Reglas de la suma y el producto

1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres

vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?

2. C V C

3. --- --- --- 5.3.4 = 60 (regla del producto)

4. 5 3 4

5. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en

los que

a. ningún dígito se pueda repetir.

b. 9 9 8 7 6 5

c. --- --- --- --- --- ---

d.

e. 9.9.8.7.6.5 = 136.080 (regla del producto)

f. se pueden repetir los dígitos.

g. 9.10.10.10.10.10 = 900.000 (regla del producto)

6. Ana y María vieron a dos hombres alejarse en automóvil frente a una joyería,

justo antes de que sonara una alarma contra robos. Cuando fueron

interrogadas por la policía, las dos jóvenes dieron la siguiente información

acerca de la placa (que constaba de dos letras seguidas de cuatro dígitos).

María estaba segura de que la segunda letra de la placa era una O o una Q, y

que el último dígito era un 3 o un 8. Ana dijo que la primera letra de la placa

era una C o una G y que el primer dígito era definitivamente un 7.

¿Cuántas placas diferentes tendrá que verificar la policía?

7. C/G Q/O 7 0 a 9 0 a 9 8 ó 3

8. ----- ----- ----- ----- ----- -----

9. | | | | | |

10. 2 x 2 x 1 x 10 x 10 x 2 = 800 (regla del producto)

11. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un

sistema de carreteras de doble sentido.

a. ¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?

2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)

b. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de

regreso al pueblo A?

14.14 = 196 (regla del producto)

c. ¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el

viaje de regreso (del pueblo C al pueblo A) es diferente, al menos

parcialmente, de la ruta que toma Juan del pueblo A al pueblo C? (Por

ejemplo, si Juan viaja de A a C por las rutas R1 y R6 podría regresar por

las rutas R6 y R2, pero no por R1 y R6).

14.13 = 182 (regla del producto)

Permutaciones

1.

a. ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?

P8 = 8! = 40.320.

b. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?

P7 = 7! = 5.040.

c. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y

terminan con la letra c?

P6 = 6! = 720.

2. ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo

que ninguna e quede junto a otra?

3. e _ e _ e _ e _ e

4.

5. P4 = 4! = 24

6.

a. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?

Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la

permutación VI1SI2TI3NG sería distinta de VI2SI1TI3NG. Pero esto no es lo que

queremos, en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las

tres I pueden ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces.

Por lo tanto hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes.

b. ¿Cuántas de ellas tienen las tres letras I juntas?

Las restantes 5 letras pueden ordenarse de P5 formas. Las 3 letras I pueden

ubicarse en 6 posiciones diferentes: al principio, al final o en cualquiera de los 4

espacios entre las otras 5 letras. Así, hay6.5! = 6! = 720 palabras con las tres I

juntas.

III_ _ _ _ _

_III_ _ _ _

_ _III_ _ _

_ _ _III_ _

_ _ _ _III_

_ _ _ _ _III

Combinaciones

1. Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El

orden no importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen?

Existen

10 10! 10.9.8

C7 = --- = ------ = 120

7!3! 3.2.1

combinaciones posibles de preguntas que puede contestar.

2. Juan quiere dar una fiesta para algunos de sus amigos. Debido al tamaño de su

casa, sólo puede invitar a 11 de sus 20 amigos. ¿De cuántas formas puede

seleccionar a los invitados?

Hay

20 20!

C11 = ---- = 167.960

11!9!

formas de elegir a los 11 amigos.

3. En una reunión de 6 personas, ¿cuántos saludos de mano pueden

intercambiarse, si entre cada 2 personas, se dan la mano una sola vez?

4. 6 6! 6.5

5. C2 = ---- = --- = 15

6. 2!4! 2

7. Una persona que sale de vacaciones desea llevarse 4 libros para leer: dispone

de 4 novelas policiales y 6 libros de cuentos cortos. ¿De cuántas formas puede

hacer la elección si quiere llevar al menos una novela?

8. 6

9. N C C C --> 4C3 = 80

10. 4 6

11. N N C C --> C2C2 = 90

12. 4

13. N N N C --> C36 = 24

14.

15. N N N N --> 1

16.

17. 80 + 90 + 24 + 1 = 195

18. ¿Cuántos bytes contienen

a. exactamente dos unos?

b. 8 8!

c. C2 = --- = 28

d. 2!6!

e.

f. Ejemplo: 1 0 0 1 0 0 0 0

g. exactamente cuatro unos?

h. 8 8!

i. C4 = --- = 70

j. 4!4!

k.

l. Ejemplo: 0 1 0 1 0 1 1 0

m. exactamente seis unos?

n. 8 8!

o. C2 = --- = 28

p. 6!2!

q.

r. Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 0 1

s. al menos seis unos?

t. 8

u. 28 + C7 + 1 = 28 + 8 + 1 = 37

v. (Sumamos los bytes con 6 unos, los

w. bytes con 7 unos y el byte con 8 unos)

x.

y. Ejemplo: 1 1 1 0 1 1 1 1

19. ¿De cuántas formas es posible distribuir 12 libros diferentes entre cuatro niños

de modo que

a. cada niño reciba tres libros.

b. 12 9 6 3

c. C3.C3.C3.C3 = 220.84.20.1 = 369.600

d. los dos niños mayores reciban cuatro libros cada uno y los dos menores

reciban dos libros cada uno.

e. 12 8 4 12!8!4!

f. C4.C4.C2 = ------------ = 207.900

g. 8!4!4!4!2!2!

20. Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10 mujeres. ¿De

cuántas formas se puede hacer la selección si

a. no hay restricciones?

b. 20 20 !

c. C12 = ----- = 125.970

d. 12!8!

e. debe haber seis hombres y seis mujeres?

f. 10 10 10!10!

g. C6.C6 = -------- = 44.100

h. 6!4!6!4!

i. debe haber un número par de mujeres?

j. 10 10

k. Si hay 2 mujeres, debe haber 10 hombres => C2.C10

l.

m. 10 10 10

n. Si hay 4 mujeres, debe haber C8 hombres => C4.C8

o.

p. 10 10 10

q. Si hay 6 mujeres, debe haber C6 hombres => C6.C6

r.

s. 10 10 10

t. Si hay 8 mujeres, debe haber C4 hombres => C8.C4

u.

v. 10 10 10

w. Si hay 10 mujeres, debe haber C2 hombres => C10.C2

x.

y. 5 10 10

z. Σ C2i.C12-2i = 63.090

aa. i=1

bb. debe haber más mujeres que hombres?

cc. 10 10

dd. 7 mujeres y 5 hombres => C7.C5

ee. 10 10

ff. 8 mujeres y 4 hombres => C8.C4

gg. 10 10

hh. 9 mujeres y 3 hombres => C9.C3

ii. 10 10

jj. 10 mujeres y 2 hombres => C10.C2

kk.

ll. 10 10 10

mm. => Σ Ci.C12-i

nn. i=7

oo. debe haber al menos 8 hombres?

pp. 10 10

qq. 8 hombres y 4 mujeres => C8.C4

rr. 10 10

ss. 9 hombres y 3 mujeres => C9.C3

tt. 10 10

uu. 10 hombres y 2 mujeres => C10.C2

vv.

ww. 10 10 10

xx. => Σ Ci.C12-i

yy. i=8

21. Resolver el siguiente sistema.

22. 20 20

23. Ca + Ca-1 = 21

24. n n-1 n-2 12

25. Ca+1 - Ca - Ca = ------

26. Pa + 1

27. 20 20

28. Ca + Ca-1 = 21

29. --------- --> Stieffel

30. 21 m

31. Ca = 21 => a = 1 pues C1 = m

32.

33.

34. n n-1 n-2 12

35. C2 - C1 - C1 = --- = 6

36. --------- 2 --> Stieffel

37. n-1 n-2

38. C2 - C1 = 6

39. ----------- --> Stieffel

40. n-2

41. C2 = 6

42.

43. (n-2)(n-3) = 12

44. n2 - 5n + 6 = 12

45. n2 - 5n - 6 = 0

46. _______ 6

47. 5 + \|25 + 24 5 + 7 /

48. n = --------------- = ------- =

49. 2 2 \

50. -1

51. n = 6

52. Resolver el siguiente sistema:

53. x x+1

54. 4Cy = Cy+1

55. 3x 3x

56. C3y+1 = C12y-1

57. x x+1

58. 4Cy = Cy+1

59.

60. 4x! (x+1)!

61. ------- = ---------------

62. y!(x-y)! (y+1)!(x+1-y-1)!

63.

64. 4x!(y+1)!(x-y)! = (x+1)!y!(x-y)!

65.

66. 4(y+1) = (x+1)

67.

68. x = 4y + 4 - 1

69.

70. x = 4y + 3 (1)

71.

72. 3x 3x

73. C3y+1 = C12y-1

74.

75. => Hay dos posibilidades:

76.

3y + 1 = 12y - 1 => 9y = 2 => y = 9/2

No, pues y debe ser entero

3y + 1 + 12y - 1 = 3x => 15y = 3x => 5y = x (2)

De 1) y 2) 5y = 4y + 3

y = 3

x = 15

77.

Arreglos

1. Cuatro nadadores van a disputar la final del campeonato mundial. Los premios

son: 1º-medalla de oro, 2º-medalla de plata y 3º-medalla de bronce. ¿De

cuántas maneras pueden ser distribuidas esas medallas?

2. 4

3. A3 = 4! = 24

4. Con los dígitos 0,1,2,3,4,5

a. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar?

Se pueden formar A63 números. Pero están incluidos ahí los que comienzan con

cero, que son A52.

6 5

A3 - A2 = 100

Por ejemplo 045 no es un número de tres cifras, sino de dos.

b. ¿Cuántos son pares?

Los que terminan en 0:

5

A2 = 20

Los que terminan en 2 pero no comienzan con 0:

5 4

A2 - A1 = 16

Los que terminan en 4 pero no comienzan con 0:

5 4

A2 - A1 = 16

Total: 52

5.

a. ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra

TRIANGULO?

P9 = 9! = 362.880

b. ¿Cuántas comienzan con T y terminan en O?

c. T O

d. --- --- --- --- --- --- --- --- ---

P7 = 7! = 5.040

e. ¿Cuántas tienen las 4 vocales juntas?

f. 6.P5.P4 = 17.280

g. | |

h. | vocales

i. consonantes

j.

k. V C1 C2 C3 C4 C5

l. C1 V C2 C3 C4 C5

m. C1 C2 V C3 C4 C5

n. C1 C2 C3 V C4 C5

o. C1 C2 C3 C4 V C5

p. C1 C2 C3 C4 C5 V

q. ¿En cuántas la A ocupa lugar impar?

r. A A A A A

s. --- --- --- --- --- --- --- --- ---

t.

u. 5.P8 = 5.8! = 201.600

Si la A está en el primer lugar, las restantes letras pueden disponerse de P8

maneras. Lo mismo si la A está en 3º, 5º, 7º o 9º lugar. Por lo tanto hay 5.P8

ordenaciones posibles.

v. ¿En cuántas la A y la O ocupan lugares impares simultáneamente?

w. A O

x. --- --- --- --- --- --- --- --- ---

La A y la O se ubican en dos de 5 posiciones posibles: 1ª, 3ª, 5ª, 7ª y 9ª. Es

decir, pueden ubicarse de

5

A2 formas.

Las restantes 7 letras pueden disponerse de P7 formas. Por lo tanto, existen

5 7!5!

P7.A2 = ---- = 100.800

3!

ordenaciones posibles.

6. Determinar el valor de n en cada uno de los siguientes casos:

a. n

b. A2 = 90

c. n!

d. ------ = 90 => n(n-1) = 90 => n2 - n - 90 = 0

e. (n-2)!

f. _______ 10

g. 1 + \|1 + 490 1 + 19 /

h. n = ------------- = ------ =

i. 2a 2 \

j. -9

k. n=10

l.

m. n n

n. A3 = 3A2

o. n 3n!

p. ----- = ------

q. (n-3)! (n-2)!

r.

s. n(n-1)(n-2) = 3n(n-1)

t. n-2 = 3

u. n = 5

v.

w. n 24

x. 2A2 + 50 = A2

y. 2n! 2n!

z. ----- + 50 = -------

aa. (n-2)! (2n-2)!

bb.

cc. 2n(n-1) + 50 = 2n(2n-1)

dd. 2n2 - 2n + 50 = 4n2 - 2n

ee. -2n2 + 50 = 0

ff. n2 = 25

gg. n = 5

hh.

http://matematica.50webs.com/ejercicios-de-conteo.html

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.

Contando y Algo Más …

con la Función Generatriz

Carlota Andrés Rodríguez, Ricardo Díaz Santos

Instituto Tecnológico de Oaxaca

Didáctica

Resumen

El presente trabajo pretende que el estudiante (profesor) incorpore a su acervo de

herramientas

una poco utilizada tanto para contar como para otras aplicaciones: la función

generadora o

generatriz. Aún cuando se tienen planteamientos de su uso por A. DeMoivre (1667-

1754) en

la solución de problemas de probabilidad, su uso es limitado en cursos de Probabilidad

y

Estadística.

Tomando como punto de partida problemas sencillos que se pueden resolver sin

conocimiento

de técnicas conteo se involucra a la función generadora y posteriormente se dan

varias

definiciones y aplicaciones de diversas como solución de relaciones de recurrencia y

funciones

generadoras de probabilidad.

Introducción

El proceso educativo involucra necesariamente al proceso de aprendizaje. En el caso

de la

matemática, una referencia central acerca de su aprendizaje está ligada con saber

resolver

problemas: Si sabes matemáticas entonces, sabes resolver problemas. Con la presente

estrategia de trabajo se pretende que el estudiante estructure procesos de

pensamiento que le

resulten de gran utilidad no solamente en el planteamiento de problemas cuantitativos

sino

también en los no cuantitativos.

Se considera que el estudiante conoce las reglas de conteo: aditiva, multiplicativa,

permutaciones y combinaciones. Estas son fundamentales en muchas situaciones pero,

cuando

se aplican restricciones en aquellas relacionadas con el reparto de elementos en

diferentes

recipientes resultan insuficientes o son demasiado laboriosas. Por este hecho, se

presenta la

definición de función generatriz desde la visión de diferentes autores en el tiempo (la

primera

1de P.S. de Laplace en 1782), con la finalidad de tener una mejor comprensión de la

misma y

de sus aplicaciones. Es probable que el alumno resuelva algunos de los problemas que

se

plantean y a partir de la definición de función generadora logre encadenarla con las

herramientas que ya usa y fortalezca su conocimiento acerca del conteo. También, se

presentan algunos ejercicios y problemas de conteo que llevan implícita una relación

de

recurrencia y se aborda la solución de ésta con la función generatriz. Por último, se

plantean

situaciones que tienen que ver directamente con la probabilidad como son: función

generadora

de probabilidad, función generadora de momentos factoriales y función generadora de

momentos.

Planteamiento del problema

Contar, constituye un verdadero reto. No es aplicar reglas o fórmulas, es un proceso

mental

en el que se deben considerar cuidadosamente las relaciones entre los diversos

elementos

participantes. Como ocurre en algunos juegos, digamos ajedrez, conocer o saber de

memoria las reglas no implica saber jugar tal juego. Es necesario ponerse a jugar para

adquirir algún dominio del mismo.

Cuando se abordan problemas de conteo como paso previo para la determinación de la

probabilidad de un evento, el estudiante pregunta: ¿es de permutaciones o de

combinaciones? Desea una herramienta que le conteste en forma casi automática su

problema. No quiere plantear cuidadosamente como se relacionan los datos o

información

de su problema y descubrir por sí mismo que reglas debe aplicar para lograr su

respuesta.

Creemos que la función generatriz obliga al aprendiz de la mima a ser más analítico en

sus

planteamientos de conteo.

Desarrollo de la propuesta

En primer lugar, se describe lo que se considera un problema e inmediatamente una

lista de

situaciones que se cree son problemas con la finalidad de que el estudiante se interese

en

hallar la solución de algunos de ellos. Si no existe este deseo, el camino será difícil. Se

pretende que con las herramientas que dispone, sean las que fueren, logre alguna

solución

aún cuando sea por un proceso largo y laborioso.

2Luego, se presentarán algunas definiciones de función generadora que se han dado a

través

del tiempo y retomar algunos de los problemas resueltos para resolverlos ahora con la

función generadora.

Finalmente se presentan algunos teoremas y definiciones que logran darle una

estructura

más sólida a la definición y a las diversas aplicaciones de la función generatriz.

Se está elaborando una lista de ejercicios resueltos de nivel básico que apoyen en la

solución de otra lista de problemas que contiene aplicaciones de diferente naturaleza.

PROBLEMA:

“Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situación desde la que

quiero

llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfilada, y no

conozco el

camino que me puede llevar de una a otra” Miguel de Guzmán.

¿Cuáles de las siguientes situaciones considera usted que son problemas?, o bien,

¿cuáles de

ellas, además de ser un problema, quiere resolver?

1. ¿De cuántas formas se pueden repartir 10 cuadernos iguales entre cuatro niños si

cada

niño recibe al menos dos cuadernos?

2. ¿De cuántas formas se puede cambiar un billete de k pesos utilizando monedas de

$1.00, $2.00, $5.00 y $10.00?

3. ¿De cuántas formas se puede franquear una carta con r pesos utilizando timbres

(estampillas) de $3.00, $4.00 y $20.00?

a) suponga que no se toma en cuenta el orden en que se pegan las estampillas en

el sobre.

b) Suponga que las estampillas se pegan en una fila y que se tiene en cuenta el

orden en que pegan.

4. ¿De cuántas formas se pueden separar 3000 sobres idénticos en paquetes de 25,

entre

cuatro grupos de estudiantes, de modo que cada grupo tenga al menos 150, pero no

más de 1000 sobres?

5. Una empresa contrata a 11 nuevos empleados, cada uno de los cuales es asignado a

una

de cuatro subdivisiones. Si cada subdivisión recibe al menos a uno de ellos, ¿de

cuántas formas se pueden hacer las asignaciones?

6. Encuentre el número de formas en que se puede descomponer un entero positivo n

como suma de enteros positivos impares. ( L. Euler )

3En los seis planteamientos anteriores la pregunta específica es de cuántas formas,

por lo que

la solución es el resultado de un proceso de conteo. Aún cuando nuestro inicio con la

matemática es precisamente el conteo y seguimos haciéndolo en niveles educativos

posteriores, no es fácil dar respuesta a algunos de los planteamientos hechos

anteriormente.

Consideremos las siguientes situaciones:

7. Si se lanza un dado n veces, cuál es la probabilidad de que la suma de los

resultados

obtenidos sea m, n ≤ m ≤ 6n? ( Abraham DeMoivre)

8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 como suma cuando se tira un dado

repetidamente

y se tiene en cuenta el orden de los resultados obtenidos?

En estas dos situaciones la pregunta específica está referida a la probabilidad de un

evento.

Como el total de posibles resultados es un número finito, se requiere determinarlo al

igual que

el de aquellos que favorecen el evento definido y así poder calcular la probabilidad.

Esto es,

dependemos de saber contar.

9. Suponga que las palabras válidas en cierto código son los números de n dígitos en

notación decimal que contienen un número par de ceros. Sea an el número de

palabras válidas de longitud n. Si la sucesión { an } satisface la relación de

recurrencia

an = 8ªn-1 +10

n-1

y la condición inicial es a1 = 9. Encuentre una fórmula explícita para { an }.

Algunas de las situaciones descritas arriba se pueden resolver a fuerza bruta o

aplicando

algunas reglas de conteo como pueden ser: regla aditiva, regla multiplicativa,

permutaciones o

combinaciones. Sin embargo, al establecer mayor número de restricciones para

realizar un

reparto o distribución de elementos ya sean iguales o diferentes la dificultad se

incrementa

notablemente.

Si alguien le ofrece una herramienta que le permita trabajar con tan variadas

situaciones,

¿está usted dispuesto a adquirirla?

Más todavía, le aseguro que le permitirá trabajar situaciones mucho más interesantes

que las

consideradas hasta ahora, tales como las que se indican posteriormente.

Seguramente usted pregunte: ¿es difícil de operar esta herramienta?, ¿es alto el costo

de

aprender a manejarla?

4Le contestamos con preguntas: ¿Cuánto está dispuesto(a) a “pagar” por ella?, mejor:

¿cuánto

está dispuesto(a) a invertir por ella?

¿Cómo se llama la herramienta? FUNCIÒN GENERADORA O GENERATRIZ.

En los siguientes ejercicios está involucrada la función generadora y nos percataremos

de su

amplia aplicación en el campo de la probabilidad.

10. Se tira una moneda al aire hasta que salga un águila, con W igual al número de

tiradas

necesarias para determinar el experimento. Entonces,

PW( k ) =

k

2

1

k= 1,2.3….

a) Obtenga el valor esperado de , esto es,

w

t E(t

w

): Función generadora de

momentos factoriales o de probabilidad.

b) Obtenga ( )

tw

E e : función generadora de momentos.

11. Sea X una variable aleatoria con función generadora P(s). Encuentre las funciones

generadoras de X + 1 y de 2X .

12. Si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad

!

( ; )

x

e

P k

x

λ

λ

−λ

= k = 0,1,2,3,...

Obtenga ( )

x

E s .

13. Si X y Y son variables aleatorias independientes con distribución Poisson y

parámetros λ y µ respectivamente, entonces para la suma de X + Y encuentre

E(s

X Y

(

+

.

ÁREAS DE APLICACIÓN

Entre algunos temas o áreas de aplicación de la FUNCIÓN GENERADORA se pueden

mencionar: Procesos de ramificación, Convergencia de una sucesión de funciones de

masa,

Procesos regenerativos, Caminatas aleatorias, Ruina del jugador, Problemas de

ocupación,

Cruce de una carretera, Teoría de secuencias (carreras) de éxitos, Procesos de

difusión,

Cadenas de Markov.

DEFINICIONES DE FUNCIÓN GENERATRIZ

A continuación se presentan algunas definiciones de la función generadora, tomando

como

referencia el orden de aparición en el tiempo. La primera definición que se presenta

fue dada a

5conocer por Pierre Simon de Laplace (1749-1827) en su Memoria de las series

(1782). Sin

embargo, ya la habían utilizado anteriormente Abraham DeMoivre (1667-1754) en la

solución

de un problema de probabilidad relacionado con el lanzamiento de dados, (Doctrine of

Chances,1718). Leonhard Euler (1707- 1783) también la utilizó en la determinación

del

número de formas en que se puede descomponer un entero positivo como suma de

enteros

positivos. Otro renombrado matemático pionero en el desarrollo de las funciones

generatrices

fue James Stirling (1692-1770).

1) FUNCIÓN GENERATRIZ (P.S.Laplace,1782): “Si se imagina una función A de una

variable, desarrollada en una serie ascendente respecto a las potencias de dicha

variable, el

coeficiente de una cualquiera de estas potencias será una función del índice o

exponente de la

misma. Es a A a lo que yo llamo función generatriz de dicho coeficiente o de la función

del

índice.”

2) FUNCIÓN GENERATRIZ (W. Feller,1950): Sea una sucesión de números

reales. Si

a0

, a1

, a2

...,

( ) = + + + +Λ

3

3

2

0 1 2

A s a a s a s a s

Converge en algún intervalo 0 0

− s < s < s , entonces A(s) es llamada función generatriz de

la sucesión { }.

j

a

3) FUNCIÓN GENERADORA(C.L. Liu, 1985): Para una función numérica

(a0

, a1

, a2

,...an

,...) , definimos la serie infinita

+ + + + Λ +Λ

r

r

a a z a z a z

2

0 1 2

a la cual llamamos función generadora de la función numérica a.

En realidad, podemos considerar que hasta el momento sólo hemos introducido una

notación

nueva. En lugar de escribir cada uno de los valores de una función numérica y usar

comas a

manera de “separadores” como en (a0

, a1

, a2

,Κ , ar

,Κ ), escogemos una variable formal y

usamos las potencias de como “indicadores” en una serie infinita, tal que el coeficiente

de

sea el valor de la función numérica en

z

z

r

z r . Para una función numérica a, usamos la

correspondiente letra mayúscula y escribimos A(z) para denotar a la función

generadora de a.

Es claro que a partir de una función numérica podemos obtener con facilidad su

función

generadora, y viceversa.

6Por ejemplo, la función generadora de la función numérica (3 ,3 ,3 ,Κ ,3 ,Κ )

0 1 2 r

es

+ + + + + Λ +Λ

r r

3 3z 3 z 3 z 3 z

0 2 2 3 3

Observemos que la serie infinita anterior se puede escribir en forma cerrada (explícita)

como

1 3z

1

−

que es una forma más compacta de representar a la función numérica ( 1, 3, 3

2

, . . . , 3

r

.( . . . ,

4) FUNCIÓN GENERATRIZ (D. Stirzaker, 1994): Dada una colección de números

(a ;i ≥ 0 la función

i

(

i

i

a i

g x ∑a x

∞

=

=

0

( )

Es llamada la función generatriz de { }. (Por supuesto, es necesario que converga en

alguna parte si está definida como una función de . Si consideramos a como un

elemento de un anillo de polinomios, tal convergencia no es necesaria).

i

a

i

i

i ∑a x

∞

=0

a

g x a

g

5) FUNCIÓN GENERATRIZ ORDINARIA (V.K.Balakrishnan, 1991): Si a

r

r = 0 ( ) ,1,2,Κ

es el número de formas de seleccionar r objetos en un determinado problema

combinatorio (

o, más generalmente, el número de soluciones de un problema combinatorio ), la

función

generatriz ordinaria para este problema combinatorio es la serie de potencias

+ + + +Λ

3

3

2

0 1 2

a a a x a x

Cualquier polinomio en es una serie de potencias en . Por ejemplo, el polinomio

se puede escribir como

x x

2 4

3x + 2x + + + + + + + Λ

2 3 4 5 6

0 0x 3x 0x 2x 0x 0x

Considere ahora el problema a + b + c = r , donde y c valen al menos 2 y cuando

mucho

4. Entonces

a, b

r varía de 6 a 12. Para una r fija seleccionada, sea el número de soluciones

en los enteros. Por lo tanto es el coeficiente de en la función generadora

r

a

r

a

r

x g(x) del

problema, donde ( ) ( )

3

2 3 4

g x = x + x + x , que es igual a

.

6 7 8 9 10 11 12

x + 3x + 6x + 7x + 6x + 3x + x

7Ejemplo. El número de formas de seleccionar r elementos de un conjunto de n

elementos es

C(n, r), y la función generadora para este problema combinatorio es g(x) , donde

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r n

g x C n ,0 C n ,1 x C n ,2 x C n , r x C n , n x

2

+ + = Λ + Λ + + + )

que corresponde a la expansión binomial de ( )

n

1 + x .

En el ejemplo anterior, ( ) ( ) es la función generadora de las formas de seleccionar

n

g x = 1 + x

r elementos de un total n cuando el orden no es relevante. Sin embargo, existen

muchos

problemas en donde el orden es crucial, para lo cual se requiere una herramienta

semejante.

Tomemos como punto de partida a la presente g(x) .

Recordemos que

( )

( )

( )

P n( ) r

r r

P n r

r n r

n

C n r ,

!

1

!

,

! !

!

⎟ ,

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= =

−

=

donde P(n, r) es el número de permutaciones de n objetos tomados de r en r , en

donde el

orden de los elementos es significativo. Así,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n

1 x C n,0 x C n,1 x C n,2 x C n,3 x C n, n x

0 1 2 3

= + + Λ + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

!

,

3!

,3

2!

,2

1!

,1

0!

,0

0 1 2 3

n

x

P n n

x

P n

x

P n

x

P n

x

P n

n

+ + Λ + + +

Si observamos cuidadosamente el coeficiente de

r!

x

r

en la expresión anterior, encontramos

que es precisamente P(n, r) . Con base en esto, se da la siguiente definición.

6) FUNCIÓN GENERATRIZ EXPONENCIAL (R.P.Grimaldi,1999): Para una sucesión de

números reales a0

+ a1

+ a2

+ a3

+Λ

( )

2! 3! 4! !

0

4

4

3

3

2

0 1 2

i

x

a

x

a

x

a

x

f x a a x a

i

i ∑ i

∞

=

+ + = Λ + + + =

es la función generatriz exponencial de la sucesión dada.

Si analizamos el desarrollo en serie de MacLaurin para , tenemos que

x

e

∑

∞

=

= + + + + + + =

0

2 3 4 5

2! 3! 4! 5! !

1

i

i

x

i

x x x x x

e x Λ

8de modo que es la función generatriz exponencial de la sucesión 1, 1, 1, 1, 1, 1, ….(

es

la función generatriz ordinaria de

x

e

x

e

,Κ

4!

1

,

3!

1

,

2!

1

1,1, ).

Ejemplo. ¿De cuántas formas se pueden ordenar cuatro letras de la palabra ANTENA?

AANN 4!/2!2! ATNN 4!/2!

AATN 4!/2! AENN 4!/2!

AAEN 4!/2! TENN 4!/2!

AATE 4!/2! AETN 4!

¿Cuál es la función generatriz exponencial asociada a este problema?

TEOREMAS BÁSICOS

Teorema. (a) Sea el coeficiente de en

r

a

r

x ( ) ( )

n

g x = + x + x + x +Λ

2 3

1 . Entonces

a C r n ( ) r .

r

= + −1,

(b) 1( ) 1 ( ) ,1 ( ,2) ( 1) .

m n m 2m n nm

x = − C n − Λ x + C n x − + − x

(c) 1( ) (1 ) (1 ) .

2 1 2 3 m n m n n

+ x + x + + x = − x Λ + + x + x + x Λ

−

Teorema. Si g(x) es la función generadora para y

r

a h(x) es la función generadora para

entonces:

r

b

a) Ag( )x + Bh(x)es la función generadora para .

r r

Aa + Bb

b) 1− ( )x g(x)es la función generadora para −1 r

− r

a a .

c) ( + x + x +Λ )g(x)

2

1 es la función generadora para ( 0 1 2

.(

r

a + a + a +Λ + a

d) g( )x h(x) es la función generadora para ( ).

0 1 1 2 2 0

a b a b a b a b

r r r r

− +

− +

+Λ +

e) xg (x)es la función generadora para , donde

'

r

ra g (x)

'

es la derivada de g(x) con

respecto a x .

Conclusión

La presente propuesta de enseñanza- aprendizaje de la función generadora está

considerada

para llevarla a cabo en un curso- taller durante la jornada académica de Ciencias

Básicas del

912 al 16 de noviembre del presente año. Posteriormente tendremos conclusiones y

sugerencias

para un mejor desarrollo del mismo.

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