Estabilidad de puentes líquidos bajo el efecto de una ...oa.upm.es/39074/1/JACOBO_RODRIGUEZ_OTERO.pdf · María Victoria Lapuerta González . Madrid, octubre de 2015 . A mis padres,

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

DEPARTAMENTO DE MOTOPROPULSIÓN Y TERMOFLUIDODINÁMICA

Tesis Doctoral

Estabilidad de puentes líquidos bajo el efecto de una rotación no axilsimétrica

Autor: Jacobo Rodríguez Otero

Ingeniero Aeronáutico

Directora: Dra. María Victoria Lapuerta González

Madrid, octubre de 2015

A mis padres,

“Estabilidad de puentes líquidos bajo el efecto de una rotación no axilsimétrica”

i

Índice

Índice i

Lista de figuras iv

Lista de tablas viii

Lista de símbolos ix

Agradecimientos xiii

Resumen xiv

Abstract xv

1. Introducción 1

1.1. Antecedentes históricos 2

1.2. Objetivo de la Tesis 3

1.3. Estructura de la Tesis 4

2. Formulación del problema 6

2.1. Ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno 6

2.2. Adimensionalización de las ecuaciones 10

3. Método de resolución 13

3.1. Método de continuación 13 3.1.1. Puntos de retorno simples 15 3.1.2. Puntos de bifurcación simples 17

3.2. Linealización de las ecuaciones 20 3.2.1. Ecuaciones lineales para el problema de evolución en la velocidad de rotación 23


ii

3.2.2. Ecuaciones lineales para el problema de evolución en la velocidad de rotación con gravedad axial 24 3.2.3. Ecuaciones lineales para el problema de evolución en la velocidad de rotación con excentricidad 26 3.2.4. Ecuaciones lineales para el problema de evolución en la velocidad de rotación con excentricidad y gravedad axial 26

3.3. Esquema en diferencias finitas 27

3.4. Discretización de las ecuaciones 28 3.4.1. Ecuaciones discretizadas para el problema de evolución en la velocidad de rotación 33 3.4.2. Ecuaciones discretizadas para el problema de evolución en la velocidad de rotación con gravedad axial 34 3.4.3. Ecuaciones discretizadas para el problema de evolución en la velocidad de rotación con excentricidad 35 3.4.4. Ecuaciones discretizadas para el problema de evolución en la velocidad de rotación con excentricidad y gravedad axial 35

3.5. Método de resolución 36

4. Resultados numéricos 40

4.1. Efecto de la rotación 41 4.1.1. Resultados previos: 41 4.1.2. Resultados numéricos: 43

4.2. Efecto combinado de la rotación con gravedad axial 44 4.2.1. Resultados previos: 44 4.2.2. Resultados numéricos: 45

4.3. Efecto combinado de la rotación con excentricidad 54 4.3.1. Resultados previos: 54 4.3.2. Resultados numéricos: 56

4.4. Efecto combinado de la rotación excéntrica y la gravedad axial 64

5. Análisis de resultados de la misión TEXUS-23 70

5.1. Resultados de la misión TEXUS-23 70

5.2. Método de análisis de imágenes 74

5.3. Comparación con resultados numéricos 82

6. Conclusiones 91


iii

7. Referencias 95


iv

Lista de figuras

Figura 1.1. Imagen del puente líquido utilizado en el experimento a bordo de la misión TEXUS-23. 1

Figura 1.2. Rotura del puente líquido en la misión TEXUS-23. 4

Figura 2.1. Geometría del problema 7

Figura 2.2. Distancia de un punto de la superficie libre al eje de rotación. 9

Figura 3.1. Discretización del dominio fluido 28

Figura 4.1. Modos “C” (a) y “ánfora” (b). 41

Figura 4.2. Diagrama de estabilidad para excentricidad y gravedad nulas (Perales et al. 1990). 42

Figura 4.3. Diagrama de bifurcación (Vega y Perales, 1983). 43

Figura 4.4. Comparación entre los límites de estabilidad analíticos (Perales et al. 1990) y numéricos. 44

Figura 4.5. Diagramas de bifurcación para (a) 3 / 2πΛ > y (b) 3 / 2πΛ < (e=0) (Vega y Perales, 1983) 45

Figura 4.6. Diagrama de estabilidad para diferentes valores de Ba. La línea discontinua representa la curva de transición entre una bifurcación subcrítica (B) y un punto de retorno (TP). 46

Figura 4.7. Comparación entre límites de estabilidad numéricos (línea continua) y analíticos (línea discontinua) para Λ=2.9. 47

Figura 4.8. Diagramas de bifurcación para Λ=2.9 con Ba=0.01, Ba=0.001 y Ba=10-4. 48

Figura 4.9. Formas de equilibrio estable (Ia) e inestable (IIa) para Λ=2.9, con Ba=0.001. 48

Figura 4.10. Forma de equilibrio inestable para Λ=2.9, con Ba=0.01. 49


v

Figura 4.11. Diagrama de bifurcación para Ba=0.01, Λ=2.2. 50

Figura 4.12. Diagrama de bifurcación para Ba=0.1, Λ=2.2. 50

Figura 4.13. Diagrama de bifurcación para Ba=0.086, Λ=2.2. El punto de retorno (TP) adelanta al punto de bifurcación (B). 51

Figura 4.14. Curva BaC( Λ) obtenida mediante el método numérico. 51

Figura 4.15. Formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables en la rama bifurcada (V, VI), para Ba=0.01, Λ=2.2. 52

Figura 4.16. Formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables con punto de retorno (V, VI), para Ba=0.1, Λ=2.2. 53

Figura 4.17. Efecto de la gravedad axial en los límites de estabilidad para distintos valores de Λ. 54

Figura 4.18. Diagramas de bifurcación para (a) 3 / 2πΛ < y (b) 3 / 2πΛ > . (Perales et al. 1990) 55

Figura 4.19. Diagrama de estabilidad para diferentes valores de e, con Ba=0. La línea discontinua representa la curva de transición entre un punto de retorno (TP) y una bifurcación subcrítica (B). 56


Figura 4.21. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.9, e=0.07. 58

Figura 4.22. Formas de equilibrio estable (I, II) e inestable (III) para Λ=2.9, e=0.07. 58


Figura 4.24. Diagrama de bifurcación para Λ=2.7 y e=0.08. 60

Figura 4.25. Diagrama de bifurcación para Λ=2.7 y e=0.7. La rama bifurcada adelanta al punto de retorno de la rama principal. 60

Figura 4.26. Formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables con punto de retorno (V, VI), para Λ=2.7 y e=0.08. 61


vi

Figura 4.27. Formas de equilibrio estables (I-III) e inestables en la rama bifurcada (IV-VI), para Λ=2.7 y e=0.7. 62

Figura 4.28. Curva eC(Λ) obtenida mediante el método numérico. 63

Figura 4.29. Efecto de la excentricidad en los límites de estabilidad para distintos valores de Λ. 64

Figura 4.30. Efecto combinado de gravedad axial y excentricidad en los límites de estabilidad. 65

Figura 4.31. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.2, e=1 y Ba=0.01. 67

Figura 4.32. Evolución de las formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables (V, VI) para Λ=2.2, e=1 y Ba=0.01. 67

Figura 4.33. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.2, e=1 y Ba=0.1. 68

Figura 4.34. Evolución de las formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables (V, VI) para Λ=2.2, e=1 y Ba=0.1. 68

Figura 4.35. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.8, e=0.1 y Ba=0.001. 69

Figura 4.36. Evolución de las formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables (V, VI) para Λ=2.8, e=0.1 y Ba=0.001. 69

Figura 5.1. Imagen de la misión TEXUS-23. Las partes izquierda y derecha de la imagen corresponden al mismo puente en el mismo instante de tiempo, observado en dos ángulos perpendiculares entre sí. 71

Figura 5.2. Diagrama de bifurcación para los parámetros de la misión TEXUS-23: Λ=2.5, e=0.0667 (Ba=0). 72

Figura 5.3. Comparación preliminar entre resultados numéricos para Λ=2.5 y e=0.0667 (Ba=0) y experimentales de la misión TEXUS-23. 73

Figura 5.4. Rotura del puente líquido en la misión TEXUS-23. 74

Figura 5.5. Perímetros detectados en el procesado de dos fotogramas distintos: antes de la rotura (izquierda) y durante el proceso de rotura (derecha). 75

Figura 5.6. Evolución con el tiempo de los puntos z=-Λ/2 (rojo), z=0 (negro) y z=Λ/2 (azul). 78


vii

Figura 5.7. Ejemplo de filtrado de fotogramas. La imagen muestra, superpuestos, varios de los contornos extraídos de las imágenes para W=0.208. 79

Figura 5.8. Ejemplos de filtrado de fotogramas. La imagen muestra, superpuestos, varios de los contornos extraídos de las imágenes para W=0.291. 80

Figura 5.9. Ejemplo de filtrado de puntos de los contornos. Cada imagen muestra, superpuestos, varios de los contornos extraídos de las imágenes para W=0.208 (izquierda) y W=0.291 (derecha). 82

Figura 5.10. Límites de estabilidad numéricos para Λ=2.5, e=0.0667 y distintos Ba. 83

Figura 5.11. Error relativo medio en función del número de Bond. 86

Figura 5.12. Áreas z>0 (verde) y z<0 (azul). 87

Figura 5.13. Evolución con el número de Weber de la diferencia de áreas en torno al plano z=0 para los resultados numéricos con Ba=0.0015 y los resultados experimentales. 88

Figura 5.14. Comparación de la evolución de las formas de equilibrio para el experimento y el análisis numérico con Ba=0.0015 para (a) W=0, (b) W=0.172, (c) W=0.208, (d) W=0.248, (e) W=0.291, (f) tras la rotura, (g) tras la rotura con Ba=0 (Λ=2.5, e=0.0667). 90


viii

Lista de tablas

Tabla 5.1. Fotogramas procesados del vídeo de la misión TEXUS-23 (t es el tiempo transcurrido del experimento desde la formación del puente líquido). Para W = 10 rpm el número de fotogramas procesados es menor debido al ruido presente en el vídeo. 76

Tabla 5.2. Coordenadas de los puntos de referencia de los contornos procesados. 76

Tabla 5.3. Filtrado de fotogramas: los descartados por ruido están marcados en naranja, los descartados por transitorios en amarillo; los fotogramas restantes constituyen las muestras finales seleccionadas. 81


ix

Lista de símbolos

Z coordenada axial.

X, Y coordenadas cartesianas en un plano paralelo al eje de los discos.

, ,x y zu u u vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y, Z

θ coordenada aczimutal en un plano paralelo al eje de los discos.

( ),Z θX vector posición del punto ( ),Z θ de la entrefase.

( , ) ( , )C Z R Zθ θ, funciones mediante las que se define la forma de la entrefase.

L distancia de separación entre los discos. [m]

R0 radio de los discos de soporte.

V volumen del líquido.

ρ densidad del líquido.

σ tensión superficial del líquido.

Ω velocidad de rotación del conjunto.

E distancia entre el eje de los discos y el eje de rotación.

ga aceleración gravitatoria, paralela al eje de los discos.

1 2,κ κ curvaturas principales de la entrefase del puente líquido.

P diferencia de presión entre el gas exterior y el líquido en el origen (Z=0).

D distancia entre el punto de la entrefase y el eje de rotación.

( , ) ( , )X z F zθ θ, funciones adimensionales que definen la forma de la entrefase:

0

0

0

/ ,( , ) ( , ) / ,( ) ( ) / ,

z Z RF z R z RX z C z R

θ θ=

=

=

Λ esbeltez del puente líquido, 0/ (2 )L RΛ = .

e excentricidad adimensional, 0/e E R= .


x

W número de Weber, 2 30 /W Rρ σ= W .

P presión de referencia adimensional, 0 /P PR σ= .

Ba número de Bond axial, 20 /a aB Rρ σ= g .

u vector de variables del problema.

λ parámetro genérico para la continuación natural.

( ),G λu sistema de ecuaciones del problema.

( ),G λu u matriz de coeficientes del problema linealizado.

s parámetro longitud de arco de la solución.

a derivada respecto del parámetro de arco de la cantidad a, a da ds= .

( )1 , ,N sλu ecuación que define el parámetro de arco s.

w vector de variables del problema ampliado, que engloba a ,λu .

( ),H sw sistema de ecuaciones del problema ampliado.

( ),H sw w matriz de coeficientes del problema lineal ampliado.

( )sK término independiente del problema lineal ampliado.

0λ valor inicial del parámetro natural.

0u solución inicial conocida en 0λ λ= .

0s valor inicial del parámetro de arco.

0w solución inicial conocida en 0s s= .

1 2,w w vectores tangentes a las ramas principal y bifurcada de la solución.

1φ autovector unitario asociado al autovalor nulo de ( )( )0 0,H s sw w .

( )2 , ,N sλu ecuación que define el parámetro s para saltar a la rama bifurcada.


xi

( , )f z θ variación de primer orden de la función ( , )F z θ .

( )zχ variación de primer orden de la función ( )X z .

p variación de primer orden de la presión de referencia adimensional P.

ω variación de primer orden del número de Weber.

ab variación de primer orden del número de Bond axial.

ω variación de primer orden del número de Weber.

I número de divisiones del dominio discretizado en la dirección azimutal.

J número de divisiones del dominio discretizado en la dirección axial.

ijf valor de ( , )f z θ en un punto genérico de la malla.

jχ valor de ( )zχ en un punto genérico de la malla.

BaC valor de Ba en el que se da el cambio de bifurcación a punto de retorno.

eC excentricidad en la que se da el cambio de punto de retorno a bifurcación.

Imágenes de la misión TEXUS-23: Z1 coordenada vertical del disco inferior.

Z2 coordenada vertical del disco superior.

1,Aξ coordenada horizontal del borde izquierdo del disco inferior.

1,Bξ coordenada horizontal del borde derecho del disco inferior.

2,Aξ coordenada horizontal del borde izquierdo del disco superior.

2,Bξ coordenada horizontal del borde derecho del disco superior.

1,0ξ coordenada horizontal del eje del disco inferior.

2,0ξ coordenada horizontal del eje del disco superior.

( )n W número de imágenes resultantes del procesado para cada velocidad W .

t1,..,tn tiempo que identifica cada imagen.


xii

relE error relativo de las formas experimentales respecto a las numéricas.

ˆrelE error relativo medio global.

0 0,z zA A> < áreas aparentes del puente líquido para z>0 y para z<0.

0 0,z zA A> < áreas aparentes relativas al caso de puente cilíndrico, 2A A= Λ .


xiii

Agradecimientos

Quiero agradecer ante todo a mi Directora de Tesis, María Victoria Lapuerta González, su apoyo y su ayuda incansable durante la realización de esta Tesis Doctoral. También quiero expresar mi agradecimiento a todos mis compañeros del Spanish User Support and Operations Centre (E-USOC), presentes y pasados, por su colaboración y el ánimo que me han dado constantemente.

Agradezco también a Marta Cordero, Ana Laverón, Ignacio Tiano y Jeff Porter la ayuda que me han ofrecido durante la investigación.

Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Educación y Ciencia (Proyecto nº ESP2006-13030-C06-05) y por el posterior Ministerio de Ciencia y Tecnología (Proyecto nº ESP2007-65221) como parte de una iniciativa más general para el estudio de física de fluidos en microgravedad.

Por último, agradecer a mis padres su apoyo continuo e incondicional.


xiv

Resumen

El estudio de la influencia de perturbaciones de distinta naturaleza en configuraciones de puentes líquidos apoyados en dos discos coaxiales en rotación encuentra una importante motivación en el uso de dicha configuración en la fabricación de cristales semiconductores ultra-puros por la denominada técnica de zona flotante, en la que la rotación de los discos se utiliza para alcanzar temperaturas uniformes.

El presente estudio muestra los resultados obtenidos mediante la aplicación de un método numérico en el análisis de la estabilidad de puentes líquidos en isorrotación sometidos al efecto de una fuerza axial uniforme (gravedad axial) y una excentricidad entre el eje de giro y el eje de los discos. Se analiza el efecto de la aplicación de estos factores tanto de forma conjunta como por separado.

Aunque existen numerosos estudios previos sobre puentes líquidos sometidos a diversos efectos, el análisis del efecto combinado de la rotación con excentricidad y gravedad axial no ha sido realizado con anterioridad. Este estudio permite además entender los resultados del experimento a bordo de la misión TEXUS-23, en el que un puente líquido sujeto entre dos discos circulares y coaxiales es sometido al efecto de una rotación creciente en torno a un eje desplazado respecto al eje de los discos. Aunque en el experimento no se impone una fuerza axial controlada, la desestabilización y rotura del puente se produce de forma notablemente asimétrica, lo que no puede ser explicado con los estudios precedentes y sugiere una posible presencia de una aceleración axial residual. Se ha desarrollado por tanto un método de análisis de imágenes que permite comparar las formas obtenidas en el experimento con las calculadas numéricamente. En este estudio se muestran los detalles del procesado realizado en las imágenes de la misión TEXUS-23, y los resultados de su comparación con el análisis numérico, que permiten determinar el valor de la gravedad axial que mejor reproduce los resultados del experimento. Estos resultados ponen de manifiesto la importancia del conocimiento y la modelización de efectos cuya presencia (intencionada o no) afectan de forma visible a la estabilidad y la morfología de los puentes líquidos.


xv

Abstract

The study of the influence of various disturbances in configurations consisting of a liquid bridge supported by two co-axial disks in rotation has an important motivation in the use of this configuration in the fabrication of ultrapure semiconductor crystals via the so-called floating zone technique, in which the rotation of the disks is used to achieve a uniform temperature field.

The present study shows the results obtained through the application of a numerical method in the analysis of the stability of liquid bridges in isorotation under the effect of a uniform axial force field (axial gravity) and an offset between the rotation axis and the axis of the supporting disks (eccentricity). The analysis studies the effect of both the combined and separate application of these factors.

Although there are numerous studies on liquid bridges subject to various effects, the analysis of the combined effect of rotation with eccentricity and axial gravity has not been done before. Furthermore, this study allows us to understand the results from the experiment aboard the TEXUS-23 mission, in which a liquid bridge supported between two circular-shaped, co-axial disks is subject to the effect of an increasing rotation around an axis with an offset with respect to the axis of the disks. Although the experiment conditions do not include a controlled axial force field, the instability and breakage of the bridge occurs with a marked asymmetry, which cannot be explained by previous studies and suggests the possible presence of a residual axial gravity. Therefore, an image analysis method has been developed which allows to compare the shapes obtained in the experiment with those calculated with the numerical method. This study shows the details of the processing performed on the images from the TEXUS-23 mission and the results from their comparison with the numerical analysis, which allow to determine the axial gravity value which best recovers the experimental results. These results highlight the importance of the understanding and modelling of effects which, when present (intentionally or not), noticeably affect the stability and shape of the liquid bridges.


xvi


1. Introducción

Pág. 1

1. Introducción

El nombre de puente o columna líquida se emplea para describir una configuración fluida formada por una masa de líquido mantenida por las fuerzas de tensión superficial entre dos discos sólidos (ver Figura 1.1). Esta configuración es el tema central de análisis en esta Tesis Doctoral, en la que se estudia la estabilidad de puentes líquidos mantenidos por las fuerzas de tensión superficial entre discos iguales en isorrotación sometidos al efecto de una fuerza axial uniforme (gravedad axial) y una excentricidad entre el eje de giro y el eje de los discos. A lo largo de la Tesis se han desarrollado un método numérico y un método de análisis de imágenes que han permitido entender el comportamiento de los puentes líquidos sometidos a dichas acciones, así como reproducir y comprender los resultados de un experimento de puentes líquidos llevado a cabo en la misión TEXUS-23 (Sanz et al. 1992).

Figura 1.1. Imagen del puente líquido utilizado en el experimento a bordo de la misión

TEXUS-23.


1. Introducción

Pág. 2

El estudio de la influencia de perturbaciones de distinta naturaleza en configuraciones de puentes líquidos apoyados en dos discos coaxiales en rotación encuentra una importante motivación en el uso de dicha configuración en diversas aplicaciones industriales, destacando la fabricación de cristales semiconductores ultra-puros por la denominada técnica de zona flotante (Meseguer y Sanz, 1985). En esta técnica una columna vertical compuesta por un sólido (normalmente un semiconductor), sujeta en sus extremos por dos soportes, se va fundiendo, empleando para ello un calentador por radiofrecuencia. La bobina del calentador se va desplazando de abajo a arriba a lo largo de la columna, de manera que la zona fundida se va desplazando hacia arriba. En la parte inferior hay una semilla cristalina. Las impurezas tienen una mayor afinidad por el estado líquido del material, por lo que al ir subiendo la bobina la parte inferior se solidifica siguiendo una estructura monocristalina con menos impurezas y crece como una extensión de la semilla. En este todo proceso la rotación de los soportes se utiliza para gestionar la simetría de una o ambas partes de la columna sólida y para conseguir temperaturas uniformes. La zona fundida queda, por tanto, flotante, retenida por la tensión superficial entre dos zonas sólidas, siendo esta configuración similar a la de una columna o puente líquido. El método es de fácil aplicación para los materiales con tensión superficial grande.

1.1. Antecedentes históricos

Existe una bibliografía muy extensa en el análisis del comportamiento de esta configuración fluida desde el punto de vista tanto teórico como experimental. Desde principios de los años 1980 ha habido una amplia producción de trabajos sobre el tema, muchos de ellos impulsados en su momento por la puesta en marcha del laboratorio Spacelab. Previamente y en paralelo se realizaron también numerosos experimentos en otras plataformas como el laboratorio Skylab o los cohetes de sondeo TEXUS para experimentos en ingravidez, o en tierra empleando los baños de Plateau, que simulan la microgravedad mediante la técnica de flotabilidad neutra en la que se emplea un líquido rodeado por otro de la misma densidad con el que es inmiscible (Plateau, 1863, Perales et al. 1991). En los trabajos de Laverón, 1994 y Gómez, 1995, se hace una profunda revisión de la literatura existente.

De entre todos los trabajos relacionados con la configuración de puente líquido se van a destacar aquí algunos por su contribución relevante al tema objeto de estudio en esta Tesis Doctoral. En primer lugar, se destaca el trabajo de Martínez, 1978, en el que se realiza un análisis de la configuración de equilibrio y la estabilidad estática de una zona líquida flotante entre dos discos coaxiales, obteniendo soluciones analíticas aproximadas para zonas cilíndricas sometidas a deformaciones por exceso de volumen,


1. Introducción

Pág. 3

gravedad axial y gravedad transversal. En dicho trabajo también se analiza el efecto de la rotación sobre la estabilidad de zonas cilíndricas. Vega y Perales, 1983, presentan un estudio analítico de la estabilidad estática de puentes líquidos de volumen cilíndrico entre discos iguales, sometidos a rotación y a una pequeña gravedad axial y deducen la ecuación de bifurcación así como las formas bifurcadas. Cabe destacar aquí otros estudios teóricos previos de que se dispone para los casos de rotación (Vega y Perales, 1983, Perales et al. 1990, Slobozhanin y Perales, 1996), gravedad axial (Slobozhanin y Perales, 1993, Slobozhanin y Alexander, 1998), rotación con gravedad axial (Vega y Perales, 1983, Slobozhanin y Alexander, 1997) y rotación con excentricidad pequeña (Perales et al. 1990). Estos estudios previos se emplearán a lo largo de la Tesis para validar los resultados del método numérico desarrollado para determinados límites asintóticos de los parámetros. Dicho método numérico se fundamenta en los principios teóricos y en la implementación de métodos numéricos de continuación ya empleados con anterioridad para el análisis de estabilidad de puentes líquidos sometidos a distintos efectos (Laverón, 1994, Laverón y Perales, 1995).

1.2. Objetivo de la Tesis

Aunque la respuesta de esta configuración a diversos efectos ha sido estudiada de forma extensa, el análisis del efecto combinado de la rotación con excentricidad y gravedad axial no ha sido realizado con anterioridad. El estudio desarrollado en esta Tesis está también motivado por, y permite reproducir y entender, los resultados del experimento a bordo de la misión TEXUS-23, en el que un puente líquido sujeto entre dos discos iguales y coaxiales es sometido al efecto de una rotación creciente en torno a un eje desplazado respecto al eje de los discos. Aunque en el experimento no se impone una fuerza axial controlada, la desestabilización y rotura del puente se produce de forma notablemente asimétrica (ver Figura 1.2), lo que no puede ser explicado con los estudios precedentes y sugiere una posible presencia de una aceleración axial residual. Se ha desarrollado por tanto un método de análisis de imágenes que permite comparar las formas de equilibrio del puente obtenidas en el experimento con las calculadas numéricamente. En este trabajo se muestran los detalles del procesado realizado en las imágenes de la misión TEXUS-23, y los resultados de su comparación con el análisis numérico, que permiten determinar el valor de la gravedad axial que mejor reproduce los resultados del experimento. Estos resultados ponen de manifiesto la importancia del conocimiento y la modelización de efectos cuya presencia (intencionada o no) afectan de forma visible a la estabilidad y la morfología de los puentes líquidos.


1. Introducción

Pág. 4

Figura 1.2. Rotura del puente líquido en la misión TEXUS-23.

1.3. Estructura de la Tesis

En el capítulo 2 de la Tesis se detallan la configuración y la formulación del problema planteado.

En el capítulo 3 se describe el método numérico empleado.

Aunque el método desarrollado posibilita el análisis del efecto combinado de rotación, excentricidad y gravedad axial, su implementación ha sido validada paso a paso, utilizando para ello los estudios teóricos previos de que se dispone para los casos de rotación (Vega y Perales, 1983; Perales et al. 1990), rotación con gravedad axial (Vega y Perales, 1983; Slobozhanin y Alexander, 1997) y rotación con excentricidad pequeña (Perales et al. 1990). En el capítulo 4 se presentan los resultados teóricos y numéricos obtenidos en cada uno de estos casos. En el caso de rotación con excentricidad, además, se presentan los resultados del análisis numérico extendido a valores de la excentricidad no necesariamente pequeños, para los que no se dispone de estudios previos. Validado el método numérico con los resultados precedentes, se presentan los resultados del análisis de los efectos combinados de rotación, excentricidad y gravedad axial.


1. Introducción

Pág. 5

En el capítulo 5 se describen el método de procesado de imágenes aplicado sobre las imágenes del experimento embarcado en la misión TEXUS-23, y el resultado de su comparación con el análisis numérico.

Finalmente, las conclusiones generales del estudio se resumen en el capítulo 6.


2. Formulación del problema

Pág. 6


En este capítulo se describen la configuración fluida objeto del estudio y los parámetros que la definen. Se desarrolla la formulación del problema, estableciendo las ecuaciones diferenciales que determinan la forma de la entrefase de la masa líquida en estudio y sus condiciones de contorno.

Una vez definidas las ecuaciones diferenciales y las condiciones de contorno del problema se procede a la adimensionalización de las mismas.

2.1. Ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno

La configuración fluida objeto del estudio está representada en la Figura 2.1. Consiste en una columna líquida anclada, mediante las fuerzas de tensión superficial, entre dos discos paralelos y coaxiales de radio 𝑅0, separados una distancia 𝐿. El volumen de líquido, que se considera constante (no se introduce ni se sustrae líquido de la columna), es el correspondiente a una columna cilíndrica, 2

0V R Lπ= . La densidad y la tensión

superficial del líquido se consideran constantes en la columna. La columna líquida está rodeada por un gas cuya densidad se supone mucho menor que la densidad del líquido en estudio. Esto último no implica pérdida de generalidad, ya que en caso de considerarse un fluido circundante con una densidad comparable a la del fluido que forma el puente bastaría con utilizar en la formulación la diferencia de densidades entre los fluidos, ∆ ρ, en lugar de ρ, para poder tratar el problema.

La configuración gira como un sólido con velocidad angular Ω en torno a un eje paralelo al eje de los discos. Se estudia el efecto, tanto por separado como combinado, de la presencia de un campo de gravedad paralelo al eje de los discos, ga, y de una separación E (excentricidad) entre el eje de rotación y el eje de los discos.



Pág. 7

Figura 2.1. Geometría del problema

Los parámetros que definen la configuración son, por tanto:

L distancia de separación entre los discos

R0 radio de los discos de soporte

V volumen (constante) del líquido

ρ densidad del líquido

σ tensión superficial del líquido

Ω velocidad de rotación del conjunto

E distancia entre el eje de los discos y el eje de rotación

ga aceleración gravitatoria (constante), paralela al eje de los discos



Pág. 8

El sistema de referencia empleado está representado en la Figura 2.1: es un sistema que rota con el puente líquido a la velocidad angular Ω, siendo el eje X la intersección del plano que contiene al eje de los discos (eje Z) y al eje de rotación con el plano horizontal equidistante a ambos discos; el eje Y es perpendicular a X y está contenido en dicho plano horizontal; el origen del sistema de referencia está en la intersección del eje de los discos con el plano XY. Se toma como origen de ángulos el eje X.

La forma de la entrefase puede expresarse en función de Z y θ como:

( ) ( ) ( ) ( ){ }, , cos , , sin , ,Z C Z R Z R Z Zθ θ θ θ θ= +X

donde R=R(Z,θ), Z=Z y θ=θ son las ecuaciones paramétricas de la superficie en coordenadas polares, en un sistema de referencia que resulta de trasladar, para cada sección Z=cte., el origen a la línea media del puente líquido, para asegurar que ( , )R Z θ sea unievaluada para [ ]0,2θ π∈ . Debido a la simetría del problema respecto del plano

Y=0, dicha línea media está contenida en este plano y sólo tiene una componente C(Z) según el eje X, que se elige para tener ( ) ( ),0 ,R Z R Z π= de la forma:

( ) ( ) ( )1 , 0 , ,2

C Z Z Zθ θ π= = + = ⋅ xX X u

siendo ux el vector unitario en la dirección del eje X.

La forma de equilibrio del puente líquido se obtiene imponiendo la ecuación de la superficie libre que separa ambos fluidos:

( ) 2 21 02

M R P D Zσ ρ ρ+ + W − =

ag (2.1)

donde:

( )M R es el doble de la curvatura media de la entrefase (esto es, la suma de las

curvaturas principales de la superficie en cada punto, 1 2κ κ+ ),

P es la diferencia de presión entre el gas exterior y el líquido en el origen (Z=0); es desconocida a priori,

D es la distancia entre el punto de la superficie libre y el eje de rotación (véanse las Figuras 2.1 y 2.2); puede obtenerse a partir de la siguiente expresión:

( ) ( )1/222 2 cosD R E C R E Cθ = + + + + (2.2)



Pág. 9

Figura 2.2. Distancia de un punto de la superficie libre al eje de rotación.

Las condiciones de contorno para la ecuación (2.1) son:

(i) La condición de conservación del volumen de la columna líquida, que permite determinar P :

( )/2 2

2 20

/2 0

1 ,2

L

L

dZ R Z d LRπ

θ θ π−

=∫ ∫ (2.3)

(ii) La condición de anclaje del puente líquido a los dos discos (no se consideran posibles efectos de deslizamiento de los anclajes):

( ) 02,R L Rθ± = (2.4)

(iii) La coaxialidad de los discos:

( )2 0C L± = (2.5)

(iv) La periodicidad acimutal:

( ) ( ), , 2R Z R Zθ θ π= + (2.6)

(v) La condición que determina C(Z) y permite definir de forma única la forma del puente:

( ) ( ),0 ,R Z R Z π= (2.7)

X

Y

D R

θ E C



Pág. 10

2.2. Adimensionalización de las ecuaciones

Se adimensionaliza el problema utilizando el radio de los discos y la tensión superficial:

0

02 3

020

0

0

0

0

0

/ (2 ),/ ,

/ ,

/ ,

/ ,/ ,/ ,

( , ) ( , ) / ,( ) ( ) / ,

a a

L Re E RW RB R

P PRR

z Z RF z R z RX z C z R

ρ σ

ρ σ

σ

θ θ

Λ ==

= W

=

===

=

=

x X

g

donde:

Λ representa la esbeltez del puente líquido,

e es la excentricidad adimensional,

W es el número de Weber, que caracteriza la magnitud de las fuerzas de inercia debidas a la rotación frente a las fuerzas de tensión superficial,

P es la presión de referencia adimensional,

Ba es el número de Bond axial, que caracteriza la magnitud de la fuerza de gravedad axial frente a las fuerzas de tensión superficial.

La superficie del puente líquido se puede expresar en las nuevas variables adimensionales como:

( ) ( ) ( ) ( ){ }, , cos , , sin ,z X z F z F z zθ θ θ θ θ= +x

La formulación del problema queda:

( ) ( ) ( )221 2 cos 02 aM F P W F e X F e X B zθ + + + + + + − =

(2.8)



Pág. 11

siendo ( )M F la curvatura media local adimensionalizada, dada por:

2

2Eg Ge FfMEG F+ −

=−

con:

( ) ( )( )

( )

[ ]

2 2

2 2

2 2

1 cos sin ,

cos sin ,

,1 sin cos ,

1 ,

1 2 ,

z z z z z

z z z

zz zz zz

z z z

z z

z

E X F F

F X F F F F

G F F

e X F F F Fm

f F F F Fm

g F F F Fm

m

θ θ θ

θ θ θ

θ

θ θ θ

θθ θθ θ

θ θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ

= ⋅ = + + +

= ⋅ = − +

= ⋅ = +

= ⋅ = − + −

= ⋅ = − +

= ⋅ = − +

× ×= =

×

x x

x x

x x

x N

x N

x N

x x x xNx x

{( ) ( )( )

( )( ) }

( ){( )}

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

22 2 2 2

3 2

( ) (1 )( ) ( ) 2 ( )

2 sin cos

2 sin

2 cos

(1 ) sin cos

2 sin cos

z zz z z

z zz

z z z

z z z z z

z z

z z

M F F F F F FF F F F F FF F

X F F FF X F F F F

X F F F FF

F F F F FF F FF F X

F F F X F F

F FX F F

θθ θ θ θ θ

θ θθ θ θ

θ θ

θ θθ θ θ

θ θ

θ

θ θ

θ

θ

θ θ

θ θ−

= + − + + − + −

− + − + + + −

− − −

− + − + ⋅

⋅ + + + + +

+ +

(2.9)

donde los subíndices indican la derivada parcial de la función respecto de la variable indicada.

Las condiciones de contorno adimensionalizadas son:

(i) Condición de conservación del volumen:

( )2

2

0

, 4dz F z dπ

θ θ πΛ

−Λ

= Λ∫ ∫ , (2.10)



Pág. 12

(ii) Anclaje del puente a los discos soporte:

( ), 1F θ±Λ = , (2.11)

(iii) Coaxialidad de los discos:

( ) 0X ±Λ = , (2.12)

(iv) Periodicidad de la solución:

( ) ( ), , 2F z F zθ θ π= + , (2.13)

(v) Condición que determina ( )X z y permite definir de forma única la

superficie del puente:

( ) ( ),0 ,F z F z π= , (2.14)


3. Método de resolución

Pág. 13


La resolución del sistema de ecuaciones desarrollado en el capítulo 2 permite obtener las formas de equilibrio y los diagramas de estabilidad del puente líquido en la configuración descrita.

Debido a la complejidad del sistema de ecuaciones, se estudia el problema linealizado en torno a una solución conocida, y se discretiza el problema linealizado mediante un esquema numérico de diferencias finitas aplicado sobre una malla de puntos que modeliza la superficie del puente líquido. Este problema puede ser tratado empleando un método de continuación, que permite estudiar la influencia de los distintos parámetros en el comportamiento de la solución. El método empleado permite también sobrepasar las singularidades presentes en los puntos críticos del problema. El carácter estable o inestable de las formas de equilibrio calculadas para cada valor de los parámetros se determina para localizar los límites de estabilidad.

El algoritmo numérico en su conjunto es una extensión de un algoritmo previamente desarrollado para el análisis de estabilidad de puentes líquidos sometidos a diversos efectos (Laverón, 1994, Laverón y Perales, 1995), ampliado para el presente estudio para incluir el efecto combinado de rotación con excentricidad y/o gravedad axial.

3.1. Método de continuación

Considerados fijos el resto de parámetros del problema (esto es, la geometría de los discos de soporte y las propiedades físicas del fluido contenido en la columna líquida), las formas de equilibrio y su carácter estable o inestable dependen del valor de los parámetros de estudio: velocidad de rotación de los discos (a través del número de Weber, W), excentricidad (e) y gravedad axial (a través del número de Bond axial, Ba).

Se emplea un método de continuación para barrer dichos parámetros a partir de una solución conocida inicial: si dicha solución inicial es regular, la rama de soluciones obtenidas al variar uno de los parámetros se puede calcular mediante un método predictor-corrector. Llamando de forma genérica λ a uno de los parámetros del problema, el principio del método de continuación consiste por tanto en ir avanzado de forma incremental, mediante pequeñas perturbaciones δλ del parámetro λ, e ir calculando las soluciones del problema. De esta forma, mediante una continuación local se obtienen soluciones globales. La herramienta en la que se basa este método es el Teorema de la función implícita.



Pág. 14

Empleando una formulación paramétrica general, las ecuaciones del problema se pueden escribir como:

( ), 0G λ =u , : n nG × → (3.1)

donde G es un operador que representa el sistema de n ecuaciones que deben cumplir las variables del problema, u.

A partir de una solución regular conocida (u0,λ0), la solución para 0 0λ λ δλ= + ,

aplicando el método de Euler, sería en primera aproximación 00 0δ= +u u u (parte

predictor del método), para la que se debe cumplir:

( ) ( )00 0 0 0, , 0G Gλ δ λ δλ= + + =u u u (3.2)

Para 0δλ suficientemente pequeño, linealizando (3.2) se obtiene:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , , ... 0G G Gλλ λ δ λ δλ+ + + =uu u u u (3.3)

Al ser ( )0 0,λu solución de (3.1), si ( )0 0,G λu u es regular ( ( )0 0rang ,G nλ = u u ), se

obtiene en primera aproximación:

( ) ( )10 0 0 0 0 0, ,G Gλδ λ λ δλ

−= − uu u u (3.4)

A partir de la solución aproximada, aplicando el método de Newton (parte corrector del método), se construye el siguiente esquema iterativo, que permite encontrar una solución que cumpla los criterios de convergencia deseados:

( ) ( ) ( )1v v vλ λ δ λ+ = +u u u (3.5)

siendo 0 0λ λ δλ= + y:

( ) ( )1, ,v v vG Gδ λ λ

− = − uu u u (3.6)

El método de Newton tiene una convergencia cuadrática siempre y cuando ( )0 0,G λu u

sea regular, lo que permite una rápida convergencia a la solución del problema.

Este método predictor (Euler) – corrector (Newton) ya ha sido empleado anteriormente para calcular formas de equilibrio de puentes líquidos (Laverón y Perales, 1995).



Pág. 15

El método de continuación descrito se conoce como continuación natural, ya que utiliza uno de los parámetros naturales del problema, λ, para obtener la evolución de la variable u. En los casos en los que no haya unicidad de soluciones para todo el rango de λ que se quiere estudiar, al aplicar la continuación natural puede llegarse a un punto crítico, en torno al cual la solución no está determinada de forma unívoca; es decir, un punto en el que se verifica que ( )0 0,G λu u es singular ( ( )0 0rang ,G nλ < u u ). A continuación se

describen los dos tipos de puntos críticos que se van a estudiar: puntos de retorno y puntos de bifurcación, así como la forma de resolver el problema en cada caso.

3.1.1. Puntos de retorno simples

En los puntos de retorno simples la rama de soluciones que se obtiene al ir avanzando en el parámetro natural λ se pliega sobre sí misma. En ellos se verifica (Keller, 1987) que:

( ) ( )( ) ( )( )

0 0 0 0

0 0

rang , | , ,

dim N , 1, N es el núcleo de

G G n

G G Gλλ λ

λ

= =

u

u u u

u u

u

cumpliéndose entonces:

( )0 0rang , 1G nλ = − u u ,

( ) ( )0 0 0 0, Im ,G Gλ λ λ∉ uu u ,

y por tanto la continuación natural falla. Con el fin de sobrepasar estos puntos, se expresan u y λ como funciones de un nuevo parámetro de continuación: el parámetro longitud de arco de la solución, s; para ello se define y añade una nueva ecuación al sistema:

( ) 21 , , 1 0TN sλ λ= + − =u u u

donde d ds=u u y d dsλ λ= .

El empleo de esta ecuación añade dificultad a la resolución del problema completo, por lo que en su lugar, en estos casos, se utiliza alguna aproximación. En este trabajo la aproximación utilizada es la siguiente (Keller, 1987):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 0, , 0TN s s s s s s s s sλ λ λ λ= − + − − − = u u u u

(3.7)



Pág. 16

donde ( ) ( )0 0,s sλ u es una solución previamente conocida y ( ) ( )0 0,s sλ u

es el

vector tangente unitario a la solución en la solución conocida, que se calcula resolviendo el sistema:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0 0

20 0 0

0

1T

G s s G s s

s s sλ λ

λ

+ =

+ =u u

u u

(3.8)

Obsérvese que la ecuación (3.7) es la ecuación del hiperplano ortogonal al vector

( ) ( )0 0,s sλ u

y situado a una distancia 0s s− del punto ( )0 0,λu .

El sistema de ecuaciones (3.1) ampliado con la ecuación (3.7) queda:

( ) ( )( )1

,, ; 0

, ;G

H sN s

λλ

λ = =

uu

u (3.9)

Definiendo la variable:

λ

=

uw (3.10)

el sistema de ecuaciones (3.9) se puede expresar como:

( ) ( )( )1

, 0;

GH s

N s = =

ww

w, 1 1: n nH + +× → (3.11)

con lo que el algoritmo predictor se puede escribir:

0 0s s sδ= + (3.12)

( )00 0 0 0s δ δ= + = +w w w w w (3.13)

( ) ( )0 0 0 0 0 0, ,sH s H s sδ δ= −w w w w (3.14)

y el algoritmo corrector:

( ) ( )1v v vs s δ+ = +w w w (3.15)

( )( ) ( )( ), ,v v vH s s H s sδ = −w w w w (3.16)

Las derivadas de H se calculan a partir de las ecuaciones (3.7) y (3.9) como:



Pág. 17

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )0 0

, ,,

T

G s s G s sH s H s s

s s

λλ λ

λ

= =

uw w

u uw

u

(3.17)

( ) ( )( ) 0,

1s sH s H s s = = −

w (3.18)

Al haber ampliado el sistema con la definición del parámetro de arco (3.7), el parámetro natural λ pasa a ser una variable dependiente más del problema, calculado por tanto como parte de la resolución del sistema de ecuaciones (3.11) al progresar en la continuación en el parámetro s definida por (3.12) – (3.18).

Si s=s0 es un punto de retorno se ha de cumplir que ( )0 0sλ = , ya que si fuese ( )0 0sλ ≠

sería ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0, ImG s G s s G sλ λ λ= ∈ uu . Por tanto, ha de ser ( ) ( )0 0Ns G s∈ uu ,

con ( ) ( ) ( )( )0 0 0,G s G s sλ=u u u . Es sencillo demostrar que con estas condiciones

( )0wH s es regular. Así pues, usando el parámetro longitud de arco, monótono creciente,

el sistema ampliado es capaz de sobrepasar puntos de retorno del parámetro natural λ sin presentar singularidades, lo que asegura la convergencia del método al continuar la rama de soluciones a través de dichos puntos.

3.1.2. Puntos de bifurcación simples

En los puntos de bifurcación simples, tanto 0( )G su como ( )( )0 0,H s sw w son singulares,

aunque la última de un orden menor. En estos puntos se verifica (Keller, 1987):

( ) ( )( )

( ) ( )

0 0

0

0 0

rang | 1,

dimN 1,

Im ,

G s G s n

G s

G s G s

λ

λ

= − =

∈

u

u

u

y se cumple que ( )0rang H s n= w .

En este caso, se sobrepasa la singularidad en la rama principal “saltando” sobre ella, desde un punto sa anterior a s0, en el que se conoce la solución del problema, hasta un punto sb posterior:

( ) ( ) ( )( )0b a a b as s s s s= + −w w w , [ ]0 ,a bs s s∈ (3.19)



Pág. 18

La convergencia está asegurada siempre que esta estimación inicial esté dentro del dominio de convergencia del método; el teorema de convergencia de Newton afirma que si para algún 0s s≠ en ( ),a bs s se verifican las siguientes propiedades:

a) ( )( ), 0H s s =w

b) ( )( ) ( )1 ,H s s sβ− ≤w w

c) ( ) ( ), ,H s H s γ− ≤ −w wx y x y para todo ( ) ( )( ) ( ), , 0sB s sρ ρ∈ >x y w

d) ( ) ( ) ( )2

3s

s sρ

β γ<

entonces para todo ( ) ( ) ( )( )0b ss B sρ∈w w la iteración de Newton cumple

( ) ( )( )vsB sρ∈w w y:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

21 1, 2 1

v v s ss a s s a s

ss s sβ γ

ρρ β γ+ − ≤ − = <

−w w w w

Por supuesto, cuando ( )( )10 , ,s s H s s−→ → ∞w w , pero en el caso de puntos de

bifurcación simples se puede demostrar que ( )( )1 0

0

, MH s ss s

− ≤−w w para algún

0 00, M s s> ≠ . Lo anterior demuestra que el dominio de convergencia tiene forma

cónica estando el vértice del cono situado en ( )0sw .

Además de poder progresar por la rama principal a través del punto de bifurcación simple, también es posible calcular la rama bifurcada de la principal en dicho punto. Uno de los métodos descritos en Keller, 1987, para calcular la rama bifurcada se basa en buscar soluciones en un subconjunto paralelo al tangente a la rama principal, desplazado del punto de bifurcación en la dirección normal a la tangente en un plano específico.

El vector tangente a la rama principal, ( ) ( ) ( ){ }1 1 1,s s sλ=w u

, está dado en cualquier

punto regular de la rama por:

( ) ( ) ( )11 ss H s H s

−= − ww (3.20)

Y en el punto de bifurcación se puede aproximar por:



Pág. 19

( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 0 02s s s s s sδ δ δ= + − − w w w (3.21)

Los vectores tangentes a las ramas bifurcadas cumplen la ecuación (3.8), que puede reescribirse como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0 0 0

0 0

0

1T

G s s G s s G s s

s sλ λ+ = =

=u wu w

w w

(3.22)

de manera que son vectores del ( )0G sΝ w . Por tanto el vector tangente a la rama

bifurcada respecto de la principal se puede escribir como (Keller, 1987):

( ) ( )2 0 1 0 1s sα β= +w w φ (3.23)

siendo:

( )( )

11 0 1

1 1 0

1

N ,

0

1

n

T

G s

s

+∈ ∈ =

=

w

w

φ φ

φ

φ

Se cumple entonces:

0 0 0 10 1 1

1 0 1 0 1 0 1

( ) ( ) ( )( ) 0

( ) ( ) ( )T T

G s G s G sH s

s s sλ

λ

= = =

u ww u w

φφ φ

φ (3.24)

es decir, ( )1 0N H s∈ wφ y por tanto 1φ es el autovector unitario asociado al autovalor

nulo de ( )0H sw .

Se buscan entonces soluciones de la forma:

( )0 12 1 0 1

1

,

0

n

T

s ε += + + ∈

=

w w υ υ

υ

φ

φ

que tienen que verificar:

( ) ( )( )( )

02 1 0 1

02 2 1

0

0T

G G s

N

ε= + + =

= =

w w υ

w υ

φ

φ (3.25)



Pág. 20

y se usaría el método de Newton para resolver (3.25) en la nueva variable 1n+∈υ , partiendo de una solución inicial con 0=υ . En principio, convendría escoger ε lo

bastante grande como para que el esquema numérico no vuelva a converger a ( )1 0 .sw

En la práctica, a la hora de implementar el método numéricamente se encuentra que se puede obtener una buena convergencia a la rama bifurcada utilizando un método más simple, consistente en calcular el vector tangente a dicha rama resolviendo el sistema (Press et al. 1988):

( )0 , 0,1, 2,...v vwH s v= =c b (3.26)

donde 0b es un vector arbitrario que se establece de forma aleatoria, y usando

1v

vv

+ =cbc

en iteraciones sucesivas se consigue que 1v+c converja al vector tangente.

El vector 0b cumple la condición (3.23) para 2w , ya que tendrá una componente

aleatoria en la dirección del autovector 1φ . La convergencia a la rama bifurcada es

buena en la mayoría de los casos sin necesidad de imponer condiciones a esta componente (como que sea suficientemente grande), e iniciando la continuación en el parámetro de arco de la nueva curva (ecuación (3.7)) según el primer vector tangente al que converge 1v+c . En los casos en los que el método resulta converger a la rama principal, se detiene la ejecución y se vuelve a iniciar. Esto reduce la complejidad y duración de los cálculos en su conjunto.

3.2. Linealización de las ecuaciones

Se buscan soluciones del sistema (2.8) – (2.14) en torno a una solución conocida

( ) ( )( )0 0 0, , ,F z X z Pθ de la forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

00

00

00

, , , ,

( ) ,

,

fF z F z f z oF

X z X z z oX

pP P p oP

θ θ θ

χχ

= + +

= + +

= + +

(3.27)



Pág. 21

con 0 1f F << , 0 1Xχ << y 0 1p P << .

Sustituyendo los desarrollos de (3.27) en las ecuaciones (2.8) y (2.9) y reteniendo los términos de orden cero y uno se obtiene:

( )( )( ) ( )

3/2

2 20 0 0 0

0 0 0 0

3 3 32 2 2

32

1 22

cos cos 0

z

zz z z zz

a

AQ AS ATO A B f C f D fO O O

AKEf Gf Hf R LO

P p W e X F F f

W e X F f W e X F B z

θ

θθ θ χ χ

θ χ θ

− + − + − + − +

+ + + + − + +

+ + + + + + +

+ + + + + + − =

(3.28)

donde , , , , , , , , , , , , y A B C D E G H K L O Q R S T son las siguientes funciones conocidas

de ( )0 ,F z θ y ( )0X z , y por tanto del punto de la superficie considerado:

( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 20 0 0 0 0

2 20 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2

2

sin cos

2 sin

2 cos ,

z zz z z

z

zz

z z z

z z z z z

A F F F F F F F F F F F F F

X F F F F

X F F F F

X F F F F F

X F F F F F F F F F F

θθ θ θ θ θ

θθ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θθ

θ θ

θ

θ

= + − + + − + +

+ − − +

+ + + +

+ − −

− + + −

(3.29)

( )( ) ( )( )

( )( )( )

2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0

2 20 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1 2 2 2

2

3 cos 2 sin

2 2 sin

2 2 cos ,

z zz zz z z

z

zz

z z z

z z z z

B F F F F F F F F F F F

X F F

X F F F F

X F F F F

X F F F F F F

θθ θ θ θ

θθ

θ θ

θ θ

θθ θ θ

θ θ

θ

θ

= + − + + + − +

+ − +

+ + + + + − −

− − +

(3.30)

( )( )

0 0 0 0 0 0 0

2 20 0 0 0 0 0 0

2 2

2 sin cos ,z z

z

C F F F F F F F

X F F F F F Fθθ θ θ

θ θ θθθ θ

= − − −

− + + −

(3.31)



Pág. 22

( )( )

( )

0 0 0 0 0 0 0

2 2 20 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

2 2 2

4 3 sin 2 cos

2 sin 2 cos ,

zz z z

z zz

z z z z

D F F F F F F F

X F X F F F F

X F F F F F F

θ θ θ

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

= − + −

− + + + − − + +

(3.32)

( )2 20 0 0 ,E F F F θ= + (3.33)

( ) ( )20 0 0 0 0 01 2 cos ,z z z zG F F F X X F θ= + + + (3.34)

( )0 0 0 0 0 0 02 2 sin cos ,z zH F F F X F F Fθ θθ θ= − + − (3.35)

( ) ( )20 0 0 0 0 0 02 sin cos 2 sin cos ,z zK X F F F F F Fθ θθ θ θ θ= + + + (3.36)

( )( )2 20 0 0 0cos sin ,L F F F Fθ θθ θ= + + (3.37)

( ) ( )( )

22 2 2 20 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 sin cos

2 sin cos ,z z

z z

O F F F X F F

X F F F Fθ θ

θ

θ θ

θ θ

= + + + + +

+ +

(3.38)

( ) ( )( )

2 20 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

2 1 2 cos sin cos

2 sin cos 2 cos ,z z

z z z z

Q F F X F F

X F F F F F Xθ

θ

θ θ θ

θ θ θ

= + + + +

+ + +

(3.39)

( ) ( )( )

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 sin

2 cos ,

z z z

z z z z

R X F F F F F F F F F

F F F F F F F F F F

θθ θ θ θ

θθ θ θ θ

θ

θ

= − − + − +

+ − − −

(3.40)

( )20 0 0 0 0 02 2 cos sin ,z zS F F X F F F θθ θ= + + (3.41)

( )20 0 0 0 0 0 02 2 sin cos sin 2 sin ,z z zT F X F F X F Fθ θ θ θ θ θ= + + + (3.42)

Si ( ) ( )( )0 0 0, , ,F z X z Pθ fuese una solución exacta algunos términos en (3.28) – (3.42)

se podrían simplificar. Sin embargo, en el método numérico para cada paso de la continuación (esto es, para cada valor del parámetro longitud de arco) se utiliza como solución conocida inicial la solución obtenida en el paso anterior, que contendrá por tanto ciertos errores asociados al cálculo numérico. Por ello se retienen los términos relacionados con dicha solución inicial en las ecuaciones.

Sustituyendo los desarrollos de (3.27) en las condiciones de contorno (2.10) – (2.14) y reteniendo los términos de orden cero y uno se obtiene:



Pág. 23

( ) ( ) ( )2 22

0 00 0, 2 , , 4dz F z d dz F z f z d

π πθ θ θ θ θ π

Λ Λ

−Λ −Λ+ = Λ ∫ ∫ ∫ ∫ (3.43)

( ) ( )0 , , 1F fθ θ±Λ + ±Λ = (3.44)

( ) ( )0 0X χ±Λ + ±Λ = (3.45)

( ) ( ) ( ) ( )0 0, , , 2 , 2F z f z F z f zθ θ θ π θ π+ = + + + (3.46)

( ) ( ) ( ) ( )0 0,0 ,0 , ,F z f z F z f zπ π+ = + (3.47)

El sistema de ecuaciones se completa con la linealización de la ecuación (3.7), que depende del parámetro natural que se quiere barrer: el número de Weber, la excentricidad o el número de Bond axial, y que se detalla en las siguientes secciones para cada uno de los casos de estudio.

3.2.1. Ecuaciones lineales para el problema de evolución en la velocidad de

rotación

En ausencia de gravedad axial y excentricidad, la forma y la estabilidad del puente líquido dependen del valor de la velocidad de rotación. La influencia de ésta se puede estudiar aplicando una continuación en el parámetro de arco s obtenido al variar el número de Weber (W), partiendo de la solución trivial de puente cilíndrico para W=0.

Dado que el parámetro que se utiliza en la continuación es s, W se puede tratar como una variable más del problema, por lo que se buscan soluciones de la forma:

00

W W oWωω

= + +

(3.48)

siendo 0

1Wω

<< .

La ecuación (3.28) queda:



Pág. 24

( )

( ) ( )

3/2

2 20 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

3 3 32 2 2

32

12

cos cos cos 0

z

zz z z zz


AKEf Gf Hf R LO

P p W X F W F f

W X F W X f W X F

θ

θθ θ χ χ

ω

ω θ θ χ θ

− + − + − + − +

+ + + + − + +

+ + + + + + +

+ + + + + =

(3.49)

Las ecuaciones (3.29) – (3.47) no se modifican, y la ecuación que define el parámetro de arco s es en este caso:

( )00 0 00

0dF dX dP dWf p s sds ds ds ds

χ ω + + + − − =

(3.50)

La evolución de las soluciones con W se utiliza como base del análisis de estabilidad del puente en todos los casos de estudio: sean cuales sean los efectos presentes, se calculan las soluciones al variar W y el límite de estabilidad se define como el primer valor de W para el que la solución se hace inestable (se alcanza un punto de retorno o de bifurcación). El caso en el que solamente se aplica rotación, sin excentricidad ni gravedad axial (o con valores muy pequeños de uno de ellos), ya ha sido estudiado con anterioridad (Vega y Perales, 1983; Perales et al. 1990), por lo que se utilizan los resultados previos como referencia en el análisis.


rotación con gravedad axial

En presencia de una fuerza de gravedad axial y sin excentricidad, se puede aplicar una continuación en Ba con W=0, recorriendo la rama de soluciones desde Ba=0 (puente cilíndrico inicial) hasta el Ba deseado, y a partir de ahí pasar a una continuación en W manteniendo el valor de Ba como parámetro.

Para la primera continuación se trata Ba como una variable del problema:

00

,aa a a

a

bB B b oB

= + +

(3.51)



Pág. 25

con 0

1a

a

bB

<< .

La ecuación (3.28) queda (con W=0):

( )

3/2

0 0

3 3 32 2 2

32

0

z

zz z z zz

a a


AKEf Gf Hf R LO

P p B b z

θ

θθ θ χ χ

− + − + − + − +

+ + + + − + +

+ + − + =

(3.52)

Las ecuaciones (3.29) – (3.47) no se modifican, y la ecuación que define el parámetro de arco s es en este caso:

( )00 0 00

0aa

dBdF dX dPf p b s sds ds ds ds

χ + + + − − =

(3.53)

Una vez obtenida la solución para el Ba deseado con W=0, se trata como solución inicial para una continuación en W:

00 0

, 1,W W oW Wω ωω

= + + <<

La ecuación (3.28) queda (con Ba como parámetro):

( ) ( )

( )

3/2

0

2 20 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

3 3 32 2 2

32

1 cos2

cos cos 0

z

zz z z zz

a


AKEf Gf Hf R L P pO

W X F W F f W X F

W X f W X F B z

θ

θθ θ χ χ

ω ω θ

θ χ θ

− + − + − + − +

+ + + + − + + + +

+ + + + + + +

+ + + − =

(3.54)

Las ecuaciones (3.29) – (3.47) no se modifican, y la ecuación que define el parámetro de arco s es la misma ecuación (3.50) que para el caso sin gravedad axial.



Pág. 26


rotación con excentricidad

Cuando el eje de rotación presenta una excentricidad, ésta afecta a las soluciones con 0W ≠ , pero la solución con W=0 es la misma que en el caso sin excentricidad. Por

tanto, es posible aplicar una continuación en W manteniendo e como parámetro independiente en las ecuaciones, partiendo de una solución inicial con W=0 que, en ausencia de otros efectos, es la solución trivial de puente cilíndrico.

Tratando W como variable dependiente para hacer la continuación en s, de forma análoga a como se ha descrito en la sección 3.2.1:

00 0

, 1,W W oW Wω ωω

= + + <<

La ecuación (3.28) queda en este caso:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

3/2

0

2 20 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

3 3 32 2 2

32

1 cos2

cos cos 0

z

zz z z zz


AKEf Gf Hf R L P pO

W X e F W F f W X e F

W X e f W X e F

θ

θθ θ χ χ

ω ω θ

θ χ θ

− + − + − + − +

+ + + + − + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + + =

(3.55)

Las ecuaciones (3.29) – (3.47) no se modifican, y la ecuación que define el parámetro de arco s es la misma ecuación (3.50) que para el caso sin excentricidad.


rotación con excentricidad y gravedad axial

Para el caso en el que se presentan los efectos combinados de rotación, excentricidad y gravedad axial se aplica una primera continuación en Ba con W=0 (con lo que las soluciones no se ven afectadas por la excentricidad) para recorrer la rama de soluciones desde Ba=0 (puente cilíndrico inicial) hasta el Ba deseado, y a partir de ahí se pasa a una continuación en W manteniendo el valor de Ba y e como parámetros.



Pág. 27

La primera continuación en Ba con W=0 se resuelve según las ecuaciones (3.51) – (3.53) y (3.29) – (3.47).

La continuación siguiente en W se resuelve de forma análoga a los casos ya descritos:

00 0

, 1,W W oW Wω ωω

= + + <<

La ecuación (3.28) queda (con Ba y e como parámetros):

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

3/2

0

2 20 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

3 3 32 2 2

32

1 cos2

cos cos 0

z

zz z z zz

a


AKEf Gf Hf R L P pO

W X e F W F f W X e F

W X e f W X e F B z

θ

θθ θ χ χ

ω ω θ

θ χ θ

− + − + − + − +

+ + + + − + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + + − =

(3.56)

Las ecuaciones (3.29) – (3.47) no se modifican, y la ecuación que define el parámetro de arco s es la misma ecuación (3.50) que para el caso sin gravedad axial ni excentricidad.

3.3. Esquema en diferencias finitas

Cada uno de los sistemas de ecuaciones linealizadas desarrollados en las secciones anteriores se resuelve mediante la aplicación de un esquema de diferencias finitas centradas. Como se espera que las soluciones sean suficientemente regulares, un método de diferencias finitas se adecúa al problema y es de aplicación más sencilla en este caso que métodos de elementos finitos o espectrales.

Para ello se discretiza el dominio fluido mediante un mallado definido por las intersecciones de la superficie libre con los planos:

2 1 , 0,1,...,jjz z j J

J = = Λ − =

(3.57)

2 , 0,1,...,1i i i I

Iπθ θ= = =+

(3.58)



Pág. 28

El mallado resultante está representado de forma esquemática en la Figura 3.1.

Para poder calcular las derivadas en los puntos extremos y aplicar correctamente las condiciones de contorno se extiende el mallado con unos puntos virtuales que se resuelven como parte del sistema de ecuaciones:

1,0,..., 1, 1,0,..., 1j J i I= − + = − + (3.59)

Figura 3.1. Discretización del dominio fluido

3.4. Discretización de las ecuaciones

Aplicando diferencias finitas centradas las derivadas de f y χ se aproximan por:

( ) 1 1,2

i ij j

z j i

f ff z

zθ + −−

∆ , (3.60)

( )1 1

,2

i ij j

j i

f ff zθ θ

θ

+ −−

∆ , (3.61)

i,j • • j-1

• j+1 • i+1 i-1 • • 0 • 1

• I • I-1

J • • J+1

• -1 • 0 • 1



Pág. 29

( )( )

1 12

2,

i i ij j j

zz j i

f f ff z

zθ + −− +

∆ , (3.62)

( )( )

1 1

2

2,

i i ij j j

j i

f f ff zθθ θ

θ

+ −− +

∆ , (3.63)

( )1 1 1 11 1 1 1,

4

i i i ij j j j

z j i

f f f ff z

zθ θθ

+ − + −+ + − −− − +

∆ ∆ , (3.64)

( ) 1 1

2j j

z jzz

χ χχ + −−

∆ , (3.65)

( )( )

1 12

2j j jzz jz

z

χ χ χχ + −− +

∆ , (3.66)

para 0,..., , 0,...,j J i I= = , con ( ),ij j if f z θ= , ( )j jzχ χ= y z∆ , θ∆ dados por:

2 2,1

zJ I

πθΛ∆ = ∆ =

+ (3.67)

Utilizando estas expresiones la formulación general del problema resulta en el sistema linealizado de ecuaciones en diferencias finitas siguiente:

1 11 1

1 1 1 11 1 1 1

1 1

( )

,

0,..., , 0,..., ,

i i i i iij j ij j ij j ij j ij j

i i i iij j j j j

ij j ij j ij j ij

f f f f f

f f f fp

i I j J

α β γ δ j

φ

µ χ ν χ ρ χ ψ

− +− +

+ − + −+ + − −

− +

+ + + + +

+ − − + +

+ + + + =

= =

(3.68)

0 0

I Ji

ij ji j

a f A= =

=∑ ∑ (3.69)

0,1 , 0,...,i iJ Jf F i I= − = (3.70)

0 0,01 , 0,...,i if F i I= − = (3.71)

0 0,0Xχ = − (3.72)

0,J JXχ = − (3.73)



Pág. 30

0 1 1 00, 0, , 1,..., 1I I

j j j jf f F F j J+ +− = − = − + (3.74)

( ) ( )1 2 1 20 00, 0, , 1,..., 1I I

j j j jf f F F j J+ +− = − = − + (3.75)

donde , , , , , , , , , , ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ijaα β γ δ j φ µ ν ρ ψ y A son funciones de 0, 0,, ij jF X y

0P :

( ) ( )( )3/2

0, 0,2 2

3 2 2cos

2ij ij ij ij i

ij ij ij j j iij

A Q E GO B W F X e

O zα θ

θ−

= − − − + + + ∆ ∆

(3.76)

( )3/2

2

312 2

ij ij ijij ij ij

ij

A S EO C

z O zβ −

−= − + ∆ ∆

(3.77)

( )3/2

2

312 2

ij ij ijij ij ij

ij

A S EO C

z O zγ −

= − + ∆ ∆

(3.78)

( )3/2

2

312 2

ij ij ijij ij ij

ij

A T GO D

Oδ

θ θ−

−= − + ∆ ∆

(3.79)

( )3/2

2

312 2

ij ij ijij ij ij

ij

A T GO D

Oj

θ θ−

= − + ∆ ∆

(3.80)

3/2

4ij

ij ij

HO

zφ

θ−=

∆ ∆

(3.81)

( )3 2

0, 0,22 cosi

ij ij ij j j iO L W X e Fz

µ θ− − = + + + ∆

(3.82)

( )3 2

2

31 12 2

ij ijij ij ij ij

ij

A KO R L

z O zν −

−= − + ∆ ∆

(3.83)

( )3 2

2

31 12 2

ij ijij ij ij ij

ij

A KO R L

z O zρ −

= − + ∆ ∆

(3.84)

( ) ( ) ( )223 20 0, 0, 0, 0,

1 2 cos2

i iij ij ij j j j j i a jO A P W X e F X e F B zψ θ− = − − − + + + + +

(3.85)



Pág. 31

Los coeficientes de (3.68) se obtienen de la integración del volumen de la columna líquida (3.43), para lo que se separan las integrales en z y en θ:

( ) ( )2 00 ,F z dz gθ θ

Λ

−Λ

= ∫ (3.86)

( ) ( ) ( )102 , ,F z f z dz gθ θ θ

Λ

−Λ

=∫ (3.87)

( ) ( )2

0 1

0

4 g g dπ

π θ θ θ Λ = + ∫ (3.88)

Empleando la regla de Simpson extendida alternativa (Press et al., 1988), las integrales (3.86) y (3.87) resultan:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 200,0 0,1 0,2 0,3

2 2 2 2 2

0,4 0,5 0, 4 0, 3 0, 2

2 2

0, 1 0, 4

17 59 43 4948 48 48 48

49 43...48 48

59 17 1048 48

i i i ii

i i i i iJ J J

i iJ J

g z F F F F

F F F F F

F FJ

θ

− − −

−

= ∆ + + + +

+ + + + + + +

+ + +

(3.89)

( )10,0 0 0,1 1 0,2 2 0,3 3

0,4 4 0,5 5 0, 4 4 0, 3 3 0, 2 2

0, 1 1 0, 4

17 59 43 49248 48 48 48

49 43...48 48

59 17 1048 48

i i i i i i i ii

i i i i i i i i i iJ J J J J J

i i i iJ J J J

g z F f F f F f F f

F f F f F f F f F f

F f F fJ

θ

− − − − − −

− −

= ∆ + + + +

+ + + + + + +

+ + +

(3.90)

Y utilizando la regla del trapecio en (3.88):

( ) ( )0 0 0 0 0 1 1 1 1 10 1 2 1 0 1 2 1

14 2 2 ... 2 2 2 ... 2 02 2I I I Ig g g g g g g g g g

Iθ θπ + +

∆ ∆ Λ = + + + + + + + + + + + +

(3.91)

donde

( )( )

0 0

1 1

i i

i i

g g

g g

θ

θ

=

=



Pág. 32

Por tanto, la integración del volumen resulta en la expresión:

( )1 1 1 1 1 0 0 0 0 00 1 2 1 0 1 2 1

12 2 ... 2 8 2 2 ... 2I I I Ig g g g g g g g g gπθ+ ++ + + + + = Λ − + + + + +

∆ (3.92)

que debido a la condición de periodicidad azimutal de las soluciones se puede expresar como:

( )1 1 1 0 0 00 1 0 1

1... 4 ...I Ig g g g g gπθ

+ + + = Λ − + + +∆

(3.93)

Por lo que los coeficientes de (3.69) son:

0

0

1 4I

ii

A gπθ =

= Λ −∆ ∑ (3.94)

0,

0,

0,

0,

0,

17 , 0,..., , 0, ,2459 , 0,..., , 1, 1,2443 , 0,..., , 2, 2,2449 , 0,..., , 3, 3,242 , 0,..., , 4,..., 4,

ij

ij

iij j

ij

ij

zF i I j J

zF i I j J

a zF i I j J

zF i I j J

zF i I j J

∆ = = ∆ = = −= ∆ = = −

∆ = = −

∆ = = −

(3.95)

con ( )0 0i ig g θ= dado por (3.89).

Finalmente se obtiene un sistema (3.68) – (3.75) con n ecuaciones discretizadas, siendo ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3n I J I I J J I J= + + + + + + + + + + + + = + + + . Este sistema es

el que se integra empleando el método de continuación tal y como se describió en la sección 3.1. Dependiendo de los efectos que se consideren se particularizan estas ecuaciones y se añade la definición del parámetro de arco correspondiente a cada caso como se explica en las secciones siguientes.



Pág. 33

3.4.1. Ecuaciones discretizadas para el problema de evolución en la

velocidad de rotación

En ausencia de excentricidad y gravedad axial, al introducir la continuación en el parámetro de arco s obtenido al variar W las ecuaciones (3.68), (3.76), (3.82) y (3.85) quedan, respectivamente:

1 11 1

1 1 1 11 1 1 1

1 1

( )

,

0,..., , 0,..., ,


i i i iij j j j j

ij j ij j ij j ij ij

f f f f f

f f f fp

i I j J

α β γ δ j

φ

µ χ ν χ ρ χ ω ψ

− +− +

+ − + −+ + − −

− +

+ + + + +

+ − − + +

+ + + + + W =

= =

(3.96)

( ) ( )3/2

0 0, 0,2 2

3 2 2cos

2ij ij ij ij i

ij ij ij j j iij

A Q E GO B W F X

O zα θ

θ−

= − − − + + ∆ ∆

(3.97)

( )3 2

0 0, 0,22 cosi

ij ij ij j j iO L W X Fz

µ θ− − = + + ∆

(3.98)

( ) ( )223 20 0 0, 0, 0, 0,

1 2 cos2

i iij ij ij j j j j iO A P W X F X Fψ θ− = − − − + +

(3.99)

Los coeficientes de la nueva variable ω son:

( ) ( )22

0, 0, 0, 0,1 2 cos2

i iij j j j j iX F X F θ W = + +

(3.100)

y el parámetro longitud de arco s se obtiene de:

( )1 1

00 1 1 0 000

0iI J Jj ji

j ji j j

dF dX dP dWf p s sds ds ds ds

χ ω+ +

= =− =−

+ + + − − = ∑ ∑ ∑ (3.101)

con

00 0

, 1W W oW Wω ωω

= + + <<



Pág. 34


velocidad de rotación con gravedad axial

En el caso de rotación con 0aB ≠ , como se explica la sección 3.2.2, primero se aplica

una continuación variando Ba con W=0 hasta llegar al valor de Ba deseado, y a partir de ahí se pasa a una continuación en W manteniendo el valor de Ba como parámetro.

Para la primera continuación las ecuaciones (3.68), (3.76), (3.82) y (3.85) quedan, respectivamente:

1 11 1

1 1 1 11 1 1 1

1 1

( )

,

0,..., , 0,..., ,


i i i iij j j j j

ij j ij j ij j ij a ij

f f f f f

f f f fp b

i I j J

α β γ δ j

φ

µ χ ν χ ρ χ ψ

− +− +

+ − + −+ + − −

− +

+ + + + +

+ − − + +

+ + + + + W =

= =

(3.102)

( ) ( )3/2

2 2

3 2 22

ij ij ij ijij ij ij

ij

A Q E GO B

O zα

θ−

= − − −

∆ ∆

(3.103)

( )3 2

22

ij ij ijO Lz

µ − −

= ∆

(3.104)

3 20 0ij ij ij a jO A P B zψ −= − − + (3.105)

Los coeficientes de la nueva variable ba son:

ij jzW = − (3.106)

y el parámetro longitud de arco s se obtiene de:

( )1 1

00 1 1 0 000

0iI J Jj ji a

j j ai j j

dF dX dBdPf p b s sds ds ds ds

χ+ +

= =− =−

+ + + − − = ∑ ∑ ∑ (3.107)

con

00 0

, 1a aa a a

a a

b bB B b oB B

= + + <<



Pág. 35

Para la continuación en W se utilizan las expresiones modificadas (3.96) – (3.101), añadiendo el parámetro Ba en (3.98):

( ) ( )223 20 0 0, 0, 0, 0,

1 2 cos2

i iij ij ij j j j j i a jO A P W X F X F B zψ θ− = − − − + + +

(3.108)


velocidad de rotación con excentricidad

El caso de rotación con 0e ≠ se trata mediante una continuación en W con e como parámetro, por lo que la ecuación (3.68) queda como (3.96) y las ecuaciones (3.76), (3.82) y (3.85) quedan, respectivamente:

( ) ( )( )3/2

0 0, 0,2 2

3 2 2cos

2ij ij ij ij i

ij ij ij j j iij

A Q E GO B W F X e

O zα θ

θ−

= − − − + + + ∆ ∆

(3.109)

( )3 2

0 0, 0,22 cosi


µ θ− − = + + + ∆

(3.110)

( ) ( ) ( )223 20 0 0, 0, 0, 0,

1 2 cos2

i iij ij ij j j j j iO A P W X e F X e Fψ θ− = − − − + + + +

(3.111)

Los coeficientes de ω en (3.96) son:

( ) ( ) ( )22

0, 0, 0, 0,1 2 cos2

i iij j j j j iX e F X e F θ W = + + + +

(3.112)

y el parámetro longitud de arco s está definido por (3.101).


velocidad de rotación con excentricidad y gravedad axial

El efecto combinado de rotación, excentricidad y gravedad axial se estudia aplicando en primer lugar una continuación en Ba con W=0, para lo que se modifican las ecuaciones (3.68), (3.76), (3.82) y (3.85) con (3.102) – (3.106) y se aplica la parametrización (3.107).



Pág. 36

Seguidamente se aplica una continuación en W con Ba y e como parámetros, en la que la ecuación (3.68) queda como (3.96) y las ecuaciones (3.76), (3.82) y (3.85) quedan, respectivamente:

( ) ( )( )3/2

0 0, 0,2 2

3 2 2cos

2ij ij ij ij i

ij ij ij j j iij

A Q E GO B W F X e

O zα θ

θ−

= − − − + + + ∆ ∆

(3.113)

( )3 2

0 0, 0,22 cosi


µ θ− − = + + + ∆

(3.114)

( ) ( ) ( )223 20 0 0, 0, 0, 0,

1 2 cos2

i iij ij ij j j j j i a jO A P W X e F X e F B zψ θ− = − − − + + + + +

(3.115)

Los coeficientes de ω en (3.96) son:

( ) ( ) ( )22

0, 0, 0, 0,1 2 cos2

i iij j j j j iX e F X e F θ W = + + + +

(3.116)

Y el parámetro longitud de arco s está definido por (3.101).

3.5. Método de resolución

Definidos en cada caso de estudio los parámetros Λ, Ba y e, se calculan las formas de equilibrio del puente para cada valor de W y su límite de estabilidad. Para ello se aplica el método de continuación a partir de una forma inicial de equilibrio conocida, que será la del puente cilíndrico sin rotación ni gravedad axial:

1 en , 0 2 ,0 en ,

100

a

F zX zPBW

θ π= − Λ ≤ ≤ Λ ≤ ≤

= − Λ ≤ ≤ Λ===

(3.117)

Partiendo de esta solución, se progresa en el parámetro longitud de arco de la rama de soluciones, s (monótono creciente), utilizando en cada paso como solución inicial la solución numérica del paso anterior.



Pág. 37

Conocida esta solución inicial { }0, 0, 0, , , 0,..., , 0,..., ,ij jF X P i I j J = = ( )0 0 ,sλ λ=

donde λ representa el parámetro natural que se está variando, las variables del sistema discretizado están dadas por:

( ) { }( ) { }

, , , 0,..., , 0,...,

, , , , 0,..., , 0,...,

ij j

ij j

s f p i I j J

s f p i I j J

χ

χ δλ

= = =

= = =

u

w (3.118)

El sistema de ( )( )3 3 3n I J= + + + ecuaciones (3.68) – (3.75) constituye el sistema

( ),G δλu definido en la sección 3.1. Añadiendo la ecuación que define el parámetro

longitud de arco apropiada a cada caso, ( )1 , ; 0N sδλ =u , como se describe en las

secciones 3.4.1 – 3.4.4, se obtiene el sistema ampliado: ( ) ( )( )1

,, ;

, ;G

H sN s

δλδλ

δλ =

uu

u.

Al ser ( ), ;H sδλu un sistema de ecuaciones linealizadas, tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( ), 0H s H s s s= − =ww w K (3.119)

siendo ( )H sw la matriz de coeficientes en , , ,ij jf pχ δλ y ( )sK el vector con los

términos independientes de las ecuaciones. Los coeficientes de ( )H sw y ( )sK son

“constantes” que dependen de la solución inicial conocida y del paso s, pero no de las variables w. Aunque se podría intentar resolver el problema lineal directamente

haciendo ( ) [ ] 1s H −= ww K , los coeficientes de las matrices estarían evaluados con la

solución del paso anterior (es decir, en 0s ), lo que daría lugar a una pérdida de precisión

o a la necesidad de utilizar pasos 0 0s s sδ = − excesivamente pequeños.

En su lugar, se aplica el método predictor (3.12) – (3.14) en cada paso 0s , del que

resulta:

( ) ( )100 0 0 0 0, sH s H s s s s sδ δ

−= − = + ww (3.120)

En el caso en que 0s sea un punto de bifurcación y se quiera progresar por la rama

bifurcada, ( ) ( )10 0sH s H s

−− w se sustituye por el vector tangente calculado mediante

(3.26).



Pág. 38

A partir de esta predicción, se actualiza la forma inicial a 00, 0, 0 0, , ,i

j jF X P λ + w y se

calculan con ella las nuevas matrices 0 ( )H sw y 0 ( )sK . Con estas nuevas matrices es

posible aplicar el método corrector (3.15) – (3.16), del que resulta:

( ) ( ) ( ) ( )1 11 0 0 0 0 0 0 0,H s H s H s sδ− −

= + = − = w ww w w w w K (3.121)

Es decir, la corrección equivale a resolver el sistema lineal ( ) ( )0 1 0H s s=w w K . Por

tanto, se aplican correcciones sucesivas aplicando de forma iterativa el mismo proceso:

1. se actualiza la forma inicial a 0, 0, 0 0, , ,ij jF X P νλ + w ,

2. se calculan con ella las nuevas matrices ( )H sνw y ( )sνK ,

3. se resuelve el sistema ( ) ( )1H s sν ν ν+ =w w K

Con ello se consigue que 1ν +w converja a la solución ( )sw , y se obtiene la forma de

equilibrio:

0, 0, 0 0, , , , , , , , , ,i i ij j j j j jF X P F X P f pλ λ χ δλ = + 0,..., , 0,...,i I j J= = ,

que será la solución inicial del paso siguiente.

El parámetro λ a utilizar depende del caso que se esté tratando, pero en todos ellos se realiza un barrido final en W para determinar el límite de estabilidad, a no ser que se dé dicho límite para un cierto Ba≠0 con W=0. Por tanto, en cada paso se comprueban los signos de 0λ λ λ∆ = − y del determinante de la matriz ( )H sw . El punto Cs s= en que se

da un cambio de signo en alguno de ellos marca la presencia de un punto crítico y la transición de una forma de equilibrio estable a inestable: un cambio de signo en λ∆ señala la presencia de punto de retorno y un cambio de signo en el determinante de

( )H sw , sea cual sea el signo de λ∆ , señala la presencia de un punto de bifurcación. El

valor de ( )CW s (ó ( )a CB s si la inestabilidad se da con W=0) resultante corresponde al

límite de estabilidad para los parámetros utilizados.

Los puntos críticos que aparecen en los distintos casos de estudio se tratan como se explicó en las secciones 3.1.1 y 3.1.2: el cálculo de las formas de equilibrio inestables es directo en el caso de puntos de retorno, ya que al evolucionar en el parámetro longitud de arco dichos puntos no son singulares y se puede seguir la continuación en ellos; para los puntos de bifurcación se puede seguir la continuación por la rama principal saltando



Pág. 39

por encima de ellos, o seguir por la rama bifurcada calculando un primer vector tangente a ésta para continuar después según el parámetro de arco de la nueva curva.


4. Resultados numéricos

Pág. 40


A continuación se presentan los resultados obtenidos mediante el método numérico en los distintos casos de estudio. Para la validación del método desarrollado, los resultados se comparan con estudios analíticos previos para los casos en que se disponga de ellos.

En todos los casos se analizan los límites de estabilidad de la columna líquida obtenidos y el tipo de inestabilidad que aparece (punto de retorno o bifurcación). Se calculan también las formas de equilibrio para cada rama de soluciones, tanto estables como inestables. Para mostrar de forma cualitativa la evolución de estas soluciones con la velocidad de rotación, se calculan las áreas de las secciones 2, 0, 2z z z= − Λ = = Λ del puente líquido para cada valor de W y se representa su evolución para cada rama en diagramas de bifurcación. Se elige en cada caso la sección en la que se aprecien los resultados con mayor claridad.

El análisis depende en todos los casos de los valores de los parámetros Λ, Ba y e considerados. En primer lugar se comparan los resultados obtenidos al variar la velocidad de rotación sin gravedad axial ni excentricidad (es decir, e=0, Ba=0) con estudios previos para distintos valores de Λ, para una primera validación del método numérico.

A continuación se analiza el efecto combinado de la rotación con gravedad axial y sin excentricidad (es decir, e=0) para distintos valores de Λ. En los límites Ba=0 y Ba<<1 se comparan los resultados con estudios previos.

De forma similar se analiza después el efecto combinado de la rotación con excentricidad y sin gravedad axial (es decir, Ba=0) para distintos valores de Λ. Los resultados se comparan con estudios analíticos para el límite e<<1.

Finalmente se analiza el efecto combinado de rotación con gravedad axial y excentricidad para distintos valores de Λ.

El tamaño de la malla empleado en la discretización del dominio fluido (Figura 3.1) es de J=28, I=19. Es decir, 29 puntos según el eje Z y 20 según θ. Es conveniente elegir un número impar de puntos en Z y par en θ para tener puntos de la malla definidos en z = 0 (que son útiles para el análisis) y en θ = π (para poder imponer directamente la condición de contorno (3.75)). Mallados más gruesos de los indicados incrementan los errores apreciablemente cerca de los límites de estabilidad.



Pág. 41

4.1. Efecto de la rotación

4.1.1. Resultados previos:

Resultados analíticos previos (Vega y Perales, 1983; Perales et al. 1990) muestran que una columna líquida rotando en ausencia de gravedad axial y excentricidad (Ba=0, e=0) mantiene una forma estable cilíndrica hasta cierto valor de la velocidad de rotación que depende de la esbeltez del puente, es decir para ( )0W W< Λ . A partir de 0W W= el

puente se hace inestable apareciendo las soluciones siguientes, expresadas en el sistema de referencia descrito en el capítulo 2:

a. Formas no axilsimétricas (modo “C”), simétricas respecto del plano z=0:

( ) ( ) ( ) ( )2

0 , 1 , cos , 1 , 12 2 2

WW F o X z o P oπ πε ε ε ε ε Λ = = + = + = − + << Λ Λ

(4.1)

b. Formas axilsimétricas (modo “ánfora”):

( ) ( ) ( ) ( )2

0 1, 1 sin , , 1 , 12

WW F z o X o P oπ πε ε ε ε ε Λ = − = + + = = − + << Λ Λ

(4.2)

Las Figuras 4.1 (a) y (b) muestran ejemplos de un puente en modo C y en modo ánfora, respectivamente.

(a) (b)

Figura 4.1. Modos “C” (a) y “ánfora” (b).

-10

1

-1

01

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

-1-0.5

00.5

1

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2



Pág. 42

En la Figura 4.2 se muestran las curvas W0 (Λ) de ambos modos, que representan las curvas de transición en el plano W-Λ entre formas de equilibrio estables e inestables. Las ecuaciones (4.1) y (4.2) se igualan en 3 / 2πΛ = (que corresponde al punto A en la

Figura 4.2), de forma que los puentes con una esbeltez 3 / 2πΛ < se desestabilizan

dando lugar a configuraciones no axilsimétricas, mientras que para 3 / 2πΛ > las formas inestables axilsimétricas aparecen en primer lugar. Como puede verse en la figura los puentes con menor esbeltez son más estables que los puentes con mayor esbeltez. La máxima esbeltez para la que el puente es estable es πΛ = .

Figura 4.2. Diagrama de estabilidad para excentricidad y gravedad nulas (Perales et al. 1990).

Las transiciones a ambos modos, tanto C como ánfora, se dan en una bifurcación subcrítica, resultando en diagramas de bifurcación como el mostrado en la Figura 4.3. En ella, la línea continua representa soluciones estables (esto es, la rama principal correspondiente a la forma cilíndrica) y las líneas discontinuas indican la parte inestable de cada rama (tanto la principal para W>W0 como las bifurcadas). Al ser las transiciones a los modos C y ánfora subcríticas, ambos son siempre inestables.

1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Λ

W

modo C

A

modo ánfora



Pág. 43

Figura 4.3. Diagrama de bifurcación (Vega y Perales, 1983).

4.1.2. Resultados numéricos:

El método numérico reproduce correctamente estos resultados con e=0 y Ba=0: los límites de estabilidad para cada valor de Λ se corresponden con los analíticos, como se muestra en la Figura 4.4, y en todos los casos se obtiene una bifurcación subcrítica. Por tanto, se considera que la base del método (la continuación según el parámetro de arco obtenido al variar el número de Weber) es válida y se analiza a continuación su ampliación para los casos en los que se introducen efectos adicionales (gravedad axial y/o excentricidad).



Pág. 44

Figura 4.4. Comparación entre los límites de estabilidad analíticos (Perales et al. 1990) y

numéricos.

4.2. Efecto combinado de la rotación con gravedad axial


Estudios teóricos previos (Vega y Perales, 1983) muestran que, al introducir una gravedad axial pequeña (Ba<<1), el carácter de la inestabilidad para 3 / 2πΛ > cambia, transformando la bifurcación subcrítica presente cuando Ba=0 en un punto de retorno, tal como se muestra en la Figura 4.5 (a). Los límites de estabilidad en este caso responden a la expresión (Vega y Perales, 1983):

( )

1 32 3

2 35

3 3 1 2 412 21 1 a

W W W BW W

π + + + Λ = − + +

(4.3)

1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Λ

W

analíticonumérico



Pág. 45

Para 3 / 2πΛ < y Ba<<1 pero no nulo (con e=0) se reduce la región de estabilidad (esto es, disminuye el límite de estabilidad W0) al aumentar Ba, pero el carácter de la inestabilidad no se altera mientras Ba sea pequeño, y se mantiene en una bifurcación subcrítica como en el caso Ba=0 (Figura 4.5 (b)); si se incrementase lo suficiente el valor de Ba la bifurcación cambiaría también a un punto de retorno (Slobozhanin y Alexander, 1997). Para estos valores de Λ no se dispone de una expresión analítica como (4.3) para los límites de estabilidad.

Figura 4.5. Diagramas de bifurcación para (a) 3 / 2πΛ > y (b) 3 / 2πΛ < (e=0) (Vega y

Perales, 1983)


Los resultados obtenidos con el método numérico para distintos valores de Ba se resumen en la Figura 4.6. Esta figura muestra la evolución del umbral de estabilidad al aumentar Ba. Como puede verse la gravedad axial afecta más a la estabilidad de los

puentes con mayor esbeltez ( )3 / 2πΛ > , reduciendo notablemente la región de

estabilidad, y tiene un efecto más moderado en la estabilidad de los puentes con menor

esbeltez ( )3 / 2πΛ < . La línea discontinua representa la curva de transición entre

inestabilidad con bifurcación subcrítica (B) e inestabilidad con punto de retorno (TP):



Pág. 46

por ejemplo, con Ba=0.1, para un puente con esbeltez Λ=2.3 la inestabilidad se daría en un punto de retorno (TP), mientras que para un puente con esbeltez Λ=2 la inestabilidad correspondería a una bifurcación subcrítica (B), como se verá más adelante. Las formas de equilibrio estables son siempre del tipo ánfora y al pasar el umbral de estabilidad se obtienen formas inestables de tipo ánfora o tipo C combinado con ánfora según los valores de Λ y Ba, como se verá en los siguientes apartados.

Figura 4.6. Diagrama de estabilidad para diferentes valores de Ba. La línea discontinua

representa la curva de transición entre una bifurcación subcrítica (B) y un punto de retorno (TP).

A. Resultados para 3 / 2πΛ > : En la Figura 4.7 se comparan los límites de estabilidad obtenidos numéricamente con el modelo analítico de la expresión (4.3) para Λ=2.9. Se observa que los resultados numéricos reproducen el modelo analítico para Ba<<1 y que la separación entre los resultados aumenta para valores crecientes de Ba, lo que es de esperar ya que el modelo analítico sólo es válido para Ba<<1. El comportamiento es similar para otros valores de 3 / 2πΛ > .

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Λ

W

e=0

BB

TP Ba=0

0.01

0.1



Pág. 47

Con 3 / 2πΛ > la bifurcación subcrítica que se obtenía para Ba=0 se transforma en un punto de retorno para todo valor de Ba distinto de cero, lo que reproduce los modelos analíticos. La Figura 4.8 muestra los diagramas de bifurcación obtenidos para Λ=2.9 con Ba=0.01, Ba=0.001 y Ba=0.0001. Los puntos de retorno (en rojo en la figura) marcan la transición entre las soluciones estables (líneas continuas) y las inestables (líneas discontinuas). Nótese que valores más pequeños de Ba hacen el punto de retorno más anguloso, pero no se presentan bifurcaciones como en el caso Ba=0. Por encima de Ba≈0.01 las soluciones con Λ=2.9 son inestables para cualquier valor de W, como se aprecia también en la Figura 4.6.

Figura 4.7. Comparación entre límites de estabilidad numéricos (línea continua) y

analíticos (línea discontinua) para Λ=2.9.

Las formas de equilibrio calculadas son axilsimétricas (modo ánfora) tanto en la parte estable de las ramas de soluciones como en la inestable. Las Figuras 4.9 y 4.10 muestran las formas obtenidas en los puntos Ia, IIa y Ib señalados en la Figura 4.8.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Ba

W

numericoanalitico



Pág. 48

Figura 4.8. Diagramas de bifurcación para Λ=2.9 con Ba=0.01, Ba=0.001 y Ba=10-4.

Ia IIa

Figura 4.9. Formas de equilibrio estable (Ia) e inestable (IIa) para Λ=2.9, con Ba=0.001.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.183

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

W

área

z=-

Λ/2

Λ=2.9

IIa

Ia

Ba=0.01

Ib

Ba=0.001

Ba=0.0001

-10

1

-1

0

1

3

2

1

0

-1

-2

-3

-10

1

-1

0

1

3

2

1

0

-1

-2

-3



Pág. 49

Ib

Figura 4.10. Forma de equilibrio inestable para Λ=2.9, con Ba=0.01.

B. Resultados para 3 / 2πΛ < :

Para 3 / 2πΛ < no se cuenta con una expresión analítica como (4.3) con la que comparar los límites de estabilidad obtenidos numéricamente para distintos valores de Ba, pero sí es posible comprobar que el carácter de la inestabilidad responde a las predicciones teóricas.

Las Figuras 4.11 y 4.12 muestran los diagramas de bifurcación obtenidos para Λ=2.2 con Ba=0.01 (que corresponde a una bifurcación subcrítica) y Ba=0.1 (punto de retorno). La Figura 4.13 muestra además el diagrama de bifurcación para un caso particular, con Λ=2.2 y Ba=0.086, en el que aparecen un punto de bifurcación y un punto de retorno muy próximos entre sí. El análisis de los tres diagramas permite entender que hay un valor crítico de Ba, BaC, que depende del valor de Λ, en el cual el punto de retorno adelanta a la bifurcación. Es decir, para valores de Ba menores que BaC el comportamiento de la inestabilidad corresponde a una bifurcación subcrítica, y para valores mayores que BaC el comportamiento cambia a un punto de retorno. Esto reproduce las predicciones de los estudios teóricos (Vega y Perales, 1983; Slobozhanin y Alexander, 1997). La curva BaC (Λ) obtenida numéricamente está representada en la Figura 4.14. La curva resultante en el plano W0–Λ, de transición entre una bifurcación subcrítica y un punto de retorno, está representada en la Figura 4.6 por la línea discontinua.

-10

1

-1

0

1

3

2

1

0

-1

-2

-3



Pág. 50

Figura 4.11. Diagrama de bifurcación para Ba=0.01, Λ=2.2.

Figura 4.12. Diagrama de bifurcación para Ba=0.1, Λ=2.2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.93.1

3.15

3.2

3.25

3.3

3.35

3.4

3.45

3.5

W

área

z=0

IIIIIIIV

V

VI

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.44

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

W

área

z=-

Λ/2

III

III

IV

VVI



Pág. 51

Figura 4.13. Diagrama de bifurcación para Ba=0.086, Λ=2.2. El punto de retorno (TP)

adelanta al punto de bifurcación (B).

Figura 4.14. Curva BaC( Λ) obtenida mediante el método numérico.

0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.424.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5

5.1

5.2

5.3

W

área

z=-

Λ/2 TP

B

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Λ

B aC



Pág. 52

Las formas de equilibrio calculadas en los puntos I-VI indicados en las Figuras 4.11 (bifurcación subcrítica) y 4.12 (punto de retorno) son:

a. axilsimétricas (modo ánfora) en la rama estable (formas I-IV en las

Figuras 4.15 y 4.16),

b. no axilsimétricas (modo C combinado con ánfora) en las ramas

bifurcadas (formas V, VI en la Figura 4.15),

c. axilsimétricas (modo ánfora) para los puntos de retorno (formas V, VI en

la Figura 4.16).

I

II III

IV V VI

Figura 4.15. Formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables en la rama bifurcada (V, VI),

para Ba=0.01, Λ=2.2.



Pág. 53

I

II III

IV V VI

Figura 4.16. Formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables con punto de retorno (V, VI),

para Ba=0.1, Λ=2.2.

Las Figuras 4.8 a 4.16 muestran como, para puentes con 3 / 2πΛ < , para valores bajos de la gravedad axial las formas de equilibrio estables son tipo ánfora y la rotura del puente se produce a través de un punto de bifurcación, introduciéndose una nueva componente no axilsimétrica (modo C) y generándose formas de equilibrio inestables de tipo C combinado con ánfora; es decir, sigue apareciendo el modo C en la rotura como ocurría para Ba=0; para valores de Ba mayores la rotura del puente se produce a través de un punto de retorno, produciéndose formas de equilibrio inestables del tipo ánfora. Para puentes con 3 / 2πΛ > las formas de equilibrio tanto estables como inestables son tipo ánfora, produciéndose la rotura del puente a través de un punto de retorno.



Pág. 54

Finalmente, en la Figura 4.17 se muestra la evolución con el valor de Ba de los límites de estabilidad obtenidos numéricamente para distintos valores de la esbeltez Λ. En ella se observa nuevamente que la gravedad axial tiene un efecto más pronunciado en puentes más alargados, reduciendo rápidamente la región de estabilidad, aunque para valores altos de Ba el efecto es notable también en puentes más cortos.

Figura 4.17. Efecto de la gravedad axial en los límites de estabilidad para distintos valores de

Λ.

4.3. Efecto combinado de la rotación con excentricidad


Tomando como referencia el caso sin excentricidad ni gravedad axial presentado en la sección 4.1, para el que se tienen las soluciones no cilíndricas (4.1) y (4.2), estudios analíticos extendidos para valores de la excentricidad e<<1 muestran el siguiente comportamiento de las inestabilidades (Perales et al. 1990):

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Ba

W

Λ=2.9

Λ=2.5

Λ=2.2



Pág. 55

- Con 3 / 2πΛ < la bifurcación subcrítica presente cuando e=0 se transforma en un punto de retorno, como se muestra en la Figura 4.18 (a). Los límites de estabilidad se aproximan por la expresión:

( )2 3

1 3 2 30 300 23 ...

2W W eπφ = Λ + + Λ

(4.4)

donde ( )0W Λ está dado por (4.1) y 300 0φ < está dado en Perales et al. 1990.

- Con 3 / 2πΛ > se reduce la región de estabilidad pero el carácter de la inestabilidad no cambia; sigue siendo una bifurcación subcrítica (Figura 4.18 (b)). Los límites de estabilidad en este caso se aproximan por la expresión:

( ) 21200

101

...W W eφφ

= Λ − + (4.5)

donde ( )0W Λ está dado por (4.2) y 120φ y 101φ están dados en Perales et al.

1990.

Figura 4.18. Diagramas de bifurcación para (a) 3 / 2πΛ < y (b) 3 / 2πΛ > . (Perales et al.

1990)



Pág. 56


La Figura 4.19 muestra los límites de estabilidad y los tipos de inestabilidad (punto de retorno, TP, o bifurcación subcrítica, B) obtenidos numéricamente para distintos valores de e. Como puede verse la excentricidad afecta más a la estabilidad de los puentes con

menor esbeltez ( )3 / 2πΛ < , reduciendo notablemente la región de estabilidad, y tiene

un efecto más moderado en la estabilidad de los puentes con mayor esbeltez

( )3 / 2πΛ > . La línea discontinua representa la curva de transición entre inestabilidad

con punto de retorno (TP) e inestabilidad con bifurcación subcrítica (B). Las formas de equilibrio estables son siempre del tipo C, y al pasar el umbral de estabilidad se obtienen formas inestables de tipo C o de tipo ánfora combinado con C, según los valores de Λ y e, como se verá en los siguientes apartados.

En la figura se muestra también el umbral de estabilidad para e = 0.067 y en esa curva se señala el punto correspondiente a Λ=2.5. Estos son los valores de los parámetros de un experimento que se llevó a cabo en la misión TEXUS-23 y que será objeto de estudio en el capítulo 5.

Figura 4.19. Diagrama de estabilidad para diferentes valores de e, con Ba=0. La línea

discontinua representa la curva de transición entre un punto de retorno (TP) y una bifurcación

subcrítica (B).

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Λ

W

Ba=0

B

B

TP

e=0

0.067

10

1.0

0.1

0.01

Texus



Pág. 57

A. Resultados para 3 / 2πΛ > :

En la Figura 4.20 se comparan los límites de estabilidad numéricos con el modelo analítico dado por (4.5) para e<<1 con Λ=2.9. Se observa que los resultados numéricos reproducen el modelo analítico para e<<1 y que la separación entre los resultados aumenta para valores crecientes de e, lo que es de esperar ya que el modelo analítico fue desarrollado para e<<1. El comportamiento es similar para otros valores de 3 / 2πΛ > .



Con 3 / 2πΛ > la región de estabilidad se reduce al aumentar la excentricidad, pero el tipo de inestabilidad sigue siendo una bifurcación subcrítica, lo que reproduce los resultados analíticos. La Figura 4.21 muestra el tipo de diagrama de bifurcación obtenido, similar al presentado para e=0.

Debido a la introducción de la excentricidad las formas de equilibrio obtenidas en la rama estable son formas de tipo C, simétricas respecto al plano z=0 (I, II en la

2 3 4 5 6 7 8 9 10x 10-3

0.1704

0.1705

0.1706

0.1707

0.1708

0.1709

0.171

e

W

numéricoanalítico



Pág. 58

Figura 4.22). Una vez superado el umbral de estabilidad, las formas de equilibrio inestables en la rama bifurcada presentan una componente antisimétrica respecto a z=0 (modo ánfora), obteniéndose formas que combinan el modo C y el modo ánfora (III en la Figura 4.22).

Figura 4.21. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.9, e=0.07.

I II III

Figura 4.22. Formas de equilibrio estable (I, II) e inestable (III) para Λ=2.9, e=0.07.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.183

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

W

área

z=-

Λ/2

III

I II

-10

1

-1

0

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1

0

1

-1

0

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

-10

1

-10

1

-3

-2

-1

0

1

2

3



Pág. 59

B. Resultados para 3 / 2πΛ < :

Para 3 / 2πΛ < , la Figura 4.23 compara los límites de estabilidad obtenidos numéricamente con el modelo analítico dado por la expresión (4.4) para Λ=2.5. También en este caso se observa que los resultados numéricos reproducen el modelo analítico para e<<1 y que la separación entre los resultados aumenta para valores crecientes de e.



El carácter de la inestabilidad se corresponde con el modelo analítico: la bifurcación subcrítica presente con e=0 se transforma para e << 1 en un punto de retorno (ver Figura 4.24). Los cálculos numéricos muestran que si se supera un valor e > eC el carácter de la inestabilidad vuelve a cambiar a una bifurcación subcrítica. No se dispone de modelos analíticos con los que contrastar este resultado. El valor de eC corresponde al valor de e en el que la bifurcación adelanta al punto de retorno; la Figura 4.25 muestra un caso en el que el punto de bifurcación y el punto de retorno están muy próximos, lo que permite entender cómo se produce esta transición.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020.35

0.355

0.36

0.365

0.37

0.375

0.38

0.385

0.39

0.395

0.4

e

W

numéricoanalítico



Pág. 60

Figura 4.24. Diagrama de bifurcación para Λ=2.7 y e=0.08.

Figura 4.25. Diagrama de bifurcación para Λ=2.7 y e=0.7. La rama bifurcada adelanta al

punto de retorno de la rama principal.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.33

3.5

4

4.5

5

5.5

W

área

z=0

IV

punto debifurcación

IIIIII

V

VI

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.162

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

W

área

z=-

Λ/2

I IIIII

IV

VVI



Pág. 61

En las Figuras 4.26 y 4.27 se muestran las formas de equilibrio calculadas para los parámetros de las figuras 4.24 y 4.25, respectivamente.

I II III

IV V VI

Figura 4.26. Formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables con punto de retorno (V,

VI), para Λ=2.7 y e=0.08.



Pág. 62

Figura 4.27. Formas de equilibrio estables (I-III) e inestables en la rama bifurcada (IV-

VI), para Λ=2.7 y e=0.7.

Como puede observarse:

a. las formas estables son simétricas respecto al plano z=0 (modo C) (formas I-IV en la Figura 4.26 y I-III en la Figura 4.27)

b. las soluciones en las ramas inestables con punto de retorno son también simétricas respecto a z=0 (modo C), y presentan dos cuellos que se estrechan al aumentar la excentricidad (formas V, VI en la Figura 4.26). Por tanto, para los valores de los parámetros de la misión TEXUS-23, el comportamiento sería similar y se esperaría que el efecto combinado de la rotación y la excentricidad produjese una rotura simétrica del puente respecto del plano z=0. Más adelante se volverá sobre este tema.

I

II III

IV V VI



Pág. 63

c. las soluciones en las ramas bifurcadas presentan una componente antisimétrica respecto a z=0 (modo ánfora), obteniéndose formas inestables que combinan modos C y ánfora (formas IV-VI en la Figura 4.27)

El valor de eC en el que se produce la transición de punto de retorno a bifurcación subcrítica depende del valor de Λ, como se muestra en la Figura 4.28. Como puede verse en la figura cuanto menor es la esbeltez del puente mayor tiene que ser el valor de la excentricidad para que en la rotura del puente aparezca una componente no simétrica respecto del plano z=0. Sin embargo, para puentes con mayor esbeltez en la rotura siempre aparece esta componente no simétrica.

Figura 4.28. Curva eC(Λ) obtenida mediante el método numérico.

Finalmente, en la Figura 4.29 se muestra la evolución de los límites de estabilidad obtenidos numéricamente para distintos valores de la esbeltez Λ con el valor de e. En ella se observa que el efecto de la excentricidad es menos importante para puentes muy esbeltos, lo que es de esperar ya que para Λ=π todos los límites de estabilidad tienden a W=0 independientemente del valor de e (ver Figura 4.19).

2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 2.7 2.750

1

2

3

4

5

6

7

8

Λ

e C



Pág. 64

Figura 4.29. Efecto de la excentricidad en los límites de estabilidad para distintos valores de Λ.

4.4. Efecto combinado de la rotación excéntrica y la gravedad axial

No se dispone de modelos analíticos para el caso de la columna líquida sometida a una rotación con excentricidad y gravedad axial, por lo que se presentan a continuación los resultados obtenidos con el método numérico.

En la Figura 4.30 se muestra la evolución de los límites de la estabilidad al aumentar la excentricidad y la gravedad axial. Las líneas continuas representan los límites de estabilidad para Ba=0 y distintos valores de la excentricidad (ya presentadas en la Figura 4.19); las líneas punteadas representan el caso Ba=0.01 para distintos valores de la excentricidad; las líneas discontinuas representan el caso Ba=0.1 para distintos valores de la excentricidad; la línea TEXUS-23 representa el caso e=0.067 con Ba=0.0015, que como se verá en la sección 5 es el valor que mejor reproduce los resultados de dicha misión. Se puede observar que los límites de estabilidad para valores muy bajos de la excentricidad tienden a los obtenidos en 4.2 y que para valores muy bajos de Ba los límites tienden a los obtenidos en 4.3.

Los resultados muestran que:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

e

W

2.0

3.1

2.9

2.5

Λ=1.8



Pág. 65

- la excentricidad tiene un efecto más pronunciado en puentes cortos; - la gravedad axial tiene un efecto más pronunciado en puentes largos (por

ejemplo, para Ba=0.01 el efecto en el límite de estabilidad sólo es apreciable para Λ>2.6, y este valor aumenta al disminuir Ba);

- para valores intermedios de la esbeltez, el efecto combinado de excentricidad y gravedad axial reduce notablemente la región de estabilidad.

Figura 4.30. Efecto combinado de gravedad axial y excentricidad en los límites de estabilidad.

En todos los casos calculados con Ba≠0, e≠0 las formas de equilibrio estables e inestables obtenidas son una combinación de modos C y ánfora y la inestabilidad se da como un punto de retorno: la presencia de excentricidad genera una componente C en el sentido positivo del eje X y la gravedad axial genera una componente ánfora en el sentido de la gravedad; ambos modos se acentúan a medida que se incrementa la velocidad de rotación, pero no se dan cambios bruscos de forma ni nuevos modos, lo que conduce a un punto de retorno. Las bifurcaciones que podrían aparecer en alguno de estos dos modos parecen quedar impedidas por la presencia de una componente en

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Λ

W

e=1, Ba=0

e=1, Ba=0.1

e=1, Ba=0.01

e=0, Ba=0.01

e=0.1, Ba=0

e=0.1, Ba=0.01

e=0, Ba=0.1

e=0.1, Ba=0.1

TEXUS-23

e=0, Ba=0



Pág. 66

cualquiera de ellos, que hace que la inestabilidad tienda a producirse acentuando esa misma componente en el mismo sentido que ya tiene.

Se muestran a continuación los diagramas de bifurcaciones y las formas de equilibrio obtenidas en los puntos señalados a lo largo de la rama de soluciones para varias combinaciones de Λ, e y Ba.



Pág. 67

(a) Λ=2.2, e=1 y Ba=0.01:

Figura 4.31. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.2, e=1 y Ba=0.01.

I

II III

IV V VI

Figura 4.32. Evolución de las formas de equilibrio estables (I-IV) e inestables (V, VI) para

Λ=2.2, e=1 y Ba=0.01.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.183.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

W

área

z=-Λ

/2

I II IIIIV

V

VI

-10

1

-1

0

1

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-1

0

1

-1

0

1

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-1

0

1

-1

0

1

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2



Pág. 68

(b) Λ=2.2, e=1 y Ba=0.1:

Figura 4.33. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.2, e=1 y Ba=0.1.

I II III

IV V VI


Λ=2.2, e=1 y Ba=0.1.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.144

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

W

área

z=-

Λ/2

III

II

I

IV

V

VI



Pág. 69

(c) Λ=2.8, e=0.1 y Ba=0.001:

Figura 4.35. Diagrama de bifurcaciones para Λ=2.8, e=0.1 y Ba=0.001.

I

II III

IV V VI


Λ=2.8, e=0.1 y Ba=0.001.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.253

3.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

W

área

z=-Λ

/2

IV

VI

IIIIII

V

-10

1

-1

0

1

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-10

1

-1

0

1

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-10

1

-1

0

1

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-10

1

-1

0

1

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-10

1

-1

0

1

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

-10

1

-1

0

1

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3


5. Análisis de resultados de la misión TEXUS-23

Pág. 70


En este capítulo se analizan los resultados del experimento de puentes líquidos realizado a bordo de la misión TEXUS-23 (Sanz et al. 1992), y se comparan dichos resultados con los obtenidos mediante el método numérico aquí desarrollado. Este análisis permite:

- Utilizar los resultados directamente cuantificables de la misión TEXUS-23 como punto adicional de validación del método numérico.

- Utilizar el método numérico para hacer un estudio detallado de los resultados del experimento, y en particular de la morfología de la columna líquida tras su desestabilización.

En primer lugar se describe el experimento realizado en la misión TEXUS-23 y se resumen sus resultados.

Con el fin de realizar un análisis y una comparación cuantitativa de estos resultados, se desarrolla un método de análisis de imágenes del experimento. A través de este método se extraen las formas de equilibrio obtenidas en el experimento como datos numéricos.

Finalmente se comparan los resultados del experimento con los obtenidos mediante el método numérico, usando para ello los datos de las imágenes procesadas anteriormente.

5.1. Resultados de la misión TEXUS-23

Los detalles de la realización del experimento a bordo de la misión TEXUS-23 se describen en Sanz et al. 1992. En este experimento se somete a una columna líquida cilíndrica sujeta entre dos discos paralelos y coaxiales a una rotación excéntrica. La rotación de ambos discos está sincronizada mediante un mecanismo dedicado a tal efecto. El fluido de trabajo empleado es aceite de silicona AK20 (ρ = 930 kg/m3, σ = 20·10-6 m2/s), y los parámetros geométricos de la columna líquida son los siguientes:

R0 = 0.015 m L = 0.075 m (Λ = 2.5) E = 0.001 m (e = 0.0667)

El puente líquido se forma mediante un procedimiento optimizado ya empleado en una misión TEXUS anterior. Tras su formación, el puente se deja en reposo durante 30 segundos para permitir que se amortigüe cualquier movimiento residual. A partir de ese momento la velocidad de rotación de los discos se incrementa en 10 pasos de 0 a 15 rpm, en intervalos de 30 segundos.



Pág. 71

La evolución del puente líquido es grabada con una cámara CCD (Charge-Coupled Device) de alta resolución. La imagen de la cámara se separa mediante espejos para obtener dos ángulos de observación perpendiculares en el plano z=0 (partes izquierda y derecha de la Figura 5.1). El experimento se realiza en condiciones de microgravedad, por lo que el valor exacto de la gravedad es desconocido. Como valor de referencia, para las misiones TEXUS el nivel de microgravedad es normalmente menor o igual que 10-4 g.

Figura 5.1. Imagen de la misión TEXUS-23. Las partes izquierda y derecha de la imagen

corresponden al mismo puente en el mismo instante de tiempo, observado en dos ángulos

perpendiculares entre sí.

Para los parámetros del experimento, y tomando como hipótesis inicial Ba=0, el límite de estabilidad calculado mediante el método numérico se da en un punto de retorno con W0 = 0.317 (Figura 5.2).



Pág. 72

Figura 5.2. Diagrama de bifurcación para los parámetros de la misión TEXUS-23: Λ=2.5,

e=0.0667 (Ba=0).

En el experimento la rotura del puente líquido ocurre entre W=13-14 rpm (en 13 rpm el puente aún es estable, y al incrementar la velocidad a 14 rpm se produce la rotura), que corresponde a W=0.29-0.34. Por tanto, el límite de estabilidad calculado (W0=0.317) reproduce correctamente el resultado del experimento. Las formas de equilibrio calculadas se comparan con las experimentales en la Figura 5.3: para cada velocidad de rotación, se muestra un fotograma del experimento (parte superior) y la forma calculada numéricamente a dicha velocidad (parte inferior). Los fotogramas del experimento se eligen en instantes de tiempo en los que la deformación de la columna líquida se observe en su verdadera magnitud (esto es, cuando la deformación aparente es máxima, que corresponde al momento en que la línea media de la columna está contenida en el plano de la imagen).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.353

3.5

4

4.5

W

área

z=0

TP12 rpm8 rpm3 rpm 10 rpm

13 rpm



Pág. 73

Figura 5.3. Comparación preliminar entre resultados numéricos para Λ=2.5 y e=0.0667 (Ba=0)

y experimentales de la misión TEXUS-23.

W=3 rpm, W=0.015

W=8 rpm, W=0.11

W=10 rpm, W=0.172

W=12 rpm, W=0.248

W=13 rpm, W=0.291

W=14 rpm, W=0.337

Rotura:

W=13-14 rpm,

W=0.29-0.34



Pág. 74

Cualitativamente se observa una buena correspondencia en las formas de equilibrio estables. Sin embargo, de acuerdo con los resultados analizados en la sección 4.3.2, para Ba=0 se esperaría que la desestabilización diese lugar a una rotura simétrica con dos cuellos de dimensiones parecidas, formándose una burbuja de líquido central y dos burbujas en los extremos; esto no ocurre en el experimento, en el que la rotura tiene una apreciable asimetría respecto al plano z=0 (Figura 5.4). Por tanto, a continuación se hace un análisis más detallado que permite comparar los resultados del experimento con resultados numéricos para Ba≠0.

Figura 5.4. Rotura del puente líquido en la misión TEXUS-23.

5.2. Método de análisis de imágenes

El vídeo grabado en la misión TEXUS-23 ofrece una serie de 10 imágenes por segundo desde la formación de la columna líquida hasta después de su rotura. Dado que el análisis en este capítulo 5 se centra en la morfología de la desestabilización y rotura del puente, se procesan las imágenes correspondientes a las 4 últimas velocidades de rotación antes de la rotura (W = 10, 11, 12 y 13 rpm) para extraer de ellas los contornos del puente líquido como datos numéricos. Las imágenes correspondientes a W = 14 y 15 rpm no son utilizables en el análisis, dado que las formas a esas velocidades no son de equilibrio y no son por tanto comparables de forma cuantitativa con las calculadas por el método numérico.

El método de procesado consiste en los siguientes pasos:



Pág. 75

1. Se detectan los contornos de la columna líquida mediante una función numérica que selecciona, en cada fotograma del vídeo, el perímetro de aquellas zonas de la imagen cuya intensidad de iluminación está por debajo de un cierto umbral. El umbral se elige de forma que el procesado no dé lugar a artefactos no deseados. La detección de los contornos se realiza por separado en las mitades izquierda y derecha de cada imagen asignando unos rangos de detección (píxeles mínimo y máximo desde el borde derecho de la imagen); de esta forma el procesado subsiguiente se puede realizar de forma independiente para cada uno de los ángulos de observación.

2. Para cada imagen (antes de la rotura del puente) se detectan dos perímetros exteriores y uno interior (Figura 5.5): los perímetros exteriores se asignan a los contornos de la columna líquida y el interior se descarta. En adelante se denominan A y B a los contornos izquierdo y derecho de la columna líquida en cada imagen.

Figura 5.5. Perímetros detectados en el procesado de dos fotogramas distintos: antes

de la rotura (izquierda) y durante el proceso de rotura (derecha).

El resultado de este proceso son dos matrices, una para el contorno A y otra para el contorno B, de 288 x 955 elementos: 288 son los píxeles de altura de la imagen y 955 el número de fotogramas procesados; cada elemento de la matriz es la coordenada horizontal (en píxeles desde el borde derecho de la imagen) del contorno en cada altura y en cada instante: se denomina a estas coordenadas

A B A

B



Pág. 76

( ),Z tξ . Al separar los contornos se asegura que estas coordenadas están

unievaluadas en la región de interés, es decir en el rango de alturas comprendidas entre los dos discos. En la Tabla 5.1 se resumen los fotogramas procesados y su correspondencia con el tiempo del experimento y la velocidad de rotación.

Fotograma procesado: t (s) W (rpm) W 1 - 55 264 - 270 10 0.172

56 - 355 270 - 300 11 0.208 356 - 655 300 - 330 12 0.248 656 - 955 330 - 360 13 0.291

Tabla 5.1. Fotogramas procesados del vídeo de la misión TEXUS-23 (t es el tiempo

transcurrido del experimento desde la formación del puente líquido). Para W = 10 rpm

el número de fotogramas procesados es menor debido al ruido presente en el vídeo.

3. Se analizan los contornos obtenidos y se asignan las coordenadas siguientes

(medidas en píxeles desde la esquina superior derecha de la imagen):

Z1 = coordenada vertical del disco inferior Z2 = coordenada vertical del disco superior

1,Aξ = coordenada horizontal del borde izquierdo del disco inferior

1,Bξ = coordenada horizontal del borde derecho del disco inferior

1,0ξ = coordenada horizontal del eje del disco inferior

2,Aξ = coordenada horizontal del borde izquierdo del disco superior

2,Bξ = coordenada horizontal del borde derecho del disco superior

2,0ξ = coordenada horizontal del eje del disco superior

Z1 Z2 1,Aξ 1,Bξ 2,Aξ 2,Bξ Eje,

disco inferior ( 1,0ξ , Z1)

Eje, disco superior

( 2,0ξ , Z2) Espejo

derecho 235 39 185 105 182 103 (145, 235) (142.5, 39) Espejo

izquierdo 235 39 346 265 342 262 (305.5, 235) (302, 39)

Tabla 5.2. Coordenadas de los puntos de referencia de los contornos procesados.



Pág. 77

Se aprecia que el eje de los discos (la línea recta que une los centros de los discos inferior y superior) no es completamente vertical, debido posiblemente a errores de posicionamiento de la cámara y/o a distorsiones causadas por las lentes. Por tanto, la distancia de cada punto del contorno al eje de los discos se calcula teniendo en cuenta que la posición del eje depende de la coordenada Z:

( ) ( ) ( ) 2,0 1,01,0 1

2 1

, ,X Z t Z t Z ZZ Z

ξ ξξ ξ

−= − − −

− (5.1)

La expresión (5.1) mide la separación horizontal de cada punto con el eje de los discos, y no estrictamente la distancia del punto al eje (que debería medirse en dirección perpendicular a éste), pero se decide proceder de este modo dado que se simplifica el procesado y el error cometido es del orden:

2,0 1,0 5

2 1

3

error relativo 1 cos arctan 8 10

40 píxeles error absoluto 3 10 píxeles

Z Z

R

ξ ξ −

−

− = − ≈ × −

≈ ⇒ ≈ ×

(5.2)

que es mucho menor que el error inherente al procesado de las imágenes (~0.5 píxeles).

La coordenada de la línea media del puente es por tanto:

( ) ( ) ( )1, , ,2 A BC Z t X Z t X Z t= + (5.3)

donde ( ) ( ), , ,A BX Z t X Z t representan la expresión (5.1) aplicada a los bordes A

y B del puente, respectivamente.

4. Se adimensionalizan las coordenadas de los contornos de la columna líquida en la forma:

( ) ( )

1, 1,0

1 2

0

0

21

2,

,

A BX XR

Z Zz ZR

X z tx z t

R

−=

+ = −

=

(5.4)



Pág. 78

con ( ),X z t dado por (5.1). De esta forma los contornos quedan definidos en

variables comparables con las usadas en el método numérico.

5. Se seleccionan instantes de tiempo (fotogramas) en los que los contornos del

puente líquido se aprecian en verdadera magnitud (cuando su deformación aparente es máxima, ver Figura 5.6, que corresponde al momento en que la línea media de la columna está contenida en el plano de la imagen). De esta forma, en cada fotograma seleccionado el contorno más alejado del eje de los discos corresponde a la coordenada θ=0, y el más cercano al eje corresponde a θ=π.

Figura 5.6. Evolución con el tiempo de los puntos z=-Λ/2 (rojo), z=0 (negro) y z=Λ/2

(azul).

6. Se descartan los fotogramas siguientes: a. Aquellos donde el ruido presente en la imagen provoca una distorsión en

una sección apreciable de los contornos (no solamente en puntos discretos).

340 345 350 355 360 365 370 375 380 385 390

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dis

tanc

e fro

m th

e ce

nter

/wid

th

Máxima deformación de los contornos

t(s)



Pág. 79

Figura 5.7. Ejemplo de filtrado de fotogramas. La imagen muestra, superpuestos,

varios de los contornos extraídos de las imágenes para W=0.208.

b. Aquellos que se obtienen justo después de un cambio de velocidad, que corresponden por ello a estados transitorios. Se utiliza el siguiente criterio: Como la velocidad de rotación se incrementa, la deformación del puente crece progresivamente hasta alcanzar el estacionario para la nueva velocidad. Por tanto, se descartan los fotogramas en los que la coordenada del contorno en z=0 esté, en términos relativos, más de un 5% por debajo de la media para esa velocidad ( 0zx = ). En el cálculo de la

media no se incluyen los contornos correspondientes a los primeros 5 segundos desde el cambio de velocidad (t1,..,tK) para tener un valor más representativo del estado estacionario (5 segundos es un tiempo característico del período de rotación del puente para el rango de velocidades considerado):

( ) ( ) ( )0 1 21 0, 0, ... 0, ,

Con 0, n = número de fotogramas, 5 s;

z K K n

K

x x z t x z t x z tn K

n K t

= + += = + = + + = −> ≥ ≤

(5.5)

Contornos no válidos (descartados)

W=0.208



Pág. 80

( )( )

( )( )

0

0

Si para 1,..., :

0,0.05, para =0

0,ó fotograma descartado

0,0.05, para =

0,

k z

k

k

k z

k

k nx z t x

x z tt

x z t xx z t

θ

θ π

=

=

=

= − ≤ − = ⇒

= − ≥=

(5.6)

Para comprobar que no se producen falsos descartes debidos a posible ruido en los puntos de los contornos en z = 0, se aplica el mismo criterio con los puntos en 2z = − Λ , obteniendo el mismo resultado: para el espejo derecho se descarta el primer fotograma seleccionado para W=0.208 y W=0.248, los dos primeros para W=0.291 y ninguno para W=0.172; para el espejo izquierdo se descarta el primer fotograma seleccionado para W=0.248, los dos primeros para W=0.291 y ninguno para W=0.172 y W=0.208.

Figura 5.8. Ejemplos de filtrado de fotogramas. La imagen muestra, superpuestos,

varios de los contornos extraídos de las imágenes para W=0.291.

Transitorios (descartados)

W=0.291



Pág. 81

Al término de este paso se tienen para cada velocidad de rotación varias muestras (fotogramas) formadas por pares de contornos de 394 puntos (197 por cada lado), en la forma:

( )( )

( )

, ,

, ,

, 0; ,

, ; ,

1,...,1971,...,

A j k j k

B j k j k

x x z t

x x z t

jk n

θ

θ π

= =

= =

=

= W

(5.7)

Siendo n(W) el número de muestras seleccionadas por cada velocidad de rotación y A, B los contornos exterior e interior de la columna, respectivamente.

Espejo izquierdo Espejo derecho Fotograma t (s) W Fotograma t (s) W

44 268.8 0.172 2 264.6 0.172 103 274.7 0.208 60 270.4 0.208 154 279.8 0.208 114 275.8 0.208 208 285.2 0.208 222 286.6 0.208 260 290.4 0.208 276 292 0.208 314 295.8 0.208 329 297.3 0.208 370 301.4 0.248 384 302.8 0.248

420 306.4 0.248 432 307.6 0.248

467 311.1 0.248 480 312.4 0.248

516 316 0.248 529 317.3 0.248

568 321.2 0.248 582 322.6 0.248

618 326.2 0.248 629 327.3 0.248

667 331.1 0.291 679 332.3 0.291

714 335.8 0.291 725 336.9 0.291

759 340.3 0.291 770 341.4 0.291

804 344.8 0.291 815 345.9 0.291

849 349.3 0.291 860 350.4 0.291

894 353.8 0.291 906 355 0.291

939 358.3 0.291 951 359.5 0.291

Tabla 5.3. Filtrado de fotogramas: los descartados por ruido están marcados en naranja,

los descartados por transitorios en amarillo; los fotogramas restantes constituyen las

muestras finales seleccionadas.



Pág. 82

7. Se realiza un filtrado de los puntos discretos de los contornos afectados por

ruido en el vídeo. Las deformaciones del puente son lo suficientemente pequeñas para que un punto aislado claramente desviado del resto del contorno pueda tener un efecto en las comparaciones con los resultados numéricos del mismo orden que las diferencias acumuladas en todo el contorno, lo que hace necesario este filtrado. Para ello se utiliza un criterio Box-and-Whisker discriminando los puntos que disten más de 3 veces el rango intercuartílico del primer cuartil (si es una observación pequeña) o del tercer cuartil (si es una observación grande).

Figura 5.9. Ejemplo de filtrado de puntos de los contornos. Cada imagen muestra,

superpuestos, varios de los contornos extraídos de las imágenes para W=0.208

(izquierda) y W=0.291 (derecha).

5.3. Comparación con resultados numéricos

Se calculan mediante el método numérico los límites de estabilidad y las formas de equilibrio para la geometría del experimento (Λ=2.5, e=0.0667) con distintos valores de Ba.

Puntos filtrados

W=0.291 W=0.208



Pág. 83

Como se ha dicho anteriormente, en las misiones TEXUS el nivel de microgravedad es normalmente menor o igual que 10-4 g. Aunque la aceleración residual puede tener cualquier dirección, no necesariamente paralela al eje de los discos, la rotura asimétrica del puente podría ser resultado de una componente axial de la aceleración. Se calculan, por tanto, los resultados numéricos para valores de la aceleración axial entre 0 y 10-4 g. Para la configuración utilizada en la misión TEXUS-23 esto se traduce en valores de Ba entre 0 y 0.01.

Comparación de los límites de estabilidad:

La Figura 5.10 muestra los límites de estabilidad calculados, que en todos los casos entran dentro del rango obtenido en el experimento (W0 entre 0.29 y 0.34). Esto es consistente con el análisis realizado en la sección 4.4 (ver Figura 4.30): para Ba≤0.01 la reducción de la región de estabilidad al aumentar Ba empieza a ser importante para puentes más largos (Λ>2.6). En el caso del experimento (Λ=2.5) el efecto de una posible gravedad residual en la dirección axial no tiene un efecto en el límite de estabilidad suficiente como para permitir acotar con mayor precisión el rango de Ba en el que los resultados numéricos son consistentes con los experimentales.

Figura 5.10. Límites de estabilidad numéricos para Λ=2.5, e=0.0667 y distintos Ba.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010.311

0.312

0.313

0.314

0.315

0.316

0.317

0.318

Ba

W0

Λ=2.5, e=0.0667



Pág. 84

Comparación de las formas de equilibrio:

Por otro lado, un valor de Ba no nulo, aunque sea pequeño, modifica las formas de equilibrio tanto estables como inestables, introduciendo una asimetría respecto del plano z=0. Esto permite comparar las imágenes procesadas del experimento previas a la desestabilización del puente con las formas numéricas estables calculadas para los valores correspondientes de W y para distintos valores de Ba.

Para cada punto de los contornos obtenidos del experimento se define su error relativo como:

exp

exp

numrel

x xE

x−

= (5.8)

donde xnum es la distancia del contorno numérico considerado al eje de los discos:

( )( )

, ,

, ,

( ; ) ( ,0; ) para el contorno exterior,

( ; ) ( , ; ) para el contorno interior.

0,...,

num A j a j a j a

num B j a j a j a

x B X z B F z B

x B X z B F z Bj J

π

= +

= −

=

(5.9)

Nótese que, por la condición (2.14), ( ,0; ) ( , ; )j a j aF z B F z Bπ= .

Para el cálculo de las formas numéricas se utiliza una malla con J=28, que produce 29 puntos de datos en el eje z; los contornos experimentales están definidos por un número mayor de puntos (197 menos aquellos puntos que se hayan filtrado durante el procesado). Para calcular los errores relativos se ajustan los contornos experimentales dados por (5.7) por polinomios de 3er orden, condicionados a que los extremos de los polinomios estén anclados a los bordes de los discos. Se elige orden 3 para poder reproducir posibles asimetrías (más adelante se confirma que estas asimetrías están presentes). Se denominan a los contornos ajustados:

( ) ( )( ) ( )

( )

,

,

ˆ ˆ , 0; ,

ˆ ˆ , ; ,

1,...,

A k k

B k k

x z x z t

x z x z t

k n

θ

θ π

= =

= =

= W

(5.10)

expx está dado entonces por (5.10), y para cada contorno tk su valor se compara con el

contorno numérico en cada punto de la malla , 1,...,jz z j J= = .



Pág. 85

Por tanto, para cada valor de W se tiene un conjunto de muestras experimentales (Tabla 5.3) cuya comparación punto a punto con las formas numéricas calculadas a distintos Ba resulta en los errores relativos definidos como:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

, , ,, , ,

,

, , ,, , ,

,

ˆ,

ˆ

ˆ,

ˆ

0,...,1,...,

A k j num A j arel A j k a

A k j

B k j num B j arel B j k a

B k j

x z x BE B

x z

x z x BE B

x z

j Jk n

−=

−=

=

= W

(5.11)

Promediando los errores relativos para todos los puntos de todos los contornos, a todos los valores de W considerados, se obtiene el error relativo medio global en función de Ba:

( )( ) ( )

( )( )( )

4

, , , , , ,1 1 0

1 2 3 4

ˆ ,2 1

, 1,..., 4

ln J

rel A j k a rel B j k al k j

rel a

l l

E B E BE B

J n n n n

n n l

= = =

+ =

+ + + +

= W =

∑∑∑ (5.12)

A la hora de estudiar el efecto de la gravedad axial hay que tener en cuenta no sólo su valor, sino también su sentido. Dada la simetría de la geometría y de los efectos no gravitatorios respecto del plano z=0, las formas numéricas que se obtienen para valores negativos de Ba (es decir, para una gravedad axial en el sentido +z) son las mismas que las obtenidas para valores positivos, sin más que invertir el eje z:

( , ; ) ( , ; )num a num ax z B x z Bθ θ− = − (5.13)

Así pues, para simplificar tanto los cálculos como la notación, sólo se calculan numéricamente las formas para Ba≥0, y al compararlas con las formas experimentales se toma el sentido del eje z que produce el menor error (como es de esperar dada la ruptura del puente en el sentido +z, las formas calculadas para Ba≥0 se ajustan mejor a las experimentales al invertir el eje z, es decir, para una gravedad axial en el sentido +z).

En la Figura 5.11 se representa el error relativo medio global calculado para distintos valores de Ba menores o iguales que 0.01. Dada la dispersión de puntos experimentales provocada por el ruido presente en las imágenes del vídeo de la misión TEXUS-23, se representan también en el gráfico las barras de error que resultan para cada valor de Ba, cuya longitud es en torno a un 5% del error relativo en todos los casos.



Pág. 86

Figura 5.11. Error relativo medio en función del número de Bond.

En el gráfico se aprecia que el mínimo error relativo medio global se obtiene para 0.0015aB = . Este valor es, por tanto, el que mejor reproduce los datos experimentales.

Dado que el presente análisis tiene su origen en el carácter asimétrico de la desestabilización del puente líquido durante el experimento, se calcula a continuación la diferencia entre las áreas delimitadas por los contornos del puente para z>0 y z<0, para un corte vertical correspondiente a θ = 0 (Figura 5.12).

Estas áreas se obtienen integrando sobre todos los puntos disponibles tanto en el caso numérico como experimental, por lo que para este análisis se utilizan los datos experimentales sin ajustar dados por (5.7), y no los ajustes polinómicos.



Pág. 87

Figura 5.12. Áreas z>0 (verde) y z<0 (azul).

Utilizando la regla del trapecio se obtiene:

( )

( )

1, 2 , 2 , ,

0 , ,2 1

2 1,0 ,0 , 2 , 2

0 , ,1

,

,

,2

,2

( , 0),

( , ),

0,...,

JA J B J A J B J

z A j B jj J

JA B A J B J

z A j B jj

A j j

B j j

x x x xA x x

J

x x x xA x x

Jx x zx x zj J

θ

θ π

−

>= +

−

<=

− + − Λ= + −

− + − Λ

= + −

= =

= =

=

∑

∑ (5.14)

Las expresiones (5.14) son válidas también para los contornos experimentales, sin más que sustituir J por el número de puntos de cada contorno.

Expresando estas áreas en relación a las que corresponderían a una columna cilíndrica, 2Λ , queda:

z

x



Pág. 88

( )

( )

( ) ( )

1, 2 , 2 , ,0

0 , ,2 1

2 1,0 ,0 , 2 , 20

0 , ,1

2 11, , ,0 ,0

0 0 , , , ,2 1 1

1 ,2 2 2

1 ,2 2 2

12 2

JA J B J A J B Jz

z A j B jj J

JA B A J B Jz

z A j B jj

JJA J B J A B

z z A j B j A j B jj J j

x x x xAA x xJ

x x x xAA x xJ

x x x xA A x x x x

J

−>

>= +

−<

<=

−−

> <= + =

− + − = = + − Λ

− + − = = + − Λ

− − +− = + − − −

∑

∑

∑

∑

(5.15)

La Figura 5.13 muestra las diferencias de áreas obtenidas para cada valor de W. Esta diferencia de áreas pone de manifiesto una asimetría respecto del plano z=0 que se incrementa con el valor de W y sugiere que la inclusión del efecto de una gravedad axial es necesaria para entender el comportamiento observado en el experimento; si no hubiese gravedad axial la diferencia de áreas sería siempre cero.

Figura 5.13. Evolución con el número de Weber de la diferencia de áreas en torno al plano

z=0 para los resultados numéricos con Ba=0.0015 y los resultados experimentales.

0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

Ãz>

0- Ã z

<0

W

NuméricoExperimental



Pág. 89

La Figura 5.13 compara también los resultados experimentales con los resultados numéricos calculados para Ba=0.0015 (que corresponde al error relativo mínimo en la Figura 5.11). Los datos experimentales mostrados en el gráfico representan los valores promedio de las muestras disponibles para cada velocidad de rotación. Se observa que el resultado experimental con W=0.208 no se ajusta a los resultados numéricos tan bien como para el resto de velocidades de rotación. Las imágenes extraídas del video del experimento para este valor de W están más afectadas por ruido que el resto, lo que podría ser la razón de este resultado (como se muestra en la Tabla 5.3, el mayor número de fotogramas descartados por ruido en las imágenes corresponden precisamente a W=0.208).

En la Figura 5.14 se compara la evolución de las formas de equilibrio con el número de Weber para el análisis numérico y para el experimento usando el valor de Ba que proporciona el mínimo error relativo medio, obtenido de la Figura 5.11. Las Figuras 5.14(f) y (g) corresponden a los mismos valores de Λ=2.5, e=0.0667, pero la figura (f) muestra el resultado para Ba=0.0015 y (g) para Ba=0; si no se incluye la microgravedad la rotura del puente es simétrica respecto del plano z = 0, lo que no corresponde al resultado obtenido en el experimento. La asimetría presente es reproducida mediante el análisis de los datos, y se manifiesta claramente en el momento de la rotura.



Pág. 90

Figura 5.14. Comparación de la evolución de las formas de equilibrio para el experimento y el

análisis numérico con Ba=0.0015 para (a) W=0, (b) W=0.172, (c) W=0.208, (d) W=0.248, (e)

W=0.291, (f) tras la rotura, (g) tras la rotura con Ba=0 (Λ=2.5, e=0.0667).

(a) (b) (c)

(f) (g)

(d) (e)

-10

1

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-10

1

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-10

1

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-10

1

-10

1

-2

-1

0

1

2

-10

12

-10

1

-2

-1

0

1

2

-10

1

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-10

1

-1

0

1

-2

-1

0

1

2


6. Conclusiones

Pág. 91

6. Conclusiones

El interés en la técnica de la zona flotante utilizada en el crecimiento de cristales de gran pureza, cuya configuración puede modelizarse mediante un puente líquido, ha dado lugar a un gran número de estudios sobre puentes líquidos de distintas geometrías sometidos a diversos efectos.

La aplicación de distintos efectos, sobre todo cuando varios de ellos se aplican de forma simultánea, resulta con facilidad en formas complejas del puente líquido de difícil estudio analítico (debido por ejemplo a la falta de simetrías), y se presta por tanto a un estudio numérico. Los estudios numéricos realizados en este sentido en el pasado han sido ampliados en esta Tesis para el análisis de la estabilidad de puentes líquidos en rotación sometidos al efecto, tanto separado como en conjunto, de la presencia de una excentricidad en el eje de rotación y de una aceleración constante paralela al eje de rotación (esto es, de una gravedad axial). El estudio de estos efectos en particular está motivado por dos aspectos fundamentalmente: por un lado, el efecto combinado de la rotación con excentricidad y gravedad axial no ha sido estudiado con anterioridad; por otro lado, se quieren reproducir numéricamente los resultados del experimento a bordo de la misión TEXUS-23, en el que un puente líquido es sometido a una rotación creciente de forma cuasiestática en torno a un eje con excentricidad, y que sugieren una posible presencia de una aceleración axial residual, que podría motivar la morfología de la inestabilidad que se observa al final del experimento. Este segundo aspecto refuerza en gran modo el primero, ya que pone de manifiesto el interés en el conocimiento y la modelización de efectos cuya presencia (intencionada o no) afectan de forma visible a la morfología del puente líquido.

Por tanto, se ha desarrollado en primer lugar un método numérico, basado en un método anterior utilizado para el análisis de otros efectos sobre puentes líquidos, y se han calculado con él los límites de estabilidad (el valor de la rotación en el que el puente líquido se hace inestable) y las formas, tanto estables como inestables, que resultan de la aplicación de la rotación, la excentricidad y la gravedad axial, para distintos valores de la esbeltez del puente. Se han obtenido también mediante el método numérico los diagramas de bifurcación para cada configuración, que permiten determinar el tipo de inestabilidad que aparece en cada caso. El análisis de los resultados se ha hecho de una forma escalonada, con la intención de validar los resultados del método numérico con los estudios previos. De esta forma, se ha verificado que el método numérico reproduce los estudios teóricos disponibles para los siguientes casos:

- rotación sin excentricidad ni gravedad; - rotación con gravedad axial, sin excentricidad; en este caso se han reproducido

no sólo los resultados teóricos para valores muy pequeños de la gravedad, sino


6. Conclusiones

Pág. 92

también las predicciones que señalan la presencia, para puentes cortos, de un valor crítico de la gravedad en el que el carácter de la inestabilidad cambia; mediante el método numérico se ha calculado este valor crítico para cada valor de la esbeltez y se han obtenido las formas de equilibrio que resultan en los casos de bifurcación subcrítica (aparece un modo C que desestabiliza el puente, superpuesto a la componente ánfora causada por la gravedad) y de punto de retorno (modo ánfora);

- rotación con excentricidad pequeña, sin gravedad axial.

En el último caso, los resultados han sido ampliados mediante el método numérico a valores no pequeños de la excentricidad, obteniéndose, de forma similar a como ocurre para la gravedad axial, un valor crítico de la excentricidad en el que el carácter de la inestabilidad para puentes cortos cambia: el punto de retorno obtenido para excentricidades pequeñas se transforma en una bifurcación subcrítica. Es decir, para valores suficientemente grandes de la excentricidad el comportamiento de los puentes cortos en la desestabilización es análogo al de los puentes largos: aparece un modo ánfora que desestabiliza el puente, superpuesto a la componente C causada por la rotación excéntrica. Se ha utilizado el método numérico para calcular el valor de la excentricidad crítica para cada valor de la esbeltez.

Se ha analizado a continuación el efecto combinado de la rotación con gravedad axial y excentricidad. Los límites de estabilidad calculados numéricamente muestran que la combinación de estos efectos reduce drásticamente la región de estabilidad tanto para puentes largos como cortos: los puentes largos se ven más afectados por la gravedad axial, mientras que la excentricidad tiene un efecto más notable sobre puentes más cortos. Las formas de equilibrio obtenidas, tanto estables como inestables, son una combinación de modos C (en la dirección y sentido favorecidos por la rotación excéntrica) y ánfora (en el sentido de la gravedad axial). Todas las combinaciones paramétricas calculadas han dado lugar a una inestabilidad en punto de retorno, sin encontrarse bifurcaciones: las formas de equilibrio evolucionan con la misma morfología al aumentar la velocidad de rotación, y en la desestabilización los modos ya presentes se acentúan de forma continua pero no cambian.

Finalmente, se ha utilizado el método numérico para analizar los resultados del experimento de puentes líquidos embarcado en la misión TEXUS-23: en el experimento no se impone una gravedad axial controlada, pero la rotura del puente se produce de forma claramente asimétrica, lo que no es consistente con los resultados para gravedad nula. El nivel de microgravedad definido para las misiones TEXUS está entre 0 y 10-4 g, con lo que se han comparado los resultados del experimento con los resultados numéricos calculados para valores de la gravedad axial en ese rango.


6. Conclusiones

Pág. 93

Al analizar el límite de estabilidad, se ha encontrado que el método numérico reproduce el resultado del experimento correctamente, pero lo hace para todo el rango de aceleraciones definido, por lo que ha sido necesario analizar también las formas del puente líquido.

Para ello se ha desarrollado un método de análisis de imágenes con el que se han procesado las imágenes del vídeo del experimento, extrayendo los contornos del puente líquido en cada fotograma como series de puntos para su comparación con los contornos numéricos. El resultado de la comparación es que las formas numéricas que dan un mejor ajuste con las experimentales corresponden a un valor de la gravedad axial no nulo, lo que puede explicar la morfología de la rotura del puente en el experimento.

Los resultados de los análisis numéricos y experimentales presentados en este trabajo han sido publicados en Lapuerta, Laverón y Rodríguez, 2008; Lapuerta, Laverón, Rodríguez y González, 2008a, 2008b; Laverón et al. 2008; Rodríguez et al. 2012; Rodríguez et al. 2014.

Como posible continuación de la investigación realizada en esta Tesis, está la ampliación del método numérico para el caso en el que la gravedad tenga una componente no axial. El método numérico, junto con el método de análisis de imágenes ya desarrollado, pueden utilizarse para hacer una segunda comparación con las imágenes experimentales, ya que en el presente análisis no se ha considerado dicha componente no axial.


6. Conclusiones

Pág. 94


7. Referencias

Pág. 95

7. Referencias

Gómez, M., 1995. Estabilidad de puentes líquidos axilsimétricos. Tesis Doctoral, Universidad Politécnica de Madrid.

Keller, H.B., 1987. Lectures on Numerical Methods in Bifurcation Problems. Springer-Verlag, Berlin.

Lapuerta, V., Laverón, A., Rodríguez, J., 2008. Stability of liquid bridges subject to an eccentric rotation. Adv. Space Res. 41, 2137.

Lapuerta, V., Laverón, A., Rodríguez, J., González, M.A., 2008a. Effect of eccentric rotation on the equilibrium shapes and stability of liquid bridges in an axial gravitational field. Journal of The Japan Society of Microgravity Application 25, 219.

Lapuerta, V., Laverón, A., Rodríguez, J., González, M.A., 2008b. Stability of liquid bridges in an axial gravitational field rotating around an eccentric axis. XXII ICTAM, Adelaide, Australia.

Laverón, A., 1994. Estabilidad de puentes líquidos no axilsimétricos. Tesis Doctoral, Universidad Politécnica de Madrid.

Laverón, A., Lapuerta, V., Rodríguez, J., González, M. A., 2008. Effect of Large Eccentric Rotation on the Stability of Liquid Bridges. Fluid Dynamics and Materials Processing III, 1.

Laverón, A., Perales, J.M., 1995. Equilibrium shapes of nonaxisymmetric liquid bridges of arbitrary volume in gravitational fields and their potential energy. Phys. Fluids 7, 1204.

Martínez, I., 1978. Hidrostática de la zona flotante. Tesis Doctoral, Universidad Politécnica de Madrid.


7. Referencias

Pág. 96

Meseguer, J., Sanz, A., 1985. Numerical and experimental study of the dynamics of axisymmetric slender liquid bridges. J. Fluid Mech. 153, 83.

Perales, J.M., Meseguer, J., Martínez, I, 1991. Minimum volume of axisymmetric liquid bridges between unequal disks in an axial microgravity field. J. Cryst. Growth 110, 885.

Perales, J.M., Sanz, A., Rivas, D., 1990. Eccentric rotation of a liquid bridge. Appl. Microgravity Tech. II (4), 193–197.

Plateau, J.A.F., 1863. Annual Report of the Smithsonian Institute 1863–1866, 207.

Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., 1988. Numerical recipes in C. Cambridge University Press.

Rodríguez, J., Lapuerta, V., Laverón, A., 2012. Comparison between experimental and numerical analysis of stability of liquid columns in an axial gravitational field rotating around an eccentric axis. XXIII ICTAM, Beijing, China.

Rodríguez, J., Lapuerta, V., Laverón-Simavilla, A., Cordero-Gracia, M., 2014. Experimental and numerical analysis of non-symmetric breakage of liquid columns in an axial gravitational field rotating around an eccentric axis. J. Adv. Space Res. 53, 63.

Sanz, A., Perales, J.M., Rivas, D., 1992. Rotational instability of a long liquid column. ESA SP-1132 2, 8–21.

Slobozhanin, L.A., Alexander, I.D., 1997. Stability of an isorotating liquid bridge in an axial gravity field. Phys. Fluids 9, 1880.

Slobozhanin, L.A., Alexander, I.D., 1998. Combined effect of disk inequality and axial gravity on axisymmetric liquid bridge stability. Phys. Fluids 10, 2473.

Slobozhanin, L.A., Perales, J.M., 1993. Stability of liquid bridges between equal disks in an axial gravity field. Phys. Fluids 5, 1305.


7. Referencias

Pág. 97

Slobozhanin, L.A., Perales, J.M., 1996. Stability of isorotating liquid bridges between equal disks under zero-gravity conditions. Phys. Fluids 8, 2307.

Vega, J.M., Perales, J.M., 1983. Almost cylindrical isorotating liquid bridges for small bond number, ESA SP-191. ESA, Paris, pp. 247–252.

Documents

Estabilidad de puentes líquidos bajo el efecto de una ...oa.upm.es/39074/1/JACOBO_RODRIGUEZ_OTERO.pdf · María Victoria Lapuerta González . Madrid, octubre de 2015 . A mis padres,