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Esercizi di Controlli Automatici - 7
A.A. 2016/2017
METTERE RETI A SELLAEsercizio 1. Dato il sistema di funzione di trasferimento
G(s) =10
s(s+ 1)
i) se ne tracci i diagrammi di Nyquist e di Bode evidenziando in entrambi, se esistono,pulsazione di attraversamento e margine di fase. Di tali parametri si calcoli il valorenumerico.
ii) Si consideri il sistema di funzione di trasferimento W (s), ottenuto per retroazioneunitaria negativa da G(s). Si tracci il diagramma di Bode di W (jω) e se ne calcolinobanda passante e, se esistono, pulsazione di risonanza e massimo di risonanza.
Esercizio 2. Con riferimento al processo di funzione di trasferimento
G(s) = 101 + s
s2 + 5s+ 100,
si progetti un controllo in retroazione in modo tale che
1) il risultante sistema retroazionato sia di tipo 1 con errore di regime permanente (algradino unitario) pari a e∗rp = 0.1;
2) la funzione di trasferimento in catena aperta C(s)G(s) abbia pulsazione di attraver-samento all’incirca ω∗A = 1000 rad/sec e
3) abbia margine di fase pari almeno a 80o.
Esercizio 3. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =1
1 + 10s.
Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato
i) sia di tipo 1, con errore di regime permanente (alla rampa lineare), e(2)rp , non superiore
a 0.1;
e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),
ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 10 rad/sec;
ii) abbia margine di fase pari almeno a 45o.
1
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare, tempo-invariante, a tempo continuo difunzione di trasferimento
G(s) =1
s+ 10.
Supponendo di controllare il sistema attraverso un sistema di controllo a retroazione uni-taria del tipo
- h+ - CPI(s) - G(s) -
6
r(t) e(t) u(t) y(t)−
si progetti, se possibile, un controllore PI
CPI(s) = Kp +Ki
s∈ R(s)
in modo tale che il risultante sistema retroazionato, di funzione di trasferimento W (s),soddisfi ai seguenti requisiti:
1) sia BIBO stabile;
2) la risposta impulsiva del sistema sia combinazione lineare di due modi sinusoidalismorzati;
3) la W (s) presenti uno zero instabile.
Esercizio 5. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =100
(1 + s)(1 + 0.1s).
Si progetti un controllore C(s) di tipo PD, e quindi con la seguente struttura
C(s) = Kp +Kds,
in modo tale che il risultante sistema retroazionato
i) sia di tipo zero con errore di regime permanente (al gradino) pari a 0.001;
ii) abbia banda passante all’incirca Bp = 104 rad/sec.
Esercizio 6. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =25
s(s+ 5)(s+ 10).
Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato
2
i) sia di tipo 1;
e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),
ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 8 rad/sec;
iii) abbia margine di fase pari almeno a 45o.
Esercizio 7. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =(1− s)
5s(1 + 0.5s).
Si progetti un controllore C(s)
i) di tipo P, ovveroC(s) = Kp,
in modo tale che il risultante sistema retroazionato sia BIBO stabile con poli com-plessi coniugati e fattore di smorzamento ξ = 1/2.
ii) di tipo PI, ovvero
C(s) = Kp +Ki
s,
in modo tale che il risultante sistema retroazionato sia BIBO stabile e la funzionedi trasferimento in catena aperta, C(s)G(s), abbia pulsazione di attraversamentoω∗A = 0.1 rad/sec e margine di fase almeno pari a 450.
Esercizio 8. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =(1 + s)
(1 + 0.1s)(1 + 0.01s).
Si progetti un controllore C(s) di tipo PI, e quindi con la seguente struttura
C(s) = Kp +Ki
s,
in modo tale che il sistema retroazionato
i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente alla rampa lineare non superiore a 0.1;
e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),
ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 1000 rad/sec;
iii) abbia margine di fase pari almeno a 80o.
Esercizio 9. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =1
(s+ 1)2.
Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato
3
i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente (alla rampa lineare) al piu 0.01;
e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),
ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 10 rad/sec;
iii) abbia margine di fase pari almeno a 45o.
Esercizio 10. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =s+ 1
s.
Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato
i) sia di tipo 2 con errore di regime permanente (alla rampa parabolica) al piu 0.01;
e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),
ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 105/2 rad/sec;
iii) abbia margine di fase pari almeno a 60o.
Esercizio 11. Si consideri un processo di funzione di trasferimento
G(s) =10
1 + s.
1. Si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio in modo tale che il risultante sistemaretroazionato di funzione di trasferimento
W (s) =C(s)G(s)
1 + C(s)G(s)
i) sia di tipo 1 con errore di regime permanente (alla rampa lineare unitaria) alpiu pari ad 0.01;
e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),
ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 103 rad/sec e
iii) margine di fase pari almeno a 90o.
iv) Si dimostri che il problema della reiezione di un disturbo costante agente sovrap-posto all’ingresso u(t) e automaticamente risolto. Come cambierebbe la rispostase il processo avesse funzione di trasferimento
G′(s) =10
s(1 + s)?
2. Sempre con riferimento a G(s), si progetti un controllore C(s) ∈ R(s) proprio inmodo tale che il risultante sistema retroazionato di funzione di trasferimento
W (s) =C(s)G(s)
1 + C(s)G(s)
4
i) sia BIBO stabile;
ii) sia di tipo 0 con errore di regime permanente (al gradino unitario) al piu pariad 0.1, e
ii) insegua senza errore a regime il segnale r(t) = 3 sin tδ−1(t).
Esercizio 12. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =1
1 + s/104.
Si progetti un controllore C(s) in modo tale che il risultante sistema retroazionato
i) sia di tipo 1, con errore di regime permanente (alla rampa lineare), e(2)rp , non superiore
a 0.01;
ii) insegua senza errore a il segnale r(t) = sin(10t)δ−1(t).
e la funzione di trasferimento in catena aperta, C(s)G(s),
ii) abbia pulsazione di attraversamento all’incirca ω∗A = 100 rad/sec;
ii) abbia margine di fase pari almeno a 60o.
Si dica se il risultante sistema e in grado di annullare a regime l’effetto di eventuali disturbicostanti agenti tra controllore e processo.
Esercizio 13. Si consideri il processo di funzione di trasferimento
G(s) =10
1 + 0.1s+ s2.
1. Si progetti una rete a sella stabilizzante, in modo che l’errore a regime al gradino sia
e(1)rp ' 10−3, la pulsazione di attraversamento ωA ' 10 rad/s ed il margine di fasemψ ' 90o.
2. Si progetti un PID stabilizzante, in modo che l’errore a regime alla rampa lineare
sia e(2)rp ' 0.1, la pulsazione di attraversamento ωA ' 10 rad/s ed il margine di fase
mψ ' 90o.
Esercizio 14. Dato il sistema di funzione di trasferimento
G(s) =10
(s+ 1)2
e richiesto di progettare
i) una rete a sella stabilizzante C1(s) che garantisca e(1)rp ' 10−4 al gradino, ωA ' 10
rad/s e mψ ' 90◦;
ii) un PID stabilizzante C2(s) che garantisca e(2)rp ' 0.1 alla rampa lineare, ωA ' 10
rad/s e mψ ' 90◦.
5
Soluzioni numeriche di alcuni esercizi
Esercizio 2. Il requisito sul tipo richiede l’introduzione di un polo nell’origine. Ilvincolo sull’errore di regime permanente impone
erp =1
KB(C)0.1≈ 0.1
da cui segue KB(C) ≈ 100. Prendiamo KB(C) = 100 a cui corrisponde C ′(s) = 100s .
I diagrammi di Bode di G(s) = C ′(s)G(s) sono i seguenti:
10−1
100
101
102
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
dB
pulsazione
Diagramma di Bode − Modulo
6
10−1
100
101
102
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
gra
di
pulsazione
Diagramma di Bode − Fase
Si trova 103/2 rad/s ≈ ωA < ω∗A = 1000 rad/s e mψ(ω∗A) := 180◦+arg(C ′(jω∗A)G(jω∗A))soddisfa 0◦ ≈ mψ(ω∗A) < m∗ψ = 65◦. Possiamo quindi applicare un’azione anticipatrice inmodo da sollevare il diagramma delle ampiezze fino a far sı che la pulsazione di attraversa-mento diventi ω∗A = 1000 rad/s e di sollevare la fase di almeno 65◦. Va sottolineato che ilvincolo sull’errore di regime permanente mi impedisce di modificare il guadagno di Bodedel controllore e pertanto potro agire solo introducendo zeri e poli.
Una soluzione “ad occhio” puo essere ottenuta introducendo opportunamente uno zeroprima della pulsazione di attraversamento in modo tale da soddisfare entrambi i requisitisu pulsazione di attraversamento e fase. Tenuto conto del fatto che comunque il controlloreha gia un polo nell’origine, il risultante controllore C(s) sara comunque proprio e quindinon e necessario introdurre ulteriori poli. Introducendo semplicemente uno zero in −1,ovvero un fattore (1 + s), osservo che i diagrammi di Bode di
C(s)G(s) = 1001 + s
s· 0.1 1 + s
1 + 2 · 0.25 s10 + s2
102
diventano
7
10−1
100
101
102
103
104
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
dB
pulsazione
Diagramma di Bode − Modulo
10−1
100
101
102
103
104
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
gra
di
pulsazione
Diagramma di Bode − Fase
e pertanto tutte le specifiche sono soddisfatte. Pertanto un controllore che conseguel’obiettivo desiderato e
C(s) = 1001 + s
s.
Esercizio 3. Per soddisfare i vincoli su tipo ed errore di regime permanente scegliamoC ′(s) = KB(C)
s , con guadagno di Bode KB(C) che soddisfa
1
KB(C)≤ 0.1,
8
da cui segue KB(C) ≥ 10 Assumiamo nel seguito C ′(s) = 10s . I diagrammi di Bode di
C ′(s)G(s) = 10s(1+10s) sono illustrati di seguito:
10−2 10−1 100 101−60
−40
−20
0
20
40
60
dB
pulsazione
Diagramma di Bode − Modulo
10−2 10−1 100 101−180
−170
−160
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
grad
i
pulsazione
Diagramma di Bode − Fase
La pulsazione di attraversamento desiderata e ω∗A = 10 rad/s, mentre il margine di fasealla pulsazione desiderata e mψ(ω∗A) ≈ 0◦. La pulsazione di attraversamento di C ′(s)G(s) eωA = 1 rad/s. Per alzare sia modulo che fase alla frequenza di attraversamento desderata,e necessario ricorrere ad una rete anticipatrice
Cant(s) =1 + sT
1 + sαT, T > 0, 0 < α < 1.
Una soluzione ad occhio e la seguente:
C ′′(s) =1 + 10s
1 + 10−3s.
Ne verifichiamo la correttezza:
9
100 101 102 103 104−100
−80
−60
−40
−20
0
20
dB
pulsazione
Diagramma di Bode − Modulo
100 101 102 103 104−180
−170
−160
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
grad
i
pulsazione
Diagramma di Bode − Fase
Esercizio 4. Con semplici calcoli si verifica che la funzione di trasferimento W (s) delsistema retroazionato e data da
W (s) =CPI(s)G(s)
1 + CPI(s)G(s)=
Ki
(sKp
Ki+ 1
)s2 + (10 +Kp) s+Ki
.
Tale funzione di trasferimento presenta poli “stabili” (ovvero a parte reale negativa) se esolo se {
10 +Kp > 0,Ki > 0.
Inoltre, tale funzione presenta uno zero instabile se e solo se Kp/Ki < 0 e, tenuto contodel fatto che Ki deve essere positivo, quest’ultimo vincolo si riscrive come Kp < 0. Infine,affinche i poli della W (s) siano complessi coniugati occorre e basta che il discriminantedel polinomio al denominatore sia negativo, ovvero
(10 +Kp)2 − 4Ki < 0.
10
Riassumendo, le condizioni che i parametri Kp e Ki del controllore devono soddisfare sonole seguenti: {
−10 < Kp < 0(10 +Kp)
2 < 4Ki.
Tra le possibili soluzioni una e, ad esempio,
Kp = −9, Ki = 1.
Esercizio 7. i) La funzione di trasferimento del sistema retroazionato e:
W (s) =KpG(s)
1 +KpG(s)=
Kp(1− s)5s(1 + 0.5s) +Kp(1− s)
=Kp(1− s)
2.5s2 + (5−Kp)s+Kp.
Trattandosi di una rappresentazione irriducibile, per valutare la BIBO stabilita e sufficienteverificare che il polinomio al denominatore
d(s) = 2.5s2 + (5−Kp)s+Kp
sia Hurwitz. In base alla regola dei segni di Cartesio cio succede se e solo se 0 < Kp < 5.La condizione che i poli siano complessi coniugati impone che il discriminante di d(s) sianegativo, ovvero
∆ = (5−Kp)2 − 10Kp < 0. (1)
Mentre
d(s) = 2.5s2 + (5−Kp)s+Kp = 2.5
[s2 +
(5−Kp)
2.5s+
Kp
2.5
]≡ 2.5[s2 + 2ξωns+ ω2
n],
impone
ξ =5−Kp
5
√2.5
Kp= 0.5,
la cui soluzione e Kp = 2.5. Chiaramente Kp = 2.5 appartiene all’intervallo (0, 5). Verificoora che per esso valga la diseguaglianza (1). Si vede che
(2.5)2 − 25 < 0
e quindi la (1) e soddisfatta.
ii) Un modo possibile di procedere e il seguente: consideriamo il controllore PI comeespresso nella forma
C(s) =1
s· C ′′(s),
con
C ′′(s) = Ki
(1 +
Kp
Kis
).
Tracciamo allora i diagrammi di Bode di
C ′(s)G(s) =1
s·G(s) =
(1− s)5s2(1 + 0.5s)
,
11
e cerchiamo di scegliere il valore del guadagno di Bode del controllore, Ki, e la collocazionedello zero del controllore, in modo da soddisfare le specifiche. Dall’esame dei diagrammidi Bode
10−2 10−1 100 101 102−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
dB
pulsazione
Diagramma di Bode − Modulo
10−2 10−1 100 101 102−360
−340
−320
−300
−280
−260
−240
−220
−200
−180
arg(
W) [
°]
pulsazione [rad/s]
Diagramma di Bode − Fase
si deduce che una possibilita e quella di inserire lo zero in −0.01 = −10−2 rad/s.In questo modo la fase passerebbe da −180◦ a −90◦, in un intorno di 10−2 rad/s, e incorrispondenza a 10−1 rad/s la fase sarebbe approssimativamente −90◦, garantendo unmargine di fase maggiore di 45◦. A questo punto per imporre ω∗A = 10−1 rad/s e sufficienteabbassare il diagramma di Bode delle ampiezze scegliendo
Ki = 1/200.
Si trova quindi
C(s) =1
200
1
s(1 + 100s),
(che corrisponde a Ki = 1/200 e Kp = 1/2) e i diagrammi di Bode di C(s)G(s) sono iseguenti:
12
10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
dB
pulsazione
Diagramma di Bode − Modulo
10−4 10−3 10−2 10−1 100 101 102−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
arg(
W) [
°]
pulsazione [rad/s]
Diagramma di Bode − Fase
Il criterio di Bode assicura che il risultante sistema retroazionato sia BIBO stabile.
13