Calcul integral. Integrala definit Observaia 1.5.1 a) Pentru /? = < = 2 se obine inegalitatea lui Buniakovscki. ?

17

b) Pentru g(jc) = 1 se obine:

1.5.4. Inegalitatea lui Minkowski. F ,e AtunciDe monstra*ie:+

integrabile i p> 1.< d x j

+ ( j > ( * ) f 1 1 f i

Integrnd inegalitatea |y ( x ) + ^ + ^ (^)f W (f ) l + k +^ (^)l

i aplicnd 1.5.3 membrului drept se obine inegalitatea lui Minkowski.

6. Exerciii rezolvate9

1. Folosind sumele integrale s se calculeze:a) b)Ja

\hxkdx fbx"dx pe

. R, a>0, b>0.

C c) Ja hsinxdfx.d) J*ln(l-2tfCOS;t + a2)dx.

Ja

Rezolvare: a) innd cont de egalitatea J V a = J V a - J V < f c se calculeaz corespunztoarea*

\[*kdx.

Se mparte intervalul [0,a]n n pri egale i se consider suma Riemann acestei diviziuni i funciei . Cumf:[09

a]->R, /(*)=* ,

I t i \ ~ 5=5 M ' 11 =

funcia

/ : [0, a] - *

este

continu, atunci este integrabil i rtoow = J0a x k dx. limk+l

Analog se arat c Jo xkdx Conform cu (1), se obine | b) Se mparte intervalul

- ^

= J nqk 0 ,

Deci / :[tf,/r]-> R, / ( x ) = ln(l~2rcosx + r 2 ) este continu deci integrabil. Se mparte intervalul [ o 9 k ] n pri egale i se construiete suma Riemann asociat diviziunii date i funciei / ( j c ) .a n 7= k-1

, ^-1 =

kn nE&n

l - 2 r C O S + r

=

m In n

(1 + r ) - n 1 ~2rCOS+ rk=\

n-\

l

knn

Se tie c

z2"

(z2

- 1 ) J~[| 1 - 2zcos+z 2

innd cont de aceast identitate se obine:K

*=i

n

VnWmn

\

r+1r-1

B

Dac H > 1, lim a = 0 In Dac r < 1, o* = In

;r

1 + r= 0. 1-r+ 2rtln

r + 1 r2w - l

r1

Deci pentru | r | > l => lima; =2/rln r Aadar JJln(l-2rcosx + r2)

-(x

2

3. S se calculeze: x2+l dx, jce R a)J Jx< +1 -1 r 24 Jx +1 Rezolvare:

i

x4+l

, jce J R I 1 l+ f H2

a)

2 1 X2+l

W S xB B ^ +X

l +

/

dx

i Se face substitutia jc = tx cx2+\

X r~ X /

+2 1 ^X

v

dx~ dt 1 , x

A +1

, f dt dx = J\|

2

1\2

arctg=r+ C = - = a r c t g - ? = + C V2 Jl y/2 v/2 x -otc- 2

1

.

B

x

1 x+

Se face substitutia x + = / => [ 1 - 4= dxx

= dt

rx2-l , J x4 - l jdx

f dt _ 1 t 2 - 2 ~ 2>/2

ln n

-V2

1 1 , x2-W2 + l + C = s=ln a+C 2V2 x +x V2 + 1

1 r x2 - l 1 r x2 +1 dx 4 o. 1 4+l j 9 Jxv4 + 1 ~ 2 JJx 4 + l 9 x 2 innd cont de aceast egalitate se folosesc punctele a) i b). Se poate folosi i descompunea n fracii simple, dar calculele pentru determinarea coeficienilor sunt foarte lungi.

36CalcuMnteraLTeori 4. S se calculeze:a) I - \ y j \ + x2dx, xe R xe(2,oo) xe(\,2)

b) | = j V * 2 -3x + 2dx,c) l = jyl-x2+3x-2dx,

Rezolvare: a) Dac se folosesc substituiile lui Euler se obin calcule lungi.I = \sf+7dx=J J

I

m

-

n

+

T

-

i

i

-

i ^ L V\ + x2

=>/

= X\l\+X2

- [yl\ + x2dx+

T

W 1 + *2

f

=

=> 2/ = * - V l + * 2 + ln(* + V l + * 2 ) + C=> =>/ = - - W l + * 2 + - l n ( ; t + Vl + * 2 ) + C 2 2 V / b) Dac se folosesc direct substituiile lui Euler, se ajunge la o integral raional care necesit calcule lungi, de aceia mai nti se aplic integrarea prin pri.

/ =J n / j c 2 - 3 x

+ 2dx = j ( x ) W?-3x

+ 2dx =

2 / = x\jx

yjx2 -3x

+2 dx =

t

I 1 1-3x

+ 2

1 r 2x2 -6jc + 3A: + 4 - 4 ,I . / = Wjc2 3J? + 2 / - f . 4JVx2-3X +2

2x-3

tfr=> * 3V

=> 2/ = .r>/x2 -3X + 2 - f . 2 J C ~ 3 A - l f , 4 J V* J -3;c + 2 4- |2 / = * V * 2 - 3 x + 2-~yJx1 + +

^W

2

4

2

-3x + 2

J

,_2x-3 4

ylx2-3x

+ 2

- I l n f ^ l + V* 2 - 3 * + 2 1

c) i n acest caz, dac se folosesc substituiile lui Euler, se ajunge la o integral raional care necesit foarte multe calcule, de aceia se folosete integrarea prin pri.

8

2

J

I i H i =

|yj-x2

+ 3x-2dx

1 xyjx2 + 3x-2

HJ 2J

1r

-2.x2 + 3x\I-x2+3X-2

dx =

1 | -2x2 +6x-4-3x +4 x\l-x2+3x-2J dx x2 + 3x-2 JI = x*J-x2 +3x-2

2/ = x\j-x2^

9 J yj-x2+ 3x-2x + 3 +3jc-2 f A n i J x2 +3jc 22A ^

- / - f

-3x

+4

dx

cc 6 -x2 + 3x - 2\I-x2+3X-2

-

21 = xyj-x2 21 = xyj-x2

+ 3x 2+3x-2

?

V-*2+3x-2+-f4

AJ

V-*2+3x-2 + -f2 4J

1 1

X\

ii 2)

5. S se calculeze jc-(jc + l)(jc4-2)(x + 3)(x + 4)..i(jc + .100) (x2 + l)c&(x + 1)3 (x2+3x x2 +1C)f

1100

1 1 wHk = /r = 2 A: 3 -1x j + 3: x - 2r + -arcsint-^ + C v 4 8 1

b)j

+ 2)

Rezolvare:

x4 + x2 + 1

dx

a)

1

A

mm 'kmo4 =

aO + k = 1 * 100! J (1!)!99! 2!98!

1 4> = (jc + 1)(JC + 2)...(* + 100) x = 0 1x

1 x(jt + l)(x+2)...(x + 100) x =-2 A =H

1 x(JC + 1)(*+2)(X + 4)...(X + 100) x = -3=1

A -3!97!

1

Se poate observa c A

(-1) ->t!-(100-^)!

146 Calcul integral. Teorie. Exemple. Aplicaii

Deci

100 100

n

k-0

(x+k)dx

= 1 *=0

(-1)* A:!(100-:)!x+k100

Atunci j - S noc+it) ^ ( " 0 *=0 100 1 =y b) x2+l (jc-hI)3 +3jc + 2) x2+l (x + l) 4 (x + 2)A =

-*!-(100-*)!jX+* ln|x +fc|+ C

1

A:!-(100 A:)! x2+\ (x + 1)4 (x + 2) B(x +

Ax+2

B,i) 4(x +

i) 3

(

x +

i) 2

x + \

x2+l x = -2 x2+l x+2'

4+1 =5 (_ir

B. =

2

2

'x2+P x + 4x - 1 = _4 = 2; 53 = x = -\ x + 2 x = 1 (x + 2)2 x = 1 > , A 10 x +4x-l 1 =5 (x+2) 2 (x+2) 3 x = - lx=-l

B

1 3! (x + 2)3,t=-i

5

mmk\

-3

_ 5X 1

2

S-a folosit formula B. , = 4"*

(x + 1)4 (x2 +2)

k=0,l,2,3.dx dx

x2 +1 I

dx

2J

X +1 x+22 1

3 3 (x + 1)x2

l(x + iy

+2

k

1 -5 ln|x + l| + C = 2 (x + 1) x +1 2 1 *+1

= 5ln

+2

1

(* + !)

+cCx+D

c)

x2-l + x2 +1

-l

Ax + B

( x 2 + x + l)(x 2 x +1)

x2+x + l

x2 x + 1

Primitive

39

=> x2 - lrA

= (Ax+B)(x2

- x + l ) + (Cx + >)(x2y

+x+i)

+ C =O ~ " V

j-A + B + C + D = l A-B+C+D=0 \B + D - \

<

Rezolvnd sistemul se obin soluiile: A = -1, B = - , C = 1 ,> = - 7 7 2 2| x P |

2 |

Jx4+x2+l

=

X +X+ 1 X X+1 1 r 2x + l I 1r 2x-l dx dx + -\ jX2+X + 1 jX2-X +1 2 2

-i

dx=

m

I m

H X 2

+

dx =

= - - l n ( x 2 + x + l) + ln(x2 - x + l ) + C = = -ln +C 2 jr+x +1 6. S se calculeze:1. x2-x + l H

H

H mB 3

4

9

0)J

Rezolvare: a) Folosind substitutiile lui Euler se obine: J~(xl)(x + 1 ) = / ( x + l)=^> x = - ; t = J^ ; dx = 1 + t2 Vl + x

x3

(1-K 2 )

jdt

' -1 r-1^(3 + f 4 )

H dt +t2+at + S

SUB

A,/2

+ +

1t

+C' t2+at

'

+ S '

ST +

o = VT2 unde: Deci f fej 3 | 1 = 0 ; 5 = ^ - ; C = 0; D = ~ 1 3a 3a jc5 - x 3 = / .

Se taie aceast

curb cu j; = /x pentru a gsi o reprezentare parametric. x = Vl+7 +f Cu aceste date, f . ^ax2

H

= d t . I \ + r

K =

3 r t dt = ~ f 4 Se calculeaz descompunnd n fracii

simple. Integrala de la punctul c) se mai numete i integral abelian. 7. S se calculeze: a) I rJ sinx-sina. . J b) c v r dx

2>/2+cosx+sinxdx dx

yfdx

x a) Se face schimbarea de variabil t g -

cos6x + sin6x Rezolvare:

Oj

=

t=$dx

,

2 dt

1 +f

! sinx =

.

21

I U

Primitive2 dtJ

41

sin*-sina

J

2t

1 + /2

I si na' 2sina In cos2 a

O

1+Sdt2

r - s i nas ' n f sinxdx = lim f s\nxdx = -limcos* = -limcos/ + l Jo /oo Jo /OO 0n

Deoarece lim nu exist f siru/2

deoarece

c) integrnd F(x)=

i&iiiprin i

pri

i descompunnd

n fracii

simple

se

obine:

f y + I n x - l n ( l + x 2 )+ B ^ j J ( l + x2)3 4 (l + x 2 ) 2 4 8 ' 8 l + x2xlnx,

Se observ c pentru / (x) = critice

att x = 0 ct i x = sunt puncte ~ _ Cum

atunci

f I

H

j r1^ ^'nx H r , rdx p + Jl (1 + X 2 ) (l + x1)3

146 Calcul integral. Teorie. Exemple. Aplicaii

1 limF(*) = - , J o

limF(x) = 0W

atunci

IJo

I-

, dx

este

convergent

i

" H

(l + * 2 )

r _ j t o } x d x = F , i)_| i m F (x)+limF(x)-F(l) = --j-3 V ' v | w x> V ' -0 8 (l +, x 2\)

3. S se studieze convergena integralelor: arctgjc dx. a )Jo

b) f

Jx(x-a)(x-b)

. . *

^

(x 0 >a>b).

f

I 1 -e~*s dx.\

i|

1 d) j ' Jo I p I M |m 2 ~xd x . I _ _

e) ^ x ^ - e ^ d x (fi 9 a> 0).x dx n

Rezolvare:l

mii xylx -12

-

Inx

Fie / :[a,b)->R+,

a,b

finite i / local integrat i L = l i m ( 6 - x Y ' / ( * ) .xQb

a) Dac L< oo pentru /?e(0,1) atunci J f ( x ) d x convergent. b) Dac 0 < L < o pentru p > 1 atunci J f { x ) d x divergent. o II. Fie / . -> R+, a finit, funcie local integrabil i L = ^ xJo f(x)dxp

f(x).

a) Dac L< pentru /?>1 atunci *

convergent. f(x)dxdivergent.

b) Dac 0 < Z, < o pentru pe (0,1] atunci J o

181 ^ ^ M ^ M B7

innd cont de I. i II. se obine: Jo xJo

J C

Jl

r ^ d xx >0

&atunci conform cu Ia)>

Deoarece1

lim xp a r c t g * = 0 (V) convergent.

=

Jo

V

Integrale improprii

55

Deoarece lim*'' w , b) lim ..... , arctgxdx

_ |j m jt''arctgjt = 0 ( V ) p e (0,1) atunci conform cu I. a) este convergent.32

dx convergent. Atunci =1 daca p = > 1.

^ ^ ( x - a ^ x - b ) dx r j ^ x ( x - a ) ( x - b )

Atunci

conform

cu

II.a)

'

este convergent.Mi

1SIx->0

(V

e-a

x

m 2

i

('

f2

# 1 - e~

-e

**

i/

l

e * l Jo

*

2

#9 1

x

21 - *lv2( > -e x dx =/

/, + I 2 . Deoarece cu I. a), 7

linrup - e -r2 = lim* 7 ' K f i j.r-0 1.2 N

'

=i 10,

x

(V)p > 0,-

atunci

conform

/, = J~ e *2 -e *2 ix este convergent. Pentru I2 = pot aplica I. i II. Se dezvolt n serie funcia * -ebL-a1

/ -2 I \ a e * e * ic nu se i se obine:

f ( x ) = ex2-e

*2

Bxp~2 b2 - a1 X>oo

2-a:

= lim

= 0 dac p e (0,2). Atunci conform cu ll.a) innd cont de inegalitatea (1)

im

\b2-a'

convergent. ' a2l2 ^ JT _ 0 X ix

Atunci

este convergent. Deci / = 7, + / 2 este convergent.

d)

BfflSHSHcHB^SSIJo 2 J x - ex

1

^

T

T

2J x

|

(e*

*

x

Dezvoltnd n serie se obine: 1 C x 1 1 01 ^ 1

12

240x

= 0.

atunci conform cu I. a) i

inegalitatea (2) /, = Jq \

Coof

dx este convergent.

Deoarece lim x conform cu 1 a)

J

X

11SI2

e'x

-M.-L-lim*"-2 f ' +re

- e'x

x

1^2J

= 0,

(V)p w . consider = . g(x) este descresctoare

Deoarece

Integrale improprii

57

(V)x> 1 i limg(x) = 0Fie f ( x ) = e*^ sm2x.

(5)

sin2x dx 1 2

cos2x dx= 2

siat

= 2 esinA - esin11 < 2e.

Deci (6)

f

esiav sin2x dx , g(x)

=Jox/'|lnx

sinx

cbc

x

este descresctoare(7)

lnx|" I (V)x> e i l i m L - = 0 .t-oo x Fie / ( x ) = sinx-J sinxo

(9) se obine (10)

/ ( x ) = sin(x + x 2 ) . = J>4sin(x " +

Fcnd = j I '

substituia Vl +4z

z = x + x2

J f(x)dx I"

x2)rfx:

a+a2 sinz

dx

care este mrginit (V)A > a. Din (9) i (10) conform cu criteriul Abel-Dirichlet convergent.J

o

f

sin(x+x 2 ) x

dx este

I f c f t - p S f l i P P m. ^ Se nmulete relaia (2) cu r infinit1

!

mm

(2)

i se integreaz n raport cu / de la zero la

r(

*+

+=

I N I H!P= \~ya+"-x eydy | | | H ^

^^wm^S/^p | H H

=>T(a + b) B{a,b)

6) B(a,b) = r(a) J"/'1 l I r(a) r()DeCI

T(a + b) B(a,b)

I

I

= T(a) r(Z>) I

' M ^ f f ^ ^ ,evn,o s ^ o o * * * ^ ^ ^ ^ 3. Dac n proprietatea 2 se consider 6 = 1 - a > 0 i innd cont c: sin^ -7T sina -n Observaia 4.3.1. Funciile B(a,b) i r ( a ) sunt utile n practic la calculul unor integrale definite ce apar n diverse fenomene fizice i procese tehnice, integrale care n alt mod nu ar putea fi calculate.

4. Exerciii rezolvate.9

1. Pornind de la funcia integral calculeze Ii = Rezolvare: Se, . r*Jo

(*A ^L/COSX

; X > / i > 0 s se .

dx (A + /icosx)

i L =

-

r

CKJo

C0Sx

dx

(A + /xcosx)

/ ( a , x ) = . 1 . 7 A + /icos* . A + U Oc jC S j condiiile teoremei de derivabilitate a funciei integrale. dF __ r* dx . dF _ r^ cosjc (A + /jcosx)2 ? l (A + ^cosx)2 Adicf(Xv9

observ

x)=7

sau

ndeplinete

dF_ _3F = WBBM W K m 9A' 2 " du

(1)

Se gsete valoarea sub form neintegral a funciei F(A 5j u).v

'=

Jo

r

A + jucosx2

dx

=

r

_ r"Jo

-

(A,-/i)t 2 + + ju

-

dx

(

r = tg2

xN

(2)

Derivnd egalitatea (2) n funcie de A i ix se obine: dF nX l i p ' flju (A2-/!2) ^ ^ Din (1) i (3) se obine I { 2. S se calculeze: Rezolvare: innd cont de criteriile de convergen de la integralele improprii, integrala ce definete pe F ( a ) este convergent. Funcia f(a,x)~CQSaxrkx

1

^ '

^nX

(A 2 -/x 2 ) ^ ^1^ u ^ ir

(3) nu

1 H |

1-C0SX

'k\

a>09k>0.

ndeplinete condiiile teoremei de derivabilitate a funciei integrale. F' {a) = j sinx e~kx dx. Integrnd prin pri se obine:

9 B H H B 1Se integreaz egalitatea (1) n F(a)=*ln(a2+*2"]+C

(1)

raport

cu

a

i

se

obine(2)

Din forma integral a lui F { a ) i din egalitatea (2) pentru a = 0 se obine:

>(ofcp.F(0) = ln: + C Aadar F(A) = ln

C = -InA:. v 2 +k :

3. S se calculeze I = | e'*1 dx. Rezolvare: Pornim de la r(a) =Jo

x"~l -e~x dx, a> 0.

Se folosete substituia x2 = t i se obine: 4 ? oJo

t

2

e'

dt.

Deci / = r l Se cunoate c r ( o ) r ( l - a ) = - ^ , ae (0,1). sin/r Deci rm

(1)

I

tt

=> rf \=s[n

(2)

Din (1) i (2) se obine / =

4. S se demonstreze egalitatea: F v * 1 T Jo7fi7 JoVTvRezolvare:x2 dx K

4B(a,b) =

jV_1(l-x)h~ldx,

Pentru a demonstra egalitatea se utilizeaz funciaa> 0, b> 0.

Pentru aceasta se face substituia jc4 = t i se obine: x2-dx 1 3 P r'^*f' r = B I B5 16 4' 2 4' 2 innd cont de faptul c = 1(0 + 0} 2 din (1) se obine.

(1)

/1 \

fii

afc ax

pi (

x2dx

r16

4

rfi \

rH H H

VTr

P ir

r

4 V

J

v4/

r16

H E dx

v2/n

H

I

7 T 7

i jc Deci J ' - ^ f J V T T " J( VT O /i ~4 Jo

5. S se calculeze: I = f Rezolvare:

Jo

(l +

x)2

rfx:.

innd cont de faptul c B(a,b) = T /rdx = B

JO

r n

.a-1

Jo (l+x) 2

95 3 N 4 4 a-la + b-l

(1)5(a-l,Z>) 1 4 n (2)

Se tie c B(a,b) =

innd cont de (2) din (1) se obine:1 =

iJo

Mx(\ + x)

2

,dx

=

4

--B Y1

3^ 4 4

. n sin 4

4 a/2 2

2>/2

146 Calcul integral. Teorie. Exemple. Aplicaii

2. Calculul integralei dubleP r o p o z i i a 6.2.1.

Fie f : D c R

2

-> *

, D = [a, b\x[c,d].

Atunci:

J jf(x,y)dxdy

=[ d x [ / ( x , y ) d y

f jf(x,y)dxdyD

=[dxj''f(x,y)dy

Demon stranie: Fie A o diviziune a dreptunghiului D definit astfel: