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Prof. Juliano J. Scremin
Estruturas de Aço e Madeira II – Aula 12
Bases de Cálculo
- Ensaios de Madeira;
- Correlações entre as Propriedades Mecânicas;
- Combinações de Ações e Segurança;
1
Aula 12 - Seção 1:
Ensaios de Madeira
2
Ortotropia da Madeira
• Apesar de não ser um material
elástico ideal, a madeira pode
ser considerada como tal para a
maioria das aplicações
estruturais;
• Ortotropia – diferentes
módulos de elasticidade e
resistências a compressão e
tração nas direções paralela às
fibras e normal às fibras;
3
Ensaio de Compressão Paralela às Fibras (1)
4Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
𝐿𝑜 15 𝑐𝑚
5 𝑐𝑚
𝜎𝑐 < 𝑓𝑐0 𝑓𝑐0
Ensaio de Compressão Paralela às Fibras (2)
5
Ec0Módulo de elasticidade em
compressão paralela (axial)
às fibras
fc0Resistência à compressão
paralela (axial) às fibras
Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
𝑡𝑔𝛼 = 𝐸𝑐0 =𝜎50% −𝜎10%
Δ휀
휀 =Δ𝐿
𝐿𝑜
𝑓𝑐0 =𝑁𝑢𝐴
𝜎 =𝑁
𝐴
𝑓𝑐𝑜
𝑓𝑐𝑒𝑙
𝜎50%
𝜎10%
Δ휀
Ensaio de Compressão Normal às Fibras (1)
6
Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
https://www.youtube.com/watch?v=20nJUfXxjdE
15𝑐𝑚
5 𝑐𝑚
𝜎𝑐90
5 𝑐𝑚
Ensaio de Compressão Normal às Fibras (2)
7
Ec90Módulo de elasticidade
em compressão
normal (perpendicular)
às fibras
fc90Resistência à compressão
normal (perpendicular)
às fibras
𝑡𝑔𝛼′ = 𝐸𝑐90 =𝜎50% −𝜎10%
Δ휀
Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
휀 =Δ𝐿
𝐿𝑜
𝑓𝑐90 =𝑁𝑢𝐴𝑡
𝑓𝑐90
𝜎50%
𝜎10%
𝜎 =𝑁
𝐴𝑡
Ensaio de Tração Paralela às Fibras (1)
8
Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
≥ 15 𝑐𝑚
𝑑 ≤ 2 𝑐𝑚
Corte A-A
Área A
(inicial)
𝐿𝑜
FF
Ensaio de Tração Paralela às Fibras (2)
9
Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
휀 =Δ𝐿
𝐿𝑜
𝑓𝑡0
𝜎50%
𝜎10%
𝜎 =𝑁
𝐴
Et0Módulo de elasticidade
em tração
paralela (axial)
às fibras
ft0Resistência à tração
paralela (axial)
às fibras
𝑓𝑐0
Compressão
Tração
𝐸𝑡0
Resistência à Tração Normal às Fibras
10
ft90 Resistência à tração normal
(perpendicular)
às fibras
baixa resistência mecânica e alta deformabilidade;
− resistência de difícil determinação;
− deve ser evitada sua consideração nos projetos;
Flexão em Peças de Madeira
• Na flexão simples, ocorrem quatro tipos diferentes de solicitações:
a) Compressão paralela às fibras, no banzo superior, para momentos
positivos.
b) Tração paralela às fibras, no banzo inferior, para momentos positivos.
c) Cisalhamento horizontal entre fibras.
d) Compressão normal (perpendicular) às fibras, na região dos apoios.
11Fonte: Apostila de Madeira Prof. Miguel Hilgenberg Neto (UFPR)
Ensaio de Flexão (1)
12Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
𝑀 =𝑃𝐿
4
𝛿 =𝑀𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿 = 105 𝑐𝑚
𝑃
Diagrama de
Momentos Fletores
Deformada
Ensaio de Flexão (2)
13Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
𝐸𝑀
Δ𝛿
𝑀𝑢
𝑀50%
𝑀10%
𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠
𝑀
𝛿
EMMódulo de elasticidade
na flexão
fMResistência à flexão
𝐸M =M50% −M10%
Δδ
L2
bh3
𝑓M =Mu
W=6Mu
bh2
Modos de Cisalhamento
14Fonte: Slides de Aulas do Prof. Gavassoni (UFPR)
fibras
Cisalhamento Vertical
Corte ortogonal
das fibras
Cisalhamento Horizontal
Deslizamento
paralelo entre as fibras.
A direção das tensões
é igual a direção do
comprimento das fibras.
Rolling Shear
Rolagem das fibras
uma sobre as outras.
A direção das tensões
é perpendicular as fibras.
Cisalhamento Vertical (Normal)
15
• Não é crítico pois muito antes da ruptura por
cisalhamento ocorre ruptura por compressão
normal – esmagamento da seção nos apoios.
Fonte: Slides de Aulas do Prof. Gavassoni (UFPR)
𝝉𝒚: tensão cisalhante na direção normal às fibras
𝝉𝒚′
𝝉𝒙′
𝝉𝒚
𝝉𝒙
Cisalhamento Horizontal
16Fonte: Slides de Aulas do Prof. Gavassoni (UFPR)
• Forma crítica de cisalhamento pois a
resistência ao corte horizontal é menor do
que a resistência ao corte vertical .
A A
𝝉𝒙: tensão cisalhante na direção paralela às fibras
𝝉𝒙 = 𝝉𝒚
Rolling Shear
17Fonte: Slides de Aulas do Prof. Gavassoni (UFPR)
• Situação muito rara em projeto.
• A norma europeia assume a resistência ao
“rolling shear” como sendo o dobro da
resistência à tração ortogonal.
• Cisalhamento Inclinado: - Não abordado
pela NBR 7190/1997
fibras
Ensaio de Cisalhamento
18Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter
𝒇𝐯 =𝐅𝐮𝐀
fv
Resistência ao
Cisalhamento
Aula 12 - Seção 2:
Correlações entre as Propriedades Mecânicas
19
Correlações entre as Propriedades Mecânicas (1)
20
• Módulos de Elasticidade:
– Ec0
= módulo de elasticidade paralelo às fibras (longitudinal)
– EM
= módulo de elasticidade aparente (flexão)
– Ec90
= módulo de elasticidade normal às fibras (transversal)
• Admite-se que sejam iguais os valores médios dos módulos de elasticidade à compressão e à tração paralelas às fibras, ou seja:
• A norma NBR 7190/97 prevê correlações para os demais módulos e elasticidade baseando-se em Ec0,m (sendo o sub-índice “m” relativo a valor médio).
Et0,m= Ec0,m
Correlações entre as Propriedades Mecânicas (2)
21
• Módulos de Elasticidade:
– Ec0
= módulo de elasticidade paralelo às fibras (longitudinal)
– EM
= módulo de elasticidade aparente (flexão)
– Ec90
= módulo de elasticidade normal às fibras (transversal)
𝑬𝒄𝟗𝟎 =𝑬𝒄𝟎𝟐𝟎
𝑬𝑴 = 𝟎, 𝟖𝟓𝑬𝒄𝟎
𝑬𝑴 = 𝟎, 𝟗𝟎𝑬𝒄𝟎
(Para CONÍFERAS)
(Para DICOTILEDÔNEAS)
Correlações entre as Propriedades Mecânicas (2)
22
• Para as espécies usuais, na falta de determinação experimental,
permite-se adotar as seguintes relações para os valores
característicos das resistências:
Coníferas Dicotiledôneas
fc0k / ft0k fc90k / fc0k fe0k / fc0k fe90k / fc0k fv0k / fc0k fv0k / fc0k
0,77 0,25 1,0 0,25 0,15 0,12
ft0k : resistência à tração paralela às fibras;
fc90k : resistência à compressão normal às fibras;
fe0k e fe90k : resistência ao embutimento paralelo e normal às fibras
respectivamente;
Correlações entre as Propriedades Mecânicas (2)
23
• Resistência à compressão inclinada:
fc0k : resistência à compressão paralela às fibras;
fc90k : resistência à compressão normal às fibras;
fcαk : resistência à compressão inclinada de um ângulo “α”;
Fórmula de Hankinson
𝒇𝒄𝜶 =𝒇𝒄𝟎. 𝒇𝒄𝟗𝟎
𝒇𝒄𝟎. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝒇𝒄𝟗𝟎. 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜶
Aula 12 – Seção 3:
Combinações de Ações
24
Projeto Estrutural
25
Fases do Projeto Estrutural:
a) anteprojeto / projeto básico:
- definição do sistema estrutural, materiais e sistema
construtivo;
b) dimensionamento (cálculo estrutural) :
- dimensões dos elementos e suas ligações;
c) detalhamento :
- elaboração dos desenhos executivos e especificação de
componentes;
Método das Tensões Admissíveis (ASD)
26
– O Método das Tensões Admissíveis (ASD – allowable stress
design) origina-se da resistência dos materiais em regime
elástico;
– Considera a necessidade da máxima tensão solicitante σ
Sd máxser menor do que a tensão de escoamento de cálculo –
tensão admissível σyd, ou seja:
– ϓ é o coeficiente de segurança – redutor de capacidade
resistente;
– Limitação devido ao uso de um coeficiente de segurança único
para traduzir todas as incertezas;
𝝈𝑺𝒅𝒎á𝒙 < 𝝈𝒚𝒅 =𝒇𝒚𝒌
𝜸
Método dos Estados Limites (LRFD)
27
– O Método dos Estados Limites (LRFD – loadresistance factor design) considera que uma estrutura é inadequada quanto atinge um dos estados limites abaixo:
• Estados limites últimos:
• Perda de equilíbrio como corpo rígido;
• Ruptura de uma ligação ou seção;
• Instabilidade em regime elástico;
• Estados limites de utilização:
• deformações excessivas e consequente dano a acessórios como alvenarias e esquadrias;
• vibrações excessivas;
Ações (1)
28
• Ações: - cargas ou deformações impostas à uma estrutura;
• São classificadas de acordo com a taxa de variação de seus valores
ao longo do tempo de vida da construção:
– Permanentes (pequena variação)
• peso próprio
– Variáveis (grande variação)
• vento, veículos, ocupação
– Excepcionais (duração extremamente curta e baixa probabilidade
de ocorrência)
• terremoto, impacto de veículo, explosão
• As cargas podem ser obtidas por critério estatístico ou critério
determinístico
Ações (2)
29
• Em função da dificuldade de se aplicar tratamento estatístico
para as cargas, as normas, em geral, fixam os valores a serem
adotados no projeto de estruturas;
• Normas brasileiras que se ocupam das cargas sobre as
estruturas são:
– NBR 6120 – cargas para cálculo de estruturas de edificações;
– NBR 6123 – forças devidas ao vento em edificações;
– NBR 7188 – cargas móveis em pontes rodoviárias e passarelas de
pedestres;
– NBR 7189 – cargas móveis para projeto estrutural de obras
ferroviárias
Aplicação do Método dos Estados Limites (1)
30
• Classes de Carregamento
ELU – Combinações Normais e de Construção
Gi – carga(s) permanente(s);
Q1 – ação variável principal;
Qj – ação(ões) variável(eis) em combinação com a principal;
ϓgi – coef. de majoração de carga permanente;
ϓq1 – coef. de majoração da ação variável principal;
ϓqj – coef. de majoração de ações variáveis secundárias;
Ψ0j – fator de combinação de ações em estado limite de projeto;
31
𝑺𝒅 =𝜸𝒈𝒊𝑮𝒊 + 𝜸𝒒𝟏𝑸𝟏 +𝜸𝒒𝒋𝑸𝒋𝜳𝟎𝒋
ELU – Combinações Excepcionais
Gi – carga(s) permanente(s);
E – ação excepcional;
Qj – ação(ões) variável(eis) em combinação com a principal;
ϓgi – coef. de majoração de carga permanente;
ϓq1 – coef. de majoração da ação variável principal;
ϓqj – coef. de majoração de ações variáveis secundárias;
Ψ0j – fator de combinação de ações em estado limite de projeto;
32
𝑺𝒅 =𝜸𝒈𝒊𝑮𝒊 + 𝑬 +𝜸𝒒𝒋𝑸𝒋𝜳𝟎𝒋
Coeficientes de Majoração de Ações (𝜸𝒈 e 𝜸𝒒)
33
AçõesCombinações
NormaisEspeciais /
ConstruçãoExcepcionais
Perm
an
en
tes
Grande Variabilidade ( adotado quando o
peso próprio da estrutura não supera 75%
da totalidade das cargas permanentes )
1,4 (0,9) 1,3 (0,9) 1,2 (0,9)
Pequena Variabilidade ( peso da madeira
classificada estruturalmente, cuja
densidade tenha coeficiente de variação
não superior a 10% )
1,3 (1,0) 1,2 (1,0) 1,1 (1,0)
Ações Indiretas ( efeitos de recalques de
apoio e de retração dos materiais )1,2 (0) 1,2 (0) 0 (0)
Vari
áveis Ações variáveis em geral, incluídas as
cargas acidentais móveis1,4 1,2 1,0
Efeitos de temperatura 1,2 1,1 0
Ação do Vento
34
• É considerada uma carga de curta duração.
• De acordo com a NBR 7190, para se levar em conta a maior
resistência da madeira sob ação de cargas de curta duração,
na composição de combinação de ações de longa
duração em que o vento representa a ação variável
principal, o valor da solicitação deste deverá ser
multiplicada por 0,75.
Fatores de Combinação e de Utilização
35
Ações em estruturas correntes ψ0 ψ1 ψ2
- Variações uniformes de temperatura em relação à média
anual local 0,6 0,5
0,3
- Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0
Cargas acidentais dos edifícios ψ0 ψ1 ψ2
- Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de
pessoas
0,4 0,3 0,2
- Locais onde há predominância de pesos de
equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de
pessoas
0,7 0,6 0,4
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos ψ0 ψ1 ψ2
- Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2*
- Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2*
- Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,8 0,6 0,4*
Valores Característicos das Propriedades Mecânicas
36
• Resistência Característica (a partir de dados médios de obtidos via ensaios)
- Variação conforme o esforço solicitante considerado:
compressão paralela às fibras:
tração paralela às fibras:
cisalhamento paralelo às fibras:
𝒇𝐜𝐤,𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟕 ⋅ 𝒇𝐜,𝐦é𝐝𝐢𝐚,𝟏𝟐%
𝒇𝒕𝐤,𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟕 ⋅ 𝒇𝐭,𝐦é𝐝𝐢𝐚,𝟏𝟐%
𝒇𝒗𝐤,𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟒 ⋅ 𝒇𝒗,𝐦é𝐝𝐢𝐚,𝟏𝟐%
Valores de Cálculo das Propriedades Mecânicas
37
• Resistência de Cálculo- Obtida a partir do valor da resistência característica pela
expressão:
𝒇𝐱𝐱,𝒅 = 𝑲𝒎𝒐𝒅
𝒇𝐱𝐱,𝒌𝜸𝒘
𝑲𝒎𝒐𝒅 = 𝑲𝒎𝒐𝒅𝟏. 𝑲𝒎𝒐𝒅𝟐. 𝑲𝒎𝒐𝒅𝟑
Kmod1
– leva em conta o tipo de produto de madeira empregado e o
tempo de duração da carga;
Kmod2
– considera o efeito da umidade;
Kmod3
– leva em conta a classificação estrutural da madeira;
Coeficientes Kmod
38
Kmod1 Kmod2 Kmod3
Classes
de Carreg.
Madeira
Serrada,
laminada
colada ou
compensada
Madeira
Recomposta
Classes
de
Umidade
Madeira
Serrada,
laminada
colada ou
compens
ada
Madeira
Recompo
sta
Tipo K mod3
Permanente 0,60 0,30 (1) e (2) 1,0 1,0 Coníferas 0,8
Longa
Duração0,70 0,45 (3) e (4) 0,8 0,9 Dicotiledône
as de 1a.
categoria
1,0Média
Duração0,80 0,65
Curta
Duração0,90 0,90 Peças de 2a.
categoria0,8
Instantânea 1,10 1,10
Classes de Umidade
39
Classe
de
Umidade
Umidade Relativa
do Ambiente Uamb
Umidade de
Equilíbrio
da Madeira Uamb
1 ≤65% 12%
2 65% < Uamb ≤75% 15%
3 75% < Uamb ≤85% 18%
4 Uamb > 85% ≥ 25%
Coeficientes de Ponderação para ELU
40
Solicitação 𝜸w
Compressão paralela às fibras 1,4
Tração paralela às fibras 1,8
Cisalhamento paralelo às fibras 1,8
Nota: adota-se 𝜸w =1,0 para ELS (ELUti)
Módulo de Elasticidade Efetivo
41
• O módulo de elasticidade efetivo é calculado como:
𝑬𝐜𝟎,𝒆𝒇 = 𝑲𝒎𝒐𝒅. 𝑬𝐜𝟎,𝒎
Ec0,ef : módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras
Ec0,m : módulo de elasticidade médio à compressão paralela às fibras
Kmod : coeficiente de modificação
Classes de Madeira
42
• A definição da madeira a ser utilizada em um projeto pode ser feita com
base na “Espécie” ou utilizando o sistema de “Classes de Madeira”
CONÍFERAS:
( valores na condição padrão de referência U = 12%)
Classefc0k
(MPa)
fvk
(MPa)
Ec0,m
(MPa)
ρbas,m
(kg/m³)
ρap
(kg/m³)
C20 20 4 3500 400 500
C25 25 5 8500 450 550
C30 30 6 14500 500 600
DICOTILEDÔNEAS:
( valores na condição padrão de referência U = 12%)
Classefc0k
(MPa)
fvk
(MPa)
Ec0,m
(MPa)
ρbas,m
(kg/m³)
ρap
(kg/m³)
C20 20 4 9500 500 650
C30 30 5 14500 650 800
C40 40 6 19500 750 950
C60 60 8 24500 800 1000
Propriedades Médias por Espécies
43
Influência da Umidade nas Propriedades (1)
44
• Os módulos de elasticidade e as resistências características são
definidos com base na umidade padrão de 12% (Classe de
Umidade 1)
• Conforme a NBR 7190, os valores de resistência média obtidos em
ensaios para umidades entre 10% e 20% podem ser corrigidos
para o valor padrão de 12% pela expressão:
• Note-se que a expressão admite 3% de variação na resistência para
cada 1% de variação da umidade.
𝒇𝒎é𝒅𝒊𝒂,𝟏𝟐% = 𝒇𝒎é𝒅𝒊𝒂,𝑼% 𝟏 +𝟑
𝟏𝟎𝟎(𝑼% − 𝟏𝟐%)
Influência da Umidade nas Propriedades (2)
45
• Da mesma forma que para a resistência, a NBR 7190 possibilita a
conversão dos valores de módulo de elasticidade médios
obtidos em ensaios para umidades entre 10% e 20% para o
padrão de 12% através da expressão:
• Note-se que a expressão admite 2% de variação na resistência para
cada 1% de variação da umidade
𝑬𝒎é𝒅𝒊𝒐,𝟏𝟐% = 𝑬𝒎é𝒅𝒊𝒐,𝑼% 𝟏 +𝟐
𝟏𝟎𝟎(𝑼% − 𝟏𝟐%)
Estado Limite de Utilização – ELUti (ELS) (1)
• Os deslocamentos são calculados a partir de combinações de ações
diferentes do ELU (estado limite último);
• Todas as ações são combinadas sem majoração;
– Combinações de longa duração:
– Combinações de duração
média, curta e instantânea:
46
𝑺 =𝑮𝒊 +𝑸𝒋𝜳𝟐𝒋
𝑺 =𝑮𝒊 +𝜳𝒏𝑸𝟏 +𝜳𝒌𝑸𝒋
Valores de 𝜓𝑛 e 𝜓𝑘:
Tipo de Combinação 𝛙𝐧 𝛙𝐤
Média Duração 𝛙𝟏 𝛙𝟐
Curta Duração 1 𝛙𝟏
Instantânea (ação especial) 1 𝛙𝟐
Estado Limite de Utilização – ELUti (ELS)(2)
• Valores limites de deslocamentos verticais segundo a NBR 7190/97:
47
Ações a considerarDeslocamentos
calculados
Deslocamentos
limites
Construções
Correntes
Permanentes + variáveis
em combinação de longa
duração
Em um vão L entre
apoiosL/200
Em balanço de vão Lb Lb/100
Construções com
materiais frágeis
não-estruturais
Permanentes + variáveis
em combinação de longa
duração
Em um vão L entre
apoiosL/350
Em balanço de vão Lb Lb/175
Variáveis em combinação
de longa duração
Em um vão L entre
apoiosL/300<=15mm
Em balanço de vão Lb L/150<=15mm
FIM
48
Exercício 12.1
49
• Um estrutura em madeira está sujeita às seguintes cargas:
a) Peso próprio G = 0,8kN/m
b) Carga acidental Q = 1,5kN/m
c) Vento de sobrecarga V1 = 1,3 kN/m
d) Vento de sucção V2 = -1,8 kN/m
• Calcular de acordo com a NBR 7190/1997 as combinações
normais de projeto para ELU.
Exercício 12.2
50
• Uma edificação em madeira será construída em uma região com
umidade relativa do ar média de 70%;
• A madeira empregada será o Louro Pardo que em condições de
15% de umidade tem as seguintes propriedades:
fc0m = 61 MPa
ft0m = 123 MPa
fv0m = 11,4 Mpa
• Determinar fc0d, ft0d, fc90d, fvd para combinação normal de ações
com cargas de longa duração;