Estimación por intervalos

Estimación por intervalos para

la media poblacional

2

/2 /2( ) 1P x z x zn n

con (varianza poblacional) conocida

con (varianza poblacional) desconocida

Si n 30 se reemplaza por S y usamos el

intervalo anterior, para muestras grandes

/2 /2( ) 1S S

P x Z x zn n

Intervalo de confianza para la media con

varianza poblacional desconocida y

n<30

Si la población base es normal, la varianza es

desconocida y el tamaño de la muestra menor que 30,

la media muestral tiene distribución T con n-1 grados de

libertad

/2, 1 /2, 1( ) 1

n nP t T t

/2, 1 /2, 1( ) 1

n n

xP t t

S

n

/2, 1 /2, 1( ) 1

n n

S SP x t x t

n n

Tamaño de la muestra Se toma una muestra piloto, se calcula S y se la

utiliza como estimación de Ejemplo: En un estudio hecho para determinar el

tiempo medio necesario para el montaje de cierta

pieza de una máquina, 25 trabajadores hicieron un

promedio de 42,5 minutos y una varianza de 4,1

minutos. Si los tiempos de los trabajadores se

distribuyen normalmente, estimar el tiempo

promedio necesario para el montaje de la máquina

al nivel del 99%

41,367 43,63 0,005;24

2,797t

Intervalo de confianza para la

varianza poblacional

Para estimar la varianza poblacional,

usamos la varianza muestral 2

2 1

1

n

i

i

x x

Sn

Si bien comprobamos que es un estimador insesgado de

S no es un estimador insesgado de la dispersión

poblacional, pero para muestras grandes, el sesgo es

pequeño y es muy común hacer esa estimación.

2

Usaremos la variable aleatoria con

distribución Ji- cuadrado y n-1 grados

de libertad:

2

2

2

1n S

gl=2

gl=3

gl=4gl=5

0 2 Chi2 6 8

Extremos del intervalo para la

varianza poblacional

2 2 2

1 /2; 1 /2; 1n nP

2

2 2

1 /2; 1 /2; 12

1n n

n SP

2

2

1 /2; 1 2

1n

n S

2

2

/2; 12

1n

n S

2

2

2

1 /2; 1

1

n

n S

2

2

2

/2; 1

1

n

n S

2 2

2

2 2

/2; 1 1 /2; 1

1 11

n n

n S n SP

Suponiendo una confiabilidad del 90%

para n = 7 , se ubican los valores de la

tabla en la gráfica

Tabla de Ji-Cuadrado

Construir el intervalo de confianza

con esos datos, si la varianza

muestral es de 4,1

21,952 15

2 2

2

2 2

/2; 1 1 /2; 1

1 11

n n

n S n SP

2

2

/2; 1

1 6.4,11,952

12,6n

n S

2

2

1 /2; 1

1 6.4,115

1,64n

n S

Ejemplo

De 70 cables producidos por una compañía se

obtuvo una resistencia media a la tracción de

1,5 toneladas con una dispersión de 45 kg.

Estimar la dispersión de todos los cables

producidos por la compañía utilizando un

nivel de confianza de 0,95.

38,34 53,53

Intervalo de confianza sobre una

proporción

Si se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño n de una gran población (posiblemente infinita),

donde X observaciones en esta muestra pertenecen a la clase de interés.

ˆX

pn

Es el estimador puntual de la proporción

poblacional.

Es binomial, de parámetros n y p

La distribución de muestreo de es

aproximadamente normal con esperanza p y

varianza con p no cerca de 0 y 1.

Demostrarlo.

p̂

1p p

n

Para n tendiendo a infinito,

intervalo de confianza para p

La distribución de es aproximadamente normal estándar.

ˆ

ˆ ˆ1

p pz

p p

n

/2 /2 1P z Z z

/2 /2

ˆ1

ˆ ˆ1

p pP z z

p p

n

/2 /2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ 1

p p p pP p z p p z

n n

Ejemplo

En una muestra aleatoria de 75 ejes de árbol, 12 tienen un acabado superficial que es más rugoso

que lo permitido por las especificaciones. Una estimación puntual de la proporción de los ejes en la población que excede las especificaciones de

rugosidad es

12ˆ 0,16

75

Xp

n

Construir un intervalo de confianza para p utilizando

una confiabilidad del 95%

0,077 0,243p

Pruebas de Hipótesis

Una prueba de hipótesis es una técnica de Inferencia

Estadística que permite comprobar si la

información que proporciona una muestra

observada concuerda (o no) con la hipótesis

estadística formulada y, por lo tanto, decidir si se

debe aceptar o rechazar dicha hipótesis.

Introducción • Ejemplos:

un investigador que pretende demostrar que la droga A es más efectiva para el tratamiento de cierta enfermedad que la droga B;

cuando un psicólogo desea comprobar si cierto formato de instrucción incrementará la eficiencia en el aprendizajes;

cuando un ingeniero agrónomo desea comprobar si una nueva distancia de siembra entre surcos, para un cultivo, produce mejores rendimientos que las distancias que se usaban comúnmente en la zona;

cuando el jefe de marketing asegura que determinado producto es aceptado por el 60% de la población consumidora, etc.

• En cada uno de los casos anteriores el responsable del estudio postula o conjetura algo acerca de un sistema.

• Se puede decir que se llaman decisiones estadísticas a las decisiones que deben tomarse con respecto a las poblaciones a partir de una información obtenida de una muestra de las mismas.

Hipótesis Estadística es cualquier afirmación o conjetura sobre una

o varias características de interés de la

población.

Paramétrica

No Paramétrica

:

Es una afirmación sobre

alguna característica

estadística de la población

en estudio.

Por ejemplo, las

observaciones son

independientes, la

distribución de la variable en

estudio es normal, la

distribución es simétrica, etc.

Es una afirmación sobre los valores de

los parámetros poblacionales

desconocidos.

Simple

la hipótesis

asigna valores

únicos a los

parámetros

Compuesta

la hipótesis

asigna un rango

de valores a los

parámetros

Identificación de las Hipótesis

Estadísticas Paramétricas

Hipótesis nula Ho

– Se plantea con el parámetro de interés usando alguno de los

símbolos

– La probabilidad de rechazar Ho es muy baja,

y se llama nivel de significación

porque Ho es la hipótesis que se considera cierta.

Hipótesis Alternativa H1

– Es contraria a la hipótesis nula. (Niega a H0). Se plantea usando

según el caso respectivo al planteo de Ho.

– Está muy relacionada con la hipótesis de investigación,

es coherente con los resultados obtenidos en la

muestra

La probabilidad de aceptación de H1 es

:H

:H

1

0

, ,

, >,<

Ejemplo 20 20

Observaciones

• El propósito de cualquier prueba de hipótesis es decidir cual hipótesis sería rechazada o cuál ha sido aceptada.

• Cualquier decisión estará basada sobre información parcial de una población, contenida en una muestra, por lo que habrá siempre una posibilidad de una decisión incorrecta.

• La siguiente tabla resume cuatro posibles situaciones que pueden surgir en un test de hipótesis.

Verdadero estado de la población

Decisión posible H0 es cierta H1 es cierta

Se rechazo H0 Error de tipo I Decisión correcta

No se rechaza H0

Decisión correcta Error de tipo II

Esquema para realizar una prueba

de hipótesis

Etapas:

1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa

2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema).

3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba para la determinación de la región crítica con el alfa dado y la búsqueda en tabla del valor crítico.

4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico.

5) Comparación de valores.

6) Exposición de las conclusiones

Contrastes: unilateral y bilateral

La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa

Unilateral Unilateral

Bilateral

H1: <20 H1: >20

H1: 20

20

20 20

Prueba para la media

Ejemplo:

Un establecimiento tambero tiene una producción media diaria de 25,8 (lt en miles). El gerente del establecimiento pretende modificar ciertas maquinarias con el objetivo de

aumentar la producción. Se sabe que la dispersión general es de 0,3 (lt en miles) y no se espera que ese valor cambie con las modificaciones. Se desea probar, con un nivel de significación del 1 %, que la producción promedio no está afectada por el cambio. Para esto, se toma una muestra de 19 observaciones y se encuentra que la nueva media es de

26,1 (lt en miles).