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ING. DE MAT
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SESIN
2
Estructuras Cristalinas
y
Amorfas en los Materiales
3-1
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OBJETIVO DE APRENDIZAJE
1. Describir a los materiales cristalinos y no cristalinos (amorfos).
2. Conocer la disposicin de los tomos y iones de los slidos en el espacio e
identificar los principales bloques componentes de los slidos.
3. Describir la diferencia entre estructura atmica y estructura cristalina para los
materiales slidos.
4. Distinguir la estructura cristalina del sistema cristalino.
5. Explicar por qu los plsticos no pueden tener una estructura 100% cristalina.
6. Explicar el polimorfismo y la alotropa en materiales.
7. Calcular las densidades de los metales que tienen estructuras cbicas centradas en el
cuerpo y en las caras.
8. Describir cmo aplicar el mtodo de difraccin de los rayos X para la caracterizacin
de los materiales.
9. Escribir la nomenclatura para la posicin de los tomos, ndices de direccin e
ndices de Miller para los cristales cbicos; especificar las tres estructuras densamente
empaquetadas para la mayora de los metales; determinar los ndices de Miller-Bravais
para la estructura empaquetada hexagonal cerrada, y trazar direcciones y planos en los
cristales cbicos y hexagonales.
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LAS REDES ESPACIALES Y LA CELDA UNITARIA
Los tomos, dispuestos en patrones repetitivos
tridimensionales, en orden largo de enlace (OLA)
forman una estructura cristalina.
Las propiedades de los slidos dependen de la
estructura cristalina y fuerzas de enlace.
Una red imaginaria de lneas, con tomos en los puntos
de interseccin de las lneas, que representa la
disposicin de los tomos se llama red espacial.
Celda Unitaria
Red espacial La celda unitaria es un grupo de tomos
que se repite para formar una
red espacial.
3-2
Los materiales dispuestos en
orden de corto alcance se llaman
Materiales amorfos
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Sistemas Cristalinos y Redes de Bravais
Solo siete tipos diferentes de celdas
unitarias se necesitan para crear todas las
redes.
De acuerdo a Bravais (1811-1863) catorce
celdas unitarias estndar pueden
describir todas las redes posibles.
Los cuatro tipos bsicos de celdas
unitarias son:
Sencilla
Centrada en el cuerpo
Centrada en las caras
Centrada en las bases.
3-3
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Tipos de Celdas Unitarias
Celda Unitaria Cbica
a = b = c
= = = 900
Tetragonal
a =b c
= = = 900
Sencilla Centrada en el cuerpo
Centrada en las caras
Sencilla Centrada en el cuerpo
3-4
Figura 3.2
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Tipos de Celdas Unitarias (Cont..)
Ortorrmbicas
a b c
= = = 900
Rombodrico
a =b = c
= = 900
Sencilla Centrada en la base
Centrada en las caras
Centrada en el cuerpo
Sencilla
3-5
Figura 3.2
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Tipos de Celdas Unitarias (Cont..)
Hexagonal
a b c
= = = 900
Monoclnico
a b c
= = = 900
Triclnico
a b c
= = = 900
Sencilla
Sencilla
Sencilla
Centrada
en la base
3-6
Figura 3.2
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Principales Estructuras Cristalinas Metlicas
90% de los metales tienen estructuras cristalinas Cbica
Centrada en el Cuerpo (BCC), Cbica Centrada en las
Caras (FCC) o Hexagonal Compacta (HCP).
HCP es la versin ms densa de la estructura hexagonal
simple.
Estructura BCC Estructura FCC Estructura HCP
3-7
Figura 3.3
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Estructura Cristalina Cbica Centrada en el Cuerpo (BCC)
Representada con un tomo en cada esquina del cubo y
una en el centro del cubo.
Cada tomo tiene 8 vecinos ms prximos.
Por tanto, el nmero de coordinacin es 8.
Ejemplos:-
Cromo (a=0.289 nm)
Hierro (a=0.287 nm)
Sodio (a=0.429 nm)
3-8
Figura 3.4 a&b
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Estructura Cristalina BCC (Cont..)
Cada celda unitaria tiene ocho 1/8
de tomo en las esquinas y 1
tom completo en el centro.
Por tanto cada celda unitaria tiene
Los toms entran en contacto entre
s a lo largo de la diagonal del cubo
(8x1/8 ) + 1 = 2 tomos
3
4RPor tanto, la constnatede red a =
3-9
Figura 3.5
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EJERCICO 1
El hierro a 20C es BCC con tomos con un
radio atmico de 0.124. Calcule la
constante de red apara el vrtice del cubo de
la celda unitaria de hierro.
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SOLUCIN EJERCICIO 1
En la figura se observa que los tomos que
estn en la celda unitaria BCC se tocan a
travs de las diagonales del cubo. Por tanto,
si a es la longitud del vrtice del cubo,
entonces
Donde R es el radio del tomo de hierro.
Por consiguiente
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Factor de Empaquetamiento Atmico de la Estructura BCC
Factor de Empaquetamiento Atmico= Volumen de los tomos en la celda unitaria
Volumen de la celda unitaria
Vtomos = = 8.373R3
3
3
4
R= 12.32 R3
Por tanto APF = 8.723 R3
12.32 R3= 0.68
V celda unitaria= a3 =
3
4.2
3R
3-10
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EJERCICIO 2
Calcule el factor de empaquetamiento
atmico (APF) para la celda unitaria BCC,
considerando a los tomos como esferas
rgidas.
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SOLUCIN EJERCICIO 2
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SOLUCIN EJERCICIO 2 (cont.)
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Estructura cristalina cbica centrada en las caras (FCC)
La estructura FCC se representa con un tomo en cada
esquina del cubo y en el centro de cada cara del cubo.
El nmero de coordinacin para la estructura FCC es 12
El Factor de Empaquetamiento Atmico es 0.74
Ejemplos:-
Aluminio (a = 0.405)
Oro (a = 0.408)
3-11
Figura 3.6 a&b
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Estructura Cristalina FCC (Cont..)
Cada celda unitaria tiene ocho 1/8
de tomo en las esquinas y seis
tomos en el centro de las seis
caras.
Por tanto cada celda unitaria tiene:
Los tomos entran en contacto
entre s a lo largo de la cara de los
diagonales.
(8 x 1/8)+ (6 x ) = 4 tomos
2
4RPor tanto, la constante
de red a =
3-12
Figura 3.7
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Estructura Cristalina Hexagonal Compacta
La estructura HCP se representa con un tomo en
cada una de las 12 esquinas del prisma hexagonal, 2
tomos en la cara superior e inferior y 3 tomos entre
las caras superior e inferior.
Los tomos logran un mayor APF alcanzando una
estructura HCP que la estructura simple hexagonal.
El nmero de coordinacin es 12, APF = 0.74.
3-13
Figura 3.8 a&b
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Estructura Cristalina HCP (Cont..)
Cada tomo tiene seis 1/6 de tomo en cada una de las
capas superior e inferior, dos medios tomos en la capa
superior e inferior y 3 tomos completos en la capa
media.
Por tanto cada celda unitaria HCP tiene:
Ejemplos:- Zinc (a = 0.2665 nm, c/a = 1.85)
Cobalto (a = 0.2507 nm, c/a = 1.62)
La relacin c/a ideal es 1.633.
(2 x 6 x 1/6) + (2 x ) + 3 = 6 tomos
3-14
Figura 3.8 c
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EJERCICIO 3
Calcule el volumen de la celda unitaria de la
estructura cristalina del zinc con los datos
siguientes: el zinc puro tiene una estructura
cristalina HCP con unas constantes de red a=
0.2665 nm y c= 0.4947 nm.
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SOLUCIN EJERCICIO 3
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Posiciones del tomo en Celdas Unitarias Cbicas
Se usa el Sistema de Coordenadas Cartesianas para
ubicar a los tomos.
En una celda unitaria cbica
eje y es la direccin a la derecha del papel.
eje x es la direccin situada hacia afuera del papel.
eje z es la direccin situada hacia arriba del papel.
Las Direcciones Negativas son las opuestas de las
direcciones positivas.
Las posiciones de los tomos
se localizan mediante distancias
unitarias a lo largo de los ejes.
3-15
Figura 3.10 b
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Direcciones en las Celdas Unitarias Cbicas
En los cristales cbicos, los ndices de Direccin son
componentes de los vectores de direcciones resueltas a
lo largo de cada eje, resuelta hasta los enteros ms
pequeos.
Los ndices de direccin son coordenadas de posicin de
la celda unitaria donde el vector direccin sale de la
superficie de la celda, convertida a enteros.
3-16
Figura 3.11
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Procedimiento para encontrar los Indices de Direccin
(0,0,0)
(1,1/2,1)
zTrazar el vector de direccin hasta
que salga de la celda cbica
Determinar las coordenadas del punto
de salida y origen
Restar las coordenadas del punto de
salida de las de origen
(1,1/2,1) - (0,0,0)
= (1,1/2,1)
Son todos
enteros?
Convertirlas al
entero ms pequeo
posible multiplicndolo
por un entero.
2 x (1,1/2,1)
= (2,1,2)
Hay alguna direccin
negativa de los vectores?
Representar los ndices en corchetes
sin comas con ndice
negativo encima (Eg: [121])
Representar los ndice en
corchetes sin comas (Eg: [212] )
Los ndices de direccin son [212]
x
y
S
NO
SNO
3-17
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EJERCICIO 4
Dibuje los siguientes vectores de direccin
en celdas unitarias cbicas.
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SOLUCIN EJERCICIO 4
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EJERCICIO 5
Determine los ndices de direccin de la
direccin del cubomostrada en la figura
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SOLUCIN EJERCICIO 5
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EJERCICIO 6
Determinar los ndices de direccin del vector dado.
Coordenadas de origen (3/4 , 0 , 1/4).
Coordenadas de salida (1/4, 1/2, 1/2).
3-18
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SOLUCIN - EJERCICIO 6
Resta las coordenadas de origen de las coordenadas de salida,
(3/4 , 0 , 1/4) - (1/4, 1/2, 1/2)
= (-1/2, 1/2, 1/4)
Multiplica por 4 para convertir todas las
fracciones a enteros
4 x (-1/2, 1/2, 1/4) = (-2, 2, 1)
Por tanto, los ndices de direccin son [ 2 2 1 ]
3-18
Figura EP3.6
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SOLUCIN - EJERCICIO 6
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Indices de Miller
Se usan los ndices de Miller para referirse a planos
reticulares especficos de los tomos.
Son recprocos de las fracciones de interseccin (con
fracciones simplificadas) que el plano presenta con los
ejes cristalogrficos x, y y z de las tres aristas no
paralelas de la celda unitaria cbica.
z
x
y
Indices de Miller =(111)
3-19
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Indices de Miller - Procedimiento
Eligir un plano que no pase
por el origen de coordenadas
Determinar las intersecciones del plano
en x,y and z
Obtener el recproco de las intersecciones
Fracciones?Simplificar fracciones
multiplicndolo por un
entero para determinar el
conjunto ms pequeo de todos
los nmeros
Encerrar en parntesis (hkl) donde h,k,l
son los indices de Miller de un plano cristalino
cbico para los ejes x,y,z . Ej: (111)
Colocar una barra encima
de los ndices negativos
3-20
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Indices de Miller - Ejemplos
Las intersecciones del plano en
los ejes x,y & z son 1, e
Los recprocos son (1,0,0).
Los ndices de Miller son (100).
*******************
Las intersecciones son 1/3, 2/3
& 1.
Los recprocos son (3, 3/2, 1).
Multiplicando por 2 para
simplificar las fracciones, se
obtiene (6,3,2).
Los ndices de Miller son (632).
xx
y
z
(100)
3-21
Figura 3.14
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EJERCICIO 7
Dibuje los siguientes planos cristalogrficos en
una celda unitaria cbica:
3-22
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SOLUCIN - EJERCICIO 7a
Dibujar el plano (101)
Obtener los recprocos de los
ndices: (1 1).
Las intersecciones del plano
son: x=1, y= (paralelo a y) y
z=1.
3-22
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SOLUCIN - EJERCICIO 7b
Dibujar el plane (110)
Los recprocos son (1,-1, )
Las intersecciones son x=1, y=-1, z= (paralelo a eje z)
Para mostrar en este plano una celda
unitaria simple, el origen se mueve
a lo largo de la direccin positiva del
eje y en 1 unidad.
3-23
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SOLUCIN - EJERCICIO 7c
Dibujar el plano (2 2 1)
Obtener los recprocos de los
ndices: (1/2 1/2 1).
Las intersecciones del plano son
x=1/2, y= 1/2, z=1.
3-22
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SOLUCIN - EJERCICIO 7d
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Indices de Miller Relacin Importante
Los ndices de direccin de una direccin perpendicular a
un plano cristalino son lo mismo que los ndices de miller del
plano.
Ejemplo:-
El espaciado interplanar entre dos planos paralelos ms
cercanos con los mismos ndices de miller est dado por:
[110](110)
x
y
z
lkhd
a
hkl222
3-24
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EJEMPLO 8
Determine los ndices de Miller del plano
cristalogrfico cbico mostrado en la
figura
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SOLUCIN EJERCICIO 8
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EJERCICIO 9
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SOLUCIN - EJERCICIO 9
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EJERCICIO 10
El cobre tiene una estructura cristalina FCC
y una celda unitaria con una constante de
red de 0.361 nm. Cul es el espaciado
interplanar d220?
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SOLUCIN - EJERCICIO 10
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Planos y Direcciones en Celdas Unitarias Hexagonales
Se usan cuatro ndices (hkil) que se llaman ndices de
Miller-Bravais.
Se usan cuatro ejes (a1, a2, a3 y c).
Los recprocos de las intersecciones que un plano
cristalino determina con los ejes a1, a2, a3 y c dan los
ndices h,k,i y l respectivamente.
3-25
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Hexagonal Unit Cell - Examples
Planos Basales:-
Intersecciones a1 =
a2 =
a3 =
c = 1
(hkli) = (0001)
Planos de Prisma :-
Para el plano ABCD,
Intersecciones a1 = 1
a2 =
a3 = -1
c =
(hkli) = (1010)
3-26
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Direcciones en las Celdas Unitarias HCP
Se indica por 4 ndices [uvtw].
u,v,t ,w son vectores de la red en las direcciones a1, a2, a3, c
respectivamente.
Ejemplo:-
Para las direcciones a1, a2, a3, los ndices de direccin
[ 2 1 1 0], [1 2 1 0] y [ 1 1 2 0] respectivamente
3-27
Figure 3.18 d&e
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Comparacin de los cristales FCC y HCP
FCC y HCP son compactas y tienen APF 0.74.
El cristal FCC es compacto en el plano (111)
mientras que HCP es compacto en el plano
(0001).
3-28 After W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, & J. Wulff, The Structure and Properties of Materials, vol. I: Structure, Wiley, 1964, p.51.)
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Diferencia Estructural entre HCP y FCC
Considere una capa
de tomos (Plano A)
Otra capa (plano B)
de tomos se sita en el
hueco a del plano A
Tercera capa de tomos situada
en los huecos b del plano B. (idntico
al plano A.) cristal HCP.
Tercera capa de tomos situada
en los huecos a del plano B., que resulta
en 3er Plano C. Cristal FCC
Plano Aa hueco
b hueco
Plano A
Plano B
a hueco
b hueco
Plano A
Plano B
Plano A
Plano A
Plano B
Plano C
3-29
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Densidad Volumtrica
Densidad volumtrica del metal =
vMasa / Celda Unitaria
Volumen / Celda Unitaria
=
3-30
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EJERCICIO 11
El cobre tiene una estructura cristalina FCC
y un radio atmico de 0.1278 nm.
Considerando a los tomos como esferas
rgidas que se tocan entre s a lo largo de la
diagonal de la celda unitaria FCC como se
muestraen la figura, calcule el valor
terico de la densidad del cobre en
megagramos por metro cbico. La masa
atmica del cobre es de 63.54 g/mol.
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EJERCICIO 11
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SOLUCIN - EJERCICIO 11
Densidad volumtrica del metal =
El Cobre (FCC) tiene masa atmica de 63.54 g/mol y
radio atmico de 0.1278 nm.
vMass/Unit cell
Volume/Unit cell=
a=2
4R=
2
1278.04 nm= 0.361 nm
Volumen de la celda unitaria = V= a3 = (0.361nm)3 = 4.7 x 10-29 m3
v
La celda unitaria FCC tiene 4 tomos.
Masa de la celda unitaria = m =
g
Mg
molatmos
molgatmos 6
23
10
/107.4
)/54.63)(4(= 4.22 x 10-28 Mg
33329
28
98.898.8
107.4
1022.4
cm
g
m
Mg
m
Mg
V
m
3-30
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Densidad Atmica Planar
Densidad Atmica Planar=
p =
Nmero equivalente de tomos cuyos
centros se cortan por el rea seleccionada
rea seleccionada
3-31
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EJERCICIO 12
Calcule la densidad atmica planar p en el
plano (110) de la red BCC del hierro a en
tomos por milmetro cuadrado. La
constante de red del hierro a es 0.287 nm.
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SOLUCIN - EJERCICIO 12
Densidad Atmica Planar=
En el Hierro (BCC, a=0.287), El plano (100) interseca el
centro de 5 tomos (Cuatro y 1 tomo completo).
Nmero equivalente de tomos= (4 x ) + 1 = 2 tomos
rea del plano 110 =
p=
Nmero equivalente de tomos cuyos
centros se cortan por el rea seleccionada
rea seleccionada
222 aaa
p 2287.02
2=
2
13
2
1072.12.17
mm
tomos
nm
3-31
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Densidad Atmica Lineal
Densidad Atmica Lineal=
l
=
Nmero de dimetros atmicos
cortados por la longitud seleccionada
de la lnea en la direccin de inters
longitud seleccionada de la lnea
3-32
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EJERCICIO 13
Calcule la densidad atmica lineal l en la
direccin [110] de la red cristalina de cobre
en tomos por milmetro. El cobre es FCC y
tiene una constante de red de 0.361 nm.
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SOLUCIN - EJERCICIO 13
Densidad Atmica Lineal=
Para una cristal de cobre FCC (a=0.361), la direccin [110]
interseca 2 medios dimetros y 1 dimetro completo.
Por tanto, corta + + 1 = 2 dimetros atmicos.
Longitud de Lnea=
l
=
Nmero de dimetros atmicos
cortados por la longitud seleccionada
de la lnea en la direccin de inters
longitud seleccionada de la lnea
mm
atoms
nm
atoms
nm
atoms 61092.392.3
361.02
2
l
nm361.02
3-32
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Polimorfismo o Alotropa
Los metales existen en ms de una forma cristalina. A
esto se le llama polimorfismo o alotropa.
La temperatura y la presin conduce al cambio en las
formas cristalinas.
Ejemplo:- El Hierro existe en las formas BCC y FCC
dependiendo de la temperatura.
-2730C 9120C 13940C 15390C
Hierro
BCC
Hierro
FCC
Hierro
BCC
Hierro
Lquido
3-33
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EJERCICIO 14
Calcule el cambio de volumen terico que
acompaa a la transformacin alotrpica en
un metal puro desde la estructura FCC a
BCC. Considere el modelo de esferas
rgidas y que no existe cambio de volumen
atmico antes y despus de la
transformacin.
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SOLUCIN - EJERCICIO 14
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SOLUCIN - EJERCICIO 14
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SOLUCIN - EJERCICIO 14
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SOLUCIN - EJERCICIO 14
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Anlisis de las Estructuras Cristalinas
El conocimiento actual de las estructuras cristalinas se
ha obtenido por latcnica de difraccin de rayos X.
Los rayos X que se usan tienen aproximadamente la
misma longitud de onda (0.05-0.25 nm) que la distancia
entre los planos de la red cristalina
35 KV
(Ej:
Molibdeno
3-34
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Espectro de Rayos X del Molibdeno
El espectro de Rayos X-del Molibdeno se obtiene cuando se usa el Molibdeno como blanco.
K y K son caractersticas de este elemento.
Para el Molibdeno, el K ocurre a una longitud de onda aproximada de 0.07nm.
Los electrones de la capa n=1 del blanco son expulsados por el bombardeo con electrones.
Los electrones de niveles superiores caen emitiendo energapara reemplazar a los electrones perdidos.
3-35
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Difraccin de Rayos X
Los planos cristalinos del blanco actan como espejos
reflejando el haz de rayos X.
Si los rayos dejan a un conjunto
de planos fuera de fase (con un
ngulo de incidencia aritrario)
no se producir reforzamiento del
haz.
Si los rayos reflejados estn en
fase, se produce un reforzamiento.
del haz.
3-36
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Difraccin de Rayos X (Cont..)
Para que los rayos reflejados de diferentes planos esten
en fase, la distancia adicional que viaja un rayo debe
ser un mltiplo entero de longitud de onda .
n = MP + PN (n = 1,2)
n es orden de difraccin
Si dhkl es la distancia interplanar
Entonces MP = PN = dhkl.Sen
Por tanto, = 2 dhkl.Sen
3-37
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EJERCICIO 15
Una muestra de hierro BCC se coloca en un
difractmetro de rayos X utilizando rayos X
incidentes de longitud de onda de l = 0.1541
nm. La difraccin a partir de los planos
{110} se obtiene a 2= 44.704. Calcule el
valor de la constante de red a para el
hierro BCC. (Suponga un orden de
difraccin de n =1.)
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SOLUCIN - EJERCICIO 15
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SOLUCIN - EJERCICIO 15
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Interpretacin de los Datos de Difraccin
Se sabe que
2
22222
222
222
4
2
2
a
lkhSen
lkh
aSen
dSen
lkh
ad hkl
y
Observe que la Longitud de onda y la constante de red a son la
misma para la radiacin de entrada y salida.
Substituyendo d,
Por tanto
3-38
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Interpretacin de los Datos de Difraccin(Cont..)
Para los planos A y B obtenemos dos ecuaciones:
2
22222
2
22222
4
)(
4
)(
a
lkhSen
a
lkhSen
BBBB
AAAA
(Para el plano A)
(Para el plano B)
Dividiendo, se obtiene
)(
)(
222
222
2
2
BBB
AAA
B
A
lkh
lkh
Sin
Sin
3-39
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Anlisis de Difraccin de Rayos X
Mtodo de Polvo se usa para el anlisis de difraccin de Rayos
X debido a que la orientacin aleatoria facilita diferentes
ngulos de incidencia.
El contador de radiacin detecta ngulo e intensidad of haz
difractado.
3-40
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Condicin de Difraccin para Celdas Cbicas
Para la estructura BCC, la difraccin ocurre solo en planos
cuyos ndices de Miller sumados hacen un nmero par.
I.e. (h+k+l) = par Presencia de Reflecciones
(h+k+l) = impar Ausencia de Reflecciones
Para la estructura FCC, la difraccin ocurre solo en planos
cuyos ndices de Miller son todos pares o impares.
I.e. (h,k,l) todos pares Presencia de Reflecciones
(h,k,l) todos impares Presencia de Reflecciones
(h,k,l) no todos pares o impares Ausencia de Reflecciones.
3-41
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Interpretando Datos Experimentales
Para los cristales BCC, los primeros dos conjuntos de
planos difractantes son los planos {110} y {200}.
Por tanto
Para los cristales FCC, los primeros dos conjuntos de
planos difractantes son los planos {111} y {200}
Por tanto
5.0
)002(
)011(
222
222
2
2
B
A
Sin
Sin
75.0
)002(
)111(
222
222
2
2
B
A
Sin
Sin
3-42
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EJERCICIO 16
El difractograma de un elemento que tiene
estructura cbica BCC o FCC presenta picos de
difraccin en los ngulos 2 siguientes: 40, 58,
73, 86.8, 100.4 y 114.7. La longitud de onda de
los rayos X incidentes utilizados es de 0.154
nm.
a) Determine la estructura cbica del elemento.
b) Determine la constante de red del elemento.
c) Identifique al elemento.
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SOLUCIN - EJERCICIO 16
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SOLUCIN - EJERCICIO 16
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SOLUCIN - EJERCICIO 16
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Estructura Cristalina de un Metal Desconocido
Metal
Desconocido
Anlisis
Cristalogrfico
Estructura
Cristalina
FCC
Estructura
Cristalina
BCC
75.02
2
B
A
Sin
Sin
5.0
2
2
B
A
Sin
Sin
3-43
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Materiales Amorfos
Posiciones espaciales aleatorias de los tomos
Polmeros: Los enlaces secundarios no permiten la
formacin de cadenas paralelas y empaquetadas
fuertemente durante la solidificacin.
Los polmeros pueden ser semicristalinos.
El vidrio es un cermico hecho de SiO44-
tetraedros movilidad limitada.
Rpido enfriamiento de metales (10 8 K/s) puede
crear una estructura amorfa (vidrio metlico).
El vidrio metlico tienen propiedades metlicas
superiores.
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CHECKLIST DE APRENDIZAJE
Amorfo
Cristalino
Estructura cristalina
Red cristalina
Punto reticular
Celda unitaria
Patrn
Celda unitaria cbica centrada en el
cuerpo BCC
Celda unitaria cbica centrada en las
caras FCC
Celda unitaria hexagonal compacta
(HCP)
Factor de empaquetamiento
atmico APF:
ndices de direccin en un cristal
cbico
ndices para los planos de un
cristal cbico ndices de Miller
Densidad volumtrica
Densidad planar
Densidad linear
Polimorfismo (referente a metales):
Semicristalinos
Vidrio metlico
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ACTIVIDADES
1. El niobio a 20C es BCC y tiene un radio atmico de 0. 143 nm. Calcule el
valor de su constante de red a en nanmetros.
2. El sodio a 20C es BCC y tiene una constante de red de 0 .42906 nm.
Calcule el valor del radio atmico de un tomo de sodio en nanmetros.
3. El oro es FCC y tiene una constante de red de 0.40788 nm. Calcule el valor
del radio atmico de un tomo de oro en nanmetros.
4. El paladio es FCC y tiene un radio atmico de 0.137 nm. Calcule el valor
para su constante de red a en nanmetros.
5. Calcule el volumen en nanmetros cbicos de la celda unitaria de la
estructura cristalina del titanio. El titanio es HCP a 20C con a = 0.29504 nm
y c = 0.46833 nm.
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6. El renio a 20C es HCP. La altura c de su celda unitaria es de 0.44583 nm y su
relacin c/a es 1.633. Calcule el valor de su constante de red a en nanmetros
(emplee la celda mayor).
7. Dibuje las siguientes direcciones en una celda unitaria BCC y enumere las
coordenadas de posicin de los tomos cuyos centros los corta el vector de direccin.
a)[100] b)[110] c)[111]
8. Un vector de direccin pasa a travs del cubo unidad desde la posicin (3/4, 0, 1/4) a
la posicin (1/2, 1, 0) Cules son sus ndices de direccin?
9. Cules son los planos de la familia {100} en el sistema cbico?
10. Dibuje los siguientes planos cristalogrficos en una celda unitaria FCC y enumere
las coordenadas de posicin de los tomos cuyos centros estn cortados por cada uno de
los planos:
a) (100)
b) (110)
c) (111)
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11. Un plano cbico tiene las siguientes intersecciones axiales: a = 1/3, b = -2/3 , c =1/2.
Cules son los ndices de Miller de este plano?
12. Un plano cbico tiene las siguientes intersecciones axiales: a = 1, b =2/3 , c=-1/2
.Cules son los ndices de Miller de este plano?
13. Determine los ndices de Miller para el plano del cristal cbico que interseca las
siguientes coordenadas de posicin:(1, 0, 0); (1, 1/2 , 1/4 ); (1/2 ,1/2 , 0).
14. Determine los ndices de Miller para el plano del cristal cbico que interseca las
siguientes coordenadas de posicin:(1, 1/2 , 1); (1/2 , 0,3/4 ); (1, 0,1/2 )
15. El volframio es BCC y tiene una constante de red a de 0.31648 nm. Calcule los
siguientes espacios interplanares:
a) d110
b) d220
c) d310
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16. El espacio interplanar d310 en un elemento BCC es de
0.1587 nm. a) Cul es su constante de red a? b) Cul es
el radio atmico del elemento? c) Qu elemento podra
ser?
17. El espacio interplanar d422 en un metal FCC es de
0.083397 nm. a) Cul es su constante de red a?; b) Cul
es el radio atmico del metal? y c) Qu metal podra ser?
18. Determine los ndices de Miller-Bravais de los planos
de los cristales hexagonales de la figura:
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19. La constante de red para el tntalo BCC a 20C es 0.33 026 nm y su densidad es de 16.6 g/cm3.
Calcule un valor para su masa atmica.
20. Calcule la densidad atmica planar en tomos por milmetro cuadrado para los siguientes planos
del cristal de oro FCC, con una constante de red de 0.40788 nm:
a) (100)
b) (110)
c) (111)
21.El hierro puro presenta un cambio polimrfico de estructura cristalina BCC a FCC calentndolo
por encima de 912C. Calcule el porcentaje de cambio en el volumen asociado con el cambio de la
estructura cristalina de BCC a FCC si a 912C la celda unitaria BCC tiene una constante de red a =
0.293 nm, y en la celda unitaria a = 0.363 nm.
22. Un difractograma para un elemento que tiene una estructura cristalina BCC o FCC presenta picos
de difraccin a los valores de ngulo 2 siguientes: 38.68, 55.71, 69.70, 82.55, 95.003 y 107.67.
(La longitud de on da de la radiacin incidente es de 0.15405 nm.)
a) Determine la estructura cristalina del elemento.
b) Determine la constante de red del elemento.
c) Identifique al elemento.