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CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Argomenti della lezione. Estensione delle nozioni di continuità e di limite alle funzioni di più variabili. Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziale di una funzione di più variabili. - PowerPoint PPT Presentation
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CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ
DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Argomenti della lezioneArgomenti della lezioneEstensione delle nozioni Estensione delle nozioni di continuità e di limite di continuità e di limite alle funzioni di più variabilialle funzioni di più variabiliDerivate direzionali Derivate direzionali e derivate parzialie derivate parzialiDifferenziale di una Differenziale di una
funzione funzione di più variabilidi più variabili
Continuità di funzioni
f : A Rn R
f : A Rn R
è continua in x0 = (x0
1, x02 ,… x0
n)T
se per ogni V intorno di f (x0)
esiste U intorno di x0
x UA è f(x) V
Rn
f(x0)
R
X0 A
V
U
Limite di funzioni
f : A Rn R
f : A Rn R
ha limite l per x che tende a x0 = (x0
1, x02 ,… x0
n)T
se per ogni V intorno di lesiste U intorno di x0
x UA è f(x) V
Una funzione
ma con restrizione
di due variabilinon continua in (0,0)T
ad ogni rettaper l’origine continua
f (x,y)0 se (x,y)T(0,0)T,x y
x2yse x2y0.
Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x = t, y = t, si trova
f ( t, t )=0 se t=0,2 t+
se 2 t2 + t 0•• ••
•• t••••
limt 0
f( t,t)0f (0,0)Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette
per l’origine è continuaper l’origine è continua
Ma la restrizione all’iperbole
per l’origine
y = k x2/(x -k), con k ≠ 0,
ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).
Anche il limite della funzione
La funzione non è continua in (0,0)T.
preso lungo l’iperbole
vale k ≠ 0 = f(0,0).
-0.5-0.5-1-1
-1.5-1.5
-2-2
Caso k = 211 -0.5-0.5 00 0.50.5 11
0
200
100
0
-100
-200
y
00
-0.5
-1
-1.5
-2
x0
2
1
0
-1
-2
Derivate Derivate direzionali direzionali e derivate e derivate
parzialiparziali
(x0, y0)T
A
∂f∂x xx0
f(x, y0)-f(x0,y0)x- x0
=(x0,y0) lim _____________
∂f∂y
(x0,y0) = limyy0
_____________f(x0, y)-f(x0,y0)y- y0
Più in generale
∂f∂xk
(x10 ,..,xk
0,.., xn0) =
f(x0,..,xk,.., xn0) - f(x0,..,xk
0,.., xn0)____________________________lim
xk - xk0xkxk
0=
Sia =(1,…, n)T un versore di Rn e sia
x(t)= x0+ t una retta passante per x0
e avente direzione .
La derivata di f in direzione , nel punto x0 è data da
∂f∂ =(x1
0 ,..,xk0,.., xn
0) f(x0+ t)- f(x0)limt0
____________t
FunzioneFunzione
non continuanon continua
con tutte le derivatecon tutte le derivate
direzionalidirezionalinulle in (0,0)nulle in (0,0)
ff ((xx,,yy))
00 sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT,,
xx 22 yyxx 44
yy 22
22
sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT..
SiaSia = = (cos (cos , sen, sen ))TT ee tt una retta per l’origineuna retta per l’origine
per t ≠ 0, e si ha
))22ff(cos(cos t, sent, sen
coscos44 sensen22 tt(cos(cos44 tt22++sensen22 t)t)
limt 0
f(cost,sen t) f(0,0)t
limt 0
cos4 sen2t
cos4t2 sen2 ( )2 0.
Ma Ma f(x,y)f(x,y) non è continua non è continua nell’origine. nell’origine.
Infatti la restrizione Infatti la restrizione alle parabole passanti alle parabole passanti
per l’origine per l’origine y =y =xx22 ( ( ≠ 0) ≠ 0) ha valore costante: ha valore costante:
f(x,x2)=2/(1+ 2)
0
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
y0
2
1
0
-1
-2x0
2
1
0
-1
-2
Differenziale Differenziale di una funzione di una funzione di più variabilidi più variabili
f : A Rn R
si dice differenziabile in x0 = (x0
1, x02 ,… x0
n)T
se esiste un’ applicazione
lineare L : Rn R tale che
f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+(x)|x- x0|
con (x) 0 se x x0.