Espacios pre-Hilbert

7/24/2019 Espacios pre-Hilbert

1/18

Apunts del curs dAlgebra i Geometria IPrimer curs, Grau en Fsica, UV

Joan J. Ferrando, Jose M. Mart i Manel PeruchoDepartament dAstronomia i Astrofsica, UV

Tema IV. ESPAIS PREHILBERTIANS

1.- Definicions i propietats basiques.

(a) Introduccio

Lespai i el temps de la fsica classica estan basats en lestructura euclidiana definida perun producte escalar. Un espai vectorial real de dimensio finita amb un producte escalares un espai vectorial euclidia.

Un espai prehilbertia es un espai vectorial complex o real, de dimensio infinita o finita,en que hem definit un producte escalar. Els espais de Hilbert que permeten formalitzarla Mecanica Quantica son espais prehilbertians complets.

Una metrica esta definida per un producte escalar que no es, necessariament, definit

positiu. Un espai real de dimensio finita amb una metrica definida en ell es un espai metric.Entre els espais metrics, a mes dels euclidians, trobem els lorentzians que permeten ferun model per a lespai-temps de la Relativitat.

(b) Producte escalar: definicio i propietats immediates

Definicio. Un producte escalar definit sobre un espai vectorial complex (o real) E es unallei de composicio externa g :E E C (R) ; (a, b)g(a, b) a | b , que satisfa:

(i) Simetria hermtica: a, b E,

a | b=b | a

(ii) Linealitat a la dreta: , C,a,b,cE,

c | a+ b= c | a +c | b

(iii) Es definida positiva no degenerada: a E,

a2 a | a 0 ; a | a= 0 a= 0

Propietats immediates:

(i) Semi-linealitat a lesquerra: , C,a,b,cE,

a+ b | c= a | c + b | c

(ii) Regularitat: a | b= 0 ,bE a= 0.(iii) Si a | b=a | c ,a E b= c.

(iv)ni=1

ivi |m

j=1

jwj=ni=1

mj=1

()i jvi | wj.

1


2/18



(c) Espai pre-Hilbert: definicio i exemples

Definicio. Un espai prehilbertia es una parella (E, g), onE es un espai vectorial complex(o real) i g

| es un producte escalar definit en ell.

Comentaris:

(i) Quan lespai vectorialE es real tenim un espai prehilbertia real. Aleshores la simetriahermtica del producte escalar passaria a ser simetria (commutativitat), i la semi-linealitat a lesquerra passaria a ser linealitat. Per tant seria lineal a dreta i esquerra(bilineal).

(ii) Un espai prehilbertia (real o complex) pot ser de dimensio finita o infinita.

(iii) Els espais prehilbertians reals de dimensio finita sanomenen espais vectorials eucli-dians. Aleshores el producte escalar de dos vectors es denota

a

|b

a

b.

Exemples:

(i) Lespai vectorial complex Cn, amb el producte:

a | b=ni=1

(ai)bi , a= (a1,...,an), b= (b1,...,bn) Cn

(ii) Lespai vectorial euclidia En(Rn, ), amb el producte:

a b=ni=1

aibi , a= (a1,...,an), b= (b1,...,bn) Rn

(iii) E3 es lespai fsicvectorial de la fsica classica.

(iv) Lespai vectorial complexL2(a, b) de les funcions complexes de quadrat integrabledefinides a linterval (real) [a, b], amb el producte:

f| g= ba

f(x)g(x)dx

(d) Matriu de Gram i forma lineal associada a un vector

Definicio. Si B ={e1,...,en} es una base dun espai prehilbertia (E, g) de dimensiofinita, anomenem components del producte escalar g en la base B (o matriu de Gram) a

gij =g(ei, ej) ei | ej , i, j = 1,...,n

Propietat. La matriu de Gram en una base determina el producte de dos vectors arbi-traris si coneixem les components del vectors en eixa base. Si a, b E,

a= aiei, b= bjej, a | b= n

i=1

nj=1

ei | ej(ai)bj =gij(ai)bj

2


3/18



Definicio. Si (E, g) es un espai prehilbertia, podem associar a cada vector a la formalineal g(a) definida per:

g(a)(v) =g(a, v) =a | v, vEDirem que g(a) es la forma lineal (co-vector) associada per g al vector a.

Notacio. Si expressem un vector amb la notacio|v aleshores el co-vector associat esdenotav|. Aleshores el producte escalara | b expressa tambe lactuacio del co-vectora| sobre el vector|b.Propietat. Si (E, g) es un espai vectorial euclidia, aleshores g :EE ; a g(a),es un isomorfisme entre E i E.

Definicio. SiB ={ei}n

i=1es una base dun espai prehilbertia de dimensio finita (E, g) igijson les components deg en el baseB , aleshores per a cada vectorv = v iei, les componentsdel co-vector g(v) sanomenen components covariantsdel vector i estan donades per

vjgij(vi).Aleshores es diu que hem baixat lndex del vector amb g.

Notem que el producte escalar de dos vectors a, b pot expressar-se com el producte ma-tricial de la matriu fila (a1,...,an) (co-vector) per la matriu columna (b

1,...,bn)T (contra-vector):

a | b= gij(ai

)bj

=ajb

j

= (a1,...,an)(b

1

,...,b

n

)

T

.

2.-Norma dun vector

(a) Definicio de norma. Propietats

Definicio. Siga (E, |) un espai vectorial prehilbertia. Anomenem norma dunvectorvEal nombre real no negatiu:

v =

v | v=

v2

Exemple: a lespai vectorial fsic E3 la norma dun vector es el modul del vector,v =|v|.Propietats:

(i)v 0 vE; v = 0 v= 0.(ii)v =||v vE , C.

(b) Desigualtats de Cauchy-Schwarz i de Minkowski

Propietat(desigualtat de Cauchy-Schwarz): Per a tota parella de vectors a, b E,

|a | b| abLa igualtat se satisfa sii els vectors son collineals,|a | b| =ab a= b.

3


4/18



Propietat (desigualtat triangular o de Minkowski): Per a tota parella de vectorsa, b E,

a+b

a

+

b

A mes,a+b =a + b a= b, R+.Definicio: Si E es un espai prehilbertia real, langle entre dos vectorsa, b E es elreal (a, b)[0, 2] tal que

cos = a | bab

Comentari: una norma es un aplicacio que associa a cada vector dun espai vectorialEun nombre real, i que satisfa les dues propietats de lapartat (a) i la desigualtattriangular. Hem vist que tot producte escalar defineix una norma, es a dir, tot espai

prehilbertia es un espai vectorial normat.La norma defineix unatopologia, estructura matematica que permet parlar dentorns,successions i lmits de successions.

3.- Ortogonalitat i sistemes ortonormals

(a) Ortogonalitat de vectors i de subespais

Definicio. Direm que dos vectorsa, bdun espai prehilbertia Eson ortogonals si elseu producte escalar es nul:

a b a | b= 0Comentari. A un espai pre-Hilbert real dos vectors son ortogonals si, i sols si,langle que formen els vectors es =

2. En aquest cas el concepte dortogonalitat

coincideix amb el de perpendicularitat.

Definicio. Direm que dos subespais vectorials F1, F2 dun espai prehilbertia E sonortogonals, F1F2, si cada vector de F1 es ortogonal a qualsevol vector de F2, es adir,

a F1,vF2, a | v= 0

Propietat: F1F2 F1 F2.Definicio. A un espai pre-Hilbert E, un conjunt de vectors{v1,...,vp}direm que esun sistema ortogonal si els vectors son ortogonals entre s dos a dos, es a dir,

vi | vj= 0 , i =j, i, j = 1, ...p

Teorema: Un conjunt ortogonal de vectors no nuls es un sistema lliure.

Corollari: Siga un E espai pre-Hilbert de dimensio finita n i B ={v1,...,vn} unconjunt de nvectors no nuls. Si el sistema B es ortogonal, aleshores es una base.

Exemple: En R3, B ={(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 1)} es una base.

4


5/18



(b) Bases ortonormals

Definicio. Direm que un vector v E es unitari si te norma unitat, es a dir,

v

= 1.

Comentari. Per a cada vectorv E, v= 0, sempre es possible trobar un vectorunitari uproporcional a ell, u=

v

v .

Definicio. A un espai pre-Hilbert E, un conjunt de vectors{v1,...,vp}direm que esun sistema ortonormal si es ortogonal i els vectors son unitaris, es a dir,

vi | vj= ij, i, j= 1,...,p

Corollari. En un espai prehilbertiaEde dimensio finitan, un sistema ortonormalde nvectors es base.

Base ortonormal. Si dim E=n, la matriu de Gram de g en una base ortonormal{ei}ni=1 es la matriu identitat ij:

gij =ei | ej= ij =

0 i =j1 i= j

, a | b=ni=1

(i)i =ij(i)j

Propietat. Si B ={ei}ni=1 es una base ortonormal dun espai prehilbertia E, ales-hores les components dun vector vEen la base B son les projeccions ortogonalsi =ei | v, es a dir,

v=

ni=1

iei=

ni=1

ei | vei

Exemples:

(i) A lespai prehilbertia Cn i a lespai euclidia En, la base canonica es una baseortonormal.

(ii) A lespai euclidia En, en qualsevol base ortonormal: a b=ni=1

ii =ijij.

(iii) A lespai euclidia E3, en base ortonormal{i,j, k}, si v = xi+ yj +zk, w =xi+yj+zk,

v w= xx+yy +zz, |v|= (x2 +y2 +z2)1/2

(iv) A lespai euclidia E2, siga{e1, e2} una base ortonormal. Aleshores:

v= v1 e1+v2 e2=|v|(cos e1+ sin e2) , (e1, v)

(v) A lespai euclidia E3, siga{e1, e2, e3} una base ortonormal. Aleshores:

v=|v|(cos 1 e1+ cos 2 e2+ cos 3 e3) , i (ei, v)

5


6/18



(c) Subespai ortogonal i projectors ortogonals

Definicio. SigaF un subespai vectorial dun espai prehilbertia E. El conjunt devectors ortogonals a F es un subespai vectorial i el denotem F,

F={a E /a | v= 0 , vF}

Propietats:

(i) F F.(ii) F F.

(iii) F1F2 F2 F1 .(iv) F=F

Propietat. Si F es de dimensio finita i B =

{v1,...,vp

} es una base de F,

F={a E /a | vi= 0 , viB}

Exemples:

(i) En E3, si{i,j, k} es una base ortonormal, aleshores{k}={i,j}.(ii) En E3, siF ={(x,y,z)/ x+y= 0}, aleshoresF={(x,y,z)/ xy= 0, z= 0}.

(iii) A lespai pre-Hilbert C3, siF ={(1, i, 1), (i, 0, i)}, aleshoresF={(1, 2i, 1)}.

Propietat. SiS=

{e1,...,ep

}es un sistema ortonormal iF =

S

, aleshoresF iF

son complementaris,E=FF, i els projectors sobre F iFson, respectivament,

P(v) =pi=1

ei | vei, P =I P.

Definicio. Si E=F F direm que F es el complementari ortogonal de F, i alsprojectors sobre F i F els anomenem projectors ortogonals.

Lema. Si S={e1,...,ep} es un sistema ortonormal i v S, aleshores existeix unsistema ortonormal S ={e1,...,ep+1} tal queS =S {v}. El vector ep+1 estadonat per

ep+1= w

w , w= v pi=1

ei | vei

Teorema. Si W ={v1,...,vp} es un sistema lliure, aleshores existeix un sistemaortonormal S={e1,...,ep} tal queS=W.Corollari. Si F es un subespai vectorial de dimensio finita p, aleshores:

(i) Fadmet una base ortonormal B ={e1,...,ep}.(ii) E=F

F.

(iii) El projector ortogonal sobreF es P(v) =pi=1

ei | vei.

6


7/18



Exemple: A lespai fsic vectorial E3 es a vegades convenient descompondre unvector v en suma dun vector en la direccio dun vector unitari donat e i dun al-tre perpendicular (es el que fem amb lacceleracio en considerar les acceleracions

tangencial i normal). Sigae = 1, aleshoresv R3,v=v+ v, v= (e v)e , v = v (e v)e , v {e} , v {e}

Corollari. En tot espai prehilbertia Ede dimensio finita n existeixen bases orto-normals.

(d) Metode dortonormalitzacio de Gram-Schmidt

Basat en el lema i teorema anteriors tenim el metode dortonormalitzacio de Gram-Schmidt. Siga{v1,...,vp} un sistema lliure. A partir dell obtenim el sistema orto-normal

{e1,...,ep

}:

e1= w1w1 , w1=v1

e2= w2w2 , w2=v2 e1 | v2e1= v2

w1 | v2w21

w1

e3= w3w3 , w3=...

En general, per a cada k= 1,...,p:

ek = wk

wk, wk=vk

k1

i=1

ei|

vkei=vk

k1

i=1

wi | vkw2i

wi

Exemples:

(i) En R5, sigaW ={(1, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 1)}. Una base ortonormaldel subespaiW es

B =

1

2(1, 0, 1, 0, 0),

12

(0, 1, 0, 1, 0), 1

6(1, 0, 1, 0, 2)

(ii) A lespai dels polinomis de coeficients reals i variable realP[x], amb el producte

escalarp | q = 1

0 p(x)q(x)dx, una base ortonormal dels polinomis de graumenor o igual a 1 es B ={1, 3(2x 1)}.

5.- Lespai pre-Hilbert L2(a, b)

(a) Bases ortonormals en espais pre-Hilbert de dimensio infinita

Comentaris:

(i) Al tema anterior demostrarem que un espai vectorial de dimensio finita admetbases amb n vectors. La existencia de bases (amb infinits vectors) en espais

vectorials de dimensio infinita tambe pot demostrar-se. Aquestes bases linealso de Hamel son tals que qualsevol vector de lespai vectorial sescriu com acombinacio lineal (finita) dels vectors de la base.

7


8/18



(ii) En aquest tema hem demostrat que qualsevol espai prehilbertia de dimensiofinita admet bases ortonormals. En alguns espais prehilbertians de dimensioinfinita existeixen les anomenades bases (ortonormals) de Hilbert, que tenen

aplicacio en alguns camps de la fsica. Les bases de Hilbert no son bases linealsja que, en les bases de Hilbert, els vectors sescriuen com combinacio linealinfinita (numerable o no) dels vectors de la base.

Definicio. Un espai de Hilbert es un espai prehilbertia complet, es a dir, totasuccessio de Cauchy es convergent,

xnE / xn+1 xn n

0 xn n

xE

Definicio. Si E es un espai de Hilbert, el conjunt (infinit) de vectors B ={ei}iIdirem que es una base de Hilbert si

(i)ei | ej= ij, i, jI.(ii) a=

iI

iei, a E.

Definicio. Direm que un espai de Hilbert E es separable si existeix una base deHilbert numerable, es a dir, existeix B ={ei}iN tal que(i)ei | ej= ij, i, j N.

(ii) a=i=1

iei, a E.

(b) Lespai de les funcions complexes de variable real, de quadrat integrableDefinicio. Una funcio f : [a, b] C, direm que es de quadrat integrable si

ba

|f(x)|2dx


9/18



(c) Desenvolupament de Fourier

Propietat. EnL2(0, 2), el conjunt de funcions{1, cos kx, sin kx}k=1 es un sistemaortogonal.

Teorema (de Dirichlet). En L2(0, 2), el sistema ortonormal B ={e0, en, n}n=1,

e0= 1

2, en =

1

cos nx , n= 1

sin nx

es una base de Hilbert, es a dir,f(x)L2(0, 2),

f(x) =a0e0+n=1

(anen+bnn)

Definicio. Lexpressio def(x)L2(0, 2) en la base de Hilbert B ={e0, en, n}n=1sanomenadesenvolupament en serie de Fourierde la funciof(x), i a les components(a0, an, bn), components de Fourier.

Les components de Fourier duna funcio f(x) prenen lexpressio:

a0 =e0 | f= 12

2

0

f(x) dx

an =en | f= 1

2

0

f(x)cos nxdx

bn =n | f= 1 20

f(x)sin nxdx

(d) Polinomis de Legendre, de Laguerre i de Hermite

De manera semblant al desenvolupament en serie de Fourier, hi ha altres desenvolu-paments en serie que utilitzen bases de Hilbert formades per polinomis:

(i) Polinomis de Legendre: base ortogonal per al producte de L2(1, 1)

f| g= 1

1

f(x)g(x) dx

(ii) Polinomis de Laguerre: base ortogonal per al producte

f| g=0

f(x)g(x)ex dx

(iii) Polinomis de Hermite: base ortogonal per al producte

f| g=

f(x)g(x)ex2

dx

9


10/18



4.- Espais vectorials lorentzians.

(a) Espai vectorial metric.Definicio. Una metrica definida sobre un espai vectorial real de dimensio finita Ees una llei de composicio externa g :E E R ; (a, b)g(a, b)a b , quees:

(i) Simetrica: a, b E,a b= b a

(ii) Bilineal: , R,a,b,cE,

c ( a+ b) = c a+ c b

(iii) No degenerada:a b= 0 ,bE a= 0

Definicio. Un espai vectorial metric es una parella (E, g), onE es un espai vectorialreal de dimensio finita i g es una metrica definida en ell.

Definicio. Un espai vectorial euclidia es un espai vectorial metric amb una metricaque es definida positiva (producte escalar euclidia).

Un espai vectorial pseudo-euclidia es un espai vectorial metric amb una metrica queno es definida positiva (metrica pseudo-euclidiana).

Exemples:(i) Lespai vectorial euclidia En(Rn, ).

(ii) Lespai vectorial pseudo-euclidia M2(R2, ), amb el producte:

a b=a0b0 +a1b1 , a= (a0, a1), b= (b0, b1)

(iii) Lespai-temps de Minkowski es lespai vectorial pseudo-euclidia M4 (R4, ),amb la metrica de Minkowski:

(a, b) =a b=a0b0+a1b1+a2b2+a3b3 , a= (a0, a1, a2, a3), b= (b0, b1, b2, b3)

Definicio. Siga (E, g) un espai vectorial metric. Direm que un vector vE , v= 0:(i) Es temporal si v2 0.

Definicio. Siga (E, g) un espai vectorial metric. Anomenemcon de llumal conjunt:

C {vE / v2 =g(v, v) = 0}

10


11/18



Propietats:

(i) Els vectorsv i v tenen el mateix caracter causal (temporal, isotrop, espacial).

(ii) El con de llum esta format per unio de rectes vectorials, pero no es un subespaivectorial

(iii) Si existeix un vector espacialvE, aleshoresg es euclidiana si, i sols si, C= 0.Exemples:

(i) El con en M2. Exemples de vectors espacials i temporals.

(ii) El con en M3: (x0)2 = (x1)2 + (x2)2.

(iii) El con en M4. Exemples de vectors espacials, isotrops i temporals.

Components de la metrica g en una base{ei}ni=1:

gij =g(ei, ej) , a b= gijai

bj

.

Co-vector metricament equivalent: g:EE; a g(a), g(a)(v) =g(a, v),es un isomorfisme entre E i E.

Components covariants dun vector:

vigijvj , g(a, b) =ajbj .

(b) Bases ortonormals en espais pseudo-euclidians. Espais lorentzians

Ortogonalitat de vectors i de subespais. El concepte dortogonalitat de vectorsi subespais es semblant al despais euclidians.

Pero hi ha subespais Fque no son complementaris del seu ortogonal, E=F F.Per exemple, si es isotrop aleshores {}.Modul dun vector. Definim el modul dun vector vE,

|v|=

|v2| .Si v es isotrop,|v|= 0; si es espacial|v|= v2; si es temporal|v|= v2.El modul dun vector sols defineix una norma quan la metrica es definida positiva

(espai euclidia) o negativa. Quan la metrica es peudo-euclidiana no sempre se satisfala desigualtat triangular.

Un vector unitari es un vector (temporal o espacial) de modul unitat.

Base ortonormal. Una base ortonormal esta formada per vectors unitaris ortogo-nals dos a dos:

B ={ei}ni=1, ei ej =ij, ij =

0 i =j1 i= j = 1,...,p

1 i= j =p+ 1,...,n

Existencia de base ortonormal. A partir de qualsevol base podem determinaruna base ortonormal aplicant el metode de Gram-Schmidt modificat dacord amb lasignatura dels espais lorentzians.

11


12/18



Teorema de Sylvester. En un espai metric (E, g) el nombre1 i +1 que hi ha enij es independent de base ortonormal.

Signatura. Si p es el nombre de

1 que hi ha en ij

, la signatura es la parella(p, n p).Espais vectorials euclidians : signatura (0, n) o (n, 0) (metriques definides nega-tives).

Espais vectorials lorentzians: signatura (1, n 1) o (n 1, 1).(c) Espai vectorial de Minkowski

Definicio. Lespai vectorial de Minkowski M4 es un espai metric 4-dimensional designatura lorentziana.

Base ortonormal: B ={e0, e1, e2, e3} ={e}3

=0, esta formada per un vectortemporal,e2

0=1, i tres vectors espacials, e2i = 1, i= 1, 2, 3,

g(e, e) = =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Si x= xe, y=ye son les components dun vector xen la base B , aleshores:

x y=xy =x0y0 +x1y1 +x2y2 +x3y3

Con de llum. El conjunt dels vectors isotrops estan sobre el con de llum. Elsvectors espacials estan fora del con de llum i els vectors temporals estan en elinterior (passat o futur) del con de llum.

Observador i espai vectorial relatiu: Un vector temporal unitari e0 defineix unobservador inercial.

El subespai E0={e0} es lespai vectorial fsic relatiu a lobservador e0.(E0, g) es un espai euclidia 3-dimensional.

Propietat. A lespai vectorial de Minkowski se satisfa:

(i) Tot vector ortogonal a un vector temporal es espacial, es a dir, si a2 < 0 ia b= 0, aleshores b2 >0.

(ii) Si u, v son dos vectors tals que u2 =v2 =1, u v >0, aleshores >1(iii) Desigualtats de Cauchy-Schwarz i de Minkowski (per a vectors temporals amb

la mateixa orientacio): si a, b son vectors tals que a2 < 0, b2 < 0, ab < 0,aleshores,

a b |a| |b| ; |a+b| |a| + |b|Angle hiperbolic. Si a, b son vectors tals que a2


13/18



Tema IV. Espais pre-Hilbert. Problemes

1. Comprova que si u, v i w son vectors dun espai preHilbert, se satisfa que:(i)u v | u v |(ii)u+v+w2 =u2 + v2 + w2 + 2Re (u | v + v | w + u | w)(iii)u+v2 + u v2 = 2(u2 + v2)

2. Siga Ri considera en R3 loperacio:(x1, y1, z1) | (x2, y2, z2)= (2x1 y1+z1)(2x2 y2+z2) +(x1x2+y1y2+z1z2)

(i) Determina els valors d per als quals loperacio defineix un producte escalar en R3.(ii) Per a = 1 determina una base ortonormal de R3 respecte de lanterior producte escalar.

[Sol.: (i) >0; (ii) b.o.n. deR3:{

1

5(1, 0, 0),5

6

(2

5

, 1, 0),67

(

1

3

, 1

6

, 1)}

.]

3.A lespai euclidea R4, considera el subespai E={(x1, x2, x3, x4)R4 /x1 + x4 =x2 + x3}.Determina una base ortonormal dE.

[Sol.:{ 12

(1, 1, 0, 0),

23(

12

, 12

, 1, 0),32 (13 , 13 , 13 , 1)}.]

4. Siga E un espai preHilbert de dimensio 3 i siga{v1, v2, v3} una base. Sabem que: i)v1 | v1= 1, ii)v2 | v2= 1, iii)v3 | v3= 2, iv)v1 | v2= 0, v) v= 2v2 v3 es ortogonal a v1i v3. Determina una base ortonormal dE.

[Sol.:{v1, v2, v3 v2}.]

5.Considera lespai vectorial Edels polinomis de grau menor o igual que 2 i coeficients reals,sobre el que sha definit el producte escalar:

u | v= +1

1u(x)v(x)dx, u(x), v(x)E .

Determina una base ortonormal dE.

[Sol.:{ 12

,

32

x, 32

52 (x

2 13)}.]

6. Siga Fun subespai dun espai vectorial Ede dimensio finita. Comprova que (F)=F.

7. A lespai euclidea R4

, considera el subespai:

F ={(x1, x2, x3, x4) R4 / 2x1 +x2 +x3 + 3x4 = 0 ; 3x1 + 2x2 + 2x3 +x4 = 0}(i) Determina F, complement ortogonal de F.(ii) Descompon el vector u= (7, 4, 1, 2) en una suma dun vector de F i un altre vector

de F.

[Sol.: (i) F=; (ii) u = (5, 5, 2, 1) + (2, 1, 1, 3).]

8. A lespai euclidia R4 considera el subespai Fgenerat pels vectors (1, 2, 0, 0), (0, 1, 2, 1) i(1, 0, 1, 1).

(i) Determina F, complement ortogonal de F.(ii) Determina els projectors ortogonalsP iP sobre F i F.

13


14/18



(iii) Descompon el vector u= (7, 1, 6, 9) en una suma dun vector de F i un altre vectorde F.

[Sol.: (i) F=; (ii)

P=

I P,

P= 139(2x

1 + x2

3x3 + 5x4)(2, 1,

3, 5);

(iii) u = (3, 1, 0, 1) + (4, 2, 6, 10).]9. Considera lespai L2(, +) de les funcions de quadrat integrable a linterval [, +],amb el producte escalar:

f| g= +

f(x)g(x)dx, f (x), g(x)L2(, +).

Determina el desenvolupament en serie de Fourier de les funcions:(i) f(x) =x(ii) f(x) =x2

(iii) g(x) =

a(1 |x|/b) 0 |x| b0 b |x|

(iv) h(x) =

0 x0h 0x

[Sol.: (i) x =k=1

(1)k+1 2k

sin kx; (ii) x2 = 2

3 +

k=1

(1)k 4k2

cos kx;

(iii) g (x) = ab

2+

k=1

2a

bk2 (1 cos kb) cos kx; (iv) h(x) = h

2+

k=1

(senar)

2h

k sin kx.]

10.A lespai vectorial de Minkowski M4tota base ortonormalB ={e0, e1, e2, e3} esta formadaper un vector temporal, e20=1, i tres vectors espacials, e2i = 1, i= 1, 2, 3.

(i) Demostra que si (x0, x1, x2, x3)B son les components dun vector x en aquesta base,aleshores:

x y=x0y0 +x1y1 +x2y2 +x3y3(ii) Determina una base B ={k,l,m,n} amb els quatre vectors isotrops, k2 =l2 = m2 =

n2 = 0.

[Sol.: (ii) B ={(1, 1, 0, 0)B, (1, 0, 1, 0)B, (1, 0, 0, 1)B, (

3, 1, 1, 1)B}.]

11. Demostra que a lespai vectorial de Minkowski se satisfa:(i) Tot vector ortogonal a un vector temporal es espacial, es a dir, si a2 < 0 i a

b = 0,

aleshores b2 >0.(ii) Si u, v son dos vectors tals que u2 =v2 =1, u v >0, aleshores >1(iii) Desigualtats de Cauchy-Schwarz i de Minkowski (per a vectors temporals amb la mateixa

orientacio): si a, b son vectors tals que a2


15/18



Tema IV. Espais pre-Hilbert. Questions

1. En R3 i per a certa base B = {w1, w2, w3}, es defineix el producte escalaru|v =2 u

1

v1

+ 2 u1

v2

+ u2

v2

+ 2 u2

v1

+ 3 u3

v3

, on ui

, vi

(i = 1, 2, 3) son les componentsdels vectorsu, v en la base B. Marca la resposta correcta:

B forma un sistema ortogonal.

w1|w2 = 2.La matriu de Gram es diagonal.

w2|w3 = 2.2. Indica els valors dels parametres complexos , i per a que el conjunt de vectors

{(1, i, 1),(i, 1, 0), ( , , )} forme una base ortogonal del espai pre-Hilbert C3.= (1 i), = 1, amb un nombre complex arbitrari.=i, =, amb un nombre complex arbitrari.= , =i, amb un nombre complex arbitrari.=i, = 2i, amb un nombre complex arbitrari.

3. Siga E un espai preHilbert de dimensio 3 i siga{v1, v2, v3} una base deixe espai dela qual se sap que: v1 | v1 = 1,v2 | v2 = 1,v3 | v3 = 2,v1 | v2 = 0,v1 | v3 = 0,v2 | v3 = 1. Marca quin dels seguents conjunts de vectors forma una base ortonormaldE:

{v1, v2, 12

v3}.

{v1,

12

(v2

v1),

13

(v3

v2)

}.

{v1, v2, 13

(v3 v2)}.{v1, v2, v3 v2}.

4. A lespai pre-Hilbert dels polinomis de grau menor o igual que dos i amb coeficients reals

P2[x] =p(x) =a0+a1x+a2x

2, ai R

,

es considera el producte escalar

p|q = 1

1

p(x)q(x) dx, p(x), q(x)P2[x].

Marca lafirmacio correcta. El conjunt dels polinomis de P2[x]

ortogonals al polinomi r(x) = 1 xno es un subespai.

es el subespai vectorial generat pels monomis de grau 2.

es el subespai vectorial generat pels polinomis{1 + 3x, x+x2}.es el subespai vectorial generat pels polinomis{1, x2}.

15


16/18



5. A lespai pre-HilbertP2[x] dels polinomis de grau menor o igual que dos i amb coeficientsreals es considera el producte escalar

p|q = 10

p(x)q(x) dx, p(x), q(x)P2[x].

Indica quin polinomi es ortogonal al subespai generat pels polinomis{1, 1 +x}.r(x) =1 +x+x2.r(x) = 1 +x+x2.

r(x) =16

+x x2.r(x) =x2.

6. A lespai euclidia R3 definim el subespai vectorial U={(x1, x2, x3)R3 / x2 =x3}. Laprojeccio ortogonal del vector (1, 2, 3) en el subespai U es

(1, 1, 1).(1, 5/2, 5/2).

(1, 1, 0).(1, 0, 1).

7. A lespai pre-HilbertC3 definim el subespai vectorial generat pels vectors {(1, i, 1), (i, 0, i)}.La projeccio ortogonal del vector (1, 1, 2) en eixe subespai es

(2 +i, 3i 1, 3 + 2i).1

27

(2 +i, 3i 1,3 + 2i).Depen de la base que elegim en el subespai.(12

+ i3

, i 13

, 32

+ i3

).

8. A lespai pre-HilbertL2(1, 1) de les funcions de quadrat integrable en linterval [1, 1],amb el producte escalar

f| g= 1

1f(x)g(x)dx, f(x), g(x)L2[1, 1],

considera el conjunt de funcions {1 + x,1a x}, amba C arbitrari. Indica la respostacorrecta

Les funcions son ortogonals si a = 1.



Les funcions son ortogonals si a= 1.

16


17/18



9. Considera el subespai vectorial E={(x , y, z, t)R4 / x+y+z t= 0, x+y+z= 0}de lespai euclidia R4. Determina quin dels seguents subespais es el seu complementortogonal

{(x , y, z, t) R4 / t= 0; 2x y z= 0}.{(x , y, z, t) R4 / x z= 0; 2x y z= 0}.{(x , y, z, t) R4 / y t= 0; 2x y z= 0}.{(x , y, z, t) R4 / z t= 0; y z x= 0}.

10. SiguenU1, U2 subespais ortogonals de lespai pre-Hilbert de dimensio finita V. AleshoresU1 i U2 son complementaris

si dim(U1 U2) = 0.si dim U1+ dim U2= dim V.

sempre.

si dim U1+ dim U2= dim (U1+U2).

11. Siga U el subespai vectorial de lespai pre-HilbertC3 generat pels vectors {(i, 0, 0), (i,i, 0)}.El complement ortogonal dU es:

U= .U= .U= .U= .

12. Considera el subespai vectorialE =

{(x1, x2, x3, x4) / x1

x2 = 0, x1 +x3 = 0

}de les-

pai euclidia R4. Indica quina resposta es incorrecta

El conjunt de vectors:{(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 0)} es una base del complement ortogonaldE.

dim E = 2.

dim E = 2.El conjunt de vectors:{(1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} es una base del subespai E.

13. Considereu el subespai F ={(x,y,z) R3/2x+ y + 2z = 0, }. Aleshores, la projeccioortogonal del vector v= (9, 9, 9) sobre F es:

P(9, 9, 9) = (

1, 4,

1).

P(9, 9, 9) = (1, 4, 1).P(9, 9, 9) = (1, 4, 1).P(9, 9, 9) = (1, 4, 1).

14. Considera el subespai de C3, E=. Aleshores, el projector ortogonal sobreE,P, es:

P(x,y,z) = (yix2 , x+iy2 , z).P(x,y,z) = (x+iy2 , yix2 , z).P(x,y,z) = (x+iy2 , y+ix2 , z).

P(x,y,z) = (x+iy

2

, yix2

, 0).

17


18/18



15. En lespai pre-HilbertL2(0, 2) de les funcions de quadrat integrable, el producte escalarsin kx| cos kx (k, k = 1, . . . ) es:

kk.

0,k, k.kk.

1,k, k.16. En lespai pre-HilbertL2(0, 2) de les funcions de quadrat integrable, considerem la base

ortonormal{ 12

, 1

cos kx, 1

sin kx}, ambk, k = 1,..., . Aleshores, la component dela funcio f(x) = 1

2(x+x2) en la direccio de lelement de la base 1

2 es:

2

1 + 4

3

.

1 + 4

3

.

1 + 4

3

.

1

2

2 + 8

3

3

.

18

Documents

Espacios pre-Hilbert