Fünf-Farben-Satz

Eine Seminararbeit für das Seminar,,Mathematik macht Freu(n)de”.

Seminarleiter: Prof. Dr. Michael Eichmair

Betreuer: Prof. Mag. Dr. Markus Fulmek

Autoren: Akio Friesacher

Hemma Giglleitner

Fabio Rozhon

Sabine Wurzer

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Mathematische Betrachtung 42.1 Geschichtlicher Aspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Knotengrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.5 Wanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.6 Eulerweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.7 Satz von Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Der Eulersche Polyedersatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Fünf-Farben-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Das Königsberger Brückenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Landkartenfärbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Schulische Herangehensweise 173.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1 Aufgabe 1 - Wichtige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2 Aufgabe 2 - Tennisturnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.3 Aufgabe 3 - Stundenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3.1 Zwei Klassen mit zwei Unterrichtsfächer . . . . . . . . . 243.1.3.2 Vier Klassen mit vier Unterrichtsfächer . . . . . . . . . . 26

3.1.4 Aufgabe 4 - Kreuzungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.4.1 Einfachere Kreuzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.4.2 Komplexere Kreuzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.5 Aufgabe 5 - Landkartenfärbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Lösung 1 - Wichtige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Lösung 2 - Tennisturnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Lösung 3 - Stundenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.3.1 Lösung - Zwei Klassen mit zwei Unterrichtsfächer . . . . 353.2.3.2 Lösung - Vier Klassen mit vier Unterrichtsfächer . . . . 36

3.2.4 Lösung 4 - Kreuzungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.4.1 Lösung - Einfachere Kreuzung . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.4.2 Lösung - Komplexere Kreuzung . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.5 Lösung 5 - Landkartenfärbung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

1 Einleitung

Die mathematischen Inhalte dieser Seminararbeit, die wir hier für Schülerinnen undSchüler aufbereiten, stammen aus dem Skriptum von Markus Fulmek. Dort finden In-teressierte viele weitere verwandte, spannende und elementar zugängliche Sätze aus derDiskreten Mathematik.”

In unserer Seminararbeit in”Mathematik macht Freu(n)de” haben wir versucht die

Idee des Fünf-Farben-Satzes für Schülerinnen und Schüler der 10. Schulstufe aufzuberei-ten, um ihnen nicht zuletzt anhand von Beispielen die Grundlagen der Graphentheorienäher zu bringen. Dafür haben wir zuerst die mathematische Betrachtung möglichstschülergerecht aufgearbeitet. In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Begriffe defi-niert und vorbereitend wichtige Sätze bewiesen. Anschließend wird der Fünf-Farben-Satzselbst bewiesen. Mit vielen Abbildungen haben wir versucht diesen komplexen Beweisso anschaulich wie möglich zu gestalten.

Nach dieser Vorarbeit gehen wir auf verschiedene Anwendungen des Fünf-Farben-Satzesein, um die Vielfalt dieses Problems darzustellen. Das Königsberger Brückenproblemund die Färbung einer Landkarte mit nur 5 Farben werden in diesem Zusammenhangausführlich erklärt, um den Schülerinnen und Schülern für den Fünf-Farben-Satz histo-risch bedeutende Fälle zu skizzieren.

Grundsätzlich haben wir uns die Aufbereitung des Fünf-Farben-Problems in Form einesWorkshops für interessierte Schülerinnen und Schüler vorgestellt. Dafür haben wir ei-nige Aufgaben zusammengestellt, die den Schülerinnen und Schülern in selbstständigerArbeit ermöglichen sollen, die Lösungen zu den Problemen zu finden. Die Aufgabensind angelehnt an alltagsnahe Beispiele gestaltet. Unter anderem sollen die Jugendlicheneinen Turnierplan erstellen, die Ampelschaltung einer Kreuzung regeln und einfacheStundenpläne ohne Überschneidungen planen.

Da die Graphentheorie kein Teil des Schulstoffes ist, haben wir die Definitionen undHinleitungen genau ausgeführt.

3

2 Mathematische Betrachtung

2.1 Geschichtlicher Aspekt

Im 19. Jahrhundert kam zum ersten Mal das Färbungsproblem und zwar mit vier Farbenbei der englischen Karte auf, woraufhin versucht wurde Lösungen dazu zu finden. DerMathematiker Alfred Kempe fand sogleich einen Beweis, dass die Karte wirklich mit nurvier Farben gefärbt werden kann. Percy Heawood konnte zeigen, dass der Beweis wegeneines Fehlers nicht korrekt sei. Er fand stattdessen den Beweis für den Fünf-Farben-Satz beruhend auf dem Polyedersatz von Leonhard Euler. Der Vier-Farben-Satz wurdedann erst in den 1960er-1980er Jahren gelöst mit Hilfe von Computern, da sehr vieleFallunterscheidung nötig sind, um den Satz vollständig zu beweisen. Die Fälle wurdenzwar sukzessive komprimiert, aber im Endeffekt blieben trotzdem 600 Fälle, die geprüftwerden mussten.

2.2 Definitionen

Um den Fünf-Farben-Satz und die dazu gehörige Materie verstehen zu können, müssenim Vorhinein die dazugehörigen Begriffe definiert werden. In diesem Kapitel werden diewichtigsten Begriffe aufgelistet und erklärt.

2.2.1 Knoten

Abbildung 1: Definition Knoten

Ein Knoten ist ein Punkt in der Ebeneoder im Raum. Punkte können durch Kan-ten verbunden sein. In der Abbbildung 1sind Knoten farbig markiert.

2.2.2 Kanten

Abbildung 2: Definition Kanten

Eine Kante ist eine Linie, die zwei Knotenmiteinander verbindet. Sie kann maximalzwei Knoten miteinander verbinden. Sindzwei Knoten durch eine Kante miteinan-der verbunden, werden diese als benach-bart bezeichnet. In der Abbildung 2 sindKanten farbig markiert.

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2.2.3 Graph

Abbildung 3: Definition Graph

Als Graph werden die Menge aller Knotenund die Menge aller Kanten bezeichnet.Die folgende Abbildung 3 ist ein Beispielfür einen Graph.

2.2.4 Knotengrad

Von einem Knoten kann der Knotengrad bestimmt werden. Der Grad eines Knotens istdie Anzahl der Kanten, die diesen Knoten mit anderen verbindet.

2.2.5 Wanderung

Abbildung 4: Definition Wanderung

Eine Wanderung ist eine Folge von Kno-ten die durch Kanten verbunden sind.Bei einer geschlossenen Wanderung ist derAnfangspunkt gleich dem Endpunkt. EinWeg ist eine Wanderung, wo kein Knotenzweimal vorkommt, außer der Anfangs-und Endpunkt.

2.2.6 Eulerweg

Eine Wanderung, die jede Kante des Graphen genau einmal durchläuft, heißt eulerschoder Eulerweg (siehe 2.5 Das Königsberger Brückenproblem, besonders der Absatz bezüglich

”Das Haus des Nikolaus” mit der Abbildung 15 auf Seite 14).

2.2.7 Satz von Euler

Ein Graph hat genau dann einen Eulerweg, wenn höchstens zwei Knoten einen ungeradenGrad besitzen.

5

2.3 Der Eulersche Polyedersatz

Der Polyedersatz ist ein Satz von Leonhard Euler, welcher das erste Mal 1750 in einemBrief vorkam. Er beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von planaren Graphen. Jetztstellt sich die Fragen: Was ist ein Polyeder? Was ist ein planarer Graph? Wie kann ichein Polyeder zu einem planaren Graphen machen?

Polyeder: Ein Polyeder ist ein geometrischer Körper, dessen Oberflächen aus verschie-denen, ebenen Vielecken besteht. Ein bekanntes Bespiel ist der Würfel.

planarer Graph: Ein Graph, der in der Ebene R2 gezeichnet werden kann, ohne dasssich Kanten kreuzen, wird als planarer Graph bezeichnet.

Das klingt jetzt alles ein bisschen kompliziert, doch man kann es sich so vorstellen:Wird beispielsweise von einem Würfel eine Fläche ausgeschnitten und werden die angren-zenden Kanten auseinander gezogen, so kann das Würfelnetz auf eine Ebene projiziertwerden. Dieses Netz ist nun ein zusammenhängender, planarer Graph. Der Polyedersatz

(a) Würfel (b) Würfelnetz

bezieht sich auf solche zusammenhängende, planare Graphen, auch wenn sie nicht aufein Polyeder zurückzuführen sind.

Eulerscher Polyedersatz: Seien E die Anzahl der Knoten, K die Anzahl der Kantenund F die Anzahl der Flächen eines konvexen Polyeders, dann gilt:

E−K + F = 2 (1)

”Die Anzahl der Knoten minus der Anzahl der Kanten plus die Anzahl der Flächen

gleich 2.”

6

Beweis: Der Beweis des Satzes funktioniert mit Hilfe einer vollständigen Induktion nachder Anzahl der Kanten K:

Induktionsanfang: Wir setzen

K = 1→ E = 2 und F = 1 ⇒ 2− 1 + 1 = 2 (2)

Abbildung 6: Induktionsanfang

Induktionsbehauptung: Die Behauptung entspricht der Angabe des Satzes:

E−K + F = 2 (3)

Induktionsschritt: K→ K + 1Um von K + 1 zurück zu K zu kommen, muss eine Kante wieder entfernt werden. Esmuss die Kante jedoch so gewählt werden, dass nach dem Entfernen der Graph nach wievor zusammenhängend ist.Durch Abzählen des neuen Graphen ist sichtbar, dass die Induktionsbehauptung gilt.

Abbildung 7: zusammenhängender Graph

7

Ist es ein Graph, bei dem es nicht möglich ist eine Kante zu entfernen, ohne den Zusam-menhang des Graphen zu gefährden, wie bei einem Baum (siehe Abbildung 8) kann keineKante entfernt werden. Trotzdem gilt hier auch die Behauptung, weil bei Entfernen derKante ein Knoten auch entfernt werden muss, um den Zusammenhang beizubehalten.

�

Abbildung 8: Baum

Nun da der Eulersche Polyedersatz bewiesen wurde, kann der Satz nun zum Weiterrech-nen verwendet werden. Da das Ziel der Seminararbeit der Beweis des Fünf-Farben-Satzist, muss auch gezeigt werden, dass mindestens ein Knoten höchstens von 5 Kanten ge-troffen wird. (siehe 2.2.4 Knotengrad auf Seite 5).

Für den folgenden Satz wird das Prinzip der doppelten Abzählung benötigt.In diesem Beispiel steht S für Spalten und Z für Zeilen. Um die Summe aller Einträgeherauszufinden, können die Summen der einzelnen Zeilen oder die Summen der einzelnenSpalten zusammengezählt werden.

S1 S2 S3 S4Z1 1 1Z2 1 1Z3 1 1Z4 1 1Z5 1 1

8

Satz 2: In einem planaren Graphen gibt es immer mindestens einen Knoten mit demKnotengrad von höchstens 5.

Beweis: Wird das Prinzip der doppelten Abzählung bei einem Graphen eingesetzt, umden Zusammenhang von Flächen und Kanten zu verdeutlichen, werden die Flächen inden Spalten und die Kanten in den Zeilen eingetragen. Jetzt wird jeweils 1 eingetragen,wenn die Kante die Fläche berührt.

Abbildung 9: planarer Graph

F1 F2 F3K1 1 1K2 1 1K3 1 1K4 1 1K5 1 1

Da jede Fläche von mindestens drei Kanten begrenzt wird und an jede Kante zweiFlächen angrenzen, ergibt sich die folgende Ungleichung:

2 ·K ≥ 3 · F ⇒ 23·K ≥ F (4)

Setzt man nun unsere erhaltene Ungleichung in den Eulerschen Polyedersatz für F ein,so erhält man:

2 = E + F−K ≤ E + 23·K−K = E− 1

3·K (5)

Da eine Kante immer 2 Knoten verbindet, gibt es einen Durchschnittsknotengrad, alsowie viele Kanten durchschnittlich an Knoten ansetzen. Dieser Durchschnittsknotengradwird mit folgender Gleichung, die sich wieder durch das Prinzip der doppelten Abzählungergibt, berechnet:

d =2 ·KE

⇒ 2 ·Kd

= E (6)

Um auf ein aussagekräftiges Ergebnis zu kommen, müssen einige Umformungen in derUngleichung 5 gemacht werden.

9

2 ≤ 2 ·Kd− 1

3·K /÷ 2 (7)

1 ≤ 2 ·K2 · d

− 16·K (Selber Nenner) (8)

1 ≤ 6 ·K−K · d6 · d

(9)

6 · d ≤ 6 ·K−K · d / + K · d (10)

d · (K + 6) ≤ 6 ·K ⇒ d ≤ 6 ·K6 + K

(11)

Sieht man sich jetzt das Ergebnis an, dann kann erkannt werden, dass

d ≤ 6 ·K6 + K

< 6 (12)

ist und der Durchschnittsgrad echt kleiner als 6 ist. Daraus folgt, dass es mindestenseinen Knoten e gibt mit einen Knotengrad ≤ 5 gibt.

�

10

2.4 Fünf-Farben-Satz

Satz: Jeder planare Graph ist fünf-färbbar, also kann mit maximal 5 Farben gültiggefärbt werden. Gültig bedeutet, dass benachbarte Knoten unterschiedlich gefärbt sind.

Beweis:

Wir nehmen an, dass es für einen Knoten e mit Grad 5 gibt, bei dem alle Nachbarnverschiedene Farben haben. Die Knoten werden mit ef bezeichnet, wobei f die Farbevon ef ist.

Abbildung 10: Knoten e

Sei S die Menge aller Knoten, die von e1durch Wege erreicht werden können, dienur Knoten der Farben f = 1 oder f = 3enthalten. In der Menge S können wir dieFarben 1 und 3 vertauschen, ohne daß zweiKnoten, die durch eine Kante verbundensind, die gleiche Farbe erhalten.

Wenn e3 ∈ S, dann vertauschen wir dieFarben in S: Danach hat kein Nachbar vone mehr die Farbe 1 (e1 hat ja nun Farbe 3),daher können wir Farbe 1 für e verwenden.

Also müssen wir annehmen, dass e3 ∈ S. Es gibt dann also einen Weg e1, x1, ..., xk, e3,der nur Knoten mit Farben 1 oder 3 enthält; wenn wir den Knoten e dazugeben, wirddaraus ein Kreis C.

Abbildung 11: Knoten e mit C

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Nach dem Jordanschen Kurvensatz, der sinngemäß bedeutet, dass eine Kurve (z.B.Kreis) eine Ebene in zwei Flächen teilt, zerlegt C die Ebene in zwei Teile, klarerwei-se liegen die Knoten e2 und e4 nicht im selben Teil. O.B.d.A. soll e2 im Inneren von Cliegen. Sei T die Menge der Knoten, die von e2 durch Wege erreicht werden können, dienur Knoten der Farben 2 oder 4 enthalten. Kein solcher Weg kann den Kreis C kreu-zen, also ist e4 /∈ T . Also können wir in der Menge T die Farben 2 und 4 vertauschen,wodurch Farbe 2 für e frei wird. 1 �

1 Fulmek, Markus: Diskrete Mathematik.https://homepage.univie.ac.at/bernhard.kroen/DMskriptum2009.pdf

12

2.5 Das Königsberger Brückenproblem

Abbildung 12: Stadtplan zu Eulers Zeit

Königsberg war die damalige HauptstadtOstpreußens (heute: Kalinigrad, Russ-land). Dort vereinigen sich der neue undder alte Pregel zum Fluss Pregel. Im 18.Jahrhundert überquerten sieben Brückendiese Flüsse und ließen die Frage aufkom-men, ob es einen Rundweg gibt, bei demman alle Brücken der Stadt genau ein-mal überquert und wieder zum Ausgangs-punkt zurückgelangt.

In Abbildung 12 sind die sieben Brückenüber den Fluss Pregel, die die Grundlagedes Brückenproblems bilden, grün hervor-gehoben.

Abbildung 13: Zehn-Franken-Banknote

Mit diesem mathematischen Problembeschäftigte sich Leonard Euler im Jah-re 1736 und legte damit einen Grundsteinfür die Graphentheorie.

Das Brückenproblem ist kein klassischgeometrisches Problem, da es nicht auf diegenaue Lage der Brücken ankommt, son-dern vielmehr darauf, welche und wie viele Brücken die Inseln und Ufergebiete miteinan-der verbinden. Es handelt sich deshalb um ein sogenanntes topologisches Problem. Eulerentwickelte dazu Methoden, die wir heute der modernen Graphentheorie zuordnen.

Wir betrachten nun das heutige Kalinigrad und lösen dieses mathematische Problem,sowie Euler möglicherweise vorgegangen ist. Auch heute finden wir in Kalinigrad siebenBrücken jedoch in anderer Konstellation.

Unsere Aufgabe ist es nun, das Königsberger Brückenproblem als Graph zu modellieren.Hierbei ersetzen wir die Landflächen mit Knoten (violett) und die Brücken mit Kan-ten (rot). Eine Kante verläuft zwischen zwei Knoten genau dann, wenn eine Brücke dieentsprechenden Stadtgebiete verbindet. Daraus ergibt sich der abgebildete Graph in derAbbildung 14c.

Durch weitere Vereinfachung des Graphen erhalten wir einen Graphen (siehe Abbil-dung 14c) mit 4 Knoten (A,B,C,D), welche die Stadtteile repräsentieren und 7 Kanten,welche die Brücken repräsentieren.

Die Frage nach dem Rundgang in Königsberg wird nun zur Frage nach einem Weg durch

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(a) Stadtplan (b) Stadtplan mit Wegen (c) Stadtgraph

Abbildung 14: Kalinigrad

den Graphen, der genau einmal jede der 7 Kanten durchläuft und wieder am Ausgangs-punkt endet. Einen solchen Weg bezeichnet man als geschlossenen Eulerweg. Gibt es fürden Graphen zu diesem Brückenproblem einen geschlossenen Eulerweg? Diese Begriffewurden schon im Kapitel 2.2 Definitionen auf Seite 4 ff. erwähnt und erklärt.

Beobachtung: Für jeden Knoten den wir betreten, muss es eine Kante geben über denwir ihn betreten und eine zweite über den wir ihn wieder verlassen können. → JederKnoten muss einen geraden Kotengrad besitzen, außer der erste und letzte, um eineneulerschen Weg zu finden.

Abbildung 15: Haus des Nikolaus

Um das Königsberger Brückenproblem aufeiner anschaulichen Weise zu betrachten,nehmen wird das

”Haus vom Nikolaus“,

welches ein bekanntes Beispiel für einensemi-eulerschen Graphen ist. Um in die-sem Graphen eine durchgängige Wande-rung zu finden, muss jeder Knoten einengeraden Grad besitzen, mit Ausnahmedes Start- und des Endknotens der Wan-derung. Es wird nämlich keine Kantebenötigt um den Startknoten zu betretenund es wird keine Kante benötigt um den Endknoten zu verlassen. Deswegen kann beieiner eulerschen Wanderung der Start- und Endknoten ungerade Knotengrade besitzen.Um ein erfolgreiches

”Haus des Nikolaus“ ohne absetzen und ohne eine Strecke doppelt

zu benutzen, zu zeichnen, muss man rechts oder links unten beginnen.

An dieser Stelle soll auf den”Satz von Euler” besonders hingewiesen werden. Dieser

ist im Kapitel 2.2 Definitionen auf der Seite 4 ff. noch einmal nachzulesen. Von einemeulerschen Graph sprechen wir dann, wenn der Graph zusammenhängend ist und jederKnoten einen geraden Grad hat. Das sind die notwendigen Vorraussetzungen, damitbei jedem Knoten eine eulersche Wanderung beginnen und auch dort enden kann. Ein

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Graph ist semi-eulersch, wenn er nicht eulersch ist, aber zumindest einen eulerschen Wegbesitzt.

Weil mehr als zwei Knoten ungerade Grade besitzen, kann dieser Graph keinen euler-schen, schon gar nicht einen geschlossenen eulerschen Weg besitzen.

Nach gründlicher Untersuchung können wir sagen, dass das heutige Kalinigrad mit ihrenBrücken keinen Rundgang erlaubt, bei der jede Brücke genau einmal genommen wird.

2.6 Landkartenfärbung

Mit dem Begriff der Landkartenfärbung kommen wir unserer initialen Fragestellungdes Fünf-Farben-Satzes schon etwas näher. Zuerst einmal müssen wir klären, was eineLandkartenfärbung ist. Ganz einfach: Die einzelnen Länder werden beliebig gefärbt.Wie viele Farben benötigt man höchstens um alle Länder zu färben ohne dass zweibenachbarte Länder dieselbe Farbe besitzen? 5? 4?

Wie können wir das herausfinden? Durch ausprobieren? Beim Königsberger Brückenproblemwar es die Graphentheorie mit der Euler diesen Sachverhalt untersuchte und eine Lösunggefunden hatte. Daher betrachten wir nun die Landkartenfärbung graphentheoretisch.

Abbildung 16: Landkarte-Graph

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Wie beim Brückenproblem kommt es nicht auf die genaue Lage der Länder an, sonderndarauf welche Länder an welche angrenzen. Diesen Sachverhalt kann man graphentheo-retisch modellieren, indem wir jedes Land durch einen Knoten und jede Grenze durcheine Kante darstellen. Durch diesen Vorgang haben wir zu dieser asiatischen Landkartein Abbildung 16 einen Graphen erzeugt. Damit ist gezeigt, dass aus jeder Landkarte einplanarer Graph erstellt werden kann. Damit je zwei benachbarte Länder unterschiedli-che Farben haben, färbt man die Knoten so, dass je zwei Knoten, die durch eine Kanteverbunden sind, anders gefärbt werden.

Abbildung 17: Landkarte-Ergebnis

Wenn man nun geschickt in diesem Knotenfärbungsprozess vorgeht, wird es einem gelin-gen, dass sogar nur 4 Farben dafür notwendig sind. Wie dieser Vorgang mit fünf Farbenlogisch nachzuvollziehen und formal zu beweisen ist, wurde in Kapitel 2.4 Fünf-Farben-Satz auf Seite 11 erläutert.

Die Graphenfärbung hat neben der Landkartenfärbung auch in anderen Gebieten Bedeu-tung. Zum Beispiel findet es in der Erstellung von Stundenplänen in der Schule Nutzen.Dies wird in der Aufgabe 3.1.3 Aufgabe 3 - Stundenplan auf Seite 24 behandelt.

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3 Schulische Herangehensweise

Wir haben uns ein Konzept überlegt, welches den Fünf-Farben-Satz für einen Workshopder 10. Schulstufe aufbereitet. Der folgende Ablauf ist so gestaltet, dass die Schülerinnenund Schüler selbst die Aufgaben erarbeiten und lösen können. Daher sind die Aufgabendetailliert beschrieben. Die Lehrkraft soll nur unterstützend behilflich sein.Die Aufgaben sind nummeriert, müssen aber nicht zwingendermaßen in der chronologi-schen Reihenfolge durchgeführt werden. Jedoch ist die Reihenfolge mit Bedacht gewähltund hat in sich einen roten Faden, mit welchen das Thema am einfachsten aufgearbeitetwird.

Es werden ein paar Beispiele aus dem Alltag bearbeitet und gezeigt, wie solche Problememit Hilfe von Graphentheorie gelöst werden können. Jedoch muss beachtet werden, dassdie Situationen vereinfacht dargestellt sind. Gerne können die Beispiele zuerst selbstausprobiert und danach mit der Musterlösung verglichen werden. Die Beispiele sind auchschon so aufgegliedert, dass sie als fertige Arbeitsblätter genommen werden können.

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3.1 Aufgaben

3.1.1 Aufgabe 1 - Wichtige Begriffe

Punkte in der Ebene bezeichnen wir als Knoten.Linien die Knoten verbinden, werden als Kanten bezeichnet.Alle Knoten und Kanten gemeinsam werden Graph bezeichnet.

In den folgenden Graphen sind einzelne Teile färbig hervor gehoben. Ordne die jeweiligenrichtigen Begriffe zu:

Schlinge |Kanten |Mehrfachkante |Knoten

(a) (b)

(c) (d)

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Wanderung ist eine Folge von Knoten, die durch Kanten miteinander verbunden sind.Bei einer geschlossenen Wanderung ist, wie der Name schon sagt, in sich geschlossen,folglich ist der Anfangs- und Endknoten der Wanderung der gleiche.

Ein Eulerweg oder eine eulersche Wanderung ist eine Wanderung durch einen Gra-phen, wobei jede Kante genau einmal verwendet wird.Welcher der folgenden Graphen besitzt einen Eulerweg?

Abbildung 19: Eulerwege

Ist der abgebildeter Graph eulersch oder besitzt zumindest einen eulerschen Weg? Kanndieser Graph durch Entfernung einer Kante eulersch werden?

Abbildung 20: Eulergraph

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KnotengradModelliere aus diesem Stadtplan einen Graphen, wobei die Stadtgebiete zu Knoten unddie (schwarzen) Brücken zu Kanten vereinfacht werden. Zähle die einzelnen Enden derKanten, welche zu einem Knoten hin- oder wegführen, dies ergibt den Knotengrad fürdiesen Knoten.Ermittle den Knotengrad jedes Knotens.Ermittle ob eine eulersche Wanderung (geschlossen/offen) möglich ist oder nicht.

Abbildung 21: Rotterdam

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planarer Graph:Es gibt drei Häuser und für alle drei soll je ein Anschluss für Gas, Wasser und Stromgelegt werden. Die Bedingung ist, dass sich keine der Leitungen kreuzen sollen. Ist esmöglich für alle drei Häuser alle drei Anschlüsse ohne Kreuzung zu legen?

Abbildung 22: Hausanschluss

Es ist möglich/nicht möglich, daher ist dieser Graph nicht planar.Wenn sich in einem Graph keine Kanten kreuzen, so wird dieser als planarer Graphbezeichnet.

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3.1.2 Aufgabe 2 - Tennisturnier

Es sei eine Situation auf einem Sportplatz gegeben, einem Tennisplatz. Sechs Freunde Abis F haben sich getroffen um gemeinsam Tennis zu spielen. Sie haben sich ausgemacht,dass jeder gegen jeden spielen möchte. Die Freunde haben Glück, denn sie sind allei-ne auf dem Sportplatz und können alle drei Tennisplätze zum Spielen verwenden. DieFreunde wollen so schnell wie möglich alle Matches spielen. In diesem Beispiel wollenwir den Faktor Zeit außer Acht lassen, da nie genau gesagt werden kann, wie lange einMatch dauern kann. Wir nehmen daher an, dass alle Matches gleich lange dauern.

Die Freunde sind mathematikaffin und erstellen sofort einen Graphen, damit sie keinMatch übersehen und so effizient wie möglich die Plätze ausnutzen können. Die Freundestellen sich selbst in diesem Graphen als Knoten dar. Die Knoten werden verbunden,wenn sie mit einander spielen, folglich wird jeder Knoten mit jedem anderen Knotenverbunden, da jeder Freund einmal mit jedem spielen möchte.Zeichne den Graphen in das unten vorgesehene Feld.

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Da eine Person nicht gleichzeitig mit zwei Freunden spielen kann, abgesehen in einemDoppel. Doch diese Spielvariante wollen wir nicht beachten, sondern uns nur auf ein1-gegen-1-Match konzentrieren. Daher werden die Kanten eingefärbt. Es darf zu keinemKnoten eine Kante führen, welche die gleiche Farbe haben. Sonst müssen eine Personzwei unterschiedlichen Matches gleichzeitig spielne.Es lässt sich gleich zu Beginn feststellen, dass es fünf verschiedenen Farben benötigt umalle Kanten richtig einzufärben.Färbe deinen Graphen ein.

Die Freunde sind erfreut und beginnen sofort nach ihrem ermittelten Plan an zu spielen.Durch den Graphen ist ersichtlich, dass alle gleichfarbigen Kanten Matches anzeigen,welche gleichzeitig gespielt werden können.Erstelle einen Spielplan in Tabellenform.Verwende die dafür vorgesehene Tabelle.

1. Spielfeld 2. Spielfeld 3. Spielfeld

1. Match

2. Match

3. Match

4. Match

5. Match

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3.1.3 Aufgabe 3 - Stundenplan

Diese beiden Beispiele für eine Stundenplanerstellung sind nur schemenhaft und sehrvereinfacht dargestellt. Zuerst wird ein ganz einfaches Beispiel gezeigt mit zwei Klassen,um das Prinzip zu erklären. Das zweite Beispiel ist schon komplexer und zeigt einenStundenplan für vier Klassen.

3.1.3.1 Zwei Klassen mit zwei Unterrichtsfächer

Eine ganz vereinfachte Situation aus der Schule. Es soll ein Stundenplan erstellt werdenfür zwei Klassen mit den Unterrichtsfächern Deutsch (D) und Englisch (E). Beide Unter-richtsfächer werden in beiden Klassen von der gleichen Lehrkraft unterrichtet. Nun sollein Graph erstellt werden.In diesem Graphen stellen die Knoten die Unterrichtseinhei-ten in den einzelnen Klassen dar. Um den Graphen möglichst übersichtlich und einfachzu gestalten, werden die Unterrichtseinheiten wie folgt notiert: zum Beispiel wird derDeutschunterricht in der 1. Klasse als der Knoten D1 dargestellt. Dadurch ergeben sichfür das Unterrichtsfach Deutsch so wie das Unterrichtsfach Englisch je zwei Knoten.Zeichne die Knoten des Graphs in das unten vorgesehene Feld.

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Nun werden alle Knoten durch eine Kante miteinander verbunden, wenn die Unterrichts-einheiten nicht gemeinsam stattfinden können. Zum Beispiel ist es nicht möglich, dassder Deutschunterricht in der 1. Klasse und in der 2. Klasse gleichzeitig stattfinden kann,weil der Deutschunterricht in diesem Beispiel von der gleichen Lehrkraft gehalten wird.Daher werden die Knoten D1 und D2 durch eine Kante verbunden. Da es nur zwei Klas-sen mit je zwei Unterrichtseinheiten gibt, ist der Graph auch sehr einfach gehalten.Zeichne die Kanten in deinen Graphen ein.

Nun werden die Knoten eingefärbt. Ist ein Knoten durch eine Kante mit einem anderenKnoten verbunden, so dürfen diese beiden Knoten nicht dieselbe Farbe haben.Färbe deinen Graphen ein.

Dieser Graph zeigt aber nur, welche Stunden gleichzeitig beziehungsweise nicht gleich-zeitig stattfinden dürfen. Jetzt muss nur mehr aus diesem Graphen ein Stundenplan fürdie zwei Klassen erstellt werden.Erstelle einen möglichen Stundenplan in der Tabelle unterhalb.

1. Klasse 2. Klasse

1. Stunde

2. Stunde

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3.1.3.2 Vier Klassen mit vier Unterrichtsfächer

Es soll ein Stundenplan für vier Klassen mit den Unterrichtsfächern Mathematik (M),Deutsch (D), Englisch (E) und Naturwissenschaft (N) gemacht werden. Ein Fach wirdin jeder Klasse von der gleichen Lehrperson unterrichtet. Um die Situation zu verschrift-lichen werden die Buchstaben der Fächer und die Klassennummer aufgeschrieben. Daes zum Beispiel in jeder Klasse eine Mathematik-Stunde geben soll, werden folgendeBuchstaben-Zahlen-Kombinationen notiert: M1, M2, M3, M4. Dies wird auch für dieanderen Fächer gemacht. Da der Graph nun aus mehr Knoten besteht, ist der Graphauch komplexer. Wie bei dem vorigen Stundenplan-Beispiel werden wieder jene Knotenmit Kanten verbunden, welche nicht gleichzeitig stattfinden können.Zeichne den Graphen in das unten vorgesehene Feld.

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Jetzt werden die Knoten des Graphen so eingefärbt, dass zwei verbundene Knoten niedie gleiche Farbe haben. Gleich zu Beginn ist klar, dass es mindestens vier verschiedeneFarben geben muss. Färbe deinen Graphen ein.

Durch die Färbung ist der Graph übersichtlicher.Es ist zu sehen, dass D1, M2, N3 und E4 gleichzeitig stattfinden können.Erstelle einen möglichen Stundenplan in der Tabelle unterhalb.

1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse

1. Stunde

2. Stunde

3. Stunde

4. Stunde

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3.1.4 Aufgabe 4 - Kreuzungsproblem

Die Aufgabe besteht darin für diese Kreuzung eine Ampelschaltung zu finden, so dass kei-nen Kollisionen passieren. Rein theoretisch könnte jede Fahrbahn nacheinander geschal-tet werden. Doch dies ist sehr zeitaufwändig. Es soll für diese Kreuzung eine möglichsteinfache Ampelschaltung gefunden werden. Für das Kreuzungsproblem folgen zwei ver-schiedene Herangehensweisen. Es ist folgende Kreuzung gegeben.

Abbildung 23: Kreuzung

28

3.1.4.1 Einfachere KreuzungBei dieser Variante ist es erlaubt, dass Fußgänger auch grün erhalten, wenn Autos indiese Straße abbiegen wollen. Die Abbiegemöglichkeiten und die Zebrastreifen sind schonmit Buchstaben markiert. Diese werden zu den Knoten des Graphen. Nun werden alleKnoten durch Kanten verbunden, welche nicht gleichzeitig fahren dürfen, damit keineKollisionen entstehen.Zeichne den Graphen in das unten vorgesehene Feld.

Bis hierher ist die größte Arbeit getan. Jetzt wird ein Knoten zum Beispiel (B) gewähltund in einer Farbe eingefärbt. Folglich dürfen alle Knoten, die mit dem gefärbten Knotendurch eine Kante verbunden sind, nicht in der gleichen Farbe eingefärbt werden. DieserVorgang wird solange durchgeführt, bis allen Knoten eine Farbe zugeteilt ist. Es soll mitso wenig Farben wie möglich durchgeführt werden. Färbe deinen Graphen ein.Schreibe einen kurzen Satz, wer gleichzeitig fahren darf.

29

3.1.4.2 Komplexere KreuzungBei dieser Variante ist es auch nicht erlaubt, dass Fahrzeuge und Fußgänger gleichzeitigdie Kreuzung queren.

Die Herangehensweise ist die gleiche wie bei Herangehensweise 1.Zeichne den Graphen in das unten vorgesehene Feld.

Färbe deinen Graphen ein.Schreibe einen kurzen Satz, wer gleichzeitig fahren darf.

30

3.1.5 Aufgabe 5 - Landkartenfärbung

Abbildung 24: Landkarte Afrika

Erstelle einen Graphen zu dieser Westafrikanischen Landkarte und führe ein Knotenfärbungdurch, ohne dass zwei Knoten der gleichen Farbe durch eine Kante verbunden sind.Zeichne den Graphen in das unten vorgesehene Feld.

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Färbe die Landkarte ein.Wie viele Farben werden mindestens benötigt?

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3.2 Lösungen

3.2.1 Lösung 1 - Wichtige Begriffe

(a) Knoten (b) Kanten

(c) Schlingen (d) Mehrfachkanten

Eulerwege: Die Graphen 1 und 4 auf der Abbildung 19 besitzen einen Eulerweg.

Graph in Abbildung 20 ist nicht eulersch weil, sich mehr als zwei Knoten gibt, dieeinen ungeraden Knotengrad besitzen. Wenn man Kante ab oder bg wegnimmt, so wirdder Graph semi-eulersch und es lassen sich Eulerwege finden.

Es ist nicht möglich , daher ist dieser Graph nicht planar.

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3.2.2 Lösung 2 - Tennisturnier

(a) Graph

(b) Ergebnis

Abbildung 26: Turnierplan

1. Spielfeld 2. Spielfeld 3. Spielfeld

1. Match A gegen D B gegen E C gegen F

2. Match A gegen E B gegen C D gegen F

3. Match A gegen F B gegen D C gegen E

4. Match A gegen B C gegen D E gegen F

5. Match A gegen C B gegen F D gegen E

34

3.2.3 Lösung 3 - Stundenplan

3.2.3.1 Lösung - Zwei Klassen mit zwei Unterrichtsfächer

(a) Graph

(b) Ergebnis

Abbildung 27: Stundenplan für zwei Klassen

Ein möglicher Stundenplan könnte so aussehen:

1. Klasse 2. Klasse

1. Stunde Deutsch Englisch

2. Stunde Englisch Deutsch

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3.2.3.2 Lösung - Vier Klassen mit vier Unterrichtsfächer

(a) Graph

(b) Ergebnis

Abbildung 28: Stundenplan für vier Klassen

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Ein möglicher Stundenplan könnte so aussehen:

1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse

1. Stunde Mathematik Deutsch Englisch Naturw.

2. Stunde Deutsch Mathematik Naturw. Englisch

3. Stunde Englisch Naturw. Mathematik Deutsch

4. Stunde Naturw. Englisch Deutsch Mathematik

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3.2.4 Lösung 4 - Kreuzungsproblem

3.2.4.1 Lösung - Einfachere Kreuzung

(a) Graph

(b) Ergebnis

Abbildung 29: Einfachere Kreuzung

Aus dem Graph folgt, dass alle Fahrzeuge der Knoten A, B und F sowie alle Fahrzeugeder Knoten C, D und E jeweils gemeinsam die Kreuzung überqueren können.

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3.2.4.2 Lösung - Komplexere Kreuzung

(a) Graph

(b) Ergebnis

Abbildung 30: Komplexere Kreuzung

Aus dem Graph folgt, dass alle Fahrzeuge der Knoten A und F, sowie der Knoten Cund D, sowie des Knotens B jeweils gleichzeitig fahren können, ohne das Kollisionenentstehen.

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3.2.5 Lösung 5 - Landkartenfärbung

(a) Graph

(b) Ergebnis

Abbildung 31: Landkarte Afrika

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Für diese Landkartenfärbung werden mindestens vier verschiedene Farben benötigt. Sokönnte die Landkarte eingefärbt aussehen:

Abbildung 32: Eingefärbte Landkarte Afrika

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Abbildungsverzeichnis

1 Definition Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Definition Kanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Definition Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Definition Wanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Induktionsanfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 zusammenhängender Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Baum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 planarer Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 Knoten e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 Knoten e mit C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112 Stadtplan zu Eulers Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313 Zehn-Franken-Banknote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314 Kalinigrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415 Haus des Nikolaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416 Landkarte-Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517 Landkarte-Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619 Eulerwege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1920 Eulergraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1921 Rotterdam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022 Hausanschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123 Kreuzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2824 Landkarte Afrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3126 Turnierplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3427 Stundenplan für zwei Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528 Stundenplan für vier Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3629 Einfachere Kreuzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3830 Komplexere Kreuzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3931 Landkarte Afrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4032 Eingefärbte Landkarte Afrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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Quellenverzeichnis

Abbildung 12: https://www-m9.ma.tum.de/graph.algorithms/hierholzer/index de.html

Abbildung 13: http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/ausstell

/euler/geldschein.html

Abbildung 14: https://www.google.at/maps/@54.7035663,20.518229,14z

Abbildung 16: ttps://www.google.at/maps/@38.6194831,55.456667,4.48z

Abbildung 17: siehe Abbildung 16

Abbildung 21: https://www.google.at/maps/@51.8885014,4.468943,12z?hl=de-at

Abbildung 24: https://d-maps.com/carte.php?num car=4367&lang=de

Abbildung 32: siehe Abbildung 24

Alle anderen Abbildungen, welche noch nicht angeführt sind, wurden selbst erstellt.

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