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estadistica
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Estadstica II
Semana 2 Ing. Coralia Zavala.
Estadstica para
Administracin
Estadstica Aplicada a los Negocios y a la Economa. Lind/Marchal, Estadstica para Administracin y Economa/ Anderson Sweey.
Distribucin de Probabilidad
Hipergeomtrica La distribucin de probabilidad hipergeomtrica est estrechamente relacionada con la distribucin binomial. Pero difieren en dos puntos: en la distribucin hipergeomtrica los ensayos no son independientes y la probabilidad de xito vara de ensayo a ensayo.
En la notacin usual en la distribucin hipergeomtrica, r denota el nmero de elementos
considerados como xitos que hay en una poblacin de tamao N, y N - r denota el nmero de elementos considerados como fracasos que hay en dicha poblacin.
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Sweey.
Al aplicar una distribucin binomial, la
probabilidad de que ocurra un xito deber
permanecer igual en cada prueba. Por
ejemplo, la probabilidad de adivinar una
respuesta de verdadero es la misma de una
respuesta de falso, 0.50.
En la probabilidad binomial cuando
selecciona un elemento de la muestra este
despus regresa a la poblacin para volver
a elegir nuevamente.
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Sin embargo en muchos casos parte del
muestreo se realiza sin reemplazos, es decir
que en poblaciones reducidas como n=20
despus de una primera muestra con
probabilidad de 1/20 solo quedan 19
elementos para la seleccin es decir su
probabilidad es de 1/19, en y una tercera
seria 1/18
Esto sucede en poblaciones finitas donde
conocemos el nmero de elementos de
una poblacin.
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Probabilidad binomial (Probabilidad de xito
igual para todas).
Probabilidad hipergeomtrica.(Probabilidad de
xito distinta debido a muestras sin reemplazos).
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Requisitos para aplicar la distribucin
de pruebas hipergeomtricas.
1. Los resultados de una prueba se clasifican en xito o fracaso.
2. La variable aleatoria es el nmero de xitos de un nmero fijo de pruebas.
3. Las pruebas no son independientes, es decir que si se selecciona una muestra de una poblacin finita no se vuelve a reemplazar.
4. El tamao de la muestra n es mayor que 5% del tamao de la poblacin.
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Frmula de probabilidad
hipergeomtrica.
Donde:
N representa el tamao de la poblacin.
S es el nmero de xitos de la poblacin.
X el nmero de xitos de la prueba.
n es el tamao de la muestra y
C es el smbolo de combinacin.
P(x)= ( )(
)
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Ejercicio:
Play Time Toys Inc., tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. Cuarenta empleados pertenece a un sindicato, y diez no. Se eligen al azar cinco empleados para formar un comit que hablar con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos. cul es la probabilidad de que cuatro de los cincos empleados elegidos para formar parte del comit pertenezcan a un sindicato?
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Solucin.
En este caso la poblacin son todos los
empleados de ensamble (50), solo se
puede elegir una vez a un empleado
para formar parte del comit es decir una
vez elegido no se puede volver a
seleccionar, de ah que cada nueva
prueba cambia la probabilidad.
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Los datos del problema son:
N=50, nmero total de empleados.
S=40, nmero de empleados sindicalizados.
X=4, el nmero de empleados elegidos sindicalizados.
n=5 nmero de empleados elegidos.
Sustituyendo los valores obtenemos:
P(x)= ( )(
)
= P(x)=
(40 4 )(50 40 5 4
)
505
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P(4)= (
40!
4!36!)(
10!
1!9!)
50!
5!45!
= (91390)(10)
2118760=0.431
Este quiero decir que la probabilidad de
elegir al azar a 5 trabajadores de ensamble
de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de
5 son sindicalizados es del 0.431
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Uso de tablas para probabilidades
hipergeomtricas.
Tarea: Capitulo 6: 25,27 y 29
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Distribucin de Probabilidad
de Poisson. Este tipo de distribucin describe el nmero de veces
que se presenta un evento durante un intervalo especifico. En esta seccin estudiar una variable aleatoria discreta que se suele usar para estimar el nmero de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio.
Por ejemplo, la variable de inters va desde el nmero de automviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o el nmero de reparaciones necesarias en 10 millas de una autopista hasta el nmero de fugas en 100 millas de tubera. Si se satisfacen las condiciones siguientes, el nmero de ocurrencias es una variable aleatoria discreta, descrita por la distribucin de probabilidad de Poisson.
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PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE
POISSON
1. La probabilidad de ocurrencia es la
misma para cualesquiera dos intervalos
de la misma magnitud.
2. La ocurrencia o no-ocurrencia en
cualquier intervalo es independiente de
la ocurrencia o no-ocurrencia en
cualquier otro intervalo
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Frmula
La distribucin de Poisson se describe
matemticamente de la siguiente
manera.
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Media y varianza
La media de nmero de xitos, puede determinarse con n; en este caso n es el nmero de total de pruebas y la probabilidad de xito.
La varianza de Poisson es igual a su media.
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La media de una distribucin de Poisson
=
Diferencias En una distribucin binomial, existe una
cantidad fija de pruebas, por ejemplo en una
prueba de seleccin mltiple de cuatro
preguntas, la variable aleatoria x solo puede
tomar valores de 0,1,2,3 y 4 xitos(preguntas
respondidas correctamente),sin embargo la
variable aleatoria x para una probabilidad de
Poisson pueden adoptar una infinidad de
valores, es decir 0,1,2,3,4,5 Aunque las probabilidades se van reduciendo despus de
las primeras veces que se presenta un evento.
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Ejemplo: Suponga que desea saber el nmero de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automtico de un banco. Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automviles es la misma en cualesquiera dos lapsos de la misma duracin y si la llegada o nollegada de un automvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o nollegada de un automvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la funcin de probabilidad de Poisson. Dichas condiciones se satisfacen y en un anlisis de datos pasados encuentra que el nmero promedio de automviles que llegan en un lapso de 15 minutos es10.
La administracin desea conocer la probabilidad que 5 automviles lleguen en 15 minutos.
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Solucin
Aqu la variable aleatoria es x nmero de
automviles que llegan en un lapso de 15
minutos, y = 10. Si la administracin desea saber la probabilidad de que lleguen
exactamente cinco automviles en 15
minutos, x = 5, y se obtiene:
P(x)=
!=
10510
5! =0.03783
Puede verificarlo con la tabla del apndice
B.5
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La media de la distribucin de Poisson en el
ejemplo anterior fue =10 llegadas en un lapso de 15 minutos. Una propiedad de la distribucin
de Poisson es que la media y la varianza de la
distribucin son iguales. Por tanto, la varianza
del nmero de llegadas en un lapso de 15
minutos es 2 = 10. La desviacin estndar es
2 = 10 =3.16.
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En el ejemplo anterior se us un lapso de 15 minutos, pero tambin se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos. Como 10 es el nmero esperado de llegadas en un lapso de 15 minutos: 10/15= 2/3 es el nmero esperado de llegadas en un lapso de un minuto y que (2/3)(3 minutos)= 2 es el nmero esperado de llegadas en un lapso de 3 minutos. Entonces, la probabilidad de x llegadas en un lapso de 3 minutos con =2 est dada por la siguiente funcin de probabilidad de Poisson.
P(x)=
!=
212
1! =0.2707
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Ejercicios del Capitulo
37,38,41,43,45,49,51,55,57,63,65
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