Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

Estudio de función

a) f (x) =

Dominio de la función : R

Asíntotas :

A.V. : A.V.: x= a

Para que la función tienda a infinito la x debe tender hacia infinito positivo y negativo. En

conclusión, no existen asíntotas verticales.

A.H. : A.H.: y= b

Ídem que las asíntotas verticales.

A.O. : .

Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.

Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:

Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:

Como 3 es raíz: Regla de ruffini: 4 -24 44 -24

3 12 -36 24

4 -12 8 0

Una vez hallados los puntos críticos, hay que determinar cuáles son Máximos y cuales Mínimos. Para

ello hay que estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.

Crecimiento y decrecimiento : Teniendo los puntos críticos, hay que comparar el comportamiento de

valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el contrario cuando la primera

derivada es positiva (es decir ), la función crece. Una vez conocido esto, si la función crece

antes del punto y luego decrece, estamos ante la presencia de un punto Máximo. Por el contrario, si

primero decrece y luego crece, el punto crítico es un punto Mínimo.

Para esta función elegimos los valores 0, 1.5, 2.5 y 4 (previos y posteriores a 1, 2 y 3,

respectivamente).

Tanto para x= 0 como para x= 2.5 notamos que la derivada es negativa, mientras que en x= 1.5 y x= 4

la derivada es positiva:

x 0 1 1.5 2 2.5 3 4

f ’(x) -24 0 1.5 0 -1.5 0 24

f (x) Mínimo Máximo Mínimo

Los períodos de Crecimiento de la función son:

Los períodos de Decrecimiento de la función son:

Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :

Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:

Si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir ), el tramo correspondiente

en la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir )

su concavidad será negativa. Para analizar esto primero calcularemos los Puntos de Inflexión

(Tangentes Horizontales y Tangentes Oblicuas). Para ambos casos hay que igualar a cero esta

derivada:

Para saber si son Tangentes Horizontales u Oblicuas, se sustituyen estos valores en la primera

derivada. Si la imagen es igual a cero entonces es Horizontal, de lo contrario es Oblicua. En este caso

ambas son Oblicuas.

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

x 0 1.42 2 2.58 3

f ’’(x) 44 0 -4 0 8

f (x) Tg. Obl. Tg. Obl.

Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :

b) f (x) =

Dominio de la función :

Asíntotas :

A.V. : A.V.: x= a

Para que la función tienda a infinito, el denominador debe tender hacia cero:

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

A.V.: x = { }

A.H. : A.H.: y= b

Para salvar la indeterminada es necesario dividir por x a la mayor exponente, en este caso x1. Hay

que dividir tanto en el numerador como en el denominador:

Para poder incluir la x dentro de la raíz es preciso compensar esa raíz con un cuadrado ya que de lo

contrario se estaría creando una función nueva. A su vez, como la compensación creada da como

resultado un módulo se debe desglosar el estudio del límite en de

acuerdo con la definición de módulo en donde, para x positivos, y

para x negativos, .

A.H.: y = { }

A.O. : Al existir asíntotas horizontales en la función, podemos afirmar que no existe ninguna

asíntota oblicua debido a que estos dos tipos de asíntotas no pueden coexistir en una misma función.

Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.

Además de tener los puntos críticos correspondientes a las asíntotas verticales, existen otros puntos

críticos. Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:

Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

Crecimiento y decrecimiento : Una vez hallados los puntos críticos (en este caso solo las AV), hay que

comparar el comportamiento de valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de

dichos valores son negativas en la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el

contrario cuando la primera derivada es positiva (es decir ), la función crece.

Para esta función elegimos los valores -2 y 2 (previos y posteriores a , respectivamente).

Entre dichas asíntotas los valores de x no corresponden al dominio asique no serán tomados en cuenta.

Tanto para x= -2 como para x= 2 notamos que la derivada es negativa por lo tanto la función original

es estrictamente decreciente.

Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :

Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:

Luego de eso, realizamos el mismo procedimiento que para determinar los periodos de crecimiento y

decrecimiento, con la diferencia que esta vez, si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es

decir ), el tramo correspondiente en la función original tendrá concavidad positiva mientras

que si son negativas (es decir ) su concavidad será negativa.

Para el x = -2, la segunda derivada es negativa, por ende, la concavidad es negativa para el tramo

. Para el x = 2 la segunda derivada es positiva y la concavidad en el tramo es

positiva.

Respecto a los Puntos de Inflexión, con la segunda derivada se puede confirmar la existencia de

Tangentes Horizontales y hallar Tangentes Oblicuas. Para ambos casos hay que igualar a cero esta

derivada:

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :

c) f (x) =

Dominio de la función :

Asíntotas :

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

A.V. : A.V.: x= a

Para que la función tienda a infinito, el denominador debe tender hacia cero:

A.V.: x = { }

A.H. : A.H.: y= b

Para salvar la indeterminada se puede aplicar la regla de L’ Hôpital que enuncia lo siguiente:

A.O. : .

Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.

Además de tener el punto crítico correspondiente a la asíntota vertical, existen otros puntos críticos.

Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:

Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:

Una vez hallado, hay que determinar si es un punto Máximo o uno Mínimo. Para ello hay que estudiar

el crecimiento y decrecimiento de la función.

Crecimiento y decrecimiento : Teniendo los puntos críticos, hay que comparar el comportamiento de

valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en

la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el contrario cuando la primera

derivada es positiva (es decir ), la función crece. Una vez conocido esto, si la función crece

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

antes del punto y luego decrece, estamos ante la presencia de un punto Máximo. Por el contrario, si

primero decrece y luego crece, el punto crítico es un punto Mínimo.Para esta función elegimos los valores 0.5, 2, y 3 (previos y posteriores a 1 y e, respectivamente). Tanto para x= 0.5 como para x= 2 notamos que la derivada es negativa mientras que en x=3 la derivada es positiva (crece).

x 0.5 1 2 e 3

f ’(x) -3.52 -0.64 0 0.08

f (x) Mínimo

El período de Crecimiento de la función es:

Los períodos de Decrecimiento de la función son:

Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:

Si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir ), el tramo correspondiente en

la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir ) su

concavidad será negativa. Para analizar esto primero calcularemos los Puntos de Inflexión (Tangentes

Horizontales y Tangentes Oblicuas). Para ambos casos hay que igualar a cero esta derivada:

Para saber si es una Tangente Horizontal u Oblicua, se sustituye este valor en la primera derivada. Si la imagen es igual a cero entonces es Horizontal, de lo contrario es Oblicua. En este caso es Oblicua.

x 0.5 1 2 7.39 10

f ’’(x) -16.17 1.96 0 -0.0025

f (x) Tg. Obl.

Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

d) f (x) =

Dominio de la función :

Asíntotas :

A.V. : No existen asíntotas verticales ya que la función es continua en R (no existen puntos de

discontinuidad).

A.H. : A.H.: y= b

Para salvar la indeterminada se puede aplicar la regla de L’ Hôpital que enuncia lo siguiente:

Volvemos a aplicar L’ Hôpital:

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

A.H.: y = { }

A.O. : Al existir una asíntota horizontal en la función, podemos afirmar que no existe ninguna

asíntota oblicua debido a que estos dos tipos de asíntotas no pueden coexistir en una misma función.

Puntos Críticos : Máximos y Mínimos.

Para hallar estos puntos, es necesario calcular la primera derivada de la función:

Luego de hallar la primera derivada hay que igualarla a cero para hallar los puntos críticos:

Una vez hallados los puntos críticos, hay que determinar cuáles son Máximos y cuales Mínimos. Para

ello hay que estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.

Crecimiento y decrecimiento : Teniendo los puntos críticos, hay que comparar el comportamiento de

valores de x previos y posteriores a dichos puntos. Si las imágenes de dichos valores son negativas en

la primera derivada (es decir ), la función decrece y por el contrario cuando la primera

derivada es positiva (es decir ), la función crece. Una vez conocido esto, si la función crece

antes del punto y luego decrece, estamos ante la presencia de un punto Máximo. Por el contrario, si

primero decrece y luego crece, el punto crítico es un punto Mínimo.Para esta función elegimos los valores -1, 1, y 3 (previos y posteriores a 0 y 2, respectivamente). Tanto para x= -1 como para x= 3 notamos que la derivada es negativa mientras que en x=1 la derivada es positiva (crece).

x -1 0 1 2 3

f ’(x) -8.1548 0.3679 0 -0.1494

f (x) Mínimo Máximo

El período de Crecimiento de la función es:

Los períodos de Decrecimiento de la función son:

Concavidad y Puntos de Inflexión (Tangente Horizontal y Oblicua) :

Para estudiar la concavidad es necesario calcular la segunda derivada de la función:

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª

Si las imágenes son positivas en la segunda derivada (es decir ), el tramo correspondiente

en la función original tendrá concavidad positiva mientras que si son negativas (es decir )

su concavidad será negativa. Para analizar esto primero calcularemos los Puntos de Inflexión

(Tangentes Horizontales y Tangentes Oblicuas). Para ambos casos hay que igualar a cero esta

derivada:

Para saber si son Tangentes Horizontales u Oblicuas, se sustituyen estos valores en la primera

derivada. Si la imagen es igual a cero entonces es Horizontal, de lo contrario es Oblicua. En este caso

ambas son Oblicuas.

x -1 0.59 2 3.41 5

f ’’(x) 19.03 0 -0.27 0 0.05

f (x) Tg. Obl. Tg. Obl.

Gráfico correspondiente a la función (f(x) en azul, f’(x) en rojo y f’’(x) en verde) :

Franco Santini y Pablo Suburu Marranti – 5º11ª