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7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
1/24
Esercizio 35
(File scaricato da http://www.extrabyte.info)
Calcolare:
limx+
3
x 1 3
2x
***
SoluzioneRisulta:
limx+
3
x 1 3
2x
= La forma indeterminata puo essere rimossa determinando un fattore razionalizzante. Ingenerale, se
f(x) = N
p (x) N
q(x),
il fattore razionalizzante e:
r (x) =Nk=1
(1)k+1 N
p (x)Nk q(x)k1
Per f(x) = 3
x 1 32x
r (x) =3
k=1
(+1)k+1N
(x 1)3k (2x)k1
=3
(x 1)2
+3
2x (x 1) +3
4x2Da cio segue:
limx+
3
x 1 3
2x
= limx+
3
x 1 32x 3(x 1)2 + 32x (x 1) + 34x23
(x 1)2 + 3
2x (x 1) + 3
4x2
= limx+
x + 1
3(x 1)2 + 32x (x
1) + 3
4x2
= limx+
3x 1 + 1x
3
1 1
x
2+ 3
2 1x2
+ 3
4
= (+) (1 + 0+)
1 + 3
2 + 3
4
= (+)=
1
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
2/24
Esercizio 37
Calcolarelim
x
x +
4
x4 + 1
***
Abbiamo:
limx
x +
4
x4 + 1
= +, (1)cioe il limite si presenta nella forma indeterminata . In questo caso lindeterminazionesi rimuove moltiplicando e dividendo per un fattore razionalizzante r (x), che in generale siscrive:
r (x) =Nk=1
(1)k+1 N
p (x)Nk q(x)k1, per f(x) = N
p (x) N
q(x) (2)
Per poter applicare la (2), scriviamo nella (1) x = 4
x4 (prendiamo la radice con il segno poiche nel calcolo del limite e x ). Quindi:
f(x) = x +4
x4 + 1 =4
x4 + 1 4
x4 (3)
Con la f(x) scritta come in (3) possiamo applicare la (2) per ottenere r (x):
r (x) =4
(x4 + 1)3 +
4
x4 (x4 + 1)2 + 4
x8 (x4 + 1) +
4
x12 (4)
Abbiamo:
limx f(x) = limxf(x) r (x)
r (x) (5)
Sviluppiamo f(x) r (x):
f(x) r (x) =
4
x4 + 1 4
x4
4
(x4 + 1)3 +
4
x4 (x4 + 1)2 + 4
x8 (x4 + 1) +
4
x12
=4
(x4 + 1)4 4
x16
Quindi:
limx
f(x) = limx
4
(x4 + 1)4 4
x16
r (x)(6)
= limx
x4 + 1 x4r (x)
= limx
1
r (x)
2
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
3/24
Ma
limx
r (x) = +,per cui:
limx
f(x) = limx
1
r (x)=
1
+
= 0+ (7)
Esercizio 43
Determinare lordine dei seguenti infinitesimi (per x 0):1. f(x) = 10
4xx+1
2. f(x) = n
x + n
x (per x 0+)3. f(x) = n
x2 n
x3 (per x 0+)
4. f(x) = sin x
tan x
***
Soluzione
1. Assumiamo in tutti gli esercizi, la funzione u (x) = x come infinitesimo di riferimento.
limx0
f(x)
u (x)= 104 lim
x0x1
x + 1 R {0} = 1
Quindi f(x) e un infinitesimo di ordine = 1.
2. f(x) = nx + nxlimx0+
n
x + n
x
x= lim
x0+n
x + n
x
xn
= limx0+
n
x1n +
n
x1n2 R {0} = 1n2
Quindi f(x) e un infinitesimo di ordine = 1n2
.
Alternativamente:
limx0+
n
x + n
x
x= lim
x0+
x + x1/n
1/nx
(8)
Ma nella (8) x e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x1/n, per cui
limx0+
x + x1/n
1/nx
= limx0+
x1/n2
x R {0} = 1
n2(9)
Inoltre gli infinitesimi n
x + n
x e n2
x sono equivalenti, giacche il limite (9) vale 1:
n
x + n
x n2x (10)
3
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
4/24
3. f(x) =n
x2 n
x3
limx0+
n
x2 n
x3
x= lim
x0+
n
x2n n
x3n R {0} = 2
n
Quindi f(x) e un infinitesimo di ordine = 2n
.
Alternativamente:
limx0+
n
x2
n
x3
x= lim
x0+ x2/n
x3/n
x(11)
Ma x3/n e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x2/n, per cui
limx0+
x2/n x3/nx
= limx0+
x2/n
x R {0} = 2
n
Inoltre gli infinitesimi n
x2 n
x3 e n
x2 sono equivalenti, giacche il limite vale 1:
n
x2 n
x3 n
x2 (12)
4. f(x) = sin x tan x
limx0
sin x tan xx
= limx0
sin x (cos x 1)x cos x
= limx0
sin x
x 1
cos x cos x 1
x1
R {0} 1 = 2 = 3
Esercizio 107
Calcolare il limite:
limx1
1 + cos (x)
x2 2x + 1SoluzioneAbbiamo:
limx1
1 + cos (x)
x2 2x + 1 = limx11 + cos (x)
(x 1)2 =0
0
H= limx1
sin x2 (x 1)
= 2
limx1
sin x
x 1=
0
0H=
2
xlimx1
cos x
=2
2
4
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
5/24
Esercizio 108
Calcolare il seguente limite:
limx0
(cos x)1
x2
***
SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata 1:
limx0
(cos x)1
x2 = 1
Calcoliamo il logaritmo del limite:
ln
limx0
(cos x)1
x2
= lim
x0ln (cos x)
1
x2
= limx0 ln (cos x)
1
x2
x2
=0
0
Abbiamo quindi ricondotto la forma indeterminata 1 alla forma indeterminata 00
. Possiamopercio applicare la regola di De LHospital:
limx0
ln (cos x)1
x2
x2H= lim
x0
1cosx
( sin x)2x
= 12
limx0
tan x
x= 1
2
Percio:
ln
limx0
(cos x)1
x2
= 1
2
Si conclude che:
limx0
(cos x)1
x2 =1
e
Esercizio 110
Calcolare il seguente limite:
limx0
x2 arctan x2arcsin x x
***
5
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
6/24
SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata 0
0:
limx0
x2 arctan x2arcsin x x =
0
0
Possiamo percio applicare la regola di De LHospital:
limx0
x2 arctan x2arcsin x x
H= lim
x02x 2x
1+x4
11x2 1
= 2 limx0
1 x2
1 + x4 x (1 + x
4) x1 1 x2
= 2 limx0
x4
1 x21 + x4
= 0
Esercizio 111
Calcolare il seguente limite:
limx0
1
sin2 x 1
x2
***
SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata :
limx0 1
sin2 x 1
x2
= Possiamo percio applicare la regola di De LHospital:
limx0
1
sin2 x 1
x2
H= lim
x02x sin2x
2x sin2 x + x2 sin2x=
0
0
H= 2 lim
x02 2cos2x
2sin2 x + 4x sin2x + 2x2 cos2x
= limx0
4 1cos2x(2x2)
sinxx
2 + 2
sin2x2x
+ 2
sin2x2x
+ cos 2x
=4 1
2
1 + 2 + 2 + 1=
1
3
6
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
7/24
Esercizio 115
Studiare il comportamento della funzione:
f(x) =
1 + tan x + tan2 x
1 e2x , (13)in un intorno del punto x =
2.
***
SoluzioneDeterminiamo il limite sinistro e destro in tale punto.
limx
2
+f(x) = 0
= limx
2
+
1 e2x(1 + tan x + tan2 x)
1/2
H= limx
2
+2e
2x
12
(1 + tan x + tan2 x)3/2 1
cos2 x+ 2tanx
cos2 x
= 4 lim
x2
+
e2x cos3 x (1 + tan x + tan2 x)3/2
cos x + 2 sin x
= 4
limx
2
+
e2x
cos x + 2 sin x
lim
x2
+cos3 x
1 + tan x + tan2 x
3/2
Calcoliamo a parte i due limiti:
limx
2
+e
2x
cos x + 2 sin x = 12 (14)
limx
2
+cos3 x
1 + tan x + tan2 x
3/2(15)
= 0
= limx
2
+cos3 x
12
sin2x + 1
cos2 x
3/2
= limx2
+
cos3 x
|cos3 x| 12 sin2x + 13/2
= limx
2
+(1)
1
2sin2x + 1
3/2= 1
Per cui:
7
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
8/24
limx
2
+f(x) = 2 (16)
Passiamo al limite per x 2:
limx
2
f(x) = 0
Eseguiamo il cambio di variabile: y = tan x
limx
2
f(x) = limy+
1 + y + y2
1 e2arctanx (17)
= limy+
1 e2arctanx(1 + y + y2)1/2
=0
0
H= lim
y+
21+y2
e2 arctanx
12
(1 + y + y2)3/2 (1 + 2y)
= 4 limy+ e2 arctanx limy+ (1 + y + y2)3/2
(1 + y2) (1 + 2y)
= 4 1 12
,
cioe:
limx
2
f(x) = 2 (18)
Si conclude che x = 2
e un punto di discontinuita di prima specie della funzione f(x).
2
x
2
2
y
8
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
9/24
Esercizio 116
Verificare linapplicabilita della regola di De LHospital nel calcolo del limite:
limx0
x2 sin 1x
sin x
***
SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata 0
0:
limx0
x2 sin 1x
sin x=
0
0
Se applichiamo la regola di De LHospital:
limx0
x2 sin 1x
sin xH= lim
x02x sin 1
x cos 1
x
cos x,
ci ritroviamo con il cacolo del limite:
limx0
cos1
x,
che ovviamente non esiste, per cui in tal caso la regola e inapplicabile. Tuttavia, il limiteesiste. Infatti:
limx0
x2 sin 1x
sin x= lim
x0
x
sin x x sin 1
x
= 1 0 = 0,
poiche e limx0 x sin 1x = 0.
Esercizio 117
Verificare linapplicabilita della regola di De LHospital nel calcolo del limite:
lim|x|+
x sin xx + sin x
***
Soluzione
Osserviamo che lim|x|+ sin x, ne tantomeno e possibile applicare la regola di De LHospital,in quanto produrrebbe funzioni trigonometriche a numeratore e denominatore e come talinon regolari allinfinito.Tuttavia, il limite esiste. Infatti:
lim|x|+
x sin xx + sin x
= lim|x|+
1 sinxx
1 + sinxx
=1 01 + 0
= 1,
poiche e lim|x|+ sinxx = 0.
9
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
10/24
Esercizio 118
Calcolare il limite:
limx0
3x + tan x
sin x + tan2 x,
senza applicare la regola di De LHospital.
***
Soluzione
limx0
3x + tan x
sin x + tan2 x=
0
0= lim
|x|+3 + tanx
xsinxx
+ tan xx
x=
3 + 1
1 + 1 0 = 4,
Esercizio 119
Calcolare il limite:
limx
2
2sin x (1 sin x)3cos2 x
,
senza applicare la regola di De LHospital.
***
Soluzione
limx
2
2sin x (1 sin x)3cos
2
x
=0
0
= limx
2
2sin x
3 limx
2
1 sin xcos
2
x
=2
3
limx
2
1 sin xcos
2
x
,
limx
2
1 sin xcos2 x
= limx
2
1 sin x(1 sin x) (1 + sin x) =
1
2
Quindi:
limx
2
2sin x (1 sin x)3cos2 x
=1
3
Esercizio 120
Calcolare il limite:
limx1
ln (1 + 4 arctan x)sin(1 x) ,
***
10
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
11/24
SoluzioneIl limite si presenta nella forma indeterminata 0
0:
limx1
ln (1 + 4 arctan x)sin(1 x) =
0
0
Applicando la regola di De LHospital:
limx1
ln (1 + 4 arctan x)sin (1 x)
H= lim
x1
11+4arctanx (4) 11+x2
cos(1 x)= 4
limx1
1
1 + 4 arctan x limx1
1
(1 + x2)cos(1 x)= 4 1 1
2= 2
Esercizio 121
Determinare le singolarita della funzione:
f(x) =e1/x 1e1/x + 1
, (19)
***
SoluzioneLa funzione e definita in X = R {0}.Determiniamo il limite sinistro e destro in x0 = 0:
limx0+
f(x) = limx0+
e+ 1e+ + 1
= = limx0+
1 e1/x1 + e1/x
=1 e1 + e+
=1 01 + 0
= 1 (20)
limx0
f(x) = limx0+
e 1e + 1
=0 10 + 1
= 1
Si conclude che x0 e un punto di discontinuita di prima specie della funzione f(x).
Esercizio 130
Studiare il comportamento per x 0 della funzione:f(x) = sin
1
x(21)
***
11
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
12/24
x 0
x 0
1
2
1
2
x
1
y
SoluzioneLa funzione e definita in X = R {0}, ed e manifestamente dispari: f 1
x
= f 1
x
.
Inoltre e limitata su tutto R:sin 1
x
1.Gli zeri sono:
f(x) = 0 1x
= k x = 1
,1
2,
1
3, ...,
1
k, con k Z
Inoltre:
f(x) = 1 1x
=
2+ 2k x = 2
,
15
,1
9, ...,
2 + 4k
, con k Z
f(x) = 0 1x
=3
2 + 2k x = 2
3,
2
7,
2
11, ...,
2
3 + 4k, con k Z
Osserviamo che i punti xk =1k
, xk =2
+4k, xk =
23+4k
si addensano intorno a x = 0 (alcrescere indefinito di k), per cui in ogni intorno di x = 0, la funzione assume i valori 0,1, 1.Pertanto non puo essere verificata la definizione di limite, che in questo caso e:
> 0, > 0 | 0 < |x| < = |f(x) l| < (22)In altri termini, l tale che lo scarto |f(x) l| puo essere reso arbitrariamente piccolo. Siconclude che la funzione (21) non e regolare in x = 0. Per quanto riguarda il diagrammacartesiano, osserviamo che in ogni intorno di x = 0, la funzione compie infinite oscillazioni,per cui non e possibile completare il grafico intorno a x = 0, come mostrato in fig.1 .Osserviamo infine che allinfinito la funzione e infinitesima, avendosi:
12
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
13/24
1
1
12
12
2
2
x
1
1
y
Figure 1: Grafico di f(x) = sin 1x
limx+
sin1
x= lim
t0+sin t = 0+
limx
sin1
x= lim
t0sin t = 0
Esercizio 131
Studiare il comportamento per x 0 della funzione:
f(x) = x sin1
x(23)
***
SoluzioneLa funzione e definita in X = R {0}, ed e manifestamente pari: f 1
x
= f
1x
. Inoltre :
x X,x sin 1x
|x| (24)Dalla (24) applicando la definizione di limite:
limx0
x sin 1x
= 0, (25)
per cui la funzione e convergente in x = 0. Sempre per la (24) si ha che il diagrammacartesiano e contenuto nella regione del piano xy:
R = {(x, y) R | < x < +, x < y < x}Il diagramma cartesiano interseca infinite volte le rette y = x e y = x. Infatti:
13
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
14/24
f(x) = x xk = 2 (1 + 4k)
, k Z
f(x) = x xk = 2 (3 + 4k)
, k Z
Gli zeri sono:
f(x) = 0 1x
= k x = 1
,1
2,
1
3, ...,
1
k, con k Z
Come nel caso di sin 1x
anche qui la funzione compie infinite oscillazioni intorno al puntox = 0, con la differenza che le oscillazioni si smorzano per x 0.Il diagramma e riportato in fig.2 .
yxyx
2
2
2
3
2
3
1
x
y
Figure 2: Diagramma cartesiano di f(x) = x sin 1x
Osserviamo infine che allinfinito la funzione converge a 1, avendosi:
limx+
x sin1
x= lim
t0+sin t
t= 1
limx
x sin1
x= lim
t0sin t
t= 1
Esercizio 132Calcolare il limite:
limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x (26)
***
14
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
15/24
SoluzioneIl rapporto si presenta nella forma indeterminata 0
0:
limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x =
0
0,
per cui possiamo applicare la regola di De LHospital:
limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x
H= limx0
ex
+1
1x1
cos2 x 1 (27)
= limx0
cot2 x
1 x ex (1 x) 1
1 cos2 x
= 0 (28)
= limx0
1
1 x limx0ex (1 x) 1
tan2 x(29)
Calcoliamo a parte il secondo limite:
limx0
ex (1 x) 1tan
2
x
=0
0
H= lim
x0
ex (1 x) ex
2tan x 1
cos2 x
= 12
limx0
xex
tan xcos2 x
= 1
2
Dallequazione precedente si ricava:
limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x =
1
2
Esercizio 133
Calcolare il limite:limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x (30)
***
SoluzioneIl rapporto si presenta nella forma indeterminata 0
0:
limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x =
0
0,
per cui possiamo applicare la regola di De LHospital:
limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x
H= lim
x0ex + 1
1x1
cos2 x 1 (31)
= limx0
cot2 x
1 x ex (1 x) 1
1 cos2 x
= 0 (32)
= limx0
1
1 x limx0ex (1 x) 1
tan2 x(33)
15
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
16/24
Calcoliamo a parte il secondo limite:
limx0
ex (1 x) 1tan2 x
=0
0H= lim
x0ex (1 x) ex2tan x 1
cos2 x
= 12
limx0
xex
tan xcos2 x
= 1
2
Dallequazione precedente si ricava:
limx0
ex 1 + ln (1 x)tan x x =
1
2
Esercizio 133
Calcolare il limite:
limx+
ln (1 + 2ex)1 + x2
(34)
***
SoluzioneIl rapporto si presenta nella forma indeterminata :
limx+
ln (1 + 2ex)1 + x2
= ,
per cui possiamo applicare la regola di De LHospital:
limx+
ln (1 + 2ex)1 + x2
H= lim
x+2e
x
1+2ex
x1+x2
= 2 limx+
1 + 1
x2
ex + 2= 2 1 1
2= 1 (35)
Esercizio 134
Calcolare il limite:lim
x0+
arcsin x
ln x (36)
***
SoluzioneIl prodotto si presenta nella forma indeterminata 0 :
limx0+
arcsin x ln x = 0
16
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
17/24
Per applicare la regola di De LHospital dobbiamo ricondurre la forma indeterminata 0 a una delle due forme 0
0, . Ad esempio:
limx0+
arcsin x ln x = limx0+
ln x
(arcsin x)1=
H= lim
x0+
1x
(arcsin x)2 11x2
(37)
= limx0+
1 x2 arcsin x
x arcsin x
(38)
= 1 0 1 = 0 (39)
Esercizio 135
[ file scaricato da http:/www.extrabyte.info ]
Calcolare il limite:
limx0
1x cot x
***
SoluzioneLa differenza si presenta nella forma indeterminata :
limx0
1
x cot x
=
Tale forma indeterminata puo essere rimossa applicando la regola di De LHospital, dopo
aver ricondotto la forma alla00 :
limx0
1
x cot x
= lim
x0
1
x cos x
sin x
= (40)
= limx0
sin x x cos xx sin x
=0
0H= lim
x0x sin x
sin x + x cos x
= limx
0
sin xsinx
x
+ cos x
=0
1 + 1= 0
Esercizio 136
Calcolare il limite:
limx
2
ln |tan x|ln | 2x|
17
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
18/24
***
SoluzioneLa differenza si presenta nella forma indeterminata :
limx
2
ln |tan x|ln | 2x| =
,
per cui possiamo applicare la regola di De LHospital:
limx
2
ln |tan x|ln | 2x|
= limx
2
lntan x
ln ( 2x)H= lim
x2
1tanx
1cos2 x
22x
= limx2
2x
sin2x =0
0
Eseguiamo il cambio di variabile t = 2x = sin2x = sin (t + ) = sin t
limx
2
2x sin2x
= limt0
t
sin t= 1
Si conclude che:
limx
2
ln |tan x|ln
|
2x
|
= 1
Esercizio 137
Calcolare il limite:
limx0
1
x2 cot2 x
***
SoluzioneLa differenza si presenta nella forma indeterminata
:
limx0
1
x2 cot2 x
= ,
Per poter applicare la regola di De LHospital, riconduciamo la forma alla forma 00
:
18
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
19/24
limx0
1
x2 cot2 x
= limx0
1 x2 cot2 xx2
=0
0
H= lim
x0
2x cot2 x + 2x2 cot x 1sin2 x
2x= lim
x0x cos x sin x cos x
sin3 x
=
limx0
cos x limx0
x 12
sin2x
sin3 x
= limx0
x 12
sin2x
sin3 xH= lim
x01 cos2x
3sin2 x cos x
= limx0
41cos2x(2x)2
3 sin2 xx2
cos x =
2
3
Si conclude che:
limx0
1
x2 cot2 x
=
2
3
Esercizio 139
Calcolare il limite:
limx0 1
1 cos x 2
x2
***
SoluzioneLa differenza si presenta nella forma indeterminata :
limx0
1
1 cos x 2
x2
= ,
Per poter applicare la regola di De LHospital, riconduciamo la forma alla forma 00
:
19
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
20/24
limx0
1
1 cos x 2
x2
= limx0
x2 2 + 2 cos xx2 (1 cos x) =
0
0
H= 2 lim
x
0
x sin x2x
2x cos x + x2 sin x=
0
0H= 2 lim
x01 cos x
2 2cos x + 4x sin x + x2 cos x= 2 lim
x0
1cosxx2
21cosxx2
+ 4 sinxx
+ cos x
= 2 12
2 12
+ 4 1 + 1 =1
6
Si conclude che:
limx0
1
1 cos x 2
x2 = 1
6
Esercizio 140
Calcolare il limite:limx0
|x|sinx
***
SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata 00:
limx0 |x|sinx = 00,
Scriviamo:
limx0
|x|sinx = limx0
eln|x|sinx
= elimx0 ln|x|sinx
Quindi calcoliamo a parte il limite:
limx0
ln |x|sinx = limx0
sin x ln |x|Distinguiamo i casi: x 0+, x 0:
limx0+
ln |x|sinx = limx0+
sin x ln x = 0
= limx0+
ln x1
sinx
H= lim
x0+
sin2 x
x
1
cos x
= 0
20
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
21/24
Quindi:
limx0+
|x|sinx = e0 = 1 (41)
Per x 0:
limx0
ln|x|sinx = lim
x0sin x ln (
x) = 0
= lim
x0+ln (x)
1sinx
H= lim
x0+
sin2 x
x
1
cos x
= 0+
Quindi:
limx0
|x
|sinx = e0
+
= 1+ (42)
Dalle (41)-(42) segue:
limx0
|x|sinx = 1
Esercizio 141
Calcolare il limite:
limx+
eex
ex
***
SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata :
limx+
eex
ex= ,
Eseguiamo il cambio di variabile y = ex, per cui:
limx+
eex
ex
= limy+
ey
y
= +
Alternativamente:
limx+
eex
ex= lim
x+
eex1 = e+ = +
21
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
22/24
Esercizio 142
Calcolare il limite:
limx+
ln
1 + 1x
2 arctan x
***
SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata 0
0:
limx+
ln
1 + 1x
2 arctan x =
0
0,
Applichiamo la regola di De LHospital:
limx+
ln
1 + 1x
2 arctan x
H= lim
x+
11+x
1x2
2
1+x2
= 12
limx+
1 + x2
x (1 + x2)= 1
2
Esercizio 143
Calcolare il limite:
limx0
sin(ax) axsin(bx) bx
***
SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata 0
0:
limx0
sin(ax) axsin(bx) bx =
0
0,
Applichiamo la regola di De LHospital:
limx0
sin(ax) axsin(bx) bx
H= lim
x0a cos(ax) ab cos(bx) b
= 00
H= limx0 a
2
sin(ax)b2 sin(bx)
= a3
b3limx0
sin(ax)
axsin(bx)bx
= a3
b3
Quindi:
limx0
sin(ax) axsin(bx) bx =
a3
b3
22
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
23/24
Esercizio 144
Calcolare il limite:
limx0
x ln (1 + x)
1 cos x***
SoluzioneQui abbiamo la forma indeterminata 00
:
limx0
x ln (1 + x)
1 cos x =0
0,
Dividiamo numeratore e denominatore per x2
limx0
x ln (1 + x)
1 cos x = limx0ln(1+x)
x1cosx
x2
Calcoliamo separamente i due limiti:
limx0
ln (1 + x)
x
H= lim
x01
1 + x= 1
limx0
1 cos xx2
=1
2,
donde:
limx0
x ln (1 + x)
1 cos x = 2
Esercizio 145
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Calcolare il limite:
limx1
4 arctan x
1 x2
***
Soluzione
Qui abbiamo la forma indeterminata 00 :
limx1
4 arctan x
1 x2 =0
0,
Applichiamo la regola di De LHospital:
23
7/29/2019 Esercizi sui limiti di funzioni
24/24
limx1
4 arctan x
1 x2H= lim
x1
11+x2
x1x2
= limx1
1 x2
x 1
1 + x2
= 0
Quindi:
limx1
4 arctan x
1 x2 = 0
24