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Estatística e Probabilidade
Aula 05
Distribuições de Probabilidades
Prof. Gabriel Bádue
Motivação
• Quais os possíveis resultados que poderão ser obtidos no lançamento de
um dado não-viciado? Qual a probabilidade de se obter uma dessas
faces?
• E se o dado for viciado, de tal modo que a chance de obter a face três é
cinco vezes que a chance de se obter as demais faces?
TeoriaDefinições
Uma variável aleatória é uma variável que tem um valor numérico único para cada
resultado de um experimento. Podem ser discretas ou contínuas.
Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável
aleatória.1. 𝑃 𝑥 = 1, ∀𝑥
2. 0 ≤ 𝑃 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥
𝜇 = 𝑥𝑃(𝑥)
𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2𝑃(𝑥)
𝜎2 = 𝑥2𝑃(𝑥) − 𝜇2
Exemplo 1
Determine se é dada uma distribuição de
probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua
média, variância e desvio-padrão.
a) Ao escolher aleatoriamente um colega de sela
condenado por dirigir alcoolizado (DWI), a
distribuição de probabilidade do número x de
sentenças anteriores em casos de DWI é dada na
tabela a seguir.
Exemplo 1
Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Em
caso afirmativo, determine sua média, variância e desvio-
padrão.
b) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem
distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com
números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a
distribuição de probabilidade do número x de mulheres
contratadas.
Exemplo 2
Ao apostar em um cassino R$5,00 no número 7 da roleta, tem-se uma
probabilidade de 1/38 de ganhar R$175,00 e uma probabilidade de 37/38 de
perder R$5,00. Qual é o valor esperado? Em um número muito grande de
apostas, quanto se perde para cada dólar apostado?
Exemplo 3
Verifique se a função a seguir é uma distribuição de probabilidade.
𝑃 𝑥 =1
2
𝑥, onde 𝑥 = 1, 2, 3, …
Teoria
Um experimento é chamado de binomial se satisfaz as
seguintes condições:
Comporta um número fixo de provas.
As provas são independentes.
Os resultados de cada prova são classificados entre duas
categorias.
As probabilidades devem permanecer constantes para
cada prova.
TeoriaSendo 𝑆 e 𝐹 a representação das duas possíveis categorias:
𝑃 𝑆 = 𝑝
𝑃 𝐹 = 1 − 𝑝 = 𝑞
onde, 𝑝 e 𝑞 representam as probabilidades de ocorrer 𝑆 e 𝐹 .
𝑛: número fixo de provas.
𝑥: número de sucessos em 𝑛 provas.
𝑝: probabilidade de sucesso em uma das 𝑛 provas.
𝑞: probabilidade de falha em uma das 𝑛 provas.
𝑃 𝑥 : a probabilidade de ter 𝑥 sucessos em 𝑛 provas.
Teoria
𝑃 𝑥 =𝑛!
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
Caso 1Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.
Caso 2Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.
Teoria
𝜇 = 𝑛𝑝
𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞
Caso 1Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.
Caso 2Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.
Exemplo 4
Suponha que os nascimentos de menino e menina sejam igualmente prováveis
e que o nascimento de qualquer criança não afete a probabilidade do sexo do
próximo nascituro. Determine a probabilidade de:
a) Exatamente 4 meninas em 10 nascimentos.
b) Ao menos 4 meninas em 10 nascimentos.
c) Exatamente 8 meninas em 20 nascimentos.
Exemplo 5
Vários estudantes não estão preparados para um teste do tipo V ou F com 25
questões, e todos eles decidem responder “por palpite”. Determine a média e o
desvio-padrão do número de respostas corretas para cada estudante.