Upload
truongthien
View
227
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
B03C - Řešený příklad
Příklad – Dodatečně předepnutá lávka
ZadáníVypracujte návrh dodatečně předpjatého betonového konstrukčního prvku (průvlak, mostní konstrukce…). Jedná se o spojitý třípolový nosník, předepnutí je uvažováno 7 dní po vybetonování, uvedení do provozu ve stáří 100 dní. Konstrukce je projektována na dobu životnosti 36 500 dní (100 let). Zatížení uvažujte vlastní tíhou g0, ostatním stálým (g-g0) a proměnným (užitným) zatížením q.
Vstupní data uvažujte podle Vašeho zadání.
L [m] rozpětí hlavního pole spojitého nosníkub [m] šířka nosné konstrukcea [-] poměr rozpětí krajního pole k rozpětí středního pole(g-g0)k [kN/m2] zatížení ostatní stálé – charakteristická hodnotaqk [kN/m2] užitné (proměnné) zatížení – charakteristická hodnota
třída betonu
Předpínací ocel: 7-mi drátová lana, 15 mm (0,6‘‘); f pk=1770 MPa; f p 0.1k=1560 MPa
Příčný řez konstrukce
Vypracujte:- návrh tvaru průřezu, výpočet průřezových charakteristik- výpočet vnitřních sil, zjištění extrémních hodnot od užitného (nahodilého) zatížení- návrh počtu předpínacích lan- předběžné posouzení v rozhodujících průřezech – MSP omezení napětí- výpočet ztrát předpětí- podrobné posouzení rozhodujících průřezů – MSP omezení napětí- posouzení MSÚ: Ohyb v jednom průřezu- posouzení MSÚ: Smyk + kroucení- posouzení hlavních napětí v místě střední podpory- posouzení deformace konstrukce – návrh nadvýšení pro dlouhodobé účinky se
započítáním účinků dotvarování, posouzení deformací od nahodilého zatížení- výkres tvaru nosné konstrukce, výkres předpětí, schéma betonářské výztuže (podélná
výztuž, smyková výztuž)
1
B03C - Řešený příklad
1. Rozměry nosné konstrukce, tvar průřezu, průřezové charakteristiky
Plocha průřezu
A=1,738 m2
Vzdálenost těžiště od dolních vláken průřezuzT=0,782m=ed
Vzdálenost těžiště od horních vláken průřezuzT=0,518m=eh
Moment setrvačnosti vzhledem k ose y
I y=0,276 m4
1.1 Materiály
Beton: C 30/37, f cd=f ck
1,5=20 MPa
Ocel: 7 – mi drátová lana, 15 mmf pk=1770 MPa (mez pevnosti)f p 0.1k=1560 MPa (smluvní mez kluzu)
2. Zatížení
STÁLÉ gk [kN.m-1] γf [-] gd [kN.m-1]
Vlastní tíha g0 43.45 1.35 58.66
2
B03C - Řešený příklad
Ostatní stálé g-g0 7.56 1.35 10.21CELKEM 51.01 - 68.87
PROMĚNNÉ qk [kN.m-1] γf [-] qd [kN.m-1]Užitné q 16.5 1.5 24.75CELKEM 16.5 - 24.75
2.1.1 Zatěžovací stavy
Pro výpočet vnitřních sil bude potřeba nasimulovat všechny sestavy zatížení na konstrukci.
3. Výpočet vnitřních silVýpočet vnitřních sil bude proveden dvěma metodami. Nejdříve bude proveden ruční výpočet (silová, nebo deformační metoda) pro stálé zatížení a minimálně jednu sestavu nesymetrického nahodilého zatížení v rozhodujících průřezech konstrukce. Za pomocí statického programu (Scia, či podobné) pak budou vypočteny vnitřní síly od všech sestav zatížení a ty pak budou porovnány s ručním výpočtem.
3
B03C - Řešený příklad
3.1 Vnitřní síly dle Scia EngineerV následující tabulce jsou výsledky vnitřních sil v rozhodujících průřezech vypočtených pomocí programu Scia Engineer. Výsledky ručních výpočtů jsou zde vynechány.
ZatíženíPrůřez g0 g-g0 g qmin qmax g + qmin g + qmax
M 5 617.74 109.6 727.34 -264.91 504.11 462.43 1231.45M 10 -2773.09 -491.98 -3265.07 -1159.89 86.11 -4424.96 -3178.96M 15 2020.78 358.52 2379.3 -190.74 973.21 2188.56 3352.51
Q 10, L -537.57 -95.37 -632.94 -212.94 - -845.88 -Q 10, P 639.18 113.4 752.58 - 259.6 - 1012.18
3.2 Obálka momentů
3.3 Odhad staticky neurčitého momentuVzhledem k faktu, že přepětí na staticky neurčité konstrukci působí jednak primárními, tak i sekundárními účinky, je nejdříve nutné odhadnout staticky neurčitý moment od předpětí.
∆ M P=(10−15 ) % ∙M 10 , min
Zvoleno 10 %∆ M P=0,1 ∙ M 10 ,min=0,1 ∙ 4424,96 kNm=442,5 kNm
Průběh staticky neurčitého momentu>
3.4 Výsledné návrhové hodnoty momentůJe nutné si uvědomit, že návrhové hodnoty momentů pro návrh přepětí jsou ve skutečnosti charakteristické hodnoty těchto veličin.M 10=M 10 ,min+∆ M P=−4424,96 kNm+442,5 kNm=−3982,46 kNm
M 15=M 15, min+∆ M P=3352,51 kNm+442,5 kNm=3795,01 kNm
4
B03C - Řešený příklad
5. Předběžný návrh předpětí
5.1 Nutná předpínací síla na konci životnostiNapětí v horních vláknech - Průřez 10:
σ h=M10
I y∙ eh=
3982,460,276
∙0,518=7,47 [MPa ](tah)
Předpokládaná vzdálenost kabelů od těžiště průřezu v průřezu 10:
eP ,10=eh−c−∅ p
2=0,518−0,1−0,1
2=0,368 m
Krytí c je zvoleno 0,1 m.
Předpoklad návrhu: NULOVÉ NAPĚTÍ V TAŽENÝCH VLÁKNECH. Jedná se tedy o předpoklad, kdy je součet napětí od zatížení a od předpětí roven 0.
σ hf +σh
P=0 [MPa]
σ hf −
N P, ∞10
A−
N P, ∞10 ∙ eP, 10
I y∙ eh=0[ MPa]
Po úpravě
N P,∞10 =
σ hf
1A
+eP,10 ∙ eh
I y
[kN ]
N P ,∞10 = 7 470 000
11,738
+ 0,368 ∙ 0,5180,276
=5900,28[kN ]
Napětí v dolních vláknech - Průřez 15:6
B03C - Řešený příklad
σ d=M 15
I y∙ ed=
3795,010,276
∙0,782=10,75[MPa](tah)
Předpokládaná vzdálenost kabelů od těžiště průřezu v průřezu 15:
eP ,15=ed−c−∅ p
2=0,782−0,1−0,1
2=0,632 m
Krytí c je zvoleno 0,1 m.
σ df +σ d
P=0[MPa]
N P,∞15 =
σ df
1A
+eP ,15 ∙ ed
I y
[kN ]
N P,∞15 = 10 750000
11,738
+ 0,632 ∙ 0,7820,276
=4543,46[kN ]
Nutná předpínací síla:
N P,∞=max [ N P,∞10 ; NP ,∞
15 ]=max [ 5900,28; 4543,46 ]=5900,28[kN ]
5.1.1 Návrh počtu předpínacích lan:N P,∞=σ P ,∞ ∙ A p
AP=NP ,∞
σ P,∞[mm2]
AP=5900,28
1053 ∙106 =5603 [mm2]
kde σ P , ∞=σ P , max ∙ (1−25 % )=1404 ∙0,75=1053 [ MPa ]
σ P, max=min [ 0,8 f pk ;0,9 f p ,0,1 , k ]=¿
¿min [ 0,8 ∙1770 ;0,9 ∙1560 ]=¿
¿min [ 1416 ;1404 ]=1404 [MPa ]
Při napínacím napětí σ P , max se uvažují dlouhodobé ztráty 25%.
Počet předpínacích lan n:
n=AP
AP , 1=5603
150=37,4 lan→ NÁVRH 38 lan
NÁVRH KABELŮ: 2 x 19 lan, (v praxi nejčastěji 12, 15, 19)
7
B03C - Řešený příklad
6. Předběžné posouzení předpětí- Posouzení pro 3 průřezy: 5, 10, 15
- Posouzení ve 3 časech:t0 - okamžik těsně po vnesení předpětí
- již proběhly krátkodobé ztráty (10 % )tup - čas uvedení do provozu, t = 100 dní
- proběhly krátkodobé ztráty a část dlouhodobých ztrát ( asi 15 % )t∞ - t = 36500 dní = 100 let (konec životnosti)
- proběhly veškeré ztráty (asi 25 % )
Na co si dát při posuzování pozor:
- v průřezu 5 a 15 se v tup vyskytuje q MIN- v průřezu 10 se v tup vyskytuje q MAX- předpínací síla, vypočtená pro konec životnosti → t0 → N P, 0=
N P, ∞
75∙90
→ tup → N P,0=N P , ∞
75∙ 85
- vypočtený sekundární moment od předpětí je také platný pro t∞, pro t0 a tup je tedy nutno hodnoty přepočítat
- v tomto případě byla snížen excentricita v poli z 0,532 m na 0,5 m, protože docházelo k tahům v horních vláknech v čase t0
- excentricitu v průřezu 5 je třeba vyladit tak, aby napětí pěkně vycházelo
8
B03C - Řešený příklad
7. Výpočet ideálních průřezových charakteristik
7.1 Výpočet pracovního součiniteleBeton: C 30/37, Ec = 32 GPaOcel: 1770/1560, Es = 195 GPa19-ti lanový kabel VSL – kanálek Ø = 97 mm = 100 mm
Pracovní součinitel m = Es
Ec=195
32=6,09 ¿
7.2 Průřez 5:Plocha oslabeného průřezu:
A0=A−2 ∙ π ∙∅ 2
4=1,738−2 ∙ π ∙0,12
4=1,722[m2]
Statický moment plného průřezu k dolním vláknům:
9
B03C - Řešený příklad
S=2,75∙ 0,25 ∙(1,05+ 0,252 )+1 ∙1,05 ∙ 1,05
2=1,359 [m3]
Statický moment kanálků předpínací výzuže:
Shole=2 ∙ π ∙∅ 2
4∙ (zT+ep
5 )=2 ∙ π ∙ 0,12
4∙ (0,782−0,25 )=0,0084 [m3]
Statický moment oslabeného průřezu:
S0=S−Shole=1,359−0,0084=1,351[m3]
7.2.1 Ideální statické veličiny
Plocha ideálního průřezu:
Ai=A0+A0 ∙m=1,722+38 ∙ 150 ∙10−6 ∙ 6,09=1,757 [m2]
Statický moment kanálků předpínací výztuže:
SP=38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ (0,782−0,25 ) ∙ 6,09=0,0185[m3]
Statický moment ideálního průřezu:
Si=S0+SP=1,351+0,0185=1,370[m3]
Těžiště ideálního průřezu ke spodním vláknům:
zT=S0
Ai= 1,37
1,757=0,780 [m ]
Moment setrvačnosti ideálního průřezu:
I yi=1
12∙ 2,75 ∙ 0,253+2,75 ∙ 0,25 ∙(1,3−0,78− 0,25
2 )2
+ 112
∙1 ∙1,053+1 ∙ 1,05∙(0,78−1,052 )
2
−( 164
∙ π ∙ 0,14+ π ∙0,12
4∙ 0,2482)∙ 2+38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ 0,2482 ∙ 6,09=0,277 [m4]
7.3 Průřez 10:Plocha oslabeného průřezu:
A0=1,722 [m2]
Statický moment plného průřezu k dolním vláknům:
S=1,359[m3]
Statický moment kanálků předpínací výzuže:
Shole=2 ∙ π ∙∅ 2
4∙ (zT+ep
10 )=2∙ π ∙ 0,12
4∙ (0,782+0,368 )=0,0181[m3]
Statický moment oslabeného průřezu:
S0=S−Shole=1,359−0,0181=1,341[m3 ]
10
B03C - Řešený příklad
7.3.1 Ideální statické veličiny
Plocha ideálního průřezu:
Ai=1,757[m2]
Statický moment kanálků předpínací výztuže:
SP=38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ (0,782+0,368 ) ∙ 6,09=0,04 [m3]
Statický moment ideálního průřezu:
Si=S0+SP=1,351+0,04=1,381[m3]
Těžiště ideálního průřezu ke spodním vláknům:
zT=S0
Ai=1,381
1,757=0,786 [m]
Moment setrvačnosti ideálního průřezu:
I yi=1
12∙ 2,75∙ 0,253+2,75 ∙0,25 ∙(1,3−0,786−0,25
2 )2
+ 112
∙1 ∙1,053+1 ∙1,05 ∙(0,786−1,052 )
2
−( 164
∙ π ∙0,14+ π ∙ 0,12
4∙ (0,368−(0,786−0,782 ) )2) ∙2+38 ∙150 ∙10−6∙ (0,368−(0,786−0,782 ) )2 ∙6,09=0,27812[m4 ]
7.4 Průřez 15:Plocha oslabeného průřezu:
A0=1,722[m2 ]
Statický moment plného průřezu k dolním vláknům:
S=1,359[m3]
Statický moment kanálků předpínací výzuže:
Shole=2 ∙ π ∙∅ 2
4∙ (zT+ep
15 )=2∙ π ∙ 0,12
4∙ (0,782−0,5 )=0,0044[m3]
Statický moment oslabeného průřezu:
S0=S−Shole=1,359−0,0044=1,355[m3]
7.4.1 Ideální statické veličiny
Plocha ideálního průřezu:
Ai=1,757[m2]
Statický moment kanálků předpínací výztuže:
SP=38 ∙150 ∙ 10−6 ∙ (0,782−0,5 ) ∙6,09=0,0098 [m3]
11
B03C - Řešený příklad
Statický moment ideálního průřezu:
Si=S0+SP=1,351+0,0098=1,365[m3]
Těžiště ideálního průřezu ke spodním vláknům:
zT=S0
Ai= 1,365
1,757=0,777 [m]
Moment setrvačnosti ideálního průřezu:
I yi=112
∙ 2,75∙ 0,253+2,75 ∙0,25 ∙(1,3−0,777−0,252 )
2
+ 112
∙1 ∙1,053+1 ∙ 1,05∙(0,777−1,052 )
2
−( 164
∙ π ∙0,14+ π ∙ 0,12
4∙ ( 0,5−(0,782−0,777 ) )2)∙ 2+38 ∙150 ∙10−6 ∙ ( 0,5−(0,782−0,777 ) )2 ∙6,09=0,2803[m4]
8. Výpočet ztrát předpětí
8.1 Krátkodobé ztráty
8.1.1 Ztráty třením
Změny napětí v průřezu v důsledku ztráty třením:
∆ σP ,1=−σ P , 0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( α+k ∙l ) )
kde μ… koeficient tření v zakřiveném úseku
α… celková úhlová změna do daného místa
k… koeficient tření v přímém úseku na 1 m délky
μ = 0,19 (ocelový kanálek)k = 0,01 m-1
- Úhlové změny: (Průřez 5) α=α1=0,06527 [rad ]
(Průřez 10) α=α1+α 2+α3=0,06527+0,10097+0,10097=0,26721[rad ]
(Průřez 15) α=α1+α 2+α3+α 4+α5=0,06527+0,10097+0,10097+0,11835+0,11835=0,50391 [rad ]
- Délky “l”: (Průřez 5) l=l1+l2=1,503+4,653=6,156 [m ]
(Průřez 10) l=l1+l2+l3+l 4+l5=1,503+4,653+0,369+11,453+0,799=18,777[m ]
(Průřez 15) l=l1+l2+l3+l 4+l5+ l6+l7+l8=1,503+4,653+0,369+11,453+0,799+0,799+13,887+0,349=33,812[m ]
12
B03C - Řešený příklad
- Ztráty třením v jednotlivých průřezech
∆ σP ,1,5=−1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ ( 0,06527+ 0,01∙ 6,156) )=−33,43 [MPa ]
∆ σP ,1,10=−1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0,26721+0,01 ∙18,777 ) )=−116.27 [MPa]
∆ σP ,1,15=−1404 ∙ (1−e−0,19∙ (0,50391+0,01 ∙33.812 ) )=−207.57[MPa]
8.1.2 Pokluz v kotvě
- Pokluz lana uvažuji w=0,005 m
w=Aw
EP→ Aw=w ∙EP=0,005 ∙195 000=975[ MPa]
kde Aw je plocha napětí
Změny napětí na jednotku délky v jednotlivých přímých úsecích:
pP=σ P , 0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( ∆α+k ∙ l) )=1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0+0,01 ∙1 ))=2,665 [ MPa ]
Změna napětí na jednotku délky v oblouku 1:
p1=σP , 0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( ∆α 1+ k∙ l) )=1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0.01403+0,01 ∙1) )=6.395 [ MPa ]
kde: ∆ α1=a1
L1=0,06527
4,653=0,01403[rad ∙ m−1]
Změna napětí na jednotku délky v oblouku 2:
p2=σP ,0 ,max ∙ (1−e−μ ∙ ( ∆α 2+ k ∙l) )=1404 ∙ (1−e−0,19 ∙ (0.00882+0,01 ∙1) )=5.011 [ MPa ]
kde: ∆ α2=a2
L1=0,10097
11.453=0,00882[rad ∙ m−1]
13
B03C - Řešený příklad
Předpoklad: ztráta pokluzem vymizí v oblouku 2:
Plocha napětí při předpokladu vymizení pokluzu v oblouku 2:
Aw=2∙( 12
∙ xP, 1 ∙ pP ∙ xP,1+xP, 1∙ ( x1∙ p1+ xP ,2 ∙ pP+x2 ∙ p2 ))+¿ Přímá
+2 ∙( 12
∙ x1 ∙ p1 ∙ x1+x1∙ ( xP ,2 ∙ pP+x2 ∙ p2 ))+¿ Oblouk 1
+2 ∙( 12
∙ x P,2 ∙ xP ,2 ∙ pP+ xP ,2 ∙ ( x2 ∙ pP ))+¿ Přímá
+2 ∙ 12
∙ x2 ∙ x2 ∙ p2+¿ Oblouk 2
Aw=2∙(12
∙ 1,5 ∙2,655 ∙ 1,5+1,5∙ ( 4,65 ∙6,395+0,369 ∙ 2,665+x2∙ 5,011))+¿
+2 ∙( 12
∙ 4,65 ∙6,395 ∙4,65+4,65∙ (0,369 ∙2,665+x2 ∙ 5,011))+¿
+2 ∙( 12
∙ 0,369∙ 0,369 ∙2,665+0,369 ∙ ( x2∙ 5,011))+¿
+2 ∙ 12
∙ x2 ∙ x2 ∙5,011
Aw=5,011 x22+65,333 x2+245,936=975
Logické jediné řešení:x2=7,192[m ]
Dosah pokluzu xw:xw=xP ,1+x1+xP ,2+x2=1,5+4,65+0,369+7,192=13,711[m ]
Z tohoto plyne, že ztráta pokluzem v kotvě se projeví pouze v průřezu 5
14
B03C - Řešený příklad
Celková ztráta pokluzem v kotvě:
∆ σP ,w=−2 ∙ ( xP , 1 ∙ pP+x1 ∙ p1+xP ,2 ∙ pP+x2 ∙ p2 )=−2 (1,5 ∙2,665+4,65 ∙6,395+0,369∙ 2,665+7,192 ∙5,011 )=−141,51[ MPa]
Ztráta v průřezu 5:
∆ σP ,2,5=−(141,51−2 ∙ ( xP,1 ∙ pP+x1∙ p1 ))=− (141,51−2 ∙ (1,5 ∙2,665+4,65 ∙ 6,395 ) )=−74,04 [MPa ]
Kontrola:∆ σP ,2,5+2 ∙ ∆ σ P,1,5 ≈ ∆ σ P , w
−74,04+2∙ (−33,42 )=−140,90 ≈ 141,51…………………Vyhovuje
8.2 Dlouhodobé ztrátyNapětí ve výztuži po okamžitých ztrátách:
σ P 0=σ P 0 ,max−∆ σP, 1−∆ σP , 2
Průřez σP,0,max ∆σP,1 ∆σP,2 σP,0 μ
5 1404 -33.43 -74.04 1296.53 0.73310 1404 -116.27 0 1287.73 0.72815 1404 -207.57 0 1196.43 0.676
μ=σ P 0
f Pk , kde f pk=1770 MPa
8.2.1 Ztráta relaxací
- Třída 2 - lana se sníženou relaxací
- Pro třídu 2 platí:∆ σ Pr
σ P0=−0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ μ∙ ( t
1000 )0,75 ∙ (1−μ)
∙10−5
∆ σPr=−σ P 0 ∙0,66 ∙2,5 ∙ e9,1 ∙ μ ∙( t1000 )
0,75 ∙ (1−μ)
∙10−5
Kde t je doba po napnutí v hodinách
Celková relaxace ∆ σPrkapacitapro t = 500 000 h (cca 57 let)
∆ σPrkapacita=−σ P0 ∙0,66 ∙2,5∙ e9,1 ∙ μ ∙( 500 000
1000 )0,75∙ (1−μ )
∙ 10−5
+ Napětí drženo 5 minut na konstantní hodnotě
→korekce ztráty předpětí pro t = 1/12 h16
B03C - Řešený příklad
∆ σPrcor=−σ P0∙ 0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ μ∙( 1
121000 )
0,75 ∙ (1−μ )
∙ 10−5
Průřez 5
∆ σPrkapacita=−1296,53 ∙ 0,66 ∙ 2,5∙ e9,1 ∙0,733 ∙(500 000
1000 )0,75 ∙ (1−0,733 )
∙10−5=−58,56 [MPa ]
∆ σPrcor=+1296,53∙ 0,66 ∙ 2,5 ∙ e9,1 ∙0.733 ∙( 1
121000 )
0,75 ∙ (1−0,733 )
∙ 10−5=+2,57 [MPa ]
Průřez 10
∆ σPrkapacita=−1287,73 ∙ 0,66 ∙ 2,5∙ e9,1 ∙0,728 ∙(500 000
1000 )0,75 ∙ (1−0,728 )
∙10−5=−56,89 [MPa]
∆ σPrcor=+1287,73∙ 0,66 ∙ 2,5∙ e9,1 ∙0,728 ∙( 1
121000 )
0,75 ∙ (1−0,728 )
∙ 10−5=+2,36 [MPa ]
Průřez 15
∆ σPrkapacita=−1196,43 ∙ 0,66∙2,5 ∙ e9,1 ∙ 0,676 ∙( 500 000
1000 )0,75 ∙ (1−0,676)
∙ 10−5=−41,96 [MPa ]
∆ σPrcor=+1196,43 ∙ 0,66 ∙ 2,5 ∙ e9,1 ∙ 0,676 ∙( 1
121000 )
0,75 ∙ (1−0,676)
∙10−5=+0,95[ MPa]
17
B03C - Řešený příklad
Ztráty předpětí v čase t = 100 dní
Průřez 5
∆ σPr100=−1296,53 ∙0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ 0,733 ∙( 2400
1000 )0,75 ∙ ( 1−0,733)
∙10−5=−20,10[ MPa]
Průřez 10
∆ σPr100=−1287,73 ∙0,66 ∙ 2,5 ∙e9,1 ∙ 0,728 ∙( 2400
1000 )0,75 ∙ ( 1−0,728)
∙10−5=−19,14[ MPa]
Průřez 15
∆ σPr100=−1196,43 ∙0,66 ∙2,5 ∙ e9,1∙ 0,676 ∙( 2400
1000 )0,75∙ (1−0,676)
∙10−5=−11,46 [ MPa]
Průřez ∆σP,3,1(100 dní) ∆σP,3,2(36 500 dní)
5 - 20,1 + 2,57 = - 17,53 MPa - 58,56 + 2,57 = - 55,99 MPa10 - 19,14 + 2,36 = - 16,78 MPa - 56,89 + 2,36 = - 54,53 MPa15 - 11,46 + 0,95 = - 10,51 MPa - 41,96 + 0,95 = - 41,01 MPa
8.2.2 Dotvarování betonu
Síla v kabelech (celková) po okamžitých ztrátách v jednotlivých průřezech:
N P ,05 =σ P ,0
5 ∙ n∙ A P 1=1296,53∙ 38 ∙150=7390,22[kN ]
N P ,010 =σ P ,0
10 ∙ n∙ A P 1=1287,73∙ 38 ∙150=7340,06[kN ]
N P ,015 =σ P ,0
15 ∙ n∙ A P 1=1196,43 ∙ 38∙150=6819,65[kN ]
Momenty v jednotlivých průřezech (vlastní tíha + ostatní stálé + stat. neurčitý moment):
M g5=727,34+132,75=860,09[kNm]
M g10=−3265,07+442,50=−2822,57 [kNm]
M g15=2379,30+442,50=2821,8 ¿
Napětí v betonu v místě předpínacího kabelu:
σ cPg+P=
−N P,0
Ai−
N P,0 ∙ eP,i
I y , i∙ eP, i+
M g
I y ,i∙ eP ,i
Pozor: excentricita pouze ke kabelu, ne ke krajním vláknům
Napětí v betonu v místě předpínacího kabelu v jednotlivých průřezech:
σ cP(g+P ) 5=−7,390
1,757−
7,390 ∙ (0,25−(0,782−0,78 ) )2
0,277+ 0,860
0,277∙ (0,25−(0,782−0,78 ) )=−5,08[MPa ]
18
B03C - Řešený příklad
σ cP(g+P ) 10=−7,340
1,757−
7,340 ∙ (0,368− (0,786−0,782 ) )2
0,278+ 2,823
0,278∙ (0,368− (0,786−0,782 ) )=−3,98[MPa]
σ cP(g+P ) 15=−6,820
1,757−
6,820 ∙ (0,5−(0,782−0,777 ) )2
0,280+ 2,822
0,280∙ (0,5−(0,782−0,777 ) )=−4,86[ MPa]
Ztráta dotvarováním:
∆ σPc=−E p
Ec (τ )∙ σ cP
g+ P ∙φ ( t ; τ )
Kde: τ…čas předepnutí τ = 7 dnít…sledovaný okamžik t 1 = 100 dní
t 1 = 100 let
Výpočet součinitele dotvarování φ (t ; τ ) a modulu pružnosti Ec (τ) pomocí programu CREEP & SHRINKAGE
Vstupní parametry: tvar průřezu: nekonečná deska
Vlhkost r.h.: 50%Cement c : 300 kg ∙m−3
Voda w : 115kg ∙m−3
Kamenivo a : 2137 kg ∙ m−3
fc: 30 MPa
Doba ošetřování: 7 dní
Napětí: průřez 5: −5,08 MPa
průřez 10: −3,98 MPa
průřez 15: −4,86 MPa
19
B03C - Řešený příklad
Výstupy:
Ec (7 )=21748 MPa
ϕ ϕČas
100 36500Průřez
5 0,83 2,8110 0,83 2,8115 0,83 2,81
Ztráta dotvarováním v jednotlivých průřezech v čase 100 dní:
∆ σP ,4,15 =−195000
21748∙ 5,08 ∙0,83=−37,81[MPa]
∆ σP ,4,110 =−195000
21748∙ 3.98 ∙0,83=−29,62[MPa]
∆ σP ,4,115 =−195000
21748∙ 4.86 ∙0,83=−36,17[ MPa]
Ztráta dotvarováním v jednotlivých průřezech v čase 36500 dní:
∆ σP ,4,25 =−195000
21748∙ 5,08 ∙2,81=−127,99[ MPa]
∆ σP ,4,210 =−195000
21748∙ 3,98 ∙2,81=−100,28[ MPa]
∆ σP ,4,215 =−195000
21748∙ 4,86 ∙2,81=−122,45 [MPa ]
8.2.3 Smršťování betonu
Základní výpočet pro smršťování:
∆ σPS=−Ep ∙ εcS ( t )
Kde ε cS (t ) je součinitel smršťování v čase t (z programu CREEP & SHRINKAGE)
Smrštění betonu v čase t:
∆ σPS( t)=−Ep ∙ (εcS (t )−εc
S (τ ) )Smrštění betonu v čase t = 100 dní (čas uvedení do provozu):
∆ σP ,5,1=−E p ∙ (εcS (100 )−εc
S (7 ))=−195000 ∙ (56,33∙10−6−8,22 ∙10−6 )=−9,38[kNm]
Smrštění betonu v čase t = 36500 dní (čas na konci životnosti):
∆ σP ,5,1=−E p ∙ (εcS (36500 )−εc
S (7 ) )=−195000 ∙ (439,51 ∙10−6−8,22 ∙10−6 )=−84,10[kNm]
20
B03C - Řešený příklad
8.3 Přehled napětí a sil ve výztuži
Napětí a sílyPrůřez
5 10 15Napínací napětí σ P, 0 ,max [Mpa] 1404,00 1404,00 1404,00
Krát
k.
Ztrá
ty Tření ∆ σP ,1 [Mpa] -33,43 -116,27 -207,57Pokluz ∆ σP ,2 [Mpa] -74,04 0,00 0,00
Napětí po okamžitých ztrátách σ P , 0 [Mpa] 1296,53 1287,73 1196,43Síla ve výztuži po okamžitých ztrátách N P ,0 [kN] 7390,22 7340,06 6819,65
Dlou
hodo
bé zt
ráty
100
dní
Relaxace ∆ σP ,3,1 [Mpa] -17,53 -16,78 -10,51Dotvarování ∆ σP ,4,1 [Mpa] -37,81 -29,62 -36,17Smršťování ∆ σP ,5,1 [Mpa] -9,38 -9,38 -9,38
Napětí při uvedení do provozu σ P , 100 [Mpa] 1231,81 1231,95 1140,67Síla ve výztuži při uvedení do provozu N P,100 [kN] 7021,32 7022,12 6501,18
36 5
00 d
ní Relaxace ∆ σP ,3,2 [Mpa] -55,99 -54,53 -41,01Dotvarování ∆ σP ,4,2 [Mpa] -127,99 -100,28 -122,45Smršťování ∆ σP ,5,2 [Mpa] -84,10 -84,10 -84,10
Napětí na konci životnosti σ P, ∞ [Mpa] 1028,45 1048,82 948,87Síla na konci životnosti N P ,∞ [kN] 5862,17 5978,27 5408,56
9. Výpočet celkového účinku předpínacího kabelu
9.1 A) Řešení náhradou lomeným kabelempolohu těžišťové osy uvažujte pro plný betonový průřez
21
B03C - Řešený příklad
Ke ztrátě předpětí dochází v uzlu
- Síla v kabelu + →
- Svislé síly + ↓
N AX=N1
N1 X=N1
N2 X=N2 atd… (rozdíl je zcela zanedbatelný – rozdíl v délce přepony a odvěsny)
sin α=N AZ
N1→ N AZ=N 1 ∙ sin α=|sin α=tan α|=N1 ∙ tan α=
eB−e A
L1
10
NBZ=N2 Z−N1 Z=N2∙eC−eB
L1
10
−N 1∙eA−e A
L1
10
22
B03C - Řešený příklad
A na stejném principu pokračovat v dalších uzlech…
9.1.1 Postup při vyplňování tabulky Excelu
23
B03C - Řešený příklad
- Zelené hodnoty jsou potřeba zadat
- Je nutné vypočítat ztráty třením a pokluzem – dle vzorců, které již byly použity dříve
- Z tohoto pak vypočítat v každém úseku předpínací sílu N P ,0
- Vzhledem k napínání z obou konců je možné využít symetrii
- M i=H i ∙ e
- Z excelu s příčinkovými čarami vypsat pořadnice pro průřez 10 a 15 + pořadnice derivace
- na jednotlivé průřezy (tj. 10 a 15) působí svislé síly a vodorovné síly (viz. str. 21)
- účinek svislých sil se dostane násobením hodnoty síly s pořadnicí příčinkové čáry
- Celkový účinek svislých sil na M 10 se tedy získá sečtením účinku všech sil →∑ V i ∙ ηM 10, i
- Stejně pro M 15 (zde možno využít symetrie)
- Dále působí vodorovné síly mimo těžišťovou osu, které způsobí osamělé momenty v daném místě
- Každý osamělý moment vyvodí část výsledného momentu v průřezu 10 a 15- hodnoty se získají tak, že se vynásobí M i ∙ ηi
,,
kde M i=H i ∙ e a ηi, je hodnota derivace příčinkové čáry (v momentu se dosazuje záporná
hodnota)
24
B03C - Řešený příklad
9.1.2 Příklad
- Tento moment způsobí kladný moment v průřezu 10- Opět platí, že když se sečtou účinky všech osamělých momentů na průřez 10 (15), tak se získá výsledný moment od vodorovných sil
25
B03C - Řešený příklad
- Sečtením výsledných momentů od svislých a vodorovných sil se získá M P ,TOT , 10 a M P ,TOT , 15
- Tyto momenty obsahují primární a sekundární momentyM P ,TOT=M PP+M PS
- Určení MPS z průřezu 15M P ,TOT , 15=M PP,15+M PS , 15
kde M PP , 15=NP ,0,15∙ e15=−6888,16 ∙ 0,5=−3444,08 [kNm]
M PS , 15=M P, TOT ,15+M PP , 15=−2466,71−(−3444,08 )=977,37 [kNm]
Pro jednotlivé fáze:
1. Po vnesení předpětí: t = 0M PS , 15
0 =977,37[kNm ]
2. Uvedení do provozu: t = 100 dníM PS , 15
100 =N P,100
N P ,0∙ M PS ,15
0 = 6501,186819,65
∙977,37=931,73 [kNm ]
3. Konec životnosti: t = ∞M PS , 15
∞ =N P, ∞
N P, 0∙ M PS ,15
0 =5408,566819,65
∙977,37=775,14[kNm ]
- Původně odhadnutý ∆ M P=442,5 kNm
- Výsledný ∆ M P je vyšší o 75 % → bylo by tedy vhodnější uvažovat při předběžném návrhu 15%
26
B03C - Řešený příklad
9.2 B) Ekvivalentní zatíženíP1, P2, PPOD… průměrné síly v jednotlivých úsecích kabelu
P1=( N AB ∙ LAB+N BC ∙ LBC+…+N JK , KRAJ ∙ LJK , KRAJ )
L1
P2=…
PPOD=…
Určení ekvivalentního zatížení:
p1=P1 ∙8 ∙ f 1
L12 =59,77[kN m−1]
p2=P2 ∙8 ∙ f 2
L22 =57,40[kN m−1]
pPOD=P2 ∙8 ∙ f POD
LPOD2 =1028,10 [kN m−1]
- poloha T.O. pro plný betonový průřez
f …vzepětí obloukuL … délka půdorysného průmětu oblouku
Výsledná zatížení a momenty: (viz tabulka níže)M P ,TOT , 10=3447,4[kNm ]
M P ,TOT , 10=−2692,3[kNm ]
27
B03C - Řešený příklad
9.3 Porovnání obou způsobů výpočtu celkového účinku předpětíLomený kabel:
M P ,10 ,V =3652,31[kNm]
M P ,15 ,V=−2549,79[kNm]
Ekvivalentní zatížení: M P ,TOT , 10=3447,40[kNm]
M P ,TOT , 15=−2692,3[kNm ]
Hodnoty odpovídají 94,4 %, resp. na 94.7 %. Výpočet lze tedy považovat za správný.
29
B03C - Řešený příklad
10. Finální posouzení napětí- Nyní již můžeme posoudit MSP z hlediska napětí v průřezu
- Jedná se o stejnou tabulku, jako v případě předběžného posouzení, je však třeba změnit hodnoty podle výsledků celkového účinku předpětí. Jedná se o tyto hodnoty:
- Hodnota staticky neurčitého momentu
- Hodnota předpínací síly
Napětí ve výztuži:
Průřez5 10 15
σ P, 0 ,max 1404 1404 1404σ P , 0 1296,53 1287,73 1196,43
σ P , 100 1231,81 1231,95 1140,67σ P , ∞ 1028,45 1048,82 948,87
Staticky neurčitý moment pro jednotlivé fáze:
Průřezčas t 5 10 15
0 293,21 977,37 977,37100 279,52 931,73 931,73 ∞ 232,54 775,14 775,14
Působící ohybové momenty od zatížení včetně staticky neurčitého momentu od předpětí:
Průřez 5:
čas t Mf + ∆Mp [kNm] působení momentů od zatížení [kNm]0 911 g0 + P0 = 617,74 + 293,21
100 742 g0 + gost + Pup + qmin = 617,74 + 109,60 + 279,52 + (-264,91) ∞ 1464 g0 + gost + P∞ + qmax = 617,74 + 109,60 + 232,54 + 504,11
Průřez 10:
čas t Mf + ∆Mp [kNm] působení momentů od zatížení [kNm]0 -1796 g0 + P0 = -2773,09 + 977,37
100 -2246 g0 + gost + Pup + qmax = -2773,09 - 491,08 + 931,73 + 86,11 ∞ -3650 g0 + gost + P∞ + qmin = -2773,09 - 491,98 + 775,14 + (-1159,84)
30
B03C - Řešený příklad
Průřez 15:
čas t Mf + ∆Mp [kNm] působení momentů od zatížení [kNm]0 2998 g0 + P0 = 2020,78 + 977,37
100 3120 g0 + gost + Pup + qmin = 2020,78 + 358,52 + 931,73 + (-190,74) ∞ 4127 g0 + gost + P∞ + qmax = 2020,78 + 358,52 + 775,14 + 973,21
- Z finální tabulky posouzení MSP je vidět, že v průřezu 15 na konci životnosti v místě spodních vláken je tah.
- To je způsobeno jak většími ztrátami, tak větším sekundárním momentum
- Napětí je však menší než pevnost betonu v tahu, je možné tedy návrh považovat za vyhovující.
31
B03C - Řešený příklad
11. Posouzení MSÚ – ohybová únosnostPosouzení průřezu 10 v čase t= 100 let
11.1 Působící vnější zatíženíVlastní tíha NK g0
M g 0 , d=1,35 ∙ M g 0 , k=1,35 ∙ (−2773,09 )=−3743,7 kNm
Ostatní stálé zatížení gost
M g , ost ,d=1,35 ∙M g ,ost , k=1,35 ∙ (−491,98 )=−664,2kNm
Proměnné zatížení – užitné q
M q , d=1,5 ∙ M q ,k=1,5 ∙ (−1159,89 )=−1739,7 kNm
Návrhový moment:
M Ed10 =M g 0 , d+M g , ost ,d+ M q ,d=−6147,7 kNm
11.2 PředpětíPosuzována konstrukce na konci životnosti, tedy všechny ztráty již proběhly:
N p , ∞ ,d10 =γ p ∙n ∙ A p ,1 ∙ δ p , ∞
10 =1,0 ∙38∙ 150 ∙1048,82=5978,27 kN
N ps ,∞ ,d10 =γ p∙ ∆ M p , ∞
10 =1,0 ∙775,14=775,14 kNm
11.3 Stav dekomprese, základní napětí
- výztuž je zainjektována a soudržně provázána s kanálkem a ten následně s betonem
- pokud chceme navodit stav dekomprese (tj. nulová napětí v betonu po celém průřezu), musíme vynutit protažení výztuže -> protažení okolního betonu
- ve výztuži dochází k přírůstku napětí
32
B03C - Řešený příklad
11.3.1 Výpočet napětí δ cp∞ … Napětí v betonu v okolí kabelu
Na oslabený průřez působí:
Primární účinky předpětí
Sekundární účinky předpětí
Vlastní tíha
Zainjektování kanálků => na ideální průřez působí:
Ostatní stálé zatížení
Výpočet napětí δ cp∞ :
σ cp∞ =
−N p , ∞,d10
A0−
N p , ∞, d10 ∙ e p ,0
I y ,0∙e p , 0−
∆ M p ,∞, d10
I y, 0∙ e p ,0+
M g0 ,d10
I y, 0∙ ep ,0+
M g ,ost , d10
I y ,i∙ e p ,i=
−5,9781,722
−5,978∙0,3710,2734
∙0,371− 0,7750,2734
∙ 0,371+ 3,7430,2734
∙ 0,371+ 0,6640,2781
∙ 0,364=−1,58 MPa
11.3.2 Primární vnitřní síly
Základní předpínací napětí v předpínací výztuži:
σ p0=σ p
∞+Ep
Ecm∙|σ cp
∞|=1048,82+ 19532
∙ 1,58=1058,45 MPa
Základní předpínací síla:
P0=σ p0 ∙n ∙ A p ,1=1058,45∙ 38 ∙150=6033 kN
Primární vnitřní síly:
N pp0 =−P0=−6033 kN
M pp0 =N pp
0 ∙C p ,i10 =−6033∙ 0,364=−2196 kNm
33
B03C - Řešený příklad
- V případě železobetonu vzdoruje vnějšímu momentu dvojice vnitřních sil F c a F s. Z podmínky F c=F s je možno určit „x“ a M Rd.
- Zde vstupuje do rovnice ještě tlaková síla N pp0 a tím se výpočet komplikuje.
∆ FP=Fc+N PP0
kde: ∆ FP rezerva v předpínací výztužiF c výslednice tlakových napětí v tlačené části průřezu
ε P0=
σ P0
EP= 1058,45
195000=0,00543→ platí pro ε P
0 <εPc
f cd=301,5
=20 MPa
f pd=15601,15
=1356 MPa
ε pe=f pd
EP= 1356
195000=0,00695
11.3.3 Moment na mezi únosnosti
M Rd=−F c ∙ zc+∆ F p ∙e p ,i10
+ + -
34
B03C - Řešený příklad
11.3.4 Nalezení plochy neutrální osy X:
2 podmínky:
- Dosaženo mezní poměrné přetvoření v jednom (nebo obou) materiálu
- Splněny podmínky rovnováhy ∆ F p=Fc+N PP0
Při nalezení polohy neutrální os se vychází z optimálního porušení:x=x1 => dosaženo mezního přetvoření v obou materiálech
N pp0 =−6033 kN
∆ F p … ε P=εud → ∆ σ p=f pd−σ p0 =1356−1058=298 MPa
∆ F p=∆ σ p ∙ A p ,1 ∙ n=298 ∙150 ∙38=1698 kN
F c1=0,8 ∙ x1 ∙ b ∙ f cd
x1 je definováno z geometrie (podobností trojúhelníků)
x1
εcu=
h−x1−c p ,i10
ε ud−ε p0=∆ εP
x1
εcu=
h−cP,i10
ε ud−ε p0 −
x1
εud−ε p0
x1∙( 1ε cu
+ 1ε ud−ε p
0 )=h−Cp , i10
εud−ε p0
x1∙ε ud−ε P
0 +εcu
εcu(εud−ε p0 )
=h−CP,i
10
εud−ε p0
x1∙εud−ε p
0 +ε cu
εcu=h−C P ,i
10
x1=εcu ∙(h−C p ,i
10 )εud−ε p
0 +εcu
=0,0035(1,3−0,15)
0,02−0,00543+0,0035=0,223 m
F c1=−0,8 ∙ 0,223∙ 1∙20000=−3568 kN
∆ F p−F c−N PP0 =R → dvě tahové síly + jedna tlaková
Po dosazení:R=1698−3568+6033=4163kN
35
B03C - Řešený příklad
Pokud je R < 0 → velká tlaková síla v betonu
- pro její snížení musíme zmenšit hodnotu x => přetvoření výztuže zůstává na ε ud , přetvoření betonu je menší než ε cu => rozhoduje „přetržení“ výztuže
Pokud je R > 0 → malá tlaková síla v betonu
- pro její zvětšení musíme zvětšit hodnotu x => přetvoření betonu zůstává na ε cu , přetvoření výztuže je menší než ε ud →rozhoduje rozdrcení betonu
!ZDE VŠAK POZOR!
Z podmínky rovnováhy: ∆ F p−F c−N pp0 =0 určíme x
- Víme ale, že přetvoření výztuže pokleslo z ε ud na ε p
- Ve výše uvedené rovnici uvažujeme ∆ F p konstantní, to však platí pouze pro ε p∈ ⟨ ε pe ;εud ⟩ (viz. bilineárný prac. diagram výstuže)
- Po vypočtení skutečného x je tedy nutné ověřit hodnotu ε P
- Pokud ε P<ε pe , je nutno použít itenační proces (např. v Excelu) a určit hodnotu x v závislosti na měnící se síle ∆ F p
V našem případě R=4163 kN>0→ je nutné zvětšit x
F c=1698+6033=7731=0,8 ∙ x ∙b ∙ f cd
Po vyjádření x:
x= 7,7310,8 ∙1 ∙ 20
=0,483 m
Nyní je nutné ověřit podmínku zplastizování předpínací výztuže:
ε p∈ ⟨ ε pe ; εud ⟩εcu
x=
ε ´ p
h−c p ,i10 −x
36
B03C - Řešený příklad
Po dosazení:
0,00350,483
=ε ´ p
0,667→ε ´ p=0,0048
Při stavu dekomprese je však ve výztuži přetvoření ε p0, které je nutní zahrnout:
ε p0=0,00543
Celkové přetvoření předpínací výztuže je potom:
ε P=ε ´ P+ε P0 =0,00543+0,0048=0,0102
ε P∈ ⟨ε pe ; εud ⟩ → vyhovuje
Pro ověření podmínky rovnováhy ∆ F p−F c−N pp0 =0 určíme:
∆ FP=konst .=1698 kN
F c=−0,8 x ∙b ∙ f cd=0,8 ∙ 0,483 ∙1 ∙ 20000=−7728 kN
N PP0 =−6033 kN
Po dosazení:
∆ FP+F c+(−N PP0 )=1698−7728+6033=∅
Pozn.: pokud by z podobnosti trojúhelníků vyšlo že ε P=(ε´¿¿P+ε P0 )<εPc¿ pak neplatí, že
∆ FP=konst .. V takovém případě je nutné ∆ FP a x určit iterativním způsobem (například v Excelu).
Hledáme řešení, kdy x→ 0 a zároveň je splněna podmínka rovnováhy F p−F c−N pp0 =0.
Jednotlivé členy podmínky rovnováhy určíme z následujících vztahů:
ε p=ε cu(h−c¿¿ p , i10−x)
x+ε p
0 ¿
σ p=ε p∙ Ep
F p=σ p ∙ A p
F c=0,8 ∙ x ∙b ∙ f cd
N PP0 =konst .=−6033 kN
Pro výpočet momentu únosnosti určíme rameno sil z:
z=h−c p ,i10 −0,8 ∙ x
2=1300−150−0,8 ∙ 483
2=957 mm
Případně alternativním způsobem:zMi=786 mm
zc=zMi−0,8 ∙ x
2=786−0,8 ∙483
2=593 mm
37
B03C - Řešený příklad
zP=h−CP,i10 −z Mi=1300−150−786=364 mm
z=zc+z p=957 mm
Moment na mezi únosnosti, tedy moment dvojice sil F c a F p:
M R=Fc ∙ zc+FP ∙ z P=−7728 ∙ 0,593−1698 ∙0,364=−5200,78 kNm
11.3.5 Posouzení průřezu
Proti vnějšímu momentu působí ještě moment vyvolaný předpětím, neboť síla N PP0 působí na
excentricitě:
M PP0 =NPP
0 ∙CP ,i10 =−6033 ∙ (1,3−0,15−0,786 )=−2196 kNm
Moment únosnosti průřezu:
M Rd=M R+M PP0 =−5200 , 78−2196=−7397 kNm
|M Rd|≥|M E , d10 +M Ps ,∞ ,d
10 ||−7397|≥|−6148+775|
7397 ≥ 5373 [ kNm ] → Navržený průřez vyhovuje z hlediska MSÚ!!
38
B03C - Řešený příklad
12. Posouzení MSÚ – smyk a kroucení
12.1 Smykové únosnostObálka posouvajících sil od kombinace MSÚ:
Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 0:
V Ed0 =571,70 kN
Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 10 (zleva):
V Ed10 L=1173,69kN
Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 10 (zprava):
V Ed10 P=1405,35 kN
V Ed10 =max (V Ed
10 L ,V Ed10 P )=1405,35 kN
Smyková únosnost vyztuženého průřezu s ohybovou trhlinou, resp. jeho stojiny, je omezena jednak únosností tlačeného betonu V Rd ,max (tlačené diagonály) a jednak únosností navržené smykové výztuže V Rd ,s .
Nejdříve stanovíme únosnost tlačené diagonály V Rd ,max průřezu, která rozhoduje o maximální smykové únosnosti prvku:
V Rd ,max=α cw ∙bw ∙ z ∙ ν1 ∙ f cd ∙ cotgθ+cotgα1+cotg2θ
kde α cw je součinitel, kterým se vyjadřuje stav napjatosti v tlačeném pásu:
α cw=1+σ cp
f cdpro 0<σcp<0,25 ∙ f cd
α cw=1,25 pro 0,25 ∙ f cd<σ cp<0,5 ∙ f cd
α cw=2,5 ∙(1−σcp
f cd) pro 0,5 ∙ f cd<σ cp<1,0 ∙ f cd
Přitom σ cp je průměrné napětí v tlaku v uvažovaném průřezu, při zahrnutí ekvivalentní plochy výztuže, vyvolané návrhovou normálovou silou N p , ∞,d
0 respektive N p , ∞ ,d
10 :
39
B03C - Řešený příklad
σ cp=N p ,∞ , d
10
Ac+ Ap ∙ m
bw je nejmenší šířka průřezu mezi tlačeným a taženým pásem
z je rameno vnitřních sil v průřezu – zjednodušeně lze uvážit z=0,9 ∙ d
ν1 je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu při porušení smykem.
Doporučená hodnota se stanoví ze vztahu ν1=0,6 ∙(1− f ck
250 ) θ je úhel sklonu tlakových diagonál od osy nosníku kolmé na posouvající sílu.
Hodnota sklonu tlakových diagonál θ se pro předpjaté konstrukce volí v rozsahu: 1,25 ≤ cotgθ≤ 2,5
α je úhel sklonu smykové výztuže od osy nosníku kolmé na posouvající sílu. Pro prvky se svislou smykovou výztuží (svislé třmínky), kdy α=0, je výraz cotgα=0.
Únosnost smykové výztuže V Rd ,s (třmínků) určíme ze vztahu:
V Rd ,s=A sw
s∙ z ∙ f ywd ∙ cotgθ
kde A sw
s je průřezová plocha smykové výztuže v průřezu na jednotku délky
nosníku, přitom musí být splněn minimální stupeň smykového vyztužení:
ρw=A sw
s ∙ bw ∙ sinα≥ ρw , min=
0,08 ∙√ f ck
f yk
s je součinitel, kterým se vyjadřuje stav napjatosti v tlačeném pásu:f ywd je návrhová mez kluzu smykové výztuže
Kompletní návrh a posouzení smykové výztuže v řezu 0 a 10 lze provést v Excelu.
40
B03C - Řešený příklad
12.2 Únosnost průřezu v krouceníSchéma podepření lávky – kroucení je přenášeno dvojicemi tahové a tlakové reakce v koncových podporách, jak je patrné z následujícího schématu:
Pro vyvození maximálního kroutícího momentu budeme uvažovat působení užitného (proměnného) zatížení na polovině mostu:
Zatížení kroutícím momentem po délce mostu:
mEd=γq ∙ q ∙ b2
∙ b4=1,5 ∙ 1
8∙ 6 ∙ 2,75=3,09 kNm /m
Průběh kroutícího momentu od kombinace MSÚ:
Celková hodnota kroutícího momentu v řezu 0:
M Ed ,0=(a+ 12 ) ∙ L∙ mEd=(0,6+0,5 ) ∙ 30∙3,09=102,09 kNm
Celková hodnota kroutícího momentu v řezu 10:
M Ed ,10=L2
∙mEd=302
∙ 3,09=46,41 kNm
Smykové napětí od kroucení budeme uvažovat pro plný průřez na náhradním komorovém průřezu, kde tloušťka stěn a desek tohoto průřezu je definována jako t ef , i.
t ef , i=Au
=1,7388,1
=0,215 m, dále musí platit t ef , i=0,215 ≥ 0,1=2 ∙ c→ splněno
43
B03C - Řešený příklad
kde A plocha betonového průřezu
u obvod betonového průřezu
c je výška krytí betonářské výztuže (třmínků); uvažujeme c=50 mm
Účinek kroucení je tímto převeden na smykový účinek po obvodě průřezu.
Náhradní tloušťka je uvažována konstantní po obvodě průřezu, konstantní je také velikost smykového napětí. Vztah mezi kroutícím momentem a smykovým napětím po obvodě náhradního průřezu je následující:
τ t ,i ∙t ef ,i=M Ed
2 ∙ Ak
Plocha Ak je definována střednicí náhradního komorového průřezu:
Ak=(b−t ef , i) ∙ (h−tef ,i )=(1−0,215 ) ∙ (1,3−0,215 )=0,852 m2
Velikost výsledné posouvající síly v náhradní stěně je pak dána vztahem:
V Ed ,i=τ t , i ∙ t ef , i ∙ zi=M Ed
2 ∙ Ak∙ (h−tef ,i )
Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 0:
V Ed ,i0 = 102,09
2 ∙0,852∙ (1,3−0,215 )=65,00 kN
Celková hodnota návrhové posouvající síly v řezu 10:
V Ed ,i10 = 46,41
2 ∙0,852∙ (1,3−0,215 )=29,60 kN
Smyková výztuž průřezu pak bude navržena i na přírůstek smykové síly od kroucení. Návrh výztuže je proveden stejným způsobem jako pro dimenzování na prostý smyk, přičemž návrh je proveden pro náhradní stěnu tloušťky t ef , i a výšky h. Vzhledem k vysoké rezervě ohybové únosnosti průřezu je možné zanedbat účinek podélných sil (interakci smyku respektive kroucení a ohybu není nutné uvažovat).
Určíme únosnost stejného vyztužení, jako bylo použito pro prostý smyk. V náhradní stěně tloušťky t ef , i se však v tomto případě nachází pouze 1 profil smykové výztuže, uvažujeme tedy s jednostřižnou smykovou výztuží stejného profilu a o stejných vzdálenostech.
44
B03C - Řešený příklad
12.2.1 Posouzení průřezu 0
Využití smykové výztuže prostým smykem:
f u ,sw0 =
V Ed
V Rd=571,7
863=66,2%
Využití smykové výztuže od kroucení:
f u ,t0 =
V Ed
V Rd= 65
215,7=30,1 %
Využití smykové výztuže celkem:f u
0= f u , sw0 + f u ,t
0 =66,2+30,1=96,3 % →Vyhovuje
45