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alejandrosoto1
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Definición de Base, Dimension y Espacios Vectoriales en Algebra Lineal
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Definición de base y dimensión de un espacio vectorial.
Base: La base del espacio vectorial tiene que ser linealmente independiente y un generador del espacio vectorial.
Base canónica: base que solo contienen 1 y 0 positivos.
Para obtener la canónica se dan valores de cero a vas variables por turnos.
Ejemplo:
{ {a x2+bx+c|a ,b , c∈R }}
Turno 1: a=1 b=0 c=0
Turno 2: a=0 b=1 c=0
Turno 3: a=0 b=0 c=1
Base natural: Bases cuyos valores sean diferentes o contengan números aparte de 0 y 1.
Dimensión: Es el número de vectores que se genera de la base, la dimensión es del espacio vectorial.
*Si la base tiene “n” vectores, la dimensión es “n”.
*Si la base solo contiene al vector 0 la dimensión es cero ya que es un conjunto linealmente independiente.
*Si la base tiene uno o dos vectores más que la dimensión, entonces el conjunto pasa a ser linealmente dependiente y no es base.
ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial V es un conjunto de vectores junto con dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades:
Propiedades de la suma de vectores.
Sean , , vectores en V
1) La suma es otro vector en V
2) , es decir, la suma es conmutativa
3) , es decir, la suma es asociativa
4) Existe un vector cero en V, tal que
5) Para todo vector existe un vector , tal que , y se denomina el inverso aditivo-
Propiedades de la multiplicación por un escalar.
Sean y vectores en V, c y d constantes (escalares)
1) El vector es un vector en V
2)
3) . Los incisos 2 y 3 representan la propiedad distributiva.
4)
5) Para todo vector , , tal que , y se denomina el inverso aditivo
Ejemplo.
El conjunto de puntos en que están en la recta , ¿es un espacio vectorial?
Este conjunto de vectores lo podemos escribir de la forma . Sean
y ,En este caso, la suma
Ejercicio:
A) ¿Constituyen los vectores v1(1,2,3), v2(2,-1,0) y v3(1,1,0) una base de R3?B) Hallar las coordenadas de (2,4,6) en dicha base.
A=(1 2 32 −1 01 1 0) R(A)= Número de vectores linealmente independientes
R(A)= Dimensión
Los tres vectores serán linealmente independientes si el rango es 3.
|1 2 32 −1 01 1 0|=0+0+6+3+0+0=9≠0
R(A)= 3….. los vectores son independientes.
¿Conjunto de generadores?
Son conjuntos de generadores si somos capaces de obtener cualquier vector (x,y,z) como combinación lineal de los 3 vectores dados (la combinación lineal es multiplicar a los vectores por parámetros que son números).
1.1.3. Conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales un ejemplo de espacio vectorial.
Ejemplo 1.−2 x1+4 x2+5x3=0; 5x1 + x2 − 3x3 = 0;
6x1 − x2 + 4x3 = 0.
Solución.
[−2 4 55 1 −36 −1 4 ] [ 5 1 −3
−2 4 56 −1 4 ]R1+= 2R2 [ 1 9 7
−2 4 56 −1 4 ]
R2+¿2 R1; R3+¿−6 R1
[1 9 70 22 190 −55 −38]R3∗¿2 [1 9 7
0 22 190 −110 −76]R3+¿5R2 [1 9 7
0 22 190 0 19]
Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el número de los renglones no nulos es R= 3 = n. Por eso el sistema es compatible determinado, esto es, la única solución es la trivial: x = 0. En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobación para x = 0. Sería más importante comprobar que la matriz del sistema en forma escalonada efectivamente tiene 3 renglones no nulos (en otras palabras, que el rango del sistema es igual a 3), pero en este momento del curso no tenemos métodos para comprobarlo.
Ejemplo 2.
x1+2x2−4 x3=0 ;2 x1+7 x2+3 x3=0.
Solución:
[1 2 −42 7 3 ]R2+¿−2R1 [1 2 −4
0 3 11 ]R2∗¿ 13
[1 2 −4
0 1113 ]R2+¿−2R1
[1 0−343
0 1113
]Aquí r = 2, n = 3, r < n, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado.
x1=343x3 ;
x2=−113x3 .
Lasolució ngeneral se puede escribir en forma :
x=[343x3
−113x3
x3]= x33 [ 34−11
3 ] , x3ϵ R
Cada solución es un múltiplo de la solución básica u=[33 −11 3 ]. Comprobación para la solución básica:
[1 2 −42 7 3 ][ 34−11
3 ]=[34 −22 −1268 −77 +9 ]=[00 ]
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUATITLÁN
1. ESPACIOS VECTORIALES
PRFESOR: GONZALO GUADALUPE PACHECO ESTRADA
ALUMNOs: RODRÍGUEZ CARRANZA BRUNO JESÚS
Ríos Lopez Mario enrique
Algebra lineal
GRUPO: 2206