S1_Ec-Parametrica (1)

8/19/2019 S1_Ec-Parametrica (1)

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GEOMETRÍA ANALÍTICA YALGEBRA

ECUACIONES PARAMÉTRICASDE CURVAS PLANAS Y SUS

APLICACIONES


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CICLOIDEGalileo fue el primero en llamar la atención hacia la cicloide,

recomendando que se empleara en los arcos de los puentes. En

cierta ocasión, Pascal pasó ocho días tratando de resolvermuchos de los problemas de las cicloides, problemas como

encontrar el área bajo un arco y el volumen del sólido generado al

girar la curva sobre una recta. a cicloide tiene tantas propiedades

interesantes y ha generado tantas disputas entre los matemáticos

que se le ha llamado !la "elena de la geometría# y !la man$ana dela discordia#


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%i a usted se le pregunta &'uál es la distancia más corta entre

dos puntos( &'uál sería su respuesta(. )hora si le preguntamospara esos mismos puntos, &'uál es la curva más óptima en la

cual se llega en menor tiempo posible de un punto al otro punto(.

El problema de la *raquistocrona,

del griego brachistos +el más breve

y cronos +tiempo

PROBLEMA DE LABRAQUISTÓCRONA

De todas las curvas (caminos) la más optima para llegar enmenos tiempo es LA CICLOIDE.


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CASO

Suponiendo que Carlos golpea una pelota de gol conuna velocidad inicial de !"# $m%& ' un ángulo de #respecto de la &ori*ontala) Encuentre las ecuaciones param+tricas que

descri,en la posici-n de la pelota en unci-n del

tiempo.,) Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire/c) Cuándo alcan*a su altura má0ima/ Determine la

altura má0ima de la pelota.d) Determine que distancia via1a la pelota por el aire.e) 2epresente el movimiento de la pelota.

Tiro Parabólico


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SABERES PREVIOS

- Simpli3caci-n dee0presiones alge,raicas

' trigonom+tricas.- 4alor de las uncionestrigonom+tricas deángulos cuadrantales.


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LOGRO DE LA SESIÓN

Al 3nali*ar la sesi-n el estudiantegra3ca curvas param+tricas en el

plano cartesiano5 aplicando lade3nici-n ' propiedades de lasecuaciones param+tricas comotam,i+n de las c-nicas de orma

correcta ' ordenada.


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RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

Simpli3que las siguientes e0presionesalge,raicas6 2)42()32(5)52(7 +−+−+ x x x x x )7(4)32( 22 −+− x x x


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Cuál es el valor de las siguientes e0presionestrigonom+tricas/

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

)cos()90( π + sen

−−

+

−

4

3)2cos(

2)tan(

2

π π

π π sen sen


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Ecacio!"#Para$%&rica#


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O,1etivo6!. 7ra*ar la grá3ca de una curva dada por un con1unto

de ecuaciones param+tricas.". Eliminar el parámetro en un con1unto de ecuaciones

param+tricas.. 8allar un con1unto de ecuaciones param+tricas para

representar una curva.


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I!&ro'cció!

- Imagina que una particula se mueve a lolargo de la curva C.

Es imposi,le escri,ir C

como una unci-n de la

orma y 9 f ( x ).

:a que al tra*ar una recta

vertical corta en más de

un punto al grá3co.


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I!&ro'cció!

- Sin em,argo las coordenadas x e y de la particula son unciones del

tiempo.

;or tanto5 podemos escri,ir

x 9 f (t) < y 9 g(t ).


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D"(!ició! '" cr)a *la!a

Definición: %ean dos funciones contínuas f+t, g+t definidos enalg/n intervalo 0, entonces las ecuaciones1

se les llama ecuaciones param2tricas y a !t# se llama el parámetro.

) las ecuaciones param2tricas y a la gráfica juntas, se les llama

curva plana, y la denotaremos por '.

a gráfica de las ecuaciones param2tricas son el conjunto de puntos

+3, y en el plano.


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%e dice que ' es una curva plana o curva param2trica.

%e dice que '+t es una parametri$ación de parámetro t.


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Ejemplo 1: 7ra*ar la curva dada por las ecuacionesparam+tricas

Tra+a'o '" !a cr)a

Solció!, Asignado valores a t en el intervalo las ecuaciones

param+tricas conducen a los puntos ( x, y) que se muestran enla siguiente ta,la

t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -3 -4 -3 0 5

y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2

24 , 2 3

2

t x t y t = − = − ≤ ≤y


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E-"$*lo ., =ra3que la curva plana representada por lasecuaciones param+tricas

Eligiendo algunos valore# '" t /0alla$o# "l corr"#*o!'i"!&" x " y

t

#

!

"

Observamos el recorrido de la particula. La

orientación es la dirección en el tiempo

Los valores de t

son $a/or"# o

i1al a c"ro

0;4,2 ≥== t t yt x

x y

( ) 002 = ( ) 004 =

( ) y x,

( )0,0

( ) 4.112 ≈

( ) 414 = ( )

4,2

( )0,0

( )4,2( ) 222 = ( ) 824 = ( )8,2

( ) 4.232 ≈ ( ) 1234 =

( )8,2

( )12,6

( )12,6


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Eli$i!ació! '"l *ar2$"&roEcacio!"

#*ara$%&ri

ca#

D"#*"-ar t '" !a '"

la#"cacio!"

#

S#&i&ir"! la o&ra"cació!

Ecació!r"c&a!1l

ar

La ecuaci-n x = 4 y2 – 4 representa una pará,ola cone1e &ori*ontal ' v+rtice (>?5#)

2 4

2

x t

t y

= −

=2t y= ( )

22 4 x y= − 24 4 x y= −


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A-#&ar "l 'o$i!io '"#*%# '" la E3P3Di,u1ar la curva representada por las ecuaciones

Eliminar el parámetro ' a1ustar el dominio de laecuaci-n rectangular resultante

Solció!,Despe1ar t de la ecuaci-n para x

Sustitu'endo t en la ecuaci-n de y

A partir de la ecuaci-n rectangular se puede reconocer que

la curva es una pará,ola que se a,re &acia a,a1o ' su v+rticees (#5!)

1

11

t x y t t

= =++

y

1

1 x

t =

+2 1

1 x

t =

+

21 y x= −


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La ecuaci-n rectangular y = 1 – x2

5 está de3nida paratodo numero real x< sin em,argo5 de la ecuaci-nparam+trica para x se o,serva que la curva estáde3nida s-lo para t @>!.


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I'"!&i'a'"# *ara "li$i!ar "l *ar2$"&r

122

Cos Sen

2 2

1Sec Tg θ θ − =2 2 1Csc Ctg θ θ − =


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Eli$i!ació! '"l *ar2$"&ro 2!1lo

7race la curva representada por

Eliminando el parámetro

Solció

!,

Despe1ando

sando la identidad6

Ecuaci-nrectangular

3 4 , 0 2 x cos y senθ θ θ π = = ≤ ≤y

3 4

x ycos senθ θ = =y

2 2 1Cos Senθ θ + =2 2

13 4

x y + = ÷ ÷

2 2

19 16

x y+ =


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El Ti"$*o co$o *ar2$"&roLa tra'ectoria de un pro'ectil se modela con las

ecuaciones param+tricas

Donde

6 es la velocidad inicial (pies%segundo) 6 es el ángulo con la &ori*ontal& 6 es la altura desde el suelo

h

y

x

( x(t ) ,y(t ))

2

0 0( cosθ) ( senθ) 4.9 x v t y h v t t = = + −y

0v

θ

θ 0v


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Suponiendo que Carlos golpea una pelota de gol conuna velocidad inicial de !B# $m%& por segundo ' unángulo de # respecto de la &ori*ontala) Encuentre las ecuaciones param+tricas que

descri,en la posici-n de la pelota en unci-n del

tiempo.,) Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire/c) Cuándo alcan*a su altura má0ima/ Determine la

altura má0ima de la pelota.d) Determine que distancia via1a la pelota por el aire.

e) 2epresente el movimiento de la pelota.

Tiro *arabólicoSOLUCIÓNDEL CASO


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Los e1emplos anteriores5 demuestran que dado uncon1unto de ecuaciones param+tricas el o,1etivo esencontrar la ecuaci-n cartesiana correspondiente. A&ora

veremos el caso inverso5 es decir dada una ecuaci-ncartesiana5 de,emos determinar un con1unto deecuaciones param+tricas.

4ALLANDO ECUACIONESPARAMÉTRICAS


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E5EMPLO

8allar un con1unto de ecuaciones param+tricas para

representar la grá3ca de&aciendo 0 9 t.

7A2EA E ;A2EAS


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Biblio1ra67aN8 CÓDIGO AUTOR TITULO

EDITORIAL

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=eometra Analtica6 7eora 'Aplicaciones

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