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Estadstica no paramtrica A modo de introduccin
2da. edicin
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COLECCIN: EL NMERO DE ORO Director: Act. Alberto Landro
lgebra para estudiantes de Ciencias Econmicas Alejandro E. Garca
Venturini Axel Kicillof Anlisis Matemtico I para estudiantes de
Ciencias Econmicas Alejandro E. Garca Venturini Axel Kicillof
Anlisis Matemtico II para estudiantes de Ciencias Econmicas
Alejandro E. Garca Venturini Axel Kicillof Los matemticos que
hicieron la historia Alejandro E. Garca Venturini Anlisis de Series
de Tiempo, univariadas y multivariadas Heriberto Urbisaia Juana
Brufman Decisin Estadstica Bayesiana, a modo de introduccin Emma
Fernndez Loureiro de Prez Estadstica no Paramtrica, a modo de
introduccin Emma Fernndez Loureiro de Prez Teora de los Conjuntos
Borrosos, a modo de introduccin Emma Fernndez Loureiro de Prez
Estadstica: Herramientas de Inferencia Gabriela Kurincic
Estadstica: Probabilidades y Distribuciones Gabriela Kurincic Los
Mtodos Cuantitativos en las Ciencias Sociales Alejandro E. Garca
Venturini Federico Castelli Aplicaciones del Anlisis Matemtico a la
Economa Blanca R. Vitale Modelos para el Anlisis de Series de
Tiempo Juan Carlos Abril Anlisis Matemtico I para estudiantes de
Ingeniera Alejandro E. Garca Venturini Mnica Scardigli Clculo
Financiero Juan R. Garnica Hervs - Esteban O. Thomasz - Romina P.
Garfalo Elementos de Econometra de los fenmenos dinmicos Alberto H.
Landro Mirta L. Gonzlez Acerca de la probabilidad Alberto H.
Landro
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Comit Editorial
Prof. Carlos Bulcourf Lic. Alejandro Garca Venturini
Dr. Axel Kicillof Act. Alberto Landro
Dr. Juan Carlos Seltzer
La presente publicacin se enmarca en las actividades de la
Seccin de Investigaciones en Mtodos Cuantitativos para la Gestin
del. Instituto de Investigaciones en Administracin, Contabilidad y
M-todos Cuantitativos para la Gestin. Facultad de Ciencia Econmicas
(UBA)
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Emma Fernndez Loureiro de Prez
Estadstica no paramtrica A modo de introduccin
2da. edicin
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Fernndez Loureiro de Prez, Emma Estadstica no paramtrica: a modo
de introduccin 2 ed. Buenos Aires: Cooperativas, 2011. 160 p.;
21x14 cm. ISBN 987-98315-3-5 1. Estadstica. Ttulo CDD 310
2011 Ediciones Cooperativas Tucumn 3227, (1189) Buenos Aires
Argentina
(54 011) 4864 5520 / (15) 49376915
http://www.edicionescoop.org.ar info@ edicionescoop.org.ar
2011 Emma Fernndez Loureiro de Prez Derechos exclusivos
EEddii ttoorr iiaa ll aassoocciiaaddaa aa::
IMPRESO EN ARGENTINA PRINTED IN ARGENTINA
Impreso y encuadernado por: Imprenta Dorrego. Dorrego 1102,
CABA. 2 ed. Tirada: 100 ejemplares. Se termin de imprimir en Julio
de 2011.
Hecho el depsito que establece la ley 11.723
2da edicin julio 2011
Coleccin: El Nmero de Oro Director: Act. Alberto Landro
Ediciones Cooperativas es un emprendimiento cooperativo de
docentes de la Facultad de Ciencias
Econmicas de la Universidad de Buenos Aires para difundir sus
trabajos e investigaciones
Diseo de Cubierta: Federico Castelli
Ninguna parte de esta publicacin, incluido el diseo de cubierta
puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni
por ningn medio, ya sea electrnico, mecnico, ptico de grabacin o de
fotocopia sin permiso previo del Editor.
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Estadstica no paramtrica. A modo de introduccin Segunda
Edicin
Presentacin
Hace ya diez aos que presentamos la primera edicin de Estadstica
no paramtrica. A modo de introduccin. En aquella ocasin, como
ocurre comnmente, hemos detectado errores que, como corresponde,
los hemos ido corrigiendo. Aun cuando suponemos haberlos corregido
todos, el trans-curso del tiempo nos ha hecho pensar sobre la
necesidad de realizar algunos retoques. La estructura del libro es
similar a la anterior, de hecho algunos captulos y ejemplos son
prcticamente copia textual. Hemos introducido modificacio-nes que
estimamos tiles para la mejor comprensin de los conceptos. En este
sentido debemos agradecer las crticas y sugerencias de colegas y
alumnos que han ledo el libro. Hemos agregado de un captulo sobre
Anlisis Exploratorio de Datos que, en nuestra opinin, es tema
primordial al iniciar el anlisis estadstico y otro, slo
introductorio, sobre Regresin no paramtrica. Seguimos pretendiendo
que el libro sea bsicamente conceptual y que el lector, y con mayor
razn el que se est iniciando en el tema, se concentre precisamente
en los conceptos. Sin embargo, la creciente divulgacin de softs
estadsticos, algunos con acceso desde Internet, nos aconsejaron
in-cluir resolucin de problemas aplicndolos. A esto dedicamos un
captulo especial. Por ser Excel un sistema muy divulgado incluimos
en el texto los resultados que presenta para obtener puntos y
valores crticos. El captulo 10, destinado al uso de softs
estadsticos fue elaborado por Ana Marsanasco, doctorando en la
Facultad de Ciencias Econmicas e integran-te del Proyecto de
Investigacin (Programacin UBACyT 2008/2010) On-
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Emma Fernndez Loureiro de Prez
8
tologa de las Organizaciones del que ambas somos integrantes y
cuyo Di-rector es el Dr. Pablo Garca. El proyecto tiene su sede en
la hoy Seccin de Investigaciones en Mtodos Cuantitativos para la
Gestin, de la Facultad de Ciencias Econmicas de la Universidad de
Buenos Aires. Hemos seleccionado bsicamente el soft GraphPad Prism
5.0 por dos moti-vos, en primer lugar porque nos result til en
tareas de investigacin que encaramos conjuntamente donde hemos
aplicado Estadstica no Paramtrica y, adems porque puede ser bajado
de Internet (www.graphpad.com). Tam-bin y en menor medida, para
algunos ejemplo, hemos utilizado SPSS 13.0. La circunstancia de
vivir en una sociedad implica necesariamente que nada se hace en
soledad, siempre existen personas u organizaciones que hacen
aportes, perceptibles o imperceptibles, para concluir una tarea.
Deseo agradecer aqu a la Universidad Pblica personificada en la
Facultad de Ciencias Econmicas de la Universidad de Buenos Aires,
donde, saliendo de mi adolescencia ingres como alumna hace ms de
cincuenta aos. All me form como profesional, fui Auxiliar de
Cte-dra, Profesora y, a la fecha, Profesora consulta. Mi caluroso
recuerdo y agradecimiento a todos aquellos que, como deca,
perceptible o imper-ceptiblemente colaboraron en mi desarrollo
profesional.
Emma Fernndez Loureiro de Prez Buenos Aires, mayo de 2011
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Presentacin de la primera edicin Esta publicacin fue elaborada
en el marco de la programacin de actividades del Instituto de
Estadstica y Matemtica Actuarial Prof. Dr. Fausto I. Toran-zos de
la Facultad de Ciencias Econmicas de la Universidad de Buenos
Ai-res. Tiene como antecedente una publicacin del Centro de
Estudiantes de Ciencias Econmicas editada en agosto de 1999.
Publicacin que, corregida y ampliada en varios aspectos, permiti
elaborar la presente. Esta presentacin supone que el lector tiene
conocimientos sobre inferencia estadstica clsica en general y, en
particular, sobre pruebas de hiptesis. Imaginamos que ser til para
nuestros alumnos de la Ctedra Estadstica para Administradores que
dictamos en la Facultad de Ciencias Econmicas de la Universidad de
Buenos Aires quienes ya pasaron un curso de Estadstica Gene-ral y
durante la mitad del cuatrimestre ven inferencia estadstica clsica.
Iniciamos con una revisin de las escalas de medicin pues las
pruebas no pa-ramtricas son aplicables a escalas de medicin de
nivel ms bajo que el que usamos en la inferencia paramtrica.
Continuamos con una comparacin entre ambos tipos de pruebas.
Presentamos posteriormente algunas de las pruebas de hiptesis
estadsticas no paramtrica ms comunes con el siguiente criterio: Una
seccin para pruebas que suponen una sola muestra o dos muestras
relacionadas, seguimos con prue-bas para dos o ms muestras
independientes. Posteriormente incorporamos una seccin particular
para destacar la impor-tancia de la mediana como medida de
tendencia central. En esta seccin volve-mos sobre algunas pruebas
anteriores cambiando las hiptesis planteadas en forma genrica por
hiptesis relativas a la mediana. En la ltima seccin incluimos
Tablas de contingencia, medidas y pruebas de hiptesis para la
asociacin entre dos variables.
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Emma Fernndez Loureiro de Prez
10
Al final de cada prueba presentamos algunos ejemplos que, reales
o no, son de aplicacin a la prueba presentada. Los ejercicios
propuestos fueron preparados por mi distinguido ex alumno, hoy
colaborador en la Ctedra Estadstica para Administradores, Csar
Augusto Fernndez Magn. A l agradezco su colabora-cin y sugerencias
para que el texto fuera ms comprensivo. En un Anexo final incluimos
algunas Tablas que, con las limitaciones propias de no ser
exhaustivas, pueden ser tiles para resolver algunos problemas.
Hemos omitido conscientemente toda referencia al uso de programas
de com-putadora porque slo pretendemos hacer una presentacin
conceptual. Diversos programas resuelven de una u otra forma los
clculos, muchas veces tediosos, que requieren estas tcnicas, pero
seguramente cuando esta publicacin llegue a manos de los eventuales
lectores ya hayan sido superadas por otros programas.
Agradezco a todos mis ex alumnos que, usndolo como material de
estudio, corrigieron errores y aportaron sugerencias a Una
Introduccin a las pruebas de Hiptesis Estadsticas no paramtricas,
publicada por el Centro de Estu-diantes de Ciencias Econmicas en
agosto de 1999.
Un agradecimiento especial a quienes tuvieron la paciencia, en
los ltimos aos, de introducirme en el mundo de la PC y sus
consecuencias: Rita, Geor-gina, Walter, Claudia y Juan Pablo. A
Malena, que me ayud a traducir del ingls, algunos prrafos con los
que tuve inconvenientes. A Rodolfo, con quien comparto la aventura
de muchos aos de matrimonio, que siempre me alienta ante aventuras
que intento emprender. Esta publicacin es una de ellas.
Emma Fernndez Loureiro de Prez Buenos Aires, agosto de 2000
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Contenido 1. Acerca de la medicin
1.1Introduccin............................................................................1.2
Escalas...................................................................................1.3
Magnitudes extensivas e
intensivas.......................................
13 14 19
2. Pruebas paramtricas versus no paramtricas 2.1 Pruebas
paramtricas...........................................................
2.2 Pruebas no
paramtricas......................................................
21 22
3. Consideraciones previas. 3.1 Acerca de promedio, medidas de
posicin y de tendencia Central..3.2 Para construir una prueba de
hiptesis.3.3 El valor p (p-value)3.4 Tratamiento de los empates en
escales de orden3.5 Correccin por continuidad.
25 27 28 28 29
4. Anlisis exploratorio de datos 4.1 Antecedentes4.2 Diagrama de
tallo y hojas 4.3 Grfico de Caja.
31 32 34
5. Pruebas para una muestra y dos muestra relacionadas 5.1
Prueba
Binomial....................................................................5.2
Prueba de los
signos..............................................................5.3
Prueba de rachas (o de
corridas)...................................5.4 Prueba de suma de
rangos con signo de Wilcoxon..............
39 46 54 62
6. Pruebas de bondad de ajuste 6.1 Prueba de
Chicuadrado.......................................................6.2
Prueba de
Kolmogorov-Smirnov........................................... 6.3
Comparacin entre las pruebas 2 y
K-S.............................
69 78 82
7. Pruebas para dos y k muestras independientes 7.1 Prueba de
suma de rangos de Mann Whitney........................7.2 Prueba de
suma de rangos de Kruskal-Wallis.................
83 91
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Emma Fernndez Loureiro de Prez
12
8. Tablas de Contingencia y Medidas de Asociacin 8.1 Tablas de
Contingencia Prueba de 2....................................8.2
Coeficiente rs de
Spearman....................................................8.3
Coeficiente (tau) de
Kendall...............................................
97 105 112
9. Nociones sobre Regresin no paramtrica 9.1 Revisin del
concepto de regresin lineal clsico..9.2 Por qu regresin no
paramtrica..9.3 Comparacin..9.4 Algunas formas de encarar la
regresin no paramtrica.
121 124 124 124
10. Uso de softs estadsticos 10.1 Uso de SPSS para el Anlisis
exploratorio de datos.10.2Ejemplos resueltos mediante Graph Pad
Prism. 10.3Excel, SPSS, Graph Pad Prism para correlacin de
rangos
129 132 145
11. Anexo: Tablas
estadsticas....................................................
151
12.Bibliografa.............................................................................
159
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Estadstica no paramtrica
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1. Acerca de la medicin
1.1 Introduccin 1.2 Escalas
1.3 Magnitudes extensivas e intensivas 1.1 Introduccin Dice J.
Mosterin. El mundo percibido es la resultante de al menos dos
factores: nuestro aparato sensorial y el mundo exterior...El mundo
pensa-do es tambin la resultante de al menos dos factores: nuestro
sistema con-ceptual y el mundo real... En nuestra actividad
cientfica tenemos que partir de nuestro aparato sensorial y del
sistema conceptual plasmado en nuestro lenguaje ordinario o comn.
Pero difcilmente podra ponerse en marcha la empresa cientfica si no
nos fuera posible trascender las limita-ciones de nuestro aparato
sensorial y conceptual. Mediante instrumentos materiales
apropiados, que son como extensiones de nuestros sentidos...
(telescopios, balanzas...) podemos captar mensajes y radiaciones
inasequi-bles a nuestro aparato sensorial. De igual modo, podemos
extender y preci-sar nuestro sistema conceptual introduciendo
conceptos ms precisos y de mayor alcance que los del lenguaje
ordinario, conceptos cientficos que nos permiten describir hechos y
formular hiptesis con una precisin y univer-salidad crecientes.
Tres son los conceptos bsicos segn Mosterin: clasificatorios,
comparati-vos y mtricos. Un concepto clasificatorio sirve para
referirnos a un grupo determinado de objetos o sucesos que tienen
algo en comn. Los sustantivos y adjetivos del lenguaje ordinario
suelen corresponder a conceptos clasificatorios: hombre, mujer,
rbol, camin, azul, puntiagudo, muerto. ...los conceptos
comparativos encuentran su punto de partida en un rasgo de nuestra
lengua cotidiana: el llamado por los gramticos grado compa-rativo
de los adjetivos. El lenguaje ordinario no slo nos permite
clasifi-car a nuestros congneres en altos y bajos, tambin nos
permite precisar
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Emma Fernndez Loureiro de Prez
14
que un individuo determinado, aunque bajo, es ms alto que otro.
Expresio-nes como ms alto, ms viejo, mayor, ms ligero, corresponden
a conceptos comparativos. Los conceptos mtricos, tambin llamados
conceptos cuantitativos o mag-nitudes, no tienen correspondencia en
el lenguaje ordinario. Son una crea-cin original de los lenguajes
cientficos... Los conceptos mtricos asig-nan nmeros reales o
vectores a objetos o sucesos... No hay que confun-dir metrizacin
con medida. La medida supone que ya disponemos de un concepto
mtrico y consiste en la bsqueda del nmero real o vector que ese
concepto mtrico asigna a un objeto o suceso determinado...El
con-cepto mtrico de masa asigna un nmero real a cada cuerpo, el de
producto nacional bruto asigna un nmero real a cada economa
nacional y ao. Estos tres conceptos (clasificatorio, comparativo y
mtrico) son nuestro punto de partida para introducirnos en el
concepto de escalas de medicin. 1.2 Escalas Segn Pedhazur y
Pedhazur Schmelkin, ... mucho de lo que hacemos, decisiones que
tomamos, decisiones que se toman con respecto a nosotros incorpora
el concepto de medicin en algn sentido. Dado la amplitud del
concepto es imprescindible tener presente que la medicin no es un
fin en si misma sino un medio en procesos tales como descripcin,
diferenciacin, explicacin, prediccin, diagnstico, toma de
decisiones, etc. Comnmente aceptamos que un proceso de medicin
consiste en asignar smbolos a objetos, atributos, observaciones,
etc. de acuerdo con ciertas reglas. Sobre esa base y, segn el nmero
y tipo de relaciones y operaciones ma-temticas aplicables a los
smbolos asignados a las variables, se pueden distinguir cuatro
niveles (escalas) de medicin:
a. Nominal (concepto clasificatorio) b. Ordinal (concepto
comparativo) c. De intervalos (concepto mtrico) d. Proporcional o
de razn (concepto mtrico)
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Estadstica no paramtrica
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a. Escala Nominal Es el nivel ms bajo de medicin en el sentido
amplio del trmino.
Consiste en asignar smbolos a objetos, atributos, etc. con el
slo propsito de clasificarlos. Los smbolos asignados, que comnmente
son nmeros, slo se usan a modo de etiquetas, como sustitutos de
nombres y pueden ser cambiados por cualquier otro nmero sin que
ello altere su significado. No se formulan supuestos acerca de las
relaciones entre los objetos. Supongamos una poblacin clasificada
segn el estado civil en casados, solteros, viudos, divorciados y
otros. En tal caso una codificacin posible consistira en asignar
nmero 1 a casados, 2 a solteros y as sucesivamente. No cambiara el
significado si por algn motivo asignramos otros nmeros a cada uno
de los grupos de la clasificacin.
Una clasificacin supone:
- que est perfectamente delimitado el mbito o dominio de los
individuos a clasificar,
- que a cada concepto clasificatorio corresponde al menos un
in-
dividuo de ese mbito, - que ningn individuo cae bajo dos
conceptos clasificatorios
distintos,
- que todo individuo del mbito en cuestin cae bajo alguno de los
conceptos de la clasificacin.
Toda clasificacin constituye una particin de un conjunto no vaco
en sentido matemtico. Por ejemplo, la clasificacin de los seres
humanos segn la raza a que pertenecen es una particin del conjunto
de los seres humanos. Una particin requiere una relacin de
equivalencia que implica tres pro-piedades: reflexiva (A=A),
simtrica (si A=B, entonces B=A) y transitiva (si A=B y B=C,
entonces A=C).
