte temporale di un giorno (n=1), perun intervallo di confidenza a livello 0,9 e 0,99 e variando il numero di simulazioni. I risultatisono riportati in figura 9.

Se, invece, non facciamo supposizioni di normalità sulla distribuzione congiunta dei ritor-ni, dobbiamo cambiare approccio per trovare l’IVaR. In questo caso, non è banale trovare delle

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6 Esercizio 6

formule chiuse per calcolare le derivate, quindi si preferisce usare un approccio parametrico.L’algoritmo utilizzato simula i rendimenti futuri delle singole componenti partendo dalle sup-posizioni fatte sulla dinamica dei fattori (come per il calcolo del VaR nell’esercizio precedente,supponiamo che i fattori siano descritti da un modello EWMA o GARCH, oppure effettuiamouna simulazione storica) e calcola i rendimenti del portafoglio come somma pesata dei rendi-menti delle componenti. Utilizza poi il vettore dei rendimenti simulati del portafoglio per trovarel’indice corrispondente al percentile di livello α (quindi trova il VaR a livello α del portafoglio)e calcola l’IVaR di ogni componente come media pesata dei rendimenti della stessa in un intor-no del VaR. La dimensione dell’intorno da considerare si ricava da una stima della deviazionestandard del VaR. Anche per questo metodo, tutti i risultati sono riportati in figura 9.

Analizziamo ora i risultati ottenuti. Dalla figura 9 si nota immediatamente che i due tipidi asset presenti nel portafoglio forniscono contributi di natura diversa al VaR. Infatti, l’IVaRrelativo ai bond ha sempre segno negativo mentre, al contrario, quello relativo alle Swaptionha sempre segno positivo. Questo significa che all’aumentare del peso dei bond nel portafoglioil VaR aumenta, mentre diminuisce al crescere del peso delle swaption. Dato che, per come èstato da noi calcolato, il VaR ha segno negativo, ciò significa che un aumento del peso dei bonddiminuisce l’esposizione al rischio del portafoglio e, al contrario, un aumento del peso delleswaption porta a un aumento del rischio che grava sul portafoglio.

Inoltre, all’interno dello stesso tipo di opzione, si osserva facilmente che il contributo datoal rischio dalle singole componenti aumenta all’aumentare del tempo che intercorre fra la datain cui valutiamo il portafoglio e la loro scadenza. Infatti, l’IVaR relativo ai componenti Bond1e Swaption1 risulta essere più piccolo in modulo di quello calcolato rispettivamente per Bond3e Swaption3, che sono i componenti con scadenza più lontana delle due tipologie di asset checompongono il portafoglio.

Osserviamo infine che i due metodi di calcolo dell’IVaR, quello che sfrutta la normalità delladistribuzione dei rendimenti e quello che invece stima la variazione del VaR in modo parametri-co, restituiscono risultati molto differenti tra loro. In particolare, solo nel caso Gaussiano vale larelazione V aR = IV aR · w.

6 Esercizio 6

Si potrebbe pensare di impostare la ricerca della composizione del portafoglio come un proble-ma di minimo, dove la funzione che si vuole minimizzare è il delta. Dato che questa funzionerappresenta il tasso di variazione del valore del portafoglio rispetto al prezzo del sottostante nonla si vuole minimizzare in senso assoluto, bensì si cerca di annullarne il valore nel tentativo diottenere una posizione neutrale al rischio di variazione dei tassi. Pertanto, il problema nel nostrocaso può essere definito nel seguente modo

minni

‖∆B + n1∆S1 + n2∆S2 + n3∆S3‖ , (2)

dove ∆B rappresenta il contributo al delta dei 3 bond, ∆Si è il contributo di ogni swaption e niè il numero di ogni swaption detenuto nel portafoglio.

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7 Esercizio 7

La ricerca del minimo di questa funzione deve essere condotta ricordando il non trascura-bile vincolo che ni ∈ Z. Come prima approssimazione si potrebbe pensare di rilassare questovincolo e poi arrotondare la soluzione ottenuta; questo procedimento però non garantirebbe ditrovare il minimo assoluto. Inoltre, essendo quella analizzata una funzione non lineare a causadella presenza del valore assoluto, gli algoritmi basati sul Taglio di Gomory o simili non possonoessere utilizzati. A soluzione di questo problema si è pensato di vincolare inferiormente e supe-riormente le variabili e valutare la funzione in tutti i possibili valori interni a questi intervalli. Inparticolare l’intervallo scelto è ni ∈ [−50, 50] ∀i.

I valori ottenuti sono n1 = 32, n2 = −4 e n3 = −1, per i quali si ricava un delta paria 0.0287. Infine, riportiamo in figura 10 l’andamento del valore assoluto del delta al variaredel numero di swaption del secondo e del terzo tipo detenute nel portafoglio, avendo fissaton1 = 32.

Figura 10: Andamento della funzione nel piano n2, n3 con n1 = 32

7 Esercizio 7

Alla luce dell’analisi finora svolta, non si sono riscontrate grandi differenze tra i risultati otte-nuti con i vari metodi. Questo porta senz’altro, in prima battuta, a effettuare una scelta tecnicapreferendo un algoritmo che sia più efficiente a livello computazionale, e quindi più veloce. Diconseguenza, qualsiasi dinamica si scelga di supporre per i fattori sicuramente preferiremmocalcolare il VaR con il metodo Delta Gamma invece che con il metodo Full Revaluation.

Tuttavia, fermarsi ad analizzare solo le prime tre componenti principali non è sempre suffi-ciente per descrivere adeguatamente l’andamento del sottostante, così come mostrato dal graficodel terzo esercizio. Sceglieremmo quindi di considerare, di volta in volta, il numero minimo

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7 Esercizio 7

di componenti principali che permettano di approssimare sufficientemente bene l’andamentostorico dei fattori (in genere, almeno le prime 3).

Come considerazione generale potremmo dire che l’analisi svolta finora non può essere suf-ficiente per un risk manager. Infatti il VaR e l’IVaR, riassumendo tutta l’informazione contenutanelle distribuzioni congiunte e marginali dei fattori di rischio a cui è esposto il portafoglio con-siderato, non potranno mai essere essere inidicatori esaustivi. Questo vale tenendo anche contodel fatto che tali parametri non restituiscono alcuna informazione sulla parte a sinistra del VaRdella distribuzione delle perdite. Infatti gli eventi contenuti in quella parte di distribuzione, ben-chè si verifichino con una probabilità particolarmente bassa, possono risultare particolarmentedannosi. Di conseguenza, alla presente analisi si dovrebbe come minimo aggiungere il valoredell’Expected Shortfall calcolato con i vari metodi, cioè il valore atteso delle perdite superiori alVaR.

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