Exercices de Probabilités 2006

Dpartement de Mathmatiques et Informatique

Ex er ci ces Cor r i g sAbdelhamid El MossadeqP rofesseu r lE H T P

2006-2007

A. El Mossadeq Juin 2006

TABLE DES MATIERES

Analyse Combinatoire Les Espaces de Probabilit Les Variables Alatoires Les Vecteurs Alatoires Les Lois Usuelles de Probabilit

1 29 101 149 209

Analyse Combinatoire

A. El Mossadeq


Exercice 1 Soit A et B deux ensembles et f une application de A dans B. On suppose que B est ni de cardinal n et que pour tout y dans B, le cardinal de limage rciproque de y par f , f 1 ({y}), est gal un entier non nul p. 1. Montrer que f est surjective. 2. Soit R la ralation dquivalence associe f . Montrer que A/R et B sont quipotents. 3. En dduire le cardinal de A.

Solution 1 1. Par hypothse, le cardinal de f 1 ({y}) est non nul pour tout y dans B. Donc f 1 ({y}) est non vide pour tout y dans B, do la surjection de f. 2. Daprs la dcomposition canonique de f , A/R et f (A) sont quipotents. Or f est surjective, donc f (A) = B, et par consquent A/R et B ont mme cardinal. 3. Pour tout x A,dsignons par C (x) la classe dquicalence de x modulo R. On a : C (x) = = = = {y A | xRy} {y A | f (x) = f (y)} y A | y f 1 ({f (x)}) f 1 ({f (x)})

On en dduit que C (x) a pour cardinal p pour tout x A. Soit alors x1 , ..., xn un systme de reprsentants des classes dquivalence modulo la relation dquivalence R. Comme C (x1 ) , ..., C (xn ) forment une partion de A, on a : card A =n X k=1

card C (xk ) = np

Exercice 2 Soit A et B deux ensembles de cardinaux respectifs n et p, et dsignons par F (A, B) lensemble des applications de A dans B. 1. Dterminer le nombre dapplications de A dans B pour n = 1 et n = 2. 2. Soit a A et A1 = A {a}. Montrer que F (A, B) et F (A1 , B) F ({a} , B) sont quipotents. 3. En dduire, par un raisonnement par rcurrence, le nombre dapplications de A dans B.

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A. El Mossadeq

Solution 2 1. n = 1 : pour dnir une application de A = {a} dans B, il sut de dnir limage de a dans B. Il y a p possibilits, donc p applications de A dans B. n = 2 : pour dnir une application de A = {a, b} B il sut de dnir les images a et b dans B. Pour chacun deux, il y a p possibilits, donc p2 applications de A dans B. 2. Considrons lapplication : F (A, B) f 7 F (A1 , B) F ({a} , B) f|A1 , f|{a}

o f|A1 et f|{a} reprsentent les restrictions de f A1 et A1 respectivement, est une bijection. 3. Il sen suit que : card F (A, B) = = = card [F (A1 , B) F ({a} , B)] card F (A1 , B) card F ({a} , B) p card F (A1 , B)

Par un raisonnement par rcurrence sur n, n 1, on conclut que : card F (A, B) = pn

Exercice 3 Soit E un ensemble ni de cardinal n et P (E) lensemble de toutes les parties deE. 1. Soit f de E dans {0, 1} une application. Montrer quil existe une partie unique A dans P (E) telle que f soit la fonction caractristique de A. 2. En dduire, en utilisant Exercice 2., le cardinal de P (E).

Solution 3 1. Soit : une application. A = f 1 ({1}) est lunique partie de E telle que f soit la fonction caractristique A de A. f : E {0, 1}

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2. Lapplication : P (E) A 7 F (E, {0, 1}) A

o F (E, {0, 1}) est lensemble des applications de E dans {0, 1}, est une bijection. On en dduit que : card P (E) = = card F (E, {0, 1}) 2n

Exercice 4 Soit A et B deux ensembles de cardinaux respectifs p et n, p n. 1. Dterminer le nombre dapplications injectives de A dans B pour p = 1, 2. 2. Soit a A, A1 = A {a} et G (resp.G1 ) lensemble des injections de A (resp. A1 ) dans B. Montrer que si g est une injection de A1 dans B, alors lapplication f de A dans B qui x A1 associe g (x) et a associe un lment arbitraire de B g (A1 ) est une injection. 3. En dduire que lapplication qui f G associe la restriction de f A1 est une application surjective sur G1 , et que pour tout g G1 , le cardinal de limage rciproque de g par est n p + 1. 4. Utiliser Exercice 1. pour dterminer par rcurrence sur p, le nombre dinjections de A dans B. 5. On suppose n = p. En dduire le nombre de bijections de A dans B.

Solution 4 1. p=1 Toute application de A = {a} dans B est une injection. Donc, il y a n injections de {a} dans B. p=2 Pour le premier lment a de A = {a, b} il y a n possibilits alors que pour le deuxime b il ny a que (n 1) possibilits puisque son image doit tre dirente de celle de a. Donc, le nombre dinjections de {a, b} dans B est n (n 1). 2. Soit : une injection. g : A1 B

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A. El Mossadeq

Pour tout y B g (A1 ), lapplication fy qui coincide avec g sur A1 et telle que : fy (a) = y est une injection. De plus : g = fy|A1 On peut construire ainsi (n p + 1) aplications injectives : autant que le cardinal de B g (A1 ). 3. Daprs la question 2, lapplication : G f 7 G1 f|A1

est surjective, de plus pour tout g G1 on a : Il sen suit que :

card 1 ({g}) = n p + 1

card G = (n p + 1) card G1 4. En utilisant le thorme des Bergers, on conclut, par une rcurrence sur p, p 1, que : n! card G = (n p)! 5. Lorsque n = p, toute injection est une bijection. Il y a donc n! bijections de A sur B.

Exercice 5 On appelle arrangement dordre p de A, toute suite ordonne de p lments distincts choisis parmi les lments de A. 1. Montrer que lensemble des arrangements dordre p de A est quipotent lensemble des applications injectives de {1, ..., p} dans A. 2. En dduire le nombre darrangements dordre p de A, not A(n, p). 3. En dduire le nombre de permutations de A (arrangements dordre n de A), not P (n).

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Solution 5 1. Soit (a1 , ..., ap ) un arrangement dordre p de A. Lapplication f : {1, ..., p} i est une injection. Rciproquement, si : est une injection, alors (f (1) , ..., f (p)) est un arrangement dordre p de A. 2. On en dduit que le nombre darrangements dordre p de A concide avec le nombre dinjections de {1, ..., p} dans A; do : A(n, p) = n! (n p)! f : {1, ..., p} A 7 A ai

3. En particulier, le nombre de permutations de A coincide avec le nombre de bijections de A, savoir : P (n) = n!

Exercice 6 Soit A un ensemble n lments. On appelle combinaison dordre p de A, toute suite non ordonne de p lments distincts choisis parmi les lments de A. 1. Quelle est le nombre darrangements quon peut associer une combinaison dordre p de A ? 2. En dduire le nombre de combinaisons dordre p de A, not C(n, p).

Solution 6 1. Etant donne une combinaison dordre p de A, le nombre de suite ordonne de p lments distincts quon peut construire, partir de cette combinaison, est le nombre de permutations de p lments, a savoir p!. 2. Ainsi, chaque combinaison dordre p de A correspond p! arrangements dordre p de A, donc : A(n, p) = p!C(n, p) do : C(n, p) = n! p! (n p)!

7


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Exercice 7 Soit a un lment de E. Dterminer le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p : qui contiennent a qui ne contiennent pas a En dduire : C(n, p) = C(n 1, p 1) + C(n 1, p)

Solution 7 Le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p qui contiennent a est le nombre de parties (p 1) lments de E {a}, savoir : C(n 1, p 1) = (n 1)! (p 1)! (n p)!

Le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p qui ne contiennent pas a est le nombre de parties p lments de E {a}, savoir : C(n 1, p) = (n 1)! p! (n p 1)!

Or toute partie de E p lments soit elle contient a soit elle ne le contient pas, on en dduit donc : C(n, p) = C(n 1, p 1) + C(n 1, p)

Exercice 8 Soit A un ensemble n lments. 1. Quelle est le nombre de partie de A p lments ? 2. En dduire le cardinal de P (A).

Solution 8 1. Le nombre de partie de A p lments est le nombre de combinaisons dordre p de A 2. Notons C (n, p) lensemble des lments de P (A) ayant p lments. [C (n, p)]0pn forment une partition de P (A) do :

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card P (A)

= = = =

n X p=0 n X p=0

card C (n, p) C (n, p)

(1 + 1)n 2n

Exercice 9 1. Montrer que : 2. En dduire que : 3. En dduire que : C(2n, n) = 2C(2n 1, n) = 2C(2n 1, n 1) 4. En utilisant les dveloppements de (1 1)n et (1 + 1)n , calculer : P P {C(n, p) | 0 p n , p pair} ; {C(n, p) | 0 p n , p impair} Solution 9 1. Soit E un ensemble n lments. A toute partie de E p lments correspond une et une seule partie de E un ensemble (n p) lments qui est son complmentaire, do : C(n, p) = C(n, n p) 2. En particulier : C(n, n) = C(n, n n) = C(n, 0) = 1 Lunique partie de E n lments est E. Lunique partie de E qui ne contient aucun lment est lensemble vide . 3. Puisque: et : C(n, p) = C(n 1, p 1) + C(n 1, p) C(n, p) = C(n, n p) C(n, p) = C(n, n p) C(n, n) = C(n, 0)

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A. El Mossadeq

alors : C(2n, n) = = = C(2n 1, n 1) + C(2n 1, n) 2C(2n 1, n 1) 2C(2n 1, n)

4. En utilisant la formule du binme on a : n X C(n, p) (1 + 1)n =p=0

et :

(1 1)

n

= = =

n X p=0 n X p=0 n X p=0

(1)np C(n, p) (1)np C(n, n p) (1)p C(n, p)

En faisant la somme et la dirence de ces deux quantits, on obtient : X 2n = 2 {C(n, p) | 0 p n , p pair} et : 2n = 2 X {C(n, p) | 0 p n , p impair} = = X {C(n, p) | 0 p n , p impair}

do : X {C(n, p) | 0 p n , p pair}

2n1

Exercice 10 Soit E = {a1 , ..., an } un ensemble n lments. On appelle permutation avec rptition dordre (p1 , ..., pn ) de E, toute suite ordonne des lments de E, o llment ai est rpt pi fois, 1 i n. Dterminer le nombre de ces permutations quon note P (p1 , ..., pn ) .

Solution 10 Le nombre de manires pour placer llment a1 dans p1 positions de la suite est le nombre de combinaison dordre p1 parmi p lments : C(p, p1 ).

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Pour a2 , il y a C(p p1 , p2 ) manires possibles,... Pour ak , il y a C(p p1 ... pk1 , pk ) manires possibles. Do : n Y C(p p1 ... pk1 , pk ) P (p1 , ..., pn ) =k=1

= o p0 = 1.

p! p1 !...pn !

Exercice 11 Soit E = {a1 , ..., an } un ensemble n lments. On appelle combinaison avec rptition dordre p de E, toute suite non ordonne des lments de E de longeur p. Dterminer le nombre de ces combinaisons quon note K(n, p).

Solution 11 On dmontre que le nombre de combinaisons avec rptition dordre p de n lments.est : K(n, p) = C(n + p 1, p)

Exercice 12 1. Dterminer le nombre dapplications strictement croissantes de {1, ..., p} dans {1, ..., n} 2. Dterminer le nombre dapplications croissantes de {1, ..., p} dans {1, ..., n}. 3. Dterminer le nombre de solutions de lquation :n X i=1

xi = p , p N , xi N

4. Dterminer le nombre de solutions de linquation :n X i=1

xi p , p N , xi N

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Solution 12 1. Dmontrons que le nombre dapplications strictement croissantes de {1, ..., p} dans {1, ..., n} est le nombre de combinaisons dordre p de {1, ..., n}, savoir : C(n, p) = En eet, si : est une application strictement croissante, alors (f (1) , ..., f (p)) est une combinaison dordre p de {1, ..., n}. Rciproquement, soit {a1 , ..., ap } une combinaison dordre p de {1, ..., n} et soit une permutation de {1, ..., p} telle que : a(1) < a(2) < ... < a(p) Lapplication f : {1, ..., p} k 7 {1, ..., n} a(k) f : {1, ..., p} {1, ..., n} n! p! (n p)!

est strictement croissante. Do le rsultat. 2. Dmontrons que le nombre dapplications croissantes de {1, ..., p} dans {1, ..., n} est le nombre de combinaisons avec rptition dordre p de {1, ..., n}, savoir : K(n, p) = = En eet, si : C(n + p 1, p) (n + p 1)! p!(n 1)!

est une application, alors (f (1) , ..., f (p)) est une combinaison avec rptition dordre p de {1, ..., n}. Rciproquement, soit {a1 , ..., ap } une combinaison avec rptition dordre p de {1, ..., n} et soit une permutation de {1, ..., p} telle que : a(1) a(2) ... a(p) Lapplication f : {1, ..., p} k est croissante. Do le rsultat. 7 {1, ..., n} a(k)

f : {1, ..., p} {1, ..., n}

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3. Dmontrons que le nombre de solutions de lquation :n X i=1

xi = p , p N , xi N

est le nombre de combinaisons avec rptition dordre p de {1, ..., n}, cest dire : K(n, p) = = C(n + p 1, p) (n + p 1)! p!(n 1)!

(x1 , ..., xn ) est donc une solution de lquation. Do le rsultat. 4. Remarquons que linquation :n X i=1

En eet, si (x1 , ..., xn ) est une solution de cette quation, alors la suite dans laquelle llment 1 est rpt x1 fois, ..., llment n est rpt xn fois est une combinaison avec rptition dordre p de {1, ..., n}. Rciproquement, soit {a1 , ..., ap } une combinaison avec rptition dordre p de {1, ..., n} et dsignons par xi le nombre de rptition de llment i dans cette combinaison; on a alors : n X xi = pi=1

xi p , p N , xi N

est quivalente :

xn+1 N :

Il en rsulte qu le nombre de solutions de linquation est gal au nombre de solutions de lquation :n+1 X i=1

n+1 X i=1

xi = p

xi = p , p N , xi N

savoir :

K(n + 1, p) = C(n + p, p)

Exercice 13 Combien de plaques minralogiques portant un matricule de sept caractres peut-on former si les trois premiers sont des lettres et les quatre derniers sont des chires ?

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Solution 13 Pour chaque lettre, il y a 26 possibilits, alors quil y a 10 possibilits pour chaque chire. Ainsi, le nombre de plaques minralogiques quon peut former est : 263 104 Exercice 14 A partir dun groupe de cinq hommes et sept femmes, combien de comits dirents composs de deux hommes et trois femmes peut-on former ? Quen est-il si deux des hommes sentendent mal et refusent de siger ensemble au comit ?

Solution 14 Pour le choix des trois femmes il y a C (7, 3) possibilits et pour celui des hommes il y a C (5, 2). On en dduit que le nombre total de comits quon peut ainsi former est : C (7, 3) C (5, 2) = 350 Les deux hommes ne peuvent siger ensemble, donc soit lun seulement sige dans le comit, soit aucun des deux ne sige dans le comit. Le nombre de choix des hommes dans le premier cas est : C (2, 1) C (3, 1) = 6 dans le second cas, le nombre de choix des hommes est : C (2, 0) C (3, 2) = 3 Ainsi, le nombre de choix des deux hommes est : C (2, 1) C (3, 1) + C (2, 0) C (2, 2) = 9 et par suite, le nombre de comits quon peut ainsi former est : C (7, 3) [C (2, 1) C (3, 1) + C (2, 0) C (2, 2)] = 315 On peut aussi procder en dnombrant les comits o les deux hommes sigent ensemble soit : Do, le nombre de comit recherch est : C (7, 3) [C (2, 2) C (3, 0)] = 35 350 35 = 315

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Exercice 15 Un cours de Calcul des Probabilits est suivi par six femmes et quatre hommes. Un examen a lieu, puis les tudiants sont classs selon leurs notes. On suppose exclu que deux tudiants obtiennent la mme note. 1. Combien de classements dirents peut-on envisager ? 2. Si les femmes sont classes entre elles uniquement et les hommes entre eux, combien de classements globaux peut-on envisager ?

Solution 15 1. Le nombre de classements possibles est le nombre de permutations dordre 10, savoir : 10! = 3628800 2. le nombre de classements des femmes est 6! et celui des hommes est 4!. Il en rsulte que le nombre de classements globaux est : 4! 6! = 17280 Exercice 16 Parmi les dix participants un tournoi dchec, on compte quatre russes, trois amricains, deux anglais et un franais. Si dans le classement du tournoi on ne peut lire que la liste des nationalits des joueurs mais pas leur identit, combien de classements individuels correspond une telle liste ?

Solution 16 Etant donn un classement par nationalit, il y a 4! possibilits pour classser individuellement les quatre russes, 3! pour les trois amricains, 2! pour les deux anglais et une seule possibilit pour le franais. Donc, le nombre de classents individuels qui correspondent un classement par nationalit est : Notons que le nombre de classements individuels est : P (10) = 10! et le nombre de classements par nationalit est le nombre de permutations avec les rptitions (4, 3, 2, 1) : P (4, 3, 2, 1) = 10! = 12 600 4! 3! 2! 1! 4! 3! 2! 1! = 288

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Exercice 17 Douze personnes ont leur disposition trois voitures de six, quatre et deux places respectivement. De combien de manires peut-on aecter ces douze personnes aux trois voitures en supposant : 1. que nimporte laquelle de ces personnes est susceptible de conduire ? 2. que seulement quatre des douze personnes sont susceptibles de conduire ?

Solution 17 1. Puisque nimporte laquelle de ces personnes est susceptible de conduire, le nombre de manires de rpartir les douze personnes sur les trois voitures est le nombre de permutations dordre 12 avec les rptitions 6, 4 et 2, savoir : 12! = 13860 6!4!2! 2. Si seulement quatre des douze personnes sont susceptibles de conduire, alors il faut dabord choisir trois personnes parmi ces quatre et les aecter aux trois voitures en tant que conducteurs, puis rpartir les neuf personnes restantantes sur les trois voitures. Le nombre de possibilits pour choisir les conducteurs est : P (6, 4, 2) = C (4, 3) = 4 et le nombre de manires pour rpartir les neuf personnes sur les trois voitures est le nombre de permutations dordre 9 avec les rptitions 5, 3 et 1, savoir : 9! = 504 5!3!1! Finalement, le le nombre de manires de rpartir, dans ce cas, les douze personnes sur les trois voitures est : P (5, 3, 1) = C (4, 3) P (5, 3, 1) = 2016

Exercice 18 Un ascenseur desservant N tages contient S personnes. 1. De combien de manires les S personnes peuvent-elles sarrter aux dirents tages ? 2. De combien de manires les S personnes peuvent-elles sarrter aux dirents tages si : il y a n1 tages tels quen chacun deux sarrtent a1 personnes, .. il y a ni tages tels quen chacun deux sarrtent ai personnes, ..

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il y a nk tages tels quen chacun deux sarrtent ak personnes, o : n1 + n2 + ... + nk = N

Solution 18 1. Chacune des S personnes a N choix possibles pour sarrter, donc le nombre de manires possibles est N S , cest le nombre dapplications dun ensemble S lments dans un ensemble N lments. 2. Le nombre de personnes S scrit : S = n1 a1 + n2 a2 + ... + nk ak Le nombre de manires pour rpartir les tages est le nombre de permutations dordre N avec les rptitions n1 , n2 , ..., nk savoir : P (n1 , n2 , ..., nk ) = N! n1 !n2 !...!nk

Le nombre de manire pour rpartir les S personnes est le nombre de permutations dordre S avec les rptitions a1 (n1 fois), ..., ak (nk fois) savoir : P (a1 , ..., a1 , ..., ak , ..., ak ) = S! (a1 !) ... (ak !)nkn1

Ainsi, mle nombre total de possibilits est : P (n1 , n2 , ..., nk ) P (a1 , ..., a1 , ..., ak , ..., ak ) = N !S! n1 !n2 !...!nk (a1 !)n1 ... (ak !)nk

Exercice 19 Une personne dispose de vingt mille dirhams investir sur quatre placements potentiels. Chaque mise doit se monter un nombre entier de milliers de dirhams. Entre combien de stratgies dinvestissement cette personne a-t-elle le choix si elle dcide de risquer la totalit de la somme ? Quen est-il si on admet quelle nest pas oblige dinvestir la totalit de la somme ?

Solution 19 ` Soit xi , 1 i 4, la somme, en milliers de dirhams, investie dans le ieme placements. Le nombre de stratgies possibles est donc gal au nombre de solutions de lquation :4 X i=1

xi = 20 , xi N , 1 i 4

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savoir : K(4, 20) = C(23, 20) = 1771 Dans le cas o la personne nest pas oblige dinvestir la totalit de la somme, le nombre de stratgies possibles est donc gal au nombre de solutions de linquation :4 X i=1

xi 20 , xi N , 1 i 4

savoir :

K(5, 20) = C(24, 20) = 10626

Exercice 20 On achte six pices mcaniques. De combien de manires peut-on les rpartir si : 1. elles doivent tre places chacune dans un atelier dirent ? 2. elles sont places deux deux dans trois ateliers dirents ? 3. il y a quatre ateliers, deux recevant deux pices chacun et deux autres une pice chacun ?

Solution 20 1. Le nombre de manires de rpartir les six pices mcaniques, chacune dans un atelier dirent, est le nombre de permutations dordre 6 : 6! = 720 2. Le nombre de manires de rpartir les six pices mcaniques, deux deux dans trois ateliers dirents, est le nombre de permutations dordre 6 avec les rptitions (2, 2, 2) : P (2, 2, 2) = = 6! 2! 2! 2! 90

3. Le nombre de manires de rpartir les six pices mcaniques sur quatre ateliers dirents , deux recevant chacun deux pices et les deux autres recevant chacun une seule pice, est le nombre de permutations dordre 6 avec les rptitions (2, 2, 1, 1) : P (2, 2, 1, 1) = = 6! 2! 2! 1! 1! 180

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Exercice 21 Quel est le nombre de monmes de lensemble des polynomes homognes n variables de degr p ?

Solution 21 Un monme de lensemble des polynomes homognes n variables et de degr p scrit sous la forme : X1 1 X2 2 ...Xn n

o :

Il en rsulte que le nombre de monmes de lensemble des polynomes homognes n variables de degr p est gal au nombre de solutions de lquation : 1 + ... + n = p i N , 1 i n savoir : K (n, p) = C (n 1 + p, p) Exercice 22 Dans une banque, chaque client possde un compte bancaire dont le code est compos de tois lettres et cinq chires non ncessairement distincts. 1. On suppose que les trois lettres sont distinctes. Combien de comptes peut-on ouvrir dont le code : (a) contient un A et un B ? (b) contient un A et nit par 123 ? 2. On suppose que les trois lettres ne sont pas ncessairement distinctes. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code contient au moins deux fois la lettre A ? 3. On suppose que les trois lettres ne sont pas ncessairement distinctes et quil est impossible dutiliser les chires 0, 1, 2, 3 et 4 qui sont rservs des codes spciaux. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code : (a) nit par 999 ? (b) commence par A et nit par 89 ?

i N , 1 i n 1 + ... + n = p

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Solution 22 1. Puisque les lettres sont distinctes, le nombre totale de comptes quon peut ouvrir dans ce cas est : A (26, 3) 105 = 156 107 (a) Le nombre de manires pour placer les lettres A et B est : A (3, 2) = 6 La troisime lettre tant dirente de A et B, donc le nombre de choix posssible est : Les cinq chires ntant pas ncessairement distincts, donc le nombre de choix est : 105 = 100000 Do le nombre de comptes qui contient A et B est : A (3, 2) 24 105 = 144 105 (b) Le nombre de manires pour placer la lettre A est : A (3, 1) = 3 Pour les deux autres lettres, le nombre de choix est : A (25, 2) = 600 Le nombre de choix possibles pour les deux chires restants est : 102 = 100 Do le nombre de comptes qui commencent par la lettre A et nissent par 123 est : 2. Dans ce cas, le compte contient soit exactement deux fois la lettre A, soit exactement troi fois la lettre A. Dans le premier cas, le nombre de choix possibles pour placer exactement deux fois la lettre A est : C (3, 2) = 3 alors que le nombre de choix posssibles pour la lettre restante est : 26 1 = 25 puisquelle est ncessairement distinctes de A. Dans le second cas, il ny a quun seul choix possible. A (3, 1) A (25, 2) 102 = 18 104 26 2 = 24

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Les cinq chires ntant pas ncessairement distincts, donc le nombre de choix est : 105 = 100000 Do le nombre de comptes qui contiennent au moins deux A est : [C (3, 2) 25 + 1] 105 = 76 105 3. Dans ce cas, le nombre total de comptes est : 263 55 = 54925 103 (a) Le nombre de choix possibles pour les trois lettres est : 263 = 17576 Le nombre de choix possibles pour les deux chires restants est : 52 = 25 Do le nombre de comptes qui nissent par 999 est : 263 25 = 4394 102 (b) Pour placer les deux lettres restantes, le nombre de choix possibles est : 262 = 676 alors que le nombre de choix possibles pour placer les trois chires restants est : 53 = 125 Do le nombre de comptes qui commencent par la lettre A et nissent par 89 est : 262 53 = 845 102

Exercice 23 Les n tmes dune encyclopdie, numrots de 1 n, sont placs au hasard sur une tagre. 1. Combien y a-t-il de manire de les placer ? 2. Parmi ces classements, combien y en a-t-il o : (a) les tmes 1 et 2 se trouvent cte cte dans cet ordre ? (b) les tmes 1 p se trouvent cte cte dans cet ordre ?

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A. El Mossadeq

Solution 23 1. Le nombre de manire de placer les n tmes de lencyclopdie sur ltagre.est le nombre de permutations dordre n : P (n) = n! (a) Si les tmes 1 et 2 doivent se trouver cte cte dans cet ordre, alors il y a (n 1) manires possibles pour les placer, puis (n 2)! manires possibles pour placer les (n 2) tmes restants. Donc, le nombre de placements possibles dans ce cas est : (n 1)!. (b) Si les tmes 1 p doivent se trouver cte cte dans cet ordre, alors il y a (n p + 1) manires possibles pour les placer, puis (n p)! manires possibles pour placer les (n p) tmes restants. Donc, le nombre de placements possibles dans ce cas est : (n p + 1)!

Exercice 24 On jette quatre ds discernables et on appelle rsultat, une suite ordonne des quatre points amens. 1. Combien y a-t-il de rsultats possibles ? 2. Combien parmi eux qui conduisent : (a) (b) (c) (d) (e) un carr ? (quatre points identiques), un brelan ? (trois points identiques et un autre dirent), une double-paire ? (deux couples dirents de points indentiques), une simple-paire ? (deux points identiques et les autres dirents), un rsultat banal ? (quatre points dirents)

Solution 24 1. Chaque d comporte six faces, donc le nombre de rsultats possibles est : 64 = 1296 (a) Pour former un carr, il sut de choisir lune des six faces, il y a donc 6 carrs possibles. (b) Pour former un brelan, il sut de choisir une face qui sera rpte trois fois puis une autre, dirente de la premire, qui se rptera une fois. Il y a donc : A (6, 2) = 30 possibilits pour le choix des deux faces.

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A. El Mossadeq


Le nombre de manire de les ordonner est le nombre de permutations avec les rptitions (3, 1) : P (3, 1) = 4 Do le nombre de brelans est : A (6, 2) P (3, 1) = 120 (c) Pour former une double-paire, il sut de choisir deux faces parmi les six, chacune sera rpte deux fois. Il y a donc : C (6, 2) = 15 possibilits pour le choix des deux faces. Le nombre de manire de les ordonner est le nombre de permutations avec les rptitions (2, 2) : P (2, 2) = 6 Do le nombre de double-paire est : C (6, 2) P (2, 2) = 90 (d) Pour former une simple-paire, il sut de choisir une face parmi les six qui sera rpte deux fois puis deux autres faces direntes, parmi les cinq restantes, qui seront rptes chacune une seule fois. Ainsi, il y a donc : C (6, 1) C (5, 2) = 60 possibilits pour le choix des trois faces. Le nombre de manire de les ordonner est le nombre de permutations avec les rptitions (2, 1, 1) : P (2, 1, 1) = 12 Do le nombre de simple-paire est : C (6, 1) C (5, 2) P (2, 1, 1) = 720 (e) Le nombre de rsultats banals est le nombre darrangements de quatre faces parmi les six faces : A (6, 4) = 360

23


A. El Mossadeq

Exercice 25 Soit En = {a1 , ..., an } un ensemble n lments. Si A1 , ..., Ap sont des sous ensembles de En , on dit quils forment une partition de En en p classes si : (P1 ) pour tout i {1, ..., p}, Ai est non vide (P2 ) A1 , ..., Ap sont deux deux disjoints (P3 ) la runion de A1 , ..., Ap coincide avec En . On remarque que pour toute permutation de {1, ..., p}, les partitions A1 , ..., Ap et A(1) , ..., A(p) sont identiques. On note S(n, p) le nombre de toutes les partitions de En en p classes. 1. Calculer : (a) S(n, 1) et S(n, n), (b) S(3, 2) et S(4, 2), (c) Le nombre de toutes les partitions de En en deux classes A1 et A2 o le cardinal de A1 est k, 1 k n 1. (d) En dduire S(n, 2). 2. Soit an+1 un lment nappartenant pas En et posons En+1 = En {an+1 }. (a) Etant donne une partition de En en (k 1) classes, combien de partitions de En+1 en k classes peut-on costruire ? (b) Etant donne une partition de En en k classes, combien de partitions de En+1 en k classes peut-on costruire ? (c) En dduire une relation entre S(n + 1, k), S(n, k 1) et S(n, k). 3. Soit Ep = {a1 , ..., ap }, 1 p n. (a) Montrer que toute surjection de En sur Ep dtermine une partition de En en p classes. (b) Quel est le nombre de surjections de En sur Ep correspondant une partition de En en p classes ? (c) En dduire le nombre de surjections de En sur Ep en fonction de S(n, p). 4. Soit k un lment de {1, ..., p}. (a) (b) (c) (d) Quel est le nombre de parties k lments dans Ep ? Quel est le nombre dapplications de En dans Ep ? Quel est le nombre de surjections En sur Ek ? En dduire que pour tout p {1, ..., n} on a : p =n p X k=1

C(p, k)S(n, k)k!

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A. El Mossadeq


Solution 25 1 1. (a) (i) Sn est le nombre de partitions de En en une seule classe, donc1 Sn = 1 n (ii) Sn est le nombre de partitions de En en n-classes, donc chaque Ai , 1 i n, ne contient quun seul lment de En , et par consquent, il ny a quune seule partition de En en n-classes, do : n Sn = 1

(b) Dans ce cas on a : cardA1 + cardA2 = 3 et compte tenu du fait que les partitions (A1 , A2 ) et (A2 , A1 ) sont identique, on a alors : cardA1 = 1 et cardA2 = 2 donc le nombre de partitions de E3 en deux classes est gal au nombre de parties de E3 un seul lment, do :2 S3

= =

C (3, 1) 1 [C (3, 1) + C (3, 2)] 2

(c) Dans ce cas on a : cardA1 + cardA2 = 4 et compte tenu du fait que les partitions (A1 , A2 ) et (A2 , A1 ) sont identiques, on a alors : cardA1 = 1 et cardA2 = 3 ou : cardA1 = 2 et cardA2 = 2 Le nombre de partitions de E4 en deux classes dans le premier cas est : C (4, 1) 1 = [C (4, 1) + C (4, 3)] 2 alors que dans le second cas, le nombre de partitions de E4 en deux classes est : 1 2 S4 = C (4, 2) 22 S4

=

25


A. El Mossadeq

do :2 S4

(d) Compte tenu de la question prcdente, le nombre de partitions de En en deux classes (A1 , A2 ) tel que : cardA1 = k , 1 k n 1 est : C (n, k) si n 6= 2k 1 C (n, k) si n = 2k 2 Do :2 S4 =

1X = C (4, k) 2 k=13

1X C (n, k) 2 k=1n1

(a) Soit (A1 , ..., Ak1 ) une partition de En en (k 1)-classes, alors (A1 , ..., Ak1 , {an+1 }) est une partition de En+1 en k-classes. (b) Soit (A1 , ..., Ak ) une partition de En en k-classes, et posons : Bi = Ai {an+1 } , 1 i k Alors pour i, 1 i k, (A1 , ...Ai1 , Bi , Ai+1 , ..., Ak ) est une partition de En+1 en k-classes. (c) Puisque toutes les partitions de En+1 en k-classes ont lune des deux formes prcdentes, alors :k k1 k Sn+1 = Sn + kSn+1 2. Soit Ep = {a1 , ..., ap }, 1 p n.

(a) Soit : une surjection. Pour tout k, 1 k p, posons : f : En Ep

Ak = f 1 ({ak })

(A1 , ..., Ap ) est alors une partition de En en p classes. (b) Soit (A1 , ..., Ap ) une partition de En en p classes. Le nombre de surjections de En sur Ep correspondant cette partition est le nombre e bijections de (A1 , ..., Ap ) sur de Ep , savoir : p!

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(c) Il en rsulte que le nombre de surjections de En sur Ep est : p!S (n, p) 3. Soit k un lment de {1, ..., p}. (a) Le nombre de parties k lments dans Ep est : C (n, k) = n! k! (n k)!

(b) Le nombre dapplications de En dans Ep est : pn (c) Le nombre de surjections En sur Ek est : k!S (n, k) (d) Soit k un lment de {1, ..., p} et Ek une partie de Ep k lments. Toute surjection : induit une application En sur Ep telle que : f (En ) = Ek Donc, le nombre dapplications de En dans Ep telle que : Card f (En ) = k est : C(p, k)S(n, k)k! Do, le nombre dapplications de En sur Ep est : p =n p X k=1

f : En Ek

C(p, k)S(n, k)k!

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A. El Mossadeq

APPENDICE PRINCIPAUX RSULTATS

Arrangements dordre p de {1, ..., n} Combinaisons dordre p de {1, ..., n} Permutations de {1, ..., n} Permutations avec rptition dordre (p1 , ..., pn ) de {1, ..., n} Combinaisons avec rptition dordre p de {1, ..., n} Applications de {1, ..., p} dans {1, ..., n} Applications injectives de {1, ..., p} dans {1, ..., n} Applications de {1, ..., p} dans {1, ..., n} strictement croissantes Applications croissantes de {1, ..., p} dans {1, ..., n} Solutions de lquation : n P xi = pi=1

pn pn

n! (n p)! n! C (n, p) = p! (n p)! A (n, p) = P (n) = n! P (p1 , ..., pn ) = (p1 + ... + pn )! p1 !...pn !

pi 1

K(n, p) = C (n + p 1, p) np pn pn A (n, p) C (n, p) K(n, p) xi N xi N pn xi N xi N pn K(n, p)

Solutions de lquation : n P xi = pi=1 i=1

C (p 1, n 1) K(n + 1, p)

Solutions de linquation : n P xi p Solutions de linquation : n P xi pi=1

C (p, n 1)

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Les Espaces Probabiliss

A. El Mossadeq


Exercice 1 On considre un espace probabilis engendr par trois vnements A, B et C. Exprimer dans cet espace les vnements : (1) A seul se produit (2) A et B se produisent mais non C (3) les trois vnements se produisent simultanment (4) au moins lun des vnements se produit (5) au moins deux vnements se produisent (6) deux vnements au plus se produisent (7) un seul vnement se produit (8) deux vnements ou plus se produisent (9) deux vnements seulement se produisent (10) aucun des trois vnements ne se produit (11) pas plus de deux vnements ne se produisent.

Solution 1 (1) A seul se produit : AB c C c (2) A et B se produisent mais non C : ABC c (3) les trois vnements se produisent simultanment : ABC (4) au moins lun des vnements se produit : A+B+C = AB c C c Ac BC c Ac B c C ABC c AB c C Ac BC ABC

(5) au moins deux vnements se produisent : AB + AC + BC = ABC c AB c C Ac BC ABC (6) deux vnements au plus se produisent : (ABC)c (7) un seul vnement se produit : AB c C c Ac BC c Ac B c C (8) deux vnements ou plus se produisent : AB + AC + BC = ABC c AB c C Ac BC ABC

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(9) deux vnements seulement se produisent : ABC c AB c C Ac BC (10) aucun des trois vnement ne se produit : Ac B c C c (11) pas plus de deux vnements ne se produisent : (ABC)c

Exercice 2 1. Lintersection de deux tribus est-elle une tribu ? 2. La runion de deux tribus est-elle une tribu ? 3. Le produit cartsien de deux tribus est-il une tribu ?

Solution 2 1. Dmontrons que lintersection dune famille (Ti )iI de tribus de P (), o est un ensemble non vide, est une tribu de P (). Soit : Y T = TiiI

(a) (T 1) T , puisque Ti pour tout i I. (b) (T 2) Si A T , alors : AT

= i I : A Ti = i I : Ac Ti = Ac T

(c) (T 3) Si (An )nN est une suite d vnements deT , alors pour tout i I, P (An )nN est une suite d vnements deTi , donc, pour tout i I, An est un vnement de Ti , et par consquentn=0

Il en rsulte que T est une tribus de P ().

P

n=0

An est un vnement de T .

2. La runion de deux algbres de P () nest pas, en gnral, une algbre deP (). En eet, prenons : A1 A2 = = = {a, b, c} {, {a} , {b, c} , } {, {b} , {a, c} , }

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A. El Mossadeq


Lvnement : nest pas un lment de A1 A2 . {a, b} = {a} {b}

3. Le produit cartsien de deux tribus nest pas, en gnral, une tribu. En eet, reprenons lexemple prcdent : A1 A2 Alors : est un vnement de A1 A2 , mais : nest pas un vnement de A1 A2 . {(a, b)} = {a} {b} = = = {a, b, c} {, {a} , {b, c} , } {, {b} , {a, c} , }

{(a, b)}c = {(a, b)}

Exercice 3 Soit un ensemble non vide. 1. Montrer que T = {, } et P () sont des tribus. 2. Donner la plus petite algre contenant une partie A de . 3. On pose Construire lalgbre engendre par : = {a, b, c, d, e}

C = {{a} , {b, c} , {d, e}}

Solution 3 1. (a) {, } est une tribu. Cest la plus petite tribu de P (). (b) P () est une tribu. Cest la plus grande tribu de P (). 2. La plus petite algbre contenant A est : {, A, Ac , } 3. Lalgbre engendre par C est : {, {a} , {b, c} , {d, e} , {b, c, d, e} , {a, d, e} , {a, b, c} , }

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A. El Mossadeq

Exercice 4 Considrons les classes suivantes de P (R) : C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 = = = = = = = = {] , x[| x R} {] , x] | x R} {]x, +[| x R} {[x, +[| x R} {]x, y[| x, y R} {[x, y[| x, y R} {]x, y] | x, y R} {[x, y] | x, y R}

Montrer que ces huit classes Ci (1 i 8) engendrent une mme tribu BR appele la tribu des borliens de R.

Solution 4 Pour tout i, 1 i 8, dsignons par Bi la tribu engendre par Ci . 1. B1 = B2 (a) Pour tout x R, considrons la suite :

(In )n1

1 In =] , x + [ n est une suite dcroissante dintervalles de C1 , donc : ], x] = 1 ] , x + [ n n=1 Y

est un lment de B1 , do :

C2 B1 et par consquent : (b) Rciproquement, pour tout x R, considrons la suite : 1 In = , x n (In )n1 est une suite croissante dintervalles de C2 , donc : X 1 , x ], x[ = n n=1 B2 B1

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A. El Mossadeq


est un lment de B2 , do : C1 B2 et par consquent : Donc : B1 B2 B1 = B2 2. B1 = B4 Pour tout x R, on a : On en dduit que : et : On conclut que : 3. B2 = B3 Pour tout x R, on a : On en dduit que : C3 B2 On conclut que : B3 = B2 = B1 = B4 4. B1 = B5 (a) Pour tout x R, considrons la suite (In )nN de C5 : In =]x n, x[ , n N X In =] , x[ donc : et C2 B3 C4 B1 C1 B4 B4 = B1 = B2

(] , x[)c = [x, +[

(], x])c = ]x, +[

nN

est un lment de B5 do : C1 B5

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A. El Mossadeq

et par consquent : (b) Dautre part, pour tout (x, y) R2 on a : ]x, y[= ]x, +[ ], y[ donc : et par consquent : Do : C5 B1 B5 B1 B5 = B1 = B2 = B3 = B4 5. B4 = B6 (a) Pour tout x R considrons, la suite (In )nN dintervalles de C6 : In = [x, x + n[ , n N X In = [x, +[ donc : B1 B5

nN

est un lment de B6 , do : C4 B6 et par consquent : (b) Dautre part, pour tout (x, y) R2 on a : [x, y[= [x, +[ ], y[ donc : et par consquent : Do : C6 B4 B6 B4 B6 = B4 = B1 = B2 = B3 = B5 B4 B6

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A. El Mossadeq


6. B7 = B5 (a) Pour tout (x, y) R2 considrons la suite (In )n1 dintervalles de C7 : 1 In = x, y , n1 n donc : X In = ]x, y[

nN

est un lment de C5 , do :

C5 B7 et par consquent : (b) Dautre part, pour tout (x, y) R2 on a : ]x, y] = ]x, +[ ], y] donc : et par consquent : Do : C7 B5 B7 B5 B7 = B5 = B1 = B2 = B3 = B4 = B6 7. B8 = B7 (a) Pour tout (x, y) R2 considrons la suite (In )n1 dintervalles de C8 : 1 In = x , y , n 1 n donc : Y

B5 B7

In = ]x, y]

n=1

est un lment de C7 , do :

C7 B8 et par consquent : B7 B8

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A. El Mossadeq

(b) Dautre part, pour tout (x, y) R2 on a : [x, y] = [x, +[ ], y] et par consquent : Do : B8 B7 B8 = B7 = B1 = B2 = B3 = B4 = B5 = B6

Exercice 5 Soit : une application. Montrer que si E est une tribu de P (), alors : X 1 (E) = X 1 (B) | B E X :

est une tribu de P ().

Solution 5 X 1 (E) car = X 1 () et E Si X 1 (B) X 1 (E) alors [ X 1 (B)] X 1 (E) puisque B E et : X 1 (B) = X 1 [ B] Si ([X 1 (Bn )])nN est une suite dvnements de X 1 (E) alors : " # X X X 1 (Bn ) = X 1 BnnN nN

est aussi un vnement de X 1 (E) puisque

nN

P

Bn E.

Exercice 6 Soit (, T ) un espace probabilisable et A un vnement de T . Montrer que : est une tribu de P (A). TA = {A B | B T }

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A. El Mossadeq


Solution 6 TA car :

et T Si AB TA , o B T , alors [A AB] TA puisque : [A AB] = A B = A [ B] et [ B] T . P Si [ABn ]nN est une suite dvnements de TA , alors [ABn ] est aussi unnN

=A

vnement de TA puisque :

et

nN

Il en rsulte que TA est une tribu de P (A).

P

XnN

[ABn ] = A

" XnN

Bn

#

Bn est un vnement de T .

Exercice 7 Soit (, T ,P ) un espace de probabilit et B un vnement de T de probabilit non nulle. Montrer que lapplication PB : TB A est une probabilit sur TB . 7 R P [A | B]

Solution 7 PB prend ses valeurs dans lintervalle [0, 1] et on a : P [B | B] = = P [BB] P [B] 1

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A. El Mossadeq

Si C et D sont deux vnements incompatibes de TB , alors : PB [C D] = = = = = = P [C D | B] P [(C D) B] P [B] P [CB DB] P [B] P [CB] P [DB] + P [B] P [B] P [C | B] + P [D | B] PB [C] + PB [D]

Si (An )nN est une suite dvnements de TB deux deux incompatibles alors : " # " ! # M M PB = P Ak Ak | Bk=0

P =

=

P [B] L P (Ak B)k=0

k=0 Lk=0

Ak B

P [B]

= = =

k=0

P

P [(Ak B)] P [B] P [Ak | B] PB [Ak ]

X k=0 X k=0

Il en rsulte que PB est une probabilit sur TB .

Exercice 8 Soit (, T ,P ) un espace de probabilit. 1. Montrer que deux vnements A et B de la tribu T sont indpendants si et seulement si : P [AB] = P [A] P [B]

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A. El Mossadeq


2. Montrer que si trois vnements A, B et C sont indpendants alors ils sont deux deux indpendants. 3. Montrer sur un exemple que la rciproque est fausse.

Solution 8 1. Il sut de prouver que si : P [AB] = P [A] P [B] alors on a aussi : P [AB c ] P [Ac B] P [Ac B c ] En eet, puisque : alors : P [AB c ] A = AB AB c = = = P [A] P [B c ] P [Ac ] P [B] P [Ac ] P [B c ]

= = = =

P [A] P [AB] P [A] P [A] P [B] P [A] (1 P [B]) P [A] P [B c ]

de mme : donc : P [Ac B] B = AB Ac B

= = =

P [B] P [AB] P [B] P [A] P [B] P [Ac ] P [B]

et nalement : P [Ac B c ] = = = = = P [(A + B)c ] 1 P [A + B] 1 P [A] P [B] + P [A] P [B] (1 P [A]) (1 P [B]) P [Ac ] P [B c ]

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A. El Mossadeq

2. Soient A, B et C trois vnements indpendants. Montrons quils sont deux deux indpendants. (a) A et B sont indpendants. En eet, puisque : AB = ABC + ABC c alors : P [AB] = = = P [ABC] + P [ABC c ] P [A] P [B] P [C] + P [A] P [B] P [C c ] P [A] P [B] P [C] + P [C c ] = 1

puisque :

(b) On dmontre dune manire analogue que A et C sont indpendants et que B et C sont indpendants. 3. Montrons que la rciproque est en gnral, fausse. Soit alors : = {a, b, c, d} et supposons que ces quatre vnements lmentaires sont quiprobables : p (a) = p (b) = p (c) = p (d) = Considrons les vnements : A = {a, d} On a : donc : AB = AC = BC = {d} P [AB] = P [AC] = P [BC] = p (d) = et comme : 1 4 On conclut que les trois vnements A, B et C sont deux deux indpendants. P [A] P [B] = P [A] P [C] = P [B] P [C] = 1 4 , B = {b, d} , C = {c, d} 1 4

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A. El Mossadeq


Or : donc : ABC = {d} P [ABC] = p (d) =

1 4 Il en rsulte que les trois vnements A, B et C ne sont pas indpendants puisque : 1 P [A] P [B] P [C] = 8

Exercice 9 Soit (, T ,P ) un espace de probabilit. On considre lensemble : N = {N T | P (N) = 0 ou P (N c ) = 0}

1. N est-elle une tribu P () ? 2. Montrer quun vnement N de T est indpendant avec lui mme si et seulement si N est un vnement de N . Solution 9 1. Montrons que : N = {N T | P (N) = 0 ou P (N c ) = 0} est une tribu de P (). En eet : (a) N (b) Si N N alors N c N par dnition de N (c) Soit (N)nN est une suite dvnements de N . (i) si pour tout n N : P [Nn ] = 0 alors : P puisque : P " XnN

Nn = 0

#

" XnN

Nn

#

XnN

P [Nn ]

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A. El Mossadeq

(ii) sil existe n0 N telle que : P [Nn0 ] = 1 alors : P puisque : " XnN

Nn = 1 " XnN

#

P [Nn0 ] P Il en rsulte que une tribu P ()nN

Nn

P

#

Nn est un vnement de N et par suite N est

2. N T est un vnement indpendant avec lui mme si et seulement si: P [NN c ] = P [N] P [N c ] P [NN c ] = P [] = 0 donc, si et seulement si : P [N] = 0 ou P [N c ] = 0 On en dduit que N N . et comme :

Exercice 10 Trois maladrois tirent sur un objectif. Chacun na quune seule balle. Le premier a trois chances sur quatre pour atteindre lobjectif, le second deux chances sur trois et le troisime une chance sur deux seulement. Lobjectif a-t-il alors plus de chances de recevoir une seule balle ou les trois balles ?

Solution 10 Considrons les vnements : Ai S T : : :` lobjectif est atteint par le ieme joueur , i = 1, 2, 3 lobjectif reoit une seule balle lobjectif reoit les trois balles

Remarquons que les vnements A1 , A2 et A3 sont indpendants.

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A. El Mossadeq


Daprs lnonc on a : P [A1 ] P [A2 ] P [A3 ] Et comme : S T alors : P [S] = = = et : P [T ] = = = On en dduit que : P [S] = P [T ] Lojectif a donc autant de chance de recevoir une seule balle que de recevoir les trois balles. P [A1 A2 A3 ] P [A1 ] P [A2 ] P [A3 ] 1 4 P [A1 Ac Ac ] + P [Ac A2 Ac ] + P [Ac Ac A3 ] 2 3 1 3 1 2 c c c P [A1 ] P [A2 ] P [A3 ] + P [A1 ] P [A2 ] P [Ac ] + P [Ac ] P [Ac ] P [A3 ] 3 1 2 1 4 = = A1 Ac Ac Ac A2 Ac Ac Ac A3 2 3 1 3 1 2 A1 A2 A3 = = = 3 4 2 3 1 2

Exercice 11 Trois usines A, B et C produisent respectivement 50%, 30% et 20% des moteurs de voitures. Parmi la production de chacune des ces trois usines, 5%, 3% et 2% sont dfectueux. Calculer la probabilit pour quun moteur dfectueux provient de lusine A.

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A. El Mossadeq

Solution 11 Considrons les vnements : A B C D On a : P [A] = .5 ; P [D | A] = .05 P [B] = .3 ; P [D | B] = .03 P [C] = .2 ; P [D | C] = .02 Daprs le thorme de Bayes, on a : P [A | D] = = P [A] P [D | A] P [A] P [D | A] + P [B] P [D | B] + P [C] P [D | C] 25 38 : : : : le le le le moteur moteur moteur moteur est est est est fabriqu par lusine A fabriqu par lusine B fabriqu par lusine C dfectueux

Exercice 12 Un conducteur normal a une chance sur mille davoir un accident de voiture au cours dune priode dtermine. Un conducteur ivre a une chance sur cinquante davoir un accident de voiture au cours de la mme priode. On admet quun conducteur sur cent conduit en tat divresse. Soient les vnements : A I 1. Calculer : P (I) P (A | I) P (A | I c ) P (I A) P (I Ac ) ; ; ; ; ; P (I c ) P (Ac | I) P (Ac | I c ) P (I c A) P (I c Ac ) : : avoir un accident conduire en tat divresse

2. Dtermimer :

3. En dduire :

4. Retrouver le rsultat en appliquant le thorme de Bayes.

P (A) ; P (I | A)

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A. El Mossadeq


Solution 12 1. On a : P [I] = 1 100 99 c P [I ] = 1 P [I] = 100 1 P [A | I] = 50 | I = 1 P [A | I] = 49 P A 50

2. On a :

1 P A|I = 1000 999 P A|I =1P A|I = 1000 P [I A] P I A P I A P I A = = = = P [I] P [A | I] = 2 104 P I P A | I = 99 105 P [I] P A | I = 98 104 P I P A | I = 99 999 105

(a) Puisque : alors : P [A] (b) On a : P [I | A] = = (c) Daprs le thorme de Bayes : P [I | A] = = P [I] P [A | I] P [I] P [A | I] + P I P A | I 20 119 P [I A] P [A] 20 119 A=I AI A = = P [I A] + P I A

119 105

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A. El Mossadeq

Exercice 13 Des tudes statistiques sur une population constitue de 60% de femmes et 40% dhommes permettent de considrer quil y a 50% dhommes et 30% de femmes qui fument. On choisit au hasard un individu de la population et on constate quil fume. Quelle est la probabilit pour quil soit un homme ?

Solution 13 Considrons les vnements : F H A On a : : : : lindividu est une femme lindividu est un homme lindividu est un fumeur ; P [A | F ] = .3

P [F ] = .6

Daprs le thorme de Bayes : P [H | A] = = =

P [H] = .4 ; P [A | H] = .5 P [H] P [A | H] P [H] P [A | H] + P [F ] P [A | F ] 10 19 52.63%

Exercice 14 Un appareil peut tre mont avec des pices de haute qualit ou des pices ordinaires. Dans le premier cas, sa abilit est de 95%, dans le second cas, elle est de 70%. 40% des appareils sont monts avec des pices haute qualit. Un appareil a t soumis lessai et sest avr bon. Trouver la probabilit quil soit mont avec des pices de haute qualit.

Solution 14 Considrons les vnements : O H F : : : lappareil est mont avec des pices ordinaires lappareil est mont avec des pices de haute qualit lappareil est able

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A. El Mossadeq


On a : P [O] = .6 Daprs le thorme de Bayes : P [H | F ] = = = ; P [F | O] = .7

P [H] = .4 ; P [F | H] = .95 P [H] P [F | H] P [H] P [F | H] + P [O] P [F | O] 19 40 47.5%

Exercice 15 Une urne contient des boules blanches et des boules noires. On eectue une suite de n tirages dans lurne. ` On suppose que la probabilit que la keme boule tire soit blanche alors que les k 1 1 . prcdantes ltaient est k+1 Calculer la probabilit que les n premires boules tires soient toutes blanches.

Solution 15 Pour k N , dsignons par Bk lvnement :` Bk : la keme boule est blanche

Pour tout k, k 2, on a : 1 k+1 Daprs le principe des probabilits composes, on a : P [Bk | B1 ...Bk1 ] = P [B1 ...Bn ] = = = P [B1 ] P [B2 | B1 ] ...P [Bn | B1 ...Bn1 ] 1 1 P [B1 ] ... 3 n+1 2P [B1 ] (n + 1)!

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Exercice 16 Douze appareils sont en exploitation. Trois parmi eux sont fabriqus par lusine U1 , quatre par lusine U2 et cinq par lusine U3 . Les appareils provenant de lusine U1 passe lessai avec une probabilit de 90%, ceux de lusine U2 avec une probabilit de 80% et ceux de lusine U3 avec une probabilit de 75%. Trouver la probabilit quun appareil choisi au hasard passe lessai.

Solution 16 Considrons les vnements : Ui F On a : : : lappreil provient de lusine Ui , i = 1, 2, 3 lappreil est able P [U ] = 1 P [U2 ] = P [U3 ] = P [F ]

3 ; 12 4 ; 12 5 ; 12 Daprs la formule des probabilits totales = = =3 X i=1

P [F | U1 ] = 0.90 P [F | U2 ] = 0.80 P [F | U3 ] = 0.75 on a :

P [Ui ] P [F | Ui ]

965 1200 80.42%

Exercice 17 Une pice dun quipement lectronique est constitue de trois partie essentielles A, B et C. On a constat dans le pass que la partie A tombait en panne dans 10% des cas, la partie B dans 30% des cas et la partie C dans 40% des cas. La partie A opre indpendamment de B et de C. Les parties B et C sont dpendantes de telle sorte que si C est dfaillante, les chances sont de 1 sur 3 que B soit dfaillante aussi. Deux au moins des trois parties doivent tre en tat de marche pour que lquipement fonctionne. Calculer la probabilit pour quil fonctionne.

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A. El Mossadeq


Solution 17 Considrons les vnements : A B C F On a : : : : : la partie A fonctionne la partie B fonctionne la partie C fonctionne lquipement fonctionne , P [B] = 0.7 , P [C] = 0.6

P [A] = 0.9

P [ABC] = P [A] P [BC] P B |C =1P B |C = 1 3 Puisque lquipement fonctionne lorsque deux au moins des trois parties sont en tat de marche, on a : F do : P [F ] = = = or : P [BC] P AB C + P ABC + P [BC] P [A] P B C + P [A] P BC + P [BC] P [A] P C P B | C + P [A] P BC + P [BC] = = = et : On en dduit alors que : 1P B+C 1 P B P C + P BC 1P B P C +P C P B |C = = AB C ABC ABC ABC AB C ABC BC

P BC = P [C] P [BC] P [F ] = 79.667%

Exercice 18 Une preuve sportive, o deux concurrents A et B sont en jeu, consiste atteindre une cible partage en trois cases notes C1 , C2 et C3 . On admet quun coup atteint une et une seule case.

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Pour le joueur A, les probabilits respectives datteindre les cases C1 , C2 et C3 1 forment une progression arithmtique de raison , alors que pour le joueur B, les 4 trois probabilits sont gales. On choisit lun des deux joueurs, la probabilit que A soit choisi est la moiti de la probabilit de choisir B. Le concurrent choisi atteint la case C3 . Quelle est la probabilit que ce concurrent soit A ?

Solution 18 Considrons les vnements : A : le concurrent choisi est A B : le concurrent choisi est B Ck : le concurrent atteint la cible Ck On a : P [A] = et : P [C1 | B] = P [C2 | B] = P [C3 | B] = Posons : Puisque : et : p = P [C1 | A] P [C1 | A] + P [C2 | A] + P [C3 | A] = 1 P [C3 | A] = on en dduit : 1 4 ; P [C2 | A] = 12 12 Daprs la formule de Bayes on a : P [C1 | A] = P [A | C3 ] = = ; P [C3 | A] = 7 12 1 1 + P [C2 | A] = + P [C1 | A] 4 2 1 3 1 3 P [B] = 2 3

P [A] P [C3 | A] P [A] P [C3 | A] + P [B] P [C3 | B] 7 15

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Exercice 19 Deux rgulateurs contrlent le fonctionnement dun moteur. Il est dsirable que durant un temps t, le moteur fonctionne sans panne. En prsence des deux rgulateurs, la panne peut survenir avec une probabilit q12 . Lorsque seul le premier fontionne avec une probabilit q1 . Lorsque seul le second fontionne avec une probabilit q2 . Et Lorsque les deux sont en panne avec une probabilit q0 . La abilit du premier rgulateur est p1 et celle du second rgulateur est p2 . Les lments se mettent en panne indpendamment les uns des autres. Trouver la abilit totale.

Solution 19 Considrons les vnements : R1 R2 M On a : P [R1 ] = p1 ; P [R2 ] = p2 P M | R1 R2 = q12 ; P M | R1 R2 = q1 P M | R1 R2 = q2 ; P M | R1 R2 = q0 P [R1 R2 ] = P [R1 ] P [R2 ] Puisque la panne peut survenir dans nimporte quelle situation, alors lvnement M se dcompose comme suit : M = MR1 R2 MR1 R2 M R1 R2 M R1 R2 On en dduit : P [M] = = = 1P M 1 P [R1 ] P [R2 ] P M | R1 R2 P [R1 ] P R2 P M | R1 R2 P R1 P [R2 ] P M | R1 R2 P R1 P R2 P M | R1 R2 : : : le premier rgulateur fonctionne le deuxime rgulateur fonctionne le moteur fonctionne

Comme les deux rgulateurs fonctionnent indpendamment lun de lautre, on a aussi :

1 p1 p2 q12 (1 p1 ) p2 q1 p1 (1 p2 ) q2 (1 p1 ) (1 p2 ) q0

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Exercice 20 On considre quatre groupes A, B, C et D. Dans chaque groupe, les proportions de personnes ayant fait des tudes suprieures sont respectivement de 5%, 10%, 25% et 40%. On choisit au hasard lun des groupes et dans le groupe choisi une personne. 1. Quelle est la probabilit que la personne choisie au hasard ait fait des tudes suprieures ? 2. La personne choisie ayant fait des tudes suprieures, quelle est la probabilit quelle appartienne au groupe D ?

Solution 20 Considrons les vnements : A B C D S On a : : : : : : la la la la la personne personne personne personne personne 1 4 1 4 appartient au groupe A appartient au groupe B appartient au groupe C appartient au groupe D a fait des tudes suprieure

P [C] = 1 P [S | C] = .25 4 P [D] = 1 P [S | D] = .40 4 1. Daprs la formule des probabilits totales on a: P [S] = = P [A] P [S | A] + P [B] P [S | B] + P [C] P [S | C] + P [D] P [S | D] .2

P [A] = P [B] =

P [S | A] = .05 P [S | B] = .10

2. Daprs le thorme de Bayes, on a : P [D | S] = = = P [D] P [S | D] P [S] 1 2 50%

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Exercice 21 Un joueur est en prsence de deux urnes A et B : lurne A contient quatre boules noires et trois blanches, lurne B contient trois boules noires et quatre blanches. Le joueur choisit au hasard lune des deux urnes et y eectue une succession de tirages dune boules avec remise. Quelle est la probabilit que la troisime boule tire soit noire sachant que les deux premires boules tires sont noires ?

Solution 21 Considrons les vnements : A : le tirage est eectu de lurne A B : le tirage est eectu de lurne B et pour tout k, k 1, dsignons par Nk lvnement : On a : P [A] = P [B] = 1 2` Nk : la keme boule est noire

4 P [Nk | A] = P Nk | B = 7 Daprs la formule des probabilits totales on a : P [N1 N2 ] = = = et : P [N1 N2 N3 ] P [A] P [N1 N2 N3 | A] + P [B] P [N1 N2 N3 | B] P [A] P [N1 | A] P [N2 | A] P [N3 | A] + P [B] P [N1 | B] P [N2 | B] P [N3 | B] 13 = 98 Do, daprs la formule de Bayes : = = P [N3 | N1 N2 ] = = P [N1 N2 N3 ] P [N1 N2 ] 13 25 P [A] P [N1 N2 | A] + P [B] P [N1 N2 | B] P [A] P [N1 | A] P [N2 | A] + P [B] P [N1 | B] P [N2 | B] 25 98

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Exercice 22 On considre trois urnes U1 , U2 et U3 contenant des boules blanches et des boules noires. 1 1 Les proportions des boules blanches dans les trois urnes U1 , U2 et U3 sont , et 3 2 1 respectivement. 4 On eectue un tirage de trois boules : la premire de U1 , la deuxime de U2 et la toisime de U3 . Calculer la probabilit davoir k boules blanches, 0 k 3.

Solution 22 Considrons les vnements : Bk : la boule tire de lurne Uk est blanche , 1 k 3 On a : Tk : le tirage a donn k boules blanches 0 k 3 P [B ] = 1 1 3 1 P [B2 ] = 2 P [B ] = 1 3 4

et :

T0 = B1 B2 B3 T1 = B1 B2 B3 + B1 B2 B3 + B1 B2 B3 T =B B B +B B B +B B B 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 T3 = B1 B2 B3 P [T0 ] = P [T3 ] = 6 24 6 24 ; ; P [T1 ] = P [T4 ] = 11 24 1 24

do :

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Exercice 23 Un voyageur arrive un carrefour, il sait qu cet endroit il va trouver deux routes, une bonne et lautre non. A ce carrefour, il y a trois frres F1 , F2 et F3 . F1 dit la vrit une fois sur dix, F2 cinq fois sur dix et F3 neuf fois sur dix. Le voyageur sadresse un et un seul des trois frres, il demande son chemin et saperoit par la suite que cette route est bonne. Quelle est la probabilit quil se soit adress F1 , F2 ou F3 ?

Solution 23 Considrons les vnements : B : la route est bonne Fi : le voyageur sadresse Fi , 1 i 3 P [F1 ] = P [F2 ] = P [F3 ] = et : 1 5 ; P [B | F2 ] = 10 10 Daprs la formule des probabilits totales on a : P [B | F1 ] = P [B] = = et daprs la formule de Bayes, on a : P [Fi | B] = do : P [Fi ] P [B | Fi ] P [Fi ] P [B | Fi ]3 X i=1

On a :

1 3 P [B | F3 ] = 9 10

;

P [Fi ] P [B | Fi ]

1 2

P [F | B] = 1 1 15 5 P [F2 | B] = 15 P [F | B] = 9 3 15

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Exercice 24 Une partie des accidents scolaires sont des des accidents de laboratoires. 25% des tudiants ne lisent pas les notices de mise en garde qui accompagnent les produits quils manipulent. Parmi ceux qui lisent, 10% ont tout de mme des accidents par manque de prcaution. Quelle est, pour un tudiant qui ne lit pas la notice, la probabilit davoir un accident si la probabilit quun accident nait pas lu la notice est .75 ?

Solution 24 Considrons les vnements : L A On a : P L = .25 P [A | L] = .1 P L | A = .75 : : ltudiant lit la notice ltudiant a un accident

Il faut dterminer P A | L . Calculons dabord P [A]. Puisque : donc : P [A] = = = On en dduit :

A=ALAL P [L] P [A | L] + P [A] P L | A P [L] P [A | L] 1P L|A .3 P [A] P L | A P L .9

P A|L

= =

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Exercice 25 Deux usines fabriquent les mmes pices.La premire produit 70% de bonnes et la seconde 90%. Les deux usines fabriquent la mme quantit de pices. 1. Quel est le pourcentage des pices bonnes sur lensemble des deux usines ? 2. On achte une pice et on constate quelle est bonne. Quelle est la probabilit quelle proviennent de la seconde usine ?

Solution 25 Considrons les vnements : U1 U2 B On a : P [U1 ] = .5 P [U2 ] = .5 Daprs le thorme de Bayes, on a : P [U2 | B] = = = ; ; P [B | U1 ] = .7 P [B | U2 ] = 0.9 : : : la pice est fabrique par le premier usine la pice est fabrique par le deuxime usine la pice est bonne

P [U2 ] P [B | U2 ] P [U1 ] P [B | U1 ] + P [U2 ] P [B | U2 ] 45 80 56.25%

Exercice 26 On considre deux sacs S1 et S2 contenant chacun trois boules rouges et sept boules noires. On prend une boule dans S1 et on la place dans S2 . Quelle est alors la probabilit de tirer une boule rouge de S2 ?

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Solution 26 Considrons les vnements : A B : : la boule tire de S1 est rouge la boule tire de S2 est rouge

alors, daprs la formule des probabilits totales on a : P [B] = P [A] P [B | A] + P A P B | A 3 = 10

Exercice 27 1 Une usine produit des moteurs. Chacun deux a la probabilit dtre d1000 fectueux. Un contrle est fait. Il dcle immanquablement un moteur dfectueux, mais rejette 1 . un bon moteur avec la probabilit 100 Un moteur est rejet par le contrle. Quelle est la probabilit quil soit eectivement dfectueux.

Solution 27 Considrons les vnements : D R On a : : : le moteur est dfectueux le moteur est rejet par le contrle

P [D] = 1 1000 P [R | D] = 1 P R | D = 1 100 Daprs la formule de Bayes, on a : P [D | R] = = = P [D] P [R | D] P [D] P [R | D] + P D P R | D 100 1099 0.090992

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A. El Mossadeq


Exercice 28 Un avion est port disparu. On pense que laccident a pu arriver aussi bien dans nimporte laquelle de trois rgions donnes. Notons 1 i la probabilit quon dcouvre lavion dans la rgion i sil y est eectivement. Quelle est la probabilit que lavion se trouve la rgion i, i = 1, 2, 3, si les recherches dans la rgion 1 nont rien donn ?

Solution 28 Considrons les vnements : R1 R2 R3 R On a : : : : : lavion a disparu dans la rgion 1 lavion a disparu dans la rgion 2 lavion a disparu dans la rgion 3 les recherches dans la rgion 1 nont rien donn P [R ] = 1 1 3 1 P [R2 ] = 3 P [R ] = 1 3 3

; ; ;

P [R | R1 ] = P [R | R2 ] = 1 P [R | R3 ] = 1

Calculons P [R] : P [R] =

P [R1 ] P [R | R1 ] + P [R2 ] P [R | R2 ] + P [R3 ] P [R | R3 ] 1 ( + 2) = 3 Daprs le thorme de Baeys, on a : P [R1 | R] = = P [R1 ] P [R | R1 ] P [R1 ] P [R | R1 ] + P [R2 ] P [R | R2 ] + P [R3 ] P [R | R3 ] +2

P [R2 | R]

= =

P [R2 ] P [R | R2 ] P [R1 ] P [R | R1 ] + P [R2 ] P [R | R2 ] + P [R3 ] P [R | R3 ] 1 +2

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P [R3 | R]

= =

P [R3 ] P [R | R3 ] P [R1 ] P [R | R1 ] + P [R2 ] P [R | R2 ] + P [R3 ] P [R | R3 ] 1 +2

Exercice 29 Trois urnes A, B et C renferment des boules blanches et des boules noires. Les proportions de boules blanches sont respectivement de 30%, 60% et 40%. On tire au hasard une premire boule de lurne A, une seconde est extraite de B ou C suivant que la premire soit blanche ou noire. 1. Quelle est la probabilit que la seconde boule soit blanche ? 2. La seconde boule est blanche. Quelle est la probabilit que la premire soit noire ?

Solution 29 Considrons les vnements : A B C B1 B2 Ona : : : : : : le tirage est eectu de lurne A le tirage est eectu de lurne B le tirage est eectu de lurne C la premire boule tire est blanche la deuxime boule tire est blanche

1. Puisque : alors : P [B2 ]

P [A] = 1 3 1 P [B] = 3 P [C] = 1 3

; ; ;

P [B2 | A] = .3 P [B2 | B] = .6 P [B2 | C] = .4

B2 = B1 B2 B1 B2

= =

P [B1 ] P [B2 | B1 ] P B1 P B2 | B1 0.46

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A. El Mossadeq


2. Daprs le thorme de Bayes, on a : P B1 | B2 = = =

P B1 P B2 | B1 P [B1 ] P [B2 | B1 ] P B1 P B2 | B1 14 23 60.87%

Exercice 30 Un examen comporte des rponses par oui ou par non. Un tudiant connait seulement la moiti du programme. Lorsquil ne sait pas rpondre une question, il rpond au hasard. Quelle est la probabilit pour quune rponse soit exacte cause de ses connaissances et non cause de la chance ?

Solution 30 Considrons les vnements : C A On a : : : ltudiant connait le programme la rponse de ltudiant est exacte

P [C] = 1 2 P [A | C] = 1 P A | C = 1 2 Daprs le thorme de Bayes, on a : P [C | A] = 2 P [C] P [A | C] = 3 P [C] P [A | C] + P C P A | C

Exercice 31 Une compagnie se procure des accumulateurs chez quatre fournisseurs dirents : 45% du premier, 25% du second, 20% du troisime et 10% du quatrime. Dautre part, 90% des accumulateurs provenant du premier fournisseur fonctionnent bien. Les proportions sont de 85% pour le deuxime, 95% pour le troisime et 80% pour le quatrime.

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A. El Mossadeq

1. Calculer la probabilit quun accumulateur choisi au hasard soit dfectueux. 2. On choisit au hasard un accumulateur et on constate quil est dfectueux. Un responsable arme quil provient du quatrime fournisseur. Quen pensez-vous ?

Solution 31 Considrons les vnements : Fi D On a : : :` laccumulateur provient du ieme fournisseur ,1 i 4 laccumulateur est dfectueux

P [F1 ] = .45 P [F2 ] = .25 P [F ] = .20 3 P [F4 ] = .10 P [D] = =

; ; ; ;4 X i=1

P [D | F1 ] = .10 P [D | F2 ] = .15 P [D | F3 ] = .05 P [D | F4 ] = .20

1. Daprs la formule des probabilits totales on a :

P [Fi ] P [D | Fi ]

.1125

2. Daprs le thorme de Bayes, on a : P [Fi | D] = do : 18 45 15 P [F2 | D] = 45 4 P [F3 | D] = 45 8 P [F4 | D] = 45 On en dduit que larmation du responsable nest pas fonde. Il y a plus de chance que laccumulateur provient du premier ou du deuxime fournisseur que du quatrime fournisseur. P [F1 | D] = P [Fi ] P [D | Fi ] P [D]

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A. El Mossadeq


Exercice 32 On considre deux urnes : lune peinte en blanc et lautre peinte en noir. Chacune de ces deux urnes contient des boules blanches et des boules noires. Lurne blanche contient une proportion de boules noires et lurne noire contient une proportion de boules blanches. On choisit une urne au hasard (probabilit p de tirer lurne blanche et q = 1 p de tirer lurne noire) et on tire ensuite une boule de cette urne. Si la boule tire est de la mme couleur que lurne, on tire nouveau une boule de cette urne. Dans le cas contraire, on eectue le tirage dans lautre urne. On poursuit ce mode de tirage, ` supposs tous avec remise, la neme boule est tire dans lurne dont la couleur est eme ` celle de la (n 1) boules tire. ` Soit pn la probabilit que la neme boule tire soit blanche, qn la probabilit que la ` neme boule tire soit noire et Vn le vecteur colonne de composantes pn et qn . 1. Etablir une relation de rcurrence entre Vn et Vn1 . 2. En dduire que : Vn = M n V0 o M est une matrice carre et V0 est le vecteur colonne de composantes p et q. 3. Que signie : (a) = = 0 ? (b) = = 1 ? (c) + = 1 ? 4. Calculer, dans chacun de ces cas, les limites de pn et qn quand n tend vers +.

Solution 32 Considrons les vnements : B N Bn Nn On a : P [B] = p , P [N] = q et : P [Bn | Bn1 ] P [Bn | Nn1 ] P [Nn | Bn1 ] P [Nn | Nn1 ] = = = = P [Bn | B] = 1 P [Bn | N] = P [Nn | B] = P [Nn | N] = 1 : : : : le tirage est eectu de lurne blanche le tirage est eectu de lurne noire ` la neme boule est blanche ` la neme boule est noire

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A. El Mossadeq

et pour tout n, n 2, on a : B1 = B1 B B1 N de mme :

N1 = N1 B N1 N

B =B B n n n1 Bn Nn1

1. Daprs la formule des probabilits totales on a : P [B1 ] = P [B1 | B] P [B] + P [B1 | N] P [N]

N =N B n n n1 Nn Nn1

P [N1 ] = P [N1 | B] P [B] + P [N1 | N] P [N] do : p1 = (1 ) p + q

P [B ] = P [B | B ] P [B ] + P [B | N ] P [N ] n n n1 n1 n n1 n1

P [N ] = P [N | B ] P [B ] + P [N | N ] P [N ] n n n1 n1 n n1 n1 p = (1 ) p n n1 + qn1 q1 = p + (1 ) q

On en dduit que pour tout n, n 1, on a : Vn = MVn1 o M est la matrice carre : 1 p q

q = p n n1 + (1 ) qn1

et :

M =

1

V0 =

2. Il en rsulte que pour tout n N on a :

Vn = M n V0

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A. El Mossadeq


(a) Si : ==0 alors lurne blanche ne contient que des boules blanches et lurne noire ne contient que des boules noires. Tous les tirages seront eectus de la mme urne, celle choisie au dpart. (b) Si : ==1 alors lurne blanche ne contient que des boules noires et lurne noire ne contient que des boules blanches. Les tirages seront eectus en alternant les deux urnes. (c) Si : + =1 alors les deux urnes ont la mme composition. Une fois que lurne est choisie, il nest plus ncessaire de la changer.

(a) Si : ==0 alors la matrice M est la matrice identique dordre 2 : M = I2 do pour tout n N : pn = p q =q n ==1 alors : 0 1 1 0

(b) Si :

puisque :

M =

M 2 = I2

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A. El Mossadeq

on en dduit que pour tout k N : p V2k = q q V2k+1 = p Les suites (pn )nN et (qn )nN sont divergentes sauf lorsque : p=q= (c) Si : + =1 alors : M2 = M donc : Vn = = do : MV0 1 1 2

pn = 1 q = n

Exercice 33 On appelle preuve, un lot de trois sujets tirs au hasard parmi cent sujets possibles. Un candidat doit traiter au choix lun des trois sujets. 1. Combien dpreuves peut-on proposer au candidat ? 2. Un candidat se prsente en ne connaissant que la moiti des sujets. Quelle est la probabilit pour quil sache traiter : (a) (b) (c) (d) les trois sujets ? seulement deux sujets ? un seul sujet aucun des trois sujets ?

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A. El Mossadeq


Solution 33 1. Le nombre dpreuves quon peut- proposer au candidat est : C (100, 3) = 161700 2. La probabilit pk pour que le candidat sache traiter exactement k sujets, 0 k 3, parmi les trois sujets proposs est : pk = do : (a) La probabilit pour quil sache traiter les trois sujets est : p3 = .1212 (b) La probabilit pour quil sache traiter seulement deux sujets est : p2 = .3788 (c) La probabilit pour quil sache traiter un seul sujets est : p1 = .3788 (d) La probabilit pour quil ne sache traiter aucun sujets est : p0 = .1212 C (50, k) C (50, 3 k) C (100, 3)

Exercice 34 Dans une loterie de cent billets, deux billets sont gagnants. 1. Quelle est la probabilit de gagner au moins un lot si lon prend douze billets ? 2. Combien faut-il acheter de billets pour que la probabilit de gagner au moins un lot soit suprieure .8 ?

Solution 34 1. La probabilit pk , 0 k 2, de ganger exactement k lots lorsquon dtient 12 billets est : C (2, k) C (98, 12 k) pk = C (100, 12)

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do la probabilit P de ganer au moins un lot est : P = = = = p1 + p2 1 p0 17 75 22.67%

2. La probabilit pn,k , 0 k 2, de ganger exactement k lots lorsquon dtient n billets est : C (2, k) C (98, n k) pn,k = C (100, n) do la probabilit Pn de ganer au moins un lot est : Pn = = = On en dduit que : Pn > .8 = n 56 pn,1 + pn,2 1 pn,0 n (199 n) 9900

Exercice 35 On jette n fois deux ds. 1. Quelle est la probabilit pour que le double six sorte au moins une fois ? 2. Combien de fois faut-il jeter les deux ds pour parier avec avantage dobtenir au moins une fois le double six ?

Solution 35 1. La probabilit pour que le double six ne sorte aucune fois est : n 35 qn = 36 do la probabilit pour quil sorte au moins une fois est : pn = = 1 qn n 35 1 36

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2. Do : pn > 1 = n 25 2

Exercice 36 On dispose de deux urnes contenant respectivement cinq boules bleues et quatre rouges, et six boules bleues et cinq rouges. On tire une boule de chaque urne. Quelle est la probabilit : 1. de tirer deux boules rouges ? 2. de tirer deux boules bleues ? 3. de tirer une boule bleue et une boule rouge ?

Solution 36 1. La probabilit de tirer deux boules rouges est : 4 5 9 11 20 = 99 2. La probabilit de tirer deux boules bleues est : p1 = 5 6 9 11 30 = 99 3. La probabilit de tirer une boule bleue et une boule rouge est : p2 = p3 = = = 4 6 5 5 + 9 11 9 11 49 99 1 p1 p2

Exercice 37 On lance au hasard un d dont les faces sont numrots de 1 6. On suppose que la probabilit dapparition dun chire pair est le double de celle dun chire impair et que les faces paires sont quiprobables. Quelle est la probabilit dobtenir un diviseur de six ?

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Solution 37 Dsignons par p (k), 1 k 6, la probabilit dobtenir la face k du d. On a : p (2) p (1) et : p (2) = 2p (1) Puisque :6 X i=1

= =

p (4) = p (6) p (3) = p (5)

p (k) = 1

on en dduit que : p (2) p (1) Soit lvnement :

= =

p (4) = p (6) =

2 9 1 p (3) = p (5) = 9

D : obtenir un diviseur de six on a : D = {1, 2, 3, 6} P [D] = p (1) + p (2) + p (3) + p (6) = 2 3

do :

Exercice 38 Une urne contient six boules rouges et quatre boules blanches. On tire au hasard deux boules sans remise. Calculer la probabilit des vnements suivants : 1. les deux boules sont rouges, 2. les deux boules sont blanches, 3. les deux boules sont de couleurs direntes.

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Solution 38 1. La probabilit que les deux boules tires soient rouges est : 6 5 10 9 1 = 3 2. La probabilit que les deux boules tires soient blanches est : p1 = 4 3 10 9 2 = 15 3. La probabilit que les deux boules tires soient de couleurs direntes est : p2 = p3 = = = 4 6 6 4 + 10 9 10 9 8 15 1 p1 p2

Exercice 39 On choisit au hasard un numro de tlphone huit chires. Calculer la probabilit des vnements suivants : 1. A : 2. B : 3. C : 4. D : les huit chires du numro sont tous distincts. le produit des huit chires du numro est divisible par deux. les huit chires du numro forment une suite strictement croissante. les huit chires du numro forment une suite croissante.

Solution 39 Le nombre N de numro de tlphone huit chire est : N = 108 1. Le nombre de numro dont les huit chires sont distincts est le nombre darragements de huit lments parmi dix lments, do : P [A] = = A (10, 8) 108 0.018144

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2. Le produit des huit chires nest pas divisible par deux si et seulement tous les chires du numro sont impairs. Le nombre M de ces numros est : M = 58 do : P B = P [B] = = = 8 1 2 8 1 1 2 255 256 0.996

et par consquent :

3. Le nombre de numros huit chires formant une suite strictement croissante est le nombre de combinaison de huit lments parmi dix lments, do : P [C] = = C (10, 8) 108 4.5 107

4. Le nombre de numros huit chires formant une suite croissante est le nombre de combinaison avec rptition de longueur huit parmi dix lments, do : P [D] = = = K (10, 8) 108 C (17, 8) 108 2.431 104

Exercice 40 Les n tomes dune encyclopidie sont disposs au hasard sur une tagre. 1. Quelle est la probabilit que les tomes 1 et 2 appraissent cte cte dans cet ordre ? 2. Quelle est la probabilit que les tomes 1 p (2 p n) appraissent cte cte dans cet ordre ?

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Solution 40 Le nombre de manire N de placer les n tomes sur ltagre est : n! 1. Le tome 1 peut occuper les positions de 1 n 1. Le tome 2 ne peut occuper quune seule position : celle cot du tome 1. pour les (n 2) tomes restants, il y a (n 2)! manires de les placer sur ltagtre. Do la probabilit recherche est : P = = (n 1) (n 2)! n! 1 n

2. Le tome 1 peut occuper les positions de 1 n p + 1. Il ny a quune seule manire pour placer les tomes de 2 p une fois que la position du tome 1 est choisie. pour les (n p) tomes restants, il y a (n p)! manires de les placer sur ltagtre. Do la probabilit recherche est : P = = = (n p + 1) (n p)! n! (n p + 1)! n! 1 A (n, p 1)

Exercice 41 n personnes sont runies dans une mme salle. Calculer la probabilit des vnements suivants : 1. Il ny a pas deux personnes ayant le mme jour danniversaire. 2. Deux personnes au moins ont le mme jour danniversaire. 3. Deux personnes, et deux seulement, ont le mme jour danniversaire.

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Solution 41 1. La probabilit pour quil ny a pas deux personnes ayant le mme jour danniversaire est : C (365, n) p1 = 365n 2. La probabilit pour que deux personnes au moins ont le mme jour danniversaire est : 3. La probabilit pour que deux personnes, et deux seulement ont le mme jour danniversaire est : C (365, n 1) p3 = 365n p2 = 1 p1

Exercice 42 Le code condentiel dune carte bancaire est un nombre de quatre chires tous non nuls. Le code dune carte est choisi au hasard par ordinateur. Calculer la probabilit des vnements suivants : 1. A : 2. B : 3. C : 4. D : 5. E : 6. F : le code est un nombre pair le code nest compos que de chires pairs le code contient une et seule fois le chire 1 le code est compos de quatre chires distincts les quatre chires du code forment une suite croissante les quatre chires du code forment une suite strictement croissante

Solution 42 Le nombre de codes quon peut ainsi former est : 94 = 6561 1. Le nombre de codes pairs est : 4 93 = 2619 do : 4 9 2. Le nombre de codes composs seulement de chires pairs est P [A] = 44 = 256

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do : P [B] = =

4 4 9 .039

3. Le nombre de codes o le chire 1 gure une et seule fois est C (4, 1) 83 = 2048 do : P [C] = = C (4, 1) 83 94 .31215

4. Le nombre de codes composs de quatre chires distincts est : A (9, 4) = 3024 do : P [D] = = A (9, 4) 94 .46

5. Le nombre de codes o les quatre chires forment une suite croissante est : K (9, 4) = 495 do : P [E] = = K (9, 4) 94 .075446

6. Le nombre de codes o les quatre chires forment une suite strictement croissante est : C (9, 4) = 126 do : P [F ] = = C (9, 4) 94 .0192

Exercice 43 Une urne contient six boules numrotes de 1 6. On tire successivement trois boules de lurne, sans remise. Calculer la probabilit des vnements suivants :

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1. A 2. B 3. C 4. C

: : : :

la troisime boule tire porte le numro 2 la troisime boule tire porte un numro pair la troisime boule tire porte un numro au moins gal 2 la troisime boule tire porte un numro au moins gal 2

Solution 43 Notons p (k), 1 k 6, la probabilit pour que la troisime boule tire porte le numro k.On a : A (5, 2) p (k) = A (6, 3) 1 = 6 1. En particulier, la probabilit pour que la troisime boule tire porte le numro 2 est : 1 p (2) = 6 2. La probabilit pour que la troisime boule tire porte un numro pair est : p (2) + p (4) + p (6) 1 = 2 3. La probabilit pour que la troisime boule tire porte un numro au moins gal 2 est : P = = = p (2) + p (3) + p (4) + p (5) + p (6) 1 p (1) 5 6 P =

Exercice 44 On considre six boules numrotes de 1 6. Une boite comporte six compartiments numrots de 1 6. On place au hasard les boules, une boule par compartiment. Quelle est la probabilit pour que quatre boules au moins soient dans le compartiment ayant le mme numro que la boule ?

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Solution 44 Dsignons par Ak , 1 k 6, lvnement : Ak : exactement k boules sont dans le compartiment ayant le mme numro que la boule et remarquons que : Lvnement A4 est ralis dans le cas o quatre parmi les six boules (1, 2, 3, 4, 5, 6) sont places dans les compartiments comportant respectivement leurs numros, alors les deux boules restantes sont places chacune dans le compartiment comportant le numro de lautre, do : C (6, 4) 6! Lvnement A6 est ralis dans le seul cas o les boules (1, 2, 3, 4, 5, 6) sont places dans les compartiments (1, 2, 3, 4, 5, 6) respectivement, do : P [A4 ] = P [A6 ] = do la probabilit recherche est : P = = = P [A4 ] + P [A6 ] 16 6! 1 45 1 6! A5 =

Exercice 45 On dispose de trois urnes. Les deux premire urnes contiennent cinq boules vertes et quatre rouges chacune. La troisime contient six boules vertes et quatre rouges. On choisit au hasard une urne dans laquelle on tire une boule. On constate que cette boule est verte. Quelle est la probabilit de lavoir tire de la troisime urne ?

Solution 45 Considrons les vnements : Ui V : :` le tirage est eectu de la ieme urne , 1 i 3 la boule tire est verte

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On a :

1 3 1 3 1 3 Daprs la thorme de Bayes on a : P [U3 | V ] = =

P [U ] = 1 P [U2 ] = P [U3 ] =

; ; ;

1 2 1 P [V | U2 ] = 2 3 P [V | U3 ] = 5 P [V | U1 ] =

P [U3 ] P [V | U3 ] P [U1 ] P [V | U1 ] + P [U2 ] P [V | U2 ] + P [U3 ] P [V | U3 ] 3 8

Exercice 46 On dispose de deux pices de monnaie truques, une pice de dix dirhams et une pice de cinq dirhams. La probabilit dobtenir pile en lanant la pice de dix dirhams est .8 alors que la probabilit dobtenir face en lanant celle de cinq dirhams est .7. On lance au hasard lune des deux pices et on obtient face. Quelle est la probabilit davoir choisi celle de dix dirhams ?

Solution 46 Considrons les vnements suivants : C D F P On a : : : : : la pice lance est celle de cinq dirhams la pice lance est celle de dix dirhams le cot obtenu est face le cot obtenu est pile P [C] = .5 P [D] = .5 ; ; P [F | C] = .7 P [F | D] = .2

Daprs la thorme de Bayes on a : P [D | F ] = =

P [D] P [F | D] P [C] P [F | C] + P [D] P [F | D] 2 9

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Exercice 47 On dispose de dix jetons : deux noirs, cinq blancs et trois bicolores (une face blanche et une face noire). On choisit au hasard un jeton que lon jette. La face apparente est blanche. Quelle est la probabilit que la face cache soit blanche ?

Solution 47 considrons les vnements suivants : Jb Jn Jc Ba Bc On a : P [J ] = 1 ; P [Ba | Jb ] = 1 b 2 1 ; P [Ba | Jn ] = 0 P [Jn ] = 5 1 P [J ] = 3 ; P [Ba | Jc ] = c 10 2 Daprs la thorme de Bayes on a : P [Bc | Ba ] = or : P [Bc Ba ] = P [Jb ] = et : P [Ba ] = P [Jb ] P [Ba | Jb ] + P [Jn ] P [Ba | Jn ] + P [Jc ] P [Ba | Jc ] = daprs la formule des probabilits totales. Do : P [Bc | Ba ] = 10 13 13 20 1 2 ; ; ; P [Bc | Jb ] = 1 P [Bc | Jn ] = 0 P [Bc | Jc ] = 1 2 : : : : : le jeton choisi est blanc le jeton choisi est noir le jeton choisi est bicolore la face apparente est blanche la face cache est blanche

P [Bc Ba ] P [Ba ]

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Exercice 48 On considre une population dans laquelle 75% des cancers des poumons sont observs chez les fumeurs. La population contient 4% de cancers de poumons, et 60% de fumeurs. On tire au hasard un individu de cette population. 1. Quelle est la probabilit que la personne ne fume pas et na pas de cancer ? 2. Si la personne ne fume pas, quelle est la probabilit quelle na pas de cancer ? 3. Si la personne na pas de cancer, quelle est la probabilit quelle fume ?

Solution 48 Considrons les vnements : C F On a : : : la personne a le cancer la personne fume P [F ] = 0.6 P [C] = 0.04 P [F | C] = 0.75 P [F c C c ] = = = = 1 P [F + C] 1 P [F ] P [C] + P [F C] 1 P [F ] P [C] + P [C] P [F | C] 0.39 P [F c C c ] P [F c ] 0.975

1. On a :

2. On a : P [C | F ] 3. On a : P [F | C c ] = = = 1 P [F c | C c ] P [F c C c ] 1 P [C c ] 0.59375c c

= =

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Exercice 49 Pour prvenir lextension dune pidmie virale, on dcide de soumettre la population menace des tests. Dune faon gnrale, le rsultat de chaque test est positif pour les porteurs de virus, ngatif pour les personnes qui ne sont pas atteintes, mais il y a des exeptions. Le but de lexercice est de comparer deux procds de dpistage. Lun nutilisant quun seul test, lautre consistant en la succession de deux tests identiques raliss indpendamment lun de lautre. On choisit au hasard un individu A et on dsigne par V et T les vnements : V T On admet que : P [V ] = 0.1 P [T | V ]= 0.95 P T | V = 0.03 : : A est porteur de virus le test appliqu A est positif

1. Dans cette question, on tudie la procdure de contrle qui nutilise quun seul test. (a) Calculer la probabilit de lvnement T . (b) Le test appliqu A sest avr ngatif. Calculer la probabilit que A soit porteur du virus. 2. On eectue maintenant deux tests identiques. On considre lvnement : T2 : les deux tests appliqus A sont positifs (a) Si A est porteur du virus, quelle est la probabilit pour que les deux tests appliqus A soient ngatifs ? (b) Les deux tests ont t ngatifs. Quelle est la probabilit que A soit porteurs du virus ? (c) Conclure.

Solution 49 1. (a) On a : P [T ] = = P [V ] P [T | V ] + P V P T | V .122

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(b) Daprs le thorme de Bayes, on a : P V |T = = = P [V ] P T | V P T 5 878 5.6948 103

(a) Les deux tests tant indpendants, donc : 2 P T2 | V = P T |V = 25 104 (b) Daprs le thorme de Bayes, on a : P V | T2 (c) On en dduit que : 1 P V |T 1756 Il est donc prfrable de pratiquer deux tests successifs. P V | T2 = = = P [V ] P T2 | V P T2

3.243 106

Exercice 50 On considre les familles deux enfants. 1. Une famille deux enfants dont au moins un garon. Quelle est la probabilit que cette famille ait deux garons ? 2. Une famille deux enfants dont lain est un garon. Quelle est la probabilit que cette famille ait deux garons ?

Solution 50 Considrons les vnements : G1 G2 G : : : le premier enfant est un garon le second enfant est un garon la famille a au moins un garon

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Notons que les vnements G1 et G2 sont indpendants et que : P [G1 ] = P [G2 ] = 1. On a : do : G = G1 G2 G1 G2 G1 G2 P [G] = Dautre part : P [G1 G2 | G] = = = 2. On a: P [G1 G2 | G1 ] = = P [G1 G2 ] P [G1 ] 1 2 P [G1 G2 G] P [G] P [G1 G2 ] P [G] 1 3 3 4 1 2

Exercice 51 On dispose de dix urnes numrotes de 0 9. Lurne k contient k boules noires et 9 k boules blanches. On choisit une urne au hasard et sans connaitre son numro on tire deux boules avec remise. 1. Quelle est la probabilit dobtenir deux boules noires ? 2. Les deux boules obtenues sont noires. Quelle est la probabilit quelles proviennent de lurne U5 ? 3. Le premier tirage a donn une boule noire. Quelle est la probabilit que le second tirage donnent aussi une boule noire ?

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Solution 51 Considrons les vnements : Ui Ni On a : P [Uk ] = 1 , 0k9 10 k , 0 k 9 , i = 1, 2 9 : : le tirage est eectu de lurne i , 0 i 9 ` la ieme boule tire est noire , i = 1, 2

P [Ni | Uk ] =

1. Daprs la formule des probabilits totales, la probabilit dobtenir deux boules noires est : P [N1 N2 ] = =9 X k=0

P [Uk ] P [N1 N2 | Uk ]

19 54 2. Daprs la thorme de Bayes on a : P [U5 | N1 N2 ] =

P [U5 ] P [N1 N2 | U5 ] P [N1 N2 ] 5 = 57 3. Daprs la formule des probabilits totales : P [N1 ] = do :9 X k=0

P [Uk ] P [N1 | Uk ] =

1 2

P [N2 | N1 ]

= =

P [N1 N2 ] P [N1 ] 19 27

Exercice 52 Un ascenseur dessert dix tages. Quatre personnes prennent cet ascenceur au rez-de-chausse. On admet que chacune de ces quatre personnes descend au hasard lun des dix tages et que les dcisions de ces quatre personnes sont indpendantes.

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1. Quelle est la probabilit que les quatre personnes sarrtent des tages diffrents ? 2. Quelle est la probabilit pour que deux, et deux seulement, sarrtent au mme tage ?

Solution 52 chaque personne peut descendre dans lun ou lautre des dix tages, donc le nombre N de possibilits est : N = 104 1. Le nombre de possibilits o les quatre personnes sarrtent des tages diffrents est le nombre darrangements de quatre tages parmi les dix tages : A (10, 4) = 5040 do : P = = A (10, 4) 104 0.504

2. Les quatre personnes sarrteront trois tages dirents. Il y a donc : A (10, 3) = 720 possibilits. Dautre part, le nombre de paires de personnes sarrtant au mme tage est : C (4, 2) = 6 do la probabilit recherche est : P = = C (4, 2) A (10, 3) 104 0.432

Exercice 53 Deux joueurs A et B jouent un jeu dont la rgle est la suivante : il sagit datteindre une cible. 1 chacun de ses essais, B a une probabilit de de toucher la cible et A une 2 1 probabilit de . 3

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A et B jouent tour de rle, la partie se termine ds que lun des deux joueurs atteint la cible. Cest A qui joue le premier. ` Soit pn la probabilit que A gagne son neme essai, et qn la probabilit que B gagne eme ` son n essai. 1. Calculer pn et qn . 2. Calculer : Pn =n X k=1 n X k=1

pk

Qn =

qk

P = lim Pnn

Q = lim Qnn

Que reprsente chacun de ces termes ? 3. A et B ont-ils les mmes chances de gagner ?

Solution 53 1. pn = = n1 n1 1 1 2 3 2 3 n 1 3 n n1 1 1 2 3 2 2 n 1 3

qn

= =

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2. Pn = Qn =

n X 1 k k=1

3

1 1 1 n = 2 3 1 2

P = lim Pn =n

1 n 2 3. Donc A et B ont les mmes chances de gagner. Q = lim Qn =

Exercice 54 Deux joueurs A et B jouent avec deux ds. Le joueur A gagnera en faisant un total de 7, B en faisant un total de 6. Cest B qui commence et ensuite A et B jettent alternativement les ds jusqu ce que lun des deux gagne. Quelles sont leurs probabilits de gagner ?

Solution 54 Notons (a, b) les points amens par le premier d et le secon

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Exercices de Probabilités 2006