EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR Estadística III. H Lamos1

Estadística III. H Lamos 1

EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR

ANOVA 1 FACTORSe trata de un diseño con a tratamientos o niveles de una solo factor y n réplicas. En este caso Nivel= TratamientoCorridas= a*nLa secuencia de prueba es aleatoria para evitar efectos de variables perturbadoras desconocidas.


Factor PROCESO ijyNivel iUnidad experimental j


En la siguiente tabla se registran los datos obtenidos:

.iy.iy

Para los datos tabulados se obtienen:•Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.•Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.•Gran total de todas las observaciones.•Promedio de todas las observaciones.

..y ..y

A baja temperatura

A temperatura media

A Alta temperatura

42 36 3341 35 4437 32 4029 38 3635 39 4440 42 3732 34 45

Resumen Estadístico para y


Temperat Recuento

Promedio

Desviación Estándar

Coeficiente de Variación

Mínimo Máximo Rango

1 7 36,5714 4,85994 13,2889% 29,0 42,0 13,0

2 7 36,5714 3,35942 9,18592% 32,0 42,0 10,0

3 7 39,8571 4,67007 11,717% 33,0 45,0 12,0

Total 21 37,6667 4,41965 11,7336% 29,0 45,0 16,0

Modelo para los datosModelo de las Medias


ij

i

ij

ijiij

y

y

Observación i j – ésima.

Media del nivel del factor i.

Componente del error aleatorio de la observación i j – ésima.

Supuestos

Modelo de los Efectos


i

ijiijy

Parámetro común a todos los tratamientos o MEDIA GLOBAL.Parámetro único del tratamiento i- ésimo o EFECTO DEL TRATAMIENTO I-ÉSIMO.

1. El diseño experimental es un diseño completamente aleatorizado.2. Los errores del modelo son variables aleatorias que siguen una

distribución normal e independiente con media cero y varianza 3. La varianza es constante para todos los niveles del factor, lo que implica

que

2

),(Ny 2iij

ANÁLISIS DEL MODELO CON EFECTOS FIJOS. Notaciones


..

..

.

.

y

y

y

y

i

iTotal de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.

Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.

Gran total de todas las observaciones.

Promedio de todas las observaciones.

Para probar la igualdad de las a medias de los tratamientos:


0....: 21 aoH Los efectos de los tratamientos pueden considerarse como desviaciones de la media global

De forma alternativa:

a

iii

a

ii

i

n

a

1

1i

0

Se desprende que


iH

H

H

i

ao

i

a

una menos alpara 0:

0....:

eequivalentforma En

cero.a iguales

son parámetros los todosNo:

..:H

probara Hipótesis

1

21

1

210

ANÁLISIS DE VARIANZAEl nombre análisis de varianza se deriva de la partición de la variabilidad total en sus partes componentes.

Suma de cuadrados total corregida: Se construye la variable aleatoria


a

i

n

jijT

i

yySS1 1

2.. )( Evaluada en los datos

da la medida de la variabilidad de todos los datosVariable aleatoria chi

cuadrado con N-1 grados de Libertad

Puede hacerse la partición de la variabilidad total de los datos.


Error

i

osTratamient

i

ii

SS

a

i

n

jiij

SS

a

ii

a

i

n

jij

a

i

n

jiiji

a

i

n

jijT

yyyynyy

yyyyyySS

1 1

2.

1

2...

1 1

2..

1 1

2....

1 1

2..

)()()(

.))()(()(

Medida de la variabilidad entre los tratamientos

Medida de la variabilidad dentro de los tratamientos

Tabla ANOVA para y por Temperat


Fuente Suma de Cuadrados

Entre grupos 50,381

Intra grupos 340,286

Total (Corr.) 390,667

Cuadrados Medios

El valor esperado de las variables aleatorias;


aN

SSMS E

E

Estimador insesgado de la varianza poblacional.

aN

SSE)MS(E E

E

Cuadrados Medios


1a

SSMS osTratamient

osTratamient

Si se usa como estimador de la varianza, entonces es sesgado, naturalmente si la hipótesis nula es falsa.

0....:H a21o

Estimación de la varianza poblacional

Se obtiene también la varianza muestral del tratamiento i-ésimo.


aN

SSE

Es una estimación combinada de la varianza común dentro de cada uno de los a tratamientos.

1a

SS osTratamientSi no existe diferencia entre las medias de los a tratamientos, la variación de los promedios de los tratamientos es un estimador insesgado de la varianza poblacional.

Análisis EstadísticoDistribución de probabilidad de las variables aleatorias

Para probar la independencia de las 3 sumas de cuadrados se hace uso del Teorema de Cochran


cuadrado chi212 N

TSS

22 aNESS

212 a

oTratamientSS

Si las medias son iguales

Teorema de Cochran

s21

s1

i

1is21

2i

i

...

Q,...Q

).s,..2,1iQ,s

Q...QQZ

,..2,1iZ

si sólo y si

mente,respectiva libertad, de grados con pendientes inde

cuadrada-ji aleatorias variables son Entonces

( libertad de grados tienen y Donde

y para NID(0,1) v.a Sea

i

i


Por consiguiente: la prueba de independencia de las 3 sumas de cuadrados se basa :

11 NaNa

Estadístico de pruebaSi las medias son muy parecidas entonces

Si la Hipótesis Nula es falsa Entonces Se tiene que el estadístico de prueba es:

La Hípotesis Nula la podemos rechazar si:


EosTratamient MSMS

E

osTratamiento MS

MSF

2osTratamientMS

)()( EosTratamient MSEMSE

aNao FF ,1,

Tabla ANOVA para y por Temperat


Fuente Suma de Cuadrados

Gl Cuadrado Medio

Razón-F Valor-P

Entre grupos

50,381 2 25,1905 1,33 0,2886

Intra grupos 340,286 18 18,9048

Total (Corr.)

390,667 20

Cálculos Manuales


Estimación de los parámetros del modelo

.i...i..iij

ijijij

...ii

..

yyyyˆˆy

yye

yyˆ

yˆ

Estadística III. H Lamos

21

ijiijy


• Intervalo de confianza para la media de un tratamiento i

• Intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos tratamientos i y j

Intervalos de medias


1 2 3

Medias y 95,0% de Fisher LSD

Temperat

34

36

38

40

42

44

y

VERIFICACIÓN DEL MODELOLa violación de supuestos básicos y la adecuación del modelo se investigan mediante los residuales.

Si el modelo es adecuado, los residuales deben estar sin estructura; es decir, no deben haber patrones obvios.


Residuales del modeloijijij yye ˆ


A Temperatura baja

A temperatura media

A Alta temperatura

5,43-0,57 -6,86

4,43-1,57 4,14

0,43-4,57 0,14

-7,571,43 -3,86

-1,572,43 4,14

3,435,43 -2,86

-4,57-2,57 5,14

Residuos


1 2 3

Gráfico de Residuos para y

-8

-4

0

4

8

resi

duos

Temperat

Trabajo en clase


Con el propósito de comparar los precios del pan (de una determinada marca) se llevo a cabo un experimento en cuatro zonas del área metropolitana: Cañaveral, Centro, Cabecera y Girón. En cada zona de la ciudad se tomaron muestra de 8 tiendas, pero en Girón, debido a una omisión, se tomó una muestra solamente 7 tiendas. Se empleó un diseño completamente aleatorizado. Describa el modelo estadístico para el análisis del problema. Defina la unidad experimental, los tratamientos, el número de corridas, el número de réplicas, los factores, la variable respuesta.¿Constituyen los datos evidencia suficiente que indique una diferencia en el precio medio del producto en las tiendas de las diferentes zonas del área?¿Cuál zona seleccionaría para comprar pan?Estudiar las diferencias en los efectos de los diversos niveles del factor.Construya un intervalo de confianza al intervalo de confianza al 90% para el valor medio del precio del pan en la zona de Centro. Construir la estimación del intervalo de confianza de 99% para la diferencia media entre el precio del pan de las zonas 2 y 3


Zona Precio del pan

Cañaveral 59 63 65 61 64 58 60 61

Centro 58 61 64 63 57 60 63 60

Cabecera 55 59 55 58 59 56 60 55

Girón 69 70 65 70 66 71 69

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