8/18/2019 Estatica Dinamica 2015-i Semana 11 Componentes Tangencial y Normal
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CARRERA PROFESIONAL:INGENIERIA MECANICA Y
ELECTRICAESTATICA DINAMICA : TEMA
MOVIMIENTOCURVILINEO
:COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL
• DICTADO POR :• PROF.:ING. JORGE CUMPA MORALES
• CICLO: 2015-II
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALOBJETIVOS
• Determinar las componentes normal y tangencial dela velocidad y la aceleración de una partícula que se
encuentra moviéndose en un trayectoria curva.
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALAPLICACIONES
Cuando un auto se muee enuna !u"a e#$e"%menta unaa!e&e"a!%'n( de)%do a& !am)%oen &a ma*n%tud o en &a
d%"e!!%'n de &a e&o!%dad+ ,Pod"-a Ud+ $"eo!u$a"se $o"&a a!e&e"a!%'n de& auto.+
S% e& moto!%!&%sta %n%!%a sumo%m%ento desde e& "e$oso e%n!"ementa su e&o!%dad a"a/'n !onstante+ ,C'mo$od"-a dete"m%na" su
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALPOSICI2N
Cuando &a t"a0e!to"%a deuna $a"t-!u&a es !ono!%da(a e!es es !onen%enteut%&%/a" &as !oo"denadas
no"ma& 3n4 0 tan*en!%a& 3t4&as !ua&es a!t5an en &asd%"e!!%ones no"ma& 0tan*en!%a& a &a t"a0e!to"%a+
En un mo%m%ento $&ano seut%&%/an &as e!to"esun%ta"%os ut 0 un
E& o"%*en se en!uent"a
E& e6e t es tan*ente a&a t"a0e!to"%a 0$os%t%o en &ad%"e!!%'n de&
mo%m%ento 0 e& e6e nes $e"$end%!u&a" a&e6e t 0 esta d%"%*%do7a!%a e& !ent"o de
!u"atu"a
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALPOSICI2N
En un mo%m%ento $&ano &asd%"e!!%ones n 0 t seen!uent"an de8n%das $o"&os e!to"es un%ta"%os ut 0
un
E& "ad%o de !u"atu"a ρ, es ladistancia perpendicular desde curva
hasta el centro de curvatura en aquelpunto.
La posición es la distancia S medida
sobre la curva a partir de un punto O
considerado i!o
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL+ VELOCIDAD
De)%do a 9ue &a $a"t-!u&ase esta mo%endo( &a$os%!%'n S est1!am)%ando !on e&
t%em$o+
La e&o!%dad v es une!to" 9ue s%em$"e es
tan*ente a &a t"a0e!to"%a0 su ma*n%tud sedete"m%na de"%ando"es$e!to de& t%em$o &a$os%!%'n S ;3t4+ Po" &o/
t v vu
v s dS dt
=
= =
" "
<
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACI2N
Cons%de"emos e&mo%m%ento de una$a"t-!u&a en una t"a0e!to"%a!u"a $&ana
En e& t%em$o t se en!uent"aen P !on una e&o!%dad ven d%"e!!%'n tan*ente 0
una a!e&e"a!%'n a d%"%*%da7a!%a &a !on!a%dad de &a!u"a+ La a!e&e"a!%'n$uede des!om$one"se enuna !om$onentetan*en!%a& at 3a!e&e"a!%'n
La a!e&e"a!%'ntan*en!%a& es &a"es$onsa)&e de& !am)%oen e& modu&o de &ae&o!%dadLa a!e&e"a!%'n no"ma&es &a "es$onsa)&e de&!am)%o en &a d%"e!!%'nde &a e&o!%dad
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACI2N
T"a!emos en A un e!to"un%ta"%o + Laa!e&e"a!%'n se"1
S% &a t"a0e!to"%a es una"e!ta( e& e!to" se"-a!onstante en ma*n%tud 0
d%"e!!%'n( $o" tanto
Pe"o !uando &a t"a0e!to"%aes !u"a &a d%"e!!%'n de!am)%a $o" &o tanto
ˆ ˆ( )ˆt t
t
d ve dedv dva e v
dt dt dt dt = = = +
""
ˆ0t
de
dt
=
t̂ e
t̂ e
t̂ e
ˆ0
t de
dt ≠
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACI2N
Int"odu/!amos e& e!to"un%ta"%o no"ma& a &a!u"a 0 d%"%*%do 7a!%a e&&ado !'n!ao de &a !u"a+
Sea = e& 1n*u&o 9ue ;o"ma&a tan*ente en A !on e&e6e #+ Enton!es se t%ene
La de"%ada de& e!to"
ˆn
e
ˆˆ cos
ˆˆ cos( ) ( )2 2
ˆˆ cos
t
n
n
e i sen j
e i sen j
e sen i j
β β
π π
β β
β β
= +
= + + +
= − +
"
"
ˆˆ( ) cos
ˆˆ
t
t n
de d d sen i j
dt dt dt
de d e
dt dt
β β β β
β
= − +
=
"
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACI2N
• Po" ot"o &ado se t%ene 9ue
• Donde dS es e& $e9ue>oa"!o a &o &a"*o de&
mo%m%ento en un dt+• Las no"ma&es a &a !u"a en
A 0 A? se %nte"se!an en C+Enton!es
• La "a/'n de !am)%o de&e!to" un%ta"%o tan*en!%a& es
d d dS d v
dt dS dt dS
β β β = =
1
dS d
d
dS
ρ β β
ρ
=
=
ˆ 1ˆt
n
dee
dt ρ
=
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COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACI2N
Rem$&a/ando estae!ua!%'n en &aa!e&e"a!%'n se t%ene
Es de!%" &asa!e&e"a!%ones
tan*en!%a& 0 no"ma& se
• La magitud de la aceleración
total ser"
2
ˆˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
t
t
t n
t t n n
dedva e v
dt dt
dv va e e
dt
a a e a e
ρ
= +
= +
= +
"
"
"
2
ˆ ˆ:t t t ndv v
a e a edt ρ = =
" "
2 2
t na a a= +
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CASOS ESPECIALES#. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta
ρ → ∞ => an = v2/ρ = 0 => a = at = v
La componente tangencial representa la
razón de cambio de la magnitud de la velocidad
2 La part!cula se mueve en la curva a velocidad
constante
at = v = 0 => a = an = v2/ρ
La componente normal representa la razón de
cambio de la dirección de la velocidad
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@4 La !om$onente tan*en!%a& de &a a!e&e"a!'n es
!onstante( at 3at4!+
So and v o son &a $os%!%'n 0 &a e&o!%dad de &a$a"t-!u&a en t
+ La $a"t-!u&a se muee a &o &a"*o de &at"a0e!to"%a dada $o" 0 ;3#4+ Enton!es e& "ad%ode !u"atu"a es
CASOS ESPECIALES
2
0 0
0
2 20 0
1( )
2
( )
2( ) ( )
c c
c c
c c
s s v t a t
v v a t
v v a s s
= + +
= +
= + −
2 "/ 2
2 2
#1 ( / ) $
/
dy dx
d y d x ρ
+=
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E6em$&o • $n esquiador via!a con una rapide% de & m's la se est"
incrementando a ra%ón de ( m's(, a lo largo de la trayectoria
parabólica indicada en la igura. Determine su velocidad yaceleración en el instante que llega a ). Desprecie en los c"lculos
el tama*o del esquiador.
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So&u!%'n• +stableciendo los e!es n y
t mostrados se tiene.• La velocidad de & m's es
tangente a la trayectoria y
su dirección ser"
• or lo tanto en ) la
velocidad orma -/ con ele!e 0
1%20
1
10
2 === xdx
dy x y
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So&u!%'n• La aceleración se determina
aplicando la ecuación
• ara ello se determina el radio
de curvatura
2
ˆ ˆt n
dv va e e
dt ρ = +
"
2 "/ 2
2 2
2 "/ 2
#1 ( / ) $
/
#1 ( /10) $
1/10
2&2&
dy dx
d y d x
x
m
ρ
ρ
ρ
+=
+=
=
2
2
ˆ ˆ
'ˆ ˆ2
2&%"
ˆ ˆ2 1% 2
A t n
A t n
A t n
dv va e e
dt
a e e
a e e
ρ = +
= +
= +
"
"
"
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So&u!%'n• La magnitud y la dirección de la
aceleración ser"n
( ) ( )2 2 2
1
2 12"( 2"( /
2
tan )()1"2(
a m s
φ −
= + =
= = o
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E6em$&o
• $n carro de carreras 1 via!a alrededor de una pista
hori%ontal circular que tiene un radio de 23 m. Si elcarro incrementa su rapide% a ra%ón constante de (,#
m's( partiendo desde el reposo, determine el tiempo
necesario para alcan%ar una aceleración de (,- m's(.41u"l es su velocidad en ese instante.
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So&u!%'n• Se sabe que la aceleración
tangencial es constante e
igual a
• La aceleración normal ser"
• La aceleración total ser"
• La velocidad en este
instante ser"
2
0
2%1 /
0 2%1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t
=
= +
= +
2 22 2(2%1 ) 00*+ /
+0n
v t a t m s
ρ = = =
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ2%1 00*+
2%1 #00*+ $
2% * 2%1 #00*+ $
*%&
t t n
t n
va a e e
a e t e
a t
t
t
ρ = +
= +
= += +
=
"
"
21 102 /v t m s= =
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E6em$&o @
$na ca!a parte del reposo en )
e incrementa su rapide% ara%ón de at 3+t4 ms
y via!a a lo largo de la pista
hori%ontal mostrada. Determine
la magnitud y dirección de la
aceleración cuando pasa por 5
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E6em$&o @
La posición de la ca!a en
cualquier instante es S medidaa partir del punto i!o en ).
La velocidad en cualquierinstante se determina a partir de
la aceleración tangencial, esto
es
0 0
2
02 (1)
02
01 (2)
t
v t
a v t
dv tdt
v t
= =
=
=
∫ ∫
<
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E6em$&o @
ara determinar la velocidad en
5, primero es necesariodeterminar S 6 7t8, después
obtener el tiempo necesario
para que la ca!a llegue a 5. es
decir
De la geometría se tiene
sB 6 9 : (π 7(8'- 6 &.#-( m.
+ntonces tenemos2
2
0 0
"
01
01
0%0""" (")
S t
dsv t
dt
ds t dt
S t
= =
=
=
∫ ∫
"'%1*2 0% 0"""
%'+
t
t s
=
=
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E6em$&o @
;empla%ando el tiempo en las
ecuaciones 7#8 y 7(8 resulta
+n el punto 5 el radio de curvatura
es ρ 6 ( m, entonces la
aceleración ser"
La aceleración total ser"
Su modulo y dirección ser"n
2
2
( ) 02('+) 11"& /
01('+) "2"& /
B t B
B
a v m s
v m s
= = =
= =
<
22( ) 2*2 / B B n
B
va m s
ρ
= =
2
%ˆ ˆ
ˆ ˆ1%1"& % 2*2
B B t B t n
B t n
va a e e
a e e
ρ = +
= +
"
"
2 2 2
2
1%1"& #% 2*2$
% "' /
a
a m s
= +
=
1 2*2# $ % 1%1"&
tg θ −= = °
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E6em$&o
$na partícula se mueve en una trayectoria curva de
tal manera que en cierto instante tiene una velocidadv y una aceración a. Demuestre que el radio de
curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación
"
1 vxa
v ρ
=
" "
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E6em$&o Sabemos que la aceleración en
cualquier instante es
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E6em$&o• Pa"t%endo desde e& "e$oso( un )ote a
moto" %a6a a&"ededo" de unat"a0e!to"%a !%"!u&a" de "ad%o " m!on una e&o!%dad + Dete"m%ne &a
ma*n%tud de &a e&o!%dad 0 de &aa!e&e"a!%'n de& )ote en t = 3 s.
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E6em$&o• Un a%'n %a6a a &o
&a"*o de unat"a0e!to"%a $a"a)'&%!ae"t%!a& + En e&$unto A e& a%'n t%ene
una e&o!%dad de 200m/s &a !ua& se%n!"ementa a "a/'n de0,8 m/s2+ Dete"m%ne &a
ma*n%tud de &aa!e&e"a!%'n de& a%'n!uando $ase $o" A+
20%* y x=
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E6em$&o
• +l !ugador de béisbol lan%a una pelota con una
velocidad inicial de v 0 = 30 m/s a un "ngulo = 6 93/como se muestra en la igura. >allar el radio de
curvatura de la trayectoria? 7a8 inmediatamente
después del lan%amiento y 7b8 en el vértice. 1alcularen cada caso, la variación de celeridad por unidad de
tiempo.
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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOSPARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACI2N
>asta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una
partícula usando un marco de reerencia i!o.
Sin embargo, e0isten e!emplos en el que la trayectoria del
movimiento de una partícula es complicada, de modo que es m"s
actible anali%ar el movimiento en partes usando dos o m"s
marcos de reerencia.
or e!emplo, el movimiento de una partícula locali%ada en la hélice
de un avión , mientras éste est" en vuelo , es m"s "cil describirlosi observamos primero el movimiento del avión a partir de un
sistema de reerencia i!o y después se superpone vectorialmente
el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco
de reerencia móvil unido al aeroplano.
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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOSPARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACI2N
+n esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a
marcos de reerencia en traslación. +l an"lisis del movimientorelativo de partículas usando marcos de reerencia en rotación se
tratar" en el curso de Din"mica.
MOVIMIENTO RELATICO:
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MOVIMIENTO RELATICO:POSICI2N
• 1onsideremos dos partículas ) y 5
moviéndose en las trayectorias
mostradas
• Las posiciones absolutas de ) y 5
con respecto al observador i!o en
el marco de reerencia O@AB ser"n
•
+l observador 5 sólo e0perimentatraslación y se encuentra unidos al
sistema de reerencia móvil O0y%
• La posición relativa de ) con
respecto al observador 5 , es Ar OA=
uuu""
B
r OB= uuu""
/ A B A Br r r = +" " "
M % % t & t%
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Mo%m%ento "e&at%o:Ve&o!%dad
• Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene
/ A B A Bv v v= +" " "
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Mo%m%ento "e&at%o: A!e&e"a!%'n• Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene
/ A B A Ba a a= +" " "
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E6em$&o • $n tren C, via!ando a una velocidad constante de 23 m' h, cru%a
una carretera, como se muestra en la igura. Si el automóvil ) est"via!ando por la carretera con una velocidad de &E, m'h.
Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren
con respecto al auto.
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SOLUCI2N
• La velocidad relativa es medida
desde el observador ubicado en elauto al cual se le asocial el sistema
de reerencia O@FAF,
• 1omo las velocidades de C y ) son
conocidas, entonces la velocidadrelativa se obtiene de
/
/
/
+0 (' cos * 'sin * )
,*2" * ) /
T A T A
T A
T A
v v v
i i j v
v i j km h
= +
= + +
= −
o o
" " "
"G G G
"G G
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so&u!%'n
•
La ma*n%tud de &a e&o!%dad "e&at%ase"1
• La d%"e!!%'n de &a e&o!%dad• "e&at%a es
2 2 2
/ (*2" * ) '"& /T Av km h= + =
( )
( )
/
/
*tan*2"
*&*0
T A y
T A x
v
vθ
θ
= =
= o
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so&u!%'n• Dos aviones est"n volando hori%ontalmente a la misma elevación, como
se indica en la igura. +l avión ) est" volando en una trayectoria recta, y
en el instante mostrado desarrolla una velocidad de E33 m'h y unaaceleración de 3 m'h(. +l avión 5 est" volando en una trayectoria
curva circular de -33m de radio con una rapide% de &33 m'h y est"
decreciendo su rapide% a ra%ón de #33 m'h(. Determine la velocidad y
la aceleración relativa de 5 medida por el piloto )
So&u!%'n
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So&u!%'n• )l avión ) esta moviéndose
rectilíneamente y se asocia un
marco de reerencia móvil O0FyF.
• La velocidad relativa de 5 respecto
de ) es
• +l avión 5 tiene aceleración
normal y tangencial pues se
mueve en una curva.
•La aceleración normal ser"
• )plicando la ecuación para
determinar la aceleraciónrelativa se tiene
/
/
/
'00 00
100 / 100 /
B A B A
B A
B A
v v v
v
v km h km h
= +
= +
= − = ↓
( )2
2+00 / B B n
va km h
ρ = =
{ }
/
/
2
/
+00 100 0
+00 10 /
B A B A
B A
B A
a a ai j j a
a i j km h
= +− = +
= −
G G G
G G
So&u!%'n
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So&u!%'n• +n un determinado instante los
carros ) y 5 est"n via!ando con
velocidades de #Gm's y #(m's,
respectivamente. )dem"s en
dicho instante la velocidad de )
est" disminuyendo a ra%ón de
(m's( y 5 e0perimenta unincremento de su velocidad a
ra%ón de 9 m's(. Determine la
velocidad y la aceleración de 5
con respecto de )
So&u!%'n
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So&u!%'n• +l sistema de reerencia i!o est"
en tierra y el marco móvil en el
auto ). or tanto se tiene
• La dirección de la velocidad
relativa ser"
• La aceleración normal ser"
•La aceleración relativa ser"
• Su dirección ser"
( )
{ }
/
/
/
2 2
/
12 1&cos'0 1&sin '0
+ "&& /
+ "&& +'+ /
B A B A
B A
B A
B A
v v v
j i j v
v i j m s
v m s
= +
− = − − +
= +
= + =
o o
( )( )
/
/
"&&tan
+
21
B A y
B A x
v
vθ
θ
= =
= o
( )
2
21**0 / B B n va m s ρ = =
( ) ( ){ }
/
/
2
/
1**0 " 2cos '0 2sin '0
2**0 *"2 /
B A B A
B A
B A
a a a
i j i j a
a i j m s
= +
− − = + +
= − =
o o
2
/ "2 /
'2
B Aa m s
φ
=
= o
8/18/2019 Estatica Dinamica 2015-i Semana 11 Componentes Tangencial y Normal
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E6em$&o
• Los pasa!eros que via!an en el avión
) que vuela hori%ontalmente avelocidad constante de G33 m'h
observan un segundo avión 5 que
pasa por deba!o del primero
volando hori%ontalmente. )unque el
morro de 5 est" se*alando en la
dirección en la dirección
-/noreste, el avión 5 se presenta
a los pasa!eros de ) como
separ"ndose de éste ba!o el "ngulode &3/ representado. >alle la
velocidad verdadera de 5
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So&u!%'n• +l marco móvil est" asociado al
avión ) donde se eectHan las
observaciones relativas
• La velocidad de ) es conocida en
módulo y dirección, el "ngulo de&3/ de la velocidad relativa de 5
respecto de ) es conocido y la
velocidad verdadera de 5 tiene
una dirección de -/. +ntoncestenemos.
• )plicando estas ecuaciones en
la velocidad relativa se tiene
• ;esolviendo estas ecuacionesse obtiene
/ B A B Av v v= +" " "
ˆ(&00 ) /
ˆ ˆ# cos* * $
A
B B B
v i km h
v v i v sen j
=
= ° + °
"
"
"
/
/
ˆ :
cos * &00 cos '0
ˆ :
* '0
B B A
B B A
componente i
v v
componente j
v sen v sen
° = − °
° = °
/ &' / - 1 / B A Bv km h v km h= =