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Examen Parcial - Clculo IEAPs: 14.1, 14.4, 14.5
1. [1 pto. c/u] Diga si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justifiqueapropiadamente sus respuestas;
afirmacin no justificada se calificar con cero.
a) La recta y = 2 es la directriz de la parbola x2 = 8y.b) La
ecuacin 400x2 80y2 160x + 40y + 11 = 0 representa a una
hiprbola.Responda y justifique a cada una de las interrogantes en
forma clara y concisa. Res-puesta no justificada ser calificada con
el puntaje cero.
c) En qu caso la razn de divisin de un segmento es negativa?d)
Cul es la ecuacin y la grfica de la familia de rectas de pendiente
m = 1?
2. [4 ptos.] Demostrar que el tringulo formado por una tangente
cualquiera a una hi-prbola y sus asntotas tiene un rea
constante.
3. [4 ptos.] Determinar la funcin h(x) tal que f(x) = (h1 g)(x)
= h1(g(x)), donde
f(x) =
{2 x2 , 3 x 21x2 4 , x 4 g(x) =
{x2 7 , x 41 x2 , 0 < x 1
4. [4 ptos.] Calcular limx3
6 + x x26 2x , y probar su afirmacin usando la definicin de
lmite.
Dar su significado geomtrico.
5. [2 ptos. c/u]
a) Si limxa
f(x) = L1 y limxa
g(x) = L2, entonces demuestre que limxa
[f(x)g(x)] = L1L2.
b) Hallar el lmite (si existe) limx1
(3x5 3x4 + 2x2 x 1)sen3(
3
x 1).
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SOLUCON1. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o
falsas. Justifique apropiadamente
sus respuestas; afirmacin no justificada se calificar con
cero.
a) La recta y = 2 es la directriz de la parbola x2 = 8y.Solucin:
FALSO. La forma general de la parbola (en este caso) viene dado
por
(x h)2 = 4p(y k)Donde p es el parmetro (h = k = 0). De dicha
ecuacin, tenemos que 4p = 8; esdecir,
p = 2Luego, el foco de la parbola estar ubicado en (h, p+ k) =
(0,2); mientras que sudirectriz estar determinada por la recta y =
k p, es decir
LD : y = 2
La cual es una recta paralela al eje X de las abscisas.
b) La ecuacin 400x2 80y2 160x + 40y + 11 = 0 representa a una
hiprbola.Solucin: VERDADERO. La forma general de una ecuacin
cuadrtica viene dadapor
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
Con A,B,C,D,E, F constantes. Para nuestro caso particular,
tenemos que
A = 400 B = 0 C = 80Adems, la discriminante ser
= (2B)2 4AC = 0 (400)(80) = 3200 > 0Como > 0, entonces la
ecuacin determina una hiprbola.
Responda y justifique a cada una de las interrogantes en forma
clara y concisa. Res-puesta no justificada ser calificada con el
puntaje cero.
c) En qu caso la razn de divisin de un segmento es negativa?
Solucin: Sean los puntos A(a1, a2) y B(b1, b2) que delimitan el
segmento ~AB, y elpunto P (x, y) (P ~AB); diremos que la razn en la
que P divide a ~AB es negativa,si consideramos a P como el punto
inicial (o final) de los segmentos en los que sedivide ~AB, es
decir, si definimos la razn como
r =x a1x b1 =
y a2y b2 o r =
a1 xb1 x =
a2 yb2 y
Tendremos que la razn (r) ser negativa.
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d) Cul es la ecuacin y la grfica de la familia de rectas de
pendiente m = 1?Solucin: La forma general de la ecuacin de la recta
est dado por
y = mx + b
Donde m es la pendiente, y b indica que el punto (0, b) es punto
de paso de dicharecta. Para m = 1, tendremos que
Lb : y = x + b
representar a una familia de rectas, cada una de ellas
particularizada por su puntode paso (0, b).
2. Demostrar que el tringulo formado por una tangente cualquiera
a una hiprbola y susasntotas tiene un rea constante.
Solucin: Sea la hiprbola
H :x2
a2 y
2
b2= 1
Entonces sus asntotas sern
L1 : y =b
ax L2 : y = b
ax
Consideremos un punto fijo P0(x0, y0) perteneciente a la
hiprbola. Definimos la rectatangente a P0 como
LT : y = mTx + k
donde mT es la pendiente, que adquiere el valor
mT =bx0
ax02 a2
(-2,-2)(2,2) [gridcolor=red,subgridcolor=red]
[plotstyle=curve,linecolor=Blue]-1.51.5x 3exp x sub
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