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偏微分係数と極大・極小の必要条件微分積分 kyky GyR- S�`i RĜS�`i 9
LQ#mvmFB hPa1
P+i y8- kyky
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky R f j8
プラン
S�`i yR ミクロ経済学における基本的な問題S�`i yk 開集合S�`i yj 極大・極小と停留点（極大・極小の必要条件）S�`i y9 クラメールの公式
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky k f j8
入門。
←」、
開区間 。
S�`i yR
S�`i yRミクロ経済学における基本的な問題
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky j f j8
ミクロ経済学における基本的な問題
ミクロ経済学では最初に以下の基本的な問題を学びます．生産理論 US`Q/m+iBQM h?2Q`vV消費者理論 U*QMbmK2` h?2Q`vV
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky 9 f j8
生産理論（S`Q/m+iBQM h?2Q`v）URV
生産物 UT`Q/m+iV*が生産要素 UT`Q/m+iBQM 2H2K2MibV �-"から生産されるとします．�,",* の価格はそれぞれ T, [, ` とします．�と "をそれぞれt と v 投入するとき *が x = 7 (t , v)得られるとします．このとき 7 (t , v)を生産関数 UT`Q/m+iBQM 7mM+iBQMVと呼ばれます．またこの状況で利潤関数 UT`Q}i 7mM+iBQMVを
⇡(t , v) = `7 (t , v)� Tt � [v
と定義します．生産理論の最初のステップは，利潤関数 ⇡(t , v)を最大化して生産要素需要関数t = t(T, [, `), v = v(T, [, `)
を求めることにあります．LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky 8 f j8
nnt
c原料
risen
モデル・
たビー
~ ~ ~
-
生産理論（S`Q/m+iBQM h?2Q`v）UkV
生産要素 生産物� " ! *価格 T [ `量 t v x = 7 (t , v)
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky e f j8
癱 と耬、生産は数
消費者理論（*QMbmK2` h?2Q`v）URV商品 U:QQ/bV �-"があるとします．�を t - "を v 購入するとき，消費者が効用関数 UmiBHBiv 7mM+iBQMVm(t , v)の効用を得るとします．さらに �,"の価格が T, [であるとします．消費者が予算 Aを全額消費して �-"を購入するとします．ここでの問題は予算制約と呼ばれる制約条件
A � Tt � [v = y
の下で m(t , v)を最大化して需要関数 U/2K�M/ 7mM+iBQMV
t = t(T, [, A), v = v(T, [, A)
と所得の限界効用 UK�`B;BM�H miBHBiv Q7 BM+QK2V
� = �(T, [, A)
を得ることです．LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky d f j8
-_- 業 での
一
※en 孿舙最
消費者理論（*QMbmK2` h?2Q`v）UkV
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky 3 f j8
、
S�`i yk
S�`i yk開集合
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky N f j8
CA,13 )の各点 の 回り が CA
,B) に
含まれ ている。
] A,B[
開区間 ltoc。e ( A, 13)
Thinemes
Amesヨ S s o
-Ooxstcsogou.es)x。-8 か した
。sC CA
,B)
開円盤 *h k9eT
開円盤 UPT2M .Bb+V` > y- Sy(�, #) 2 _kに対して
"` (Sy) := {S 2 _k; /(S,Sy) < `}
を中心 Sy- 半径 ` > yの開円盤と呼びます．ここで /(Sy,S)は k点 Sy- Sの距離です．S(t , v)のとき/(Sy,S) =
q(t � �)k + (v � #)k
注意今後「Syの近くで～」という言い方をしますが，これはある正数` > yに対して 任意のS 2 "` (Sy)において～
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky Ry f j8
Edius 半径
.namese P と P。 の足巨岩に一、
in mes treu re l'
ヽ
,i
t ,est '
ne /い、
ユークリッドにも離.
ロ)mnt~癌、 _
開集合（PT2M bm#b2ib）*h k9eT
.2}MBiBQM_kの部分集合 l があるとします．l が開集合であるとは任意の Sy 2 l に対して ` > yが存在して
"` (Sy) := {S 2 _k; /(S,Sy) < `} ⇢ l
が成立することです．注意 l の任意の点 Syの周りが l に含まれているということです．
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「点
命題・命題関数 URV
命題とは真偽が明らかな文のことです．例えばk > R 真（h`mi?）R > k 偽（6�Hb2）
集合 s 上の命題関数とは t 2 s に対して命題 S(t)を対応させるものです．例えば s = _のときS(t) : R < t
と定めるとS(y) : R < y 偽S(k) : R < k 真
となります．LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky Rk f j8
-
oc = o tつく こ て VaEx (P い)
ヨ、( EX( Pいい) は 偽.
は 真.
命題・命題関数 UkV
集合 s 上の命題関数 S(t)があるとき付随して命題を定めることができます．8t 2 s (S(t))
はすべての t 2 s に対して S(t)が真であるという命題です．前ページの例では S(y)が偽ですから 8t 2 s (S(t))は偽です．さらに9t 2 s (S(t))
はある t 2 s に対して S(t)が真であるという命題です．前ページの例では S(k)が真ですから 9t 2 s (S(t))は真です．
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、
命題・命題関数 UjVě重要な公式
集合 s 上の命題関数 S(t)に対してLPh (8t 2 s S(t)) ⌘ 9t 2 s LPh (S(t))
LPh (9t 2 s S(t)) ⌘ 8t 2 s LPh (S(t))
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_
t常に 左での 真偽笈紫
~ ~-_-
開集合の例 URV
以下の _kの部分集合は開集合です．_k
上半平面lR := {(t , v) 2 _k; v > y}
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky R8 f j8
fいないで 籅
。 。だ
_が9〇.いい es 。
にが。Bがいい)く U 、
-_- -_--_-yeo
開集合の例 UkV
第 R象限（Rbi Zm�/`�Mi）_k++ := {(t , v) 2 _k; t , v > y}
開円盤"` (Sy) := {S 2 _k; /(S,Sy) < `}
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky Re f j8
Each ) Eが、「今-_- 、〇 . に つく
esa の 七影 と 1 /eee-
Bが叩いた !イ(YOU.-_- -_-7 reThere.𥖧、
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di- d 。 TS
:穢 で無配d 。
Bo (P ) c Br ( Po )
u.、
U、く ば
、
開 ⇒ U、 uu 、 開
U. n Uzばなし= i
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開 開.
Q E Bs CP )
Q d CQ、P。 )
.lt?.Ed(Q.P)tdcppypTP。 た 。
二 r
Q EB国
開集合の性質
lR- lkが _kの開集合ならば lR \ lkも開集合である．
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②
Po P.EUn P.EUて
考える といい。
-_-ヨ S
,s o ヨ 8
、2 o
Br ( Per ) BS、(P。 ) C Ue
oc8 =いいかーー
いた (いで ) CU 、
一) Bs、( Polo Brio) < V.nu
「開集合でない」とは URV
6 ⇢ _kに対して6は開集合でない ⌘ LPh (8Sy 2 6 9` > y "` (Sy) ⇢ 6 )
⌘ 9Sy 2 6 LPh (9` > y "` (Sy) ⇢ 6 )⌘ 9Sy 2 6 8` > y LPh ("` (Sy) ⇢ 6 )⌘ 9Sy 2 6 8` > y "` (Sy) 6⇢ 6
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ー
「開集合でない」とは UkV
s の部分集合 �-"に対して� ⇢ " ⌘ 8� 2 � (� 2 ")
なので� 6⇢ " ⌘ 9� 2 � LPh (� 2 ") ⌘ 9� 2 � (� 62 ")
従って6は開集合でない ⌘ 9Sy 2 6 8` > y 9S 2 "` (Sy) (S 62 6 )
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-mren
開集合Ĝ反例 URV
以下の _kの部分集合は開集合ではありません．Sy 2 _kのなす集合 {Sy}閉上半平面
6R := {(t , v) 2 _k; v � y}
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky ky f j8
Q ヽ .
same 、が いる。 最 イ○ 、
rso
-
ーーきたと炉
開集合Ĝ反例 UkV
閉第 R象限_k++ := {(t , v)_k; t , v � y}
閉円盤"` (Sy) := {S 2 _k; /(S,Sy) `}
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iL:○・ 開 ニ 境 に
、社会がない
S�`i yj
S�`i yj偏微分係数と極大・極小
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S�`iB�H .Bz2`2MiB�iBQM
_k の開集合 l 上の関数7 : l ! _
が定義されているとします．Sy(�, #) 2 l に対して t の関数
6 (t) := 7 (t , #)
を t = �の近くで定義できます．さらに vの関数:(v) := 7 (�, v)
を v = #の近くで定義することができます．
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky kj f j8
ヨ r > o
Br (Po )
でx = a
a = a .
min c 'i
し、
1 1
( a - r く とく atr ) し、 -_- - f-_- -_-、 1 y = eし 、
E- ray<etDi'
i -
y= e .
S�`iB�H .Bz2`2MiB�iBQM
この状況で，定義の中の極限が存在すれば，t と v に関する偏微分係数を7t(�, #) := 6 0(�) = lim
t!�7 (t , #)� 7 (�, #)
t � �
7v (�, #) := : 0(#) = limv!#
7 (�, v)� 7 (�, #)v � #
と定義できます．
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話で嘉巌
S�`iB�H .Bz2`2MiB�iBQM@�M 2t�KTH2
_k上の関数7 (t , v) = tj + ktvk + vj
について考えます．(�, #) 2 _k の周りで考えるとして6 (t) := 7 (t , #) = tj + kt#k + #j, :(v) := 7 (�, v) = �j + k�vk + vj
と定義します．このとき6 0(t) = jtk + k#k, �M/ : 0(v) = 9�v + jvk
から7t(�, #) = j�k + k#k, 7v (�, #) = 9�# + j#k
を得ます．LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky k8 f j8
x= a
- 一~ ~ 十ばt.mn
then in
terreun et et
ll ll
Fin de)
R変数の極大点（極小点）Ĝ定義
開区間 ]�, #[上の関数 7 : ]�, #[) _が与えられているとき7 が i = + で極小（`2bTX 極大）,ある � > yに対して 7 が ]+ � �, + + �[上最小（`2bTX 最大）,ある � > yに対して
7 (i) � 7 (+) (+ � � < i < + + �)
`2bTX7 (i) 7 (+) (+ � � < i < + + �)
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さ・ t
mere
nt
が
-_- 孝
t = c の 近く で 最小 (t)も 金品には 、
R変数の極大点（極小点）*h Ry9@Ry8T
微分可能な R変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を紹介します．h?2Q`2K微分可能な関数 7 : ]�, #[! _があるとします．7 が + 2]�, #[で極小（極大）ならば
7 0(+) = y
注意 これは中身を理解して欲しい定理です．
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だが
-
t.in の土影- の舅だ きて点。t.ie?:I
JBMBK�H UJ�tBK�HV SQBMib *h ke3T
_k の開集合 l 上の関数7 : l ! _
に対して，7 が Sy(�, #) で極小（`2bTX 極大）であるとはある � > yが存在して7 (t , v) � 7 (�, #) ((t , v) 2 "�(Sy))
U`2bTX7 (t , v) 7 (�, #) ((t , v) 2 "�(Sy))
Vが成立するときです．
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P。いいの近く で最も 一
極光
癌P。( a,t)
JBMBK�H UJ�tBK�HV SQBMibĜh?2Q`2K *h keNT
_k の開集合 l 上の関数7 : l ! _
が l の各点 S 2 l で t - v について偏微分できると仮定します．h?2Q`2K7 が Sy(�, #) 2 l で極小（極大）ならば
7t(�, #) = 7v (�, #) = y URV
が成立します．この状況で URVを満たす点 Sy(�, #) を 7 の停留点と呼びます．
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sinh( sでここが )
JBMBK�H UJ�tBK�HV SQBMibĜaF2i+? Q7 T`QQ7
7 が Sy(�, #)で極小とします．このとき 6 (t) = 7 (t , #) は t = �で極小となります．実際7 (t , v) � 7 (�, #) ((t , v) 2 "�(Sy))
から 7 (t , #) � 7 (�, #) (� � � < t < � + �)従って6 (t) � 6 (�) (� � � < t < � + �)
となります．よって6 0(�) = y 従って 7t(�, #) = y
であることが分かります．LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky jy f j8
くーき8>0 でok
、
The
to
#- ic
c惣を無しかにい秕
JBMBK�H UJ�tBK�HV SQBMibĜ�M 2t�KTH2
関数7 (t , v) = tk + 9tv + kvk � et � 3v
について考えます．7t(t , v) = kt + 9v · R + y � e � y
= kt + 9v � e = y7v (t , v) = y + 9t · R + 9v � y � 3
= 9t + 9v � 3 = y
を解くと，(t , v) = (R, R) が 7 の唯一の停留点であることが分かります．
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姓~I_ _
←とも
ニ 42C. y .
いいよ _ 、
1 発 |= 8- 1 6
4つく+4に 8 ←= -8
coneor
F出た o い さたい、 どちら𥫣
S�`i y9
S�`i y9クラメールの公式
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クラメールの公式 *h ky8@kyeT
連立 R次方程式 ⇢�t + #v = ↵ · · · (R)+t + /v = � · · · (k)
を考える．v を消去するために (R)⇥ / � (k)⇥ #を考える．�/t + #/v = ↵/
�) #+t + #/v = �#(�/ � #+)t = ↵/ � �#
t を消去するために (R)⇥ + � (k)⇥ �を考える．�+t + #+v = ↵+
�) �+t + �/v = ��(#+ � �/)v = ↵+ � ��
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky jj f j8
O ←
st→ re'
は 1
X..になしで
~
ざる=一、 、 = p a - xe
行列式・クラメールの公式行列式
����� #+ /
���� = �/ � #+
これを用いると����� #+ /
���� t =
����↵ #� /
���� ,����� #+ /
���� v =
����� ↵+ �
����
特に . :=�� � #
+ /�� 6= y のとき
t =R.
����↵ #� /
���� , v =R.
����� ↵+ �
����
これをクラメールの公式と言います．LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky j9 f j8
←。
係数行るりも。 これ が角を← になる
。
逆行が1で十分。
である ことを示す 。
クラメールの公式Ĝ例⇢
kt + 9v = e9t + 9v = 3
を解きます．. =
����k 99 9
���� = k · 9 � 9 · 9 = �3 6= y
からクラメールの公式が適用できます．実際t = �R
3
����e 93 9
���� = �R3(e · 9 � 3 · 9) = �R
3(�3) = R
v = �R3
����k e9 3
���� = �R3(k · 3 � 9 · e) = �R
3(�3) = R
LQ#mvmFB hPa1 偏微分係数と極大・極小の必要条件 P+i y8- kyky j8 f j8
o
8)が .. . に
蕞洽習は大事
