Estatica Dinamica 2015-i Semana 11 Componentes Tangencial y Normal

8/18/2019 Estatica Dinamica 2015-i Semana 11 Componentes Tangencial y Normal

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CARRERA PROFESIONAL:INGENIERIA MECANICA Y

ELECTRICAESTATICA DINAMICA : TEMA

MOVIMIENTOCURVILINEO

:COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL

• DICTADO POR :• PROF.:ING. JORGE CUMPA MORALES

• CICLO: 2015-II


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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALOBJETIVOS

• Determinar las componentes normal y tangencial dela velocidad y la aceleración de una partícula que se

encuentra moviéndose en un trayectoria curva.


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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALAPLICACIONES

Cuando un auto se muee enuna !u"a e#$e"%menta unaa!e&e"a!%'n( de)%do a& !am)%oen &a ma*n%tud o en &a

d%"e!!%'n de &a e&o!%dad+ ,Pod"-a Ud+ $"eo!u$a"se $o"&a a!e&e"a!%'n de& auto.+

S% e& moto!%!&%sta %n%!%a sumo%m%ento desde e& "e$oso e%n!"ementa su e&o!%dad a"a/'n !onstante+ ,C'mo$od"-a dete"m%na" su


4/42

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALPOSICI2N

Cuando &a t"a0e!to"%a deuna $a"t-!u&a es !ono!%da(a e!es es !onen%enteut%&%/a" &as !oo"denadas

no"ma& 3n4 0 tan*en!%a& 3t4&as !ua&es a!t5an en &asd%"e!!%ones no"ma& 0tan*en!%a& a &a t"a0e!to"%a+

En un mo%m%ento $&ano seut%&%/an &as e!to"esun%ta"%os ut 0 un

E& o"%*en se en!uent"a

E& e6e t es tan*ente a&a t"a0e!to"%a 0$os%t%o en &ad%"e!!%'n de&

mo%m%ento 0 e& e6e nes $e"$end%!u&a" a&e6e t 0 esta d%"%*%do7a!%a e& !ent"o de

!u"atu"a


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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALPOSICI2N

En un mo%m%ento $&ano &asd%"e!!%ones n 0 t seen!uent"an de8n%das $o"&os e!to"es un%ta"%os ut 0

un

E& "ad%o de !u"atu"a ρ, es ladistancia perpendicular desde curva

hasta el centro de curvatura en aquelpunto.

La posición es la distancia S medida

sobre la curva a partir de un punto O

considerado i!o


6/42

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL+ VELOCIDAD

De)%do a 9ue &a $a"t-!u&ase esta mo%endo( &a$os%!%'n S est1!am)%ando !on e&

t%em$o+

La e&o!%dad v es une!to" 9ue s%em$"e es

tan*ente a &a t"a0e!to"%a0 su ma*n%tud sedete"m%na de"%ando"es$e!to de& t%em$o &a$os%!%'n S ;3t4+ Po" &o/

t v vu

v s dS dt

=

= =

" "

<


7/42

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACI2N

Cons%de"emos e&mo%m%ento de una$a"t-!u&a en una t"a0e!to"%a!u"a $&ana

En e& t%em$o t se en!uent"aen P !on una e&o!%dad ven d%"e!!%'n tan*ente 0

una a!e&e"a!%'n a d%"%*%da7a!%a &a !on!a%dad de &a!u"a+ La a!e&e"a!%'n$uede des!om$one"se enuna !om$onentetan*en!%a& at 3a!e&e"a!%'n

La a!e&e"a!%'ntan*en!%a& es &a"es$onsa)&e de& !am)%oen e& modu&o de &ae&o!%dadLa a!e&e"a!%'n no"ma&es &a "es$onsa)&e de&!am)%o en &a d%"e!!%'nde &a e&o!%dad


8/42


T"a!emos en A un e!to"un%ta"%o + Laa!e&e"a!%'n se"1

S% &a t"a0e!to"%a es una"e!ta( e& e!to" se"-a!onstante en ma*n%tud 0

d%"e!!%'n( $o" tanto

Pe"o !uando &a t"a0e!to"%aes !u"a &a d%"e!!%'n de!am)%a $o" &o tanto

ˆ ˆ( )ˆt t

t

d ve dedv dva e v

dt dt dt dt = = = +

""

ˆ0t

de

dt

=

t̂ e

t̂ e

t̂ e

ˆ0

t de

dt ≠


9/42


Int"odu/!amos e& e!to"un%ta"%o no"ma& a &a!u"a 0 d%"%*%do 7a!%a e&&ado !'n!ao de &a !u"a+

Sea = e& 1n*u&o 9ue ;o"ma&a tan*ente en A !on e&e6e #+ Enton!es se t%ene

La de"%ada de& e!to"

ˆn

e

ˆˆ cos

ˆˆ cos( ) ( )2 2

ˆˆ cos

t

n

n

e i sen j

e i sen j

e sen i j

β β

π π

β β

β β

= +

= + + +

= − +

"

"

ˆˆ( ) cos

ˆˆ

t

t n

de d d sen i j

dt dt dt

de d e

dt dt

β β β β

β

= − +

=

"


10/42


• Po" ot"o &ado se t%ene 9ue

• Donde dS es e& $e9ue>oa"!o a &o &a"*o de&

mo%m%ento en un dt+• Las no"ma&es a &a !u"a en

A 0 A? se %nte"se!an en C+Enton!es

• La "a/'n de !am)%o de&e!to" un%ta"%o tan*en!%a& es

d d dS d v

dt dS dt dS

β β β = =

1

dS d

d

dS

ρ β β

ρ

=

=

ˆ 1ˆt

n

dee

dt ρ

=


11/42


Rem$&a/ando estae!ua!%'n en &aa!e&e"a!%'n se t%ene

Es de!%" &asa!e&e"a!%ones

tan*en!%a& 0 no"ma& se

• La magitud de la aceleración

total ser"

2

ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

t

t

t n

t t n n

dedva e v

dt dt

dv va e e

dt

a a e a e

ρ

= +

= +

= +

"

"

"

2

ˆ ˆ:t t t ndv v

a e a edt ρ = =

" "

2 2

t na a a= +


12/42

CASOS ESPECIALES#. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

ρ → ∞ => an = v2/ρ = 0 => a = at = v

La componente tangencial representa la

razón de cambio de la magnitud de la velocidad

2 La part!cula se mueve en la curva a velocidad

constante

at = v = 0 => a = an = v2/ρ

La componente normal representa la razón de

cambio de la dirección de la velocidad


13/42

@4 La !om$onente tan*en!%a& de &a a!e&e"a!'n es

!onstante( at 3at4!+

So and v o son &a $os%!%'n 0 &a e&o!%dad de &a$a"t-!u&a en t

+ La $a"t-!u&a se muee a &o &a"*o de &at"a0e!to"%a dada $o" 0 ;3#4+ Enton!es e& "ad%ode !u"atu"a es

CASOS ESPECIALES

2

0 0

0

2 20 0

1( )

2

( )

2( ) ( )

c c

c c

c c

s s v t a t

v v a t

v v a s s

= + +

= +

= + −

2 "/ 2

2 2

#1 ( / ) $

/

dy dx

d y d x ρ

+=


14/42

E6em$&o • $n esquiador via!a con una rapide% de & m's la se est"

incrementando a ra%ón de ( m's(, a lo largo de la trayectoria

parabólica indicada en la igura. Determine su velocidad yaceleración en el instante que llega a ). Desprecie en los c"lculos

el tama*o del esquiador.


15/42

So&u!%'n• +stableciendo los e!es n y

t mostrados se tiene.• La velocidad de & m's es

tangente a la trayectoria y

su dirección ser"

• or lo tanto en ) la

velocidad orma -/ con ele!e 0

1%20

1

10

2 === xdx

dy x y


16/42

So&u!%'n• La aceleración se determina

aplicando la ecuación

• ara ello se determina el radio

de curvatura

2

ˆ ˆt n

dv va e e

dt ρ = +

"

2 "/ 2

2 2

2 "/ 2

#1 ( / ) $

/

#1 ( /10) $

1/10

2&2&

dy dx

d y d x

x

m

ρ

ρ

ρ

+=

+=

=

2

2

ˆ ˆ

'ˆ ˆ2

2&%"

ˆ ˆ2 1% 2

A t n

A t n

A t n

dv va e e

dt

a e e

a e e

ρ = +

= +

= +

"

"

"


17/42

So&u!%'n• La magnitud y la dirección de la

aceleración ser"n

( ) ( )2 2 2

1

2 12"( 2"( /

2

tan )()1"2(

a m s

φ −

= + =

= = o


18/42

E6em$&o

• $n carro de carreras 1 via!a alrededor de una pista

hori%ontal circular que tiene un radio de 23 m. Si elcarro incrementa su rapide% a ra%ón constante de (,#

m's( partiendo desde el reposo, determine el tiempo

necesario para alcan%ar una aceleración de (,- m's(.41u"l es su velocidad en ese instante.


19/42

So&u!%'n• Se sabe que la aceleración

tangencial es constante e

igual a

• La aceleración normal ser"

• La aceleración total ser"

• La velocidad en este

instante ser"

2

0

2%1 /

0 2%1

t

t

a m s

Entonces

v v a t

v t

=

= +

= +

2 22 2(2%1 ) 00*+ /

+0n

v t a t m s

ρ = = =

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ2%1 00*+

2%1 #00*+ $

2% * 2%1 #00*+ $

*%&

t t n

t n

va a e e

a e t e

a t

t

t

ρ = +

= +

= += +

=

"

"

21 102 /v t m s= =


20/42

E6em$&o @

$na ca!a parte del reposo en )

e incrementa su rapide% ara%ón de at 3+t4 ms

y via!a a lo largo de la pista

hori%ontal mostrada. Determine

la magnitud y dirección de la

aceleración cuando pasa por 5


21/42

E6em$&o @

La posición de la ca!a en

cualquier instante es S medidaa partir del punto i!o en ).

La velocidad en cualquierinstante se determina a partir de

la aceleración tangencial, esto

es

0 0

2

02 (1)

02

01 (2)

t

v t

a v t

dv tdt

v t

= =

=

=

∫ ∫

<


22/42

E6em$&o @

ara determinar la velocidad en

5, primero es necesariodeterminar S 6 7t8, después

obtener el tiempo necesario

para que la ca!a llegue a 5. es

decir

De la geometría se tiene

sB 6 9 : (π 7(8'- 6 &.#-( m.

+ntonces tenemos2

2

0 0

"

01

01

0%0""" (")

S t

dsv t

dt

ds t dt

S t

= =

=

=

∫ ∫

"'%1*2 0% 0"""

%'+

t

t s

=

=


23/42

E6em$&o @

;empla%ando el tiempo en las

ecuaciones 7#8 y 7(8 resulta

+n el punto 5 el radio de curvatura

es ρ 6 ( m, entonces la

aceleración ser"

La aceleración total ser"

Su modulo y dirección ser"n

2

2

( ) 02('+) 11"& /

01('+) "2"& /

B t B

B

a v m s

v m s

= = =

= =

<

22( ) 2*2 / B B n

B

va m s

ρ

= =

2

%ˆ ˆ

ˆ ˆ1%1"& % 2*2

B B t B t n

B t n

va a e e

a e e

ρ = +

= +

"

"

2 2 2

2

1%1"& #% 2*2$

% "' /

a

a m s

= +

=

1 2*2# $ % 1%1"&

tg θ −= = °


24/42

E6em$&o

$na partícula se mueve en una trayectoria curva de

tal manera que en cierto instante tiene una velocidadv y una aceración a. Demuestre que el radio de

curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación

"

1 vxa

v ρ

=

" "


25/42

E6em$&o Sabemos que la aceleración en

cualquier instante es


26/42

E6em$&o• Pa"t%endo desde e& "e$oso( un )ote a

moto" %a6a a&"ededo" de unat"a0e!to"%a !%"!u&a" de "ad%o " m!on una e&o!%dad + Dete"m%ne &a

ma*n%tud de &a e&o!%dad 0 de &aa!e&e"a!%'n de& )ote en t = 3 s.


27/42

E6em$&o• Un a%'n %a6a a &o

&a"*o de unat"a0e!to"%a $a"a)'&%!ae"t%!a& + En e&$unto A e& a%'n t%ene

una e&o!%dad de 200m/s &a !ua& se%n!"ementa a "a/'n de0,8 m/s2+ Dete"m%ne &a

ma*n%tud de &aa!e&e"a!%'n de& a%'n!uando $ase $o" A+

20%* y x=


28/42

E6em$&o

• +l !ugador de béisbol lan%a una pelota con una

velocidad inicial de v 0 = 30 m/s a un "ngulo = 6 93/como se muestra en la igura. >allar el radio de

curvatura de la trayectoria? 7a8 inmediatamente

después del lan%amiento y 7b8 en el vértice. 1alcularen cada caso, la variación de celeridad por unidad de

tiempo.


29/42

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOSPARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACI2N

>asta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una

partícula usando un marco de reerencia i!o.

Sin embargo, e0isten e!emplos en el que la trayectoria del

movimiento de una partícula es complicada, de modo que es m"s

actible anali%ar el movimiento en partes usando dos o m"s

marcos de reerencia.

or e!emplo, el movimiento de una partícula locali%ada en la hélice

de un avión , mientras éste est" en vuelo , es m"s "cil describirlosi observamos primero el movimiento del avión a partir de un

sistema de reerencia i!o y después se superpone vectorialmente

el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco

de reerencia móvil unido al aeroplano.


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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOSPARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACI2N

+n esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a

marcos de reerencia en traslación. +l an"lisis del movimientorelativo de partículas usando marcos de reerencia en rotación se

tratar" en el curso de Din"mica.

MOVIMIENTO RELATICO:


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MOVIMIENTO RELATICO:POSICI2N

• 1onsideremos dos partículas ) y 5

moviéndose en las trayectorias

mostradas

• Las posiciones absolutas de ) y 5

con respecto al observador i!o en

el marco de reerencia O@AB ser"n

•

+l observador 5 sólo e0perimentatraslación y se encuentra unidos al

sistema de reerencia móvil O0y%

• La posición relativa de ) con

respecto al observador 5 , es Ar OA=

uuu""

B

r OB= uuu""

/ A B A Br r r = +" " "

M % % t & t%


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Mo%m%ento "e&at%o:Ve&o!%dad

• Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene

/ A B A Bv v v= +" " "


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Mo%m%ento "e&at%o: A!e&e"a!%'n• Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene

/ A B A Ba a a= +" " "


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E6em$&o • $n tren C, via!ando a una velocidad constante de 23 m' h, cru%a

una carretera, como se muestra en la igura. Si el automóvil ) est"via!ando por la carretera con una velocidad de &E, m'h.

Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren

con respecto al auto.


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SOLUCI2N

• La velocidad relativa es medida

desde el observador ubicado en elauto al cual se le asocial el sistema

de reerencia O@FAF,

• 1omo las velocidades de C y ) son

conocidas, entonces la velocidadrelativa se obtiene de

/

/

/

+0 (' cos * 'sin * )

,*2" * ) /

T A T A

T A

T A

v v v

i i j v

v i j km h

= +

= + +

= −

o o

" " "

"G G G

"G G


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so&u!%'n

•

La ma*n%tud de &a e&o!%dad "e&at%ase"1

• La d%"e!!%'n de &a e&o!%dad• "e&at%a es

2 2 2

/ (*2" * ) '"& /T Av km h= + =

( )

( )

/

/

*tan*2"

*&*0

T A y

T A x

v

vθ

θ

= =

= o


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so&u!%'n• Dos aviones est"n volando hori%ontalmente a la misma elevación, como

se indica en la igura. +l avión ) est" volando en una trayectoria recta, y

en el instante mostrado desarrolla una velocidad de E33 m'h y unaaceleración de 3 m'h(. +l avión 5 est" volando en una trayectoria

curva circular de -33m de radio con una rapide% de &33 m'h y est"

decreciendo su rapide% a ra%ón de #33 m'h(. Determine la velocidad y

la aceleración relativa de 5 medida por el piloto )

So&u!%'n


38/42

So&u!%'n• )l avión ) esta moviéndose

rectilíneamente y se asocia un

marco de reerencia móvil O0FyF.

• La velocidad relativa de 5 respecto

de ) es

• +l avión 5 tiene aceleración

normal y tangencial pues se

mueve en una curva.

•La aceleración normal ser"

• )plicando la ecuación para

determinar la aceleraciónrelativa se tiene

/

/

/

'00 00

100 / 100 /

B A B A

B A

B A

v v v

v

v km h km h

= +

= +

= − = ↓

( )2

2+00 / B B n

va km h

ρ = =

{ }

/

/

2

/

+00 100 0

+00 10 /

B A B A

B A

B A

a a ai j j a

a i j km h

= +− = +

= −

G G G

G G

So&u!%'n


39/42

So&u!%'n• +n un determinado instante los

carros ) y 5 est"n via!ando con

velocidades de #Gm's y #(m's,

respectivamente. )dem"s en

dicho instante la velocidad de )

est" disminuyendo a ra%ón de

(m's( y 5 e0perimenta unincremento de su velocidad a

ra%ón de 9 m's(. Determine la

velocidad y la aceleración de 5

con respecto de )

So&u!%'n


40/42

So&u!%'n• +l sistema de reerencia i!o est"

en tierra y el marco móvil en el

auto ). or tanto se tiene

• La dirección de la velocidad

relativa ser"

• La aceleración normal ser"

•La aceleración relativa ser"

• Su dirección ser"

( )

{ }

/

/

/

2 2

/

12 1&cos'0 1&sin '0

+ "&& /

+ "&& +'+ /

B A B A

B A

B A

B A

v v v

j i j v

v i j m s

v m s

= +

− = − − +

= +

= + =

o o

( )( )

/

/

"&&tan

+

21

B A y

B A x

v

vθ

θ

= =

= o

( )

2

21**0 / B B n va m s ρ = =

( ) ( ){ }

/

/

2

/

1**0 " 2cos '0 2sin '0

2**0 *"2 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j i j a

a i j m s

= +

− − = + +

= − =

o o

2

/ "2 /

'2

B Aa m s

φ

=

= o


41/42

E6em$&o

• Los pasa!eros que via!an en el avión

) que vuela hori%ontalmente avelocidad constante de G33 m'h

observan un segundo avión 5 que

pasa por deba!o del primero

volando hori%ontalmente. )unque el

morro de 5 est" se*alando en la

dirección en la dirección

-/noreste, el avión 5 se presenta

a los pasa!eros de ) como

separ"ndose de éste ba!o el "ngulode &3/ representado. >alle la

velocidad verdadera de 5


42/42

So&u!%'n• +l marco móvil est" asociado al

avión ) donde se eectHan las

observaciones relativas

• La velocidad de ) es conocida en

módulo y dirección, el "ngulo de&3/ de la velocidad relativa de 5

respecto de ) es conocido y la

velocidad verdadera de 5 tiene

una dirección de -/. +ntoncestenemos.

• )plicando estas ecuaciones en

la velocidad relativa se tiene

• ;esolviendo estas ecuacionesse obtiene

/ B A B Av v v= +" " "

ˆ(&00 ) /

ˆ ˆ# cos* * $

A

B B B

v i km h

v v i v sen j

=

= ° + °

"

"

"

/

/

ˆ :

cos * &00 cos '0

ˆ :

* '0

B B A

B B A

componente i

v v

componente j

v sen v sen

° = − °

° = °

/ &' / - 1 / B A Bv km h v km h= =

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