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SISTEMI DI TRAVI ISOSTATICI
ESERCITAZIONI
a cura di P. Casini
Testi consigliati:
1. P. Casini, M. Vasta, Scienza delle Costruzioni, CittàStudi (UTET università), 2016.
2. C. Comi, L. Corradi Dell’Acqua: Introduzione alla meccanica strutturale, McGraw-
Hill, 2007.
3. E. Viola: Complementi ed esercizi di Scienza delle Costruzioni, Voll. 1, 2, Pitagora
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
2
Con riferimento al sistema isostatico mostrato figura si chiede di:
• Calcolare le reazioni vincolari.
• Tracciare i diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione.
• Calcolo delle reazioni vincolari
X = 0 XA= 0
D
C
E
B
A
M
XA
YA YD
l
Y
X
l l l
/4
D
C
E
B
A
M
2CD ;BCBEAB ll
l l l
l
Esercizio 1.1
1. Sistemi staticamente determinati:
Esercizi svolti
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
3
Y = 0 YA+YD = 0
MA = 0 M + 3lYD = 0 YD = -M/3l
YA = M/3l
• Riepilogo delle reazioni vincolari
• Verifiche
Y = 0 M/3l - M/3l = 0 ✓
ME = 0 M – (M/3l)l – (M/3l)(2 l) = 0 ✓
• Caratteristiche della Sollecitazione)
• Tratto AB
l
D
C
E
B
A
M
M/3l
l l
l
Y
X
M/3l
M z
B
z
D
C
E
A
l
l l l
M/3l M/3l
z
z
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
4
N(z) + M/3l = 0 N(z) = -M/3l
T(z) = 0 T(z) = 0
MS1 =0 M(z) = 0
• z = 0 S1 A N(0) = NA = -M/3l
T(0) = TA = 0
M(0) = MA = 0
• z = l S1 B- N(l) = NB- = -M/3l
T(l) = TB- = 0
M(l) = MB- = 0
• Nodo B
Equilibrio del Nodo B
NB+ = 0
TB+ = M/3l
MB+ = 0
• Tratto BE
N(z) = 0 N(z) = 0
T(z) - M/3l = 0 T(z) = M/3l
MS1 =0 M(z) = (M/3l)z
• z = 0 S2 B+ N(0) = NB+ = 0
B-
B+
B
M/3l
MB+
TB+
NB+
M/3l
NB+
TB+
MB+ B+
B-
B
M/3l
M/3l
M/3l
M/3l
A
S1
M/3
l
z
T(z)
N(z)
M(z)
M/3l
B+ S2
z
T(z)
M(z)
N(z)
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
5
T(0) = TB+ = M/3l
M(0) = MB+ = 0
• z = l S2 E- N(l) = NE- = 0
T(l) = TE- = M/3l
M(l) = ME- = M/3
• Nodo E
Equilibrio del Nodo E
NE+ = 0
TE+ = M/3l
ME+ = -(2/3)M
• Tratto EC
N(z) = 0 N(z) = 0
T(z) - M/3l = 0 T(z) = M/3l
MS3 =0 M(z) =-(2/3)M + (M/3l)z
• z = 0 S3 E+ N(0) = NE+ = 0
T(0) = TE+ = M/3l
M/3l
M/3
E-
NE+
M/3l
TE+
ME+ M/3
M
E TE+
ME+
E+
M/3
M/3l
2M/3
M/3l
E-
M/3l
M/3
M
E M/3l
2M/3
E+
T(z)
M(z)
N(z)
M/3l
2M/3
E+
z
S3
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
6
M(0) = ME+ = -(2/3)M
• z = l S3 C- N(l) = NC- = 0
T(l) = TC- = M/3l
M(l) = MC- = -M/3
• Nodo C
• Tratto CD
N(z) -2
2
3l
M = 0 N(z) = 2
6l
M
T(z) -2
2
3l
M = 0 T(z) = 2
6l
M
MS4 =0 M(z) = zl6
2
3
MM
• z = 0 S4 C+ N(0) = NC+ = 26l
M
T(0) = TC+ = 26l
M
M(0) = MC+ = -M/3
• z = l 2 S4 D N( 2l ) = ND =
26l
M
T( 2l ) = TD = 26l
M
M( 2l ) = MD = 0
M/3l
M/3 C-
M/3l
M/3
M/3l
M/3 C
M/3
C+
M/3l
M/3
C+
M/3l
z
N(z) T(z)
M(z)
S4
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
7
• Diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione
/4
C
B A
l BCAB
q
l
l
+ -
26l
Ml3
M
N
+
+
26l
M
l3
MT
3
M
3
MM
3
2 M
Esercizio 1.2
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
8
• Calcolo delle reazioni vincolari
X = 0 RA 2
2= 0 RA = 0
Y = 0 YC - ql = 0 YC = ql
MC = 0 (ql)(l/2) + MC = 0 MC = -2
2ql
• Riepilogo delle reazioni vincolari
• Verifiche
Y = -ql +ql = 0 ✓
MA = 22
2
2 qlql
lql = 0 ✓
C
B A
l
l
(1/2)ql2
ql
q
l/2 l/2
ql
C
B A
l
l
MC
YC
RA
q
l/2 l/2
ql
Y
X
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
9
• Caratteristiche della Sollecitazione
• Tratto AB
N(z) = 0
T(z) = - qz
M(z) = - (1/2)qz2
• z = 0 S1 A N(0) = NA = 0
T(0) = TA = 0
M(0) = MA = 0
• z = l S1 B- N(l) = NB- = 0
T(l) = TB- = -ql
M(l) = MB- = -(1/2)ql2
• Nodo B
C
B A
l
l
(1/2)ql2
ql
q
z
z
q
z/2 z/2
qz
z T(z)
M(z)
N(z)
S1 A
ql2/2
B- B
ql
ql2/2 ql2/2
ql
ql
ql2/2
B+
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
10
• Tratto BC
N(z) = - ql
T(z) = 0
M(z) = - (1/2)ql2
• Diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione
ql2/2
B+ ql
z
S1
T(z)
N(z)
M(z)
C
B A
T
- ql
C
A
N -
ql
B
C
B A
M
2
2ql
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
11
• Calcolo delle reazioni vincolari
• Equilibrio asta BD
-XB = 0
YD – YB = 0
MD + XBl +YBl = 0
XB = 0
YB = YD
MD = -YBl
• Equilibrio asta ABC
XA = 0
YA + YB – ql/2 = 0
YBl – (ql/2)[l+ (2/3)l] = 0
XA = 0 XB = 0
YB = (5/6)ql YA = -ql/3
YD = (5/6)ql
MD = -(5/6)ql2
/4
2BD ;BCAB ll
l l
l
D
C A B
q
l
Esercizio 1.3
l l
(2/3)l l/3
XA
YA YB XB
MD
YB
XB
YD
Y
X
2
ql
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
12
• Riepilogo delle reazioni vincolari
• Verifiche
Y = 0 026
5
3
qlqlql ✓
MB = 0 03
2
26
5
6
5
3
2 lql
qllql
lql
✓
• Caratteristiche della Sollecitazione
(2/3)l
l
l l
D
C A B
q
(5/6)ql
(1/3)ql
(5/6)ql2
z
z z
l
l l
2
ql
(2/3)l l/3
(5/6)ql2
(5/6)ql (1/3)ql
(5/6)ql
(5/6)ql
l
l l
l/3
(1/3)ql (5/6)ql2
(5/6)ql
2
ql
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
13
• Tratto AB
N(z) = 0
T(z) = - (1/3)ql
M(z) = -(1/3)ql z
• z = 0 S1 A N(0) = NA = 0
T(0) = TA = -(1/3)ql
M(0) = MA = 0
• z = l S1 B- N(l) = NB- = 0
T(l) = TB- = -(1/3)ql
M(l) = MB- = -(1/3)ql2
• Nodo B
Equilibrio del Nodo B
NB+ = 0
TB+ = ql/2
MB+ = -ql2/3
A S1
z
T(z)
M(z)
N(z)
(1/3)ql
ql/3
ql2/3 B-
NB+
ql/3
TB+
MB+ ql2/3
B
TB+
MB+
B+
(5/6)ql
ql/3
ql2/3 B-
ql/3
ql/2
ql2/3 ql2/3
B
ql/2
ql2/3
B+
(5/6)ql
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
14
• Tratto BC
La legge di variazione del carico distribuito nel sistema
di riferimento locale è zl
qzq )( . Le equazioni di
Equilibrio del tratto B+S2 comportano (vedi Fig.):
N(z) = 0
T(z) = 2
ql-
l
qz
2
2
M(z) = 623
32 qzz
qlql
• z = 0 S2 B+ N(0) = NB+ = 0
T(0) = TB+ = (1/2)ql
M(0) = MB+ = -(1/3)ql2
• z = l S2 C N(l) = NC = 0
T(l) = TC = 0
M(l) = MC = 0
• Tratto BD
N(z) +2
2
6
5ql = 0 N(z) = - 2
12
5ql
T(z) +2
2
6
5ql = 0 T(z) = - 2
12
5ql
MS3 =0 M(z) = - 212
5ql z
• z = 0 S3 B N(0) = NB = - 212
5ql
T(0) = TB = - 212
5ql
M(0) = MB = 0
• z = l 2 S3 D N( 2l ) = ND = - 212
5ql
T( 2l ) = TD = - 212
5ql
M( 2l ) = MD = - 2
6
5ql
B
(5/6)ql
z
N(z) T(z)
M(z)
S3
B+
ql/2
ql2/3
z
T(z)
M(z)
N(z)
S2
(2/3)z z/3
l
qz
2
2
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
15
• Diagrammi delle Caratteristiche della Sollecitazione
D
C A B
212
5ql
- N
T
D
C A
B
212
5ql
-
+
- 3
ql
2
ql
M
D
C A B
2
6
5ql
3
2ql
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
16
• Calcolo delle reazioni vincolari
Il sistema assegnato è staticamente determinato (la dimostrazione si lascia per esercizio).
Come prima cosa conviene scom-
porre il carico distribuito in una
componente perpendicolare e in
una componente parallela alla di-
rezione AC. Si osserva poi che
l’asta EC è sottoposta unicamente
a forza normale; pertanto le rea-
zioni vincolari delle cerniere C ed
E devono essere parallele alla dire-
zione EC.
l l l
l A
B C
D E
/4
/4
2p
2p
pCosp 4
2
pnSp 4
i 2
Esercizio 1.4
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
17
• Equilibrio corpo ABCD
CE
2
0
R2
2
l
pdx = 0
CE
2
0
R2
2
l
pdx +YA+YD= 0
lpxdx
l
2R2
2CE
2
0
+ YDl = 0
RCE = - 22 pl
YD = 6pl YA = -2pl
l
CER
CER
2
2
CER
2
2
CER
CER
2
2
CER
2
2
l l
A B
D
C
YA
YD
CER
CER
2
2
CER
2
2
p
p
Y
X
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
18
• Riepilogo delle reazioni vincolari
• Verifiche
X = 0 02
2
0
l
pdxpl ✓
Y = 0 0262
2
0
l
pdxplplpl ✓
MD = 0 0222
2
0
222 l
pldxplplpl ✓
22 pl
pl2
pl2
l l
A B
D
C
2pl
6pl
p
p
l
22 pl
pl2
pl2
22 pl
pl2
pl2
C
E
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
19
• Caratteristiche della Sollecitazione
• NODO B
22 pl
pl2
pl2
22 pl
pl2
pl2
C
E
z
22 pl
pl2
pl2A B
D
C
2pl
6pl
p
p
z
z z
NBIII
TBIII
MBIII
NBI
TBI
MB1
MBII
NBII
TBII
NBIII
TBIII
MBIII
BIII BI NB
I
TBI
MBI
NBII
TBII
MBII
BII
B
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
20
• Tratto AB
N(z) = pz
T(z) = -2pl - pz
M(z) = -2pl z - (1/2)pz2
• z = 0 S1 A N(0) = NA = 0
T(0) = TA = -2pl
M(0) = MA = 0
• z = l S1 BI N(l) = NBI = pl
T(l) = TBI = -3pl
M(l) = MBI = -(5/2)pl2
• Tratto DB N(z) = -6pl
T(z) = 0
M(z) = 0
• z = 0 S2 D N(0) = ND = -6pl
T(0) = TD = 0
M(0) = MD = 0
• z = l S2 BII N(l) = NBII = -6pl
T(l) = TBII = 0
M(l) = MBII = 0
T(z)
M(z)
N(z)
p
z/2 z/2
pz
z
S1 A
pz
2pl
D
S2
6pl
z
T(z)
N(z)
M(z)
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
21
• Nodo B
Equilibrio del Nodo B
NBIII = pl
TBIII = 3pl
MBIII = -(5/2) pl 2
NBIII
TBIII
MBIII
BIII BI pl
3pl
(5/2)pl 2
NBIII
TBIII
MBIII
pl
3pl
(5/2)pl 2
6pl
B
BII
6pl
pl
3pl
(5/2)pl 2 BIII BI pl
3pl
(5/2)pl 2
pl
3pl
(5/2)pl 2
pl
3pl
(5/2)pl 2
6pl
B
BII
6pl
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
22
• Tratto BC
N(z) = pl + pz
T(z) = 3pl - pz
M(z) = -(5/2)pl2 +3pl z - (1/2)pz2
• z = 0 S3 BIII N(0) = NBIII = -pl
T(0) = TBIII = 3pl
M(0) = MBIII = -(5/2)pl2
• z = l S3 C N(l) = NC = 2pl
T(l) = TC = 2pl
M(l) = MC = 0
• Tratto CE
N(z) = 22 pl
T(z) = 0
M(z) = 0
T(z)
M(z)
N(z)
p
z/2 z/2
pz
z
S3
BIII
pz (5/2)pl 2
3pl
pl
Ing. Ambiente SdC - Sistemi di Travi - PCasini
23
• Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
A B C
D E
N +
-
+
6pl
2pl
22 pl
A
B C
D E
T +
-
2pl 3pl
2pl
3pl
A B C
D E
M
2
2
5pl