Fabry Perot2011 12

Interferómetro de Fabry-Perot 2011-12

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INTERFERÓMETRO DE FABRY-PEROT

CUESTIÓN PREVIA Esta cuestión debe ser contestada antes de realizar la práctica en el laboratorio. La respuesta se entregará al inicio de la sesión Razone cuándo se ven los anillos más alejados entre sí, si para separaciones grandes o pequeñas entre láminas.

1 Objetivos de la práctica a) Medida de la separación entre dos líneas espectrales próximas (doblete del sodio). b) Determinación de la longitud de onda de una fuente de luz. c) Medida de la separación entre láminas.

2 Introducción teórica Un esquema del interferómetro de Fabry-Perot se muestra en la Fig.1 y consiste en dos láminas

de vidrio plano paralelas P1 y P2 separadas entre si una distancia d. La cara interna de dichas superficies está recubierta de una película plateada de alta reflectividad parcialmente transparente estando ocupado el espacio entre ambas por aire. Este interferómetro está basado en las interferencias de ondas múltiples generadas mediante dos láminas plano paralelas iluminadas en incidencia próxima a la normal.

Figura 1

De acuerdo con la Fig.1, a la intensidad I en el punto P del plano focal imagen de una lente contribuirán cada uno de los rayos que salen de la lámina con el mismo ángulo θ tras múltiples reflexiones. Sumando cada una de estas contribuciones se obtiene:

( ) 2φ+−

=2222

4

0sen41 rr

tII , (1)

donde I0 es la intensidad total de la luz incidente, r y t son, respectivamente, el coeficiente de reflexión y transmisión de las láminas y φ es el desfase introducido entre dos rayos transmitidos


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consecutivos debido a la diferencia de camino óptico ∆ (siendo φ = k∆ ; con k = 2π λ/ ; donde λ es la longitud de onda de la luz). En este caso se tiene que ∆ = 2d cosθ y por tanto, φ θ= 2kd cos , (2) siendo θ el ángulo que forma con la normal a las láminas el rayo que incide sobre ellas. Así la intensidad en cada punto depende de la distancia d de separación entre placas y del ángulo θ. Esto hace que la figura interferencial tenga simetría cilíndrica respecto del eje del sistema, produciéndose una serie de anillos concéntricos. De acuerdo con (1) se tendrá un máximo de intensidad (mas exactamente, un máximo principal de interferencia) cuando sen2(φ/2) = 0, es decir, φ π= 2n (donde n es entero y representa el orden de interferencia). Teniendo en cuenta la expresión (2) se llega a

2 2 42

n kd d nd

π θ πλ

θ θ λ= = ⇒ =cos cos cos . (3)

Si el centro de la figura de interferencia (θ = 0) es un máximo se verifica que 2d nm= λ . (4)

Este nm es el orden más alto correspondiente a la separación d, puesto que para el resto de los anillos cosθ < 1 y por tanto, de acuerdo con (3), n nm< .

La ecuación (3) determina el valor de los ángulos que subtienden los correspondientes anillos brillantes (máximos de interferencia) desde el centro de la lente. Por otra parte, el radio del anillo brillante de orden n será (ver Fig. 1) x fn = ' tgθ, (5) siendo f’ la focal imagen del sistema óptico convergente en cuyo plano focal imagen se observa el diagrama de interferencia. Si nos limitamos a observar las interferencias en un pequeño entorno del punto O (ángulos θ pequeños), las siguientes aproximaciones son válidas:

cos ; tgθ θ θ θ≈ − ≈1 22

. (6)

Introduciendo estas aproximaciones en (3) y (5) se tiene x fn = 'θ, (7)

nd

nd

λ θ θ λ2

12

22

2= − ⇒ ≈ − . (8)

Si llamamos D xn n= 2 al diámetro del anillo n-ésimo, tendremos

( )22 4 θ′= fDn . (9) Utilizando esta última expresión junto con (8) se obtiene finalmente

222 84 fndfDn ′+′

−= λ , (10)

la cual relaciona el cuadrado del diámetro de los anillos Dn2 con el orden n del mismo de forma

lineal. La pendiente de la recta


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m fd= − 4 2' λ , (11)

está determinada por la focal del sistema óptico colector, la separación entre las láminas y la longitud de onda de la luz empleada.

3 Realización experimental

3.1 Elementos de la práctica. Ajuste del interferómetro Los elementos de que consta la práctica son: un interferómetro de Fabry-Perot cuyo esquema se

muestra en la Fig. 1 y en las imágenes adjuntas, y una lámpara espectral de sodio. Para observar los anillos del patrón de interferencia, las dos láminas del interferómetro deben

estar paralelas. Con el fin de llegar a esta situación se retirará el conjunto lente-difusor situado a la entrada del interferómetro (en el caso de que estén colocados), así como el anteojo que recoge la luz a la salida (el anteojo puede girar hacia un lado teniendo como eje la varilla inferior izquierda de su estructura como se ilustra en las imágenes adjuntas). Utilizamos la lámpara espectral de sodio como fuente de luz poniéndola cerca del cuerpo del interferómetro. En estas condiciones, se observarán varias imágenes de la fuente. Se girarán entonces los tornillos de la lámina semiplateada de salida del interferómetro hasta que estas imágenes coincidan perfectamente. En ese instante los espejos estarán aproximadamente paralelos y podrán observarse franjas de interferencia. Se continuará el ajuste de la alineación hasta obtener anillos concéntricos y se volverá a colocar el conjunto lente difusor y el anteojo, realizándose un ajuste fino en esas condiciones. A la hora de realizar el ajuste téngase en cuenta que para ciertas distancias entre las láminas la visibilidad con la que se observan las franjas de interferencia es mayor.

3.2 Medida de la separación δλ entre dos líneas espectrales próximas (doblete del sodio) Se empleará como fuente de luz la lámpara de sodio. La luz amarilla del sodio está formada por

dos líneas muy próximas entre sí de longitudes de onda λ y λ’, es decir, su separación espectral δλ = λ − λ’ es mucho menor que su longitud de onda media λ =(λ + λ’)/2. La separación δλ del doblete de sodio se puede obtener a partir de λ y de un análisis de la variación de la visibilidad de las franjas con la separación d entre láminas. Cada longitud de onda del doblete da lugar a un sistema de anillos, de tal forma que, para ciertas distancias entre las láminas plano paralelas los máximos de un sistema coinciden con los mínimos del otro (situación de visibilidad mínima), mientras que para otras separaciones los máximos de uno coinciden con máximos del otro


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observándose un único sistema de anillos pues los dos patrones se encuentran superpuestos uno encima del otro (situación de visibilidad máxima).

Consideremos una situación inicial en la que la separación d da= es tal que el diagrama de interferencia presenta visibilidad máxima. De acuerdo con lo discutido en la sección 2 los órdenes más altos, na y an′ , de los anillos para cada longitud de onda cumplirán (suponiendo que centro de la figura de interferencia θ = 0 es un máximo)

d n na a a= = ′ ′λ λ2 2

. (12)

Un aumento progresivo de d hará crecer con diferente ritmo el orden máximo para cada longitud de onda y los nuevos anillos que van surgiendo de uno de los patrones irán poco a poco adelantándose respecto a los del otro. Para una cierta distancia d los máximos de uno llegarán a coincidir con los mínimos del otro y se verán dos sistemas de anillos separados. Si sigue aumentando d se llegará a una nueva posición de máxima visibilidad d db=

22λλ ′′== bbb nnd , (13)

verificándose que para las dos posiciones consecutivas de máxima visibilidad ′ − ′ = − +n n n nb a b a 1, (14) pues es entonces cuando la diferencia entre ∆n’ y ∆n es de justo un anillo al variar d entre da y db (en la ecuación (14) se ha supuesto d db a> >y λ λ').

Llamando δλ=λ−λ’ y con (12), (13) y (14) se llega a la expresión

( ) ( )abab dddd −2≈

−2′

=2λλλδλ , (15)

que permite calcular δλ a partir de λ = 589 3. nm y de la separación entre dos posiciones consecutivas de máxima visibilidad. La formula (15) también se puede aplicar para posiciones consecutivas de mínima visibilidad.

Mida con el tornillo micrométrico diez posiciones jx consecutivas de mínima o máxima visibilidad y ajústelas a una recta de la forma cjmx j += (teóricamente las posiciones de máxima o mínima visibilidad son equidistantes).Obtenga δλ a partir de (15) con su error siendo

5/mdd ab =− (es decir λ2

λ5 2

δ=m ). Las monturas de las láminas pueden llegar a tocarse entre sí

desalineando el sistema, por lo que deberá evitarse esta situación al desplazar las láminas.

NOTA: EL DESPLAZAMIENTO DEL ESPEJO MÓVIL CORRESPONDE A LA QUINTA PARTE DE LA LECTURA EN EL TORNILLO MICROMÉTRICO. 3.3 Medida de la longitud de onda λ media del doblete amarillo del sodio

Se empleará como fuente de luz una lámpara de sodio. Disponga el interferómetro en condiciones de máxima visibilidad en la que los sistemas de anillos de las dos longitudes de onda del doblete amarillo del sodio coinciden. Se utilizará la ecuación (4) para medir la longitud de onda


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media del doblete amarillo del sodio. Según la ecuación (4) cuando la separación de las láminas es d1 y hay un máximo en el centro 2 1 1d n= λ . (16) Si se varia la distancia entre placas una distancia x, la nueva distancia valdrá d1+x, y si además hay un máximo en el centro su orden n2 verificará λ21 )(2 nxd =+ . (17) Restando las ecuaciones (16) y (17) se obtiene ( ) λ=λ−= Mnnx 122 , (18) donde M es el número de anillos que aparecen o desaparecen al variar la separación entre las láminas una distancia x. Por tanto la longitud de onda se podrá obtener utilizando λ = 2x

M. (19)

El procedimiento consiste en fijar un desplazamiento x para el espejo móvil y medir el número de anillos M que aparecen o desparecen por el centro de la figura interferencial. Para fijar el valor del desplazamiento x deben tenerse en cuenta dos consideraciones: a) x debe ser tal que el error de λ no supere el 10%; y b) el recorrido del tornillo micrométrico debe corresponderse con un número entero de divisiones de su escala.

Para estimar el valor de x de forma que el error sea menor que el 10% haga una propagación de errores en (19) despreciando el error en M y tomando como error en x el error sistemático de precisión. Redondee el valor de x de modo que se corresponda con un número exacto de divisiones del tornillo.

Antes de empezar a contar estime el número aproximado de anillos que va a contar partiendo de un valor aproximado de λ. Haga al menos cinco medidas. Compare con el valor de λ del apartado anterior.

3.4 Medida de la separación d entre las placas del interferómetro En este apartado se mide la separación d entre las placas del interferómetro a partir de la ecuación (10) mediante la medida de los diámetros D de los máximos de interferencia para luz de sodio. Disponga el interferómetro en máxima visibilidad de los anillos del doblete amarillo del sodio (solapamiento de los anillos de cada λ del doblete). Los diámetros nD de los anillos se miden como la diferencia de las posiciones de sus bordes derecho e izquierdo dchaizda,y ,

dcha,izda, nnn yyD −= medidas con el micrómetro del ocular. Represente gráficamente Dn2 en función del orden de interferencia n y ajuste por mínimos cuadrados. Halle la pendiente de dicha recta con su error. Calcule el coeficiente de correlación lineal. Determine d con su error a partir de la ecuación (11) teniendo en cuenta que la focal de la lente antepuesta al ocular es mm 100=′f . Compare el resultado obtenido para d con la lectura tornillod del tornillo micrométrico.


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4 Cuestiones finales a) Si la separación entre las láminas es de mmd 5≈ y nm600≈λ , estime el orden interferencial en el centro de los anillos. b) Teniendo en cuenta que aparece o desaparece un anillo cuando la separación entre láminas varía en 2/λ ¿se podría determinar la diferencia de longitudes de onda del doblete del sodio si no conociéramos el valor de las unidades del tornillo micrométrico (supuesto λ conocida)? c) Si quisiera medir el diámetro de los anillos con una escala graduada grabada en un vidrio ¿dónde colocaría la escala para ver anillos y escala simultáneamente a través del ocular? Suponga que observa a través del ocular sin acomodación. d) ¿Por qué las láminas que forman el interferómetro tienen que ser semiespejadas? ¿Se podrían utilizar láminas dieléctricas sin espejar?

5 Bibliografía 1) J. Casas, Óptica (Ed. Librería General, Zaragoza, España, 1994). 2) M. Born y E. Wolf, Principles of optics (Pergamon Press, Oxford, Reino Unido, 1975). 3) E. Hecht y A. Zajac, Óptica (Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, EE.UU., 1986).

6 Elaboración del informe Mínimo a entregar 1) Presentación en tablas de los datos experimentales con sus errores. 2) Valor de δλ para el doblete amarillo del sodio y su error. 3) Longitud de onda del doblete amarillo sodio con su error. 4) Medida de la separación entre láminas con su error y comparación con la lectura del tornillo

micrométrico. 5) Cuestiones finales del guión (punto 4). 6) Hoja(s) de datos recogidos en el laboratorio con el sello.

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