v

1

v

2

(Ex:1) Whole number = W is:

a) 2 b) c) 3.2 d) 25 = 5

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:2) Integer = Z is:

a) 25 = 5 b) 2 c) 5.3 d) 3

2

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:3) Integer = Z is:

a) b) 2 c) 3 8 = 2 d) 5.3

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:4) Whole number = W is:

a) 3 8 = 2 b) 12 c) 0.5 d)

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:5) Irrational number = I is:

a) 3

2 b) 2 c) 0 d) 5

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:6) Rational number = Q is:

a) 5 5 b) 2 c) 3 4 d) 25 =1

5

v

3

(Ex:1) if A={1,2,3,4,5,6,7} and B={1,2,6,8,9,3,4} then

-the element is

a) 1 b) 8 c) 9 d) 12

- A ∩ B =

a) { 1,2,3,4,6} b) { 1,5,3,4} c) { 1,7,3,4} d) { 1,2,9,4}

- A ∪ B =

a) { 1,2,3,4} b) { 1,5,3,4} c) { 1,,5,7, 3,4,2,8,9,6} d) { 1,2,9,4}

- A∖ B =

a) { 1,2,3,4} b) { 1,5,3,4} c) { 1,,5,7, 3,4,2,8,9,6} d) { 5,7}

Sets المجموعات

x: x ∈ A

v

4

Notation Set description Type Picture

(a, b) {x: a < x < b} Open

[a, b] {x: a x b} Closed

[a, b) {x: a x < b} Half Open

(a, b] {x: a < x b} Half Open

Notation Set description Type Picture

(a, ) {x: x > a} Open

( , b] {x: x b} Closed

( , ) R: set of all real numbers Open

1) Finite intervals: فترات محدودة

2) Infinite intervals: فترات غير محدودة

a

b

v

5

Write the sets as the intervals and show on the real line

(Ex:8) {x R / 3 x < 3} =

a) ( 3 , 3) b) [ 3 , 3] c) [ 3 , 3) d) ( 3 , 3]

{x R / 3 x < 3} = [ 3 , 3)

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:9) {x R : 2 < x < 5} =

a) ( -2 , 5) b) [ 2 , 5] c) [ 2 , 5) d) ( 2 , 5]

{x R : 2 < x < 5} = ( 2 , 5)

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:10) {x R : x 2}=

a) ( , 2) b) [ , 2] c) [ , 2) d) ( , 2]

{x R : x 2} = ( , 2]

3 3

2 5

-2

Solution

Solution

Solution

v

6

(Ex:11) (2 , ) ∪ [-10,0)=

a) (2 , ) b) [10, ) c) [2 , ) d) (2 , ]

(2 , )∪[-10,0) = [ -10 , )

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:12) (2 , )∩ [-10,0)=

a) (2 , 0) b) [10, ) c) [2 , ) d) (2 , ]

(2 , ) ∩ [-10,0) = (2 , 0)

(Ex:13) (2 , )∖ [-10, 0) =

a) (2 , 0) b) [0 , ) c) [2 , ) d) (2 , ]

(2 , ) ∖ [-10 , 0) = [0 , )

-2 -10

0

Solution

Solution

Solution

-2 -10

0

-2 -10

0

v

7

I -Linear equation of one variable

(Ex:1) If 2x+3=7 then x =

a) 2 b) -1 c) 7/2 d) 3/2

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:2) If 2(x+3) = 7 - 3(x+1) then x =

a) 2/5 b) -2/5 c) 7/2 d) 3/2

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:3) If 2(x+3) = x/3 + 1 then x =

a) -3 b) -2 c) 7 d) 3/2

Equationsالمعادالت

v

8

I –Second-degree equation of one variable

المجهول في معادالت الدرجة الثانية ذات المجهول الواحد بأحد طريقتين ةيتم ايجاد قيم

القاعدةالتحليل ويستند فيه الى -1

If a×b = 0 then a = 0 or b = 0

ويوجد عدة انواع للتحليل منها

التحليل باستخدام العامل المشترك-1

x=0-24x

x(4x-1)=0

x=0 , or x=1/4

تحليل المقدار الثالثي-2

2x+4=0-22x

x+2))=0-22(x

2(x-2)(x+1)=0

x=2 , or x=-1

المربعينفرق بين -3

4=0-2x

(x-2)(x+2)=0

x=2 or x=-2

فرق المكعبين-4

8 =0-3x

+2x+4)=022) (x-(x

(x-2)(x+4)(x-2)=0

X=2 ,x=-4

فان bx +c = 0 2ax +القانون العام اذا كان -5

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

v

9

(Ex:4) If x2-2x=0 then x =

a) 0,2 b) -1,2 c) 7,2 d) 3,2

(Ex:5) If x2-2x-3=0 then x =

a) 0,2 b) -1,3 c) 7,2 d) 3,2

(Ex:6) If x2-5x+6=0 then x =

a) 3,2 b) -1,3 c) 5,2 d) 3,2

(Ex: 7) If x2-16=0 then x =

a) 3, 2 b) -4, 4 c) 5, 2 d) 3, 2

v

10

(Ex: 7) x2 -x =5

a) 3, 2 b) 1∓√21

2 c) 5, 2 d) 3, 2

(Ex: 8) If x2-2x-4=0 then x =

a) b) 1,5 c) 5,2 d) 3,2

1 ± √5

v

11

If a, b and c are real numbers:

* إضافة أونفس العدد للطرفين ال يغير عالمة المتباينة.

a < b a c < b c

* ضرب الطرفين في عدد موجب ال يغير عالمة المتباينة. a < b a . c < b . c where: c > o

* ضرب الطرفين في عدد سالب يقلب عالمة المتباينة.

a . c > b . c where: c < o

عالمة المتباينة.* قلب الكسور التي لها نفس اإلشارة يعكس

a < b a

1 >

b

1

where: a, b are both positive or both negative

Inequalitiesالمتباينات

v

12

* Solve the inequalities and show the solution sets on the real line حل المتباينات ممثاًل الحل على خط األعداد

(Ex: 9) the solution of 4x 1 < 2x + 3 is

a) ( , 2) b) [ , 2] c) [ , 2) d) ( , 2]

4x 1 < 2x + 3

4x 2x < 3 + 1

2x < 4 (÷ 2)

x < 2

Sol. Set = ( , 2) = {x R / x < 2}

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:10) the solution of 8 3x 5 is

a) ( , 1) b) [ , 1] c) [ , 1) d)

( , 1]

8 3x 5

3x 5 8

3x 3 (÷ 3)

3

x3

3

3

عند القسمة على او الضرب في عدد سالب نعكس اتجاه المتباينة

X 1

Sol. Set = ( , 1] = {x R / x 1}

2

1

Solution

Solution

v

13

(Ex:11) the solution the 3 (2 x) > 2 (3 + x) is

a) ( , 0) b) [ , 0] c) [ , 0) d) ( , 0]

3 (2 x) > 2 (3 + x)

6 3x > 6 + 2x

3x 2x > 6 6

5x > 0 (÷ 5)

5

x5

<

5

0

x < 0

Sol. Set = ( , 0) = {x R / x < 0}

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:12) 10

4

x >

4 4

2

x

a) (- , 2) b) [- , 2] c) [- , 2) d) (-

, 2]

10

4

x >

4 4

2

x

(10 x) > 2(4x 4)

10 x > 8x 8

x 8x > 8 10

9x > -18 (÷ 9)

x < 2

0

- 2

Solution

Solution

v

14

Sol. Set = (- , 2) = {x R / x < 2}

(Ex:13) 5 < 2x + 1 < 9

a) (2, 4) b) [2, 4] c) [2, 4) d) (2, 4]

5 < 2x + 1 < 9

5 1 < 2x < 9 1

4 < 2x < 8 (÷ 2)

2 <x < 4

Sol. Set = (2, 4) = {x R / 2 < x< 4}

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:14) the solution of 6

1 <

y

1 <

4

1 is

a) (4, 6) b) [4, 6] c) [4, 6) d) (4, 6]

6

1 <

y

1 <

4

1

عند قلب الكسور تقلب عالمة المتباينة.

6 > y > 4

Sol. Set = (4, 6) = {y R / 4 < y < 6}

2 4

4 6

Solution

Solution

v

15

(Ex:15) the solution of 2 < 2 2x < 3 is

a) (2

1 , 2 ) b) [

2

1 , 2] c) [

2

1 , 2) d) (

2

1 , 2]

2 < 2 2x < 3

2 2 < 2x < 3 2

4 < 2x < 1 (÷ 2)

2

4

>

2

x2

>

2

1

2 > x > 2

1

Sol. Set = (2

1 , 2) = {x R /

2

1 < x < 2}

2

Solution

v

16

(Ex:16) if 5

4 (x 2) <

3

1 (x 6) then x =

a) ( ,7

6 ) b) [ ,

7

6 ] c) [ ,

7

6 ) d) ( ,

7

6 ]

5

4 (x 2) <

3

1 (x 6)

5

8x4 <

3

6x

12x 24 < 5x 30

12x 5x < 30 + 24

7x < 6 (÷ 7)

x < 7

6 Sol. Set = ( ,

7

6 ) = {x R / x <

7

6}

Solution

v

17

a : is the distance from a to 0 on the real line.

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد ونقطة الصفر على خط االعداد

* Distance is always positive or zero. a 0

أي ال تكون سالبة أبداً Zeroأي أن القيمة المطلقة دائماً أكبر من أو تساوي

The absolute value of a number a

= a if a 0 = 2

= a if a < 0 = (2) = 2

v

18

(Ex:17) 4 = 4 , 4 = 4 , 0 = 0 , 5

2 =

5

2

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:18) 13 = 3 1 ما بداخل المطلق كمية موجبة *

يكون الناتج نفس ما بداخل المطلق.

-------------------------------555555555555555------------------------

بداخل المطلق كمية سالبة يكون الناتج ما

+ 31 االشارات إما عكس

(Ex:19) 31 =

3 1 أو تبديل الترتيب *

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:20) 822 = 2222 = 0 = 0

(Ex:21) 2 3 = 32 = 1 = 1

(Ex:22) 5 23 = 5 23 = 18

v

19

فان ازالة رمز المطلق يكون كما يلي xاما اذا احتوي تعبير المطلق على المتغير

(Ex:23) 2x3

3x 2 if x 3

2

2x3 =

3x + 2 if x < 3

2

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:24) 1x2 = 2x + 1

موجبة. مجموع المربعين دائمًا كمية بما ان يبقى ما بداخل المطلق كما هو.

ما بداخل المطلقنضع = 0

3x 2 = 0

3x = 2

X = 3

2

عكس x مثل اشارة

(3x 2) + (3x 2)

= 3x + 2 = 3x 2

3

2

إعادة تعريف المطلق

v

20

* a = a * ba = a b

* b

a =

b

a * 2x = x

* 3 3x = x * na =

na

If: a is positive number:

(1) x = a x = a

x = a , a

-------------------------------555555555555555------------------------

(2) x < a a < x < a

(a, a) الحل على شكل فترة

* التظليل في الوسط-------------------------------555555555555555------------------------

(3) x > a x > a OR x < a

(, a) (a, ) الحل على شكل اتحاد فترتين

* التظليل على األطراف

-a a

a -a

للقيمة المطلقة خواص هامة

v

21

(Ex:25) if 3x2 = 7 then x =

a) {5, 2} b) {5, 2} c) {-5, 2} d) (-2, 5]

2x 3 = 7

2x 3 = 7

2x = 7 + 3

2x = 10 (÷ 2)

x = 5

2x 3 = 7

2x = 7 + 3

2x = 4 (÷ 2)

x = 2

Sol. Set = {5, 2}

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:26) 1x2 = 2

Sol. Set =

Where: القيمة المطلقة 0

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:27) y = 4

y = 4 Sol. Set = {4, 4}

Solution

Solution

Solution

v

22

(Ex:28) if 12

x = 1 then x =

a) {-4, 0} b) {4, 0} c) {0, 4} d) (0, -4]

12

x = 1

2

x 1 = 1

2

x 1 = 1

2

x = 2

2

x = 0

x = 4 x = 0

Sol. Set = {4, 0}

(Ex:29) if 5y2 < 1 then x =

a) (3, 2) b) {2, 3} c) {-2, 3} d) (-3, -2]

1 < 2y + 5 < 1 )قيمة مطلقة أقل من( 1 5 < 2y < 1 5

6 < 2y < 4 (÷ 2)

3 < y < 2

Sol. Set = (3, 2)

= {y R / 3 < y < 2}

Solution

-3 -2

Solution

v

23

(Ex:30) if x32 > 5 then x =

a) ( , 1)

,

3

7 b) ( , 1]

7,

3

c)

71,

3

d)

71,

3

)قيمة مطلقة أكبر من(

2 3x > 5 OR 2 3x < 5

3x > 5 2 3x < 5 2

3x > 3 (÷ 3) 3x < 7 (÷ 3)

3

x3

<

3

3

3

x3

>

3

7

x < 1 x > 3

7

Sol. Set = ( , 1)

,

3

7

= {x R / x < 1 OR x > 3

7}

(Ex:31) The Sol. Set of: 1x

1x2

= 3 is:

a) 4, 5

2

b) 4, 0 c) 2, 0 d) 0, 1

a

-1

Solution

v

24

(Ex:32) ) x2 < 2

a) ( 2 , 2 )

b) [- 2 , 2 ] c) [ 2 , 2 ) d) ( 2 , 2 ]

by

2x < 2

| x | < 2

2 < x < 2 2 2

Sol. Set = ( 2 , 2 )= {x R / 2 < x < 2 }

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:33) 2)1x( 4

a) [1, 3]

b) (1, 3] c) [1, 3) d) (1, 3)

by

2)1x( 4 | x 1 | 2 2 x-1 2

2 + 1 x 2 + 1 1 x 3 1

3

Sol. Set = [1, 3] = {x R / 1 x 3}

في حالة المتباينة التربيعية

فقط أو قوس تربيع وجود

للطرفين نأخذ

التحليل x، وجودفي حالة

ودراسة اإلشارة

Solution

Solution

v

25

(Ex:34) x2 – x < 0

a) (0, 1)

b) [0, 1) c) (0, 1] d) [0, 1]

)سالبة(

تحليل x (x 1) = 0

x = 0 , 1

فترة الحل هي الفترة السالبة ألن المتباينة أقا من 0

Sol. Set = (0, 1)

= {x R / 0 < x < 1}

-------------------------------555555555555555------------------------

(Ex:35) 2x x 2 0

a) ( , 1] [2 , ) b) ( , 1) (2 , ) c) (-1 , 2) d) [-1 , 2]

)موجبة(

تحليل مقدار ثالثي (x 2) (x + 1) = 0

x = 2 , 1

Sol. Set = ( , 1] [2 , )

مثل عكس

مثل

+

Discard

+

Discard

1 0 ـــــ

Ok

-1 2

مثل مثل عكس

ــــــ Discard

+

Ok

+

Ok

-

Solution

Solution

v

26

(Ex:37) x2 > 5

a) ( , 5 ) ( 5 , ) b) ( , 5 ) ( 5 , ) c) (- 5 , 5 ) d) [-

5 , 5 ]

by

2x > 5

| x | > 5

x > 5 OR x < 5 5 5

Sol. Set = ( , 5 ) ( 5 , )

* في حالة المتباينة الكسرية: البد من دراسة إشارة البسط والمقام

(Ex:40) 3x

2x

0 (موجبة)

Sol. Set = ( , 2] (3 , )

= {x R / x 2 OR x >3

Solution

نوجد أصفار البسط والمقام*

x = 2 , x = 3

ونحدد اشارات كل من البسط والمقام ومن ثم *

اشارة المقدار

* منطقة الحل هي المنطقة الموجبة حيث أن

Zeroالمتباينة أكبر من

-2 3

ــــــ+ +

البسط مغلق لوجود

عالمة المساواة المقام دائماً مفتوح

v

27

3 7 ـــــــ +

صفر المقام دائماً

مفتوح

صفر البسط مغلق

لوجود المساواة

4

ـــــــ

(Ex:43) 1

3

x

x

2

1

3

x

x

1

2 0

توحيد المقامات

3x

6x21x

0

3x

7x

سالبة 0

- × × ×

Sol. Set = ( , 3) [7 , )

Solution

* نوجد أصفار البسط

x + 7 = 0 x = 7

* نوجد أصفار المقام

x 3 = 0 x = 3

ونحدد اشارات كل من البسط والمقام ومن ثم اشارة *

المقدار* منطقة الحل هي المنطقة السالبة حيث أن المتباينة أقل

Zeroمن

v

28

المسافة بين نقطتين

21 PP = d = 22 )y()x(

d = 2

122

12 )yy()xx(

* Mid Pointe: نقطة المنتصف

M =

2

yy,

2

xx 2121

P1 ( , )

P2 ( , )

P ( , )

Q ( , ) M

v

29

(Ex:44) The distance between -1 and 6 is

a) 7 b) 8 c) 9 d) 2

d = | (1) (6) | = | 1 6 | = | 7 | = 7

(Ex:45) if : P (1 , 2) and Q (3 , 4) The distance between P and Q. is

a) 1 b) 8 c) 9 d) 2 √5

d = 22 )42()31( = 416 = 20

= )5()4( = 2 5

Solution

Solution