Examen de algebra lineal 14

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL


EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL

1.- Sea:

0 0 1

0 1 0

1 0 0

C

Cf

C es la base canónica de 3R

a) Determinar:

1f

Hallamos la aplicación lineal

1,0,0 1,0,0 1,0,0 0,1,0 0,0,1 0,0,1

0,1,0 0,1,0 1,0,0 0,1,0 0,0,1 0,1,0

0,0,1 0,0,1 1,0,0 0,1,0 0,0,1 1,0,0

1,0,0 0,0,1

0,1,0 0,1,0

0,0,1 1,0,0

, , 1,0

0 0 1

,0

0 1 0

1 0

0,1,0 0,0,1

, , ,0,0 0, ,0 0,0

0

f

f

f

f

f

f

x y z

x y z

3 3

,

, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1

, , 0,0,1 0,1,0 1,0,0

, , 0,0, 0, ,0 ,0,0

, , , ,

:

, , , , , ,

f x y z f f f

f x y z

f x

x

y z

f x y z

y z

x y z

z y

f

x y z f

x

x y z z y x

R R

PD. Biyectividad

, , , , 0

, , , , 0,0,0

0

0

0

, , 0; 0; 0

0,0,0

VNf x y z f x y z

Nf x y z z y x

z

y

z

Nf x y z z y x

Nf

ii) Sobreyectividad

0 0

0 0

0 0

x

y

z

x

y

z

14


3

3

Im

3 0 Im

3 Im

f es sobreyectiva

Dim DimNf Dim gf

Dim gf

Dim gf Dim

R

R

1 3

Im , , , , , ,

Im , , , , , ,

0 0 1 1 0 0

0

Calculo de la

1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1

A.

f f

L

a c

b b

c

gf a b c f x y z a b c

gf a b c z y x a b c

a

1 3 3

, , , ,

:

, ,

f

a b c f a b c c b a

R R


2.- Sea 2 2xA M tal que los valores propios de A son -3 y 3, y los vectores

propios (1,1) y (1,-5) respectivamente.

a) Hallar A.

b)Hallar B

Bf donde B es una base de 2

R formada con vectores propios.

1

1

1 1

1

2 1

5 2

D P AP

PD PP AP

PD IAP

PDP APP

P P A

A

D

1

3 0

0 3

1 1

1 5

5 6 1 6

1 6 1 6

1,1 , 1, 5

1,1 1,1 2 1,1 5 1, 5 7,23

1, 5 1, 5 1 1,1 2 1, 5 1, 11

7, 23 1,1 1, 5

1, 11 1,1 1, 5

1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 0

1 5 23 11 0 6 30 12 0 1 5 2

D

P

P

B

f

f

2 2 1 2 2 1 1 2

2 1

0 1 5 2

f f f f f 1 6 f f f

2 1

5 2

B

Bf


3.- Sea

3 3:

( , , ) ( , , ) ( ,2 2 , ( 1) 2 )

f

x y z f x y z x y z x y z x y z

R R

a) Hallar para que f sea Biyectiva.

b) Para el caso en que f no sea Biyectiva, hallar una Base del fN y de la Im fg

''

''

''

Im , , 2 0

Im , , 2

Im ,2 ,

Im ,2 ,0 0,0,

Im 1,2,0 0,0,1

1,2,0 0,0,1

Im 3 numero de restric.

3 1 2 numero de vectores de

es base de

gf a b c b a

gf a b c b a

gf a a c a c

gf a a c a c

gf a c a c

S

Dim gf

S

S

R

R

R

la Imgf

0 1 1 1 11 2 0

2 2 0 2 1 2 0 1 2 0 11 1

1 2 0 1 1 2 0 1 1

1 2 0

x y z

x y z

x y z

11 -2 2

1 2

, , , , 0

1 1, , , 2 2 , 2 0,0,02 2

Im , , , , , ,

1 1Im , , , 2 2 , 2 , ,2 2

1 1

V

Si

Nf x y z f x y z

Nf x y z x y z x y z x y z

gf a b c f x y z a b c

gf a b c x y z x y z x y z a b c

R

2 2 1 2 3

2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 0 3 2 0 2 2

2 1 2 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 1 1 0

1 1 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2

f f 2f f f

a a a a c

b b a c a c a

c c a b a b a

1 1 2

3 3 1

1 f f f

2

f f f

3 30

2 2

0

3, , 2

3 , ,2

3 ,1,12

3 ,1,1 S genera a Nf2

dim 3-numero de restrc.

3 2 1 numero de vectores de S

S e

x z x z

y z y z

Nf x y z x z y z

Nf z z z z

Nf z z

S

R

R

s base del Nf


4.- Sea:

3

2

2

1

2

2

: ( )

( , , ) ( , , ) ( ) ( )

(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)

1 , ,

f P t

a b c f a b c b a b c t a b c t

B

B t t t t

R

a) Hallar C

Cf

b) Hallar 1

2

B

Bf Utilizando matrices de cambio de Base.

1 1

2 2

2

22

2

1 1 1

2

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

1,0,0 1,0,0 1 0 0 0 0 0 0

0,1,0 0,1,0 1 0 0 0 0 0 0

0,0,1 0,0,1 1 0 0 0

0

1

0

)

0 0 0

0 1 0

1 1 1

1 1 1

C

C

B C BC

CB B C

B

C

f t t t t t t

f t t t t t t

f t t t t

t t

t t

t t

b f

t t

f

f Id Id

Id

2

2

1

2 2 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

f f f

C

B

B

C

Id

Id

1

2

2 2 3

3 3

f f f

f f 1

1 0 0 1 1 0

1 1 1 1 0 1

0 0 1 0 1 1

C B

B CId Id

1

2

1

2

0 1 0

1

1 0 0 1 1 0

1 1 1 1 01 1

1 1 1

1

0 0 1 0 1 1

1 0 1

1 2 1

0 0 2

B

B

B

B

f

f

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