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Les vagues : un
exemple d’ondes
dans les milieux
naturels. 5 Mai 2017
Formation
du plan académique
Michael Berhanu
Introduction Expérience commune : étendue d’eau plane au repos. Perturbation propagation d’ondes.
Différentes échelles, différentes formes.
Illustration des phénomènes ondulatoires dans toute leur richesse : dispersion, paquet d’ondes, propagation géométrique (réfraction), propagation ondulatoire (interférences, diffraction), ondes non-linéaires. Importance environnementale : houle à la surface des océans. Vagues crées par le vent. Courant marins. Circulation océanique. Climat. Echange atmosphère/océan. Stockage du carbone.
Interface liquide / gaz
Surface libre : se déforme facilement sous l’action d’une perturbation mécanique. Le plus souvent interface eau /air
Dans ce cas, peu de dissipation. Une perturbation (à suffisamment grand échelle) se propage à partir d’une source sur une distance grande devant la longueur d’onde. Dynamique conservative. Oscillation de la surface libre : transfert entre énergie cinétique et énergie potentielle. Force de rappel / Inertie
Notations Surface libre initialement horizontale à l’altitude z=0
Déformation : (x,y,t)
On suppose dans un premier temps onde monochromatique sinusoïdale :
une seule fréquence f=1/T avec T période de l’onde.
Longueur d’onde = c T avec c célérité de l’onde.
Pulsation =2 f .
Nombre d’onde 𝑘 dirigé dans le sens de propagation
k=(2 )/ .
𝑘
Force de rappel : gravité à
grande échelle
Déformation de la surface libre dans le champ de
pesanteur terrestre supposé uniforme et orienté selon
l’axe vertical => Variation de l’énergie potentielle de
pesanteur.
Par unité de surface pour une vague se propageant
selon x.
Force de rappel : capillarité à
petite échelle Tension de surface : Cohésion interne du liquide. Force attractive entre molécules du fluide force à très courte portée. Modélisation effets de surface. Energie proportionnelle à la surface. Coefficient de tension de surface. Dépend de la nature chimique du couple liquide/gaz, de l’état de l’interface (présence ou absence de surfactants), de la pression du gaz et de la température. = 72 mN/m (eau pure atmosphère à 25°C)
Par unité de surface pour une vague se propageant selon x.
Longueur gravito-capillaire Pour une vague sinusoïdale
et de faibles amplitudes, a << (ou k a << 1)
Ecap >> Eg si << 2 Lc avec
Lc = 2.7 mm (interface eau air pure avec l’air)
Vagues capillaires pour << 17 mm
Fortes déformations à petite échelle : emprisonnement d’air, bulles,
mousses.
Présence de surfactants, formation d’écume, stabilise les interfaces,
plus grand amortissement des vagues.
Ondes capillaires
en apesanteur
En absence de gravité, (microgravité, espace),
Tension de surface seule force de rappel
Liquide se met en boule au repos
Pures ondes capillaires,
Lc infinie.
Problème du ballotement.
Voir Sloshing in space - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=PPvHZAAGuW4
Cinématique des vagues Une vague : déformation de l’interface + mouvement des 2 fluides de chaque côté de l’interface. Dans le cas eau/air on néglige le mouvement de l’air car eau >> air Mouvement dans l’eau (fluide incompressible et écoulement potentiel « sans tourbillon ») + Conditions aux limites. Au fond, vitesse de pénétration nulle. A la surface libre eau/air : Condition cinématique = vitesse de l’eau à l’interface => Non-linéarité Condition dynamique, pression à la surface libre = pression atmosphérique. Relation de Bernoulli. Modification de la pression par la pesanteur et la capillarité.
Cinématique des vagues Effet de la profondeur h de la couche d’eau.
1er cas : vagues en eau profonde, le fond n’est pas senti. << 2 h
A faible amplitude : trajectoires des particules de fluides.
Lignes de courant : cercles dont le rayon décroit
exponentiellement avec la profondeur.
Pas de déplacement d’ensemble
des particules de fluide. Pas de mélange.
Par unité de surface pour une vague se propageant selon x.
Cinématique des vagues
Relation de dispersion en eau
profonde En moyenne, <Ec>=<Ep>
On en déduit la relation de dispersion entre et k.
Vitesse de phase Vitesse de groupe
Propagation dispersive. Un paquet d’ondes composé
d’une somme d’ondes à plusieurs fréquences
se déforme au cours de sa propagation
Minimum de vitesse de phase 0.23 m/s
à la transition gravito-capillaire.
Vitesse de groupe, propagation enveloppe
et de l’énergie
Vagues en eau peu profonde
Relation de dispersion cas général
pour un fond plat.
Régime d’eau peu profonde k h << 1
Grandes longueurs d’ondes.
= 𝑔ℎ k . Propagation non dispersive.
Vitesse indépendante de k,
mais dépend de la profondeur h.
Faible amplitude, les vagues suivent une
équation d’onde de d’Alembert
Analogie avec l’optique ou
l’acoustique.
Mouvement des particules de fluide
quasi horizontal.
Dissipation visqueuse
1ère limite des modèles précédents.
Frottement entre particules fluides par viscosité
Energie cinétique => Energie thermique.
Essentiellement frottement à la surface
(dissipation augmentée en présence de surfactants)
et sur les parois solides (fond).
Amortissement des vagues.
Décroissance exponentielle de l’amplitude (exemple f=33 Hz, longueur d’atténuation 8cm)
Vagues océaniques de grande longueur d’onde dissipation négligeable.
f=1 Hz, ~1.5m, longueur d’atténuation ~ 37 km
Vagues de forte amplitude
effets non-linéaires 2nd limite. Equations obtenues
dans l’hypothèse de faibles déformation
k a << 1
Lignes de courant ne se referment pas.
Dérive de Stokes.
Transport de flotteurs par les vagues.
La forme des ondes s’éloigne d’une forme
sinusoïdale. Pour les ondes de gravité,
Ondes de Stokes. Dissymétrie haut/bas
Pointes en haut, creux en bas.
Forte déformation. Déferlement. Renversement de la vague.
Vitesse plus grande au sommet qu’à la base.
Fort amortissement de la vague.
Création d’écoulement à petite échelle.
Vagues en eau peu profonde
Bathymétrie variable
Au voisinage des côtes :
h diminue, c diminue,
à fréquence constante, k augmente
donc diminue
par conservation de l’énergie
amplitude augmente,
Raidissement, déferlement,
Une plage absorbe les vagues,
pas de réflexion.
Vagues en eau peu profonde
Bathymétrie variable Analogie avec l’optique géométrique.
Zone profonde, propagation rapide.
Zone peu profonde, propagation plus lente (indice plus grand).
1
Réfraction des vagues
Loi de Descartes
Ile conique. Equivalent d’une lentille convergente
pour les vagues de grandes longueurs d’onde.
Souvent diffraction non négligeable
Vagues en eau peu profonde
Vagues à l’approche d’une côte
Redressement du champ de vague, à l’approche
d’une côte faiblement inclinée. (Falaise réflexion).
Analogue d’un mirage optique,
avec un indice spatialement variable.
Tsunamis
● Vagues de très grande longueur d’onde
( ~100 km) créées par un séisme. Déplacement du fond marin, le long d’une faille d’une zone de subduction entre deux plaques tectoniques.
● Profondeur des océans ~ 4 km
Propagation en régime d’eau peu profonde. Hauteur typique ~ 10 cm au large
● Proche des côtes, augmentation
de la hauteur de la vague, raidissement du front, déferlement.
● Conséquences catastrophiques.
Sumatra le 26 décembre 2004
Japon Tōhoku le 11 mars 2011 …
Mécanisme de formation ● Propagation et déferlement bien compris : vagues en eau peu profonde
● Mouvement vertical brutal du fond marin
le long d’une fosse océanique, lors d’un séisme => Déformation de la surface libre de l’océan => Création et propagation d’un train d’ondes.
● Paramètres : Profondeur 5 km, Taille 100 km de la zone déformée au fond
Amplitude du mouvement du fond 1 m Vitesse de déformation. Faible vitesse par rapport à la vitesse des ondes de surface : la surface libre reste horizontale. Grande vitesse : la déformation du fond est translatée à la surface libre.
Fond marin
Surface libre de l’océan
Reproduire ce mécanisme au laboratoire DISPOSITIF EXPERIMENTAL ● Cuve en plexiglas de 110x110x30 cm ● Membrane en caoutchouc au centre déformable, diamètre de la zone déformée 5 cm ● Vibreur électromagnétique impose une déformation du fond contrôlée dans le temps, avec un piston axisymétrique. ● Epaisseur d’eau 25 mm ● Mesure du déplacement du fond et de la surface libre via la vidéo ● Mesure de champ de vitesse par PIV: Vélocimétrie par images de particules
Nappe laser verte dans le plan vertical Corrélations d’images permet de mesurer l’écoulement dans ce plan.
● Square basin
● Dimensions: 110 x 110 cm
● Typical water depth: 𝑑 = 2.5 cm
● Deformed bottom region: ∅ ≈ 6 cm
Dispositif expérimental
Typical generated “tsunami” Wavelength: ~ 10 cm
Time to lateral walls: > 1 s
Mesures
Surface libre 𝜂(𝑟, 𝑡) and champ de vitesse 𝜙(𝑟, 𝑧, 𝑡) à partir des images PIV
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Effet de la vitesse de déplacement du fond marin
lors de la génération d’un tsunami
● Le temps caractéristique du tsunami,
doit être comparé au temps typique de propagation des vagues. Taille de la zone déformée sélectionne une longueur d’onde et donc un temps via la relation de dispersion.
● Modèle linéaire.
Déplacement de la surface libre proportionnel au déplacement du fond. Fonction de transfert Tsunami rapide : génération efficace. Tsunami lent : pas d’onde crée, déformation de la surface libre tend vers 0
● Mouvement rapide du fond (𝜏 ≪ 1):
Champ de vitesse expérimental
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Generation of surface waves by an underwater moving bottom
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● Mouvement modéré du fond (𝜏 ~1):
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Generation of surface waves by an underwater moving bottom
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Champ de vitesse expérimental
● Mouvement lent du fond (𝜏 ≫ 1):
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Generation of surface waves by an underwater moving bottom
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Champ de vitesse expérimental
Houle océanique.
Vagues créées par le vent
Vent, mouvement atmosphériques, source principale des vagues. Mécanisme complexe.
Longueur d’onde augmente avec la distance d’application du vent
Houle terme
réservé pour les
vagues
loin de la zone
de génération
Vitesse des vagues
s’approche de la
vitesse du vent
quand cette distance
augmente mais sans
l’atteindre.
Houles irrégulières
Effets non-linéaires
La houle peut apparaitre très désordonnée, chaotique, du fait de la présence simultanée
de plusieurs fréquences.
Décomposition spectrale du signal de vagues : spectre de hauteur de vagues.
Différentes
vitesses
de vent
Différentes
longueurs
de fetch
Effets non-linéaires permettent des transferts
d’énergie entre différentes fréquences, entre
différentes échelles spatiales. Le maximum du
spectre se décale vers les basses fréquences et
de l’énergie est transférée à petite échelle
(déferlements, dissipation, écume).
F1=15 Hz et F2=18 Hz
F3=33 Hz
(eau profonde)
Interactions non-linéaires entre vagues Termes non-linéaires (en particulier dans les conditions aux
limites), induisent des multiplications des différentes
composantes du champ d’onde.
Génération d’harmoniques ( 2 f, 3 f …) par auto-interaction,
mais aussi de nouvelles fréquences.
F1=15 Hz et F2=18 Hz, 12 = 54°
F1=15 Hz et F2=18 Hz 12 = 54° Régime stationnaire
Spectre de Puissance de hauteur de vagues (sonde locale).
Pic à F1+F2 + pics harmoniques.
A forte amplitude nombreux pics: Résonances d’ordre supérieur et
élargissement des pics.
● Forçage: Bruit blanc filtré entre deux fréquences 4 Hz and 6 Hz.
Cuve rectangulaire :
Turbulence d’ondes capillaires (f>20 Hz) excitée par des ondes de
gravité.
Régimes désordonnés à forte amplitude
ondes gravito-capillaires
Spectre spatio-temporel ● Films de hauteur de
vagues
=> Spectre
spatio-temporel
=> relation de
dispersion
expérimentale.
Spectre continu
A petite échelle, il n’y
a plus de mémoire des
conditions de forçage
Régimes désordonnés à forte amplitude
ondes de gravité
Identification et compréhension des mécanismes non-linéaires.
Compréhension des états de mer.
Bassin
de l’école
Centrale de
Nantes.
48, 30, 5 m
batteurs
Excitation
aléatoire
Vagues et océanographie
Vagues crées par le vent, produisent
les courants océaniques,
via la dérive de Stokes.
Importance des courants
dans le transport de chaleur
et influence sur le climat.
Echange atmosphère/océan (déferlements, projection de gouttelettes, surface de contact).
Gaz dissous dans la mer (dioxygène, dioxyde de carbone …)
Vagues très étudiées dans
le génie maritime.
Tenue des bateaux et structure,
freinage par les vagues …
